Propiedades de los Sistemas y Suma de la Convolución
Oscar J. Quinde Solórzano
Universidad Israel, Sede Matriz
Electrónica Digital y Telecomunicaciones – Procesamiento Digital de Señales. Quito, Ecuador.
Resumen. El presente documento pertenece al trabajo 2, ejercicios de propiedades de los sistemas, y de la suma de la convolución.
I. Un sistema discreto en el tiempo puede ser: 1. Estático o dinámico
2. Lineal o no lineal
3. Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 4. Causal o no causal
5. Estable o inestable
Examine los siguientes sistemas respecto de las propiedades enumeradas. a) 𝑦(𝑛) = cos[𝑥(𝑛)]
1. Estático o dinámico
El sistema es estático, depende sólo de entradas instantáneas. 2. Lineal o no lineal
𝑦1(𝑛) = cos[𝑥1(𝑛)] ; 𝑦2(𝑛) = cos[𝑥2(𝑛)]
𝑦3(𝑛) = 𝒯[cos[a1𝑥1(𝑛)] + cos[a2𝑥2(𝑛)]] = cos[a1𝑥1(𝑛)] + cos[a2𝑥2(𝑛)] a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) = a1cos[𝑥2(𝑛)] + a2cos[𝑥2(𝑛)]
𝑦3(𝑛) ≠ a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) El sistema es no lineal
3. Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)] = cos[𝑥(𝑛)]
𝑦(𝑛, 𝑘) = cos[𝑥(𝑛 − 𝑘)] 𝑦(𝑛 − 𝑘) = cos[𝑥(𝑛 − 𝑘)] 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑦(𝑛 − 𝑘)
El sistema es invariante en el tiempo 4. Causal o no causal
El sistema es causal, pues depende de entradas actual y/ o pasadas. 5. Estable o inestable 𝑦(𝑛) = cos[𝑥(𝑛)] ∫ cos[𝑥(𝑛)]𝑑𝑥 ∞ −∞ < ∞
b) 𝑦(𝑛) = ∑𝑛+1𝑘=−∞𝑥(𝑘)
1. Estático o dinámico
El sistema es dinámico, depende de entradas pasadas o futuras. 2. Lineal o no lineal 𝑦1(𝑛) = ∑𝑛+1𝑘=−∞𝑥1(𝑘) ; 𝑦2(𝑛) = ∑𝑛+1𝑘=−∞𝑥2(𝑘) 𝑦3(𝑛) = 𝒯[∑𝑛+1𝑘=−∞a1𝑥1(𝑘)+ ∑𝑘=−∞𝑛+1 a2𝑥2(𝑘)] = ∑𝑘=−∞𝑛+1 a1𝑥1(𝑘)+ ∑𝑛+1𝑘=−∞a2𝑥2(𝑘) a1𝑦2(𝑛) + a2𝑦1(𝑛) = ∑𝑛+1𝑘=−∞a1𝑥1(𝑘) + ∑𝑛+1𝑘=−∞a2𝑥2(𝑘) 𝑦3(𝑛) = a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) El sistema es lineal
3. Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)] = ∑𝑛+1 𝑥(𝑖) 𝑖=−∞ 𝑦(𝑛, 𝑘) = ∑𝑛+1 𝑥(𝑖 − 𝑘) 𝑖=−∞ 𝑦(𝑛 − 𝑘) = ∑𝑛+1 𝑥(𝑖 − 𝑘) 𝑖=−∞ 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑦(𝑛 − 𝑘)
El sistema es invariante en el tiempo 4. Causal o no causal
El sistema es no causal, pues depende de entradas futuras. 5. Estable o inestable 𝑦(𝑛) = ∑𝑛+1𝑘=−∞𝑥(𝑘) ∫ ∑ 𝑥(𝑘) 𝑛+1 𝑘=−∞ ∞ −∞ = ∑ ∫ 𝑥(𝑘) ∞ −∞ 𝑛+1 𝑘=−∞ = ∞ El sistema no está acotado, es inestable.
