Segundo parcial Geometr´ıa y algebra lineal II
1 de diciembre de 2006. HOJA PARA EL ESTUDIANTE1. Completar los datos personales en la tabla que aparece al dorso. 2. La duraci´on del parcial es de cuatro horas.
3. La prueba costa de dos partes una multiple opci´on que vale en total 40 puntos y otra de desarrollo que vale 20 puntos. Esta ´ultima parte solo se corregir´a si el estudiante obtiene sumando el puntaje del primer parcial y la puntaje obtenido en la multiple opci´on de esta prueba un puntaje mayor o igual a 40.
4. No se permite el uso de ning´un tipo de material ni calculadoras. Se solicita apagar los celulares.
5. No se responder´a ning´un tipo de consulta, la comprensi´on de la letra es parte de la prueba. 6. Cada pregunta de multiple opci´on s´olo tiene una opci´on correcta. Rellenar el ´ovalo corres-pondiente a la opci´on que considere correcta.La ´unica informaci´on que se tendr´a en cuenta para corregir esta parte del examen ser´a la que aparezca en la hoja del esc´aner. Es responsabilidad del estudiante poner all´ı lo que pretende que se corrija.
7. Puntuaci´on:Cada respuesta correcta en la parte de multiple opci´on, vale 4 puntos, cada pregunta sin respuesta vale 0 punto y cada respuesta incorrecta vale−1 puntos. La n´omina de respuestas correctas ser´a publicada en la p´agina web del curso de GAL II viernes 1 de diciembre a las 15 horas.
8. Se sugiere tomar nota de las respuestas dadas a las preguntas del parcial, a efectos de control y formulaci´on de eventuales reclamaciones (ver al dorso).
9. Los puntajes obtenidos por los estudiantes en este parcial se dar´an a conocer el lunes 11 de diciembre a las 16:00 horas, en la p´agina web del curso.
10. Al finalizar el parcial el estudiante deber´a entregar la hoja de esc´aner las hojas (debida-mente identificadas) donde realizo ejercicios de desarrollo y las hojas con los enunciados.
Formulario de control y reclamaciones
Esta hoja no tiene valor de documento. Es para que el estudiante anote sus respuestas y pueda compararlas con las respuestas correctas que ser´an publicadas en cartelera. Los distintos tipos de examen ser´an distinguidos por el primer problema.
Examen No. Apellido y nombre C´edula
PRIMER RENGL ´ON DEL PRIMER PROBLEMA:
RESPUESTAS DADAS POR EL ESTUDIANTE
1 2 3 4 5 6 7 8
Por RECLAMOS SOBRE EL PUNTAJE OBTENIDO en la multiple opci´on anotarse en la secretar´ıa del IMERLhasta el miercoles 13 de diciembre a las 12 horas, depositando en la urna de GAL II, esta hoja (o su fotocopia) luego de haber completadotoda la informaci´on que se solicita en las dos tablas que aparecen en ella (la primera tabla se habr´a llenado durante el parcial). No se recibir´an reclamos vencido el plazo estipulado. Se ruega no llamar por tel´efono al IMERL.
El mi´ercoles 13 a las 14 horas se realizara la muestra de la parte de desarrollo a aquellos estu-diantes que corresponda corregir y finalizada la misma se publicara la respuesta a los reclamos de la multiple opci´on.
COMPLETAR EN CASO DE RECLAMACION RESPUESTAS CORRECTAS DADAS POR EL INSTITUTO
1 2 3 4 5 6 7 8
Total de puntos a obtener seg´un el estudiante:
Total de puntos obtenidos seg´un la publicaci´on en cartelera: Motivo del reclamo:
Segundo Parcial de Geometr´ıa y ´
Algebra Lineal 2
Viernes 1 de diciembre de 2006.
No. Parcial
Apellido y nombre C´edula de Identidad
Ejercicios de Multiple Opci´on
1. En R3 con el producto interno usual se considera un operador lineal T tal que
T(1,1,1) = (2,1,−3), T(0,1,1) = (1,−1,−2), T(10,0,3) = (a, b,−7).
(A) T es autoadjunta sia= 7 yb= 11. (B) T es autoadjunta sia=−3 y b= 1.
(C) T es autoadjunta sia=−3 y b∈Rcualquiera. (D) T no es autoadjunta para ning´unayb reales. (E) T es autoadjunta paraa= 7 yb∈R cualquiera.
2. SeaV un espacio vectorial real de dimensi´on finita con producto interno, B ={v1, . . . , vn} una base ortonormal y T :V → V una transformaci´on lineal. Considerense las siguientes afir-maciones:
(I) SihT(vi), T(vj)i=
(
1 si i=j
0 si i6=j ⇒ hT(v), T(w)i=hv, wi ∀v, w∈V.
(II) SikT(vi)k=kvik,∀i= 1, . . . , n ⇒ T preserva norma.
(III) Si{T(v1), . . . , T(vn)}es ortonormal ⇒ T es invertible y (T−1)∗ =T
Indique cual de las siguientes opciones es correcta. (A) S´olo las afirmaciones (I) y (II) son
3. SeaV espacio vectorial con producto interno con dim (V) =n, B una base ortonormal deV,
S ⊂V un subespacio vectorial,S 6={~0} yS6=V,PS la proyecci´on ortogonal sobre S y
A=B (PS)B SeaQ:Rn→Rtal que
Q(x) =xtAx
Indicar cual de las siguientes opciones es correcta.
