mat-7u2

46 

Loading.... (view fulltext now)

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Texto completo

(1)

Unidades de sUperficie.

fracciones

Objetivos de la Unidad:

Utilizarás con seguridad las unidades de medidas de longitud, unidades métricas de superficie y unidades agrarias, aplicando su equivalencia para resolver problemas del entorno.

Aplicarás las operaciones de números fraccionarios comunes, utilizando las reglas y procedimientos para realizar correctamente dichas operaciones al resolver situaciones problemáticas de tu entorno.

MATEMÁTICA

(2)

Descripción del proyecto

María Inés estudia séptimo grado. De lunes a viernes y en época normal de estudio distribuye en promedio, las 24 horas del día de acuerdo a las actividades que realiza. Se desea averiguar a qué actividad dedica más tiempo, a cuál dedica menos tiempo, en qué orden dedica su tiempo a las diversas actividades, además de otras respuestas.

El Sistema Internacional

El metro cuadrado (m2)

Las medidas agrarias

Vara cuadrada (v2)

Manzana (mz) Área (a)

se estudiaran pueden ser

Hectárea se consideran en Caballería(cab) Fracciones Operaciones Propias se transforma de Suma pueden ser Multiplicación se representan en la se realizan Impropias Simplificarlos Resta Recta numérica para Mixtas Ordenarlos División

(3)

Segunda Unidad

Lección 1

Motivación

Las líneas que limitan algunas figuras como la pizarra, la puerta y la carátula de un libro, definen una característica de los cuerpos. Esta característica se llama superficie. A la medida de una superficie se llama área.

identificarás y determinarás con seguridad los múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado.

identificarás con destreza las unidades métricas de superficie.

convertirás con confianza unidades métricas de superficie. resolverás problemas de conversión de unidades métricas

de superficie.

Indicadores de logro:

E

l señor Benavides tiene un terreno de 2 km de largo y 100 m de ancho a la orilla de la playa; y quiere vender lotes que tengan 40 m de ancho a la orilla de la playa y 100 m de largo, ¿cuántos lotes tendrá el terreno? ¿Qué área tendrá cada lote en m2?

Unidades de sUperficie del sisteMa internacional. (si)

(4)

El metro cuadrado es un cuadrado que mide 1 m de lado.

Dispone de una cinta métrica o de una regla de longitud 1 m y mide el patio de tu casa o del centro escolar.

Ahora dibuja en tu cuaderno el centímetro cuadrado. ¿Lo haces así?

¿Cuál es el área de esta región o superficie?

Para calcular el área de una región, colocando unidades en su interior, no siempre se calcula de forma exacta. Por ejemplo, ¿cuál es el área de los siguientes triángulos? Para determinar el área de una región o superficie lo haces de cualquiera de estas formas.

a) Utilizas una unidad de superficie arbitraria. Por ejemplo:

Área aproximada por defecto: 6 cm2 Área aproximada por exceso: 15 cm2 Unidad de superficie Comparación de la región con su unidad de superficie Área de la región 4 Unidades Aproximadamente 12 unidades 1 2 4 3 1 cm 1 cm

(5)

UNIDAD 2

Ejemplo 1

Encuentra el área de cada región. Para ello, utiliza como unidad de superficie el cuadrado que forma parte de la cuadrícula.

Solución:

Llamando A1, A2, A3 y A4 a las áreas indicadas tienes:

a) A1 = 16 unidades cuadradas (u2) c) A

3 = Unas 17 ó 18 u2

b) A2 = 10 unidades cuadradas (u2) d) A

4 = Unas 19 u2

Ejemplo 2

Calcula el área de las figuras del ejemplo anterior aplicando la fórmula respectiva.

Solución:

En las figuras Ai representa el área, b la base y h la altura.

a) A1 = b × h c) A3= × = × = = b h 2 6 2 18 18 2 6 u = 4 × 4 = 16 R = 16 u2

b) A2 = b × h d) Puedes ver que la figura indicada con A

4está compuesta por un rectángulo

y una circunferencia formada por dos semicircunferencias. Luego: A4 = b × h + π r 2 A4 = 2 × 3 + (3.14 × 1) = 6 + 3.14 = 9.14 R = 9.14 u2 = 5 × 2 = 10 R = 10 u2

A2

A1

A4

A3

(6)

b) Copia en tu cuaderno y encuentra el área de las figuras siguientes. Hazlo contando los cuadros y

mediante su respectiva fórmula.

Actividad

1

a) En el plano de un invernadero se observan las áreas dedicadas a cada tipo de flor.

Determina su valor contando los cuadros y mediante su respectiva fórmula. ¿Cuál es la unidad de superficie que utilizas?

A2

A4

A5

A3

A1

1 cm

1 cm

1 m 1 m

(7)

UNIDAD 2

Unidades de superficie del Sistema Internacional

de unidades, SI

¿Cuál de los dibujos de superficie se expresa en m2?

La de una moneda de $ 0.25 El mapa de El Salvador

Si dibujas en el suelo 1 m2, cada

subdivisión de éste es el de 1 dm2.

Luego, ¿cuántos dm2 contiene el m2?

Puedes ver que 1m2 = 100 dm2

km hm dam m dm cm mm

Observa que no todas las superficies deben medirse en metros cuadrados (m2), aunque

se pueda. Así, para determinar el área de nuestro país utilizas el kilómetro cuadrado (km2).

Para determinar el área de una moneda de $ 0.25 utilizas el centímetro cuadrado (cm2).

¿Recuerdas las unidades de longitud del Sistema Internacional de unidades, SI?

Para convertir una unidad de longitud en la inmediata inferior, multiplicas por 10. Y para convertirla en la inmediata superior divides entre 10.

Ahora observa lo que sucede con las unidades de superficie.

1m

1m

1dm

1dm2

Como este mismo razonamiento lo llevas a las otras unidades, concluyes que para convertir una unidad de superficie a la inmediata inferior, multiplicas por 100. Y para convertirla a la inmediata superior, divides entre 100.

(8)

Ejemplo 6

Un rectángulo mide 30 cm de ancho y 60 cm de largo. Expresa su área en cm2, mm2, m2 y dm2.

Solución:

Al área del rectángulo es: A = b × h A = 60 cm × 30 cm

A = 1,800 cm2

Es decir, con los submúltiplos del metro cuadrado o m2, tienes:

1 m2 = 100 decímetros cuadrados o dm2

1 m2 = 10,000 centímetros cuadrados o cm2

1 m2 = 1 000,000 milímetros cuadrados o mm2.

Con los múltiplos del metro cuadrado, tienes: 1 km2 = 100 hectómetros cuadrados o hm2.

1 km2 = 1,000 decámetros cuadrados o dam2.

1 km2 = 1 000,000 metros cuadrados o m2. Luego: 1,800 cm2 = 1,800 × 100 = 180,000 mm2 1,800 cm2 = 1,800 ÷ 100 = 18 dm2 1,800 cm2 = 18 ÷ 100 = 0.18 m2 60 cm 30 cm 40 m 100 m

Ejemplo 7

Retomando el problema del señor Benavides, como el terreno mide 2 km de largo, en metros tiene 2,000 m de playa y se divide entre 40 lotes para obtener el total de lotes:

P0: 2,000 ÷ 40 = 50

En total son 50 lotes, a la orilla de la playa.

Solución:

Para obtener el área tenemos:

A = base por altura (b × h) = 40 × 100

= 4,000 m2

R: En total son 50 lotes y cada lote mide 4,000 m2

Puedes ver que las unidades de superficie del SI forman un sistema posicional, donde cada unidad es igual a 100 unidades del submúltiplo inmediato inferior.

Ejemplo 3

¿Cuántos hm2 hay en 5,000 m2?

