Elegir solamente 2 de las 3 preguntas.

(1)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN SEGUNDO PARCIAL. 18-4-97. PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: 40'

Elegir solamente 2 de las 3 preguntas.

1. Deducción de la ecuación de equilibrio de un cable sometido a su propio peso. 2. Movimiento rectilíneo de un punto material alrededor de su posición de equilibrio estable.

3. Demostración de la expresión de la energía cinética de un sólido rígido con un punto fijo.

(2)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN SEGUNDO PARCIAL. 18-4-97. SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO: 40'

Sobre un suelo rugoso inclinado a 45º se encuentra un disco de centro O, masa M y radio R. Un cable de peso propio q se encuentra amarrado a la periferia del disco mediante una articulación B y pasa por una polea D de dimensiones despreciables. La longitud total del cable es 10R y la del tramo BD es 5R.

Sabiendo que el disco se encuentra en equilibrio estricto en la posición indicada en la figura (OB vertical), calcular:

El coeficiente de rozamiento entre disco y suelo.

45º 0

B

D

(3)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN SEGUNDO PARCIAL. 18-4-97. TERCER EJERCICIO. TIEMPO: 45'

Un columpio sin masa que puede oscilar alrededor de un eje horizontal que pasa por su extremo O, lleva soldado en su base un disco de centro G, radio R y masa M.

Una barra de masa M igual que la del disco y de sección transversal despreciable, se encuentra apoyada sobre el disco no existiendo deslizamiento entre ambos.

Determinar la relación que debe existir entre L y R para que la posición indicada sea de equilibrio estable.

R Mg G O L Mg A B

(4)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN SEGUNDO PARCIAL. 18-4-97. CUARTO EJERCICIO. TIEMPO: 50'

Tres masas puntuales iguales A, B y C de valor M están unidas mediante dos hilos flexibles e inextensibles de longitudes 3a y 2a, como muestra la figura. En el instante inicial la masa A permanece fija y las B y C se mueven sobre un plano horizontal describiendo circunferencias de centro O.

Estando el sistema en las condiciones anteriores, se corta el hilo que une las masas B y C, comenzado el movimiento de la masa A. Sabiendo que no existe rozamiento y que el máximo descenso de la masa A corresponde a la posición r = a, determinar:

1) Valor de r0, es decir, valor de r en el instante inicial (6 puntos).

2) Tensión máxima del hilo que une A y B durante el movimiento (4 puntos).

r₀ 2a C B A O 3a-r₀

(5)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN SEGUNDO PARCIAL. 18-4-97. QUINTO EJERCICIO. TIEMPO: 40'

Un disco de masa M y radio R se encuentra apoyado sobre un suelo horizontal rugoso, siendo el coeficiente de rozamiento f=1/4. Sobre el disco se apoya una barra OB, de masa M y longitud 2R 3 , no existiendo rozamiento entre barra y disco.

Estando el sistema en la posición indicada en la figura, comienza el movimiento. Determinar, en el instante inicial, el valor de la aceleración del centro G del disco.

C

O

A

B

G

M

R

3

Mg

30º

(6)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN TERCER PARCIAL. 21-5-97. PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: 40'

Elegir solamente 2 de las 3 preguntas.

1. Sólido con eje fijo sometido a percusiones: centro de percusiones. 2. Estabilidad vertical del giroscopio de Lagrange.

Datos: A I I B I V A B I MgL x z z ef x = + + = + = − +

&sen & &cos cos & &cos

cos sen cos ψ θ ϕ ψ θ ϕ ψ θ θ θ θ 2 2 2 2

a

f

a

f

a

f

θ

(7)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN TERCER PARCIAL. 21-5-97. SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO: 50'

Un semiaro de masa M y radio R está soldado a un eje vertical. En el mismo plano vertical, también soldado al eje, está una placa cuadrada de masa M, lado R y de espesor despreciable. El sistema gira con velocidad angular w = sent alrededor del eje vertical. Determinar:

1. Par que se debe aplicar sobre el eje para que se cumpla la ley de movimiento. 2. Reacciones en los apoyos A y B.

3. Posición de una masa puntual de valor M para equilibrar estática y dinámicamente el sistema.

R

O

A

B

(8)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN TERCER PARCIAL. 21-5-97. TERCER EJERCICIO. TIEMPO: 50'

El sistema de la figura está constituido por un disco homogéneo de masa M y radio R, en cuyo centro se halla soldada una varilla sin masa perpendicular a su plano de longitud 2R, unida en su otro extremo a una masa puntual de valor 5M/11.

