PORTAFOLIO MATEMATICA FINANCIERA

ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN DE

EMPRESAS Y MARKETING

PORTAFOLIO DE

MATEMÁTICA

FINANCIERA

Integrantes:

Docente:

Marzo - Agosto 2014

GENERALIDADES MATEMÁTICAS FINANCIERA 1.1 Porcentajes 1.2 Depreciación 1.3 Progresiones 1.4 Ecuaciones 𝐶 = 3000 𝒕 = 4% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 4% / 12 = 0.3% 𝒕 = 0.3% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 PRINCIPIOS  Todo capital genera capital

 Todo capital con el tiempo pierde valor

 El valor del dinero en el tiempo

Invertir: Ahorrar esto se llama tasa de interés. Consumo: Lo que hay.

Activo fijo: Todos los bienes que no están disponibles a la venta. Ahorrar: Tiene plata liquida.

Clasificar cuentas: Por la capacidad o la flexibilidad. Invertir: Es abstenerse del consumo presente.

Consumo presente: Es sacrificar algo para tomar otra decisión. Precio del dinero: Se llama la tasa de interés

Capital: El valor con el que inicia un negocio o el dinero líquido que tenemos. Matemática Financiera: -Es una herramienta que nos lleva a tomar decisiones para adquirir una inversión.

Prestatario: Es la persona que adquiere y debe pagar el dinero. Dinero: Es el intercambio que me sirve para satisfacer lo básico.

Tasa de interés: Es que mide el precio del dinero que se invierte en un negocio.

Inversión: No son de consumo final si no para un nuevo bien. Tasa Activa: La persona que cobra la captación del dinero.

Arancel: Es lo que se graba a los bienes que importan en el Ecuador. Tasa pasiva: lo que paga la captación de dinero.

Porcentaje: Es la proporcionalidad que se establece cada 100 unidades.

Ejercicios:

 $100 al 12 porciento 100 * 1.12 = 112

 $200 con un descuento de 5% 200 * 0.95 = 1900

 $500 con un descuento del 70% 500 * 0.3 = 150

 $800 con un descuento del 8% 800 * 0.92 = 736

 $15000 con un descuento de 15% 15000 * 0.85 = 12750

- Transformar de porcentaje a decimal

 50% = 0.5  10% = 0.1  30% = 0.015  1.5% = 0.005  200% = 2  300% = 3  1000% = 10  500% = 5  0.03% = 0.0003

Problemas:

 Si queremos calcular el valor de la factura de una cocina el precio de $ 350 sobre el cual se ofrece el 12% de descuento de venta al contando.

350 × 0.12 = 42 350 ×₁₀₀12 = 42

350 – 42 = 308 350 − 42 = 308

DEPRECIACIÓN

Es la pérdida de valor de un bien o activo (maquinaria, edificio, equipos, etc.), que sufren debido al uso, desgaste u otros factores.

La depreciación es el proceso por el cual un activo disminuye su valor y utilidad con el uso y/o con el tiempo.

Para reemplazar el activo al fin de su vida útil, se establece un fondo, separando periódicamente cierta cantidad que debe ser igual al costo del reemplazo.

Elementos:

1. Vida útil.- es la duración probable de un bien o activo; se estima con base en la experiencia e informes de expertos o fabricantes.

2. Costo inicial.- valor del bien o activo en la fecha de compra.

3. Valor de salvamento o valor Residual.- valor que conserva el bien cuando ha dejado de ser útil.

4. Cargo por depreciación.- depósitos periódicos que se realizan en el fondo para depreciación.

MÉTODO DE DEPRECIACIÓN EN LÍNEA RECTA

Este método consiste en tomar cada año, para el activo considerado, un valor de depreciación constante.

- Ésta fórmula se utiliza en el caso de que la depreciación esté dada en función del número de años.