Solución:

1 100 1 100 2 2 2 2 2 hm dam hm x 100 m 10,000 m = = = Luego, 5,000 m2 5 000 5 000 10 000 0 5 2 2 22 , , , . m = hm = hm

Ejemplo 4

Si la superficie de El Salvador tiene un área aproximada de 21,000 km2, ¿cuántos dam2, hm2 y m2 hay?

21,000 km2 = 21,000 × 100 = 2 100,000 dam2

= 2 100,000 × 100 = 210 000,000 hm2

= 210 000,000 × 100 = 21 000 000,000 m2

Ejemplo 5

Si el área de una moneda de $ 0.25 es de 4.52 cm2,

¿cómo podemos expresarlo en m2?

4.52 cm2 = 4.52 × 100 = 452 mm2 4.52 cm2 = 4 52 100 00452 2 . . cm = 00452 00452 100 0000452 2 2 2 . cm = . dm = . m

(9)

UNIDAD 2

1. Completa la columna de la derecha en las siguientes tablas:

Actividad

2

Múltiplo del m2 Abreviaturas Equivalencia en m2

Decámetro cuadrado dam2

Hectómetro cuadrado hm2

Kilómetro cuadrado km2

a)

Submúltiplo del m2 Abreviaturas Equivalencia en m2

Decímetro cuadrado dm2 1 100 Centímetro cuadrado cm2 Milímetro cuadrado mm2 b)

Resumen

La unidad de medida del área es el metro cuadrado.

2. Convierte:

a) 2 m2 a cm2 c) 1.2 cm2 a mm2 e) 5 km2 a dam2 g) 250 cm2 a m2

b) 4 m2 a dm2 d) 0.75 cm2 a mm2 f) 0.35 km2 a hm 2

3.Un cuadrado tiene un área de 7,169 cm2, y el área de otro cuadrado es de 256 dm2. ¿Cuál tiene

mayor área? km2 kilometro cuadrado hm2 hectómetro cuadrado dam2 decámetro cuadrado m2 metro cuadrado dm2 decímetro cuadrado cm2 centímetro cuadrado mm2 milímetro cuadrado 1 001 1 00 00 1 00 00 00 1 00 00 00 00 1 00 00 00 00 00 1 00 00 00 00 00 00 1 m2 = 1000000 mm2

Para pasar de una unidad mayor a una menor se multiplica por 100 por cada casilla que haya de una unidad a otra.

1 dm2 = 0.0001 dam2

Para pasar de una unidad menor a una mayor se divide por una potencia de 100 por cada casilla que haya de una unidad a otra.

(10)

1. c . 2. d . 3. d . 4. c

.

nes

ucio

Sol

Autocomprobación

4

Para convertir cm2 a dam2:

a) Multiplicas por 100 b) Divides entre 100 c) Divides entre 1 000,000 d) Multiplicas por 1 000,000

2

Diez centímetros cuadrados equivalen a:

a) 1 m2

b) 0.01 m2

c) 0.10 m2

d) 0.001 m2

1

La unidad básica de superficie del SI es:

a) El km2

b) El cm2

c) El m2

d) El hm2

3

Expresa la siguiente área en m2:

330 mm2

a) 0.33 b) 0.033 c) 0.0033 d) 0.00033

La figura de la derecha muestra un piso de baldosas hechas de superficies triangulares.

Cada uno de los cuadrados pequeños está formado por dos baldosas, mientras que el cuadrado mayor está formado por cuatro. Esta

figura pudo haber sugerido a un personaje anónimo de la India una de las demostraciones

que existen del famoso teorema de Pitágoras, el cual estudiarás posteriormente. Este teorema sirve de base para la demostración de la fórmula

de Herón para calcular el área de un triángulo de lados a, b y c: A = s s a s b s c()()()

donde s es el semiperímetro del triángulo.

(11)

Motivación

Segunda Unidad

identificarás y convertirás con interés las unidades agrarias.

Indicadores de logro:

L

a urbanización La Hacienda se ubica en

San José Villanueva, departamento de La Libertad. La primera etapa se inició con un área de 10 manzanas. ¿Sabes cuáles son las equivalencias de esta unidad de superficie? ¿Esa área es mayor o menor que 10 hectáreas?

Unidades aGrarias

Lección 2

Ejemplo 1

resolverás con seguridad problemas de conversión de unidades agrarias.

Un legado español: la vara cuadrada

En El Salvador el área de un terreno se mide por lo general en varas cuadradas.

¿Cómo haces para convertir varas a metros? ¿Por cuánto multiplicas? ¿Cómo haces para convertir metros a varas?

1 vara = 0.836 m O sea que: 1 metro = 1

0836. varas = 1.196 varas ¿Por cuánto multiplicas? ¿Por cuánto divides para convertir varas a metros?

A la vara la representas así: 1 vara = 1 v

Expresa las áreas del rectángulo en metros cuadrados.

Solución:

Como 1 v = 0.836 m entonces: 50 50 0836 1 41 8 v = v m v m . .    = 30 0 0836 1 25 08 v = 3 v m v m . .    = Como: 50 v = 41.8 m de base (b) 30 v = 25.08 m de altura (h) El área en m2 es A = b × h A = (41.8 m)(25.08 m) = 1048.34 m2

R: El área del rectángulo es 1048.34 m2

Vendo terreno 1,500 v2 50 varas 30 varas 50 varas 30 varas

(12)

Equivalencia metro cuadrado vara cuadrada

¿Cómo encontrar el equivalente de una vara cuadrada y el metro cuadrado? Como 1 v = 0.836 m, entonces una vara cuadrada (v2) equivale a:

1 v2 = (0.836 m) × (0.836 m) = 0.698896 m2 1 v2 = 0.70 m2 1 v = 0.836 1 v = 0.836 m 1 v2 = 0.698896 m2 Aproximando: 1 v2 = 0.70 m2 ¿Cuánto equivale 1 m2 a v2?

Solución:

1 m2 = 1 m2 1 0 70 2 2 2 v m 1.42857 v .    = Aproximando 1 m2 = 1.43 v2

Ejemplo 2

Don Jenaro tiene dos terrenos. El terreno norte mide 1,500 m2 y el sur 2,000 v2.

a) ¿Cuál es más grande?

b) ¿Cuál es la diferencia entre ambos?

Solución:

Convertir 1500 m2 a v2 Como 1 m2 = 1.43 v2 1500 1500 1 43 1 2145 2 2 2 2 2 m m v m v =    = .

Al comparar las áreas 2145 v2 > 2000 v2 donde el terreno norte es mayor que el del sur.

La diferencia entre los dos es: 2,145 v2– 2,000 v2= 145 v2.

¿De qué otra manera resuelves este problema?

Con seguridad observas que la forma de resolverlo es convirtiendo las varas cuadradas a metros cuadrados; o sea:

2,000 v2 = 2000 0 70 1 1400 2 2 2 2 v m v m .    =

En este caso, la diferencia en metros cuadrados es: 1,500 m2 – 1,400 m2 = 100 m2

Entonces: 1500 m2 > 1400 m2

(13)

UNIDAD 2

Observa

La hectárea es la unidad de superficie que equivale a un cuadrado de 100 m de lado.

Ejemplo 3

En el proyecto urbanístico "El frutal", se venden terrenos de 2,500 v2 con casas de

150 m2. El área resultante será de jardinería y árboles frutales, lo cual contribuirá a la

ecología del país. ¿Cuál es esa área?

1 ha = 10,000 m2 100 m

100 m

Entonces, ¿de qué otra manera defines la hectárea?

Representando gráficamente a la hectárea, tienes:

Solución:

Convertir los metros cuadrados que mide la casa a varas cuadradas: 150 1 43 1 214 54 2 2 2 2 m v m v . .    =

Luego, el área verde es:2,500 v2 − 214.5 v2 = 2,285.5 v2

El área de jardinería y árboles frutales es 2,285.5 v2

El área (a)

Otra unidad de superficie se llama área.

