( ) = Junio Problema 3.- (Calificación máxima: 2 puntos)

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(1)

Modelo 2014. Problema 2B.- (Calificación máxima: 2 puntos)

La figura representa la gráfica de una función f : [6; 5] → R. Contéstese razonadamente a las preguntas planteadas. c) ¿Cuál es el signo de

( )

4 2 dx x f ? Solución.

c. La integral definida representa el área (con signo) encerrada por la curva, el eje x y las recta verticales correspondientes a los límites de

integración. En la gráfica, se puede observar, que el área por debajo del eje x (área negativa) es mayor en valor absoluto que el área por encima del eje x (área positiva) por lo tanto f

( )

x dx 0

4 2 <

Junio 2013. Problema 3.- (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera la función real de variable real definida por f

( )

x =3e−2x,

b) Calcúlese el área de la región plana acotada limitada por la gráfica de f, las rectas x = 0, x = 0,5 y el eje de abscisas.

Solución.

b. Teniendo en cuenta que f

( )

x =3e−2x>0∀ x∈R

( )

      − − − =       − = − ⋅ − = =

− − 0,5 −2⋅0,5 −2⋅0 0 x 2 5 , 0 0 x 2 5 , 0 0 x 2 e 2 3 e 2 3 e 2 3 dx 2 e 2 3 dx e 3 Área

( )

      − = − = + − = − − e 1 1 2 3 e 1 2 3 e 2 3 e 2 3 1 0 1

Septiembre 2012. Ejercicio 2B. (Puntuación máxima: 3 puntos

)

Se considera la función real de variable real definida por:

( )

   > + − ≤ + = 1 x si 1 x x 1 x si b ax x f 3 2

(c) Sea g la función real de variable real definida por g(x) = 1 − 2x

2. Para a = 1 y b = 0, calcúlese el

área de la región plana acotada limitada por la gráfica de f y la gráfica de g. Solución.

c. Se pide calcular el área delimitada por las funciones, si es posible, esbozar las gráficas y el área que representan, no es obligatorio, pero ayuda.

( )

   > + − ≤ = 1 x si 1 x x 1 x si x x f 3 2 y g(x) = 1 − 2x 2

(2)

Lo primero será calcular los límites del área, para ello se resuelve el sistema que forman las ecuaciones de las dos funciones.

( )

( )

     − =    > + − ≤ = x 2 1 x g 1 x si 1 x x 1 x si x x f 2 2 3

(

]

(

]

(

)

(

(

)

)

          +∞ ∉ − = +∞ ∉ = = + = + − = + −     − = + − = >    ∞ − ∈ − = ∞ − ∈ = = − + − =    − = = ≤ , 1 1 x , 1 0 x : 0 1 x x ; 0 x x ; x 2 1 1 x x : x 2 1 y 1 x x y 1 x Si 1 , 1 x 1 , 2 1 x : 0 1 x x 2 ; x 2 1 x : x 2 1 y x y 1 x Si 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2

Los únicos límites de integración válidos son x = −1; 2 1 x= .

Teniendo en cuenta que en el intervalo de integración      − 2 1 , 1 g(x) > f(x), si no se ha dibujado el recinto, bastaría con tomar un valor cualquiera del intervalo y comprobar que función es mayor, por ejemplo x = 0. f

( )

0 =0<g

( )

0 =1−2⋅02=1

( )

( )

=

(

( ) ( )

)

=

(

(

)

( )

)

=

(

− −

)

= =

− − − − − 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 g x dx f x dx g x f x dx 1 2x x dx 1 x 2x dx A

( )

( )

( )

( )

=         − − − − −           ⋅ − − =         − − = − 3 1 2 2 1 1 3 2 1 2 2 2 1 2 1 3 x 2 2 x x 3 2 3 2 2 1 1 3 2 2 u 8 9 6 5 24 7 3 2 2 1 1 12 1 8 1 2 1 =       − − =       + − − −       − − =

Junio 2012. Ejercicio 2B.

(Puntuación máxima: 3 puntos)

Se considera la función real de variable real definida por

( )

    > − + − ≤ + − = 1 x si 3 x 4 x 1 x si 3 x 4 x x f 2 2

(c) Calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por la grafica de f, el eje OX, eñ eje OY, y la recta x = 2. Solución.

c. Se pide calcular el área sombreada

(

− +

)

+

(

− + −

)

= =

2 1 2 1 0 2 dx 3 x 4 x dx 3 x 4 x Área =         − + − +         + − = 2 1 2 3 1 0 2 3 x 3 2 x 4 3 x x 3 2 x 4 3 x =         ⋅ − ⋅ + − −         ⋅ − ⋅ + − +         ⋅ + ⋅ − − ⋅ + ⋅ − = 2 1 3 1 3 1 2 3 2 2 3 2 0 3 0 2 3 0 1 3 1 2 3 13 2 3 2 3 2 3 2 2 u 2 3 4 3 2 0 3 4 =       − −       − + − =

Modelo 2012. Ejercicio 2B. (Puntuación máxima: 3 puntos)

Se considera la función real de variable real definida por:

( )

     > − ≤ ≤ + + < + = 3 x si x 3 3 x 0 si c bx ax 0 x si 2 x 2 x f 2

(3)

b) Para a = 0, calcúlese b, c, para que la función f sea continua en todos los puntos y calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f y el eje OX. Solución. b.

( )

     > − ≤ ≤ + < + = 3 x si x 3 3 x 0 si c bx 0 x si 2 x 2 x f

Para que la función sea continua en R, debe ser continua en 0 y en 3, que son los puntos frontera.

