Impulso y Cantidad de Movimiento

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Impulso y cantidad de movimiento

Impulso y cantidad de movimiento

Impulso

Impulso

El impulso es el producto entre una

El impulso es el producto entre una fuerza

fuerza

 y el tiempo durante el cual está aplicada. Es una

 y el tiempo durante el cual está aplicada. Es una

magnitud vectorial

magnitud vectorial

. El módulo

. El

módulo

 del impulso se representa como el área

 del impulso se representa como el área bajo la curva de

bajo la curva de la

la

fuerza en el tiempo, por lo

fuerza en el tiempo, por lo tanto si la fuerza es constante el impulso se

tanto si la fuerza es constante el impulso se calcula

calcula

multiplicando la F por Δt, mientras que si no lo es se calcula

multiplicando la F por Δt, mientras que si no lo es se calcula integrando la fuerza entre los

integrando la fuerza entre los

instantes de tiempo entre los que se qu

instantes de tiempo entre los que se quiera conocer el impulso.

iera conocer el impulso.

Cantidad de Movimiento

Cantidad de Movimiento

La cantidad de movimiento es el producto de la velocidad por la masa. La velocidad es un

La cantidad de movimiento es el producto de la velocidad por la masa. La velocidad es un

vector mientras que la masa es un

vector mientras que la masa es un escalar. omo resultado obtenemos un vector con la

escalar. omo resultado obtenemos un vector con la

misma dirección y sentido que la

misma dirección y sentido que la velocidad.

velocidad.

La cantidad de movimiento sirve, por ejemplo, para diferenciar dos cuerpos que tengan la

La cantidad de movimiento sirve, por ejemplo, para diferenciar dos cuerpos que tengan la

misma velocidad, pero distinta masa. El de mayor masa, a la misma velocidad, tendrá

misma velocidad, pero distinta masa. El de mayor masa, a la misma velocidad, tendrá

mayor cantidad de movimiento.

mayor cantidad de movimiento.

m

m !

! "asa

"asa

v

v !

! #e

#elocidad

locidad $en

$en forma

forma vectorial%

vectorial%

 p

(2)

Relación entre Impulso y Cantidad de Movimiento

El impulso aplicado a un cuerpo es igual a la variación de la cantidad de movimiento, por lo

cual el impulso tambi&n puede calcularse como'

(ado que el impulso es igual a la fuerza por el tiempo, una fuerza aplicada durante un

tiempo provoca una determinada variación en la cantidad de movimiento,

independientemente de su masa'

(3)

)mpulso y cantidad de movimiento' onservación de la cantidad de movimiento. *oque

 plástico o inelástico. *oque elástico.

IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

+egn el principio de masa, si a &sta se le aplica una fuerza F adquiere una aceleración a'

F ! m.a

+iendo'

F' fuerza -F ! / $/e0ton%

a' aceleración -a ! m1s2

m' masa -m ! 3g

"ultiplicando ambos miembros por el tiempo 4 en que se aplica la fuerza F'

F.t ! m.a.t

omo'

a.t ! v

siendo'

v' velocidad -v ! m1s

t' tiempo -t ! s

4enemos'

F.t ! m.v

5l t&rmino F.t se lo denomina impulso de la fuerza y al t&rmino m.v se lo denomina

cantidad de movimiento, entonces, para el primero'

) ! F.t

siendo'

(4)

 para el segundo'

 p ! m.v

siendo'

 p' cantidad de movimiento -p ! 3g.m1s

6ara deducir las unidades, tenemos'

F.t ! m.v

 /.s ! 3g.m1s / ! 3g.m1s2

3g.m1s2.s ! 3g.m1s

luego'

-) ! -p ! 3g.m1s ! /.s

El impulso de la fuerza aplicada es igual a la cantidad de movimiento que provoca, o dic*o

de otro modo, el incremento de la cantidad de movimiento de cualquier cuerpo es igual al

impulso de la fuerza que se ejerce sobre &l.

Unidades en los distintos sistemas

c.g.s.

+.).

4&cnico

antidad de movimiento

)mpulso

g.m1s

din.s

3g.m1s

 /.s

3gf.s

3gf.s

El impulso y la cantidad de movimiento son magnitudes vectoriales.