El centro de gravedad del sistema es una rótula esférica fija. En un instante dado, se comunica al sistema una velocidad angular como la indicada en la figura. Determinar: 1. Velocidad de precesión (3 puntos).

2. Semiángulo en el vértice de los conos correspondientes al axoide fijo y axoide móvil del movimiento (4 puntos).

3. Si M=1 y R=1, calcular la distancia entre el centro de gravedad del sistema y el plano que contiene a la herpolodia (3 puntos).

G

A

B

M,R

5M/11

2R

ω

ο

ω

ο 3

(9)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN TERCER PARCIAL. 21-5-97. CUARTO EJERCICIO. TIEMPO: 45'

Una barra AB de longitud L y masa despreciable esta articulada en A a un punto fijo y en B a otra barra BC de longitud L y masa M. Estando ambas barras en reposo y en posición vertical, se lanza contra la barra BC un disco de radio R y masa M, animado de movimiento de traslación con velocidad V como muestra la figura.

Sabiendo que entre disco y barra se produce un choque con rozamiento muy elevado y coeficiente de restitución ε = 1

2, determinar el campo de velocidades de los tres sólidos inmediatamente después del impacto.

60º A

B

C O

(10)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN TERCER PARCIAL. 21-5-97. QUINTO EJERCICIO. TIEMPO: 35'

Una barra OA homogénea de masa M y longitud 2L se encuentra en posición vertical, suspendida de su extremo O. Otra masa M, que puede deslizar libremente a lo largo de la barra, está unida al extremo A mediante un muelle de constante K=Mg/L y longitud sin tensión 2L.

Determinar las frecuencias naturales de oscilación en los pequeños movimientos en el entorno de la posición vertical de equilibrio estable.

Mg

O

A

K

(11)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 17-6-97. PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: 40'

Elegir solamente 2 de las 3 preguntas.

1) Calcular la aceleración del centro instantáneo de rotación. 2) Demostrar el Teorema de los trabajos virtuales.

(12)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 17-6-97. SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO: 40'

Una circunferencia de centro C y radio R gira alrededor del punto O de su periferia con velocidad angular constante ω . Una barra OA gira alrededor de O con velocidad angular constante ω de sentido contrario al anterior. Otra barra AB articulada en A es siempre tangente a la circunferencia.

Determinar en el instante en que OA pasa sobre el centro C:

1) Velocidad angular de la barra AB respecto al suelo y velocidad relativa de C respecto a la barra AB.(4 puntos)

2) Aceleración angular de la barra AB respecto al suelo y aceleración relativa de C respecto de la barra AB. (6 puntos)

O

A

B

C

Ω

_circ

=

ω

Ω

_OA

=

ω

30º

(13)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 17-6-97. TERCER EJERCICIO. TIEMPO: 40'

El tubo sin masa de la figura gira alrededor del eje vertical e con velocidad angular constante ω = 6g

R . En un instante dado, se introduce por el extremo A una bola de masa M y dimensiones despreciables, con una velocidad relativa al tubo vo. No existe rozamiento entre masa y tubo. La masa sale por el extremo B con una velocidad relativa de módulo vo

2 . Calcular:

1. Velocidad vo con que se introduce la bola (6 puntos).

2. Reacción entre tubo y bola cuando ésta se halla en el punto más bajo del tubo (4 puntos). θ ω e B A V_o M R

(14)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 17-6-97. CUARTO EJERCICIO. TIEMPO: 45'

Un disco homogéneo de radio R y masa M, que tiene soldada en su periferia una masa puntual de valor M, está apoyado en un bloque de masa M. Entre el disco y el bloque existe rozamiento suficiente para asegurar la rodadura, no habiendo rozamiento entre bloque y suelo.

Sabiendo que el sistema está situado en un plano vertical y que parte del reposo cuando

ϕ π= _{2 , calcular:}

1. Energía potencial para una posición cualquiera del sistema (1 punto). 2. Energía cinética para una posición cualquiera del sistema (2 puntos). 3. Ecuaciones diferenciales del movimiento (3 puntos).