• Para que la función sea continua en x = 0:

( )

x Lím f

( ) ( )

x f 0 f Lím 0 x 0 x = = + −

( )

(

)

( )

(

)

( )

2 c : c c 0 b 0 f c c 0 b c bx Lím x f Lím 2 2 0 2 2 x 2 Lím x f Lím 0 x 0 x 0 x 0 x =       = + ⋅ = = + ⋅ = + = = + ⋅ = + = + + − − → → → →

• Para que la función sea continua en x = 3:

( )

x Límf

( ) ( )

x f 3 f Lím 3 x 3 x = = + −

( )

(

)

( )

(

)

( )

0 c b 3 : c b 3 c 3 b 3 f 0 3 3 x 3 Lím x f Lím c b 3 c 3 b c bx Lím x f Lím 3 x 3 x 3 x 3 x = +       + = + ⋅ = = − = − = + = + ⋅ = + = + + − − → → → →

Sustituyendo el valor de c en la segunda igualdad se obtiene b. 0 2 b 3 + = ; 3 2 b=−

( )

     > − ≤ ≤ + − < + = 3 x si x 3 3 x 0 si 2 x 3 2x 2 si x 0 2 x f

Para calcular el área comprendida entre la función y el eje OX es conveniente esbozar la gráfica de la función, de forma que nos permita identificar mas fácilmente loa limites del recinto.

La grafica de la función esta formada por tres rectas, para representarla basta con calcular un par de puntos de cada intervalo.

El área que se pide es

( )

3

1f x dx, integral que se resuelve aplicando las propiedades de la regla de Barrow.

( )

(

)

=         + − +         + =       + − + + = − − −

3 0 2 0 1 2 3 0 0 1 3 1 6 2x x 2 x 2 2 x 2 dx 2 x 3 2 dx 2 x 2 dx x f

(

]

[

(

)

(

( )

( )

)

]

=                 ⋅ + − −         ⋅ + − + − ⋅ + − − ⋅ + =         + − + + = 2 0 3 0 3 2 3 3 ´ 1 2 1 0 2 0 x 2 3 x x 2 x 2 2 2 2 3 0 2 0 1 2

( ) ( )

[

]

[

( ) ( )

]

2 u 4 3 1 0 3 ´ 1 0 − − + − = + = =

Septiembre 2011. Ejercicio 2A. (Puntuación máxima: 3 puntos

)

Se considera la fundón real de variable real definida por:

( ) (

)

1 x 1 x x f 2 2 + + = .

(4)

c) Calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f, la recta horizontal y = 1, la recta vertical x = 1.

Solución.

c. Se pide calcular el área comprendida entre dos funciones

( ) (

)

       = + + = ;y 1 1 x 1 x x f 2 2

como muestra la figura adjunta.

(

)

=         − + + + =         − + + =

1 0 2 2 1 0 2 2 dx 1 1 x 1 x 2 x dx 1 1 x 1 x Área

( )

(

+

]

= = + =       − + + =         − + + + + =

1 2 10 0 2 1 0 2 1 0 2 2 2 1 x Ln dx 1 x x 2 dx 1 1 x x 2 1 dx 1 1 x x 2 1 x 1 x

( ) ( )

12 1 Ln02 1 Ln2 Ln1 Ln2u2 Ln + − + = − = =

Modelo 2011. Ejercicio 2A. (Puntuación máxima: 3 puntos)

Se considera la función real de variable real definida por:

( )

x 2x ax bx 6

f = 3+ 2+ −

b) Para a = 0 y b = 0, calcular el área del recinto plano acotado por la gráfica de f y la recta de ecuación y = 8x ‒ 6

Solución.

b. Se pide calcular el área comprendida entre la gráfica de la función f

( )

x =2x3−6 y la recta de ecuación y = 8x ‒ 6

Se calculan los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones que delimitarán los límites de integración: 6 x 8 6 x 2 6 x 8 y 6 x 2 y 3 Igualación 3 =     − = − = 2x38x=0

( )

0 4 x x 2 2− = :    ± = = 2 x 0 x

Para poder resolver el área delimitada por las dos funciones debemos conocer la posición relativa de ambas funciones en los intervalos (‒2, 0) y (0, 2), o restarlas en cualquier orden y tomar las integrales en valor absoluto.

(

)

(

− − −

)

+

(

− −

(

)

)

=

(

)

+

(

)

= =

− − 2 0 3 0 2 3 2 0 3 0 2 3 6 8x 6 dx 2x 6 8x 6 dx 2x 8xdx 2x 8xdx x 2 Área

(

)

4 2 4 2 2 2 0 2 4 2 0 3 u 16 0 4 2 0 2 4 2 2 2 2 x 8 4 x 2 2 dx x 8 x 2 2  =       ⋅ − −         ⋅ − ⋅ =         − ⋅ = − ⋅ =

Septiembre 2010. F.M. Ejercicio 2A.

(Puntuación máxima: 3 puntos)

Se considera la función real de variable real definida por:

4 x 3 x ) x ( f = 3− 2+

c) Calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f y la recta de ecuación y = x + 1.

Solución.

c. Lo primero es delimitar el recinto de integración, para lo cual es muy útil dibujar las funciones. Los límites de integración se calculan resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones.

