La Regla de La Suma y El Producto en El Cálculo de Probabilidad.

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Miriam Liseth Hidalgo Fuentes,

Miriam Liseth Hidalgo Fuentes, miryam-cons_4@hotmail.commiryam-cons_4@hotmail.com, Comitán., Comitán.

La regla de la Suma y el Producto.

La regla de la Suma y el Producto.

Probab

Probabilidailidad.-d.- La probabilidad y la estadstica son, sin duda, las ramas de lasLa probabilidad y la estadstica son, sin duda, las ramas de las Mat

Matemáemáticticas as !u!ue e esestán tán en en maymayor or auauge ge en en eseste te sigsiglo, lo, y y tietienen nen una una tretremenmendada aplicabilidad en todos los aspectos y ciencias, especialmente en las Ciencias aplicabilidad en todos los aspectos y ciencias, especialmente en las Ciencias "ociales, econ#micas, demográ$icas, suelen tener carácter aleatorio, es decir, no "ociales, econ#micas, demográ$icas, suelen tener carácter aleatorio, es decir, no son deterministas, y se $undamentan en predicciones a partir de datos conocidos. son deterministas, y se $undamentan en predicciones a partir de datos conocidos.

Resumen.-Resumen.-La La rereglgla a dedel l prprododucucto to en en teteorora a de de la la prprobobababililididad ad nonos s inindidica ca lala pr

probobababililididad ad de de !u!ue e se se prprododu%u%cacan n lolos s susucecesosos s & & y y ' ' cocomo mo prprododucucto to de de lala probabilidad del suceso & por la probabilidad de !ue ocurra ' cuando se conoce probabilidad del suceso & por la probabilidad de !ue ocurra ' cuando se conoce !ue ha ocurrido &. (n notaci#n matemática sera )*& +   )*& / ) * 0 & !ue ha ocurrido &. (n notaci#n matemática sera )*& +   )*& / ) * 0 & donde el smbolo + *una especie de 1 in2ertida indica !ue se producen los donde el smbolo + *una especie de 1 in2ertida indica !ue se producen los sucesos & y .

sucesos & y .

"i los sucesos & y ' son independientes, es decir, si la probabilidad de uno de "i los sucesos & y ' son independientes, es decir, si la probabilidad de uno de ellos no depend

ellos no depende de !ue haya sucedido el otro, entoe de !ue haya sucedido el otro, entonces se tiene !ue nces se tiene !ue ) *'0& ) *'0&  )*' y la regla del producto se escribe as3 )*& + '  ) *' + &  )*& / ) *'. )*' y la regla del producto se escribe as3 )*& + '  ) *' + &  )*& / ) *'. Regla de la

suma.-Regla de la suma.- "i "i dos dos e2entos e2entos & y & y ' ' son son mutuamente mutuamente ecluyentes,ecluyentes, esta

esta regla regla indica indica !ue !ue la la probabprobabilidad ilidad de de !ue !ue ocurra ocurra uno uno u u otro otro de de loslos e2entos

e2entos, , es es igual igual a a la la suma suma de de sus sus probabilprobabilidades.idades. )*& # '  )*& # '  )*& 1 ',)*& 1 ', )*& 1 '  )*&5 ) *', )*& # ' #...# 6  )*& 1 ' 1...1 6,

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5 )*' 5... )*6.

Regla general de la

adición.-Regla general de la adición.- Cuando los e2entos no son mutuamenteCuando los e2entos no son mutuamente ecluyentes, la

ecluyentes, la probabilidad de lprobabilidad de la ocurrencia a ocurrencia con7unta de los con7unta de los dos e2entos, sedos e2entos, se resta

resta de de la la suma suma de de las las probabprobabilidades ilidades de de los los dos dos e2entoe2entos.s. )*& # ' )*& # '  )*& 5 )*' - )*& y '

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hace re$erencia a la intersecci#n, por lo tanto3 )*& y '  )*& +'