Conservación de la cantidad de oviiento

+i con un cuerpo de masa m

7

 y velocidad v

7

 se aplica una fuerza a otro cuerpo de masa m

8

 y

velocidad v

8

, como por ejemplo, en un saque de tenis, en ese instante es aplicable el

 principio de acción y reacción y tenemos que'

m

7

.v

7

 ! m

8

.v

8

es decir la masa de la raqueta por su velocidad, en el momento del c*oque, debe ser igual a

la masa de la pelota de tenis por la velocidad que adquiere.

(5)

Enunciando la Ley de conservación de la cantidad de movimiento dice'

En cualquier sistema o grupo de cuerpos que interacten, la cantidad de movimiento total,

antes de las acciones, es igual a la cantidad de movimiento total luego de las acciones.

9m.v ! :

m

i

.v

i

 ! m

.v

Δ6 ! Δp

7

 ; Δp

8

C!o"#e

+e produce c*oque entre dos cuerpos cuando uno de ellos encuentra en su trayectoria a otro

y produci&ndose contacto f<sico.

5l producirse el c*oque tambi&n se producen deformaciones en ambos cuerpos, &stas

 pueden desaparecer de inmediato o perdurar. +i las deformaciones desaparecen rápidamente

significa que se *a producido un c*oque elástico, por el contrario, si permanecen se *a

 producido un c*oque inelástico o plástico.

En ambos casos ocurre una variación de la energ<a cin&tica que se transformará en calor que

disiparán los cuerpos.

1) Choque plástico o inelástico

a) Velocidades de igual dirección y sentido

+upongamos un cuerpo 7 de masa m

7

 y velocidad v

7

 que se dirige a *acia el cuerpo 8 de

masa m

8

 y velocidad v

8

, siendo ambas velocidades de igual dirección y sentido. +obre cada

cuerpo actuó en el momento del c*oque, el impulso que le provocó el otro cuerpo, entonces

*ay dos acciones de igual intensidad y sentido contrario, en consecuencia ambas cantidades

de movimiento serán iguales y de sentido contrario. Luego del c*oque ambos cuerpos

(6)

La velocidad final será'

m

7

.v

7i

 ; m

8

.v

8i

 ! m

7

.v

7f 

 ; m

8

.v

8f 

como v

7f 

 y v

8f 

 son iguales porque ambos cuerpos siguen juntos'

v

7f 

 ! v

8f 

 ! v

m

7

.v

7i

 ; m

8

.v

8i

 ! $m

7

 ; m

8

%.v

v

 ! $m

7

.v

7i

 ; m

8

.v

8i

%1$m

7

 ; m

8

%

 b% #elocidades de igual dirección y sentido contrario.

En este caso los cuerpos pose<an velocidades de igual dirección pero de sentido contrario

antes del c*oque, como en el caso anterior luego del impacto continan juntos, con una

velocidad final que estará dada por la diferencia de las cantidades de movimiento. La

velocidad final será'

m

7

.v

7i

 = m

8

.v

8i

 ! m

7

.v

7f 

 ; m

8

.v

8f 

igualmente'

v

7f 

 ! v

8f 

 ! v

m

7

.v

7i

 = m

8

.v

8i

 ! $m

7

 ; m

8

%.v

v

 ! $m

7

.v

7i

 = m

8

.v

8i

%1$m

7

 ; m

8

%

La velocidad final mantendrá la misma dirección pero tendrá el sentido de la velocidad del

cuerpo que antes del c*oque tenga más cantidad de movimiento.

(7)

2) Choque elástico

a) Velocidades de igual sentido

(urante el c*oque cada cuerpo recibe una cantidad de movimiento que es igual a la

velocidad perdida por el otro. 5l recuperar su forma inicial, cada uno pierde o gana

respectivamente, la cantidad de movimiento ganada o perdida en el momento del c*oque, la

velocidad final de cada uno será'

v

7f 

 ! $v

8f 

 ; v

8i

%.m

8

1m

7

 ; v

7i

ó'

v

7f 

 ! v

8f 

 ; v

8i

 = v

7i

b) Velocidades de distinto sentido

En este caso los cuerpos literalmente rebotan, y la velocidad final de cada uno será'

v

7f 

 ! $v

8f 

 = v

8i

%.m

8

1m

7

 ; v

7i

El principio de conservación del impulso es el mismo que el de conservación de la cantidad

de movimiento.