1 x 4 x 3 x 1 x y 4 x 3 x y 3 2 Igualación 3 2+ = +     + = + − = ; 0 3 x x 3 x3− − + =

(5)

     = = − = = + − − 3 x 1 x 1 x : 0 3 x x 3 x3

Teniendo en cuenta la posición relativa de las gráficas que delimitan el recinto y los puntos de cortes entre ambas, el área es:

(

)

[

− + − +

]

+

[

+ −

(

− +

)

]

= =

1

13 3 2 1 2 3 dx 4 x 3 x 1 x dx 1 x 4 x 3 x Área

(

− − +

)

+

(

− + + −

)

= =

1

13 3 2 1 2 3 3x x 3dx x 3x x 3dx x =         − + + − +         + − − =         − + + − +         + − − = − − 3 1 2 3 4 1 1 2 3 4 3 1 2 3 4 1 1 2 3 4 x 3 2 x x 4 x x 3 2 x x 4 x x 3 2 x 3 x 3 4 x x 3 2 x 3 x 3 4 x

( ) ( ) ( )

( )

=       ⋅ − + + − −         ⋅ − + + − +         − ⋅ + − − − − − −         ⋅ + − − = 3 1 2 1 1 4 1 3 3 2 3 3 4 3 1 3 2 1 1 4 1 1 3 2 1 1 4 14 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 2 u 8 4 7 4 9 4 9 4 7 =       − − +       − − =

Junio 2010. F.M. Ejercicio 2A.

(Puntuación máxima: 3 puntos)

Se considera la función real de variable real definida por:

( )

1 x x x f 2 − =

c) Calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por las recta verticales x = 2, x = 3, la gráfica de f y la recta de ecuación y = x + 1

Solución.

c. Aunque no es obligatorio representar las funciones que delimitan el área pedida, si que es recomendable esbozar el área. El area pedida esta delimitada por la función, su asíntota oblicua y las recta verticales x = 2 y x = 3, que son además los límites integración. El área que se pide calcular es la representada en la gráfica adjunta.

(

)

(

) (

)

= − = − − ⋅ + − =         + − − =

23 2

23 2

23 dx 1 x 1 dx 1 x 1 x 1 x x dx 1 x 1 x x A

(

)

(

]

3

( )

( )

2 2 Ln 3 1 Ln 2 1 Ln2u 1 x Ln − = − − − = =

Junio 2010. F.M. Ejercicio 2B.

(Puntuación máxima: 3 puntos)

Se considera la función real de variable real definida por:

( )

    > ≤ + − − = 1 x si bx 3 1 x si a x x x f 2

c) Para a = 6, b = 3/4, calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f, el eje OX y la recta vertical x = 2.

Solución.

c. El área que se pide consta de dos partes diferenciadas. La 1ª en el intervalo [-3, 1] bajo la curva f

( )

x =−x2−x+6. La 2ª en el intervalo (1, 2] bajo la curva

( )

x 4 x f = .

(

)

+

(

]

=         + − − = + + − − = − −

2 1 1 3 2 3 2 1 1 3 2 6x 4Ln x 2 x 3 x dx x 4 dx 6 x x A

(6)

( ) ( )

( )

+ =         − ⋅ + − − − − −         ⋅ + − − = 6 3 4Ln 2 4Ln 1 2 3 3 3 1 6 2 1 3 13 2 3 2 2 u Ln2 4 3 56 Ln2 4 2 27 6 31 + = +       − − =

Junio 2010. F.G. Ejercicio 2B.

(Puntuación máxima: 3 puntos)

Se considera la función real de variable real definida por:

( )

     > + ≤ ≤ − < + = 2 x si b ax 2 x 0 si x 4 0 x si 4 x x f 2

c) Para a = 1, b = −2, calcúlese el área de la región plana acotada limitada por la gráfica de f y el eje OX. Solución. c.

( )

     > − ≤ ≤ − < + = 2 x si 2 x 2 x 0 si x 4 0 x si 4 x x

f 2 . Aunque no es obligatorio, es recomendable hacer la gráfica de la función para delimitar mas fácilmente el área que piden.

El área consta de dos regiones diferentes, la primera delimitada por la f (x) = x + 4 entre −4 y 0, y la segunda delimitada por la función f(x) = 4 − x2 entre 0 y 2.

(

)

( )

=         − +         + = − + + = − −

2 0 3 0 4 2 2 0 2 0 4 3 x x 4 x 4 2 x dx x 4 dx 4 x A

( )

2

( )

3 3 2 2 u 3 40 3 8 8 8 3 0 0 4 3 2 2 4 4 4 2 4 0 4 2 0 = − + =         − ⋅ −         − ⋅ +         − ⋅ + − −         ⋅ + =

Modelo 2010. Ejercicio 2A.

(

Puntuación máxima: 3 puntos

)

Se considera la curva de ecuación cartesiana:

2 x y=

b) Calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por las gráficas de la curva propuesta, la recta tangente a dicha curva en el punto P(1, 1) y el eje OX. Solución.

b.

Para calcular el área, necesitamos calcular la ecuación de la recta tangente a la función en el punto P.

Ecuación de la recta tangente en el punto P(1, 1) en forma punto-pendiente.

( ) (

1 x 1

)

f 1 y− = ′ ⋅ −

( )

1 2 1 2 f′ = ⋅ =

(

x 1

)

2 1 y− = ⋅ − 1 x 2 y= −

Para hacer el cálculo del área recomiendo que esbocéis las gráficas de las funciones para poder delimitar el área.

El área pedida consta de dos regiones, la 1ª comprendida entre la función f(x) = x2 y el eje OX en el intervalo

[ ]

2 1 ,

0 , la 2ª

comprendida en la función f(x) = x2 y su tangente en P (y = 2x 1) en el intervalo

[ ]

,1

2 1 .

(7)

(

)

(

)

=         − − +         =                 − − +         = − − + =

1 2 1 2 3 2 1 0 3 1 2 1 2 3 2 1 0 3 1 2 1 2 2 1 0 2 x x 3 x 3 x x 2 x 2 3 x 3 x dx 1 x 2 x dx x A

( )

( )

2 2 3 2 3 3 3 u 12 1 24 7 3 1 0 24 1 2 1 2 1 3 2 1 1 1 3 1 3 0 3 2 1 = − + − =           +       − −         + − + − =

Ejercicio 2.

