Portafolios de IO

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FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL DEPARTAMENTO DE PRODUCCIÓN LICENCIATURA EN INGENIERÍA INDUSTRIAL

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Estudiante:

Joselyne Johany Núñez Pitty

Cédula 4-762-918 Profesora: Rubiela de Quintero Segundo Semestre Año 2013

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Plan de la Asignatura

U

NIVERSIDAD

T

ECNOLÓGICA

D

E

P

ANAMÁ

F

ACULTAD

D

E

I

NGENIERÍA

I

NDUSTRIAL

ASIGNATURA: INVESTIGACION DE OPERACIONES ( II )

COD. DE ASIG: 7230

CRÉDITOS: 4

HORAS: 4

ULTIMA REVISIÓN: AGOSTO DE 2011

COMISIÓN DE REVISIÓN: ING. IZAEL URIETA FUNDAMENTAL: NO

CARRERA: LIC. INGENIERIA INDUSTRIAL LIC. ING. MECANICA INDUSTRIAL

AÑO: IV

SEMESTRE: II

PRE-REQUISITO: INVESTIGACION DE OPERACIONES I

BREVE DESCRIPCIÓN:

Este curso incorpora conocimientos de Introducción a la Programación dinámica. Programación dinámica determinista. Modelos de optimización en la gestión de inventarios. Elementos de un modelo general de inventarios. Control de Inventarios. Optimización de los Modelos deterministas. Variaciones de los modelos deterministas. Modelos estocásticos de Inventario. Modelado de colas o líneas de espera. Proceso de Poisson. Introducción y definiciones básicas de teoría de colas. Modelos clásicos de colas. Introducción a la simulación. Elementos necesarios para el proceso de simular. Simulación de procesos. Aplicación de la simulación en la toma de decisiones. Modelado de Inventarios. Teoría de la decisión. Criterios de decisión. Decisión multicriterio. Modelos de Redes

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OBJETIVO GENERAL:

 Introducir modelos de decisión basados en análisis matemático o simulación, con el objetivo de tomar decisiones en situaciones de complejidad o incertidumbre, obteniendo los valores óptimos de las variables de decisión que intervienen en el modelo.

 Brindar Herramientas Cuantitativas para la Toma de Decisiones.

 Apoyar el proceso de Toma de Decisiones a través de la Modelación de problemas de aplicación

METODOLOGÍA  Clases Dirigidas

 Solución de Casos y Problemas en Clase

 Talleres en el laboratorio de computadoras para desarrollar aplicaciones a través de softwares de la especialidad.

 Aprendizaje interactivo: se enviará con anticipación material de lectura para evaluar la comprensión del estudiante

CONTENIDO:

I- PROGRAMACIÓN DINÁMICA DETERMINÍSTICA (10 Horas)

1. Introducción

2. Algoritmo de la Programación Dinámica 3. La Recursión de la Programación dinámica

a. Cálculo hacia Adelante. b. Cálculo hacia atrás. 4. Aplicaciones de Ejemplo.

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II- MODELOS DE INVENTARIOS DETERMINISTICOS (10 Horas)

1. Modelo General de Inventario

a. Costos de un Sistema de Inventario

2. Modelos de Cantidad Económica de Pedidos (EOQ) a. Modelos sin Déficit (Compra y Manufactura) b. Modelos con Déficit (Compra y Manufactura) 3. Descuento por Cantidad en Modelos EOQ

a. Descuento Incremental b. Descuento Total

4. Modelo EOQ de Múltiples Artículos con Restricciones a. Limitaciones de Espacio, Capital y Número de Pedidos. 5. Modelo EOQ con Demanda Dinámica

a. Compra de un artículo en N Periodos

b. Programación de la Producción en N Periodos

III- MODELOS DE INVENTARIO PROBABILISTICOS (6 Horas)

1. Modelo de Revisión Continua

a. Modelo probabilista de cantidad económica de pedido (EOQ)

 Modelos con demanda discreta, normal y uniforme. 2. Modelos de un periodo

a. Modelos con costo de preparación y sin costo de preparación b. El caso del vendedor de periódicos.

3. Modelos de Revisión Periódica

4. Cálculo del punto de reorden y de las existencias de seguridad

IV- TEORIA DE COLAS. (6 Horas)

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2. El modelo básico

3. Clasificación de los modelos de colas a. Modelo de cola simple b. Modelo múltiple de colas 4. Notación Kendall

5. Distribuciones de probabilidad a. Exponencial (markoviana)

b. Degenerada (tiempos constantes) c. Erlang

d. Otros Tipos de Distribución.

V- SIMULACION. (16 Horas)

1. Introducción a la simulación discreta 2. Simulación Monte Carlo

3. Generación de variables aleatorias 4. Simulación con hoja de cálculo

a. Simulación con complementos de hoja de cálculo 5. Herramientas de simulación (Flexsim, Arenas, ProModel, etc.) 6. Aplicaciones

a. Líneas de espera

b. Inventarios con demanda aleatoria.

VI – TEORÍA DE LA DECISIÓN Y JUEGOS (6 Horas)

1. Introducción a la Teoría de la Decisión 2. Tablas de Decisión

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Proceso de Jerarquía Analítica (AHP) b. Toma de Decisión bajo Incertidumbre

Reglas de Decisión (Criterio Wald, Maximax, Hurwicz, Savage y Laplace)

c. Toma de Decisión bajo Riesgo Reglas de Decisión

Criterio del Valor Esperado

Otros Criterios: Mínima Varianza con media acotada, de la Dispersión, de la Media con varianza acotada y de la Probabilidad Máxima. 3. Teoría de Juegos.

VII- - CADENAS DE MARKOV.

1. Procesos Estocásticos.

a. Definición de una Cadena de Markov. 2. Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov.

3. Clasificación de Estados en una Cadena de Markov. 4. Tiempos de Primera Pasada.

5. Propiedades a Largo Plazo.

a. Probabilidades de Estado Estable.

b. Costo Promedio Esperado por Unidad de Tiempo. 6. Estados Absorbentes.

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BIBLIOGRAFÍA:

 INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Frederick Hillier & Gerald Lieberman, Ed. McGraw Hill, 9na edición

 METODOS Y MODELOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Vol. I Juan Prawda, Ed. Limusa, 1ra edición

 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Hamdy Taha, Ed. Prentice Hall, 7ma Edición

 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Aplicaciones y Algoritmos Wayne Winston, Ed. Thomson, 4ta edición

 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES El Arte de la Toma de Decisiones Kamlesh Mathur & Daniel Solow, Ed. Prentice Hall, 1996

 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES EN LA CIENCIA ADMINISTRATIVA Gould, Eppend & Schmidt Ed. Prentice Hall, 5ta. edición

 METODOS CUANTITATIVOS PARA ADMINISTRACION

Frederick S. Hillier & Mark S. Hillier & Gerald Lieberman, Ed. McGraw Hill, 2000

 METODOS CUANTITATIVOS para los Negocios

David Anderson & Dennis Sweeney & Thomas Williams, Ed. Thomson, 9na edición

 METODOS CUANTITATIVOS para los Negocios

Barry Render & Ralph Stair & Michael Hanna, Ed. Prentice Hall, 9na edición

 PROGRAMACION LINEAL Y FLUJO EN REDES M. Bazaraa & John Jarvis Ed. Limusa, 1992

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EVALUACIÓN (SUGERIDA)

Item a evaluar Porcentaje

Parciales (3) Casos *

Practicas, Tareas

Proyecto Final( semestral)

45 15 10 35 Total 100 %

(*) Algunos Casos representan el uso de software aplicado. Tal como, Excel (Solver), Flexsim, QMS y demás software de la especialidad. Se recomienda al menos 4 sesiones de laboratorio de uso del software incluyendo un taller de evaluación sumativa.

Conocimientos Mínimos que deben tener los estudiantes al ingresar al curso:

- Conocimientos básicos de programación de computadoras. - Maneja de Hojas de Cálculo Electrónicas.

- Conocimiento de modelación de problemas.

RECURSOS DIDÁCTICOS

Se utilizarán como recursos didácticos:

 Bibliografía actualizada (libros y revistas). Estos se utilizarán como una forma de que el alumno adquiera habilidad para Sintetizar e integrar informaciones e ideas; como un medio para que conozcan distintas perspectivas y valoraciones en el área de la Investigación de Operaciones, y desarrollen una actitud de apertura hacia nuevas ideas, logrando así estimular el desarrollo de su lógica..

