GUÍA DE ACTIVIDADES MATEMÁTICA - MTIN01

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GUÍA DE EJERCICIOS

MATEMÁTICA – MTIN01

CIENCIAS BÁSICAS

ÁREAS TRANSVERSALES

VICERRECTRÍA ACADÉMICA DE PREGRADO

Material realizado por:

David Contreras Cristina Fuenzalida

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2

Contenido

Unidad 1: Resolución de problemas y análisis de la información ...5

Conocimientos previos ...5

Ejercicios genéricos: ...5

Aprendizaje 1.1 Resuelve situaciones problemáticas mediante estrategias aritmético algebraicas, comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores. ... 10

Ejercicio resuelto 1: ... 11

Ejercicio resuelto 2: ... 14

Ejercicios propuestos: Genéricos. ... 16

Aprendizaje 1.2 Analiza información entregada en tablas y gráficos, comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores. ... 23

Ejercicio resuelto 1: ... 24

Ejercicio resuelto 2: ... 27

Ejercicios propuestos: Genéricos ... 30

Ejercicios propuestos para la unidad ... 34

Mecánica ... 34

Construcción ... 35

Procesos Industriales ... 36

Unidad 2: Proporcionalidad y porcentajes ... 37

Aprendizaje 2.1 Resuelve problemas que involucren razones, proporciones y porcentajes estructurando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores. ... 37 Ejercicio resuelto 1 ... 38 Ejercicio resuelto 2 ... 39 Ejercicio resuelto 3 ... 40 Ejercicio resuelto 4 ... 41 Ejercicio resuelto 5 ... 43 Ejercicio resuelto 6 ... 44

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3

Ejercicios propuestos para la unidad ... 58

Mecánica ... 58

Construcción ... 59

Procesos Industriales ... 60

Unidad 3: Álgebra ... 61

Aprendizaje 3.1 Desarrolla operatoria algebraica utilizando estrategia de valorización, reducción de términos semejantes, factorización y simplificación, explicando los pasos aplicados. ... 61

Ejercicio resuelto 1: ... 62

Ejercicio resuelto 2: ... 63

Ejercicios propuestos: Genéricos. ... 64

Aprendizaje 3.2 Resuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones mediante la utilización de procedimientos algebraicos y representación gráfica, explicando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. ... 68

Ejercicio resuelto 1: ... 69

Ejercicio resuelto 2: ... 70

Ejercicio resuelto 3: ... 72

Ejercicios propuestos: Genéricos. ... 74

Aprendizaje 3.3 Resuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones mediante la utilización de procedimientos algebraicos y representación gráfica, explicando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. ... 79

Ejercicio resuelto 1: ... 80

Ejercicio resuelto 2: ... 81

Ejercicios propuestos: Genéricos. ... 83

Ejercicios propuestos para la unidad ... 87

Mecánica ... 87

Construcción ... 88

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4

Unidad 4: Funciones ... 91

Aprendizaje 4.1 Representa funciones en forma tabular, gráfica y analítica describiendo sus características generales, comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. ... 91

Ejercicio resuelto 1: ... 92

Ejercicios propuestos: Genéricos: ... 93

Aprendizaje 4.2 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas cuyos modelos correspondan a funciones afines, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas. ... 102

Ejercicio resuelto 1: ... 103 Ejercicio resuelto 2: ... 105 Ejercicio resuelto 3: ... 107 Ejercicio resuelto 4: ... 109 Ejercicio resuelto 5: ... 110 Ejercicio resuelto 6: ... 112 Ejercicio resuelto 7: ... 114 Ejercicio resuelto 8: ... 116

Ejercicios propuestos: Genéricos. ... 118

Ejercicios propuestos para la unidad ... 122

Mecánica ... 122

Construcción ... 124

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5

Unidad 1: Resolución de problemas y análisis de la información

Conocimientos previos

Ejercicios genéricos:

1. Calcula el m.c.m. y el m.c.d. entre los siguientes números.

a) 70 y 120 b) 168 y 504 c) 130 y 455

d) 28, 35 y 56 e) 16, 120 y 210 f) 252, 308 y 504

2. Completa la siguiente tabla.

Número decimal Fracción

irreductible Número decimal

Fracción irreductible ̅ ̅̅̅̅ ̅ ̅̅̅̅

3. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando propiedades de potencias.

a) b) c) d) e) f) g)

(6)

6 4. Realiza las siguientes operaciones sin calculadora, utilizando propiedades de raíces.

a) √ √ √ b) √ √ √ √ c) √ (√ √ ) √

d) ( √ )( √ ) e) ( √ ) √ (√ √ ) f) ( √ ) (√ √ )(√ √ ) 5. Racionaliza los siguientes radicales.

a) b) c) √ √ d) √ √ e) √ f) √

6. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando prioridad de las operaciones.

a) ̅ b) √( ) ( ( ) ) c) ̅ ( ) d) ( ) e) ( ) (( ̅) √ ) f) ( ) (√ ) ̅ √ g) h)

7. En la calculadora científica los órdenes de las operaciones se introducen con paréntesis. Así por ejemplo,

( ( )

)

Se ingresa como

(7)

7 En cada uno de los siguientes ejercicios, reescribe la expresión para ser ingresada a la calculadora usando el mínimo de paréntesis y anota el resultado.

Operación planteada Expresión para ser ingresada a la calculadora usando el mínimo de paréntesis Resultado a) b) ( ) c) ( ) d) e) f)

(8)

8 Soluciones: 1. a) b) c) d) e) f) 2.

Número decimal Fracción

irreductible Número decimal

Fracción irreductible ̅ ̅̅̅̅ ̅ ̅ ̅̅̅̅ ̅ 3. a) b) c) d) e) f) g) 4. a) √ b) √ √ c) √ √ d) e) √ f) √ 5. a) √ b) √ c) √ d) √ e) √ f) √ 6. a) b) c) d) e) f) g) h)

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9

7. Operación planteada expresión para ser ingresada a la calculadora

usando el mínimo de paréntesis

Resultado a) √ (√ ) ( ) b) ( ) (( ) ) (( ( )) ) c) ( ) ( ) ( ) d) ( ( ) ) e) ( ) ( ( )) f) ( ( ))

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10

Aprendizaje 1.1 Resuelve situaciones problemáticas mediante estrategias

aritmético algebraicas, comunicando sus resultados de manera acorde a la

situación comunicativa e interlocutores.

Criterios de evaluación:

1.1.1 Identifica los datos de un problema, verificando coherencia y falta de información. 1.1.2 Propone una estrategia para resolver un problema verificando pertinencia y validez. 1.1.3 Aplica procedimientos matemáticos para la resolución del problema.

1.1.4 Comunica los resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores.

Para resolver un problema, recuerda:

a) Leer detenidamente el enunciado e identificar: datos, incógnitas y relaciones. b) Trazar una estrategia de resolución. Establecer hipótesis.

c) Resolver el problema.

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11 Ejercicio resuelto 1:

Los alumnos de una sección de la sede, están preparando una salida para celebrar los cumpleaños del mes. de la clase prefiere salir el viernes, prefiere salir el sábado y los 8 restantes, solo pueden salir de lunes a jueves por razones de trabajo. ¿Cuál es el total de alumnos que puede salir viernes o sábado?

