Sistema de dos espiras de corriente Coeficientes de autoinducción e inducción mutua Definición Propiedades

VIII. Inducción

VIII. Inducción

electromagnética

electromagnética

2. Autoinducción e inducción

2. Autoinducción e inducción

mutua

mutua

Campos Electromagnéticos

Campos Electromagnéticos

® Gabriel Cano Gómez, 2010/11

VIII. Inducción Electromagnética

VIII. Inducción Electromagnética

1.

1. Fenómenos de inducción

Fenómenos de inducción

22 A t i d

A t i d

ió i d

ió i d

ió

ió

t

t

VIII. Inducción Electromagnética

VIII. Inducción Electromagnética

2.

2. Autoinducción e inducción mutua

Autoinducción e inducción mutua

3.

3. lectromagnética



lectromagnética

_{Sistema de dos espiras de corriente}



Coeficientes de autoinducción e inducción mutua



Coeficientes de autoinducción e inducción mutua



Definición



Propiedades

33

Energía magnética

Energía magnética

3.

3. Energía magnética

Energía magnética

4.

4. Aplicaciones de la inducción electromagnética

Aplicaciones de la inducción electromagnética

G ómez, 10/11 G ómez, 10/11 abriel Cano G abriel Cano G ® G a ® G a

Sistema de dos espiras de corriente

Sistema de dos espiras de corriente





Campos y flujos magnéticos en el sistema

Campos y flujos magnéticos en el sistema

i

it

filif





id

i

t

I (t)

I (t)

Sistema de dos espiras de corriente

Sistema de dos espiras de corriente



circuitos filiformes



₁

y 

₂

recorridos por corrientes I

₁

(t) e I

₂

(t)



son fuentes de sendos campos magnéticos (i=1,2):



( )

i

t

d

_i

I





r



flujo magnético en cada espira (i=1,2)



₀

S

B

₁

(r;t)

0

4

|

|

( )

;

i i i i i

d

I

t





_







r

r r

A (r )





B

_i

( ; )

r

t





A

_i

( ; )

r

t

dS

₁



en términos de los potenciales vector…

B ( t)



₁

S

₁

=

S

₁

1

gen 1  



1

d

i

2

d

i







A



r







A



r

1

d

2

d

i m

_S



i



i







B

S





B

S



expresados como combinaciones lineales de I

_i



L

_ij

son los coeficientes de autoinducción

B

₂

(r;t)

dS

I

₁

(t) dr

₁ 1 2 i i

i

i









i i i

S

S

S





G ómez, 10/11 G ómez, 10/11 ij

e inducción mutua

1 11 12 11 1 12 2

( )

( )

m

_S

L I t

L I t



    



S

dS

₂

gen 2 



abriel Cano G abriel Cano G



en caso de espira única



₂

=

S

₂ 1 2 21 22 21 1 22 2

( )

( )

m

_S

L I t

L I t





_{   }



S

2

I

₂

(t) dr

₂ 2 



( )

LI t



® G a ® G a



en caso de espira única…

_m

( )

S

LI t

Coeficientes de autoinducción e inducción mutua (I)

Coeficientes de autoinducción e inducción mutua (I)

Coeficientes de autoinducción e inducción mutua (I)

Coeficientes de autoinducción e inducción mutua (I)





Definición de los coeficientes

Definición de los coeficientes

coeficiente de autoinducción L :

0

|

|

4

i i i i

ii

i

i

d

d

L



L



_

_











_





r

r

r

r







0



₁

B

₁

(r;t)

coeficiente de autoinducción L

_ii

:

|

_{i i}

|

i

i





r

r

B

₂

(r;t)



₁

S

₁

_I

1

dr

1 gen 1  





determina la contribución de la corriente I

_i

al flujo magnético a través de 

_i

(i=1,2)

cte i m S i I

i

L

I







ii i

I









I

₂

dr

₂ 2

r

₂

r

₁

S

 ,cte j I 0 i j

ij

ji

d

d

L

M

L













r



r





S

₂

I

₂

dr'