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 Software Flexsim, WinQSB, QMS, Solver de Excel, Equipamiento computacional del Laboratorio de Informática y Consultas a INTERNET (plataforma Moodle). Estos se utilizarán como una manera de contribuir a que los alumnos adquieran habilidad para usar herramientas metodológicas y tecnología importantes en esta disciplina.

 Pilotos, pizarrón, retroproyector y transparencias, PC y cañón multimedia, software PowerPoint para presentar los diferentes temas de la teoría y para que los alumnos realicen sus exposiciones.

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Mis metas con respecto a la asignatura

Espero aprender mucho de esta materia principalmente porque es una de las materias esenciales para ser un ingeniero y es lo que hace a un ingeniero ser como tal.

La investigación de operaciones, como su nombre lo dice, trata de investigar las operaciones para que, por medio de cálculos matemáticos, se tomen las mejores decisiones y obtener mejores resultados (más óptimos). Como ingenieros industriales, debemos buscar la manera de minimizar nuestros recursos y obtener mejores resultados. En particular, a mí me encanta ser buena en lo que hago, si hago algo me gusta hacerlo bien y si es posible ser la mejor en lo que hago. Como futura ingeniera industrial, a mí me gustaría aprender todo lo posible de esta materia para emplearlo tanto en mi vida (en la economía de mi hogar) como en el trabajo. Tengo muchos proyectos en mente en cuanto a lo laboral y creo que esta es una de las materias que me ayudarán a planificar mejor lo que voy a hacer visto desde el plano de las matemáticos y me ayudará a tomar decisiones por lo que mi principal meta será aprender, y aprender en serio.

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Material de apoyo

 Libros consultados:

 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Hamdy Taha Ed. Prentice Hall, 7ma. Edición

 Métodos Cuantitativos de Render . Prentice Hall  Videos instructivos en youtube

 http://www.youtube.com/watch?v=VNmPMHJxIy8  http://www.youtube.com/watch?v=KtRUeIxBsyY  http://www.youtube.com/watch?v=jb3_zvj0w_c  http://www.youtube.com/watch?v=j8YWiYgxNVM  http://www.youtube.com/watch?v=QjIPpskMZe0

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Material dado en Clases

MODELOS DETERMINÍSTICOS DE INVENTARIO

CUESTIONARIO DE INVENTARIO Nombre: Joselyne Núñez

Cédula: 4-762-918

1. ¿Qué es inventario?

Se considera inventario cualquier recurso almacenado que se utiliza apra satisfacer una necesidad actual o futura. La materia prima, los trabajos en proceso y los bienes terminados son ejemplos de inventario.

2. ¿En qué consiste una política de inventario?

Una política de inventario consiste en colocar y recibir en forma repetida pedidos (u “órdenes”) de determinados tamaños a intervalos de tiempo establecidos.

3. ¿Cuál es el objetivo de una política de inventario?

El objetivo de una política de inventario es la de contestar las 2 siguientes preguntas: 1. ¿Cuánto pedir?

2. ¿Cuándo pedir?

4. ¿Cuáles son los costos relacionados a un modelo de inventario? ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 5. ¿En qué consiste un modelo de cantidad económica de pedido?

El modelo de cantidad económica de pedido (EOQ) es una de las técnicas más antiguas y mejor conocidas del control de inventarios. Los primeros datos sobre su uso se remontan a un artículo de 1915 de Ford W. Harris.

6. Derive la fórmula de la cantidad óptima de pedido

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√

7. ¿Cómo se calcula el ciclo de pedido?

Las características de la demanda para el modelo, permiten deducir el tiempo en el cual se presenta un ciclo de pedidos, el cual corresponde a aquel que transcurre desde el aprovisionamiento de inventario con una cantidad de pedido Q hasta que se agota completamente y es necesario volver a reaprovisionarlo en la misma cantidad. Esta variable está dada por:

En donde T representa el tiempo de ciclo de pedido, en fracción de año. 8. ¿Cómo se calcula el nivel promedio de inventario?

El nivel promedio de inventario es la mitad del nivel máximo, es decir, Q/2, donde Q es la cantidad de pedidos.

9. ¿Cómo se calcula el tiempo efectivo de entrega, cuando el tiempo de entrega es menor que la longitud del ciclo?

Donde,

n es el entero mayor, no mayor que

L es el tiempo de espera entre la colocación y recepción de pedido es el ciclo de pedido

10. ¿Qué es un punto de reorden?

El punto de reorden (ROP) es el nivel de inventario en el cual debe realizarse un pedido. El ROP se expresa como:

ROP = (demanda por día)x(plazo de entrega de un pedido nuevo en días) ROP = (d)x(L)

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Desarrolle el ejemplo 11.2-1 del Libro de Taha

Se cambian las luces de Neón en el campus de la U de A a una tasa de 100 unidades diarias. Estas luces de neón se piden en forma periódica. Cuesta $100 iniciar una orden de compra. Se estima que una luz de neón en el almacén cuesta unos $0.02 diarios. El tiempo de entrega, entre la colocación y la recepción de un pedido es de 12 días. Determine la política óptima de inventario para pedir las luces de neón.

De acuerdo con los datos de este problema, D = 100 unidades por día

K = $100 por pedido

h = $0.02 por unidad y por día L = 12 días

Así,

√ √ ( )( )

La longitud del ciclo correspondiente es

Como el tiempo de entrega L=12 días es mayor que la longitud del ciclo (=10 días), se debe calcular Le. La cantidad de ciclos incluidos en L es:

( ) ( ) Entonces, Le = L-n Le =12-(1)(10) Le = 2 días

Entonces el punto de reorden se presenta cuando la cantidad de inventario baja a: Le D =2 x 100 = 200 luces de neón

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“Pedir 1000 unidades cuando el inventario baja a 200 unidades” El costo diario de inventario correspondiente a la política propuesta es:

( )

11. Desarrolle problemas 1 y 2 de la pág. 433 de Taha del Conjunto de Problemas 11.2A Problema #1

En cada uno de los siguientes casos no se permiten faltantes y los tiempos de retraso entre la locación y la recepción de un pedido son 30 días. Determine la política óptima de inventario y el costo diario correspondiente.

a. K = $100 h= $0.05 D=30 unidades diarias b. K = $50 h= $0.05 D=30 unidades diarias c. K = $100 h= $0.01 D=40 unidades diarias d. K = $100 h= $0.04 D=20 unidades diarias a. √ √ ( )( ) ( ) ( ) Entonces, Le = L-n Le =30-(2)(11.55) Le = 6.90 días

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Entonces el punto de reorden se presenta cuando la cantidad de inventario baja a: Le D =6.90 x 30 = 207 unidades

La política de inventario para pedir luces de neón es:

“Pedir 346.41 unidades cuando el inventario baja a 207 unidades” El costo diario de inventario correspondiente a la política propuesta es:

( ) ( ) ( ) b. √ √ ( )( ) ( ) ( ) Entonces, Le = L-n Le =30-(3)(8.17) Le = 5.49 días

Entonces el punto de reorden se presenta cuando la cantidad de inventario baja a: Le D =5.49 x 30 = 164.7 unidades

“Pedir 244.95 unidades cuando el inventario baja a 164.7 unidades” El costo diario de inventario correspondiente a la política propuesta es:

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( ) ( ) ( ) c. √ √ ( )( ) ( ) ( ) Entonces, Le = L-n Le =30-(1)(22.36) Le = 7.64 días

( )

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d. √ √ ( )( ) ( ) ( ) Entonces, Le = L-n Le =30-(1)(15.81) Le = 14.19 días

( )

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Problema #2

Mc Burger pide una carne molida al comenzar cada semana, para cubrir la demanda semanal de 300lb. El costo fijo por pedido es de $20. Cuesta unos $0.03 por libra y por día refrigerar y almacenar la carne.

a. Determinar el costo semanal inventario para política actual de pedidos

b. Determine la política óptima de inventario que debería usar McBurger, suponiendo tiempo de entrega cero entre la colocación y la recepción de un pedido.

c. Determine la diferencia de costos semanales entre las políticas actual y óptima de pedidos. a. ( ) ( ) ( ) b. √ √ ( )( ) ( ) ( ) Le = 0 días