El área es la unidad de superficie equivalente a: 100 m2

1 área = 100 m2

Hectárea (ha)

La hectárea es la unidad de superficie agraria

equivalente a cien áreas (1 hectárea = 100 área), luego: Como 1 área = 100

Entonces: 1 ha = (100)(100) 1 ha = 10,000 m2

En otras palabras, ¿cuánto mide el lado del cuadrado que tiene por área 10,000 m2?

Para que el área mida 10,000 m2, el lado del cuadrado

debe medir 100 m de lado.

(14)

Ejemplo 4

Un terreno rectangular mide 6 km de largo por 3 km de ancho. Calcula a cuántas áreas (a) y a cuántas hectáreas (ha) equivale.

Solución:

Convertir km a hm: 1 km2 = 1,000,000 m2 18 1 000 000 1 18 000 000 18 2 2 2 2 km m km m k , , , ,    = m m2= ,18 000 000, m2

Para calcular las áreas (a):

18 000 000 1 100 180 000 180 2 2 2 , , , , m a m a 18 km    = = 0000 a

Para calcular las hectáreas (ha):

18 000 000 1 10 000 1 800 2 2 2 , , , , m ha m ha 18 km   = ==1800 ha

a) Dionisio va a comprar un terreno, y elige entre dos: uno a $35 v2 y el otro a $40 m2. Si están en la

misma zona y presentan las mismas ventajas, ¿por cuál de los dos se decide Dionisio?

b) Una propiedad mide 50 ha, y otra mide 600,000 m2 ¿cuál es mayor?

c) Un terreno mide 15,256 v2. Calcula a cuántas hectáreas equivale.

Actividad

(15)

UNIDAD 2

1 manzana = 100 v × 100 v 1 mz = 10,000 v2

Ejemplo 5

La familia Estrada López tiene un terreno sembrado de árboles frutales y maderables. Su área es de cinco manzanas. ¿Cuántas hectáreas mide el terreno?

Solución:

5 10 000 1 50 000 5 2 2 mz v mz v mz = 50,000 , ,    = vv2 Como: 1 v2 = 0.70 m2 50 000 0 70 1 35 000 50 000 3 2 2 2 2 2 , . , , v m v m v    = = 55 000, m2 Como: 1 ha = 10,000 m2 35 000 1 10 000 3 5 2 2 , , . m ha m ha   = Entonces 5 mz = 3.5 ha. El terreno mide 3.5 ha

La Manzana (mz)

Se le llama manzana a la medida de superficie equivalente a la que posee un cuadrado de 100 varas de lado.

10,000 v2

100 v

100 v

(16)

Ejemplo 6

Encuentra la equivalencia de la manzana con la hectárea. ¿Cuántas manzanas (mz) tiene 1 hectárea?

Solución:

1ha = 10,000 m2 y 1 m2 = 1.43 v2 1ha = 10,000 × 1.43 v2 1000 1 43 1 14300 2 2 2 2 m v m v .    = 1ha = 14,300 v2 1 mz = 10,000 v2 1 ha = 14,300 v2 1 ha = 14,300 v2 1 10 000 2 mz v ,     1 ha = 1.43 mz

La caballería es otra unidad agraria que equivale a 64.34 manzanas. Con el crecimiento urbano de El Salvador, su uso es cada vez menor.

a) Un terreno rectangular mide 200 m por 150 m ¿cuántas manzanas tiene el terreno? b) Calcula cuántas manzanas tiene un terreno de 40 ha.

c) ¿A cuántas manzanas equivale el kilómetro cuadrado?

d) Ahora puedes contestar la pregunta al inicio de esta lección. ¿Qué es mayor, 10 hectáreas ó 10 manzanas?

Actividad

2

La Caballería (cab)

528 64 34 cab . = 8.21 cab

Se concluye que el terreno de 528 mz es mayor que el de 6.5 cab.

Si la comparación se hubiera hecho en relación a la manzana entonces:

6.5 cab = 6.5 × 64.34 mz 6.5 cab = 418.21 mz

Luego el terreno que mide 528 mz es el mayor.

Ejemplo 7

Una hacienda mide 528 manzanas y otra mide 6.5 caballerías. ¿Cuál es mayor?

Solución:

Encuentra las caballerías que tienen 528 mz. Como 1 cab = 64.34 mz, entonces:

(17)

UNIDAD 2

a) Una hacienda tiene una superficie de 2.3 cab. Si se cultivan diariamente 4.5 mz, ¿cuánto falta por

cultivar después de una semana?

Actividad

3

Resumen

Las unidades agrarias sirven para medir superficies de terrenos. En el SI, se miden en áreas y hectáreas. En nuestro país también se miden en unidades heredadas de la colonia, éstas son la vara cuadrada, la manzana y la caballería.

El siguiente cuadro te muestra la equivalencia entre unidades agrarias:

Por ejemplo, si quieres saber cuántas v2 hay en 1 m2, ubicas al m2 en la fila de abajo y subes hasta

llegar a v2: 1 m2 = 1.43 v2.

De igual forma obtienes que 1 ha = 14,300 v2 = 100 a, etc.

mz 1 7 000, 1 10 000, 1 70 1.43 1 ha 1 10 000, 0.00007 1 100 1 0.70 a 1 100 0.007 1 100 70 v2 1.43 1 143 14,300 10,000 m2 1 0.70 100 10,000 7,000 m2 v2 a2 ha mz

(18)

Autocomprobación

4

El área de un terreno de 1.5 mz, es:

a) 15,000 v2

b) 105 ha c) 105,000 m2

d) Todas las anteriores

2

De las siguientes áreas, la menor es:

a) mz b) cab c) ha d) km2

1

De las siguientes áreas, la mayor es:

a) 15 ha b) 9 mz c) 50 a d) 5,000 v2

3

Una hectárea equivale a:

a) 10,000 v2 b) 10,000 m2 c) 100 áreas d) b y c son correctas 1. a . 2. a . 3. d . 4. a

.

nes

ucio

Sol

Las medidas de superficie se estandarizan con el Sistema Internacional de unidades, SI, aunque en algunos países todavía se usan otras medidas, por

ejemplo en Estados Unidos, se usa con frecuencia el Acre (4,046.8 m2) en El Salvador, aún se utiliza

la manzana y cada vez se usa con menor frecuencia la caballería.

Durante la fundación de las ciudades españolas en Hispanoamérica, las construcciones se erigían dentro de cuadrados de 100 varas por lado, a este

espacio se llamo manzana. Coloquialmente, como una reminiscencia colonial se llama manzana al área delimitada por cuatro calles sin importar la longitud de las calles ni la figura que éstas hagan.

(19)

Motivación

Segunda Unidad

identificarás y presentarás con precisión y seguridad diferentes números racionales positivos y negativos en la recta numérica.

identificarás con seguridad fracciones equivalentes positivas y negativas.

Indicadores de logro:

P

ara el día de la madre se compraron carretes de listón para las chongas de los regalos teniendo las siguientes medidas y la cantidad de chongas por listón.

a) Carrete de 5 metros para 3 chongas b) Carrete de 4 metros para 7 chongas c) Carrete de 10 metros para 9 chongas d) Carrete de 8 metros para 7 chongas e) Carrete de 6 metros para 7 chongas f) Carrete de 3 metros para 3 chongas g) Carrete de 10 metros para 6 chongas h) Carrete de 12 metros para 14 chongas

Representar en fracciones las medidas de los listones utilizados para cada chonga.

Hay chongas que ocuparán la misma cantidad de listón. ¿Cuáles son?

núMeros racionales

Lección 3

obtendrás con interés fracciones equivalentes positivas y negativas aplicando los procesos de ampliación y simplificación.

Ejemplo 1

Un entrenador decide que en su equipo 2 de los 11 jugadores jueguen la posición de carrileros.