4. Razonar qué valores de ϕ son compatibles con el movimiento (2 puntos). 5. Máximo desplazamiento del bloque (2 puntos).

O

ϕ

(15)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 17-6-97. QUINTO EJERCICIO. TIEMPO: 50’

El sistema de la figura, situado en un plano vertical, está constituido por :

- una barra OA de masa M y longitud L articulada en O y unida a 2 muelles iguales de constante K y longitud sin tensión L

2 2 a la altura del centro de gravedad G de la barra

y cuyos otros extremos C y D están fijos en el suelo.

- dos barras AB y BM de masas despreciables articuladas entre sí en el punto B, y de longitudes respectivas, a y L/2,

- una masa puntual de valor M en el punto M.

Sabiendo que la barra OA es siempre perpendicular a AB, determinar:

1. Las condiciones que deben verificar a y K para que la posición de la figura sea de equilibrio estable. (4 puntos).

2. Las frecuencias de las pequeñas oscilaciones del sistema alrededor de la posición de equilibrio estable tomando K 16Mg

L = . (6 puntos).

M

B

A

G

D

O

C

a

L/2

(16)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 1-9-97. PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: 40’

Elegir solamente 2 de las 3 preguntas.

1) Demostrar la expresión de la velocidad de sucesión en función de la rotación del sólido y de los radios de curvatura de base y ruleta.

2) Ecuaciones intrínsecas del equilibrio de un cable. 3) Demostrar el Teorema de Köenig del momento cinético.

(17)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 1-9-97. SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO: 40’

Una masa puntual M se mueve sin rozamiento sobre el interior de una superficie cónica de eje vertical, y semiángulo en el vértice de 45º. La masa está unida a un resorte de constante K y longitud sin tensión 2 2h, cuyo otro extremo se halla unido al vértice del cono.

Cuando la masa se halla a una altura h sobre el vértice, la velocidad es horizontal de valor gh . La máxima altura que alcanza la masa es 2h.

Determinar el valor de la constante del muelle.

M

K

y

x

z

45º

(18)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 1-9-97. TERCER EJERCICIO. TIEMPO: 45’

El mecanismo de la figura se mueve en un plano vertical por la acción del par P, de manera que la barra OA gira con velocidad angular constante de valor ω en el sentido indicado. Sabiendo que no existe rozamiento y que las dos barras son iguales, de masa M y longitud L, calcular:

1. Valor del par P en función del ángulo ϕ y de ω (5 puntos).

2. Reacción del suelo sobre la barra AB en un instante cualquiera (3 puntos). 3. Valor máximo de ω para que la barra AB permanezca siempre en contacto con

el suelo (2 puntos). O A B ϕ P ω

(19)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 1-9-97. CUARTO EJERCICIO. TIEMPO: 50’

Un disco de centro O y radio R rueda sin deslizar sobre un suelo plano de modo que su centro avanza hacia la izquierda con velocidad V a determinar. Sobre el disco se apoya permanentemente una barra BC articulada en el punto B a la barra AB de longitud R y que gira con velocidad angular constante ω alrededor del punto A (ver figura).

Para el instante indicado en la figura calcular:

1. Valor de V para que no exista deslizamiento entre el disco y la barra BC. (3 puntos) 2. Aceleración del punto D del disco en contacto con la barra respecto a la barra BC. (3

puntos)

3. Aceleración angular de la barra BC. (4 puntos)

A

B

C

D

30º

O

R

2R

I

V

ω

(20)

Un disco de centro O y radio R está en contacto con un suelo plano de modo que su centro avanza hacia la izquierda con velocidad constante V=2ωR. Sobre el disco se apoya permanentemente una barra BC articulada en el punto B a la barra AB de longitud R y que gira con velocidad angular constante ω alrededor del punto A (ver figura).

Sabiendo que no existe deslizamiento entre el disco y la barra BC, calcular para el instante indicado en la figura:

1. Rotación angular de la barra BC. (3 puntos)

2. Aceleración del punto D del disco en contacto con la barra respecto a la barra BC. (3 puntos)

3. Aceleración angular de la barra BC. (4 puntos)

A

B

C

D

30º

O

R

2R

V

ω

(21)

El sistema plano de la figura está constituido por un aro de radio R, masa M y centro O, dos resortes ideales iguales de constante K unidos al punto O y a los puntos fijos A y B, y una barra de masa M y longitud L articulada en O.