Política: “Pedir 239 lbs cuando el inventario baje a cero” c. Diferencia de costo: $5.50 - $5.20 = $1.30

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SISTEMAS DE COLAS ELEMENTOS DE UN MODELO DE COLAS

En cada una de las siguientes situaciones, identifique al cliente y al servidor:

Cliente Servidor

1 aviones Aeropuerto

2 pasajeros Sitio de taxis

3 herramientas Taller de maquinado

4 cartas Oficina postal

5 Personas que se van a

inscribir

Universidad

6 casos Cortes legales

7 caja Supermercado

8 autos estacionamientos

PAPEL DE LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

El tiempo entre llegadas a la oficina estatal de Hacienda es exponencial, con valor medio de 0.05 horas. La oficina abre a las 8:00A.M

a. Escriba la distribución exponencial que describe el tiempo entre llegadas

 f(t)=20e-20t,t<0.

b. Encuentre la probabilidad de que no lleguen clientes a la oficina alrededor de las 8:15 A.M

 P{t> } = e-0.20(0.25)= 0.0067

c. En este momento son las 8:35 A.M. el ultimo cliente llegó a la oficina a la 8:26¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente llegue antes de las 8:38 A.M?¿de que no llegue alrededor de los 8:40 A.M?

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 P{t>} =1- e-0.20(0.05)= 0.63

 P{t>} = e-0.20(0.083)= 0.19

d. ¿Cuál es el promedio de clientes que llegan entre 8.10 y 8.45 A.M



NACIMIENTO PURO

El tiempo entre llegadas en el restaurante L&J es exponencial con media de 5 minutos. El restaurante abre a las 11:00AM determine lo siguiente:

a) La probabilidad de tener 10 llegadas en el restaurante alrededor de las 11:12 A.M dado que 8 clientes llegaron a las 11:05 A.M

( ) ( ) = 0.2417

b) La probabilidad de que un nuevo cliente llegue entre las 11:28 y las 11.33 A.M, si el ultimo cliente llegó a las 11:25 A.M

c) ( ) ( ) = 0.3679

MODELO DE MUERTE PURA

Un taller mecánico se acaba de surtir de 10 partes de repuesto para la reparación de una máquina. La reposición de la existencia que regresa el nivel a 10 piezas ocurre cada 7 días. El tiempo entre fallas es exponencial con media de 1 día. Determine la probabilidad de la máquina permanezca descompuesta durante dos días porque no hay partes de repuestos disponibles.

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MODELO DE COLAS GENERAL DE POISSON

En el modelo de B&K del ejemplo 18.5-1, suponga que las tres cajas están siempre

abiertas y que la operación está configurada de tal manera que el cliente vaya primero a la caja vacía. Determinar lo siguiente:

a) La probabilidad de que las tres cajas estén en uso

 La probabilidad de que las tres cajas estén en uso es de 0.4444 b) La probabilidad de que el cliente que llegue no tenga que esperar.

 La probabilidad de que el cliente no tenga que esperar es de 0.5556

MODELO DE UN SOLO SERVIDOR

2. Jhon Macko en la U de Ozark. Realiza trabajos peculiares para complementar sus

ingresos. Las solicitudes para que realice un trabajo llegan cada 5 días, pero el tiempo etre solicitudes es exponencial. El tiempo para terminar un trabajo también es exponencial con media de 4 días.

(M/M/1): (GD/ )

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= = 0.8

 Si Jhon gana aproximadamente $50 por trabajo, ¿cuál es su ingreso mensual promedio?

$50/trabajo

($50)(0.25)(30 días)= $375.00

 Si al final del semestre John decide subcontratar los trabajos pendientes a $40 cada uno, ¿Cuánto, en promedio, debe esperar que le paguen?

Lq= wq = = = 3.2*$40 =$128

5- Un restaurante de comida rápida tiene una ventanilla para servicio en su auto. Los autos llegan según una distribución de Poisson a razón de dos cada 5 minutos. El espacio el espacio en frente de la ventanilla puede acomodar a la sumo 10 autos, incluso el que se está atendiendo. Los demás autos pueden esperar afuera de este espacio si es necesario. El tiempo de servicio por cliente es exponencial, con una media de 1.5 minutos.

Determine lo siguiente: (M/M/1): (GD/ )

a) La probabilidad de que la ventanilla este ociosa

 La probabilidad de que la ventanilla este ociosa es 0,403 b) La cantidad estimada de clientes que esperan ser atendidos

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c) El tiempo de espera hasta que un cliente llega a la ventanilla para hacer su pedido

 Wq= 2,21

d) La probabilidad de que la línea de espera exceda la cantidad de 10 espacios.

 P{n>=11}= 0.0034

Conjunto de problemas 18.6C

5. Una cafetería puede acomodar un máximo de 50 personas. Los clientes llegan en una corriente Poisson a razón de 10 por hora y son atendidos (uno a la vez) a razón de 12 por hora.

(M/M/1) : (GD/50/ )

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llegue no coma en la cafetería porque está llena?

  P51= ( ) = 0.0000152

b) Suponga que a tres clientes (con tiempos de llegada aleatorios) les gustaría sentarse juntos ¿Cuál es la probabilidad de que se cumpla su deseo? (suponga que pueden hacerse arreglos para que se sienten juntos en cuanto haya tres sillas disponibles)

P47= (P48+P49+P50)

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MODELOS DE VARIOS SERVIDORES

El centro de cómputo de la U de A esta equipado está con cuatro maxi computadoras idénticas. La cantidad de usuarios en cualquier momento es de 25. Cada usuario es capaz de enviar un trabajo desde una terminal cada 15 minutos es promedio, pero el tiempo real entre varios es exponencial. Los trabajadores que llegan automáticamente se van a la primera computadora disponible. El tiempo de ejecución por envió es exponencial con una media de 2 minutos. Calcule lo siguiente:

a) La probabilidad de que un trabajo no se ejecute de inmediato inmediatamente después de enviarlo.

 La probabilidad de que no se ejecute de inmediato es de 0.6577, >K

b) El tiempo promedio hasta que los resultados de un trabajo se le devuelvan al usuario.

 Ws= 0,0662

c) El promedio de trabajos en espera de ser ejecutados.

 Lq= 3.29 trabajos

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 P0= 0,0213

e) El promedio de computadoras ociosas.

 4-(Lq-Ls)= 4-(3.29-6.62)= 0.67

Conjunto de problemas 18.6E

2. En la tienda de Eat&Gas funciona una estación de gasolina de dos bombas. El carril que conduce a las bombas puede alojar cuando mucho 3 autos, excluyendo a los que se les está dando atención. Los autos que llegan se van a otra parte si el carril está lleno. La distribución de los autos que llegan es de Poisson con media de 20 por hora. El tiempo para llenar el tanque y pagar es exponencial con media de 6 minutos. Determine lo siguiente:

a) El porcentaje de autos que buscarán servicio en otra parte. Según TORA

 Debe ser la probabilidad de P5= 0.18182

b) el porcentaje de tiempo que una bomba está en uso.

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c) La utilización en porcentaje de las dos bombas.



d) La probabilidad de que un auto que llega no inicie el servicio de inmediato pero que encuentre un espacio vació en el carril.

 (p2+p3+p3)= 0.18182+ 0.0182+0.0182=0.54546

f) La capacidad del carril que garantice que la probabilidad de que ambas bombas estén ociosas es de menos 0.05 o menos.

 P0<=0.05

 reemplazando en esta fórmula obtenemos la siguiente tabla: (∑ ( ))-1, =1 N 5 6 7 8 9 10 Pn 0.0909 0.0769 0.0667 0.0588 0.0526 0.0476 Concluyendo entonces que la capacidad del carril ser de N>= 10 para que ambas bombas estén ociosas y se cumpla que la probabilidad sea menos de 0.05.

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Programación con metas

 Variables de Holgura

 Variables de diferencia

(Logro de más del objetivo de la utilidad) (Logro de menos del objetivo de la utilidad)

Ejemplo# 1

Una empresa produce 2 productos ( ), los 2 productos deben pasar por un proceso de producción que implica cableado eléctrico y ensamble. Se requiere de 2 horas para

cablear el producto 1 y 3 horas para el producto 2. En el área de ensamble se requiere 6 y 5 horas respectivamente para cada producto. El producto 1 reditúa $ 7.00 y el producto 2 $ 6.00. La empresa se va a mudar a otro lugar durante el periodo de producción y

considera que un nivel de utilidad de 30 dólares será satisfactorio durante el periodo de ajuste. Formule el problema como un problema de programación con metas.