₂

r

₂

r'

₂ 2gen 



coeficiente de inducción mutua L

_ij

(i  j):

G ómez, 10/11 G ómez, 10/11





1

(

1 1

)

2 m m _S

L I

I

M I

  



  

|

|

4

_i j

ij

ji

j

i

L

M

L







_





_

r



r



determina la contribución de la corriente I

_j

al flujo magnético a través de

 (ji =1 2)

abriel Cano G abriel Cano G









1 2 1 1 1 2 1 1 2 2

(

)

(

)

m m _S m m _S

M I

I

L I

  



  

j m S

M

I







ji ij

I

I













al flujo magnético a través de 

_i

(ji =1,2)

® G a ® G a ,cte j i I

I





I

_i



I

_j

Coeficientes de autoinducción e inducción mutua (II)

Coeficientes de autoinducción e inducción mutua (II)





Propiedades

Propiedades



son parámetros geométricos característicos

Coeficientes de autoinducción e inducción mutua (II)

Coeficientes de autoinducción e inducción mutua (II)



₁

S

I

gen







son parámetros geométricos característicos



sólo dependen de la forma de 

_i

y 

_j



son magnitudes físicas dimensionales:

B

₁

(r;t)

S

1

I

1

gen 1  



₀

B

_i

(r;t)

g



en SI, se mide en henrios: [L

_ij

]=Wb/A=H



signo de los coeficientes:



_i

B

i

(r;t)

S

_i

I

gen i   

B

_i

(r;t)

dS

_i



autoinducción  siempre positivos



induc. mutua  depende de la geometría

0

L

L

L

M



0

(

)

B

N

(r;t)



_j

I

i

S

_j gen j   



coeficiente de acoplamiento:



mide el acoplo geométrico entre

 y 

0;

ii i

L



L



L

_ij



M

_



0

(

i



j

)

B

N

(r;t)



_N

S

gen  

I

_j

G ómez, 10/11 G ómez, 10/11



mide el acoplo geométrico entre 

₁

y 

₂



generalizable a sistema de N espiras...

1 2

;

1

1

M

L L

k

k



  

S

_N

I

_j

N   abriel Cano G abriel Cano

G



generalizable a sistema de N espiras...



mediante matriz de inducción magnética:





;

ij

L

ij

I

L





 



_{ }



Φ



I

T

 











Φ





1



T

N

I

I



I



® G a ® G a





,cte

;

i m _S j ij _{N N} ij

I

L

I

L

 





 

 

m

Φ

I

1 N m _S m _S









m

Φ

Circuito equivalente

Circuito equivalente





Fuerzas electromotrices en el sistema

Fuerzas electromotrices en el sistema

Circuito equivalente

Circuito equivalente



B

₁

(r;t)



f.e.m. total en las espiras

(i=1,2)

:

gen ind f.e.m. i i i 













₀

B

₂

(r;t)



₁

S

₁ 1gen 





_{f.e.m. inducida en cada espira:}

i ind

d

m

dI

i

dI

j

L

M







2 1

I

₁

 ind

(

1, 2)

;

m i i i j i

S

j

i

L

M

dt

dt

dt

 





 





S

₂

I

gen 2  







Modelo circuital

Modelo circuital



segunda ley de Kirchoff para cada lazo:

R

₁

I

₁

(t)

I

₂

(t)

R

₂

I

₂

G ómez, 10/11 G ómez, 10/11 gen gen

(

1 2)

(

)

i

;

i i i i j i

j

i

dI

dI

I R

R

L

M

dt

dt

 











_L

1

L

2

2 L

V

  1 L

V

  gen 1 



gen 2 



abriel Cano G abriel Cano G



_{nuevos elementos circuitales:}



L

_i

y M producen caídas de tensìón



(

j

 

i

1, 2)

M

1 M

V

 2 M

V

 1  gen 1

R

 gen 2

R

® G a ® G a



dimensiones de coef.: [L

_ij

]=Hs

 