Solución:

Procedimiento N° 1 a) Identificar datos

- de la clase prefiere salir el viernes. - de la clase prefiere salir el sábado. - 8 alumnos pueden salir de lunes a jueves. b) Establecer estrategia de resolución

Se utilizará ecuaciones de primer grado.

c) Resolver problema

Sea el número de alumnos de la clase. Entonces, de la clase se escribe y de la clase se escribe . Por lo tanto, la cantidad total de alumnos se calcula:

⏟ ⏟ ⏟

Luego podemos plantear la siguiente ecuación

(12)

12 A continuación se muestran dos procedimientos para resolverla

Procedimiento 1 Procedimiento 2

Finalmente, si 30 es el total de alumnos y 8 pueden salir de lunes a jueves, entonces los 22 restantes salen viernes o sábado

d) Comunicar resultados

22 alumnos prefieren salir viernes o sábado

Procedimiento N° 2 a) Identificar datos

- fracción de alumnos que prefiere salir el viernes:

- fracción de alumnos que prefiere salir el sábado: - N° de alumnos que puede salir de lunes a jueves: 8

b) Estrategia de resolución

(13)

13 c) Resolver problema

Vamos a calcular la fracción que corresponde a los 8 alumnos ( )

Si corresponde a 8 alumnos, entonces de la clase se calcula 8:4, como se representa a continuación

2 2

2 2

Luego si 2 alumnos corresponden a , entonces el total de alumnos se calcula d) Comunicar resultados

Si 30 es el total de alumnos y 8 pueden salir de lunes a jueves, entonces los 22 restantes salen viernes o sábado.

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14 Ejercicio resuelto 2:

Calcular la cantidad aproximada de alambre que se necesita para construir un cubo en que el área de una cara es 20 cm2.

Solución:

a) Identificar datos

- Una de sus caras tiene una superficie de 20 cm2, como se muestra en el dibujo

b) Estabelcer estrategia de resolución

Al determinar la cantidad de alambre del cubo, se esta haciendo referencia a la arista del cubo. Como la información entregada en el enunciado hace referencia al área de una de las caras, se utilizará la fórmula de área de un cuadrado para calcular la medida de la arista y luego se multiplicará por el total d earistas del cubo.

c) Resolver problema

Sea la medida de una arista del cubo

Sabemos que el área de un cuadrado se calcula multiplicando la medida de sus lados, luego

/ estramos la raíz cuadrada

√ √ / √ | | | | 20 cm2 20 cm2 X X X X

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15 √ / simplificando la raíz cuadrada

Por lo tanto, la longitud de la arista del cubo es √ . Se sabe además que un cubo tiene 12 aristas, entonces para determinar la cantidad necesaria de alambre para construir el cubo, se debe multiplicar 12 por la longitud de una arista.

√ √

Utilizando la calculadora y aproximando a las centésimas, se obtiene: √

d) Comunicar resultados

Para la confección del cubo se necesita aproximadamente 53,7 cm de alambre.

Observación: Es importante realizar las aproximaciones de los números irracionales solo al finalizar el ejercicio, ya que la aproximación no es una igualdad, por ende, si se van realizando aproximaciones en cada paso, el margen de error aumenta y esto repercute en la precisión de la respuesta.

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16 Ejercicios propuestos: Genéricos.

1. Un huevero tiene ante si seis cestas de huevos. Cada una tiene huevos de una clase, de gallina o de pata. El número de huevos de cada cesta es: 6, 12, 14, 15, 23 y 29. El huevero señala una cesta y dice: “Si vendo esta cesta me quedarán el doble de huevos de gallina que de pata” ¿De qué cesta habla?

2. En la biblioteca de un establecimiento de educación superior, los libros pueden ser colocados de 7 en 7, de 5 en 5, de 11 en 11 o de 21 en 21, sin que sobren ni falten libros. ¿Cuántos libros hay si en total son más de 3000 y menos de 4000?

3. En una librería se compraron 432 cuadernos, 288 gomas y 336 lápices para ofrecer una pack de útiles escolares. Si cada pack debe tener el mismo número de artículos de cada tipo y se utilizan todos los artículos ¿Cuál es el mayor número de pack que se pueden hacer? ¿Cuántos artículos de cada tipo tiene un pack?

4. Gastón tiene algunas tablas de 2 por 5 pulgadas y de diferentes largos. Algunas son de 60 pulgadas de largo y otras son de 72. Desea cortarlas a fin de obtener piezas de igual longitud ¿Cuál es la mayor longitud de cada pieza que puede cortar sin desperdiciar ningún pedazo?

5. Una sala de eventos mide 2310 cm de largo y 1176 cm de ancho. Se quiere cubrir todo el piso sólo con baldosas cuadradas ¿Cuál debe ser la medida del lado de cada baldosa si se desea utilizar el menor número posible de baldosas? ¿Cuántas baldosas se necesitan?

6. En una competencia de bicicletas dentro de una pista circular, los competidores comienzan en el mismo lugar y avanzan en la misma dirección. Uno de ellos completa una vuelta cada 40 segundos, mientras que otro lo hace cada 45 segundos. ¿Cuántos minutos pasarán hasta que ambas alcancen de nuevo el punto de salida simultáneamente?

7. En la industria vitivinícola Santa Rita hay dos toneles, uno de vino blanco y otro de vino tinto, cuyas capacidades son 154 y 210 litros de vino respectivamente. Si se quieren que las garrafas para envasar el vino tengan igual capacidad y utilizar el menor número posible de ellas ¿Cuál debe ser la capacidad de las garrafas para desocupar completamente los toneles?

8. En una caja hay el doble de monedas que en otra. Si se extraen 7 monedas de la primera y se depositan en la segunda caja, en ambas queda el mismo número de monedas ¿Cuántas monedas tenía al principio cada caja

9. Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje corregido se calcula de la siguiente manera: “Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala”. ¿Cuál es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo 15 malas y 9 omitidas?

10. Con pequeños cuadrados congruentes dispuestos como se muestra en la figura siguiente, se construye otro cuadrado.

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17 11. Se tienen tres bolsas cerradas que contienen dos frutas cada una. En una hay dos manzanas, en otra hay dos naranjas y en la tercera hay una naranja y una manzana. Las bolsas están marcadas como se indica, pero se sabe que los rótulos están equivocados.

¿Es posible saber el contenido de las tres bolsas, abriendo sólo una y extrayendo una fruta sin mirar la otra? Justifica tu respuesta.

12. El cajero de una compañía se da cuenta, al hacer el arqueo, que falta del total del dinero recaudado ¿Qué parte de lo que queda restituiría lo perdido?

13. Un pueblo decide pavimentar una calle principal. Con los aportes de los habitantes se pudo pagar la mitad de la obra. El Intendente pide ayuda a la nación y a la provincia. El aporte provincial será el triple del nacional, y la mitad del hecho por los vecinos pero aun así faltarán $ 1.650.000 ¿Cuánto cuesta la obra? 14. Un hombre reparte un campo entre sus hijos. Al primero le entrega un cuarto del terreno, al segundo le

entrega la tercera parte del terreno y al tercero 20 hectáreas. ¿Cuántas hectáreas tiene el terreno?

15. En la preparación de una ensalada de frutas se ocupa kg de uva a $ 300 el kilogramo, kg de frutilla a $ 450 el kilogramo, kg de manzanas a $ 200 el kilogramo, medio kilo de plátanos a $280 el kilogramo y kg de peras a $ 180 el kilogramo. ¿Cuál es el precio promedio de la mezcla? ¿Cuál es el costo de una porción de 220 g?

16. A Claudia le inyectaron un antibiótico que mata, cada día, de las bacterias que están en su cuerpo, es decir, el segundo día le quedan de las bacterias que tenía inicialmente. Construye una tabla que indique el día y la fracción de bacterias que muere por día. ¿Qué fracción de ellas muere al tercer, al cuarto y al octavo día? ¿Es posible que el antibiótico logre en un determinado número de días matar todas las bacterias? Fundamenta tu respuesta.

17. Un biólogo toma una muestra de cierta colonia de bacterias para analizarlas. Después de una ardua investigación descubre que estas se duplican cada una hora. Si la muestra estaba conformada por bacterias al medido día, ¿Cuántas bacterias habrá a las 3 pm y a las 6 pm? ¿Cuántas bacterias habrá a las 12 pm del día siguiente?