¿Qué fracción del equipo representan los 2 jugadores?

Solución:

2

11 son carrileros

Ejemplo 2

De una pizza, Milena se comió 3 de las 8 partes que está dividida. ¿Qué fracción de la pizza se comió Milena?

Solución:

3

8 de la pizza.

En los ejemplos anteriores, las cantidades son

representadas en forma de fracciones, las cuales pueden ser propias, cuando el numerador es menor que la unidad o impropia, cuando el numerador es mayor que la unidad. La fracción impropia puede transformarse en fracción mixta o la fracción mixta a impropia.

(20)

En el ejemplo anterior, observas que 7 4 equivale a 1 3 4 + o sea 13 4 . Luego 7 4 1 3 4 = El número 13

4 se llama mixto. ¿Por qué?, ¿cómo conviertes la fracción 7 4 en número mixto? Fracciones menores que la unidad. Los números: 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 , , , , , ...etc. 2 3 4 5 6 7 8 10 11 14 , , , , , ...etc. son ejemplos de fracciones menores que la unidad. Fracciones iguales a la unidad. Los números: 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 , , , , , ,...etc. son ejemplos de fracciones iguales a la unidad. Fracciones mayores que la unidad. Los números: 3 2 5 3 7 4 11 12 , , , , ...etc. son ejemplos de fracciones mayores que la unidad.

Fracciones

1 5 2 2 3 3 4 4 6 6 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 4 1 4 1 4 1 5 1 5 1 5 1 5 1 4 3 2 53 74 1211 7 4 1 7 4 1 3 4 = −4 3

Números mixtos

(21)

UNIDAD 2

¿Cómo conviertes un número mixto a fracción? Por ejemplo, si tienes la fracción,

¿Cómo la conviertes a número mixto?

Observa que se divide el entero en las partes que indica el denominador. Después, cuentas el total de partes.

12 3 3 3 2 3 5 3 = + =

También lo puedes representar de la siguiente forma: 1 2 3 3 3 2 3 1 3 2 3 5 3 + = + =( × +) = Es decir: 12 3 1 3 2 5 5 3 =( × +) =

Dibuja en tu cuaderno, la bandera de El Salvador y coloréala ¿Qué fracción le corresponde a cada color?

1. Escribe una fracción que represente cada una de las siguientes situaciones. a) En todo el mundo, por cada 100 niñas nacen 105 niños. b) En Costa Rica se preservan ocho de cada diez de sus bosques.

c) Si la superficie de la tierra se divide en 5 partes, 3 de ellas la ocupan los océanos. d) Una persona de 60 años ha dormido en promedio un total de 20 años.

2. Copia y completa el siguiente cuadro. Y presenta los números mixtos como fracciones y viceversa.

Actividad

1

Número mixto 215 327 859 423 534 Fracción 18 7 15 4 12 5 7 2 17 3 2 1 − = 3 5 = − 3 +

(22)

Dos vehículos salen de San Salvador hacia San Miguel. Acompañan a la familia Sánchez Lara, que asistirá a una boda. Luego de 30 minutos el vehículo A recorre las dos terceras partes del total, y el B ha avanzado la mitad. ¿En qué orden van los vehículos?

Para contestar la pregunta, se representan las fracciones en la recta numérica. Para representar a 2

3 divides la unidad en tres partes iguales y marcas 2

3. 0 2/3 1 0 -1 - − 5 1 7 5 7 −

Ejemplo 3

Ubica las fracciones 5

7 y − 57 en la recta numérica.

Solución:

Para ubicar a 5

7 divides la unidad en siete partes iguales y luego cuentas cinco partes hacia la derecha. Para ubicar a − 5

7 lo haces de forma similar, pero trabajas a la izquierda del cero.

Representación geométrica de las fracciones

Para representar a 1

2 divides la unidad en dos partes iguales y marcas 1

2. 0 1/2 1

Puedes ver que el vehículo A, ha avanzado mayor distancia que B, ¿Cuál de las dos fracciones es menor? ¿Cuál es mayor? Como 2

3 está a la derecha de 1 2 decimos que 2

3 es mayor que 12 ; es decir: 23 > 1 2 0 1/22/3 1

(23)

UNIDAD 2

Equivalencia de fracciones

Las fracciones que representan la misma porción en los rectángulos, son fracciones equivalentes.

Observa que las regiones 1 2 2 4 5 10 , y representan la misma porción.

Por lo tanto, esas fracciones son equivalentes, es decir: 1 2 2 4 5 10 = = son iguales. También observas que:

1 3 2 6 = ; 1 2 1 2 2 2 2 4 = × × = ; 12 1 3 2 3 3 6 = × × = 1 2 1 4 2 4 4 8 = × × = 12 1 5 2 5 5 10 = × × =

Puedes ver que dada una fracción, obtienes fracciones equivalentes si multiplicas el numerador y el

denominador por el mismo número.

1 2 1 3 2 4 2 6 5 10 Ahora en sentido inverso, si en lugar de multiplicar dividimos entre la misma cantidad, tenemos:

4 8 4 2 8 2 2 4 = ÷ ÷ = 2 4 2 2 4 2 1 2 = ÷ ÷ = Al dividir ambos miembros de una fracción entre un mismo número se ha reducido o simplificado. Copia la figura en tu cuaderno, colorea de izquierda a derecha la fracción correspondiente a cada rectángulo.

En tu cuaderno dibuja la recta numércia y localiza las siguientes fracciones, ordénalas de menor a mayor.

a) 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 , , , , , c) 1 2 2 3 5 6 , , b) 4 3 5 3 2 3 1 3 7 3 , , , , , d) − −2 11 − − 2 1 5 2 1 1 2 , , , ,

Actividad

2

(24)

Ejemplo 4

Simplifica la fracción: 48 72

Solución:

48 72 48 2 72 2 24 36 = ÷ ÷ = ; 2436=24 236 2 1218 ÷ ÷ = 12 18 12 2 18 2 6 9 = ÷ ÷ = 6 9 6 3 9 3 2 3 = ÷ ÷ = Entonces: 4872 es equivalente a 23 ¿Puedes continuar simplificando a 2

3? Decimos que una fracción está en su mínima expresión cuando el numerador y el denominador sólo pueden dividirse entre la unidad. En este caso, la fracción es irreductible; así, la fracción 2

3 es irreductible. Ésta propiedad te sirve para convertir fracciones a un común denominador, por ejemplo, convertir al común denominador las fracciones 3

4 y 56 .

Para ello, encuentras el mínimo común múltiplo de los denominadores 4 y 6. Si denotas por M4 a los múltiplos de 4 y por M6 a los múltiplos de 6, tienes:

Como el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12, entonces hay que convertir 3 4 y 56 a fracciones equivalentes con denominador 12.

Para 3 4 3 3 4 3 9 12 = × × = ; para 56 5 2 6 2 10 12 = × × =

Se observa que el menor número común múltiplo de los denominadores es 12. Observa que en 3

4 multiplicas sus dos términos por 3, en la fracción 56 multiplicas ambos términos por 2.

Ahora, ya estamos listos para responder a las preguntas de la actividad de motivación. Al observar los carretes y la cantidad de chongas se puede decir que:

a) A = 5 3 C = 10 9 E = 67 G = 10 6

Punto de apoyo

El mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12. M4 = {0, 4, 8, 12, 16. …. }

(25)

UNIDAD 2

Efectúa en tu cuaderno:

1. Escribe 4 fracciones equivalentes a:

a) 3 5 b) 2 3 c) 1 4 d) 7 7 2. Encuentra el número que falta para que las fracciones sean equivalentes:

a) 3 4 = 16 b) 1 2 7 = c) 4 12 27 = d) 2 3 8 = 3. Reduce cada fracción a su mínima expresión:

a) 15 30 b) 40 60 c) 18 24 d) 7 14 e) 42 35 4. Reduce las siguientes fracciones al común denominador (cd) que te indicamos:

a) 3 4 y 2 3; cd = 12 b) 3 4 y 2 3; cd = 24 c) 2 3 y 3 5; cd = 15 5. Reduce las siguientes fracciones a un común denominador:

a) 3 5 y 3 4 b) 5 7 y 1 2 c) 4 7 y 5 21 d) 3 14 y 1 21

Actividad

3

Resumen

En esta lección repasaste la noción de fracción, sus elementos y las clases de fracciones que hay: menores, iguales o mayores que la unidad, cuando una fracción es mayor que la unidad, puede representarse como número mixto, además, un número mixto puede escribirse como una fracción. Cuando representas una fracción en la recta numérica, esto se llama representación geométrica.