(A) A es sim´etrica y Qes una forma cuadr´atica semi-definida positiva. (B) A no es sim´etrica y por tantoQno es una forma cuadr´atica. (C) A es sim´etrica y Qes una forma cuadr´atica semi-definida negativa. (D) A es sim´etrica y Qes una forma cuadr´atica indefinida.
(E) A es sim´etrica y Qes una forma cuadr´atica definida negativa.
4. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita, T : V → V una transformaci´on lineal. Se consideran las siguientes afirmaciones:
(I) N(T) = (Im(T))⊥
(II) dim(Im(T)) =dim(Im(T∗))
(III) N(T∗◦T) =N(T) y dim(Im(T◦T∗)) =dim(Im(T))
Indicar cu´al de las siguientes opciones es correcta, (A) Todas las afirmaciones son verdaderas.
(B) S´olo las afirmaciones (I) y (II) son verdaderas. (C) S´olo la afirmaci´on (III) es verdadera.
(D) S´olo la afirmaci´on (I) es verdadera.
5. Sean (1,2,0) y (0,−2,1) vectores propios de A matriz 3×3 sim´etrica, A 6= αI, ∀α ∈ R, entonces los subespacios propios de A son:
(A) Sλ1 = © (x, y, z)∈R3: 2x−y−2z= 0ªyS λ2 = © (x, y, z)∈R3:x+ 2y= 0, z−2y= 0ª. (B) Sλ1 = © (x, y, z)∈R3:y= 2x, z= 0ª,S λ2 = © (x, y, z)∈R3:x+ 2y= 0, z−2y= 0ªy Sλ3 = © (x, y, z)∈R3:y=−2z, x= 0ª (C) Sλ1 = © (x, y, z)∈R3:y= 2x, z= 0ªyS λ2 = © (x, y, z)∈R3 :x+ 2y= 0ª.
(D) Sλ1 = [(1,2,0),(0,−2,1)] y Sλ2 es cualquier subespacio deR3 tal queR3=S
λ1 ⊕Sλ2. (E) Sλ1 =©(x, y, z)∈R3:y= 2x, z= 0ªyS λ2 = © (x, y, z)∈R3 :y+ 2z= 0, x= 0ª 6. SeaB ={√1 2(1,0,1),(0,1,0), 1 √ 2(1,0,−1)} base deR 3 y T :R3→R3, tal que B(T)B= 0 0 1 0 −1 0 1 0 0
Indicar cu´al de las siguientes opciones es correcta. (A) T3 es una simetr´ıa respecto del planox+z= 0.
(B) T3 es una simetr´ıa axial respecto del eje de ecuaciones:x=z, y = 0.
(C) T es una rotaci´on de 45o respecto del eje √1
2(1,0,1).
(D) T es una simetr´ıa respecto del plano generado por los vectores (0,1,0),√1
2(1,0,−1).
(E) T es una simetr´ıa respecto del planoy= 0.
7. SeaA ∈ Mn×n(R) una matriz real cuadrada de rango r. El teorema de descomposici´on en valores singulares afirma que existen matrices ortogonales U,V yS diagonal,
S= σ1 . .. σr 0 . .. 0
(I) Si las matricesU yV son iguales entoncesA es sim´etrica y no negativa. (II) El rango de A y el deAAt son iguales si y solo si A es invertible.
(III) Los valores propios deAAt yAtA son iguales. Indique cu´al de las opciones es correcta
(A) S´olo las afirmaciones (I) y (II) son verdaderas. (B) Las tres afirmaciones son verdaderas.
(C) S´olo las afirmaciones (I) y (III) son verdaderas. (D) S´olo la afirmaci´on (II) es verdadera.
(E) S´olo la afiramaci´on (III) es verdadera.
8. Se sabe que cierta magnitud f´ısica y es funci´on del tiempo y se supone que sigue una ley del tipo y=f(t) =Acos(πt
2 ) +Bt2. Se toman medidas experimentales y se obtiene la siguiente
tabla
t y
0 1 1 1 2 0
Si se ajusta el modelo seg´un el m´etodo de m´ınimos cuadrados entonces (A) A= 1 3, B= 76. (B) A= 76, B= 13. (C) A= 13, B= 73. (D) A= 1, B= 1. (E) A= 3, B= 0.
Ejercicios de desarrollo
Ejercicio 1.
(12 puntos)SeaV unC–espacio vectorial de dimensi´on finita con producto interno. a) Definir operador lineal autoadjunta.
b) SeaT :V →V un operador lineal autoadjunto.
(i) Probar quehT(v), vi es real∀v∈V y deducir que todos los valores propios deT son reales.
(ii) Probar que siλyµson valores propios distintos deT entonces los subespacios propios correspondientesSλ ySµ son ortogonales.
c) Sea T un operador enV con todos sus valores propios reales y subespacios propios orto-gonales dos a dos. ¿Es T autoadjunta? Demostrar o dar un contraejemplo.
Ejercicio 2.
(8 puntos) SeaT :R3 →R3 una transformaci´on lineal tal que
T(x, y, z) = µ 2x+y+ 2z 3 , x+ 2y−2z 3 , 2x−2y−z 3 ¶
a) Probar queT es ortogonal.
b) ClasificarT y determinar sus elementos
c) Sea Q la forma cuadr´atica dada por Q(x, y, z) = 13(2x2+ 2y2 −z2 + 4xz+ 2xy −4yz),