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(ntonces3 )*& 1 '  )*& 5 )*' - )*& + ' (ntonces3 )*& 1 '  )*& 5 )*' - )*& + ' Introducción

Introducción

Antecedentes.-Antecedentes.- La probabilidad matemática tiene sus orgenes en los 7uegos deLa probabilidad matemática tiene sus orgenes en los 7uegos de a%ar, principalmente los 7uegos con dados y cartas, muy populares desde tiempos a%ar, principalmente los 7uegos con dados y cartas, muy populares desde tiempos an

antigtiguouos. s. LoLos s prprimeimeros ros esestudtudios ios 8c8cienientt$ic$icosos9 9 sosobre bre $en$en#me#menonos s alealeatoatoriorios s sese centraban en dos problemas3

centraban en dos problemas3

:.-Contabili%ar el n;mero de posibles resultados de lan%ar un dado 2arias 2eces. :.-Contabili%ar el n;mero de posibles resultados de lan%ar un dado 2arias 2eces.

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<.-=istribuir las ganancias entre 7ugadores cuando el 7uego se interrumpa antes de $inali%ar, conocido como el >problema del reparto de apuestas?. 1na respuesta al primer problema se puede encontrar en el poema =e etula, de ichard de Fourni2al *:<AAB :<A, donde a$irma correctamente !ue si se lan%an tres dados hay <:D combinaciones posibles y calcula correctamente los di$erentes 2alores para la suma de los tres dados.

 &un!ue ahora puede parecer una cuesti#n tri2ial, en a!uella Epoca no lo era, y otros autores erraron al intentar resol2erla, generalmente por!ue no tenan en cuenta las posibles permutaciones de una misma combinaci#n. (l segundo problema $ue abordado por Luca )acioli *:44B::, !uien en :4G propuso estos dos similares problemas particulares3

1n 7uego en el !ue el premio es de << ducados !ue consiste en alcan%ar DA puntos se interrumpe cuando un e!uipo lle2a A puntos y el otro AI y tres ar!ueros !ue compiten por un premio de D ducados lan%an $lechas hasta !ue uno de ellos haga D dianas, siendo interrumpidos cuando el primero de ellos lle2a 4 dianas, el segundo  y el tercero <.

JC#mo deben repartirse los premios entre los contendientesK )acioli propuso !ue el premio debera ser repartido en $unci#n de las 2ictorias obtenidas anteriormente3 as, el premio del primer problema se di2ida en DA0G ducados para el primer  e!uipo y en DA0G para el segundoI para el problema de los ar!ueros, el premio se di2ida en la pro-porci#n 40, 0 y <0. Como más tarde se pondra de mani$iesto, esta soluci#n es incorrecta.

Estado del arte.-  &iomas de probabilidad, los aiomas de la $ormulaci#n moderna de la teora de la probabilidad constituyen una base para deducir a partir  de ellas un amplio n;mero de resultados. La letra ) se utili%a para designar la probabilidad de un e2ento, siendo )*& la probabilidad de ocurrencia de un e2ento  & en un eperimento.

 Axioma 1.- "i & es un e2ento de ", entonces la probabilidad del e2ento & es3 AN )*& N: Como no podemos obtener menos de cero Eitos ni más de n Eitos en n eperimentos, la probabilidad de cual!uier e2ento &, se representa mediante un 2alor !ue puede 2ariar de A a :.

 Axioma 2.- "i dos e2entos son mutuamente ecluyentes, la probabilidad de obtener & o ' es igual a la probabilidad de obtener & más la probabilidad de obtener '. "i dos e2entos son mutuamente ecluyentes, la probabilidad de obtener & o ' es igual a la probabilidad de obtener & más la probabilidad de obtener '.