Esta te permite decir cual de las fracciones es mayor o menor que otra. Dos fracciones son equivalentes si corresponden al mismo punto en la recta numérica, una aplicación de la

equivalencia de fracción, es la ampliación y la reducción de éstas, reducir una fracción es lo mismo que simplificarla, además, las equivalencias de fracciones te permiten convertirlas a un común denominador. B = 7 4 D = 87 F = 3 3 H = 12 14

b) Las chongas que tendrán la misma cantidad de listón son:

A = 5 3 y G =

10

6 porque son equivalentes 53 10

6

= y E = 6

7 con H = 1214 porque también son equivalentes6

7 12 14 =

(26)

Autocomprobación

4

Una fracción equivalente a 3

4 es: a) 15 20 b) 6 8 c) 9 12 d) Todas son equivalentes

2

La fracción equivalente a 23 4 es: a) 4 11 c) 10 4 b) 11 4 d) 4 10a

1

En un departamento de una empresa de 15 personas, 9 son mujeres”, la fracción que representa esta situación es:

a) 15 9 c) 9 15 b) 24 9 d) 9 24

3

De las siguientes fracciones: 3

4 , 4 4, 2 4 , 1 4 la mayor es: a) 3 4 c) 2 4 b) 4 4 d) 1 4 1. c . 2. b . 3. b . 4. d

.

nes

ucio

Sol

El nombre de fracción se le debe a Juan de Luna, quién usó la palabra “fractio” para traducir el vocablo árabe

“al-kasr” que significa quebrar o romper. El origen de las fracciones o quebrados es muy remoto. Ya eran conocidas por los babilonios, egipcios y griegos.

Los babilonios las utilizaron teniendo como único denominador al número 60. Los egipcios por su parte

las emplearon con sólo el 1 como numerador. Por ejemplo si querían representar 5

8 escribían 1 2 y 1 8 considerando que 1 2 equivale a 4 8. Los griegos

marcaban con un acento el numerador, y con 2 el denominador.

(27)

Motivación

Segunda Unidad

realizarás adiciones y sustracciones de números racionales positivos y negativos con igual y/o diferente denominador.

Indicadores de logro:

L

a biblioteca escolar está organizada en 6 áreas: M: Matemática C: Ciencias E: Estudios Sociales L: Lenguaje I: Inglés D: Deportes

sUMa y resta de fracciones

Lección 4

¿Qué parte del área total ocupa Matemática y Ciencias? Puedes ver que matemática y ciencias ocupan:

2 8 2 8 4 8 + = del total.

¿Qué parte del área total ocupa Ciencias y Deportes? En el gráfico observas que Ciencias y Deportes ocupan: 2 8 1 8 3 8 + = del total

¿Qué parte ocupa Lenguaje y Estudios Sociales? Lenguaje y Estudios Sociales ocupan 1

8 1 8 2 8 + = del total.

resolverás con seguridad problemas aplicando las operaciones fundamentales de los números fraccionarios positivos y negativos.

Continuando con la introducción puedes concluir que:

L

I

E

D

M

C

Ejemplo 1

Un pastel se divide en 16 partes iguales. Milena toma 2 partes y Juanita 3.

¿Cuántas partes del pastel tomaron entre las dos? Para sumar fracciones con igual denominador, sumas los numeradores y colocas el mismo denominador.

(28)

Solución:

Como Milena tomó 2 de las 16 partes y Juanita 3, en total tomaron: 2 16 3 16 2 3 16 5 16 + = + = partes. En general, si a b y c

b son fracciones comunes, donde a b ≠ 0 entonces, b c b a c b + = +

Ejemplo 2

¿Cuál es la diferencia entre las partes del pastel que tomaron Juanita y Milena?

Solución:

Como Juanita tomó 3

16 del pastel y Milena 216 , la diferencia entre ambas partes es: 3 16 2 16 1 16 − = del pastel. En general, si a b y c

b son fracciones comunes, donde b ≠ 0 entonces, a b c b a c b − = −

Ejemplo 3

Roberto y Amanda trabajan en el departamento de producción de una fábrica. Cierto día, Roberto realiza 5

24 de una obra, y Amanda 724. Sin embargo, debido a un corte de energía eléctrica se perdió 1

24 del trabajo. ¿Qué parte del trabajo realizaron ese día Roberto y Amanda?

(29)

UNIDAD 2

Solución:

Como Roberto realizó 5

24 de la obra y Amanda 724, en total realizaron 5 24 7 24 + . Como se perdió 1

24, la parte de la obra que realizaron fue: 5 24 7 24 1 24 5 7 1 24 11 24 + − = + − = .

En total, Roberto y Amanda realizaron 11

24 de la obra.

Ejemplo 4

Efectúa: 1 10 4 7 10 3 + + +

Solución:

Cuando en una suma o resta de fracciones aparecen números enteros, sumas primero las fracciones y enteros por aparte y luego sumas ambos resultados. Es decir:

1 10 7 10 1 7 10 8 10 4 5 + = + = = 4 3 7+ = Luego: 4 5 7 7 4 5 + =

Otra forma de hacerlo es sumando primero los enteros y convertir la suma a fracción. O sea, 4 3 7+ = ; pero 7 7 1 7 10 1 10 70 10 = = × × = Luego, 1 10 7 10 70 10 78 10 7 8 10 7 4 5 + + = = =

Efectúa mentalmente las siguientes operaciones. Anota la respuesta y simplifica si es necesario:

a) 1 4 2 4 + c) 4 6 1 6 − e) 3 8 5 1 8 + + g) 2 3 4 + b) 1 4 3 4 + d) 3 5 2 5 − f) 5 9 2 9 1 9 − +

Actividad

1

(30)

Ejemplo 5

Fíjate ahora en la suma: 2

3 3 4 +

¿Cómo son los denominadores?

Solución:

Común denominador. Encontramos el mínimo común múltiplo de 3 y 4.

M3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ....} M4 = {0, 4, 8, 12, 56, ....}

El mínimo común múltiplo de 3 y 4 es 12. La fracción equivalente de:

2 3 2 3 2 4 3 4 8 12 = x = x De 3 4 3 4 3 3 4 3 9 12 = x = x 8 12 9 12 17 12 + = Entonces: 2 3 3 4 17 12 + =

Observa

Para sumar fracciones con diferente denominador, primero las expresas con un común denominador y luego las sumas.

Suma de Fracciones con distinto denominador

De preferencia, el común denominador será el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Ejemplo 6

Resuelve la suma 23 5 2 3 + Recuerda: 23 5 13 5 + × 2 5 3 13× + =

Solución:

23 5 2 3 13 5 2 3 39 15 10 15 49 15 + + + 22 3 2 3 49 15 + =

Fracciones equivalentes con denominadores comunes.

Ejemplo 7

Encuentra el resultado de la resta 5 3 3 8 −

Solución:

5 3 3 8 20 24 9 24 40 9 24 31 24 − − − = = =

Fracciones equivalentes con igual denominador.

(31)

UNIDAD 2

Operaciones de fracciones con signo

Para mejorar su conducción física y su figura, Lorena practica gimnasia.