Sabiendo que la posición de la figura es de equilibrio estable y que el aro puede rodar sin deslizar sobre el suelo fijo, determinar:

1. La energía potencial reducida del sistema (2 puntos). 2. La energía cinética reducida del sistema (3 puntos). 3. Tomando K Mg

L

=9

4 , las frecuencias de las pequeñas oscilaciones del sistema alrededor de la posición de equilibrio estable (5 puntos).

A

O

B

M,L

M,R

K

(22)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FEBRERO. 30-1-98. PRIMER EJERCICIO. TIEMPO: 40’

Elegir

sólo

2 de las 3 preguntas:

1. Teoremas de Steiner.

2. Cálculo del momento cinético de un sólido con punto fijo.

(23)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FEBRERO. 30-1-98. SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO: 45’

La barra OA, de longitud L, tiene una articulación plana fija en O, está unida en A mediante una articulación plana a la barra AB de igual longitud y masa M y el punto B está unido mediante otra articulación plana, a un bloque que se traslada sobre el eje x. Sabiendo que la barra OA gira con una velocidad angular ω constante, se pide:

1. Base y ruleta del movimiento de la barra AB. (2 puntos) 2. Aceleración del punto A relativa al bloque. (2 puntos)

3. Energía cinética de la barra AB. (2 puntos)

Considerando el movimiento arriba indicado, como un movimiento relativo respecto del sistema XYZ y suponiendo que el movimiento de dicho sistema de referencia está definido mediante V→_O = v→i y ω_XYZ→ = Ω→j , obtener:

4. Ecuación del eje instantáneo de rotación y deslizamiento. (2 puntos)

5. Energía cinética de la barra AB. (2 puntos)

ϕ

_x

O

A

B

y

L

(24)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FEBRERO. 30-1-98. TERCER EJERCICIO. TIEMPO: 45’

Una barra AB de masa M y longitud 4R está suspendida en un plano vertical mediante un hilo BC y un muelle ideal OA de constante

R 2 Mg

K = que forma 45º con la vertical. Sobre el punto medio de la barra se apoya un disco de masa M y radio R, no existiendo rozamiento entre ambos.

Estando el sistema en equilibrio con la barra AB horizontal, se corta el hilo BC. Determinar en dicho instante (inmediatamente antes de que se inicie el movimiento): 1. Aceleración del punto medio de la barra (2 puntos).

2. Aceleración angular de la barra (2 puntos). 3. Aceleración del centro del disco (2 puntos). 4. Aceleración angular del disco (2 puntos). 5. Reacción entre disco y barra (2 puntos).

2R _4R 45º O A B D C

(25)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FEBRERO. 30-1-98. CUARTO EJERCICIO. TIEMPO: 45’

Un sistema plano, formado por un cuadrado CDEF de masa M, lado 2L y espesor despreciable, y por una barra CH de masa 2M y longitud 2L; gira alrededor del eje AB vertical y fijo. Sabiendo que el apoyo A no admite esfuerzos axiales, determinar en el instante en que la velocidad angular es ω = g

L y la aceleración angular α = g L: 1. Reacciones en los apoyos A y B y valor del par P necesario.

2. Posición en la que ha de colocarse una masa puntual M para equilibrar el sistema.

L

P

ω,α

B

A

L

2Mg

Mg

C

D

E

F

H

(26)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FEBRERO. 30-1-98. QUINTO EJERCICIO. TIEMPO: 45’

La barra de la figura, de masa M y longitud 4R, puede rodar sin deslizar sobre la circunferencia fija de radio 2R, Sobre la barra, puede rodar sin deslizar un disco de masa M y radio R, cuyo centro está unido a los extremos de la barra mediante 2 resortes ideales de constante K.

Determinar qué condición debe cumplir K para que la posición indicada en la figura sea de equilibrio estable.

(27)

Elegir

sólo

2 de las 3 preguntas:

1. Circunferencias notables. 2. Teorema de Carnot.

(28)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 08-6-98. SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO: 50’

El sistema de la figura está constituido por una barra de masa M y longitud 2R, articulada sin rozamiento en su extremo B a un disco de masa M y radio R. El sistema parte del reposo con la barra en posición vertical, iniciándose el movimiento al separarla ligeramente de esta posición. Entre el disco y el suelo existe rozamiento suficiente para asegurar la rodadura.