18. El átomo de hidrógeno es el más ligero ya que tiene una masa de g ¿Cuántos de estos átomos hay en 1 kg de hidrógeno?

19. La magnitud de la Fuerza con la que se atraen dos objetos físicos cualesquiera, está dada por la fórmula , donde es la fuerza de atracción entre los cuerpos, y son las masas de los cuerpos en kilógramos, es la distancia en metros entre los centros de las masas y es una constante. Se ha determinado que la masa de la tierra es kg, la masa del Sol es kg y la

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18 distancia que los separa es m. Si , calcula la magnitud de la Fuerza con la que se atraen la tierra y el sol.

20. En el rectángulo ACEG, AB = 9 cm, BC = 21 cm, CD = 11 cm, DE = 9 cm, EF = 11 cm y GH = 7 cm. ¿Cuánto mide el área sombreada?

21. Las farolas de una ciudad tienen la forma de la imagen. Los cristales de la parte superior tienen 26,7 cm de arista superior, 30,7 cm de arista inferior y 15,4 cm de arista lateral. Los cristales de la parte inferior tienen 30,7 cm de arista superior, 21 cm de arista inferior y 37,2 cm de arista lateral. ¿Qué cantidad de cristal tiene cada farola?

22. En la imagen se muestra una pista de carrera para automóviles.

a) ¿Cuántos metros se necesitan para delimitar con una banda roja los bordes de la pista? b) ¿Cuánta superficie ocupa el pasto que está al centro de la pista?

c) ¿Cuánta superficie tiene la pista?

23. Un perro está atado a una esquina de una caseta cuadrada de 4,2 cm de lado con una cuerda de 7,7 m de longitud. Calcular el área de la región en la que puede moverse.

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19 25. Una lata de conservas cilíndrica tiene 8,3 cm de altura y 6,5 cm de radio de la base. ¿Cuál es su capacidad? ¿Qué cantidad de material se necesita para su construcción? ¿Qué cantidad de papel se necesita para la etiqueta?

26. El cubo de arista 1,2 m ha sido perforado por un agujero hecho a partir de un cuadrado de lado 0,12 m. Calcula el volumen del cubo con el agujero.

27. Alex tiene un acuario con forma de prisma de base rectangular que contiene agua hasta una profundidad de 50 cm. Sus dimensiones

basales son 60 cm de largo y 40 cm de ancho. a) ¿Cuántos litros de agua contiene el acuario? b) Alex notó que cuando hundió una piedra en

el acuario el nivel del agua se elevó 4 cm ¿Cuál es el volumen de la piedra?

28. Se echan 7 cm3 de agua en un recipiente cilíndrico de 1,3 cm de radio. ¿Qué altura alcanzará el agua? 29. Una piscina tiene forma de prisma recto cuya base es un trapecio rectángulo, como se muestra en el

dibujo. Si su rango de profundidad va de 0,8 m a 2,2 m ¿Cuántos litros de agua, como máximo, puede contener?

30. Con cilíndricos de 47 cm de altura y 16 cm de radio se llena de agua una piscina con forma de paralelepípedo rectangular de 3 m de largo, 2 m de ancho y 1,5 m de alto. ¿Cuántos cilindros es necesario vaciar en la piscina para llenarla?

31. ¿Cuántas copas se pueden llenar con 6 litros de refresco, si el recipiente cónico de cada copa tiene una altura interior de 6,5 cm y un radio interior de 3,6 cm?

32. Se introduce una bola de plomo, de 1 cm de radio, en un recipiente cilíndrico de 3,1 cm de altura y 1,5 cm de radio. Calcula el volumen de agua necesario para llenar el recipiente.

33. Se desea construir un depósito como el de la figura de 10 m de largo, 8 m de ancho y 4 m de alto, con un grosor de las paredes de 25 cm, y estas se van a hacer de mortero. ¿Qué volumen de mortero se necesita para construirlo? ¿Cuál es la máxima capacidad en litros que puede contener el depósito?

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20 34. Durante una tormenta se registraron unas precipitaciones de 80 litros por metro cuadrado. ¿Qué altura

alcanzaría el agua en un recipiente cúbico de 15 cm de arista? Soluciones:

1. De la cesta con 12 huevos. 2. 3465 libros.

3. Se pueden hacer como máximo 48 pack de útiles escolares, donde cada uno contiene 9 cuadernos, 6 gomas y 7 lápices.

4. Cada pieza es de 12 pulgadas.

5. La baldosa cuadrada tiene 42 cm de ancho y se necesitan 1540 baldosas. 6. 6 minutos.

7. Las garrafas deben ser de 14 litros cada una. 8. Una caja tenía 14 monedas y la otra 28. 9. 10 puntos.

10. 8056 cuadrados

11. Si las bolsas están mal etiquetadas se tiene lo siguiente:

Posible contenido de la bolsa

Dos naranjas o una manzanas y una naranja Dos manzanas o una manzana y una naranja Dos manzanas o dos naranjas.

Si se debe abrir una bolsa esta es la marcada con MN, pues contiene dos frutas del mismo tipo, luego al extraer una fruta:

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21 bolsa NN dos manzanas

 Si es manzana la única posibilidad para la bolsa NN es tener una manzana y una naranja y en la bolsa MM dos naranjas.

Por lo tanto, es posible saber el contenido de cada bolsa solo si extraemos una fruta de la bolsa MN. 12.

13. $9.900.000 14. 48 hectáreas.

15. La mezcla cuesta $685 pesos y 220 g cuestan $67.

16. Al tercer día muere ( ) de bacterias, al cuarto día ( ) y al octavo día ( ) . Sin embargo, no es posible matar todas las bacterias, pues por poco que quede, cada día mata , de las bacterias. 17. A las 3 pm habrá bacterias, a las 6 pm habrá bacterias y a las 12 pm del día siguiente

habrá bacterias. 18. átomos 19. ̅ N 20. 310 cm2 21. 5566,6 cm2 22. a) 409,87 m b) 1144,63 m2 c) 1024,67 m2 23. 158,94 cm2 24. 2 cm

25. La lata cilíndrica tiene una capacidad de 101,68 cm3 y para construirla se necesitan 604,44 cm2 de material y 338,98 cm2 de papel.

26. 1,7 m2

27. a) 120 litros b) 9.600 cm3

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22 29. 1.530.000 litros

30. 238 cilindros 31. 68 copas 32. 17,72 cm3

33. Se necesitan 3200 m3 de mortero y la piscina tiene una capacidad de 2.798.437,5 litros

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Aprendizaje 1.2 Analiza información entregada en tablas y gráficos, comunicando

sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores.

Criterios de evaluación:

1.2.1 Recoge información en diversos tipos de gráficos realizando cálculos que permitan dar respuesta a una situación.

1.2.2 Recoge información de tablas realizando cálculos que permitan dar respuesta a una situación.

Para resolver un problema, recuerda:

a) Leer detenidamente el enunciado e identificar: datos, incógnitas y relaciones. b) Trazar una estrategia de resolución. Establecer hipótesis.

c) Resolver el problema.