(8)

abe aclarar que en la práctica podemos aplicar el principio de conservación de la cantidad

de movimiento durante los c*oques, siempre que el tiempo que dura el impacto sea muy

 peque>o.

5utor' ?icardo +antiago /etto.

Lasdossoncantidadesvectorialesquesuelenconfundirseporqueelimpulso(P=Ft)esigualal cambioenlacantidaddemovimientoqueprovoca(mv).Parauncuerpoenreposo,elproductode lafuerzaporeltiempoduranteelcualéstaseaplica(impulso)esigualalproductodelamasadel cuerpoporlavelocidadqueadquiere(cantidaddemovimiento).Sielcuerpoyaestabaen

movimiento,esmásfácildiferenciarambascosas,porqueentoncesP=Ft=m(V2-V1)donde m=masadelcuerpo,V1=velocidadantesdelchoqueyV2=velocidaddespuésdelchoque.Así,el incrementodelacantidaddemovimientodecualquiercuerpoesigualalimpulsodelafuerzaque seejercesobreél.

(9)

Impulso y Cantidad de Movimiento

Existen varias aplicaciones para el impulso y seguramente todos usamos siquiera alguna vez alguna de estas aplicaciones o simplemente no nos damos cuenta de todo la que sucede en realidad, por ejemplo al jugar billar, el taco transmite energía a la bola mediante un choque y a su vez, la bola también transmite energía potencial al chocar con otras bolas.

Una gran parte de nuestra informacin acerca de las partículas atmicas y nucleares, se

obtiene experimentalmente observando los efectos de choque entre ellas. ! una mayor escala cuestiones como las propiedades de los gases se pueden entender mejor en funcin de

choques de las partículas, y encontraremos que de los principios de la conservacin de la cantidad de movimiento y de la conservacin de la energía, podemos deducir mucha informacin acerca de los fenmenos de choques.

Impulso y cantidad de movimiento." En un choque obra una gran fuerza en cada una de las partículas que chocan durante un corto tiempo# un bat que golpea una pelota de béisbol o una partícula nuclear que choca con otra son ejemplos típicos. $or ejemplo, durante el intervalo muy corto de tiempo que el bat est% en contacto con la pelota se ejerce sobre esta una fuerza muy grande. Esta fuerza varía con el tiempo de una manera compleja, que en general no se puede determinar. &anto la pelota como el bat se deforman durante el choque. 'uerzas de este tipo se llaman fuerzas impulsivas.

(upongamos que la curva de la figura ) muestra la magnitud de la fuerza que realmente obra en un cuerpo durante un choque. (upongamos que la fuerza tiene una direccinconstante. El choque comienza en el tiempo t* y termina en el tiempo t), siendo la fuerza + antes y después del choque.

e la ecuacin - podemos escribir el cambio de cantidad de movimiento d p de un cuerpo en el tiempo dt  durante el cual obra una fuerza F así

d p / F dt 

$odemos obtener el cambio de cantidad de movimiento del cuerpo durante un choque integrando en el tiempo del choque. Esto es,

p2 " p* / - d p / - F dt 

0a integral de una fuerza en el intervalo durante el cual obra la fuerza se llama impulso de la fuerza. $or consiguiente, el cambio en la cantidad de movimiento de un cuerpo sobre el cual obra una fuerza impulsiva es igual al impulso. &anto el impulso como la cantidad de

movimiento son vectores y ambos tienen las mismas unidades y dimensiones.

0a fuerza impulsiva representada en la figura ) se supone que es de direccin constante. El impulso de esta fuerza - F dt. est% representado en magnitud por el %rea de la curva fuerza" tiempo.

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Fenómenos de choque." 1onsideremos ahora un choque entre dos partículas, tales como partículas de masa m* y m), durante el breve choque, esas partículas ejercen grandes fuerzas una sobre la otra. En cualquier instante F1 es la fuerza ejercida sobre la partícula * por la partícula ) y F2 es la fuerza ejercida sobre la partícula ) por la partícula *. En virtud de la tercera 0ey de 2e3ton esas fuerzas son iguales en cualquier instante, pero en sentido contrario. adem%s, cada fuerza obra durante el mismo p eríodo de tiempo, est es, el tiempo del choque,

dt / t) " t*

os 4partículas5 m1 y m2  en choque, experimentan fuerzas iguales y puestas en la direccin de la línea de sus centros, acuerdo con la tercera ley de 2e3ton.