(

Puntuación máxima: 3 puntos

)

Se considera la función real de variable real definida por:

( )

x ax bx c ; a,b,c R

f = 3+ 2+ ∈

b) Para a = 1, b = −2, c = 0, determínense los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes coordenados.

c) Para a = 1, b = −2, c = 0, calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f y el eje OX.

Solución.

b.

Para a = 1, b = −2, c = 0: f

( )

x =x3−2x2En este apartado es conveniente esbozar la gráfica de la función, que por ser polinómica solo requiere los puntos de corte con los ejes, los límites en el infinito y los extremos relativos si los tiene.

- Puntos de corte: - OX (y = 0).

(

)

( )

( )

    = = − = = = − = − 0 , 2 : 2 x : 0 2 x 0 , 0 : 0 x : 0 x 0 2 x x : 0 x 2 x 2 2 2 3 - OY (x = 0). y=03−2⋅02 =0:(0,0)

Nota: Teniendo en cuenta que la función solo corta una vez al eje OY, si uno de los puntos de corte con el eje OX es el (0, 0), el punto de corte con OY también será (0, 0), pudiéndonos ahorrar el calculo.

c.

Para a = 1, b = −2, c = 0: f

( )

x =x3−2x2En este apartado es conveniente esbozar la gráfica de la función, que por ser polinómica, solo necesitamos los puntos de corte con los ejes, los límites en el infinito y los extremos relativos si los hubiera.

- Puntos de corte: (0, 0) y (2, 0) - Límites:

(

)

=−∞

(

)

=+∞ +∞ → −∞ → 2 3 x 2 3 xLím x 2x : Lím x 2x - Máximos y mínimos. f (x) = x3−2x2; f ‘(x) = 3x2− 4x; f “(x) = 6x − 4 f ‘(x) = 0: 3x2− 4x = 0: x (3x − 4) =0:     = = − = 3 4 x : 0 4 x 3 0 x

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

                         > = − ⋅ = ′′ = ⋅ − = =         < − = − ⋅ = ′′ = ⋅ − = = mínimo un existe 27 32 , 3 4 En : 0 4 4 3 4 6 3 4 f 27 32 3 4 2 3 4 3 4 f : 3 4 x máximo un existe 0 , 0 En : 0 4 4 0 6 0 f 0 0 2 0 0 f : 0 x 2 3 2 3

Con lo datos obtenidos esbozamos la gráfica de la función, el área pedida (zona coloreada) es negativa, por lo tanto la integral se hace en valor absoluto.

(8)

(

)

4 3 4 2 2 2 0 3 4 2 0 2 3 u 3 4 3 4 3 0 2 4 0 3 2 2 4 2 3 x 2 4 x dx x 2 x A  = − =       + −         + =         + = − =

Septiembre 2009. Ejercicio 2A. (Puntuación máxima: 3 puntos

)

Se considera la función real de variable real definida por:

( )

     > + − ≤ < − + − ≤ + = 2 x si 15 x 2 x 3 si 9 x 3 x si 24 x 2 x f 2

c) Calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f y el eje OX. Solución.

c.

Área. Limites de integración:

( )

   = OX x f y    − = + = = + = 12 x : 24 x 2 0 : 0 y 24 x 2 y :    = + − = = + − = 15 x : 15 x 0 : 0 y 15 x y

(

+

)

+

( )

+ +

(

− +

)

= =

15 2 2 3 -2 -3 12 - 2x 24 dx x 9 dx x 15 dx A =         + − +         + +         + = − − − 15 2 2 2 3 3 3 12 2 x 15 2 x x 9 3 x x 24 2 x 2

( )

( ) ( )

(

( )

)

( )

( )

=       ⋅ + − − ⋅ + − +         − ⋅ + − − ⋅ + + − + − − − ⋅ + − = 15 2 2 2 15 15 2 15 3 9 3 3 2 9 3 2 12 24 12 3 24 3 2 2 3 3 2 2 2 u 6 1333 2 169 3 170 81+ + = =

Junio 2009. Ejercicio 2A.

(Puntuación máxima: 3 puntos)

Se considera la función real de variable real definida por:

( )

( )

2 2 1 x x

f = −

c) Calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f y el eje OX. Solución.

c. Para realizar este apartado es conveniente esbozar la gráfica de la función, de la cual ya se conocen sus extremos relativos. Los cortes con los ejes coinciden con sus extremos, es una función par y los limites en ±∞ son +∞.

El área pedida es la coloreada en la gráfica, y viene dada por:

( )

( )

− = − = = − 1 0 2 2 1 1 2 2 1 dx 2 x 1 dx x A

(

)

=         + − ⋅ = + − =

1 0 3 5 1 0 2 2 4 x 3 x 2 5 x 2 dx 1 x 2 x 2

(9)

2 3 5 3 5 u 15 16 0 3 0 2 5 0 2 1 3 1 2 5 1 2 =       + ⋅ − ⋅ −         + ⋅ − ⋅ =

Modelo 2009. Ejercicio 2.

(Puntuación máxima: 3 puntos)

Se considera la función real de variable real definida por:

f(x) = x3 + ax2 + bx ; a, b .

c) Para a = −2, b = −8, calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f y el eje OX.

Solución.

b. f(x) = x3− 2x2− 8x. Puntos de corte con los ejes: • OX(y = 0): x3 2x2 8x = 0: x·

(x

2 2x 8) = 0:

( )

(

)

( )

        = − − = = − − = 0 , 4 : 4 x 0 , 2 : 2 x : 0 8 x 2 x 0 , 0 : 0 x 2 • OY(x = 0): y = 0: (0, 0).

c. Conocidos los puntos de corte de la función con los ejes coordenados, y teniendo en cuenta que es una función polinómica de grado tres, con coeficiente positivo en x3, se esboza la gráfica de la función.