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24 Ejercicio resuelto 1:

En una encuesta hecha a la población del gran Santiago se registró las horas en promedio diarias en usos de tecnologías de la información y medios de comunicación de masas como actividad principal por sexo. (Fuente: INE, Instituto Nacional de Estadísticas de Chile)

a. ¿Cuántas personas fueron entrevistadas?

b. ¿Cuántos minutos más dedican los hombres que las mujeres en Navegar por Internet? c. ¿Cuál es el promedio de horas que dedican los santiaguinos en ver televisión?

d. ¿Qué fracción del día ocupan las mujeres en Leer? 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Leer Escuchar música o radio

Ver TV Navegar por Internet Pr o m e d io d e h o ras d iar ias Actividades principales Hombres Mujeres

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25 Solución:

a) Identificar datos

- El gráfico muestra las horas en promedio diarias en usos de tecnologías de la información y medios de comunicación de masas como actividad principal por sexo.

b) Establecer estrategia de resolución

La información del gráfico se organiza en una tabla y con esos datos contestamos las preguntas.

c) Resolver problema

Primero construimos la tabla con los datos del gráfico, como se muestra a continuación

Ahora contestamos las preguntas.

a. ¿Cuántas personas fueron entrevistadas? Esta información no la entrega el gráfico.

b. ¿Cuántos minutos más dedican los hombres que las mujeres en Navegar por Internet? ⏟ ⏟ ⏟ Leer Escuchar música o radio

Ver TV Navegar por Internet Hombres 1,5 1,6 2,8 2,3 Mujeres 1,5 1,5 2,6 2 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 Pr o m e d io d e h o ras d iar ias Actividades principales Hombres Mujeres

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26 Como el tiempo está en horas, es necesario transformar la diferencia a minutos. Para ello debemos recordar que una hora equivale a 60 minutos, por lo tanto, hay que multiplicar el tiempo en horas por 60 para obtener los minutos, como se muestra a continuación

c. ¿Cuál es el promedio de horas que dedican los santiaguinos en ver televisión?

La frase “los santiaguinos” no hace distinción de sexo, luego es necesario calcular el promedio de horas diarias que utilizan hombres y mujeres en ver televisión.

d. ¿Qué fracción del día ocupan las mujeres en Leer?

Para determinar la fracción del día debemos comparar mediante una división las horas que en promedio una mujer dedica en un día a leer y el total de horas que tiene un día.

Para transformar el decimal a fracción utilizamos la calculadora científica. Según la calculadora se utiliza distintas teclas, a continuación vamos a mostrar dos calculadoras diferentes.

Caso 1:

Caso 2:

d) Comunicar resultados

a. El gráfico no entrega información respecto a la cantidad de encuestados.

b. Los hombres dedican, en promedio, 18 minutos más que las mujeres en navegar por internet. c. Los santiaguinos dedican, en promedio, 2,7 horas diarias en ver televisión

d. Las mujeres ocupan parte del día en leer.

Se digita 0,0625, se apreta la tecla 𝑎 𝑏 𝑐 y aparece la fracción Se digita 0,0625, se apreta la tecla 𝑆 ⟺ 𝐷 y aparece la fracción

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27 Ejercicio resuelto 2:

En un estudio de la Seguridad e Higiene en el Trabajo se contrastó la incidencia del tabaquismo en la gravedad de los accidentes laborales. Considerando una gradación de Muy fumador hasta No fumador como media del tabaquismo, y una gradación de Muy grave a Leve en el tipo de accidente. Se extrajo una muestra de individuos que habían sufrido un accidente laboral. Los resultados se presentan en la siguiente tabla de doble entrada:

Muy Grave Grave Lesiones medias Leve

Muy fumador 20 10 10 30

Fumador 30 40 20 50

Fumador Esporádico 10 60 80 60

No fumador 5 20 30 50

a. ¿Cuántos individuos han sufrido un accidente laboral? b. ¿Qué fracción de los individuos son no fumadores? c. ¿Qué fracción de los fumadores tienen accidentes graves?

d. ¿Qué fracción de los individuos que sufren accidentes graves son muy fumadores? e. ¿Qué fracción de los individuos muy fumadores sufre accidentes graves?

Solución:

a) Identificar datos

La información de la tabla contrasta la incidencia del tabaquismo en la gravedad de los accidentes laborales.

b) Establecer estrategia de resolución

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28 c) Resolver problema

Primero calculamos los totales por fila y columna, como se muestra a continuación:

Muy Grave Grave Lesiones

medias Leve Total

Muy fumador 20 10 10 30 70 Fumador 30 40 20 50 140 Fumador Esporádico 10 60 80 60 210 No fumador 5 20 30 50 105 Total 65 130 140 190 525

Ahora contestamos las preguntas

a. ¿Cuántos individuos han sufrido un accidente laboral? 525 individuos

b. ¿Qué fracción de los individuos son no fumadores?

⏞ ⏟

Para simplificar una fracción con calculadora se utilizan distintos procedimientos según el modelo de la calculadora. Por ejemplo, utilizando la calculadora Casio fx-82xx se realiza lo siguiente:

c. ¿Qué fracción de los fumadores tiene accidentes graves? 105 𝑎 𝑏 𝑐 525 1/5

(29)

29 ⏞ ⏟

d. ¿Qué fracción de los individuos que sufren accidentes graves son muy fumadores?

⏞ ⏟

e. ¿Qué fracción de los individuos muy fumadores sufre accidentes graves?

⏞ ⏟ d) Comunicar resultados

En total hay 525 individuos que han sufrido accidentes laborales de los cuales un quinto no fuma. De los fumadores, dos séptimos han tenido accidentes graves mientras que de los muy fumadores sólo un séptimo. Respecto de los individuos que sufren accidentes graves, un treceavo son muy fumadores.

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30 Ejercicios propuestos: Genéricos

1. La Aerolínea Chile registra sus vuelos, desde el aeropuerto Arturo Merino Benítez ubicado en la Región Metropolitana, durante un día lunes de temporada alta. A continuación hay un gráfico que muestra la capacidad de cada avión (cantidad de personas) versus la cantidad de vuelos que hubo.

En base a los datos entregados en el gráfico: a) ¿Cuántos vuelos se realizaron el día lunes? b) ¿Cuántos pasajeros volaron a Punta Arenas? c) ¿Cuántos pasajeros volaron a Arica?

d) ¿Cuántos pasajeros volaron el día lunes? e) ¿Cuáles son las dos ciudades más visitadas?

2. La siguiente gráfica representa una excursión en autobús de un grupo de estudiantes, reflejando el tiempo (en horas) y la distancia recorrida (en kilómetros).

a) ¿A cuántos kilómetros estaba el lugar que visitaron?

b) ¿Cuál es la distancia total recorrida por el autobús durante la excursión? c) ¿Durante cuánto tiempo el autobús no se desplazó?

Arica Antofagasta Temuco Punta Arenas La Serena

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31 d) Después de cuatro horas de iniciada la excursión ¿Cuántos km recorrió el autobús hasta la próxima

detención?

e) Luego de transcurrido siete horas de iniciada la excursión ¿A qué distancia se encuentra el autobús de su punto de partida?

3. Se sabe que la concentración en sangre de un cierto tipo de anestesia viene dada por la gráfica siguiente:

a) ¿Cuál es la dosis inicial?

b) ¿Qué concentración hay, aproximadamente, al cabo de los 10 minutos?

c) ¿Cuánto tiempo, aproximadamente, ha transcurrido cuando hay 30 mg menos de la dosis inicial? d) ¿Cuánto tiempo, aproximadamente, ha transcurrido cuando quedan sólo 10 mg de concentración

en sangre de anestesia?

e) ¿Cuánto tiempo dura, aproximadamente, la concentración en sangre de la anestesia?

4. Dos atletas participan en una carrera de 1000 metros. El gráfico describe en forma aproximada el comportamiento de los atletas en dicha prueba.

a) ¿Cuál atleta empezó la carrera más rápido? Justifica tu respuesta

b) ¿En qué momento un atleta alcanzó al otro? ¿A qué distancia? ¿Quién fue el atleta alcanzado? c) ¿Quién ganó la carrera?

(32)

32 5. En la asignatura Física I, están realizando el siguiente experimento en grupos de 5 estudiantes. Cada grupo dispone de una regla, monedas de $10 y un resorte del que cuelga un vaso plástico,. El experimento consiste en determinar cómo se va alargando el resorte al ir agregando monedas de $10 en el vaso. Para ello, los estudiantes realizan el experimento con una cantidad suficiente de monedas como para poder establecer alguna conclusión. Van registrando sus resultados en una tabla y luego los grafican.