) *&∪'  )*& 5 ) *' . (cluirse mutuamente !uiere decir !ue & y ' no pueden ocurrir simultáneamente en el mismo eperimento. &s, la probabilidad de obtener  águila o sol en la misma tirada de una moneda será3 ) *& ∪'  ) *& 5 ) *' ) *&∪'  :0< 5 :0<  :. (n general podemos decir !ue la suma de las

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probabilidades de todos los posibles e2entos mutuamente ecluyentes es igual a :3 ) *&: 5 ) *&< 5 ) *& 5... 5 )*&n  :

 Axioma 3.- "i & es un e2ento cual!uiera de un eperimento aleatorio y &? es el complemento de &, entonces3 ) *&?  : - ) *&. (s decir, la probabilidad de !ue el e2ento & no ocurra, es igual a : menos la probabilidad de !ue ocurra. Oeoremas básicos de la teora de la probabilidad.

Los tres teoremas básicos !ue hicieron posible el desarrollo de la probabilidad tal y como la conocemos hoy $ue-ron los teoremas de la suma, de la multiplicaci#n y de la probabilidad total. &un!ue ni Fermat ni )ascal no Huygens los idearon, en sus escritos aparecen ya de una $orma implcita y utili%ada correctamente.

Oeorema de la "uma.- )ascal dio a entender implcitamente !ue saba c#mo calcular los casos $a2orables de un suceso & si conoca los casos $a2orables de unos &7 dis7untos cuya uni#n es & *es decir, si los &7 son una partici#n de &.

PaQob 'ernoulli tambiEn $ue consciente de ello, y $ue más allá al darse cuenta de !ue la probabilidad de la uni#n no es la suma de las probabilidades si los sucesos no son dis7untos, aun!ue no supo dar la ra%#n. )re2iamente, Cardano haba epresado un resultado similar en tErminos de casos en 2e% de probabilidades. Ro $ue ninguno de ellos !uien $ormul# $inalmente el teorema de la suma de las probabilidades, sino el re2erendo inglEs Ohomas 'ayes *:A<B:D:, cuyo traba7o $ue ledo p#stumamente, en :D. (n esta obra, 'ayes da la primera de$inici#n eplcita de sucesos dis7untos El los llam# >inconsistentes?S y enunci# la $#rmula ahora conocida3

)T& ∪' U) &T5)U' VT) &U+' T U

Oeorema de la Multiplicaci#n.- =el mismo modo, el teorema de la multiplicaci#n de probabilidades era conocido por casi todos los estudiosos a tra2Es de cálculos particulares. "in embargo, $ue &braham =e Moi2re *:DDB:4 el primero !ue los enunci# con autoridad. (n la introducci#n a su obra =octrina de las )osibilidades de :::.

=e Moi2re present# el importante concepto de independencia de sucesos aleatoriosI as, escribi#3 W=iremos !ue dos sucesos son independientes, si uno de ellos no tiene ninguna relaci#n con el otroX y procedi# a de$inir los sucesos dependientes3 W=os sucesos son dependientes si están ligados el uno al otro y la probabilidad de ocurrencia de uno de ellos in$luye en la probabilidad de ocurrencia del otroX.

1na 2e% hecho esto, =e Moi2re lo aplic# al cálculo de probabilidades3 Wla probabilidad de ocurrencia de dos sucesos dependientes es igual a la probabilidad

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de ocurrencia de uno de ellos di2idida por la probabilidad de !ue el otro ocurra si el primero ya ha ocurrido. (sta regla puede generali%arse para 2arios sucesosX. (l caso de 2arios sucesos lo describa as3

W"e necesita elegir uno de ellos como el primero, otro como el segundo, y as. Luego, la ocurrencia del primero debe considerarse independiente de todas las demásI el segundo debe considerarse con la condici#n de !ue el primero ha ocurrido3 el tercero con la condici#n de !ue tanto el primero como el segundo han ocurrido, y as.

=e a!u, la probabilidad de las ocurrencias de todos los sucesos es igual al producto de todas las probabilidadesX. Y en notaci#n moderna3

)T&: +&< Z&n U) &:T⋅)U&< [ T&:) &U[ &: T+ &< Z) &nU[ &: +TZ &nV: U =e Moi2re acompa\# sus a$irmaciones con e7emplos resueltos. OambiEn $ue consciente de !ue lo 2erdadera-mente di$cil de este teorema es descubrir cuándo dos sucesos son o no independientes.

Oeorema de 'ayes.- (l traba7o de =e Moi2re obtu2o una gran di$usi#n, as !ue el mErito de 'ayes no $ue tanto la originalidad sino epresar la probabilidad condicional en $unci#n de la probabilidad de la intersecci#n3 )T& [ ' U)T& +' U )T' U. &demás, el honor del teorema !ue lle2a su nombre no es completamente suyo, ya !ue El no estaba en condiciones de $ormular con probabilidades totales.

Fue )ierre-"imon Laplace *:4B:G< !uien desarroll# la mayor parte del teorema de 'ayes en su (periencia en la Filoso$a de la Oeora de la )robabilidad *:G:<. "ea & un suceso !ue ocurre en con7unci#n con uno y s#lo uno de los n sucesos dis7untos ':,],'n. "i se sabe !ue el suceso & ha ocurrido, Jcuál es la probabilidad de !ue el suceso ': tambiEnK.

Laplace respondi# de la siguiente manera3 WLa probabilidad de eistencia de una de esas causas es igual a una $racci#n con un numerador igual a la probabilidad del suceso !ue se sigue de esta causa y un denominador !ue es la suma de las probabilidades similares relati2as a todas las posibles causas. "i estas di$erentes causas a priori no son e!uiprobables.

(ntonces en lugar de tomar la probabilidad del e2ento !ue sigue a cada causa, se toma el producto de esta probabilidad 2eces la probabilidad de la causaX. (sta enre2esada receta puede escribir en notaci#n moderna3

)T'i [ & U )T'i ⋅U) &T['i U I ^ )T& [ 'iU) 'iT U i:

Laplace aplic# el teorema a problemas de la mecánica celeste, la estadstica mEdica e, incluso, a la 7urisprudencia. &l igual !ue los otros dos teoremas, el Oeorema de 'ayes ya se usaba anteriormente, aun!ue nunca haba sido $ormulado.

usti!icación.- )ara mostrar al lector de una $orma clara la manera en !ue se desarrollan ambos mEtodos lo demostraremos de la siguiente $ormaI (7emplo3 1n  7uego de $ormar palabras utili%a 44 2ocales y 4 consonantes si usted elige  letras

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al a%ar cual es la probabilidad de !ue haya3 a ;nicamente 2ocales, b cuatro 2ocales.

Solución "or el m#todo de la suma y el "roducto.- a 1na $orma en !ue este inciso se cumpla consideran a la letra may;scula 89 como una letra 2ocal y la letra may;scula 8C9 como una consonante es3

` precisamente este es el primer paso en este mEtodo, decir hipotEticamente una posible $orma en !ue nuestra probabilidad se cumpla. (l siguiente paso es idententi$icar el n;mero de $ormas en !ue esta probabilidad se cumpleI !ue para este caso sera la ;nica $orma en !ue se cumple ya !ue no hay ning;n otro posible resultado para esta misma. (sto de la siguiente manera3

(ntonces como resultado tenemos !ue3  P

(

 A 

)

=1 ∙ 44 98∙  43 97 ∙  42 96 ∙  41 95∙ 40 94∙ 39 93 ∙ 48 92

b 1na $orma en !ue podra cumplirse la probabilidad de !ue cuatro de las letras sean 2ocales es la siguiente3

=onde las primeras cuatro letras 89 corresponden a las cuatro 2ocales y las letras 8C9 a las consonantes. Como en el primer inciso lo primero !ue haremos será obtener el n;mero de $ormas posibles en !ue podemos obtener este resultado. &s mediante combinaciones obtenemos !ue el n;mero de $ormas posibles es3

7 ! 4 ! 3 !