El área pedida será la suma del área comprendida entre la función y el eje OX en el intervalo [−2, 0], más el área en valor absoluto (por estar por debajo del eje OX la integral será negativa) comprendida entre la función y el eje OX en el intervalo [0, 4].

(

− −

)

+

(

− −

)

= =

− 4 0 2 3 0 2 2 3 2x 8x dx x 2x 8x dx x Área =         − − +         − − = − 4 0 2 3 4 0 2 2 3 4 2 x 8 3 x 2 4 x 2 x 8 3 x 2 4 x

( )

( )

( )

+         − ⋅ − − ⋅ − − −         ⋅ − ⋅ − =         − − +         − − = − 2 3 4 2 3 4 4 0 2 3 4 0 2 2 3 4 2 4 3 2 2 4 2 0 4 3 0 2 4 0 x 4 3 x 2 4 x x 4 3 x 2 4 x 3 2 3 4 2 3 4 u 3 148 0 3 128 3 20 0 0 4 3 0 2 4 0 4 4 3 4 2 4 4 = − − +       − − =         ⋅ − ⋅ − −         ⋅ − ⋅ − +

Junio 2008. Ejercicio 2.

(

Puntuación máxima: 3 puntos

)

Calcúlese el área de la región plana acotada limitada por las gráficas de las funciones reales de variable real:

( )

x x x

f = 2− ; g

( )

x =1−x2 Solución.

Se pide calcular el área limitada por dos funciones, para ello solo se necesita conocer los límites de integración, que serán los puntos de corte entre las dos funciones.

No es necesario dibujar la región, pero siempre ayuda a resolver correctamente el área, ya que permite ver la posición relativa de las funciones y restar adecuadamente.

En caso de no representarla y no conocer la posición relativa, bastará hacer la resta de las funciones en valor absoluto.

(10)

   = − = = − − − = −     − = − = 1 x 2 1 x : 0 1 x x 2 : x 1 x x : x 1 y x x y 2 2 2 2 2

( )

(

− − −

)

=

(

+ −

)

= =

− − 1 2 1 2 1 2 1 2 2 x x dx 1 x 2x dx x 1 Área

( )

2

( )

3 2 3 2 1 2 1 3 2 u 8 9 24 7 6 5 3 2 1 2 2 2 1 2 1 3 1 2 2 1 1 3 x 2 2 x x = −− =           − − + − −         − + =         − + = −

Modelo 2008. Ejercicio 2B.

(

Puntuación máxima: 3 puntos

)

Dada la función real de variable real definida por f(x) = x3 6x2 + 9x, se pide determinar:

(a) Los puntos en los que la gráfica de f corta a los ejes de coordenadas. (b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.

(c) El área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de la función y el eje OX. Solución. a. Cortes con OX

(

y = 0

)

: y = f(x) = x3 6x2 + 9x = 0

(

)

( )

( ) ( )

( )

     ⇒ = ± = ⋅ ⋅ ⋅ − − ± − − = = + − ⇒ = = + − ⋅ 0 , 3 3 2 0 6 1 2 9 1 4 6 6 x : 0 9 x 6 x 0 , 0 0 x : 0 9 x 6 x x 2 2 2

Cortes con OY

(

x = 0

)

. Si uno de los puntos de corte de la función con el eje OX es el (0, 0), y teniendo en cuenta que al eje OY solo lo puede cortar una vez, el punto de corte con OY será (0, 0). b. La monotonía de la función se asocia al signo de la primera derivada con el siguiente criterio:

• En los intervalos en los que f ’(x) sea mayor que cero, la función será creciente. • En los intervalos en los que f ’(x) sea menor que cero, la función será decreciente.

El signo de la derivada se estudia por intervalos a partir de las raíces de la misma.

( )

x 3x 12x 9 f′ = 2− +

( )

:f

( )

x 3

(

x 1

) (

x 3

)

3 x 1 x : 0 9 x 12 x 3 : 0 x f 2 ′ = ⋅ − ⋅ −    = = = + − = ′ La función es creciente

(

−∞,1

) (

∪ 3,+∞

)

La función es decreciente

( )

1,3

c. De la información obtenida en los apartados a y b, y calculando los límites en el infinito se puede esbozar la gráfica de la función.

(

− +

)

=−∞ −∞ → x 6x 9x Lím 3 2 x →+∞

(

− +

)

=+∞ x 9 x 6 x Lím 3 2 x

(11)

(

)

=         + − =         + − = + − =

3 0 2 3 4 3 0 2 3 4 3 0 2 3 2 x 9 x 2 4 x 2 x 9 3 x 6 4 x dx x 9 x 6 x Área 2 2 3 4 2 3 4 u 4 27 2 0 9 0 2 4 0 2 3 9 3 2 4 3 =         + ⋅ − − ⋅ + ⋅ − =

Septiembre 2007. Ejercicio 2B. (Puntuación máxima: 3 puntos)

La gráfica de la función f(x) = ax3 + bx2 + c satisface las siguientes propiedades: • Pasa por el punto (0, 0).

• Tiene un máximo local en el punto (1, 2). Se pide:

b. Hallar el área de la región acotada del plano limitada por la gráfica de la función g(x) = −x3 + 3x, el eje OX y la recta x = 1.

Solución.

b. En este apartado es conveniente esbozar la gráfica de la función, que por ser polinómica solo requiere los puntos de corte con los ejes, los límites en el infinito y los extremos relativos si los tiene.

- Puntos de corte: OX (y = 0).