Suponga que agregamos otras metas:

2. Utilizar por completo las horas en el departamento de cableado. 3. Evitar el tiempo extra en el departamento de ensamble.

4. Cumplir con un proveedor y producir por lo menos 7 unidades del producto 2. Desarrollo

Meta1: 7 +6 + + =30 (Metas de utilidad)

Meta2: 2 +3 + + =12 (Uso del tiempo de cableado) Meta3: 6 +5 + + =30 (Evitar el tiempo extra) Meta4: + =7 (Compromiso con el cliente)

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En este caso las prioridades van en el mismo orden que fueron dadas En la FO hay que minimizar las desviaciones

FO= Resuelto en QM

Al remplazar los valores obtenidos en QM de las variables:

La primera meta no se cumple ya que nos da un resultado de 36 es decir que nos pasamos por 6 de utilidad.

La segunda meta no cumple ya que nos da un resultado de 18 al remplazar y este se pasa por 6 horas.

La tercera meta si cumple ya que nos da el mismo valor en la igualación de 30.

La cuarta meta no cumple debido a que nos da un resultado de 30 es decir que nos estamos pasando por 23 unidades del producto 2

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Problemas en Clase Ejemplo# 1

Una empresa produce 2 productos ( ), los 2 productos deben pasar por un proceso de producción que implica cableado eléctrico y ensamble. Se requiere de 2 horas para

cablear el producto 1 y 3 horas para el producto 2. En el área de ensamble se requiere 6 y 5 horas respectivamente para cada producto. El producto 1 reditúa $ 7.00 y el producto 2 $ 6.00. La empresa se va a mudar a otro lugar durante el periodo de producción y

considera que un nivel de utilidad de 30 dólares será satisfactorio durante el periodo de ajuste. Formule el problema como un problema de programación con metas.

Meta2: 2 +3 + + =12 (Uso del tiempo de cableado) Meta3: 6 +5 + + =30 (Evitar el tiempo extra) Meta4: + =7 (Compromiso con el cliente) En este caso las prioridades van en el mismo orden que fueron dadas En la FO hay que minimizar las desviaciones

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Resuelto en QM

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Problema# 2 (11.22)

El director de campaña pretende utilizar 4 formas de publicidad (anuncios de TV, radio, pancartas y anuncios en periódicos). Los costos son $900 por cada anuncio de Tv, $500 por cada anuncio de radio, $600 por las pancartas y $180 por cada anuncio de periódico. La audiencia alcanzada por cada costo de anuncio ha sido estimada por 40,000 personas por cada anuncio de TV, 32,000 por cada anuncio de radio, 34,000 por cada pancarta y 17,000 por cada anuncio de periódico. El presupuesto mensual es de 16,000 dólares. Se han establecido y clasificado las siguientes metas:

1) El número de personas alcanzadas debe ser por lo menos 1, 500,000. 2) El presupuesto mensual de publicidad no deberá ser excedido.

3) Juntos el número de anuncios de TV y radio deberán ser por lo menos 6. 4) No deberán ser utilizados más de 10 anuncios de cualquier tipo de publicidad.

Formule, resuelva e indique cuáles metas pueden ser alcanzadas por completo y cuáles no.

Programación por metas

X1, X2, X3, X4 P1 40,000X1+32,000X2+34,000X3+17000X4+ = 1,500,00 P2 900X1+500X2+600X3+180X4+ = 16,000 P3 X1+ X2 + =6 P4 X1 + =10 X2 + =10 X3 + =10

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X4 + =10

F.O. P1 P3 Resolución del problema mediante QM

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Problema 11.24

Geraldine Shawhan es presidente de Shawhan File Works, una firma que fabrica dos tipos de archiveros metálicos. La demanda de su modelo de dos cajones es hasta de 600

archiveros por semana; la demanda del archivero de 3 cajones está limitada a 400 por semana. La capacidad semanal de operación de Shawhan File Works es de 1300 horas y el archivero de 2 cajones requiere 1 hora para ser fabricado y el de 3 cajones requiere 2 horas. Cada modelo de 2 cajones que se vende, reditúa una utilidad de $10 y la utilidad del modelo grande es de $15. Shawhan estableció las siguientes metas en orden de importancia.

1. Alcanzar una utilidad semanal tan cerca de $11,000 como sea posible 2. Evitar la subutilización de la capacidad de producción de la firma

3. Vender tantos archiveros de 2 y 3 cajones conforme la demanda lo indique Formule este problema como un problema de programación por metas

Programación por metas

P1 10X1 + 15X2 + = 11 000

P2 X1 + 2X2 + = 1300

P3 X1 + = 600 X2 + = 400

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PROGRAMACIÓN DINÁMICA DETERMINÍSTICA

INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN DINÁMICA

Una forma razonable y comúnmente empleada de resolver un problema es definir o caracterizar su solución en términos de las soluciones de sub-problemas del mismo. Esta idea proporciona métodos eficientes de solución para problemas en los que los sub-problemas son versiones más pequeñas del problema original. La programación dinámica es útil para resolver un problema donde se deben tomar una serie de decisiones

interrelacionadas. La programación dinámica encuentra la solución óptima de un problema con n variable, descomponiéndolo en n etapas, siendo cada etapa un sub-problema de una sola variable. Conviene resaltar que a diferencia de la programación lineal, el modelado de problemas de programación dinámica no sigue una forma estándar. Así, para cada problema será necesario especificar cada uno de los componentes que caracterizan un problema de programación dinámica.

La solución de problemas mediante esta técnica se basa en el llamado principio de optimalidad que establece la idea de que Dado el estado actual, la decisión óptima para cada una de las etapas restantes no tiene que depender de los estados ya alcanzados o de las decisiones tomadas previamente.

Esta técnica llega a una solución trabajando hacia atrás, partiendo del final del problema hacia el principio, por lo que un problema enorme e inmanejable se convierte en una serie de problemas más pequeños y manejables. La programación dinámica se utiliza tanto en problemas lineales como no lineales.

PROGRAMACIÓN DINÁMICA DETERMINÍSTICA

En este tipo de programación dinámica, el estado de la siguiente etapa está determinado por completo por el estado y la política de decisión de la etapa actual. El caso

probabilístico es en el cual existe una distribución de probabilidad del valor posible del siguiente estado. Se analizará posteriormente.

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NATURALEZA RECURSIVA DE LA PROGRAMACIÓN DINÁMICA

Los cálculos de programación dinámica se hacen en forma recursiva, ya que la solución óptima de un sub-problema se usa como dato para el siguiente sub-problema. Para cuando se resuelve el último sub-problema se obtiene la solución óptima de todo el problema. La forma en la que se hacen los cálculos recursivos depende de cómo se descomponga el problema original. En particular, los sub-problemas se vinculan

normalmente mediante restricciones comunes. Al pasar de un sub-problema al siguiente se debe mantener la factibilidad de esas restricciones comunes.

RECURSIÓN EN AVANCE Y EN REVERSA

Se usa la recursión en avance, cuando los cálculos se hacen de la primera etapa a la última etapa; y se usa la recursión en reversa, cuando los cálculos se hacen de la última etapa a la primera etapa. Con las recursiones en avance y en reversa se obtiene la misma solución. Aunque el procedimiento en avance parece más lógico, en las publicaciones sobre programación dinámica se usa la recursión en reversa. La razón de esta preferencia es que, en general, la recursión en reversa es más eficiente desde el punto de vista computacional.

ELEMENTOS DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA

ETAPA (n) Es el período de tiempo, lugar, fase o situación en donde se produce un cambio debido a una decisión (Xn).

ESTADO (Sn) Muestra la situación actual del sistema cuando nos encontramos en la etapa

n. En la terminología de la programación dinámica, a Sn se le llama estado del sistema en

la etapa n. De hecho, se considera que el estado del sistema en la etapa n es la

información que enlaza, conecta o vincula las etapas, de tal modo que se puedan tomar las decisiones para las etapas restantes sin volver a examinar cómo se llegó a las

decisiones de las etapas anteriores. También se puede decir que por estado se quiere dar

a entender la información que se necesita en cualquier etapa para tomar una decisión óptima.