El experimento concluye con la presentación de los gráficos obtenidos por tres grupos del curso. Los gráficos fueron los siguientes:

¿Son iguales los resortes de estos tres grupos o son distintos? Justifica tu respuesta (Sugerencia: Construye una tabla de valores correspondientes a cada gráfico del experimento realizado por estos estudiantes y compáralas)

6. Se realiza un estudio muestral acerca de si las personas están o no de acuerdo con la medida de desconectar de las máquinas a quienes permanecen en estado vegetal. Según segmento socioeconómico, los resultados se muestran en la siguiente tabla, en número de casos:

Segmento socioeconómico Total

Alto Medio Bajo

¿Está de acuerdo?

Si 51 158

No 48

Total 73 109 91

Completa la tabla y luego el siguiente párrafo:

De un total de . . . personas encuestadas, el . . . . . . % se manifestó de acuerdo con la medida de desconectar de las máquinas que mantienen con vida a los pacientes en estado vegetal. De estos, el . . . % se ubica en un segmento socioeconómico medio, mientras que el . . . % en el segmento alto. Es destacable que de los encuestados de este último segmento, el . . . % esté de acuerdo con dicha medida, mientras que en el segmento bajo, solo el . . . .% lo está.

(33)

33 Soluciones:

1. a) 46 vuelos b) 1.320 pasajeros c) 1.250 pasajeros d) 6.690 pasajeros e) Temuco y Punta Arenas

2. a) 140 km b) 280 km c) 5 horas

d) 60 km e) 80 km

3. a) 100 mg b) 45 mg c) 2,5 minutos

d) 40 minutos e) 70 minutos

4. a) El atleta A, pues en el mismo tiempo recorrió mayor distancia que el atleta B. b) A los 120 segundos el atleta B alcanza al atleta A.

c) El atleta B, porque recorrió los 1000 metros en 160 segundos, mientras que A lo hizo en 180.

5. Al comparar los datos mediante una tabla, se observa que con una misma cantidad de monedas se obtiene el mismo alargamiento, por lo tanto, los resortes son iguales, pero las gráficas difieren en forma, porque están diseñadas a distinta escala.

6. Segmento socioeconómico Total

Alto Medio Bajo

¿Está de acuerdo?

Si 51 61 46 158

No 22 48 45 115

Total 73 109 91 273

De un total de 273 personas encuestadas, el 57,9 % se manifestó de acuerdo con la medida de desconectar de las máquinas que mantienen con vida a los pacientes en estado vegetal. De estos, el 38,6 % se ubica en un segmento socioeconómico medio, mientras que el 32,3 % en el segmento alto. Es destacable que de los encuestados de este último segmento, el 69,9 % esté de acuerdo con dicha medida, mientras que en el segmento bajo, solo el 50,5 % lo está.

(34)

34

Ejercicios propuestos para la unidad

Mecánica

1. Claudio llenó el estanque de su vehículo para ir a visitar a su amiga Javiera que vive en una parcela a las afueras de Santiago. Después de recorrer los del trayecto, se da cuenta que ha consumido los de la gasolina que cabe en el estanque. Si al final del recorrido le sobran 6 litros, ¿cuál es la capacidad del estanque del auto de Claudio?

2. Juan desea aflojar una tuerca de una medida que desconoce. Para probar utiliza una llave de pulgada que le queda chica, luego decide utilizar una llave de pulgada que le queda grande, entonces, se da cuenta que la medida justa es la que queda en la mitad de las dos llaves anteriores. ¿De cuántas pulgadas es la llave que debe utilizar Juan?

3. Un tecle de 5,20 m de altura que sostiene una cadena de remolque de 8,10 m de largo unida en sus extremos, se encuentra sobre un foso de 1,80 m de profundidad. Se quiere rescatar un motor que tiene una altura de 70 cm ubicado en el fondo del foso. Si para ello se necesita unir una cadena a la que tiene el tecle que debe quedar doble para que haga el mismo juego que la original ¿Cuál será el largo de la cadena para poder subir el motor a la superficie?

4. Según el INE, el año 2011 las regiones que concentraron mayor cantidad de vehículos fueron la región del Biobío y la Metropolitana con un total de 1.904.208 vehículos. De entre ellos, 1.870.402 eran motorizados y 390.530 de la región del Biobío. Además 22.727 vehículos no motorizados circularon por la región metropolitana.

a. Con la información anterior, completa la siguiente tabla. Vehículos

motorizados no motorizados Totales VIII del Bío Bío

XIII Metropolitana Totales

(35)

35 Soluciones:

1. La capacidad del estanque es 50 litros. 2. Debe utilizar una llave de 5/8 de pulgada. 3. 4,27 metros.

4. a)

Vehículos

motorizados no motorizados Totales

VIII del Bío Bío 379.451 11.079 390.530

XIII Metropolitana 1.490.951 22.727 1.513.678

Totales 1.870.402 33.806 1.904.208

b) Circularon 379.451 autos. Construcción

1. Para la reparación de una reja, una barra de fierro se corta en 5 trozos de 25 cm; 62,5 cm; m; 75,5 cm y 1,20 m respectivamente. ¿Qué longitud tenía inicialmente la barra, si en cada corte se pierde aproximadamente cm?

2. Se quiere cerrar un sitio cuadrado de área 120 m2 con tres corridas de alambre púa. a. ¿Cuánto alambre se debe comprar para cercar el terreno?

b. Si por un rollo de 50 m se pagan $16.800. ¿Cuánto se debe pagar por el alambre que se necesita? (sólo se vende por royos).

3. Una cancha de acopio de material para hacer estabilizado, tiene un largo de 80 m. y un ancho de 55 m. Si se aumenta el largo en la décima parte ¿En cuántos metros debe aumentarse el ancho para que la superficie de la cancha aumente al doble?

Soluciones:

1. 335 cm aproximadamente. 2. a) 132 metros aproximadamente. b) $50.400 3. Se debe aumentar en 45 cm.

(36)

36 Procesos Industriales

1. En la estación TOBALABA del metro, punto de convergencia de las líneas 1 y 4, debido a la alta congestión de público, se determinó ampliar la platabanda de espera cuyas dimensiones son, 70 m de largo por 4,60 m de ancho. Su largo se aumentará en 15 m y para mayor seguridad, la franja amarilla que indica la menor distancia que debe separar el andén del pasajero que espera el tren, de 60 cm quedará ahora ubicada a 70 cm. ¿En cuántos m2 se aumentará el área de la superficie que puede ocupar el pasajero sin riesgos? 2. La política de control de calidad de la fábrica de envases de vidrio “El CRISTAL S.A.”, no les permite fabricar

nuevos modelos, si estos no superan al menos 120 pruebas cuya tolerancia máxima de falla es 0,012. Completa la tabla para hallar el indicador de tolerancia para cada tipo de envase.

Modelos Pruebas No aprobados Tolerancia falla

Glass A 80 1

Glass B 180 2

Glass C 300 3

¿Qué tipo de modelo crees que será aceptado? Fundamenta.

3. Una empresa importadora de rodamientos, tiene convenio con proveedores de tres países pertenecientes al MERCOSUR. La mitad se los compra a un país A, mientras que a B y C se les compra un cuarto a cada uno. El departamento de control de calidad de la empresa determinó que de un total de 3.000 unidades que llegaron en un embarque, la fracción de rodamientos defectuosos que llegaron de A , B y C es respectivamente. ¿Cuál es la cantidad de unidades defectuosas provenientes de cada uno de los proveedores

Soluciones:

1. Aumenta en 51,5 m2.

2. Podrían aceptar Glass B o Glass C, porque tienen tolerancia de falla menor a 0,012. 3. La cantidad de unidades defectuosas son 75, 75 y 90 respectivamente.

(37)

37

Unidad 2: Proporcionalidad y porcentajes

Aprendizaje 2.1 Resuelve problemas que involucren razones, proporciones y

porcentajes estructurando su estrategia de resolución y comunicando sus

resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores.