Se pide:

1. Ecuaciones diferenciales del movimiento del sistema (6 puntos).

2. Velocidad y aceleración del centro del disco, cuando la barra está paralela al suelo (4 puntos).

A θ

(29)

El sistema de la figura está constituido por una barra AB de longitud L, cuyo extremo A está fijado al suelo mediante una articulación plana, y el B se halla siempre en contacto con la barra CD mediante una deslizadera rígida en el punto B. Ambas barras forman permanentemente 90º. El extremo C desliza por la recta horizontal que pasa por A. Calcular:

1. Base de la barra CD (6 puntos). 2. Ruleta de la barra CD (4 puntos).

A _C

B

90º D

(30)

Una circunferencia de alambre de masa M y radio R puede oscilar alrededor de un eje horizontal que pasa por su punto O.

Una masa puntual M igual a la anterior puede deslizar a lo largo de un diámetro sin masa, estando unida a los extremos A y B de éste mediante dos muelles iguales de constante R Mg K = ⋅ 4 1

y longitud natural R cada uno.

Determinar las frecuencias de las pequeñas oscilaciones del sistema alrededor de su posición de equilibrio estable.

A B K K G Mg Mg O

(31)

Una barra AB de masa M y longitud 2R está articulada en su extremo B al centro de un disco de radio R y masa M. El sistema se apoya en el suelo en A y C, siendo en ambos puntos el coeficiente de rozamiento

2 3

=

f .

Obtener el par P aplicado al disco en la situación de equilibrio estricto.

A C 30º B P Mg Mg

(32)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 08-6-98. SOLUCIONES

2. 2.1 Siendo x la coordenada del centro del disco. 0 cos 2 5 = + θ& θ & R x

Por Lagrange: sen 0

3 4

cosθ + Rθ −g θ = x&& &&

Por Conservación de la Energía: x +Rxθ θ + R θ +gRcosθ =gR

3 2 cos 4 5 2 2 2 & & & & 2.2 x&=0 5 3g x&&=

3. 3.1 Base Sist. Ref. en A. θ

θ θ ; cos tg cos L Y L X = =

3.2 Ruleta Sist. Ref. en C. x=Ltg2θ;y=Ltgθ

4. Siendo x la distancia de la masa a G y α el ángulo de OG con la vertical.

2 sen cos 2MgR Mgx Kx V =− α + α + α α_& M x_& MRx_& _& MR T = 2 2 + 2 + 2 2 3 0 2 1 = ω R g 4 3 2 2 = ω 5. Rodadura en C y deslizamiento en A. P MgR 6 3 =

(33)

Elegir sólo 2 de las 3 preguntas:

1. Tensor axil de inercia.

2. Teorema de Köenig de la energía. 3. Angulos de Euler.

(34)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 03-9-98. SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO:50’

Una barra OA de masa M y longitud 2L está suspendida en un plano vertical

mediante un hilo h en el extremo A y una articulación a una pared en el extremo O. En el extremo A se articula otra barra AB de longitud L y masa

3 2M

libre en el extremo B. Estando el sistema en equilibrio con la barra OA a 45º y la barra AB vertical calcular: 1. Reacciones en la articulación O y fuerza en el hilo h (2 puntos).

Si ahora se corta el hilo h. Determinar en dicho instante (inmediatamente antes de que se inicie el movimiento):

2. Aceleración angular de las barras (4 puntos). 3. Reacciones en las articulaciones (4 puntos).

45º 2 L M _L 2M 3 h A O B

(35)

Un disco de radio R y centro G se encuentra entre el suelo y una barra OA que gira con velocidad angular ω constante alrededor de su extremo O. Determinar en el instante que indica la figura la velocidad y aceleración angular del disco en los dos casos:

- rodadura entre disco y suelo - rodadura entre disco y barra

30º 30º O G A ω

(36)

Una barra OA de masa M y longitud 2L está articulada en O al suelo y en el otro extremo A a otra barra AB igual a la anterior. La barra AB está apoyada en B sobre el suelo con coeficiente de rozamiento f. En el centro de la barra AB actúa un par P.