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 VARIABLES DE DECISIÓN (Xn) Hacen referencia a toma de decisiones (o política de

decisión) que se producen en una etapa y que produce un cambio en el estado actual del sistema.

 FUNCIÓN RECURRENTE (Fn) Refleja el comportamiento del sistema en función de

los estados y de las variables de decisión: F n (Sn, Xn). La recursión relaciona el costo o la contribución ganada durante alguna etapa con el costo o la contribución ganada en la etapa posterior de forma acumulativa.

CARACTERÍSTICAS DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA

Para que un problema pueda ser resuelto con la técnica de programación dinámica, debe cumplir conciertas características: o

 El problema puede ser dividido en etapas, cada una de las cuales requiere de una política de decisión.

 Cada etapa se relaciona con una cierta cantidad de etapas.

 Cada etapa tiene cierto número de estados asociados con su inicio.

 La decisión óptima de cada etapa depende solo del estado actual y no de las decisiones anteriores.

 La decisión o política de decisión tomada en una etapa determina el modo en que el estado de la etapa actual se transforma en el estado de la etapa siguiente. Tipos de problemas que se pueden utilizar

 Ruta más corta  Volumen carga  Mochila,  Asignación de recursos  Asignación de personal  De inventarios

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PROBLEMA 5.

Un alumno debe seleccionar en total 10 cursos opcionales de cuatro departamentos distintos, y al menos un curso de cada departamento. Los 10 cursos se asignan a los 4 departamentos en una forma que maximiza el conocimiento. El alumno mide el conocimiento en una escala de 10 puntos, y llega a la tabla siguiente:

Número de cursos Departamento 1 2 3 4 5 6 >=7 I 25 50 60 80 100 100 100 II 20 70 90 100 100 100 100 III 40 60 80 100 100 100 100 IV 10 20 30 40 50 60 70

 Este problema tiene 4 etapas y 7 estados.

Variables: Restricciones:

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Etapa 1 ( ) 1 25 25 1 2 50 50 2 3 60 60 3 4 80 80 4 5 100 100 5 6 100 100 6 7 100 100 7 Etapa 2 ( ) 2 45 45 1 3 70 95 95 2 4 80 120 115 120 2 5 100 130 140 125 140 3 6 120 150 150 150 125 150 2,3,4 7 120 170 170 160 150 125 170 2,3 8 120 170 190 180 160 150 125 190 3

(42)

Etapa 3 ( ) 3 85 85 1 4 135 105 135 1 5 160 155 175 175 3 6 180 180 175 145 180 1,2 7 190 200 200 195 145 200 2,3 8 210 210 220 220 195 145 220 3,4 9 230 230 230 240 220 195 145 240 4 Etapa 4 ( ) 4 95 95 1 5 145 105 145 1 6 185 175 115 185 1 7 190 195 165 125 195 2 8 20 200 205 175 135 210 1 9 230 220 210 215 185 145 230 1 10 250 240 230 220 225 195 155 250 1 Solución optima:

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Ejemplo 10.3-1

Un barco de 4 toneladas se carga con uno o más de tres artículos. La tabla siguiente muestra el peso unitario, , en toneladas, y el ingreso por unidad

, en miles de dólares, para el artículo i. ¿Cómo se debe cargar el barco para maximizar los ingresos totales?

Artículo i

1 2 31

2 3 47

3 1 14

Como los pesos unitarios y el peso máximo W son enteros, el estado sólo debe tener valores enteros. Etapa 3 f3(x3)= máx {14m3}, máx {m3} = 4/1= 4 14m3 Solución óptima X3 m3=0 m3=1 m3=2 m3=4 f3(x3) m3 0 0 - - - 0 0 1 0 14 - - 14 1 2 0 14 28 - 28 2 3 0 14 28 42 42 3 4 0 14 28 42 56 4 Etapa 2 f2(x2)= máx {47m2 + f3 ( -3 m2), máx {m2} = 4/3= 1 47m2 + f3( -3 m2) Solución óptima X2 m2=0 m2=1 f2 (x2) m2 0 0+0=0 - 0 0 1 0+14=14 - 14 0 2 0+28=28 - 28 0 3 0+42=42 47+0=47 47 1 4 0+56=56 47+14=61 61 1

(44)

Etapa 1 f3(x3)= máx {31m1 + f2 ( -2 m1)}, máx {m2} = 4/2= 2 31m1 + f2( -2 m1) Solución óptima X1 m1=0 m1=1 m1=2 f1(x1) m1 0 0+0=0 - - 0 0 1 0+14=14 - - 14 0 2 0+28=28 31+0=31 - 31 1 3 0+47=47 31+14=45 - 47 0 4 0+61=61 31+28=59 62+0=62 62 2

La solución óptima se determina de la siguiente manera: X1=4; m1=2 X2 = X1-2m1 = 4-2 (2) X2=0; m2=0 X3=x2-3m2 =0-3 (0) X3=0; m3=0

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PROBLEMA 5.

Un alumno debe seleccionar en total 10 cursos opcionales de cuatro departamentos distintos, y al menos un curso de cada departamento. Los 10 cursos se asignan a los 4 departamentos en una forma que maximiza el conocimiento. El alumno mide el

conocimiento en una escala de 10 puntos, y llega a la tabla siguiente: Número de cursos Departamento 1 2 3 4 5 6 >=7 I 25 50 60 80 100 100 100 II 20 70 90 100 100 100 100 III 40 60 80 100 100 100 100 IV 10 20 30 40 50 60 70 Variables: Restricciones: Etapa 1 ( ) 1 25 25 1 2 50 50 2 3 60 60 3 4 80 80 4 5 100 100 5 6 100 100 6 7 100 100 7

(46)

Etapa 2 ( ) 2 45 45 1 3 70 95 95 2 4 80 120 115 120 2 5 100 130 140 125 140 3 6 120 150 150 150 125 150 2,3,4 7 120 170 170 160 150 125 170 2,3 8 120 170 190 180 160 150 125 190 3 Etapa 3 ( ) 3 85 85 1 4 135 105 135 1 5 160 155 175 175 3 6 180 180 175 145 180 1,2 7 190 200 200 195 145 200 2,3 8 210 210 220 220 195 145 220 3,4 9 230 230 230 240 220 195 145 240 4 Etapa 4 ( ) 4 95 95 1 5 145 105 145 1 6 185 175 115 185 1 7 190 195 165 125 195 2 8 20 200 205 175 135 210 1 9 230 220 210 215 185 145 230 1 10 250 240 230 220 225 195 155 250 1 Solución óptima:

(47)

Ejemplo 10.3-2

Un contratista constructor estima que la fuerza de trabajo necesaria durante las próximas 5 semanas será de 5,7,8,4 y 6 trabajadores, respectivamente. La mano de obra en exceso que se conserve le costará $300 por trabajador semanalmente, y la nueva contratación en cualquier semana tendrá un costo fijo de $400 más $200 por trabajador y por semana.