Criterios de evaluación:

2.1.1 Determina la solución de problemas que involucren la comparación de cantidades por medio de razones, comunicando sus resultados de manera acorde a la situación.

2.1.2 Establece el tipo de proporcionalidad entre variables dadas, para dar respuesta a un problema, justificando su decisión.

2.1.3 Aplica estrategias de proporcionalidad para dar respuesta a un problema contextualizado, explicando su estrategia.

2.1.4 Realiza cálculo de porcentajes mediante estrategias de proporcionalidad, numérica decimal o fraccionaria para resolver situaciones problemáticas, comunicando sus resultados de acuerdo a la situación.

Para resolver un problema, recuerda:

a) Leer detenidamente el enunciado e identificar: datos, incógnitas y relaciones. b) Trazar una estrategia de resolución. Establecer hipótesis.

c) Resolver el problema.

(38)

38 Ejercicio resuelto 1

Una persona viaja de Santiago a la Serena en un automóvil a una rapidez constante de 110 km/h durante 4 horas y media sin detenerse. Si el rendimiento de este vehículo en carretera es 19 km/l ¿Cuántos litros de combustible ha consumido en el viaje?

Solución:

a) Identificar datos

- rapidez del vehículo: 110 km/h - Tiempo de viaje: 4,5 horas

- Rendimiento del vehículo : 19 km/l b) Establecer estrategia de resolución

Interpretar las razones en juego y aplicar sus propiedades.

c) Resolver problema

La rapidez 110 km/h significa que en una hora el vehículo ha recorrido 110 kilómetros, por lo tanto, la distancia recorrida en 4,5 horas se calcula

El rendimiento 19 km/l significa que con un litro de combustible se puede recorrer una distancia de 19 km, luego los litros consumidos en 605 kilómetros se calcula

d) Comunicar resultados

(39)

39 Ejercicio resuelto 2

Una empresa constructora estima que se necesitan 8 obreros para construir una casa en un período de 35 días. Sin embargo, el cliente solicita que no tarden más de 21 días. ¿Cuántos obreros, como mínimo, se requieren? Solución:

a) Identificar datos

Cantidad de obreros Tiempo en días

8 35

¿? 21

b) Establecer estrategia de resolución

Reconocer el tipo de proporcionalidad entre las dos variables y aplicar sus propiedades. c) Resolver problema

Si el tiempo de construcción de la casa disminuye, entonces será necesario más obreros para realizarla, por lo tanto, la cantidad de obreros es inversamente proporcionalida a los días. Luego, para calcular la constante de proporcionalidad se multiplican los valores correspondientes a cada variable.

Cantidad de obreros Tiempo en días Constante

8 35

21

Sabemos que la cantidad de obreros debe ser un número natural, es decir, 13 o 14. Entonces, para determinar cuál es la cantidad adecuada se calcula el tiempo en días para cada caso.

Cantidad de obreros Tiempo en días

8 35

13

14

d) Comunicar resultados

(40)

40 Ejercicio resuelto 3

Diez mecánicos reparan ocho vehículos en doce días. ¿Cuántos mecánicos repararán 9 vehículos en 15 días trabajando la misma cantidad de horas diarias?

Solución:

a) Identificar datos

Cantidad de mecánicos Cantidad de vehículos Tiempo en días

10 8 12

¿? 9 15

b) Establecer estrategia de resolución

Reconocer el tipo de proporcionalidad entre dos variables considerando la tercera constante y aplicar las propiedades según tipo de proporcionslidad.

c) Resolver problema

Considerando el tiempo constante y que la cantidad de mecánicos es directamente proporcional a la cantidad de vehículos, podemos calcular la cantidad de mecánicos necesarios para reparar un vehículo en 12 días.

Cantidad de mecánicos Cantidad de vehículos Tiempo en días

10 8 12

9 12

Del mismo modo, considerando que la cantidad de vehículos constante y el tiempo es inversamente proporcional a la cantidad de mecánicos, podemos calcular la cantidad de mecánicos necesarios para reparar 9 vehículos en 15 días.

Cantidad de mecánicos Cantidad de vehículos Tiempo en días

11,25 9 12

9 15

d) Comunicar resultados

(41)

41 Ejercicio resuelto 4

Muchos de los materiales que se utilizan en la construcción de máquinas o estructuras, están sometidos a esfuerzos variables que se repiten con frecuencia. En el gráfico se muestra el ensayo de fatiga de un material.

Según la información entregada en el gráfico ¿Cuál es el esfuerzo al que ha sido sometido el material en el ciclo 931?

Solución:

a) Identificar datos

Número de ciclos Esfuerzo MPa

4 500 8 250 12 ]150,180[ 16 ]100,130[ 20 100 24 ]80,100[

b) Establecer estrategia de resolución

Si dos variables son inversamente proporcionales, su representación gráfica corresponde a una hipérbola, esto es, una curva que se acerca progresivamente a los ejes pero nunca los toca. Para verificar que la gráfica representa una relación inversamente proporcional, extraemos algunos datos, los organizamos en una tabla y multiplicamos los valores correspondientes a cada variable.

0 100 200 300 400 500 600 4 8 12 16 20 24 Esf u e rzo M Pa Número de ciclos

Ensayo de fatiga

(42)

42 Número de ciclos Esfuerzo MPa Constante

4 500 8 250 12 ]150,180[ 16 ]100,130[ 20 100 24 ]100,130[

c) Vemos que el producto de los valores correspondientes de cada variable es constante, por lo tanto el esfuerzo es inversamente proporcional al número de ciclos.

d) Resolver problema

Sabemos que la constante de proporcionalidad es 2000. Luego, si es el esfuerzo aplicado en el ciclo número 93 se tiene que:

Número de ciclos Esfuerzo MPa Constante

93

e) Comunicar resultados

(43)

43 Ejercicio resuelto 5

En una encuesta, el 25% de las personas consultadas contestó que la mejor zona para tener residencia es en las periferias de Santiago mientras que el 55% dijo que era entorno al centro de la capital. Si 180 personas contestaron otros sectores de Santiago ¿Cuántas personas contestaron que la mejor zona para tener residencia en Santiago es entorno al centro?

Solución:

a) Identificar datos

- 25% de los encuestados prefieren la perisferia de Santiago. - 55% de los encuestados prefieren entorno al centro de Santigo. - 180 personas contestaron otras zonas de Santiago.

- Lo que se solicita es la cantidad de personas que contestó por tener residencia entorno al centro de Santiago.

b) Establecer estrategia de resolución

Según los datos identificados, la estrategia será mediante cálculo de porcentajes y el uso de proporcionalidad directa.

c) Resolver problema

El 25% y el 55% de los encuestados corresponden a un 80% del total. Esto implica que el 20% restante se relaciona con las 180 personas que prefieren otras zonas de Santiago. Por ende se establece la siguiente tabla de proporcionalidad, donde “ ” es la cantidad de encuestados que prefiere entorno al centro de Santiago.

Encuestados %

180 20

x 55

Como el porcentaje es una proporción directa, se plantea la siguiente ecuación:

d) Comunicar resultados

(44)

44 Ejercicio resuelto 6

Se debe fabricar concreto con cemento, arena y grava en la razón y de agua para 8 zapatas cuyo volumen total es La tabla 1 muestra el coeficiente de aporte de material para concreto y mortero. Si en el proceso de construcción se pierde el 10% de material ¿Qué cantidad de cada material se necesita?

Tabla 1

Coeficiente de aporte de material para concreto y mortero

(cantidad real de material sin vacíos que interviene en la mezcla) Cemento 50% Arena 60% Grava 60% Piedra 60% Agua 100% Solución: a) Identificar datos

- Los volúmenes aparentes de cemento, arena y grava están en la razón 1:2:2,5. - 15% de la mezcla es agua.