( )

(

)

( )

         ± = = = + − 0 , 3 0 , 3 : 3 x 0 , 0 : 0 x : 0 x 3 x3 - Límites:

(

(

)

)

    −∞ = + − +∞ = + − +∞ → −∞ → x 3 x Lím x 3 x Lím 3 x 3 x - Máximos y mínimos. f (x) = −x3 + 3x; f ‘(x) = −3x2 + 3; f “(x) = −6x f ‘(x) = 0: −3x2 + 3 = 0:

( ) ( )

( )

( )

( )

(

)

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

               < − = ⋅ − = ′′ = ⋅ + − = = − −         > = − ⋅ − = − ′′ − = − ⋅ + − − = − − = máximo un existe 2 , 1 En : 0 6 1 6 1 f 2 1 3 1 1 f : 1 x mínimo un existe 2 , 1 En : 0 6 1 6 1 f 2 1 3 1 1 f : 1 x 3 3

Esbozada la gráfica de la función y la recta x = 1,el área pedida es la coloreada en la figura.

(

)

4 2 4 2 2 1 0 2 4 1 0 3 u 4 5 2 0 3 4 0 2 1 3 4 1 2 x 3 4 x dx x 3 x A =       + − −         + − =         + − = + − =

Junio 2007. Ejercicio 2B. (Puntuación máxima: 3 puntos)

Representar gráficamente la región acotada limitada por las gráficas de las funciones

( )

x2 4 5 x f = ,

( )

(

5x 20

)

2 1 x g = + ,

( )

(

5x 20

)

2 1 x h = − + y obtener su área.

(12)

Solución.

( )

x2 4 5 x

f = Parábola con vértice en (0, 0)

( )

(

5x 20

)

2 1 x

g = + Recta. Cortes con los ejes:

(

) (

)

(

) (

)

   = − = 10 , 0 : 0 x OY 0 , 4 : 0 y OX

( )

(

5x 20

)

2 1 x

h = − + Recta. Cortes con los ejes:

(

) ( )

(

) (

)

   = = 10 , 0 : 0 x OY 0 , 4 : 0 y OX Área =

(

)

(

)

      − + +       − + − 2 0 2 0 2 2 x dx 4 5 20 x 5 2 1 dx x 4 5 20 x 5 2 1 Teniendo en cuenta que el área es simétrica:

(

)

=         + ⋅ − ⋅ − ⋅ =       + − − ⋅ =       − + − ⋅ =

2 0 2 3 2 0 2 2 0 2 x 10 2 2 x 5 3 4 x 5 2 dx 10 x 2 5 x 4 5 2 dx x 4 5 20 x 5 2 1 2 Área =                 ⋅ + ⋅ − ⋅ − −         ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ =         + − − ⋅ = 10 0 4 0 5 12 0 5 2 10 4 2 5 12 2 5 2 x 10 4 x 5 12 x 5 2 2 3 2 3 2 0 2 3 2 u 3 70 0 2 20 5 12 40 2 − ⋅ =      + − − ⋅ =

Septiembre 2006. Ejercicio 2B.

(Puntuación máxima: 3 puntos)

Representar gráficamente la región acotada limitada por las gráficas de las funciones

( )

2 x 9 x f = − , g

( )

x =3+x y obtener su área. Solución.

f (x) por se una función polinómica de segundo grado sin término en x y coeficiente negativo en x2 corresponde a una parábola de eje vertical centrada en el eje OY y abierta hacia menos infinito. Su vértice está en (0, 9) y corta al eje OX en los puntos (−3, 0) y (3, 0).

g (x) es una función polinómica de primer grado y corresponde a una recta que corta a los ejes coordenados en los puntos (−2, 0) y (0, 2).

El área pedida es la que se representa en la siguiente figura. Los límites de integración se obtienen mediante un sistema formado por las dos ecuaciones.

    + = − = x 3 y x 9 y 2

Se resuelve por igualación obteniendo una ecuación de segundo grado.

   = − = = − + 2 x 3 x : 0 6 x x2

( ) ( )

(

)

− = = 2 3 f x g x dx A

(13)

(

)

(

)

[

− − +

]

= =

− 2 3 2 dx x 3 x 9

(

)

=         + − − = + − − = − −

2 3 2 3 2 3 2 x 6 2 x 3 x dx 6 x x

( ) ( )

( )

2 2 3 2 3 u 6 125 3 6 2 3 3 3 2 6 2 2 3 2 =         − ⋅ + − − − − −         ⋅ + − − =

Junio 2006. Ejercicio 2A. (Puntuación máxima 3 puntos)

Se considera la función real de variable real definida por:

x 9 x ) x ( f = 3− Se pide:

b. Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de la función f y el eje OX. Solución.

Para hacer este apartado es conveniente esbozar la gráfica de la función.

• Función impar: f(−x) = −f(x). Simétrica respecto (0, 0).

• Punto de corte con los ejes: OX: y = 0: x3− 9x = 0: x·(x2− 9) = 0:    ± = = 3 x 0 x (−3, 0), (0, 0), (3, 0) •

(

)

=−∞ −∞ → x 9x Lím 3 x

(

)

=+∞ +∞ → x 9x Lím 3 x

(

)

(

)

(

)

=         − = − ⋅ = − + − = − − −

0 3 2 4 0 3 3 SIMETRIA 3 0 3 0 3 3 2 x 9 4 x 2 dx x 9 x 2 dx x 9 x dx x 9 x Área

( )

4

( )

2 2 2 4 u 2 81 2 81 4 81 0 2 2 3 9 4 3 2 0 9 4 0 2 =            − − =                 − − −         − =

Junio 2006. Ejercicio 2B. (Puntuación máxima: 3 puntos)

Se considera la curva dé ecuación cartesiana: x 8 x y= 2+ Se pide:

a) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por las gráficas de la curva dada y de la recta de ecuación cartesiana.

8 x y= + Solución.