Los datos del problema en resumen como sigue: = 5, =7, =8, =4, = 6

( )= 3( ), , i=1,2,…,5

( )= 4+2( ), , i=1,2,…,5

Las funciones de costo, , se dan en cientos de dólares Etapa 5 ( =6) ( )+ ( ) Solución óptima X4 X5=6 f5(x4) X5 4 3(0)+4+2(2)=8 8 6 5 3(0)+4+2(1)=6 6 6 6 3(0)+0 =0 0 6 Etapa 4 ( =4) ( )+ ( )+ f5(x4) Solución óptima X3 X4=4 X4=5 X4=6 f5(x4) X5 8 3(0)+0+8=8 3(1)+0+6=9 3(2)+0+0=6 6 6 Etapa 3 ( =8) ( )+ ( ) + f4(x3) Solución óptima X2 X3=8 f3(x2) X3 7 3(0)+4+2(1)+6=12 12 8 8 3(0)+0+6=6 6 8 Etapa 2 ( =7) ( )+ ( ) + f3(x2) Solución óptima X1 X2=7 X2=8 f2(x1) x2 5 3(0)+4+2(2)+12=20 3(1)+4+2(3)+6=19 19 8 6 3(0)+4+2(1)+12=18 3(1)+4+2(2)+6=17 17 8 7 3(0)+0 +12=12 3(1)+4+2(1)+6=15 12 7 8 3(0)+0 +12=12 3(1)+0 +6=9 9 8

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Etapa 1 ( =5) ( )+ ( ) + f2(x1) Solución óptima X0 X1=5 X1=6 X1=7 X1=8 f1(x0) x1 0 3(0)+4+2(5)+19=33 3(1)+4+2(6)+17=36 3(2)+4+2(7)+12=36 3(2)+4+2(8)+9=38 33 5 La solución óptima: X0=0; X1=5; X2=8; X3=8; X4=6; X5=6

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Practica 1

Investigación de operaciones

Problema en clase

Una empresa produce 2 productos ( ), los 2 productos deben pasar por un proceso de producción que implica cableado eléctrico y ensamble. Se requiere de 2 horas para cablear el producto 1 y 3 horas para el producto 2. En el área de ensamble se requiere 6 y 5 horas respectivamente para cada producto. El producto 1 reditúa $ 7.00 y el producto 2 $ 6.00. La empresa se va a mudar a otro lugar durante el periodo de producción y considera que un nivel de utilidad de 30 dólares será satisfactorio durante el periodo de ajuste. Formule el problema como un problema de programación con metas.

Meta2: 2 +3 + + =12 (Uso del tiempo de cableado) Meta3: 6 +5 + + =30 (Evitar el tiempo extra) Meta4: + =7 (Compromiso con el cliente) En este caso las prioridades van en el mismo orden que fueron dadas En la FO hay que minimizar las desviaciones

(50)

Resuelto en QM

(51)

Problema 11.22 Render

El director de campaña pretende utilizar 4 formas de publicidad (anuncios de TV, radio, pancartas y anuncios en periódicos). Los costos son $900 por cada anuncio de Tv, $500 por cada anuncio de radio, $600 por las pancartas y $180 por cada anuncio de periódico. La audiencia alcanzada por cada costo de anuncio ha sido estimada por 40,000 personas por cada anuncio de TV, 32,000 por cada anuncio de radio, 34,000 por cada pancarta y 17,000 por cada anuncio de periódico. El presupuesto mensual es de 16,000 dólares. Se han establecido y clasificado las siguientes metas:

1) El número de personas alcanzadas debe ser por lo menos 1, 500,000. 2) El presupuesto mensual de publicidad no deberá ser excedido.

3) Juntos el número de anuncios de TV y radio deberán ser por lo menos 6. 4) No deberán ser utilizados más de 10 anuncios de cualquier tipo de publicidad.

Formule, resuelva e indique cuáles metas pueden ser alcanzadas por completo y cuáles no.

Programación por metas

X1, X2, X3, X4 P1 40,000X1+32,000X2+34,000X3+17000X4+ = 1,500,00 P2 900X1+500X2+600X3+180X4+ = 16,000 P3 X1+ X2 + =6 P4 X1 + =10 X2 + =10 X3 + =10 X4 + =10 F.O. P1 P3

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Resolución QM

Al ver los resultados podemos concluir que hay 2 de 4 metas que se cumplen la uno y la dos. La meta 3 y 4 no se cumplen y vemos que es porque faltarían 5.2701 para la meta 2 y se excede en 76.86 la meta 4 y esto no es lo ideal ni lo propuesto.

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Problema 11. 24 Render

Problema 11.24

Geraldine Shawhan es presidente de Shawhan File Works, una firma que fabrica dos tipos de archiveros metálicos. La demanda de su modelo de dos cajones es hasta de 600

archiveros por semana; la demanda del archivero de 3 cajones está limitada a 400 por semana. La capacidad semanal de operación de Shawhan File Works es de 1300 horas y el archivero de 2 cajones requiere 1 hora para ser fabricado y el de 3 cajones requiere 2 horas. Cada modelo de 2 cajones que se vende, reditúa una utilidad de $10 y la utilidad del

modelo grande es de $15. Shawhan estableció las siguientes metas en orden de importancia. 1. Alcanzar una utilidad semanal tan cerca de $11,000 como sea posible

2. Evitar la subutilización de la capacidad de producción de la firma

3. Vender tantos archiveros de 2 y 3 cajones conforme la demanda lo indique Formule este problema como un problema de programación por metas

Programación por metas

P1 10X1 + 15X2 + = 11 000 P2 X1 + 2X2 + = 1300 P3 X1 + = 600 X2 + = 400 F.O. Formulación en QM

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Tabla solución

Los resultados muestran que se cumplen con las 4 metas propuestas, sin embargo hay una deficiencia de 100 en la meta 2 pero la exigencia era igual o por debajo del valor asi que no estamos violando la meta a cumplir.

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Problemas 8.2 A

1. Formule el problema fiscal de Fairville, suponiendo que el concejo municipal especifique una meta más, G5, que requiera que el impuesto sobre la gasolina sea igual por lo menos a 1% de la factura fiscal total.

Solución:

Según lo plantado ya teníamos 4 metas definidas, sin embargo para esta debemos anexar una quinta meta.

Definiendo las variables:

La función objetivo es:

Sujeto a las restricciones:

X1= impuesto predial

X2=impuesto alimento y medicina X3= impuesto de ventas generales. X4= impuesto de gasolina Minimizar Z= Pd1-+Pd2-+Pd3-+Pd4++Pd5+ 550 X1 +35 X2 +55 X3 +.075 X4 ≥16 55 X1 -31.5 X2 +5.5X3 +.0075 X4 ≥0 110 X1 +7 X2-44X3 +.015 X4 ≥0 X4≤ 2 5.5 X1 +0.35 X2+0.55X3 -0.07425 X4 ≥0 X1 , X2 ,X3 , X4 ≥0

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Estas restricciones se transforman en:

Desarrollando en QM tenemos:

La tabla de solución es:

550 X1 +35 X2 +55 X3 +.075 X4 +d1--d1+ = 16 55 X1 -31.5 X2 +5.5X3 +.0075 X4+d2--d2+ = 0 110 X1 +7 X2- 44X3 +.015 X4+d3--d3+ = 0 X4+d4--d4+= 2 5.5 X1 +0.35 X2+0.55X3 -0.07425 X4 + d5--d5+ = 0 X1, X2 ,X3 , X4 ≥0

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Según la tabla de solución se cumplen 4 de las 5 metas propuestas, sin embargo la meta 5 que es la que no se cumple excede lo solicitada por 0.01 millón.

2. El Centro Comercial NW gestiona eventos especiales para atraer clientes potenciales. Entre los eventos que parecen atraer a los adolescentes, al grupo de jóvenes de mediana edad y a los adultos mayores, los dos más populares son los conciertos de bandas y las exposiciones de arte. Sus costos por presentación son de $1500 y $3000, respectivamente. El presupuesto anual (estricto) total asignado a los dos eventos es de $15,000. El gerente del centro comercial estima la asistencia como sigue:

El gerente ha fijado metas mínimas de 1000, 1200 y 800 para la asistencia de adolescentes, personas de mediana edad y adultos mayores, en ese orden. Formule el problema como un modelo de programación de metas.

Solución

Definiendo las variables

Función objetivo:

Sujeta a las restricciones:

X1= concierto con orquesta X2=espectáculos del arte

Minimizar Z= Pd1++Pd2-+Pd3-+Pd4- 1500 X1 +3000X2 ≤ 15000 200 X1 ≥ 1000 100X1 +400 X2 ≥1200 250X2 ≥ 800 X1, X2, X3, X4 ≥0

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Las restricciones se convierten en: Desarrollando en QM Tabla de resultados 1500 X1 +3000X2 +d1--d1+ = 15000 200 X1 +d2--d2+ =1000 100 X1 +400X2+d3--d3+ = 1200 250X2+d4--d4+= 800 X1, X2 ,X3 , X4 ≥0

(59)

Según los resultados la meta 4 no se cumplirá ya que requerimos de 175 para cubrir la meta de los adultos mayores en la asistencia. Sin embargo la meta 3 tenemos valores de excedencia que compensa esta deficiencia en la 4.

3. La oficina de admisión de la Universidad de Ozark está recibiendo solicitudes de estudiantes de primer año para el año académico venidero. Las solicitudes caen dentro de tres categorías: estudiantes del estado, de fuera del estado, e internacionales. Las relaciones hombres-mujeres de los solicitantes del estado y de fuera del estado son 1:1 y 3:2; para estudiantes internacionales, la relación correspondiente es de 8:1. La calificación en el Examen de Universidades Americanas (ACT, por sus siglas en inglés) es un importante factor en la aceptación de nuevos estudiantes. Las estadísticas recopiladas por la universidad indican que las calificaciones promedio de estudiantes del estado, fuera del estado e internacionales, son de 27, 26 y 23, respectivamente. El comité de admisiones ha establecido las siguientes metas deseables para la nueva clase de primer año:

(a) Que la clase que empieza sea por lo menos de 1200 estudiantes.

(b) Que la calificación promedio de todos los solicitantes sea por lo menos de 25. (c) Que los estudiantes internacionales constituyan por lo menos 10% de la clase. (d) Que la relación mujeres-hombres sea por lo menos de 1:1.

(e) Que los estudiantes de fuera del estado comprendan por lo menos 20% de la clase. Formule el problema como un modelo de programación de metas.

Función objetivo

X1= estudiantes de estado X2=estudiantes de otros estados X3= estudiantes internacionales Minimizar Z= Pd1-+Pd2-+Pd3-+Pd4-+Pd5 -X1 + X2 +X3 ≥1200 2X1 +X2 -2X3 ≥0 -0.1X1 -0.1X2+0.9X3 ≥0 2X2+7X3 ≥0 -0.2X1 +0.8 X2-0.2X3 ≥0 X1 , X2 ,X3 ≥0

(60)

Estas restricciones se convierten en En QM Solución , X1 + X2 +X3 +d1--d1+ = 1200 2X1 +X2 -2X3 +d2--d2+ = 0 -0.1X1 -0.1X2+0.9X3 +d3--d3+ = 0 2X2+7X3 +d4--d4+= 0 -0.2X1 +0.8 X2-0.2X3 + d5--d5+ = 0 X1, X2 ,X3 , X4 ≥0

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Según los resultados podemos ver que las 5 metas se cumplen, sin embargo hay unas metas que como la 2 y la 4 que exceden los valores que solicitamos, pero las indicaciones eran que por lo menos una cantidad así q podíamos pasar ese valor.

4. Las granjas Circle K consumen 3 toneladas diarias de un alimento especial, el cual está constituido por una mezcla de piedra caliza (carbonato de calcio), maíz y soya, y que debe satisfacer los siguientes requisitos nutricionales:

Calcio. Al menos 0.8%, pero no más de 1.2%. Proteína. Por lo menos 22%.

Fibra. A lo sumo 5%.

La siguiente tabla muestra el contenido nutricional de los ingredientes alimenticios.

Formule el problema como un modelo de programación de metas, y establezca su opinión con respecto a la aplicabilidad de la programación de metas a esta situación.

Solución

Función objetivo Minimizar Z= Pd1++Pd2- +Pd3++Pd4-+Pd5 -X1= piedra caliza X2= maíz X3= soya X1+X2 +X3 ≤ 6000 0.380 X1 +0.001 X2 +002 X3 ≥48 0.380 X1 +0.001 X2 +002 X3 ≤ 72 0.09 X2+0.5X3 ≥1320 0.02 X2+0.08X3 ≤ 300 X1 , X2 ,X3 ≥0

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Sujeta a:

Las restricciones se convierten en: En QM X1 + X2 +X3 +d1--d1+ = 6000 0.380 X1 +0.001 X2 +002 X3 +d2--d2+ = 48 0.380 X1 +0.001 X2 +002 X3 +d3--d3+ = 72 0.09 X2+0.5X3+d4--d4+= 1320 0.02 X2+0.08X3 + d5--d5+ = 300 X1, X2 ,X3 ≥0

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Vemos que las 5 metas se cumplen y según las cantidades de cada uno de los ingredientes hay dos metas que excedemos del valor, sin embargo no viola la meta porque nos solicitaban más de ese valor base.

5. Mantel produce un carruaje de juguete, cuyo ensamble final debe incluir cuatro ruedas y dos asientos. La fábrica que produce las piezas trabaja tres turnos al día. La siguiente tabla proporciona las cantidades producidas de cada pieza en los tres turnos.

Idealmente, la cantidad de ruedas producidas es el doble de la de asientos. Sin embargo, como las tasas de producción varían de turno a turno, el balance exacto en la producción puede no ser posible. A Mantel le interesa determinar la cantidad de corridas de producción en cada turno que minimice el desbalance en la producción de las piezas. Las limitaciones de la capacidad restringen las corridas a entre 4 y 5 para el turno 1; 10 y 20 para el turno 2, y 3 y 5 para el turno 3. Formule el problema como un modelo de programación de metas. Solución

Como deseamos minimizar el desbalanceo en la producción, debemos buscar las partes que se producen en mayor o menor cantidad en los diferentes turnos:

En el turno 1 se producen ruedas suficientes para 125 ensambles, sin embargo se producen asientos para 150 ensambles, por cual el desbalanceo es de 25 ensambles de ruedas que faltan, y como cada ensamble requiere tenemos que faltarían 100 ruedas en el turno 1. De forma análoga, sabemos que el turno 2 sobran 40 ruedas; y en el turno 3 sobran 80 ruedas.

Definimos las variables:

X1=corridas de ruedas turno 1 X2= corridas de ruedas turno 2 X3= corridas de ruedas turno 3

(64)

Función objetivo: Restricciones -100 X1 +40 X2 -80 X3 ≥0 X1 ≥ 4 X1 ≤ 5 X2 ≥ 10 X2 ≤ 20 X3≤ 3 X3 ≤5 X1, X2 ,X3 , ≥0

Estas restricciones se convierten en

Como la meta única de la empresa es eliminara el desequilibrio entre la producción de un turno y otro, a la única restricción que le agregamos las desviaciones de mas o de menos es a la primera. Además por eso se minimiza en la función objetivo esas dos desviaciones porque necesitamos un numero estándar por turno que no esté de más ni de menos.

En QM

Minimizar Z= Pd1-+Pd1+

(65)

Solución

Con este resultado vemos que los valores que x toma en alguna de las restricciones no las cumple, sin embargo lo que las meta exigía era evitar las desviaciones de estos valores ya fuera hacia arriba o abajo, por lo cual debía ser un numero que mantuviera entre las corridas un valor preciso de juguetes realizados por turno.

6. Camyo Manufacturing produce cuatro piezas que requieren el uso de un torno y un taladro vertical. Las dos máquinas operan 10 horas al día. La siguiente tabla proporciona el tiempo en minutos que se requiere por pieza:

Se desea balancear las dos máquinas limitando la diferencia entre sus tiempos de operación totales a lo sumo a 30 minutos. La demanda del mercado de cada pieza es de al menos 10

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unidades. Además, la cantidad de unidades de la pieza 1 no puede exceder la de la pieza 2. Formule el problema como un modelo de programación de metas.

Definimos las variables

Función objetivo

Minimizar Z= Pd1++Pd2+ Sujeto a las restricciones:

Luego se transforman en En QM X1= parte 1 X2=parte 2 X3= parte 3 X4= parte 4 2 X1 +4 X2 +2X3 +3 X4 ≤ 30 X1 ≥ 10 X2 ≥ 10 X3 ≥ 10 X4 ≥10 X1 - X2 ≤ 0 X1 , X2 ,X3 , X4 ≥0 2 X1 +4 X2 +2X3 +3 X4 +d1--d1+ = 30 X1 - X2 +d2--d2+ = 10 X1, X2 ,X3 , X4 ≥0

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Solución

Vemos que la meta 1 no se cumple, sin embargo esta meta se excede asi que podemos decir que la meta fue mejor de lo que esperamos.

7. Se fabrican dos productos en dos máquinas secuenciales. La siguiente tabla da los tiempos de maquinado en minutos por unidad para los dos productos.

Las cuotas de producción diarias para los dos productos son de 80 y 60 unidades. Cada máquina opera 8 horas al día, y si es necesario, aunque no deseable, puede utilizarse tiempo extra para satisfacer las cuotas de producción. Formule el problema como un modelo de programación de metas.