Determinar entre qué valores debe oscilar el par P para que el sistema esté en equilibrio.

45º

O

Mg

45º

A

B

P

(37)

El sistema mecánico de la figura está constituido por dos barras articuladas entre sí: la barra OA de longitud L sin masa y la barra AB de masa M y longitud L. Las barras pueden oscilar en el plano vertical del dibujo. Se pide determinar alrededor de la posición de equilibrio estable:

1. La energía potencial reducida del sistema.(3 puntos) 2. La energía cinética reducida del sistema. (3 puntos)

3. La frecuencias naturales de oscilación del sistema. (4 puntos)

O

A

B L

(38)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 03-9-98. SOLUCIONES 2.- 1. Ho =0; 2 Mg Vo = ; 6 7Mg T = 2. L g OA 9 7 − = α ; L g AB 6 7 − = α 3. 27 14Mg Ho = ; 54 41Mg Vo = 54 7Mg H_A =− ; 27 4Mg V_A =− 3. 1. → → − = Ω_Disco 2ωk → → − = k Disco 2 3 2 ω α 2. → → = Ω_Disco ωk → → = k Disco 2 3 2 ω α 4. _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ≤ ≤ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − f f MgL P f f MgL 1 1 2 2 1 2 1 2 5.- 1.

(

)

2 2 2 2 1 2 1 _θ _ϕ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = MgL Mg L Vreducida

2.

( )

θ& ϕ& _⎟⎟ϕ&θ&

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = 2 3 2 1 2 1 2 2 2 2 2 ML ML ML Treducida 3. 2 =

(

5± 19

)

L g ω

(39)

Elegir sólo 2 de las 3 preguntas:

4. Tensor axil de inercia.

5. Teorema de Köenig de la energía. 6. Angulos de Euler.

(40)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 30-01-99. SEGUNDO EJERCICIO. TIEMPO:40’

Una barra AB de masa M y longitud 3L soporta una masa puntual M, no existiendo rozamiento entre ambas. El sistema está en equilibrio mediante el muelle ideal AC de constante K y la barra rígida BD, observándose que ésta soporta un esfuerzo de magnitud Mg.

Determinar:

1. El valor de la constante K en el equilibrio. (2 puntos)

2. La reacción entre la masa puntual y la barra AB en el instante subsiguiente al de eliminar la barra BD. (8 puntos)

L L M M, 3L A O B D K Lo=0 C L/2

(41)

Una placa triangular de masa M y espesor despreciable, está soldada a un eje vertical y a una barra CD de masa M y longitud 2 2L como se indica en la figura. Todo el sistema está contenido en un plano vertical que gira con velocidad angular constante ω alrededor del eje vertical. Se pide calcular:

1. Reacciones en los apoyos. (6 puntos)

2. Equilibrar el sistema con una masa de valor m=M/2, dando sus coordenadas.

(4 puntos) O D C A B y z ω 45º 2L L L L L

(42)

El centro C de un disco de radio R avanza por el eje X con velocidad v constante. El extremo A de una barra AB desciende por el eje Y. La barra es siempre tangente al disco, no hay deslizamiento entre ambos, y la rotación de la barra respecto al sistema

XY es ω = v/R, constante.

En el instante en que la barra es paralela al eje X, la distancia OC vale L. Determinar para dicho instante:

1. Velocidad angular del disco respecto al sistema XOY (3 puntos). 2. Velocidad angular del disco respecto a la barra (1 punto).

3. Aceleración angular del disco respecto al sistema XOY (6 puntos).

Y O X r r ωAB v Rk = v R C 90º _B A

(43)

MECANICA FUNDAMENTAL. EXAMEN FINAL. 30-01-99. QUINTO EJERCICIO. TIEMPO: 40'

Una circunferencia de alambre de centro O y radio R puede rodar sin deslizar sobre un suelo plano S. AB es un diámetro fijo de la circunferencia a lo largo del cual puede deslizar una masa M unida a los extremos A y B del diámetro mediante dos muelles iguales de longitud natural R y de constante elástica K=Mg/R.

Definir las posiciones de equilibrio estable.

A

B

M K

(44)

1. Deducir a partir de las siguientes ecuaciones , 2 2 ⎟=1

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = α α α αch x ch x sh x y

las expresiones de la longitud y la tensión de la catenaria (2 puntos).