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(l siguiente paso es obtener la probabilidad del caso espec$ico !ue propusimos3

 &hora bien el resultado para este caso es3

 P

(

B

)

= 7 ! 4 ! 3 !∙  44 98 ∙ 43 97 ∙ 42 96 ∙ 41 95∙  54 94∙ 53 93∙  52 92

$etodolog%a.- a))ara este caso, se necesita hacer un análisis primero del tipo del problema al !ue nos en$rentamos, es decir, primero hay !ue anali%ar si en el problema inter2ienen combinaciones, permutaciones, repeticiones o un poco de todas. (n este caso como hablamos de combinaciones tenemos !ue

) *& ¿

44 ! 7 ! 37 !

98! 7 ! 91 !

(l denominador nos indica el n;mero total de posibles resultados sin importar si se cumple la condici#n o no. "i desarrollamos las operaciones correspondientes tendremos el mismo resultado !ue en el caso del mEtodo anterior. b (n este caso tenemos combinaciones con repeticiones. )or lo !ue la probabilidad lo obtenemos de la siguiente manera. P (B) = 44 ! 4 ! 40 !∙ 54 ! 3 ! 51! 98 ! 7 ! 91 !

&eoremas de la suma de Probabilidades.- "uponiendo !ue ) *& y ) *' representan las probabilidades para los dos e2entos & y ', entonces ) *& ∪' signi$ica la probabilidad de !ue ocurran & o '. "i representamos los e2entos & y ' en un =iagrama de enn con &+' ∅.

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(ntonces & y ' son con7untos dis7untos o mutuamente ecluyentes, o sea !ue no

pueden ocurrir en $orma simultánea. (n cambio, si ambos e2entos tienen puntos muEstrales en com;n & + '  ∅

Regla de la suma.- "i una primera tarea se puede reali%ar de n: tareas y una segunda de n< tareas y las tareas mutuamente se ecluyen, entonces reali%ar solo una de las se puede de n: 5 n< maneras.

Regla de la multi"licación.- (n la regla del producto, si una primera tarea se puede reali%ar de n: maneras seguidas de una segunda !ue se puede reali%ar de n< maneras entonces reali%ar la tarea : seguida de la tarea < se puede reali%ar de n:  n< maneras.

E'em"lo( de la suma del producto

Comer o cantar. Hacer e7ercicio y escuchar m;sica.

:.-Oenemos un dado y dos urnas. La urna  contiene : bola 2erde,  bolas ro7as y D bolas amarillasI y la urna  contiene < bolas 2erdes, D bolas ro7as y < bolas amarillas. Lan%amos el dado3 si sale : # <, acudimos a la urna I si sale , 4,  # D, acudimos a la urna . (traemos una bola de la urna correspondiente.

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b Halla3 )T,4,,DU y o7a, )erde0:, )o7a0 y )T<U y erde.

a b

)T,4,,DU y o7a *40D  *D0:A  <40DA  <0  A,4 )erde0:  :0:A  A,:

)o7a0  D0:A  A,D

)T<U y erde  *:0D  *:0:A  :0DA

<.-Oenemos dos urnas con las composiciones aba7o indicadas. La eperiencia consiste en etraer una bola de , introducirla en , remo2er y etraer, $inalmente, una bola de .

Calcular la probabilidad de !ue la segunda bola etrada sea3 a o7a. b erde. c &%ul.

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a )*o7a  0A 5 40A 5 :0A  G0A  A,<DD. b )*erde  D0A 5 <0A 5 :0A  0A  A,. c )*&%ul  D0A 5 40A 5 0A  :0A A,4.

)uer"o libre.- =ado !ue el resultado de la operaci#n es meramente aritmEtica no es de interEs para el $in de este artculo, aun!ue es necesario mencionar al lector  !ue el desarrollo de estas operaciones es el !ue nos permite darnos cuenta !ue incluso el mEtodo clásico tiene como resultado a la probabilidad de un caso espec$ico y el n;mero de $ormas en !ue podemos cumplir la condici#n de nuestra probabilidad.