c) 𝑦(𝑛) = x(n)cos(w0𝑛)
1. Estático o dinámico
El sistema es estático, depende sólo de entradas instantáneas. 2. Lineal o no lineal
𝑦1(𝑛) = 𝑥1(n)cos (𝑤0𝑛) ; 𝑦2(𝑛) = 𝑥2(n)cos (𝑤0𝑛)
𝑦3(𝑛) =𝒯[a1𝑥1(n)cos(w0𝑛) + a2𝑥2(n)cos(w0𝑛)] = a1𝑥1(n)cos(w0𝑛) + a2𝑥2(n)cos(w0𝑛) a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) = a1𝑥1(n)cos(w0𝑛) + a2𝑥2(n)cos(w0𝑛)
𝑦3(𝑛) = a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) El sistema es lineal
3. Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)] = x(n)cos(w0𝑛)
𝑦(𝑛, 𝑘) = x(n − k)cos(w0𝑛)
𝑦(𝑛 − 𝑘) = x(n − k)cos[w0𝑥(𝑛 − 𝑘)] 𝑦(𝑛, 𝑘) ≠ 𝑦(𝑛 − 𝑘)
4. Causal o no causal
El sistema es causal, pues depende de entradas actual y/ o pasadas. 5. Estable o inestable 𝑦(𝑛) = x(n)cos(w0𝑛) ∫ x(n)cos(w0𝑛) ∞ −∞ < ∞
El sistema está acotado, es estable.
d) 𝑦(𝑛) = 𝑥(−𝑛 + 2)
1. Estático o dinámico
El sistema es dinámico, depende de entradas pasadas o futuras. 2. Lineal o no lineal 𝑦1(𝑛) = 𝑥1(−𝑛 + 2) ; 𝑦2(𝑛) = 𝑥2(−𝑛 + 2) 𝑦3(𝑛) = 𝒯[a1𝑥1(−𝑛 + 2) + a2𝑥2(−𝑛 + 2)] = a1𝑥1(−𝑛 + 2) + a2𝑥2(−𝑛 + 2) a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) = a1𝑥1(−𝑛 + 2) + a2𝑥2(−𝑛 + 2) 𝑦3(𝑛) = a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) El sistema es lineal
3. Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)] = 𝑥(−𝑛 + 2)
𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑥(−𝑛 + 2 − k) 𝑦(𝑛 − 𝑘) = 𝑥(−𝑛 + 2 − k) 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑦(𝑛 − 𝑘)
El sistema es invariante en el tiempo 4. Causal o no causal
El sistema es causal, pues depende de entradas actual y/ o pasadas. 5. Estable o inestable 𝑦(𝑛) = 𝑥(−𝑛 + 2) ∫ 𝑥(−𝑛 + 2) ∞ −∞ < ∞
El sistema está acotado, es estable.
e) 𝑦(𝑛) = 𝑇𝑟𝑢𝑛[𝑥(𝑛)] , donde 𝑇𝑟𝑢𝑛[𝑥(𝑛)] indica la parte entera de x(n) obtenida por truncamiento. 1. Estático o dinámico
El sistema es estático, depende sólo de entradas instantáneas. 2. Lineal o no lineal
𝑦1(𝑛) = 𝑇𝑟𝑢𝑛[𝑥1(𝑛)] ; 𝑦2(𝑛) = 𝑇𝑟𝑢𝑛[𝑥2(𝑛)]
𝑦3(𝑛) = 𝒯[𝑇𝑟𝑢𝑛[a1𝑥1(𝑛)] + 𝑇𝑟𝑢𝑛[a2𝑥2(𝑛)]] = 𝑇𝑟𝑢𝑛[a1𝑥1(𝑛)] + 𝑇𝑟𝑢𝑛[a2𝑥2(𝑛)] a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) = a1𝑇𝑟𝑢𝑛[𝑥1(𝑛)] + a2𝑇𝑟𝑢𝑛[𝑥2(𝑛)]
𝑦3(𝑛) ≠ a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) El sistema es no lineal
3. Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)] = 𝑇𝑟𝑢𝑛[𝑥(𝑛)]
𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑇𝑟𝑢𝑛[𝑥(𝑛 − 𝑘)] 𝑦(𝑛 − 𝑘) = 𝑇𝑟𝑢𝑛[𝑥(𝑛 − 𝑘)] 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑦(𝑛 − 𝑘)
El sistema es invariante en el tiempo 4. Causal o no causal
El sistema es causal, pues depende de entradas actual y/ o pasadas. 5. Estable o inestable 𝑦(𝑛) = 𝑇𝑟𝑢𝑛[𝑥(𝑛)] ∫ 𝑇𝑟𝑢𝑛[𝑥(𝑛)] ∞ −∞ < ∞
El sistema está acotado, es estable.