Ejercicio

Ejercicio 8.11

8.11

Ejercicio

Ejercicio 8.11

8.11



_{Matriz de inducciones en sistema de dos bobinas}



campos magnéticos creados por las corrientes:

Z





₂

=b



1

=a



₀



campos magnéticos creados por las corrientes:

I

₁

I



₀ 0

1 2

;

( )

;

i i z i i i i i i i i

i

I

n

n I

_ 



  

  









_{ }



B

u

r

0

K

u

B



flujo magnético a través del circuito 

_i



_i

_:



formado por N espiras circulares S

I

₂

K

₁

1, 2

;

i

i





 

b

<<

h



formado por N

_i

espiras circulares S

_i

K

₁

d

d

;

d

d

i i i m i i i i z

S

N

S



_











B

S





B

S

S



u



S

₂

_I

I

1

2

K

2

dS

₂



₀

1 2 1 1 1 1

d

(

)·

m

S

N











B

B

S

]

[





G ómez, 10/11 G ómez, 10/11

_

_{coeficientes L}

ii

y L

ij

:



₁

N

₁

=n

₁

h}



₂

N

₂

=n

₂

h}

2 2

L

  

a N

h

S

₁

B

Z

₁



B

₂

dS

₁

1 2 2 2 2 2 _{( )} 2 2

·d

·d

]

[

m S S a

N











B S





B

S

abriel Cano G abriel Cano G

B

₂



coeficientes L

_ii

y L

_ij

:

K



N

 



a n I

2



b n I

2







1 2 1 0 1 1 2 2 m



N

a

n I

n I





 



L

11

  

0

a N

₂ 1

h

0 1 2

M

  

a N N

h

2 2

L

b N

h

1

2

K

₁

® G a ® G a

K

₂



m



₂



N

2

 

0



a n I

1 1



b n I

2 2



L

₂₂

  

₀

b N

2 ₂2

h

B

_ext

=0

Ejercicio

Ejercicio 8.11

8.11

(con bobinas "opuestas")

(con bobinas "opuestas")

Ejercicio

Ejercicio 8.11

8.11

(con bobinas opuestas )

(con bobinas opuestas )



_{Matriz de inducciones en sistema de dos bobinas}



campos magnéticos creados por las corrientes:

Z



₁

=a



₂

=b



₀



campos magnéticos creados por las corrientes:

I

₁

I



₀ 0

;

( )

;

i i z i i i i i i i i

I

n

n I

_ 



  

  

 







_{ }



B

u

r

0

K

u

B



flujo magnético a través del circuito 

_i



_i

_:



formado por N espiras circulares S

I

₂

K

₁

;

  

_i



0

b

<<

h



formado por N

_i

espiras circulares S

_i

K

₁



d

d

;

d

d

i i i m i i i i z

S

N

S















B

S





B

S

S



u

I

₁

I

₂

K

2



₀

S

₂

dS

dS

₂

1 2 1 1 1 1

d

(

)·

m

S

N











B

B

S

]

[





G ómez, 10/11 G ómez, 10/11 2 2

L

  

a N

h



_{coeficientes L}

_ii

_{y L}

_ij

_:



₁

N

₁

=n

₁

h}



₂

N

₂

=n

₂

h}

Z

B

₁



B

₂

S

₁

dS

1

1 2 2 2 2 2 _{( )} 2 2

·d

·d

]

[

m S S a

N











B S





B

S

abriel Cano G abriel Cano G 11 0 1

L

  

a N

h

2 0 1 2

M

  

a N N

h

2 2

L

b N

h

ii

y

ij

K

K

₁

1

B

₂

2



2 2



N

a n I

b n I





 







1 2 1 0 1 1 2 2 m



N

a

n I

n I





 



® G a ® G a _{2 2} 22 0 2

L

  

b N

h

K

₂



m



2



N

2

  

0



a n I

1 1



b n I

2 2