(s decir, la regla del producto y de la suma nos permite comprender como $unciona el mEtodo clásico mediante una comparaci#n. (sto mismo pasa con otros mEtodos como por e7emplo el mEtodo de 'ernoulli. (l mEtodo de 'ernoulli nos

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permite calcular la probabilidad de !ue en 8n9 pruebas ocurran r Eitos, responde a la siguiente ecuaci#n3

Como podemos obser2ar es básicamente el mismo modelo !ue en el caso de la regla de la suma y el producto, tenemos la multiplicaci#n del n;mero de $ormas posibles por la probabilidad de un solo caso.

*iscusión.- (l mEtodo de la suma y el producto es una generali%aci#n $ácil y e$iciente, !ue tiene aplicaci#n en problemas sencillos o en problemas comple7os, ya !ue no re!uiere de un mayor análisis más !ue hacer una simple serie de operaciones aritmEticas. &demás esta herramienta sin duda es de gran ayuda para el cálculo de probabilidad dado !ue se adapta a cual!uier tipo de problema. "i eisten dudas acerca de si es me7or o no al mEtodo clásico o a otros mEtodos, tal 2e% eso solo dependa del tipo de problema, a!u la 2enta7a de este mEtodo es !ue no necesita de aprender ninguna $#rmula ni un mayor análisis basta con seguir los pasos del mEtodo. )rimero 2emos lo !ue nos pide el problema. =espuEs hacemos una prueba de muestra.

)ara poder calcular las probabilidades !ue nos resultaran de cada una en este caso las urnas  y  es ob2io decir !ue las $racciones !ue obtenemos son de menos de la unidad por cuestiones de probabilidad tanto para el problema : y < y tomamos en cuenta la regla de la suma y el producto.

)onclusión.- Los $undamentos de las reglas de la suma y de la multiplicaci#n se resumen como sigue3

• (n la regla de la suma, la palabra 8o9 en )*& o ' sugiere. "umar )*& y

)*', 2eri$icando si no eiste traslape.

• (n la regla de la multiplicaci#n la palabra 8y9 en )*& y ' sugiere una

multiplicaci#n. Multiplicar )*& y ) *' 2eri$icando si el suceso ' toma en cuenta la ocurrencia pre2ia de &.

Los distintos mEtodos de plantear las probabilidades nos conduce a pensar por  !uE camino dirigirnos, más en todo momento nuestra gua es un resultado preciso y bien determinado es siempre la gua correcta.

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(l mEtodo de la suma y la multiplicaci#n llegan a ser procedimientos muy naturales para las personas, se simpli$ica de gran manera y en todo instante se puede obser2ar lo !ue se está reali%ando. Cuando se tiene un uni2erso determinado el cual contiene la toma de muestras y necesitamos deducir la probabilidad de un suceso, con todo lo !ue ya tenemos tal son los mEtodos suma y multiplicaci#n podemos conocer los elementos de cada situaci#n, la $orma en !ue traba7an y los resultados despuEs de conocer el hecho.

Cuando un sistema se basa a tra2Es del lengua7e como lo es un 8y9, 8o9 la labor a desarrollar disminuye al igual su complicaci#n y con2ierte esto en un con7unto de pasos muy bien estructurados donde los con7untos son más $áciles de comprender  y desarrollar, esto nos plantea una base bastante buena de resoluci#n y podemos apreciar los bene$icios de estos mEtodos.

Lo !ue arro7a este uso de teoremas, reglas y $ormulas es determinar la probabilidad estadstica y conocer los porcenta7es y medidas !ue se encuentran en cada situaci#n. La combinaci#n de pie%as !ue se pueden $ormar en momentos determinados o los medios $actoriales terminan siendo la manera en !ue se epresa esto nos lle2ara a probabilidades muy precisas.

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