El cambio de la cantidad de movimiento de la partícula resultante del choque es

En esta expresin

es el valor medio de la fuerza F1 durante el intervalo de tiempo.

El cambio de cantidad de movimiento de la partícula ) atribuible al choque es

En esta expresin

es el valor medio de la fuerza F2 durante el intervalo de tiempo. (i no act6an otras fuerzas en las partículas, entonces

y

dan el cambio total de la cantidad de movimiento para cada una. $ero hemos visto que en cada instante F2 es igual a " F1, de modo que

es igual a "

, y por consiguiente

.

Si consideramos las dos partículas como constituyendo un sistema, la cantidad de movimiento total del mismo es:

P = p* + p).

y el cambio total de cantidad de movimiento del sistema como resultado del choque es cero, esto es

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$or consiguiente, en ausencia de fuerzas externas, la cantidad de movimiento total del sistema es constante. 0as fuerzas impulsivas que obran durante el choque son fuerzas internas que no tienen efecto en la cantidad de movimiento total del sistema.

(i consideramos después un sistema de 7, 8, o, de hecho de un n6mero cualquiera de

partículas que sufren colisiones entre si por una simple extensin del método usado para dos partículas, podemos demostrar que la cantidad del movimiento del sistema se conserva. El 6nico requisito es que no obren fuerzas externas sobre el sistema.

 !hora el estudiante se preguntar% por qué los fenmenos de choque se han discutido en funcin del impulso. e echo, el principio de conservacin de la cantidad de movimiento ya se ha deducido antes. &odo lo que debemos reconocer para sistemas en los cuales ocurren colisiones, es que las fuerzas de choque son fuerzas internas, y para tales sistemas surge inmediatamente el principio de la conservacin.

Una razn para considerar la naturaleza de impulso de un choque es que ilustra a una clase importante de problemas sobre como ocurre la conservacin de la cantidad de movimiento. (in embargo, una razn m%s importante es q ue nos permite explicar por qué casi siempre suponemos conservacin de cantidad de movimiento durante un choque, aun cuando obren fuerzas externas sobre el sistema.

1uando un bat le pega a una pelota de béisbol un bastn de golf le pega a una pelota de golf, o una bola de billar le pega a otra es evidente que obran fuerzas externas sobre el sistema# por ejemplo, la gravedad o la friccin ejercen fuerzas sobre esos cuerpos# esas fuerzas externas pueden no ser las mismas sobre cada cuerpo que choca, ni necesariamente se anulan por otras fuerzas externas durante el choque y suponer conservacin de la cantidad de movimiento con tal que, como es casi siempre cierto,

0as fuerzas externas sean insignificantes en comparacin con las fuerzas impulsivas de choque. 1omo resultado de ello, el cambio de cantidad de movimiento de una partícula que sufre un choque, cambio que provenga de una fuerza externa, es insignificante en

En la figura a la izquierda se puede observar,

que durante un choque la fuerza impulsiva, Fimp es generalmente mucho mayor que cualquiera de las fuerzas externas Fext que puedan sobre el sistema.

1omparacin con el cambio de cantidad de movimiento de una partícula producido por la fuerza impulsiva de choque.

$or ejemplo, cuando un bate le pega a una pelota de béisbol el choque dura slo una fraccin de segundo, ya que el cambio de cantidad de movimiento es grande y el tiempo de choque es mas peque9o, se deduce de

que la fuerza impulsiva media

es sumamente grande. 1omparada con esta fuerza externa de gravedad es insignificante. urante el choque podemos impunemente pasar por alto esta fuerza al determinar el cambio de cantidad de movimiento de la pelota.

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(i llamamos : al impulso entonces tenemos

e tal manera que tratamos de conservar : constante conforme

se hace m%s peque9a. Esto se puede lograr suponiendo una fuerza F  m%s y mas grande, o sea

. En el límite, cuando

para que : sea constante para un valor finito. (i los choques ocurren en el tiempo cero dado que las fuerzas externas son inapreciables comparadas con la fuerza de choque infinita.

En la practica, por consiguiente, todo lo que se requiere para justificar el uso del principio de la conservacin de la cantidad de movimiento de un sistema de partículas, poco antes de que choquen, es igual a la cantidad de movimiento del sistema, poco después de que las

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