Para efectuar estas operaciones con fracciones negativas aplicarás las leyes de los signos de operaciones con números enteros. Y para hacerlo con fracciones positivas, el procedimiento que acabas de estudiar. Así:

a) 35 11 2 35 1 3 2 70 2 3 2 + − = + − = + − == =67 2 33 1 2 b) 80 53 4 80 1 23 4 + − = + − =320+ −

(

23

)

4 =320 23− = = 4 297 4 74 1 4 c) 27 21 4 27 1 9 4 108 9 4 117 4 29 1 4 + = + = + = =

Lorena disminuyó el grosor del brazo a 331

2 cm, también la cintura a 741

4 cm y aumentó la pantorilla a 29 1 4cm. Observa otor ejemplo:

¿Cómo restas 3 2

2 7

− − ? De seguro lo haces así: 3 2 2 7 3 2 2 7 21 4 14 25 14 1 11 14 − − = + = + = = Medidas Antes Cambio en cm

Grosor del brazo: 35 cm −11 2

Cintura: 80 cm −5 3

4

Pantorrilla: 27 cm 21

4

Para averiguar cuáles son las nuevas medidas necesitas efectuar las siguientes sumas:

a) Medidas del brazo

35 11 2 + − b) Medidas de la Cintura 80 5 3 4 + − c) Medidas de la pantorrilla 27 2 1 4 +

¿Qué parte del cuerpo aumentó de medida? ¿Qué partes del cuerpo disminuyeron de medida? ¿Cuáles son sus medidas después de un tiempo?

Después de un tiempo cambia algunas medidas de su cuerpo como lo indica la tabla de la izquierda.

(32)

Ejemplo 8

En el receso de la clase de Educación Física, Rebeca se tomó la mitad del agua de una botella, y al final de la clase se tomó 1

3 del agua de una botella. ¿Qué parte del agua bebió en total? ¿Qué parte del agua sobró?

Solución:

La parte que se tomó es:

1 2 1 3 1 3 1 2 6 3 2 6 5 6 + =( × + ×) ( )= + =

Luego, la parte del agua que sobró es:

1 5 6 6 6 5 6 1 6 − = −

= R: El agua que sobro es

1 6 Observa que representamos por 1 6

6

= el total del agua que estaba en la botella.

Ejemplo 9

En una tarea en equipo, Ricardo digitó la tercera parte de ésta, y Ana digitó dos quintas partes. Si Marina digitó el resto.

¿Qué parte de la tarea le tocó digitar a Marina?

Solución:

La parte de la tarea que digitaron Ricardo y Ana es:

1 3 2 5 1 5 2 3 15 5 6 15 11 15 + =( × + ×) ( )= + =

Luego, la parte de la tarea que digitó Marina es: 1 11 15 15 15 11 15 4 15 − = − =

R: La parte que le tocó digitar a Marina es. 4 15

(33)

UNIDAD 2

Resumen

Para sumar o restar fracciones de igual denominador éste se mantiene y sólo se suman o restan los numeradores: a) a b c b a c b + = + b) a b c b a c b − = − para b ≠ 0

Para sumar o restar fracciones con diferente denominador, se convierten a un común denominador en base a la equivalencia de fracciones. El menor de los denominadores comunes es su mínimo común múltiplo.

1. Efectúa las operaciones siguientes y si es necesario simplifica las respuestas, hasta su mínima expresión. a) 2 3 3 5 + c) 2 5 1 2 + e) 3 4 1 2 2 3 + + g) 23 4 2 2 3 − i) 7 10 4 5 − b) 1 2 3 4 + d) 5 7 1 2 + f) 3 − 7 h) 4 5 7 10 − 2. Patty compró 2

3 de metro de listón rojo, 4

3 de listón verde y 2

3 de amarillo. ¿Cuántos metros de

listón compró Patty? Expresa tu respuesta como número mixto.

3. El señor Jiménez tiene una tabla de 3 m para hacer los entrepaños de un estante. Corta dos pedazos de 3

4 m cada uno y otro de 5

6 m. Necesita otro pedazo que mida 3

4 m. ¿Le alcanza la madera que

aún le queda?

Da una explicación de tu respuesta.

4. Una lámina tiene una longitud de 43

4 m. Se le cortan dos pedazos: uno de 2 1

2 de longitud, y otro

de 11

3 m. ¿Cuál es la longitud de la lámina que sobra? 5. Efectúa las operaciones indicadas.

a)31 2 4 1 3 5 1 4 + + d) 75 8 6 5 6 3 4 +    − g) 34−2 b)51 6 7 2 5 3 1 3 + − e) 31 5 1 1 2 27 10 2 1 4 −    + −  h) 3 5 4 2 3 − c) 331 3 66 2 3 100 +    − f)7 10− i) 212−312

Actividad

2

(34)

Autocomprobación

4

Joseph compró una barra de chocolate y le dio a uno de sus hermanos 1 4 de ella, 1 6 a otro y 1 3 a una hermana.

La parte de la barra que le quedó a Joseph es:

a) 1 2 b) 1 3 c) 1 4 d) 1 6

2

5 8 1 4 + es el resultado de: a) 11 7 b) 7 8 c) 8 7 d) a y c son correctas.

1

3 4 7 4 + es el resultado de: a) 5 2 b) 2 1 2 c) 10 4 d) Todas son correctas.

3

12 3 1 1 2 − es igual a: a) 1 6 b) 1 1 6 c) 1 3 d) Ninguna de las anteriores.

1. d . 2. b . 3. a . 4. c

.

nes

ucio

Sol

En la ilustración, la unidad se ha dividido en partes iguales. Comprueba las

siguientes igualdades: 1 2 1 2 1 + = 1 3 1 3 1 3 1 + + = 1 4 1 4 1 4 1 4 1 + + + = Además 1 2 1 4 1 4 1 + + =

¿Qué otras sumas dan uno, en el dibujo?

SUMANDO FRACCIONES CON RESULTADO 1

1 — 2 1 —3 1 —4 1 — 6 1 —12121 —121 —121 —121 —121 —121

1

1 —12121 —121 —121 —121 1 — 6 1 — 6 1 — 6 1 — 6 1 — 6 1 — 4 1 — 4 1 — 4 1 — 3 1 — 3 1 —2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

(35)

Motivación

Segunda Unidad

P

ara una presentación en el Auditórium de la Feria Internacional, se habilitaron 300 asientos de palco y 540 de general. Si se ocuparon 2

3 de los asientos de

palco y 5

6 de general. ¿Cuántos asientos sobraron?

Este tipo de situaciones se resuelven mediante la multiplicación de fracciones.

MUltiplicación y división de fracciones

Lección 5

Indicadores de logro:

realizarás multiplicaciones y divisiones de números racionales positivos y negativos, valorando tu trabajo individual. resolverás ejercicios con operaciones combinadas de

números fraccionarios.

resolverás con seguridad problemas aplicando las operaciones fundamentales de los números racionales, positivos y negativos.

Multiplicación de entero por fracción

Observa como sumamos varias mitades de naranja:

1

2 +

1

2 = 2x12 = 22=1 Nota que si sumas 2 mitades, obtienes la unidad:

1 2 + 1 2 + 1 2 = 3 1 2 x = 3 2 1 1 2 = Fíjate que si tienes 3 mitades, obtienes una unidad más 1

(36)

1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 = 4 1 2 x = 4 2=2 Observa que 4 mitades, obtienes 2 unidades:

1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 = 5 1 2 5 2 2 1 2 × = = ¡Claro! con 5 mitades obtienes 2 unidades más 1

2

En base a los ejemplos anteriores, ¿Cómo multiplicas un entero por una fracción? Multiplica 5 3 2 x . Lo haces así: 5 1 2 5 2 2 1 2 × = = Ahora resuelve la operación 6 1

3

x = 2

Multiplicación de fracciones

¿Cuánto mide el área de un rectángulo cuyo largo mide 5

8m y su ancho mide 4 5m? 5− m 8 4− m 5 1 m 1 m

Solución:

5 8 4 5 5 4 8 5 20 40 x x x = = Simplificando: 20 40 20 40 1 2 = ÷20= ÷40 R: El área del rectángulo es 1

2m 2 Otra forma: 1 1 5 8 4 5 x Simplificando 5 8 4 5 1 2 x = 2 1 R: 1 2m 2

Este ejemplo comprueba que, en general, el producto de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador al producto de los numeradores; y por denominador al producto de los denominadores.