Definiendo las variables:

X1= producto A X2=producto B

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Función objetivo

Restricciones:

Las restricciones se convierten en:

En QM Minimizar Z= Pd1-+Pd2-+Pd3++Pd4+ X1 ≥80 X2 ≥60 5 X1 +3X2 ≤ 480 6 X1 +2X2 ≤ 480 X1 , X2 , ≥0 X1+d1--d1+ = 16 X2+d2--d2+ = 0 5 X1 +3X2+d3—d3+ = 480 6 X1 +2X2 +d4--d4+= 480 X1, X2 ≥0

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Solución

Vemos que las metas 3 y 4 no se cumplen, y al evaluar los valores de: X1 ≥80

X2 ≥60

En las restricciones de tiempo vemos que para la meta 3 el valor es 580 así que necesitamos 100 minutos mas para la maquina 1.

Para la meta 4 al evaluar los valores vemos que el valor es 600 por cual necesitamos 120 minutos en la maquina 2 para cumplir con estas metas.

8. El hospital de Vista City planea la asignación de camas sobrantes (las que no estén ya ocupadas) para estancias cortas, con 4 días de anticipación. Durante el periodo de planificación de 4 días, alrededor de 30,25 y 20 pacientes requerirán estancias de 1, 2 o 3 días, respectivamente. Las camas sobrantes durante el mismo periodo se estiman en 20, 30, 30 y 30, respectivamente. Aplique la programación de metas para resolver el problema de sobre admisión y subadmisión en el hospital.

X1= disponibilidad de camas día 1 X2= disponibilidad de camas día 2 X3= disponibilidad de camas día 3 X4= disponibilidad de camas día 4

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Función objetivo Restricciones Se convierten en En Qm Minimizar Z= Pd1++Pd2++Pd3+ -10X1 + -10X2 + X3 + X4 ≥30 X1 + X2 +X3 + X4 ≥25 X1 + X2 + X3 + X4 ≥20 X1≤ 20 X2≤ 20 X3≤ 24 X4≤ 30 X1 , X2 ,X3 , X4 ≥0 X1 + X2 + X3 + X4 +d1--d1+ = 30 X1 + X2 + X3 + X4 +d2--d2+ = 25 X1 + X2 + X3 + X4 +d3--d3+ = 20 X1, X2 ,X3 , X4 ≥0

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Los resultados son que las metas se cumplen y que al evaluar los valores las metas tienen excedencia.

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Conjunto de Problemas 11.3B

1. Resuelva el ejemplo 11.3-1, suponiendo que los costos unitarios de producción y almacenamiento son los de la siguiente tabla.

Periodo i Costo Unitario en tiempo normal ($)

Costo Unitario en tiempo extra ($)

Costo unitario de almacenamiento ($) para el periodo i*1

1 5.00 7.50 0.10 2 3.00 4.50 0.15 3 4.00 6.00 0.12 4 1.00 1.50 0.20 Tabla 1 2 3 4 Exedente R1 90 O1 10 30 R2 100 O2 60 R3 120 O3 80 R4 110 O4 50 20 Costo total: (90*5.00)+(10*7.50)+(30*7.69)+(100*3.00)+(60*4.50)+(10*7.75)+(120*4.00)+(80*6.00)+( 110*1.00)+(50*1.50)= $2545.50 5.00 7.50 7.60 3.00 4.50 4.00 6.00 1.00 1.50 0

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2. Se fabrica un artículo para satisfacer la demanda conocida durante 4 periodos de acuerdo con los datos siguientes:

Costo de producción unitario ($) durante el periodo Intervalo de producción (Unidades) 1 2 3 4 1-3 1 2 2 3 4-11 1 4 5 4 12-15 2 4 7 5 16-25 5 6 10 7 Costo de retención unitaria ($) 0.30 0.35 0.20 0.25 Demanda Total (Unidades) 11 4 17 29 1 2 3 4 R1 11 R2 4 11 R3 6 5 R4 10 Costo Total= (11*5)+(4*4)+(11*4.35)+(6*5)+(14*5.85)+(5*5.20)+(10*4)=$ 296.75 5.00 4.00 4.35 5.00 5.20 4.00

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CUESTIONARIO TEORIA DE COLAS

1. ¿En qué consiste el modelo de teoría de colas o el modelo de sistema de espera?

El estudio de líneas de espera, llamada teoría de colas, es una de las técnicas de análisis cuantitativo más antiguas y que se utilizan con mayor frecuencia. Las líneas de espera son un suceso cotidiano, que afecta a las personas que van de compra a las tiendas de abarrotes, a cargar gasolina, a hacer depósitos bancarios, o bien, a quienes esperan en el teléfono a que conteste la primera operadora disponible para hacer su reservación en una aerolínea. La mayoría de los problemas de línea de espera se centran en la cuestión de encontrar el nivel ideal de servicio que debería proporcionar una empresa

2. ¿Cuáles son los componentes o elementos de un modelo de colas?

Los componentes de un modelo de colas son las llegadas, las instalaciones de servicio y la línea de espera real

3. ¿Cuáles son los costos relacionados a los modelos de línea de espera o modelo de colas? Los costos relacionados al modelo de línea son el costo total esperado que es igual al costo de dar el servicio de tiempo de espera del cliente

4. ¿Qué papel juega la distribución exponencial o Poisson en el modelo de cola?

La distribución de Poisson es utilizado en el modelo de colas para calcular el número de llegadas por unidad de tiempo (el patrón de llegadas)

5. ¿En qué consisten los modelos de nacimientos puros o muertes puras?

Dos situaciones del modelo de colas por el modelo de nacimiento puro en el cual solo ocurren llegadas, y el modelo de muerte pura en el cual sólo ocurren salidas. Un ejemplo de nacimiento puro es la creación de actas de nacimiento de bebés recién nacidos. EL modelo de muerte pura puede demostrarse por medio del retiro aleatorio de un artículo en existencia en una tienda.

6. ¿En qué consiste el modelo generalizado de cola de Poisson? ¿Cómo se define?

El modelo generalizado de colas de Poisson combina tanto llegadas como salidas con base en la suposición de Poisson, es decir los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio siguen la distribución exponencial. El desarrollo de éste modelo se basa en el comportamiento a largo plazo o de estado estable de la situación de colas, alcanzando después de que el sistema ha estado en operación durante un tiempo suficientemente largo.

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En el modelo de colas especializadas se selecciona un cliente de la cola para iniciar el servicio con el primer servidor disponible. La tasa de llegadas al sistema es de λ clientes por unidad de tiempo. Todos los servidores paralelos son idénticos, es decir que la tasa de servicio de cualquier servidor es de µ clientes por unidad de tiempo. La cantidad de clientes en el sistema se define para incluir los que están en el servicio y los que están en cola.

8. Indique en qué consiste la notación de Kendall

La notación de Kendall es un método de clasificación de sistemas de cola que se basa en la distribución de llegadas, la distribución de los tiempos de servicio y el número de canales de servicio.

La notación de Kendall básica tiene 3 símbolos que tienen la siguiente forma:

Distribución de llegadas/Distribución de tiempos de servicio/Número de canales de servicio abiertos

Se utilizan 3 letras apra representar las distribuciones de probabilidad

M= Distribución de Poisson del número de ocurrencias (o tiempos exponenciales) D=Tasa constante (Determinística)

G= Distribución general con media y varianza conocidas

Una notación cómoda para resumir las características de la cola es la que tiene el siguiente formato:

(a/b/c) : (d/e/f) En donde

a= distribución de llegadas

b= distribución de salidas (o del tiempo de servicio) c= cantidad de servicio en paralelo (=1,2, …, ∞) d= disciplina de la cola

e= cantidad máxima (finita o infinita) admisible en el sistema (en la cola más en servicio) f= tamaño de la fuente (finito o infinito)

9. ¿Cuáles son las medidas de desempeño o de eficiencia de un sistema de colas? Las medidas de desempeño, eficiencia o funcionamiento de una cola son: Ls = Cantidad esperada de clientes en el sistema

Lq = Cantidad esperada de clientes en la cola Ws = Tiempo esperado de espera en el sistema Wq = Tiempo esperado de espera en la cola C = Cantidad esperada de servidores ocupados ρ = tasa de utilización del sistema

λ = tasa de llegada µ = tasa de servicios

Recuerde que el sistema abarca tanto la cola como la instalación de servicio Tasa de llegada debe ser menor que la tasa de servicio