𝑪𝒂𝒓𝒈𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 (𝑪𝑫) = 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 (𝐶𝐼) − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑆𝑎𝑙𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑉𝑆) 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑑𝑎 ú𝑡𝑖𝑙 (𝑁) - Cuando la depreciación se calcula en función de las horas de operación,

puede utilizarse la fórmula:

𝑪𝒂𝒓𝒈𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 (𝑪𝑫) = 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 (𝐶𝐼) − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑆𝑎𝑙𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑉𝑆) 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑑𝑎 ú𝑡𝑖𝑙 (𝑁) - Cuando la depreciación se calcula en función del número de unidades

producidas, se puede utilizar la siguiente fórmula:

𝑪𝒂𝒓𝒈𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 (𝑪𝑫) = 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 (𝐶𝐼) − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑆𝑎𝑙𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑉𝑆) 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑑𝑎 ú𝑡𝑖𝑙 (𝑁)

Es decir, que únicamente cambia el denominador (N), según la depreciación esté dada en función de los años, el número de horas o las unidades producidas.

DEPRECIACIÓN LINEAL

En la depreciación lineal el valor de depreciación es constante Ejercicio:

Determinar el cargo por depreciación de 10 computadoras cuyo costo total es de 55.000 para lo cual se estima un valor de salvamento 33% de su valor original. Armar la tabla donde se expresen los valores de depreciación según los libros contables.

𝑉. 𝑆 = (55000)(0,33) = 18150 𝐶. 𝐷 =55000 − 18150

3 = 12283,33

Tiempo Cargo por

depreciación Fondo por depreciación. Valor en libros 1 2 3 12.283,33 12.283,33 12.283,33 12.283,33 24.566,66 36.849,99 55000 42.716,67 30.433,34 18.150,01

Calcular el valor de depreciación de una nave industrial cuya adquisición representa un 1’000.000 de dólares considere además un valor de salvamento del 5% de su valor original. Elabórela tabla de depreciación correspondiente. 𝑉. 𝑆 = (1´000000)(5) = 50000

𝐶. 𝐷 =1′000000 − 50000

Tiempo Cargo por Depreciación

Fondo por

Depreciación Valor en Libros

1´000.000 1 47.500 47.500 952.500 2 47.500 95.000 905.000 3 47.500 142.500 857.500 4 47.500 190.000 810.000 5 47.500 237.500 762.500 6 47.500 285.000 715.000 7 47.500 332.500 667.500 8 47.500 380.000 620.000 9 47.500 427.500 572.500 10 47.500 475.000 525.500 11 47.500 522.500 477.500 12 47.500 570.000 430.000 13 47.500 617.500 382.500 14 47.500 665.000 335.000 15 47.500 712.500 287.500 16 47.500 760.000 240.000 17 47.500 807.500 195.000 18 47.500 855.000 145.000 19 47.500 902.500 97.500 20 47.500 950.000 50.000

3.-Arme la tabla de depreciación del vehículo de la gerencia de la empresa ABC cuyo precio de compra fue$ 85000 considere un valor de salvamento igual al 20% del valor inicial y elabore la tabla de depreciación.

Datos 𝐶𝐼 = 85000 𝑉. 𝑈. = 5 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑉. 𝑆 = 20% 𝐶𝐷 =?

Tiempo Cargo por depreciación Fondo por depreciación. Valor en libros 1 2 3 4 5 13.600 13.600 13.600 13.600 13.600 13.600 27.200 40.800 54.400 68.000 85000 71.400 57.800 44.200 30.600 17.000

TABLA DE DEPRECIACIÓN DE ACTIVOS FIJOS

BIENES PORCENTAJE AÑO

Inmuebles (excepto terrenos), naves, aeronaves, barcazas y similares.