f) y(n) = Round[x(n)], donde Round[x(n)] indica la parte entera de x(n) obtenida por redondeo 1. Estático o dinámico
El sistema es estático, depende sólo de entradas instantáneas. 2. Lineal o no lineal 𝑦1(𝑛) = Round[𝑥1(𝑛)] ; 𝑦2(𝑛) = Round[𝑥2(𝑛)] 𝑦3(𝑛) = 𝒯[Round[a1𝑥1(𝑛)] + Round[a2𝑥2(𝑛)]] 𝑦3(𝑛) = Round[a1𝑥1(𝑛)] + Round[a2𝑥2(𝑛)] a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) = a1Round[𝑥1(𝑛)] + a2Round[𝑥2(𝑛)] 𝑦3(𝑛) ≠ a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) El sistema es no lineal
3. Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)] = Round[𝑥(𝑛)]
𝑦(𝑛, 𝑘) = Round[𝑥(𝑛 − 𝑘)] 𝑦(𝑛 − 𝑘) = Round[𝑥(𝑛 − 𝑘)] 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑦(𝑛 − 𝑘)
El sistema es invariante en el tiempo 4. Causal o no causal
El sistema es causal, pues depende de entradas actual y/ o pasadas. 5. Estable o inestable 𝑦(𝑛) = Round[𝑥(𝑛)] ∫ Round[𝑥(𝑛)] ∞ −∞ < ∞
El sistema está acotado, es estable.
Nota: los sistemas de los apartados (e) y (f) son cuantificadores que efectúan truncamiento y redondeo, respectivamente.
g) y(n) = |x(n)|
1. Estático o dinámico
El sistema es estático, depende sólo de entradas instantáneas. 2. Lineal o no lineal 𝑦1(𝑛) = |𝑥1(𝑛)| ; 𝑦2(𝑛) = |𝑥2(𝑛)| 𝑦3(𝑛) = 𝒯[|a1𝑥1(𝑛)| + |a2𝑥2(𝑛)|] = |a1𝑥1(𝑛)| + |a2𝑥2(𝑛)| a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) = a1|𝑥1(𝑛)| + a2|𝑥1(𝑛)| 𝑦3(𝑛) ≠ a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) El sistema es no lineal
3. Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)] = |x(n)|
𝑦(𝑛, 𝑘) = |x(n − k)| 𝑦(𝑛 − 𝑘) = |x(n − k)| 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑦(𝑛 − 𝑘)
El sistema es invariante en el tiempo 4. Causal o no causal
El sistema es causal, pues depende de entradas actual y/ o pasadas. 5. Estable o inestable 𝑦(𝑛) = |x(n)| ∫ |x(n)| ∞ −∞ < ∞
El sistema está acotado, es estable.
h) 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛)𝑢(𝑛)
1. Estático o dinámico
El sistema es estático, depende sólo de entradas instantáneas. 2. Lineal o no lineal 𝑦1(𝑛) = 𝑥1(𝑛)𝑢(𝑛) ; 𝑦2(𝑛) = 𝑥2(𝑛)𝑢(𝑛) 𝑦3(𝑛) = 𝒯[a1𝑥1(𝑛)𝑢(𝑛) + a2𝑥2(𝑛)𝑢(𝑛)] = a1𝑥1(𝑛)𝑢(𝑛) + a2𝑥2(𝑛)𝑢(𝑛) a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) = a1𝑥1(𝑛)𝑢(𝑛) + a2𝑥2(𝑛)𝑢(𝑛) 𝑦3(𝑛) = a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) El sistema es lineal
3. Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)𝑢(𝑛)] = 𝑥(𝑛)𝑢(𝑛)
𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑥(𝑛 − 𝑘)𝑢(𝑛 − 𝑘) 𝑦(𝑛 − 𝑘) = 𝑥(𝑛 − 𝑘)𝑢(𝑛 − 𝑘) 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑦(𝑛 − 𝑘)
4. Causal o no causal
El sistema es causal, pues depende de entradas actual y/ o pasadas. 5. Estable o inestable 𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛)𝑢(𝑛) ∫ 𝑥(𝑛)𝑢(𝑛) ∞ −∞ = ∞ ; 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 (𝑛) = 𝑢(𝑛) 𝑠𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 El sistema no está acotado, es inestable.
i) y(n) = x(n) + nx(n + 1) 1. Estático o dinámico
El sistema es dinámico, depende de entradas pasadas o futuras. 2. Lineal o no lineal 𝑦1(𝑛) = 𝑥1(𝑛) + 𝑥1(𝑛 + 1) ; 𝑦2(𝑛) = 𝑥2(𝑛) + 𝑥2(𝑛 + 1) 𝑦3(𝑛) =𝒯[a1[𝑥1(𝑛) + 𝑥1(𝑛 + 1)] + a2[𝑥2(𝑛) + 𝑥2(𝑛 + 1)]] 𝑦3(𝑛) = a1[𝑥1(𝑛) + 𝑥1(𝑛 + 1)] + a2[𝑥2(𝑛) + 𝑥2(𝑛 + 1)] a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) = a1[𝑥1(𝑛) + 𝑥1(𝑛 + 1)] + a2[𝑥2(𝑛) + 𝑥2(𝑛 + 1)] 𝑦3(𝑛) = a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) El sistema es lineal
3. Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)] = x(n) + nx(n + 1)
𝑦(𝑛, 𝑘) = x(n − k) + nx(n + 1 − k)
𝑦(𝑛 − 𝑘) = x(n − k) + (n − k)x(n + 1 − k) 𝑦(𝑛, 𝑘) ≠ 𝑦(𝑛 − 𝑘)
El sistema es variante en el tiempo 4. Causal o no causal
El sistema es no causal, pues depende de entradas futuras. 5. Estable o inestable 𝑦(𝑛) = x(n) + nx(n + 1) ∫ x(n) + nx(n + 1) ∞ −∞ < ∞
El sistema está acotado, es estable. j) 𝑦(𝑛) = 𝑥(2𝑛)
1. Estático o dinámico
El sistema es dinámico, depende de entradas pasadas o futuras. 2. Lineal o no lineal 𝑦1(𝑛) = 𝑥1(2𝑛) ; 𝑦2(𝑛) = 𝑥2(2𝑛) 𝑦3(𝑛) = 𝒯[a1𝑥1(2𝑛) + a2𝑥2(2𝑛)] = a1𝑥1(2𝑛) + a2𝑥2(2𝑛) a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) = a1𝑥1(2𝑛) + a2𝑥2(2𝑛) 𝑦3(𝑛) = a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) El sistema es lineal
3. Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)] = 𝑥(2𝑛)
𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑥(2𝑛 − 𝑘) 𝑦(𝑛 − 𝑘) = 𝑥(2(𝑛 − 𝑘)) 𝑦(𝑛, 𝑘) ≠ 𝑦(𝑛 − 𝑘)
El sistema es variante en el tiempo 4. Causal o no causal
El sistema es no causal, pues depende de entradas futuras. 5. Estable o inestable 𝑦(𝑛) = 𝑥(2𝑛) ∫ 𝑥(2𝑛) ∞ −∞ < ∞
El sistema está acotado, es estable.
k) 𝑦(𝑛) = {𝑥(𝑛), 𝑠𝑖 𝑥(𝑛) ≥ 0 0, 𝑠𝑖 𝑥(𝑛) < 0 1. Estático o dinámico
El sistema es estático, depende sólo de entradas instantáneas. 2. Lineal o no lineal 𝑦1(𝑛) = { 𝑥1(𝑛), 𝑠𝑖 𝑥1(𝑛) ≥ 0 0, 𝑠𝑖 𝑥1(𝑛) < 0 ; 𝑦2(𝑛) = { 𝑥2(𝑛), 𝑠𝑖 𝑥2(𝑛) ≥ 0 0, 𝑠𝑖 𝑥2(𝑛) < 0 𝑦3(𝑛) = 𝒯[{ a1𝑥1(𝑛), 𝑠𝑖 a1𝑥1(𝑛) ≥ 0 0, 𝑠𝑖 a1𝑥1(𝑛) < 0 } + {a2𝑥2(𝑛), 𝑠𝑖 a2𝑥2(𝑛) ≥ 0 0, 𝑠𝑖 a2𝑥2(𝑛) < 0 }] 𝑦3(𝑛) = { a1𝑥1(𝑛), 𝑠𝑖 a1𝑥1(𝑛) ≥ 0 0, 𝑠𝑖 a1𝑥1(𝑛) < 0 } + {a2𝑥2(𝑛), 𝑠𝑖 a2𝑥2(𝑛) ≥ 0 0, 𝑠𝑖 a2𝑥2(𝑛) < 0 } a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) = { a1𝑥1(𝑛), 𝑠𝑖 𝑥1(𝑛) ≥ 0 0, 𝑠𝑖 𝑥1(𝑛) < 0 } + {a2𝑥2(𝑛), 𝑠𝑖 𝑥2(𝑛) ≥ 0 0, 𝑠𝑖 𝑥2(𝑛) < 0 } 𝑦3(𝑛) ≠ a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) El sistema es no lineal
3. Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)] = {𝑥(𝑛), 𝑠𝑖 𝑥(𝑛) ≥ 00, 𝑠𝑖 𝑥(𝑛) < 0 𝑦(𝑛, 𝑘) = {𝑥(𝑛 − 𝑘), 𝑠𝑖 𝑥(𝑛 − 𝑘) ≥ 0 0, 𝑠𝑖 𝑥(𝑛 − 𝑘) < 0 𝑦(𝑛 − 𝑘) = {𝑥(𝑛 − 𝑘), 𝑠𝑖 𝑥(𝑛 − 𝑘) ≥ 0 0, 𝑠𝑖 𝑥(𝑛 − 𝑘) < 0 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑦(𝑛 − 𝑘)
El sistema es invariante en el tiempo 4. Causal o no causal
5. Estable o inestable 𝑦(𝑛) = {𝑥(𝑛), 𝑠𝑖 𝑥(𝑛) ≥ 0 0, 𝑠𝑖 𝑥(𝑛) < 0 ∫ {𝑥(𝑛), 𝑠𝑖 𝑥(𝑛) ≥ 0 0, 𝑠𝑖 𝑥(𝑛) < 0 ∞ −∞ < ∞ El sistema está acotado, es estable. l) 𝑦(𝑛) = 𝑥(−𝑛)
1. Estático o dinámico
El sistema es dinámico, depende de entradas pasadas o futuras. 2. Lineal o no lineal 𝑦1(𝑛) = 𝑥1(−𝑛) ; 𝑦2(𝑛) = 𝑥2(−𝑛) 𝑦3(𝑛) = 𝒯[a1𝑥1(−𝑛) + a2𝑥2(−𝑛)] = a1𝑥1(−𝑛) + a2𝑥2(−𝑛) a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) = a1𝑥1(−𝑛) + a2𝑥2(−𝑛) 𝑦3(𝑛) = a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) El sistema es lineal
3. Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)] = 𝑥(−𝑛)
𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑥(−𝑛 − 𝑘) 𝑦(𝑛 − 𝑘) = 𝑥(−𝑛 − 𝑘) 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑦(𝑛 − 𝑘)
El sistema es invariante en el tiempo 4. Causal o no causal
El sistema es no causal, pues depende de entradas futuras. 𝑦(𝑛) = 𝑥(−𝑛) ; 𝑥 = −1 ∴ 𝑦(−1) = 𝑥(1) = 1 5. Estable o inestable 𝑦(𝑛) = 𝑥(−𝑛) ∫ 𝑥(−𝑛) ∞ −∞ < ∞
El sistema está acotado, es estable. m) 𝑦(n) = sign[x(n)]
1. Estático o dinámico
El sistema es estático, depende sólo de entradas instantáneas. 2. Lineal o no lineal 𝑦1(𝑛) = sign[𝑥1(𝑛)] ; 𝑦2(𝑛) = sign[𝑥2(𝑛)] 𝑦3(𝑛) = 𝒯[sign[a1𝑥1(𝑛)] + sign[a2𝑥2(𝑛)]] 𝑦3(𝑛) = sign[a1𝑥1(𝑛)] + sign[a2𝑥2(𝑛)] a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) = a1sign[𝑥1(𝑛)] + a2sign[𝑥2(𝑛)] 𝑦3(𝑛) ≠ a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) El sistema es no lineal
3. Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)] = sign[x(n)]
𝑦(𝑛, 𝑘) = sign[x(n − k)] 𝑦(𝑛 − 𝑘) = sign[x(n − k)] 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑦(𝑛 − 𝑘)
El sistema es invariante en el tiempo 4. Causal o no causal
El sistema es causal, pues depende de entradas actual y/ o pasadas. 5. Estable o inestable 𝑦(𝑛) = sign[x(n)] ∫ sign[x(n)] ∞ −∞ < ∞
El sistema está acotado, es estable.
n) 𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑜 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑥𝑎(𝑡) 𝑦 𝑙𝑎 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑥(𝑛) = 𝑥𝑎(𝑛𝑇), −∞ < 𝑛 < ∞ 1. Estático o dinámico
El sistema es estático, depende sólo de entradas instantáneas. 2. Lineal o no lineal 𝑦1(𝑛) = 𝑥1𝑎(𝑛𝑇) ; 𝑦2(𝑛) = 𝑥2𝑎(−𝑛) 𝑦3(𝑛) = 𝒯[a1𝑥1𝑎(𝑛𝑇) + a2𝑥2𝑎(𝑛𝑇)] = a1𝑥1𝑎(𝑛𝑇) + a2𝑥2𝑎(𝑛𝑇) a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) = a1𝑥1𝑎(𝑛𝑇) + a2𝑥2𝑎(𝑛𝑇) 𝑦3(𝑛) = a1𝑦1(𝑛) + a2𝑦2(𝑛) El sistema es lineal
3. Invariante en el tiempo o variante en el tiempo 𝑦(𝑛) = 𝒯[𝑥(𝑛)] = 𝑥𝑎(𝑛𝑇)
𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑥𝑎(𝑛𝑇 − 𝑘) 𝑦(𝑛 − 𝑘) = 𝑥𝑎(𝑛𝑇 − 𝑘) 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑦(𝑛 − 𝑘)
El sistema es invariante en el tiempo 4. Causal o no causal
El sistema es causal, pues depende de entradas actual y/ o pasadas. 5. Estable o inestable 𝑦(𝑛) = 𝑥𝑎(𝑛𝑇) ∫ 𝑥𝑎(𝑛𝑇), ∞ −∞ < ∞
II. Calcule y dibuje las convoluciones x(n) ∗ h(n) y h(n) ∗ x(n) para las siguientes parejas de señales. a) 𝑥(𝑛) = {1 ↑, 1,1,1} ; ℎ(𝑛) = {6↑, 5,4,3,2,1} 𝑦(𝑛) = ∑ 𝑥(𝑘)ℎ(𝑛 − 𝑘) 𝑛 𝑘=0 𝑦(𝑛) = {6 ↑, 11,15,18,14,10,6,3,1}
h(n) 0 1 2 3 4 5 6
x(n)
*
6 5 4 3 2 1 0
0
1
6 5 4 3 2 1 0
1
1
6 5 4 3 2 1 0
2
1
6 5 4 3 2 1 0
3
1
6 5 4 3 2 1 0
4
0
0 0 0 0 0 0 0
b) 𝑥(𝑛) = {1 ↑, 1,1,1} ; ℎ(𝑛) = {6,5,4, 3↑, 2,1} 𝑦(𝑛) = ∑ 𝑥(𝑘)ℎ(𝑛 − 𝑘) 𝑛 𝑘=0 𝑦(𝑛) = {6,11,15, 18 ↑ , 14,10,6,3,1}
h(n) -3 -2 -1 0 1 2 3
x(n)
*
6
5
4 3 2 1 0
0
1
6
5
4 3 2 1 0
1
1
6
5
4 3 2 1 0
2
1
6
5
4 3 2 1 0
3
1
6
5
4 3 2 1 0
4
0
0
0
0 0 0 0 0
c) 𝑥(𝑛) = {0 ↑, 0,0,1,1,1,1} ; ℎ(𝑛) = {0,1,1,0,0, 0↑, 0} 𝑦(𝑛) = ∑ 𝑥(𝑘)ℎ(𝑛 − 𝑘) 𝑛 𝑘=0 𝑦(𝑛) = {1, 2 ↑, 2,2,1}
h(n) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
x(n)
*
1
1
0
0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0 0 0 0 0
1
0
0
0
0
0 0 0 0 0
2
0
0
0
0
0 0 0 0 0
3
1
1
1
0
0 0 0 0 0
4
1
1
1
0
0 0 0 0 0
5
1
1
1
0
0 0 0 0 0
6
1
1
1
0
0 0 0 0 0
7
0
0
0
0
0 0 0 0 0
d) 𝑥(𝑛) = {0 ↑, 0,1,1,1,1} ; ℎ(𝑛) = {0,1,1,0,0, 0↑, 0} 𝑦(𝑛) = ∑ 𝑥(𝑘)ℎ(𝑛 − 𝑘) 𝑛 𝑘=0 𝑦(𝑛) = {1 ↑, 2,2,2,1}