Para calcular el área limitada por una parábola (y = x2 + 8x) y una recta (y = x + 8), es conveniente esbozar las graficas de la

funciones.

(14)

   = − = = − + + = +     + = + = 1 x 8 x : 0 8 x 7 x : 8 x x 8 x : 8 x y x 8 x y 2 2 2

(

)

(

+ − +

)

=

(

− − +

)

= =

− − 1 8 2 1 8 2 8x dx x 7x 8dx x 8 x Área =         + − − = − 1 8 2 3 x 8 2 x 7 3 x

( )

( )

( )

=         − ⋅ + − ⋅ − − − −         ⋅ + ⋅ − − = 8 8 2 8 7 3 8 1 8 2 1 7 3 13 2 3 2 2 u 2 243 =

Modelo 2006. 2A. (Puntuación máxima: 3 puntos)

Calcular el área del recinto acotado limitado por la gráfica de la función

( )

x x 5x 2x 8

f = 3+ 2+ − y el eje OX

Solución.

Para poder calcular el área entre la función y el eje OX es conveniente hacer un estudio previo de la función.

Por ser una función polinómica, es continua en todo R. Los puntos de corte con el eje OX se obtiene calculando los ceros de la función:

0 8 x 2 x 5 x3+ 2+ − =

Mediante el método de Ruffini se obtienen las soluciones y se factoriza la función.

( ) (

x x 4

) (

x 2

) (

x 1

)

f = + ⋅ + ⋅ −

El estudio del signo de la función es:

Nota: Basta sustituir un valor de cada intervalo en la función factorizada para saber el signo de la misma.

Por último es conveniente calcular los límites de la función en el infinito.

( )

=−∞

( )

=+∞ +∞ → −∞ → f x ; lim f x lim x x

(15)

El área pedida es la zona rayada, que se debe dividir en dos áreas por ser una positiva y otra negativa.

( )

( )

− +

= 2 4 1 2f x dx dx x f A

(

)

(

)

 =       − + + +         − + + = − + + + − + + =

− − − − − 2 4 1 2 2 3 4 2 4 2 3 4 1 2 2 3 2 3 x 8 2 x 2 3 x 5 4 x x 8 2 x 2 3 x 5 4 x dx 8 x 2 x 5 x dx 8 x 2 x 5 x A

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+         − ⋅ − − + − ⋅ + − −         − ⋅ − − + − ⋅ + − = 4 8 4 3 4 5 4 4 2 8 2 3 2 5 4 2 2 4 2 3 4

( )

( ) ( ) ( )

12 253 4 63 3 16 3 32 12 61 3 16 3 32 2 8 2 3 2 5 4 2 1 8 1 3 1 5 4 1 2 3 4 2 3 4 = − + = − − + − =         − ⋅ − − + − ⋅ + − −         ⋅ − + ⋅ + +

Modelo 2006. 2A. (Puntuación máxima: 3 puntos)

Calcular el valor de a > 0 para que el área de la región plana acotada limitada por las gráficas de las curvas y = x3 , y = ax, sea igual a 4.

Solución.

El área comprendida entre las dos funciones tiene dos regiones simétricas e iguales, lo cual nos permite simplificar el cálculo del área.

(

)

(

)

(

)

− +

− = ⋅

− = = 0 x x 3 x 0 3 3 o 0 0 4 dx x ax 2 dx x ax dx ax x A Operando:

(

)

x0 − = o 3 2 dx x ax

( )

0 2 4 x 2 ax ; 2 4 x 2 ax 40 2 0 x 0 4 2 0 = −         − =         − 2 4 x 2 ax 40 2 0 =

xo se puede expresar en función de a ya que comprende al punto de corte entre las dos funciones.

0 x ax : x ax : ax y x y 3 0 0 3 0 0 3 = − =     = =

(

)

   ± = = = − ⋅ a x 0 x : 0 x a x 0 0 2 0 0

Tomando el valor positivo para x0.

( ) ( )

2 4 a 2 a ; 2 4 a 2 a a 2 4 2 2 = − = − ⋅ 8 a : 8 a : 2 4 a 2 2 = = =

Junio 2005. 2B. (puntuación máxima: 3 puntos).

b. Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) = x2 4x, el eje OX y las rectas x = 1, x = 4.

Solución.

La forma más sencilla de resolver el problema es dibujar el área. f(x) = x2− 4x es una parábola abierta hacia arriba que corta a los ejes en (0, 0) y (4, 0).

(16)

(

)

(

)

=         + +         + = ⋅ + + ⋅ + = − −

4 0 2 3 0 1 2 3 4 0 2 0 1 2 2 x 4 3 x 2 x 4 3 x dx x 4 x dx x 4 x Área

( )

( )

2 2 3 2 3 2 3 2 3 u 13 3 32 3 7 0 2 3 0 4 2 3 4 1 2 3 1 0 2 3 0 = − + =         ⋅ + −         ⋅ + +         − ⋅ + − −         ⋅ + =

Modelo 2005. 2A. (Puntuación máxima: 3 puntos)

Sea la función f(x) = x3− 3x

b) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f(x), el eje OX y las rectas verticales x=−1,

2 1 x= . Solución.

El área pedida se debe calcular como suma de dos áreas, debido a que parte de ella está por encima del eje OX y parte por debajo, está última se calcula en valor absoluto.

(

)

+

(

)

= =

− 0 1 2 1 0 3 3 3xdx x 3xdx x Area

( )

( )

( )

( )

        − −           ⋅ − +         − − −         − ==         − +         − = − 2 0 3 4 0 2 2 1 3 4 2 1 2 1 3 4 1 2 0 3 4 0 2 x 3 4 x 2 x 3 4 x 4 2 2 4 2 4 2 4 2 1 0 2 4 0 1 2 4 2 u 64 103 64 23 4 5 0 8 3 64 1 2 3 4 1 0 − = + =      − +       − − =

Septiembre 2004. Ejercicio 2B. (Puntuación máxima: 3 puntos) Sean las funciones

( )

x x 2x 8; f = 2− −

( )

x 4 2 x x g 2 + + − =

b) Calcular el área del recinto acotado limitado por las curvas f

( )

x y g

( )

x . Solución.