5% 20

Instalaciones, maquinarias, equipos y muebles. 10% 10 Vehículo, equipo de transporte y equipo camionero móvil. 20% 5

Equipos de cómputo y software. 33% 3

Ejemplo

Calcule el cargo de depreciación anual de un equipo cuyo costo de compra es de 45000, su vida útil es 12 años y su valor de salvamento el 10% del valor de compra. 𝑪𝒂𝒓𝒈𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏(𝑪𝑫) =𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝐼𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙(𝐶𝐼) − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜(𝑉𝑆) 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑑𝑎 ú𝑡𝑖𝑙(𝑁) 𝑉𝐶 = 45000𝑋10% = 4500 (𝐶𝐷) =45000 − 4500 12 (𝐶𝐷) = 3375

TIEMPO CARGO DEPRECIACIÒN FONDO DEPRECIACIÓN VALOR LIBROS 45000,00 1 3375,00 3375,00 41625,00 2 3375,00 6750,00 38250,00 3 3375,00 10125,00 34875,00 4 3375,00 13500,00 31500,00 5 3375,00 16875,00 28125,00 6 3375,00 20250,00 24750,00 7 3375,00 23625,00 21375,00 8 3375,00 27000,00 18000,00 9 3375,00 30375,00 14625,00 10 3375,00 33750,00 11250,00 11 3375,00 37125,00 7875,00 12 3375,00 40500,00 4500,00 EJERCICIO 1

Calcular el cargo de depreciación anual de un escritorio que fue adquirido en 2500 y elabore la tabla de depreciación.

𝑉𝐶 = 2500𝑋10% = 250 (𝐶𝐷) =2500 − 250 10 (𝐶𝐷) = 225 TIEMPO CARGO DEPRECIACIÒN FONDO DEPRECIACIÓN VALOR LIBROS 2500,00 1 225,00 225,00 2275,00 2 225,00 450,00 2050,00 3 225,00 675,00 1825,00 4 225,00 900,00 1600,00 5 225,00 1125,00 1375,00 6 225,00 1350,00 1150,00 7 225,00 1575,00 925,00 8 225,00 1800,00 700,00 9 225,00 2025,00 475,00 10 225,00 2250,00 250,00

DEPRECIACIÓN POR UNIDADES Ejemplo

Una máquina industrial tuvo un costo de 1’400.000 y el valor de salvamento se calcula en 200.000 después de producir 6’000.000 de unidades se quiere calcular el cargo por depreciación anual y elaborar la tabla de depreciación, si la producción se estima en 750.000. 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛(𝐶𝐷) =𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝐼𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙(𝐶𝐼) − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜(𝑉𝑆) 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑑𝑎 ú𝑡𝑖𝑙(𝑁) (𝐶𝐷) =1 ′_{400.000 − 200.000} 6′_000.000 (𝐶𝐷) = 0,20 𝐴𝑛𝑢𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 (0.20)(750.000) = $150.000 𝐴ñ𝑜𝑠 =6′000.000 750.000 = 8 TIEMPO UNIDADES PRODUCIDAS CARGO DEPRECIACIÒN FONDO DEPRECIACIÓN VALOR LIBROS 1400000,00 1 750000,00 150000,00 150000,00 1250000,00 2 750000,00 150000,00 300000,00 1100000,00 3 750000,00 150000,00 450000,00 950000,00 4 750000,00 150000,00 600000,00 800000,00 5 750000,00 150000,00 750000,00 650000,00 6 750000,00 150000,00 900000,00 500000,00 7 750000,00 150000,00 1050000,00 350000,00 8 750000,00 150000,00 1200000,00 200000,00 EJERCICIO 1

Una máquina industrial tiene un costo inicial de 36.000 y valor estimado de rescate de 2.000, después de producir 1’700.000 unidades, se estima en 170.000.

Calcular:

a) Cargo de depreciación por unidad.

(𝐶𝐷) =36.000 − 2.000 1′_700.000 (𝐶𝐷) = 0,02

b) Cargo por depreciación anual.

𝐴𝑛𝑢𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 (0,02)(170.000) = 3.400

c) Elaborar la tabla de depreciación.