Es decir: a b c d a c b d × = ×

(37)

UNIDAD 2

Ejemplo 1

Efectúa los siguientes productos y simplifica cuando sea necesario. a) 3 4 2 3 x

Solución:

3 4 2 3 3 2 4 3 6 12 1 2 × = × × = = b) 2 3 5 6 x

Solución:

2 3 5 6 2 5 3 6 10 18 5 9 × = × × = = c) 16 3 3 4 x

Solución:

16 3 3 4 16 3 3 4 48 12 4 × = × × = = d)8 11 2 x

Solución:

8 11 2 8 1 3 2 8 3 1 2 24 2 12 × = × = × × = =

Ejemplo 2

Para preparar jaleas, la mezcla ideal es: por cada kg de fruta, agregar 3

4 kg de azúcar. Si Lorena quiere preparar mermelada con 4 kg de mango. ¿cuántos kg de azúcar necesita agregar?

Solución:

Por cada kg de fruta agrega 3

4 kg de azúcar. Como son 4 kg de mango, necesita agregar:

3 4 4 3 4 4 1 3 4 4 12 4 3 × = × = × = = kg de azúcar.

Ejemplo 3

Un filtro purifica agua a razón de 151

2 litros por hora. ¿Cuántos litros purifica en 2 horas y quince minutos?

Solución:

Dos horas quince minutos son 21

4 horas. Luego, como purifica 151

2 litros por hora, en 2 1 4 horas purifica 151 2 2 1 4 = litros. Luego: 151 2 2 1 4 31 2 9 4 279 8 34 7 8     =   = =

Ejemplo 4

Para una presentación en el Auditórium de Feria Internacional, se habilitaron 300 asientos de palco y 540 de general. Si se ocuparon 2

3 de los asientos de palco y 5

6 de general. ¿cuántos asientos sobraron?

Solución:

El número de asientos ocupados de palco es: 2 3

( )

300 = 2 3003 1 600 3 200 × × = =

El número de asientos ocupados de general es: 5 6

( )

540 = 5 5406 1 2 700 6 450 × × = = ,

Luego se ocuparon: 200 + 450 = 650 asientos. Y el total de asientos es: 300 + 540 = 840 asientos Luego, sobraron: 840 − 650 = 190 asientos. R: Los asientos que sobraron son 190.

(38)

1. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica la respuesta cuando haya que hacerlo. a) 1 5 10 9 x c) 16 3 3 4 x e) 29 17 51 16 x g) 120 7 55 64 x i)31 4 2 1 5 x b) 2 3 5 6 x d) 9 10 4 27 x f) 32 12 9 14 x h) 55 204 36 121 x j)52 7x49 2. Una cooperativa contribuye con una obra de beneficio social, y dona 12

3 centavos por cada artículo

que vende. Si en un mes vende 3,200 artículos, ¿Cuánto donó La cooperativa?

División de Fracciones

Cuando estudiaste las operaciones con números enteros, aprendiste que la división es la operación inversa de la multiplicación. Por ejemplo:

6 ÷ 3 = 2 por que 2 × 3 = 6

Cuando trabajas con fracciones aplicas esa misma propiedad de la división. Así: 1 5 1 5 ÷ = porque 1 5× = ; 5 1 1 9 8 8 9 ÷ = porque 8 9 9 8 1 × = 1 2 7 1 14 ÷ = porque 1 14 7 7 14 1 2

× = = Observa esta última división: 1 2 7 1 1 14 ÷ = Puedes ver que 1

2 7 1 1 2 1 7 1 14 ÷ = × = es decir obtienes 1 14

Lo que se hace es dejar el dividendo igual y multiplicarlo por el inverso del divisor.

Actividad

(39)

UNIDAD 2

Ahora razona este resultado: 2

3 1 5 10 3 ÷ = con seguridad lo harás así: 2 3 1 5 2 3 5 1 10 3 ÷ = × = ; porque 10 3 1 5 10 15 2 3    = = ¿Cómo divides 3 4 5 9

÷ ? ¡De seguro lo haces así!: 3 4 5 9 3 4 9 5 3 9 4 5 27 20 ÷ = × = × × =

En general para dividir fracciones multiplicas el dividendo por el inverso del divisor así:

a b c d a b d c ad bc

÷ = × = con b y c diferentes de cero.

Ejemplo 5

Expresa las siguientes divisiones como productos y efectúa. a) 35 6 5 3 ÷ b) 5 7 3 2 ÷ c) 51 2 2 3 5 ÷

Solución:

a) 35 6 5 3 35 6 3 5 35 3 6 5 105 30 ÷ = × = × × = b) 5 7 3 2 5 7 2 3 5 2 7 3 10 21 ÷ = × = × × = c) 51 2 2 3 5 11 2 13 5 11 2 5 13 11 5 2 13 55 26 ÷ = ÷ = × = × × =

Ejemplo 6

Naomi es la presidenta de su grado y junto a toda la directiva organizan una fiesta a la cual asistiran 50 personas. Necesitan averiguar cuántas botellas de 21

2 litros de refresco deben comprar.

a) ¿Cuántos vasos de 1

4 litro pueden llenarse con una botella de 21

2 litros.

b) ¿Cuántos vasos de 1

8 de litro y cuántos de litro pueden llenarse con una botella de 21

2

Solución:

a) El número de vasos de 1

4 de litro que se llenan es: 21 2 1 4 5 2 1 4 5 2 4 1 20 2 10 ÷ = ÷ = × = = vasos. b) El número de vasos de 1

8 de litro que se llenan es: 21 2 1 8 5 2 1 8 5 2 8 1 40 2 20 ÷ = ÷ = × = = vasos. R: Luego con una botella de 21

2 litros se llenan 10 vasos de 1

4 de litro ó 20 vasos de 18 litro. ¿Cuántas botellas de 21

2 litros, debe comprar la directiva?

Solución:

Las 50 personas tomarán un total de: 50 1 2 50 1 1 2 50 2 × = × = = 25 litros Como cada botella contiene 21

2 litros, el número de botellas que deben comprar es:

25 1 2 25 1 5 2 25 1 50 2 ÷2 = ÷ = x =10 botellas

(40)

1. Expresa cada división como una fracción en su mínima expresión. a) 6 ÷ 2 c) 12 ÷ 39 e) 10 ÷ 10 g) 7 9 14 15 ÷ b) 1 ÷ 7 d) 63 ÷ 21 f) 3 7 3 8 ÷ h)11 3 4 1 2 ÷ 2. Se usa un recipiente de 21

2 litros de capacidad para llenar un tanque con 20 litros de capacidad

¿Cuántas veces se usa el recipiente para llenar el tanque?

Punto de apoyo

(+) (+) = + (+) / (+)= + (+) (−) = − (+) / (−) = − (−) (+) = − (−) / (+) = − (−) (−) = + (−) / (−)= +

Actividad

2

Ejemplo 7

En una carretera de 4 km de largo se colocaron señales cada 2

5 de kilómetros. ¿Cuántas señales se colocaron?

Solución:

Averigua cuantos veces 2

5 está contenido en 4. Es decir 4 2 5 ÷ es igual a: 2 4 2 5 4 1 5 2 20 2 10 ÷ = × = = R: Se colocaron 10 señales.