- es el volumen de concreto a utilizar.

- 10% de material se pierde en el proceso de construcción. b) Establecer estrategia de resolución

Calcular el volumen real de la mezcla por según la razón entre los volúmenes aparentes de los materiales que debe contener. Luego, con este volumen se calculan proporcionalmente los volúmenes aparentes necesarios para fabricar un concreto que cubra un volumen real de . Finalmente se calcula la cantidad real de cada material considerando que el 10% de ellos se pierde en el proceso de construcción.

c) Resolver problema

Si cemento, arena y grava están en la razón 1:2:2,5 significa que por de cemento se necesitan de arena y de grava. Además, la cantidad de material para el concreto está determinada por los porcentajes especificados en la tabla 1. Entonces la cantidad de concreto que se fabrica por se calcula:

- Si es la cantidad de cemento en el concreto, podemos organizar los datos en una tabla.

Los materiales al estar en forma granulada presentan vacíos entre sus partículas, por lo tanto en ese estado tienen volúmenes aparentes, pero al mezclarse entre

si, los vacíos de los materiales más gruesos son ocupados por las partículas de los más pequeños y los de estos por el agua, es decir, los vacíos desaparecen, por lo tanto presentan volúmenes reales.

(45)

45

Volumen cemento porcentaje

100%

50%

El porcentaje es una relación de proporcionalidad directa, entonces la cantidad de cemento se obtiene:

Del mismo modo, se calculan la cantidad de arena y grava.

Volumen arena porcentaje

100%

60%

Volumen grava porcentaje

100% 60%

Además un 15% de la mezcla es agua, luego si es la cantidad de agua de la mezcla, se tiene:

Volumen agua porcentaje

100%

15%

Por lo tanto, el volumen de concreto que se fabrica por se calcula sumando los volúmenes reales de cada material. ⏟ ⏟ ⏟ ⏟

Si por se debe fabricar un concreto con volumen real de , debemos calcular proporcionalmente el volumen aparente de cada material para que la mezcla tenga .

(46)

46 Volumen aparente cemento Volumen real concreto Volumen aparente arena Volumen real concreto Volumen aparente grava Volumen real concreto Volumen aparente agua Volumen real concreto

Se sabe que 10% de material se pierde en el proceso de construcción, entonces cada una de las cantidades anteriores corresponde a lo no desperdiciado, es decir, el 90% del volumen real del material. Por lo tanto, el volumen real de cemento considerando el desperdicio se calcula:

Volumen porcentaje

90%

100%

Del mismo modo se obtienen los volúmenes para la arena, grava y agua. d) Comunicar resultados

Por lo tanto, considerando el material desperdiciado, se necesita de cemento, de arena, de grava y litros de agua para utilizar de concreto.

(47)

47 e) Verificación

Vamos verificar que el volumen aparente del cemento, arena y grava esté en al razón . ⏟ ⏟ ⏟

Debemos recordar que los valores calculados han sido aproximados a la milésima, por lo tanto, al verificar la razón habrá un margen de error. En este caso el error es .

También es necesario comprobar el 15% de agua en la mezcla. Para ello sumamos los volúmenes de cemento, arena y grava y calculamos el 15% de ese total.

Finalmente, hay que probar que el volumen real de mezcla es

Material Volumen aparente con desperdicio

Volumen aparente sin desperdicio Volumen real Cemento Arena Grava Agua Total

(48)

48 Ejercicios propuestos: Genéricos.

1. Interpreta cada razón según su contexto.

a) b)

2. Las siguientes tablas proporcionan los valores aproximados de la energía de ciertos alimentos y el consumo de energía aproximado de algunas actividades, en kilojoules (kj). Calcula el tiempo que toma utilizar la energía de los siguientes alimentos:

a) Una hamburguesa, si corriera.

b) Una malteada de chocolate, si caminara.

c) Un vaso de leche descremada, si practicara ciclismo.

Valor energético Alimento kj Malteada de chocolate 2200 Huevo frito 460 Hamburguesa 1550 Pastel de fresa 1440

Vaso de leche descremada 350

Consumo de energía Actividad Kj/min Caminata 25 Ciclismo 35 Natación 50 Carrera 80

3. El consumo de una estufa a mecha es 0,286 Litros/hora. Si el estanque tiene una capacidad de 6,3 litros pero solo tiene las tres cuartas partes con parafina ¿Cuántas horas, aproximadamente, está encendida? 4. Las cantidades de un licor A de 12° GL, de un licor B de 30° GL, de un licor C de 28,5° GL y de un licor D de

35° GL están dadas en la razón de 2:3:4:7 en una preparación de 9 litros. ¿Cuántos litros de cada licor se necesitan?

(49)

49 5. En una empresa la razón entre hombres y mujeres es 7:2. Si hay 140 hombres más que mujeres ¿Cuántas

mujeres tiene la empresa?

6. Esteban, Jorge y Claudia compraron un número de rifa en $900. Jorge puso $300, Esteban $200 y Claudia el resto. Si obtuvieron un premio de $702.000 y se lo repartieron en la razón del dinero que aportó cada uno. ¿Cuánto dinero recibió Claudia?

7. Un granjero tiene cierta cantidad de animales entre vacas y chanchos. La razón entre las vacas y el total de animales es 4:13. Si hay 100 chanchos más que vacas ¿Cuántas vacas hay?

8. En cada una de las tablas que hay a continuación se presentan algunos datos correspondientes a distintas relaciones. Utilizando los valores dados en cada tabla, determina si podría, la relación en cuestión, ser de proporcionalidad directa, de proporcionalidad inversa o no proporcional. Justifica tu respuesta.

a) b) c) 3 16 12 8 24 2 4 3 9 4 16 9 21 6 14 3 7

9. Examina cada uno de los siguientes gráficos y luego, determina si describe una relación de proporcionalidad directa, de proporcionalidad inversa o de otro tipo. Justifica tu respuesta.

a) b) c)

(50)

50 10. Los siguientes gráficos muestran la relación entre el consumo de energía y el tiempo de funcionamiento de

dos máquinas industriales.

a) ¿Cuánto consume la Máquina 1 en una hora? ¿Y en 3 horas? ¿Y en 30 minutos? b) ¿Cuánto consume la Máquina 2 en una hora? ¿Y en 4 horas?

c) ¿La relación entre las variables para cada máquina es de proporcionalidad directa, inversa o no proporcional? Justifica tu respuesta.

11. Los siguientes gráficos muestran la relación entre el largo y el peso de dos alambres que los identificaremos como A y B. Utilizando la información que proveen estos gráficos, responde:

(51)

51 a) ¿Cuál de los dos tipos de alambre es el más pesado? Justifica

b) Para cada tipo de alambre, determina el peso de 2,4 m. c) Para cada tipo de alambre, determina el largo de 48 gr.

d) ¿A qué alambres corresponden los siguientes pares de valores? El peso de 3,8 m de alambre es 114 gr

El peso de 4,2 m de alambre es 168 gr El peso de 5,4 m de alambre es 108 gr

12. Una embotelladora de bebidas dispone de botellas con las siguientes capacidades: 0,25l, 0,5l, 0,75l, 1l, 1,25l, 1,5l, 2l, 2,5l y 3l. En la embotelladora necesitan embotellar 60 litros de bebida, y quieren repartirlos en botellas de un solo tipo.

a) Define las variables de la situación y construye una tabla de valores, considerando en ella todos los tipos de botella de que dispone la embotelladora.

b) Realiza un gráfico escribiendo en cada eje la variable que se está representando. c) Si se requiere que sean menos de 45 botellas, ¿qué capacidad deben tener las botellas?

13. Don Armando ha heredado una parcela de su abuela. Quiere construir un corral de forma rectangular para sus ovejas. Él dispone de material suficiente para construir 240 metros de cerco y quiere utilizarlo todo, sin que le falte ni sobre material.

a) Completa la siguiente tabla con las posibles dimensiones del corral.