TIEMPO UNIDADES PRODUCIDAS

CARGO DEPRECIACIÒN

FONDO

DEPRECIACIÓN VALOR LIBROS

36000,00 1 170000,00 3400,00 3400,00 32600,00 2 170000,00 3400,00 6800,00 29200,00 3 170000,00 3400,00 10200,00 25800,00 4 170000,00 3400,00 13600,00 22400,00 5 170000,00 3400,00 17000,00 19000,00 6 170000,00 3400,00 20400,00 15600,00 7 170000,00 3400,00 23800,00 12200,00 8 170000,00 3400,00 27200,00 8800,00 9 170000,00 3400,00 30600,00 5400,00 10 170000,00 3400,00 34000,00 2000,00 EJERCICIO 2

Una máquina industrial tuvo un costo inicial de 200.000 y el valor de salvamento se calcula en 150.000 después de producir 500.000 de unidades. Se requiere calcular el cargo por depreciación anual y elaborar la tabla de depreciación, si la producción estima en 50.000.

(𝐶𝐷) =200.000 − 150.000 500.000 (𝐶𝐷) = 0,1

TIEMPO UNIDADES PRODUCIDAS

CARGO DEPRECIACIÒN

FONDO

DEPRECIACIÓN VALOR LIBROS

500000,00 1 50000,00 35000,00 35000,00 465000,00 2 50000,00 35000,00 70000,00 430000,00 3 50000,00 35000,00 105000,00 395000,00 4 50000,00 35000,00 140000,00 360000,00 5 50000,00 35000,00 175000,00 325000,00 6 50000,00 35000,00 210000,00 290000,00 7 50000,00 35000,00 245000,00 255000,00 8 50000,00 35000,00 280000,00 220000,00 9 50000,00 35000,00 315000,00 185000,00 10 50000,00 35000,00 350000,00 150000,00

DEPRECIACIÓN TRABAJADA POR NÚMERO DE HORAS

EJEMPLO

Calcular el cargo por depreciación y la tabla de depreciación de una máquina que costó 240.000 y que se estima un valor de salvamento de 20.000, luego de que han transcurrido 50.000 horas de depreciación.

𝐶𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛(𝐶𝐷) =𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝐼𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙(𝐶𝐼) − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜(𝑉𝑆) 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑑𝑎 ú𝑡𝑖𝑙(𝑁) (𝐶𝐷) =240.000 − 20.000 50.000 (𝐶𝐷) = $4,4 𝑥 ℎ𝑜𝑟𝑎 TIEMPO HORAS DE OPERACIÓN CARGO DEPRECIACIÒN FONDO

DEPRECIACIÓN VALOR LIBROS

240000,00 1 5000,00 22000,00 22000,00 218000,00 2 4000,00 17600,00 39600,00 196000,00 3 6000,00 26400,00 66000,00 174000,00 4 5000,00 22000,00 88000,00 152000,00 5 3000,00 13200,00 101200,00 130000,00 6 5000,00 22000,00 123200,00 108000,00 7 6000,00 26400,00 149600,00 86000,00 8 5000,00 22000,00 171600,00 64000,00 9 6000,00 26400,00 198000,00 42000,00 10 5000,00 22000,00 220000,00 20000,00

Interés Simple

AÑOS MESES DÍAS

1 12 365 2 24 730 3 36 1095 4 48 1460 5 60 1825 6 72 2190 Enero 31 Julio 31 Febrero 28 Agosto 31 Marzo 31 Septiembre 30 Abril 30 Octubre 31 Mayo 31 Noviembre 30 Junio 30 Diciembre 31 Ejercicios:

 Supongo que una operación inicial el 15 de marzo y termina el 15 de agosto del 2014. Determine el tiempo que ha transcurrido en la operación financiera considerando el año calendario o el año comercio.

Marzo 31 16 Abril 30 30 Mayo 31 31 Junio 30 30 Julio 31 31 Agosto 31 15 Tiempo Exacto n 153 Marzo 30 15 Abril 30 30 Mayo 30 30 Junio 30 30 Julio 30 30 Agosto 30 15 Tiempo Aproximado n 150

 Si pacta una operación financiera el 2 de febrero 2014 y termino el 18 de abril del 2016. Calcule el tiempo exacto y aproximado tomando en cuenta que el año 2015 es bisiesto.