Se representan gráficamente las parábolas:

( ) (

x x 2

) (

x 4

)

: V

(

1, 9

)

f = + ⋅ − f −

( )

(

) (

)

      − ⋅ + − = 2 9 1, V : 4 x 2 x 2 1 x g f

(17)

(

)

(

)

( )

3

( )

2

( )

2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 4 2 2 2 4 2 u 54 2 12 2 2 3 2 2 4 12 4 2 3 2 4 12x x 2 3 2 x 12x 2 x 3 3 2 3x dx 12 3x 2 3x dx 8 2x x 4 x 2 x dx f(x) g(x) A =         − ⋅ + − + − − −         ⋅ + + − = =         + + − =         + + ⋅ − = = ⋅         + + − = ⋅         − − − + + − = ⋅ − = − − − − −

Septiembre 2003. Ejercicio 2A.

(Puntuación máxima 3 puntos) Se considera la función f(x)=x⋅ex2.

b. Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f (x) para x ≥ 0, el eje OX y la recta x = 2.

Solución.

b. Se pide hallar por cálculo integral el área acotada entre la función y el eje OX en el intervalo [0, 2]

( )

2 4 0 2 2 0 x ) x ( f ) x ( f 2 0 x 2 0 x u 2 1 2 e e 2 1 e 2 1 e 2 1 c e dx )· x ( ' f e dx x 2 e 2 1 dx e · x A 2 2 2 2 2 − = − =    = =       = + = = ⋅ = =

Junio 2003. 2A. (Puntuación máxima: 3 puntos).

Sean las funciones f (x) = x2− 9 , g (x) = x2− x − 6 Calcular:

c. El área del recinto limitado por la grafica de la función f (x), el eje OX y las rectas x=3,x=6. Solución.

c. El área pedida está comprendida entre la función f (x) = x2− 9, el eje OX y las rectas x = 3 y x = 6.

se calcula mediante la integral definida:

( )

3 3 2 6 3 3 2 u 36 3 9 3 3 6 9 3 6 x 9 3 x dx 9 x =       ⋅ − − ⋅ − = − = ⋅ −

Junio 2002. 2A.

b. Calcular el área del triángulo limitado por el eje OX y las tangentes a la curva dada en los puntos de intersección de dicha curva con el eje OX

(18)

Solución.

b. Se pide calcular el área amarilla representada en la figura, que está delimitada por las rectas tangentes a la parábola en sus puntos de corte con OX y el propio eje OX.

Cortes con OX:

(

)

( )

   ⇒ = − ⇒ − = = − −     ⇒ = − − = 0 , 5 5 x 0 , 1 1 x : 0 5 x 4 x 0 y 5 x 4 x y 2 2

Recta tangente a una función en un punto xo: y − f (xo) = f ’(xo)·(x − xo)

Aplicando a los puntos de corte

(

)

( )

   − = − + − = − − ) 5 x )·( 5 ( ' f 0 y : 0 , 5 ) 1 x )·( 1 ( ' f 0 y : 0 , 1 siendo:    = − = − = − − = − 6 4 5 · 2 ) 5 ( ' f 6 4 ) 1 ·( 2 ) 1 ( ' f , sutituyendo en la respectivas ecuaciones, se obtienen las rectas tangentes

y = −6·(x + 1) y = 6·(x − 5) El punto de corte de ambas:

   = − = + − = 2 x igualación por ) 5 x ( 6 y ) 1 x ( 6 y 54 2 · 5 2 2 · 12 5 · 5 2 5 · 12 x 5 2 x · 12 dx )· 5 x ( 6 2 dx )· 5 x ( 6 dx )· 1 x ( 6 A 2 2 5 2 2 5 2 5 2 2 1 =        − −         − =         − = − = − + + − =

Junio 2002. 2B.

(puntuación máxima: 3 puntos). Se considera la curva de ecuación:

y = x3− 4x

c. Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la curva y el eje OX Solución.

c. Se pide calcular el área de la región sombreada

(

)

(

)

− + − = − 2 0 3 0 2 3 4x·dx x 4x·dx x Área

por simetría se pueden simplificar los cálculos

(

)

4 2

( )

4

( )

2 2 0 2 2 4 0 2 3 2· 2 8u 4 2 0 · 2 4 0 2 x 2 4 x 2 dx · x 4 x 2 A =               − − − −         − ⋅ =         − ⋅ = − ⋅ = − −

(19)

Septiembre 2001. Ejercicio 2A.

(Puntuación máxima 3 puntos) Sean las funciones f(x) = x2 + ax + b, g(x) = −x2 + c

c. Calcúlese el área de la región limitada por las gráficas de f(x) y g(x). Solución.

c. Se pide calcular el área encerrada entre dos funciones conocidos los puntos de corte entre ellas, aplicando el cálculo integral

(

)

(

(

)

)

(

)

=     − + − = ⋅ + + − = ⋅ − − − + − = ⋅ − = − − − −

1 2 2 3 1 2 2 1 2 2 2 1 2 x 4 x 3 x 2 dx 4 x 2 x 2 dx 3 x 2 x 1 x dx ) x ( f ) x ( g A

( ) ( )

3 2

( )

2 2 3 u 3 3 4 3 13 2 4 2 3 2 2 1 4 1 3 1 2 = − =         − ⋅ + − + − ⋅ − − ⋅ + + ⋅ − =

Figure

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