Largo(m) 110 105 93 70 60

Ancho(m) 20 30 35 40

b) Realiza un gráfico escribiendo en cada eje la variable que se está representando. Determina si describe una relación de proporcionalidad directa, proporcionalidad inversa o no proporcional. Justifica tu respuesta.

(52)

52 14. Alberto quiere sembrar pasto y para ello ha escogido la variedad Chépica Alemana. La información que este

pasto trae para su siembra es que se necesita ¼ kg de semillas por cada 10 m2.

a) Completa la siguiente tabla de valores relativa a la relación entre las variables de la situación, escribiendo en la tabla dichas variables.

3 5

20 80

b) ¿La relación entre las variables es de proporcionalidad directa, inversa o no proporcional? Justifica tu respuesta.

15. En La Serena se ofrece una casa en arriendo. La casa tiene una capacidad para 8 personas y tiene un costo de $33.600 por un fin de semana. Un grupo de amigos quiere ir este fin de semana distribuyéndose equitativamente los costos.

a) Uno de los integrantes de este grupo quiere saber si dispone del dinero suficiente para ir. Para ello necesita saber cuánto debe pagar en cada uno de los casos posibles (de 1 a 8 personas). Haz una tabla que contenga esta información

b) ¿La relación entre las variables es de proporcionalidad directa, inversa o no proporcional? Justifica tu respuesta.

16. Andrea tiene un plan telefónico de $9.000 mensuales. En este plan, cada minuto que habla tiene un valor de $180, que se van restando de los $9.000. Haz una tabla, con cinco casos, que muestre la relación entre los minutos que Andrea pudiese hablar durante el mes y la cantidad de dinero disponible que quedaría en su teléfono. ¿La relación que existe entre las variables de la situación es directamente proporcional, inversamente proporcional o no proporcional? Justifica tu respuesta.

17. Resuelve los siguientes problemas aplicando las propiedades de la proporcionalidad directa o inversa, según corresponda.

a) El área de un cuadrado es directamente proporcional al cuadrado de la longitud de su diagonal. Si para un cuadrado cuya diagonal mide 6 cm, el área es 18 cm2, escribe la fórmula que relaciona el área y la longitud de la diagonal del cuadrado.

b) Sean , y tres variables tales que es directamente proporcional a e inversamente proporcional a . En una situación dada los valores de las variables son ¿Cuál sería el valor de si la situación cambia a ?

c) Ocho obreros etiquetan en 3 horas 50 tarros. ¿Cuántos obreros etiquetarán la misma cantidad de tarros en 4 horas?

d) Ocho obreros etiquetan en 3 horas 50 tarros. ¿Cuántos obreros como mínimo se necesitan para etiquetar al menos 40 tarros en el mismo tiempo?

e) Se emplean 8 máquinas para realizar un trabajo en 15 días. Si se dispone de tres máquinas menos, ¿Cuántos días se emplearían en hacer el mismo trabajo?

(53)

53 f) Veinte personas consumen aproximadamente 520 kg. de carne en 10 días. ¿Cuántos kg de carne

consumen 16 personas en 8 días en las mismas condiciones?

18. Completa la siguiente tabla con la representación fraccionaria y decimal de los porcentajes dados.

Tanto por ciento

Fracción irreductible

Decimal

12

25

75

33

19. Si la tasa de desempleo en el Gran Santiago fue de 5,2% en diciembre de 2012, lo que equivale a 156.900 personas desocupadas ¿Cuántas personas de Santiago tenían empleo en ese período?

20. Según la información de la noticia que se muestra a continuación ¿Cuántas Pymes más fueron beneficiadas por la Corfo el año 2012 respecto del 2009?

(54)

54 21. Según la información de la imagen ¿Cuántos buses nuevos tiene el transantiago este año?

22. El precio de un artículo con IVA incluido es $56.990 ¿Cuánto dinero se paga por concepto de IVA (19%)? 23. El precio de un perfume es $21.990. Se puede comprar al contado o en 8 cuotas de $3.126 cada una ¿Cuál

es, aproximadamente, el porcentaje de recargo sobre el precio contado al comprar el perfume en 8 cuotas?

24. Si se sabe que una boleta de honorarios retiene el 10% de impuestos ¿Por cuánto dinero se debe emitir una boleta para recibir líquido $480.000?

Soluciones:

1. a) Un vehículo, que viaja a rapidez constante, en una hora debe recorrer 50 km.

b) En 5 ml de jarabe hay 15 mg de fármaco.

2. a) 19,38 minutos b) 88 minutos c) 10 minutos 3. 16 horas y media, aprox.

4. 1,125 l de un licor A de 12° GL, 1,688 l de un licor B de 30° GL, 2,25 l de un licor C de 28,5° GL y 3,938 l de un licor D de 35° GL

5. 56 mujeres.

6. $ 312.000 recibe Claudia. 7. 80 vacas.

8. a) Las variables son inversamente proporcionales, pues al multiplicar los valores de con su correspondientes en siempre se obtiene 192.

b) La relación entre las variable no es proporcional, pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en .

c) Las variables son inversamente proporcionales, pues al dividir los valores de con su correspondientes en siempre se obtiene .

9. a) La relación entre las variable no es proporcional, pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en .

(55)

55 b) La relación entre las variable es de proporcional inversa, pues si multiplicamos los valores

los valores de con su correspondientes en , siempre se obtiene 20.

c) La relación entre las variable no es proporcional, pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en .

d) La relación entre las variable no es proporcional, pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en .

e) La relación entre las variable no es proporcional, pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en .

f) La relación entre las variable es de proporcional directa, pues al dividir los valores de con su correspondientes en siempre se obtiene 3.

10. a) En una hora consume 30 Kwh, en 3 horas 90 Kwh y en 30 minutos 15 Kwh. b) En una hora consume 30 Kwh y en 4 horas 60 Kwh.

c) En la máquina 1, el tiempo es directamente proporcional a la energía consumida, pues al dividir los valores de con su correspondientes en , siempre se obtiene

En la máquina 2, el tiempo y la energía consumida no se relacionan proporcionalmente, pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en

11. a) El alambre más pesado es A, pues cada metro pesa 40 g, mientras que en el alambre B cada metro pesa 30 g.

b) 96 g de alambre A y 72 g de alambre B tienen cada uno una longitud de 2,4 m. c) 1,2 m de alambre B y 1,6 m de alambre A pesan 48 g cada uno.

El peso de 3,8 m de alambre es 114 gr B El peso de 4,2 m de alambre es 168 gr A El peso de 5,4 m de alambre es 108 gr a ninguno 12. a) Capacidad botella (litros) 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 2 2,5 3 Cantidad de botellas 240 120 80 60 48 40 30 24 20

(56)

56 b) c) 2; 2,5 o 3 litros. 13. a) Largo(m) 110 105 100 93 90 85 80 70 60 Ancho(m) 10 15 20 27 30 35 40 50 60 b)

La relación entre las variable no es proporcional, pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en .

14. a)

Kilógramos de semilla 2 3 5

Superficie a sembrar (m2) 10 20 30 80 120 200 b) La relación entre las variable es directamente proporcional, pues al dividir los valores de

con su correspondientes en siempre se obtiene 0,25 kg/m2 15. a)

Número de personas 4 5 6 7 8

Costo por persona

(pesos) 33.600 16800 11200 8400 6720 5600 4800 4200 b) La relación entre las variable es inversamente proporcional, pues al multiplicar los valores

de con su correspondientes en siempre se obtiene $ 33.600 0 100 200 300 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3 Can tidad d e b o te llas

capacidad botella (litros)

0 50 100 150 20 40 60 80 100 120 an ch o (m ) largo (m)

Figure

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Referencias

  1. triángulo
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