(41)

UNIDAD 2

Para multiplicar y dividir fracciones con signos (iguales o diferentes) aplicas las mismas

leyes de los números enteros.

Ejemplo 8

a) 2 3 9 5 2 9 3 5 18 15 6 5 × = × × = = b) 2 3 9 5 2 9 3 5 18 15 6 5 × − = × −

( )

× = − = − c) − ÷ −   = ÷ = × = = 3 4 5 6 3 4 5 6 3 4 6 5 18 20 9 10 d) 2 3 1 2 2 3 4 3 5 1 2 4 11 −    ÷ +    ×

Solución:

Para efectuar este tipo de operaciones procedes así:

Paso 1. Eliminas los paréntesis en cada término: 2 3 1 2 4 6 3 6 1 6 3 5 1 2 11 10 − = − = ; + = .

Paso 2. Simplificas el numerador:

2 3 1 2 2 3 4 −    ÷ = 16÷234= ÷ = × =16 114 61 114 664 =332

Paso 3. Simplificas el denominador:

3 5 1 2 4 11 11 10 4 11 4 10 2 5 +    × = × = =

Paso 4. Sustituyes cada resultado en la expresión, así:

2 33 2 5 2 33 5 2 10 66 5 33 ÷ = × = =

Resumen

Para sumar o restar fracciones con igual denominador, este se mantiene y sólo sumas o restas los numeradores. Si las fracciones poseen diferentes denominadores, antes de sumarlas o restarlas las conviertes a un común denominador. Para multiplicar fracciones, multiplicas numeradores y denominadores entre sí, y para dividirlas, multiplicas el dividendo por el inverso del divisor. Para operar fracciones con signos, sigues las mismas leyes de operaciones con enteros.

(42)

Autocomprobación

4

3 4 2 9 × − es igual a: a) 6 36 c) − 16 b) 27 8 d) 1 6

2

3 41 2 x es igual a: a) 27 2 c) 1 1 2 b) 131 2 d) a y b son correctos

1

2 5 2 3 ÷ − es igual a: a) − ×2 5 2 3 c) 2 5 3 2 x b) − ×2 5 3 2 d) 2 5 2 3 −

3

− + −3  5 2 5 es igual a: a) − 5 5 c) − 1 b) 5 5 d) a y c son correctos 1. b . 2. d . 3. d .

4. c .

nes

ucio

Sol

Un famoso problema de aplicación de las fracciones dice así: Un pastor tenía tres hijos,

y al morir les dejó de herencia sus 11 ovejas repartidas así: Al mayor le dejó la mitad; al mediano la cuarta parte del rebaño. Al menor, le

dejó la sexta parte de las ovejas y tú ¿cómo las repartirías?

¿Lo haces así?: Comenzó prestando una oveja, o sea, completó 12.

12 ÷ 2 = 6 ovejas le dió al menor. 12 ÷ 4 = 3 ovejas le dió al mediano.

12 ÷ 6 = 2 ovejas le dió al mayor. ¿Cómo hizo para regresar la que prestó?

(43)

Solucionario

Lección 1

Actividad 1 b)A 1= 20 cm2, A2 = 49 cm2 A3 = 4 cm2 A 4= 20 c m2 A5= 9.86 cm2 Actividad 2

3. 256 dm2 = 256 × 100 = 25,600 cm2: ésta es el área mayor.

Lección 2

Actividad 1

a) Como vale $40 el m2, equivale decir que vale $40 los 1.43 v2; es decir, el precio de

la v2 sería de 40

1 43. = $27.97, por lo que ésta sería la mejor opción. b) Como 50 ha = 50 × 10,000 m2 = 500,000 m2: ésta es la propiedad menor.

c) 15,256 v2= 15 256 1 43 10 668 53 2 2 , . m = , . m , como 1 ha = 10,000 m2;. 10 668 53 10 000 1067 2 2 , . , . m m = ha Actividad 2 a) A =200 × 150 = 30,000 m2= 30 000 10 000 3 3 1 43 429 , , = ha= × . mz= . mz b) 40 ha = 40 × 1. 43 mz = 57.2 mz. Actividad 3 a) 4.5 × 7 = 31.5 mz; 2.3 cab = 2.3 × 64.34 mz= 147.98 mz.

Luego, el área que falta es 147.98 – 31.5 = 116.48 mz.

Lección 3

Actividad 1 1. La relación es a) 100 105 b) 8 10 = 4 5 c) 3 5 d) 20 60 = 1 3 2. En su orden: 24 7 ; 11 5 ; 3 3 4; 23 7 2 2 5 77 9 3 1 2 14 3 5 2 3 23 4 ; ; ; ; ; ;

(44)

b) 1 3 2 3 4 3 5 3 7 3 ; ; ; ; c) 1 2 2 3 5 6 ; ; Actividad 3 1.a) 6 10 9 15 12 20 ; ; c) 2 8 3 12 4 16 ; ; 2.a) 12 b) 14 c) 9 d) 12 3.a) 1 2 b) 2 3 c) 3 4 4.a) 9 12; 8 12 b) 18 24 16 24 ; 5.a) 12 20 15 20 ; b)10 14 7 14 ;

Lección 4

Actividad 2 1.a)10 9 15 19 15 + = b) 2 3 4 5 4 + = c) 4 5 10 9 10 + = d) 33 32 12 1 12 − = 2. 8 3 2 2 3 = m 3. 6 4 5 6 18 10 12 28 12 7 3 + = + = = ; luego comparas. 4. 5 2 4 3 15 8 6 23 6 + = + = ; luego;19 4 23 6 57 46 12 11 12 − = − = m 5.e) 16 5 3 2 27 10 9 4 32 15 10 54 45 2 −    +  −  = −  + −00  = + =1017 209 34 920+ =4320

Lección 5

Actividad 1 a)1 10 5 9 10 45 2 9 × × = = ; b) 2 5 3 6 10 18 5 9 × × = = i) 13 4 11 5 143 20 × = Actividad 2 1.a) 6 2=3 c) 12 39 4 13 = f) 3 7 8 3 8 7 × = b) 1 7 d) 63 21=3 h) 4 3 2 9 8 27 × = 2. Se usa 8 veces.

(45)

Proyecto

1. De lunes a viernes, en períodos normales de estudio, María Inés distribuye en promedio, las 24 horas del día de la siguiente manera:

Actividad Fracción del día

Alimentarse 2 24 Descansar y divertirse 1 6 Estudiar 1 4 Aseo personal 1 24 Dormir 1 3 Trabajo en casa 1 8

a) ¿A qué actividad dedica más tiempo? b) ¿A qué actividad dedica menos tiempo?

c) Ordena el tiempo que dedica a las diversas actividades

de acuerdo a la relación "menor que" y a la relación "mayor que".

d) ¿Qué fracción de tiempo suman las actividades

dormir y descansar y diversión?

¿Cuánto tiempo suman ambas actividades?

e) ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre "estudio" y

"dormir"?

f) Sin efectuar la operación, determina cuál es la suma

de las fracciones correspondientes a las diversas actividades.

2. La familia López Rodríguez adquiere un terreno de 1,200 v2 para construir su

vivienda y establecer una granja de gansos para el consumo humano y como mascotas. También planifican un área de jardinería y árboles frutales. Para ello distribuyen el terreno así:

1

6 Para la vivienda 1

3 Para la granja 1

12 Para veredas internas

a) ¿Cuál es la mayor de todas las áreas? b) ¿Cuál es la menor?

(46)

BALDOR, Aurelio, Aritmética, Edición Cultural Centroamericana, Edición 1968, Guatemala.

DOLCIANI, Wooton y otros, Matemáticas modernas para escuelas secundarias. Tomos 1 y 2, Publicaciones Cultural, S. A. 7ª reimpresión 1980, México.

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :