Placas Delgadas Diferencias Finitas

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A

A

PPLICACIÓN DEL

LICACIÓN DEL

M

M

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ÉTODO DE

D

D

I

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FERENCIA

ERENCIAS

S

F

F

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S A LA

 A LA

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D

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.

.

Eduardo To

Eduardo Totttter,er, Sil Silvviia Raa Raiichman chman yyAnAníí ba ball M Miirassorasso Grupo de Ma

Grupo de Mat t emáemátitica Avanzada, Facuca Avanzada, Facult lt ad de Ingenad de Ingeniier er í í a, Una, Uniiversversiidad Nacdad Naciionaonal l  de Cuyo. Mendoza, Argen de Cuyo. Mendoza, Argentitina.na.

e

et t oott tt er er @@ fi fing.uncu.edu.ar ng.uncu.edu.ar ,, sra sraiichmanchman@@ fi fing.uncng.uncu.edu.u.edu.ar,ar,aemaemiirassorasso@@ fi fing.uncu.edu.arng.uncu.edu.ar

Resumen

Resumen::La deLa dettermermiinacnaciión de cargas cr ón de cargas cr ítiíticas decas de iinesnesttababiliilidad de pdad de pllacas pacas pllanas deanas dellgadas, consgadas, constittituye un probuye un probllema queema que encuen

encuenttra gran apra gran aplilicaccaciión en dón en diiversas ramas deversas ramas de llaa iingenngeniier er ííaa ttaalles comoes como llaa iingenngeniier er íía a cciivvilil, mecán, mecániica, aeronáuca, aeronáutitica ca yy nava

navall..CCon on eell ob ob j jeetto deo deiinvesnvestitigar su compor gar su compor ttamamiienentto y apo y aplilicabcabiliilidad, en edad, en ell presen presenttee ttrabaraba j jo, se empo, se empllea eea ell Mé Méttodo deodo de D

Diiferencferenciiasas FiFinnititas paraas para lla a dedettermermiinacnaciión deón de llas cargas deas cargas de iinesnesttababiliilidad por cor dad por cor tte puro en una pe puro en una pllaca de acero deaca de acero de  pequeño espesor

 pequeño espesor consconsttanantte y ree y rellacaciión de aspecón de aspecttoo iiguaguall a uno. a uno. SSe anae analilizazallaa iinf nf lluencuenciia sobrea sobre llos resuos resultltados numér ados numér iicoscos ob

obtteneniidos dedos de lla da diiscrescretitizaczaciión espacón espaciiaall u utilitilizada.zada.SSee titienen en cuenenen en cuentta para esa para estto, dos condo, dos condiicciiones de borde deones de borde de lla pa pllacaaca como son

como son lla corresponda correspondiienentte e aa llas cuaas cuattro ar ro ar iissttas as ssiimpmpllemenementte ae apoypoyadaadass yy llas as mmiismas perfecsmas perfecttamenamentte empoe empottradas.radas. SSee  presen

 presenttan concan concllususiiones generaones generalles rees rellaatitivas avas all ttrabaraba j jo desarroo desarrollllado, a par ado, a par titir der de lla comparaca comparaciión deón de llos resuos resultltadosados ob

obtteneniidos con vados con vallores de cargas cr ores de cargas cr ítiíticas pubcas publilicados encados enlla ba bii b bliliograf ograf íía especa especiiaalilizada.zada.

P

Paallabras cabras cllavesaves::iinesnest t ababiliilidad, pdad, pl l acaacas,s,cor cor t t e,e,d d if  if  erencerenciiasas fi finnit it asas

1.

1.

I

I

 NTRO NTRODUCCDUCCIÓNIÓN En

En lla a acacttuaualilidad, se encuendad, se encuenttra ampra ampliliamenamentte e ddiifundfundiidada lla a uutilitilizaczaciión de pón de pllacas pacas pllanas de pequeñoanas de pequeño

espesor en

espesor en lla consa consttruccrucciión de esón de esttrucructturas y duras y diisposspositiitivos dvos diiversos. Esversos. Esttee titi po es po esttrucructturaurall, que comunmen, que comunmentte see se

u

utilitiliza como par za como par ttee iinnttegranegrantte de grandes maque de grandes maquiinar nar iias, vas, viigas de acero de gran agas de acero de gran altltura, esura, esttrucructturasuras

componen

componenttes de naves yes de naves y ttranspor ranspor ttes aeronáues aeronáutiticos, mar cos, mar ítiítimos y f mos y f lluvuviiaalles, enes, enttre ore ottros, enros, en llos úos últiltimos años semos años se

ha comenzado a u

ha comenzado a utilitilizar como szar como siissttema de dema de diissii pac paciión de energón de energíía en esa en esttrucructturas suras siismorressmorresiissttenenttes y enes y en

s

siissttemas esemas esttrucructturauralles es ddiiseñados para sopor señados para sopor ttar accar acciiones dones diinámnámiicas debcas debiidas adas all vviienentto o aattmosfér mosfér iico. Losco. Los

m

miismsmosos se ense encuecuennttran someran sometitidos a una dedos a una dettermermiinada dnada diissttr r ii buc buciión de accón de acciiones exones extternas queernas que llooss ssooliliccititanan

generando de es

generando de estta manera un campo dea manera un campo de ttensensiionesonesiinntternas sobreernas sobrellas pas pllacas, especacas, especííf f iico para cada caso.co para cada caso.

De acuerdo a

De acuerdo allo menco menciionado, un aspeconado, un aspectto co cllave a consave a consiiderar en ederar en ell es esttududiio y anáo y análilissiis de probs de probllemas reemas rellaatitivos avos a

 p

 pllacas de pequeño espesoracas de pequeño espesor llo conso constittituyeuye lla posa posii b biliilidad cdad ciier er tta de apar a de apar iicciión de fenómenos deón de fenómenos de iinesnesttababiliilidaddad

e

ellásástitica der ca der iivados precvados preciisamensamentte dee de llos grandes vaos grandes vallores de esbeores de esbeltltez queez que llas as mmiismas poseen. Es assmas poseen. Es asíí  que  que llaa

de

dettermermiinacnaciión de cargas cr ón de cargas cr ítiíticas decas de iinesnesttababiliilidad, es decdad, es deciirr llas cargas mas cargas míínniimas a par mas a par titir der de llas cuaas cualles sees se

 produce

 produce eell  pandeo de  pandeo de lla a ppllaca baaca ba j jo una deo una dettermermiinada conf nada conf iiguracguraciión de accón de acciiones exones extter er iiores, es deores, es de

i

impor mpor ttancanciia fundamena fundamenttaall para asegurar e para asegurar ell adecuado compor  adecuado compor ttamamiienentto deo della esa esttrucructtura anaura analilizada [1].zada [1].

La eva

La evalluacuaciión deón de llas cargas de bas cargas de biifurcacfurcaciión mencón menciionadas requonadas requiiereere lla resoa resollucuciión de un modeón de un modello mao mattemáemátiticoco

cons

constittituuiido por ecuacdo por ecuaciiones dones diiferencferenciiaalles de cuar es de cuar tto orden. Do orden. Diiversos méversos méttodosodos ttanantto numér o numér iicos como semcos como semii-

-ana

analítilíticos permcos permititen, a par en, a par titir de su adecuada ur de su adecuada utilitilizaczaciión aón all caso en es caso en esttududiio, hao, hallllararlla soa sollucuciión buscada, [2].ón buscada, [2].

En es

En esttee ttrabaraba j jo seo se iinvesnvestitigangan llas posas posii b biliilidades de apdades de aplilicaccaciión deón dell MéMéttodo de Dodo de Diiferencferenciiasas FiFinnititaas s [[33]] aall

 prob

 problleemmaappllanantteadeado,o,coconsnsiiderando un esderando un esttado de cor ado de cor tte puro sobree puro sobre lla pa pllaca. La daca. La diiscrescretitizaczaciión deón de lla ecuaca ecuaciiónón

d

diiferencferenciiaall condu conducecea un pa un probrobllema de vaema de vallores y vecores y vecttores propores propiios, a par os, a par titir der dellcuacuall se ob se obtitieneenella carga cr a carga cr ítiíticaca

de pandeo por cor 

de pandeo por cor tte. La soe. La sollucuciión obón obtteneniida se compara con resuda se compara con resultltados pubados publilicados encados en lla a bb bi bi liliograf ograf ííaa

espec

especiiaalilizadzadaa parpara doa doss titi pos de  pos de condcondiicciioneones de s de bordborde,e,esesttababllececiiendo de esendo de estta manera cr a manera cr ititer er iios de uos de utilitilizaczaciiónón

de

dell mé méttodoodopropropuepuesstto para do para diiversas dversas diiscrescretitizaczaciiones espacones espaciiaalles dees della pa pllaca.aca.

2.

2.

G

G

ENERALIDADEENERALIDADESS S

Se conse consiidera una pdera una pllaca de acero paca de acero pllana, recana, recttanguangullar de anchoar de anchoaa y a y altlturaurabb, cuyo espesor, cuyo espesor t t  es pequeño en es pequeño en

re

rellacaciión aón all resrestto de sus do de sus diimensmensiiones, de acuerdo aones, de acuerdo a lloo iindndiicado encado en llaa Fi Figura 1.gura 1. PPara eara ell caso en es caso en esttududiioo l laa

 p

 pllaca se encuenaca se encuenttra somera sometitida a un esda a un esttado de soado de soliliccititacaciión de cor ón de cor tte puro en ee puro en ell p pllano deano de lla ma miisma, dsma, diissttr r ii bu buiidodo

en forma un

en forma uniiforme sobreforme sobre llaallongongititud de sus cuaud de sus cuattro ar ro ar iissttas,as,ttaall como puede observarse en d como puede observarse en diicha f cha f iigura, dondegura, donde

 N 

 N  zy zyyy N  N  yz  yz , represen, representtananllas fuerzas de cor as fuerzas de cor tte por une por uniidad dedad dellongongititud, acud, acttuanuanttes enes enllas ar as ar iissttas mencas menciionadas.onadas.

1

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MACI Vol. 5 (2015)

(2)
(3)

Figura 1:Conf iguración de cargas externas sobrela placa y su geometr ía

Las ecuaciones para determinar las cargas correspondientes al punto de bifurcación para la placa con

 presión lateral nula y sometida a carga en su propio plano, pueden obtenerse a par tir de la aplicación del

cr iter io de equili br io adyacente o por medio del cr iter io de mínima energía potencial total, [1]. En el caso

de un estado de carga de cor te puro, uniformemente distr i buida,la ecuación mencionada esla siguiente:

(1) Donde w  representa el  desplazamiento de los puntos de la placa en la dirección normal al plano de la

misma, D es la r igidez f lexional de la placa, dada por , E es el  módulo de elasticidad longitudinal del mater ial y es el módul o de Poisson.

3. A

PLICACIÓN DEL MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS ALPROBLEMAPRESENTADO

Con el ob jeto de obtener la forma discreta de la ecuación diferencial (1), se procede a sustituir las

der ivadas parciales por sus respectivas aproximaciones numér icas, considerando pasos y y z , en las

direcciones y y z , respectivamente. En el  presente estudio, se consideran las siguientes aproximaciones,

dondelos subíndicesi, j indicanla posición del punto considerado enla discretización espacial dela placa:

(2) (3)

(4)

Por otrolado, a par tir dela der ivada pr imera:

(5)

Se deducela siguiente aproximación parala der ivada segunda cruzada:

(6)

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MACI Vol. 5 (2015) N. Biedma, P. A. Lotito, L. Parente, A. Rubiales (Eds.)

(4)
(5)

Reemplazandolas ecuaciones (2), (3), (4) y (6) en (1), y considerando y= z, se obtiene:

(7)

La expresión (7), aplicada sucesivamente en cada uno de los nodos dela discretización bidimensional dela

 placa, conduce ala siguiente ecuación matr icial:

(8) Donde la matr iz representa los efectos lineales de la r igidez, en tanto que la matr iz está

asociada a los cambios en la r igidez debido a la no linealidad cinemática. La resolución del problema de

valores y vectores propios dado en (8) permite hallar la menor carga de cor te que produce el fenómeno de inestabilidad por pandeo de la placa en estudio.

4. R 

ESULTADOS OBTENIDOS

Se analiza una placa de acero con relación de aspecto unitar ia, , t =1 cm, a=b=300cm. Latensión de cor te cr ítica deinestabilidad de referencia [4], [5], se encuentra dada por :

(9) siendok s un coef iciente que var ía paralas distintas condiciones de borde y en este está caso, adopta valores

de k s=9.34 para la placa con cuatro bordes simplemente apoyados (SA-SA-SA-SA) y k s=14.58 para la

 placa con cuatro bordes empotrados (E-E-E-E). De esta manera se obtiene un valor de tensión cr ítica de

inestabilidad en el pr imer caso y de en el segundo. La Tabla 1

indica los valores obtenidos a par tir de la aplicación del método propuesto en el  presente traba jo, para

distintas discretizaciones empleadas:

[kg/cm2] rel = [%] [kg/cm2] rel = [%] SA-SA-SA-SA E-E-E-E 5 181.71 7.75 251.56 18.18 10 187.39 4.86 274.88 10.60 15 191.89 2.58 290.61 5.49 20 193.82 1.60 297.80 3.15 25 194.79 1.10 301.50 1.94 30 195.34 0.83 303.63 1.25 35 195.68 0.66 304.95 0.82 40 195.90 0.54 305.83 0.54 45 196.06 0.46 306.43 0.34 50 196.17 0.41 306.87 0.20

Tabla 1: Valores de y su correspondiente error relativo

En los gráf icos dela Figura 2 es posi ble observarla evolución delos errores relativos yla convergencia de los valores hallados detensión cr ítica hacialos valores de referencia mencionados.

165

(6)
(7)

Figura 2:Tensiones cr íticas de pandeo y errores relativos en ambas condiciones de borde

La evolución de los errores relativos en términos de las diversas discretizaciones utilizadas, es posi ble

hallar la a par tir de analizar los resultados obtenidos realizando una aproximación por mínimos cuadrados

potencial del tipo rel=kn ym. En dicha expresión k   es una constante y m es el  exponente de la función

 potencial. La Tabla 2 muestralos valores quetoma dicho exponente para diversos rangos de n y analizados.

Rango deny m SA-SA-SA-SA m E-E-E-E 5-50 1.374 1.964 10-50 1.560 2.411 15-50 1.540 2.686 20-50 1.493 2.949 25-50 1.439 3.237 30-50 1.383 3.573

Tabla 2: Valores dem para diversos rangos de n y

5. C

ONCLUSIONES GENERALES

A par tir de una adecuada selección de las aproximaciones numér icas de las der ivadas parciales

 presentes en la ecuación diferencial  que gobierna el problema tratado, es posi ble emplear el método de

Diferencias Finitas para la determinación de cargas cr íticas de inestabilidad por cor te en placas delgadas.

El procedimiento utilizado, br inda excelentes resultados ya que permite obtener adecuados valores de dicha

carga con valores relativamente pequeños deintervalos de discretización.

Las diversas condiciones de borde analizadas, muestran diferencias apreciables en los exponentes que

def inen la función potencial utilizada en una aproximación por mínimos cuadrados, lo cual indica la tendencia y evolución de dichos errores a medida que crece el  número de intervalos de discretización

utilizados.

A

GRADECIMIENTOS

Los autores agradecen a la Secretar ía de Ciencia, Técnica y Posgrado dela Universidad Nacional de

Cuyo por el f inanciamiento delosProyectos de Investigación Bianuales 2013-2015 nro. 06/B324 y B027.

EFERENCIAS

[1] D.O. BRUSH,B.O.ALMROTH, Buck ling o f   bars, pl at es and shell  s, Mc Graw Hill, Kogakusha (1975).

[2] J. K . PAIK ANDA.K.THAYAMBALLI, U ltimat e limit  st at e desi gn o f   st eel -pl at ed st ruct ures, John Wiley

andSons, 2006.

[3] J. D. HOFFMAN, Numer ical  met hods f  or eng ineers and scienti st  s, CRCPress, 2001.

[4] M.M. ALINIA, ANDM. DASTFAN, Behaviour o f  t hin st eel  pl at e shear wall  s regard ing  f  rame members,

Journal of Construccional Steel Research, 62 (2006), pp.730-738.

[5] R. D. ZIEMIAN,Guide t o S t abilit  y desi gn cr it er ia f  or met al  st ruct ures, 6th Edition, John Wiley &Sons.

INC., (2010). 175 200 225 250 275 300 325 0 20 40 60    T  e  n   s    i    ó  n   c   r    í    t    i  c  a    [    k  g    /  c  m    2    ] ny E-E-E-E SA-SA-SA-SA 0 5 10 15 20 0 10 20 30 40 50    E  r  r   o   r   r   e    l  a    t    i  v  o    [    %    ] ny E-E-E-E SA-SA-SA-SA 166

MACI Vol. 5 (2015) N. Biedma, P. A. Lotito, L. Parente, A. Rubiales (Eds.)

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