2. En un sólido con movimiento plano de velocidad angular constante 5 rad/s, el centro instantáneo de rotación tiene una aceleración cuyo módulo vale 20 m/s2. ¿Cuánto valdrá el módulo de dicha aceleración si el sólido se mueve con velocidad angular de 5 rad/s y aceleración angular de 2 rad/s2 , si el centro instantáneo de rotación es el mismo? (1 punto).

3. Definir componente de pivotamiento y rodadura de la velocidad angular relativa entre dos sólidos. Calcularlas en el ejemplo siguiente para el contacto sin deslizamiento entre los sólidos 1 y 2 de velocidad angular absoluta,

y → → = Ω₁ ωk → → → + = Ω₂ ω i 2ω k (2 puntos). C 2 1 45º X Z Y 4. Calcular gráficamente la velocidad

absoluta de M (1 punto). A B M L/2 L/2 45º V X Y

5. En las siguientes figuras calcular el valor de la fuerza de rozamiento indicando si existe equilibrio o no. (1 punto) Mg f=1/2 Mg f=1/2 30º

6. Enunciar las condiciones de equilibrado estático y dinámico de rotores. (1 punto) 7. Definición del coeficiente de restitución de Newton en la dinámica de percusiones.

(45)

Una barra AB de masa M y longitud 3L soporta una masa puntual M, no existiendo rozamiento entre ambas. El sistema está en equilibrio mediante el muelle ideal AC de constante K y la barra rígida BD, observándose que ésta soporta un esfuerzo de magnitud Mg.

Determinar:

1. El valor de la constante K en el equilibrio.(2 puntos)

2. La reacción entre la masa puntual y la barra AB en el instante subsiguiente al de eliminar la barra BD. (8 puntos)

L L M M, 3L A O B D K Lo=0 C L/2

(46)

Un disco de radio R rueda sin deslizar sobre un suelo plano y la velocidad de su centro O es V constante. Una barra AB de longitud 4R está articulada al disco en A y su extremo B recorre el suelo. En B está articulada otra barra BC en cuyo extremo C se articula la barra CD que puede girar alrededor del extremo D fijo. La longitud de la barra CD es 2R.

Determinar en la posición que se muestra en la figura: 1. Velocidad angular de la barra CD. (3 puntos)

2. Aceleración angular de la barra CD. (7 puntos)

B

A

30º

C

D

R

2R

O

V

4R

4 ₃

3 R

60º

90º

(47)

El bloque rectangular de la figura tiene una masa de 5M y dos ruedas de radio R articuladas en los vértices A y B. La rueda 1 tiene una masa M y un par aplicado de valor P = 2MgR en el sentido indicado en la figura. La rueda 2 tiene una masa despreciable. El conjunto está situado sobre una rampa de 45º de inclinación.

Para que el conjunto se encuentre en equilibrio estricto, ¿qué valor mínimo del coeficiente de fricción es preciso, y con qué tensión hay que tirar del cable anclado en C al bloque?

1

2

3 T

P

5Mg

4R

2R

M

A

B

C

45º

(48)

Una placa triangular de masa M y espesor despreciable, está soldada a un eje vertical y a una barra CD de masa M y longitud 2 2L como se indica en la figura. Todo el sistema está contenido en un plano vertical que gira con velocidad angular constante ω alrededor del eje vertical. Se pide calcular:

1. Reacciones en los apoyos. (6 puntos)

2. Equilibrar el sistema con una masa de valor m=M/2, dando sus coordenadas. (4 puntos) O D C A B y z ω 45º 2L L L L L

(49)

1. Ecuaciones de Euler (2 puntos).

2. Determinar el par necesario para que el disco de masa M esté en equilibrio (1 punto). M 30º

3

1 f

=

3. Indicar cuáles son el eje instantáneo de rotación y deslizamiento y los axoides fijo y móvil en el movimiento relativo entre el cono 2 y el 1, si entre ambos no hay deslizamiento (1 punto).

O

1

2

4. Indicar, si el disco rueda sin deslizar, cuál de los siguientes movimientos corresponde al de la barra AB y por qué (1 punto): a) Rotación instantánea. b) Traslación instantánea c) Rotación permanente d) Traslación permanente. B A 30º R O V I

5. Cálculo del momento cinético de un sólido con punto fijo (2 puntos).

6. Comprobar si es posible que los puntos A(1,0,0), B(0,1,0) y C(0,0,1) de un sólido rígido tengan las siguientes velocidades: Vr_A =2ri +rj,Vr_B =ri −kr,Vr_C = j−2rk

)

(1 punto).

7. Dos sólidos S₁ y S₂ animados de movimiento plano tienen las siguientes velocidades angulares:ωr₁ =3tkr,ωr₂ =

(

3t2 +1kr, respectivamente. Calcular la aceleración angular relativa del sólido S2 respecto al S1. (2 puntos)

(50)

El sistema de la figura consta de: un cono 1 de semiángulo en el vértice de 30º gira a velocidad angular 3ω constante alrededor de un eje fijo; un tronco de cono 2 de eje vertical fijo y semiángulo 60º que en el contacto con el cono 1 no tiene deslizamiento; y un cilindro interior fijo de radio R.

Si entre el tronco de cono 2, el cilindro interior, y el suelo se sitúa una esfera de radio R no existiendo deslizamiento en los puntos de contacto A, B, y D.

Calcular:

1. Velocidad angular del sólido 2. (1 punto)

2. Velocidad angular y eje instantáneo de rotación de la esfera. (3 puntos) 3. Aceleración angular del sólido 2 y de la esfera. (3 puntos)

4. Aceleración del centro de la esfera. (1 punto)

3R

O

E

Z

1

2 R

A

B

D

C

X

Y

3 ω

3 30º

R

3

4

5. Aceleración del punto A de la esfera. (2 puntos)

(51)

La barra OA, de masa M y longitud L, está rígidamente unida al disco de masa M y radio L/4. El centro del disco, está unido a un muelle de constante elástica 4Mg/L y longitud sin tensión L. Sobre la barra OA hay una deslizadera de masa M que está unida a su vez a un muelle de constante elástica Mg/L y longitud sin tensión L cuyo otro extremo se encuentra en el punto A de la barra. El disco rueda sin deslizar sobre un suelo horizontal. Se pide:

1. Obtener la posición de equilibrio estable vertical. (3 puntos)

2. En esa posición obtener la energía cinética y potencial reducida. (4 puntos) 3. Calcular las frecuencias naturales del sistema. (3 puntos)

M K= Mg/L Lo= L M, L M R= L/4 _{K´= 4Mg/L} Lo= L L O A

(52)

Dos barras iguales AB y CD de masa M y longitud L están articuladas a los puntos fijos A y D respectivamente, el extremo C de la barra CD está en contacto con el punto medio de la barra AB y el punto medio E de la barra CD está unido a un extremo del resorte ideal EF de constante elástica K.

Sabiendo que en C existe rozamiento al deslizamiento de valor f y que la longitud del resorte es L, calcular:

1. Módulo de la fuerza de rozamiento en C, en el supuesto de que

L Mg 3 K= y 2 1 f = , para que el sistema esté en equilibrio. (4 puntos)

2. Valores mínimo y máximo de K para que el sistema esté en equilibrio, si el coeficiente de rozamiento al deslizamiento vale

2 1

f = . (4 puntos)

3. Valor mínimo de f necesario para que el sistema esté en equilibrio si se sustituye el resorte por un hilo. (2 puntos)

45º 45º 45º A F E D C B

(53)

El sistema de la figura está situado en el plano vertical y constituido por dos barras iguales de masa M y longitud L articuladas en A y posicionadas como se indica en la figura, un disco de masa M y radio R y un muelle de longitud sin tensión L0 y constante K cuyos extremos están unidos al suelo y al punto medio E de la barra AB.

Se lanza el disco contra la barra AB y se produce un choque elástico y sin rozamiento en el extremo B de dicha barra. En el instante anterior al choque, el disco posee una velocidad angular conocida ωr y la velocidad de su centro de gravedad es vertical, conocida y de valor v.

Determinar, inmediatamente después del choque:

1. Energía cinética del sistema constituido por las barras, el muelle y el disco (1 punto). 2. Velocidad angular del disco (1 punto).

3. Velocidad angular de las barras OA y AB (8 puntos).

ω K,Lo O A B D E 45º C v