Febrero 28 26 Febrero 30 28 Marzo 31 31 Marzo 30 30 Abril 30 30 Abril 30 30 Mayo 31 31 Mayo 30 30 Junio 30 30 Junio 30 30 Julio 31 31 Julio 30 30 Agosto 31 31 Agosto 30 30 Septiembre 30 30 Septiembre 30 30 Octubre 31 31 Octubre 30 30 Noviembre 30 30 Noviembre 30 30 Diciembre 31 31 Diciembre 30 30 Enero 31 31 Enero 30 30 Febrero 29 29 Febrero 30 30 Marzo 31 31 Marzo 30 30 Abril 30 30 Abril 30 30 Mayo 31 31 Mayo 30 30 Junio 30 30 Junio 30 30 Julio 31 31 Julio 30 30 Agosto 31 31 Agosto 30 30 Septiembre 30 30 Septiembre 30 30 Octubre 31 31 Octubre 30 30 Noviembre 30 30 Noviembre 30 30 Diciembre 31 31 Diciembre 30 30 Enero 31 31 Enero 30 30 Febrero 28 28 Febrero 30 30 Marzo 31 31 Marzo 30 30 Abril 30 18 Abril 30 18

Tiempo Exacto n 806 Tiempo Aproximado n 796

INTERÉS SIMPLE  Interés (I).- Precio que se paga por un dinero.  Interés va en dólares.

 Tasa de interés (i): Es el valor porcentual por el uso del dinero que ayuda a determinar el interés.

Interés Monetario $ 80 Tasa de Interés Porcentual %

 Tiempo (t).- Se lo determina en Años, Días, Meses.

 Capital (C).- Es la cantidad de dinero con lo que inicia un negocio.  Monto (M).- Es la cantidad al término de la operación financiera.

𝐹Ó𝑅𝑀𝑈𝐿𝐴: 𝐼𝑠 = 𝐶 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖

Calcular el interés simple que gana un capital de 5000 USD al 12 % anual si la operación dura del 15 de marzo al 15 de agosto del mismo año para tal fin trabaje con el tiempo exacto y con el tiempo aproximado.

𝐼𝑠 = 𝐶 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖



𝐶 = 5000



𝑛

_𝐸

= 153



𝑛

₄

= 150



𝑖 = 12% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙

Tiempo Exacto Tiempo Aproximado

𝐼𝑠 = (5000)(153)(0,12) 𝐼𝑠 = (5000)(150)(0,12) 𝐼𝑠 = 91800 𝐼𝑠 = 90000 Interés Simple 𝐼𝑠 = (5000) (153 365𝑑í𝑎𝑠) (0,12 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) 𝐼𝑠 = (5000)(0.419178082)(0,12 ) 𝐼𝑠 = (5000)(0.050301369) 𝐼𝑠 = 251.51

Ejercicios:

Una operación financiera que duró del 08 de enero al 18 de marzo con un capital de $30000 sometido a una tasa de interés del 1405% anual. ¿Cuánto generó de intereses?

 IS. Tiempo exacto / Año Comercial  IS. Tiempo aproximado / Año Comercial  IS. Tiempo exacto/Año Calendario

 IS. Tiempo aproximado / Año Calendario 1.- Tiempo exacto – Año Comercial.

IS. = (30000) (69/360) (0.145) IS = 833.75

2.- Tiempo aproximado – Año Comercial IS. = (30000) (70/360) (0.145)

IS = 845.83

3.- Tiempo exacto – Año Comercial IS. = (30000) (69/365) (0.145) IS = 822.33

4.-Tiempo aproximado – Año Calendario IS. = (30000) (70/365) (0.145)

IS = 834.25

Capital 5000 del 15 de marzo al 15 de agosto con una tasa de interés del 12. 5 %anual

1.- Tiempo exacto – Año Comercial. IS. = (5000) (153/360) (0.12)

2.- Tiempo aproximado – Año Comercial IS. = (5000) (153/365) (0.145)

IS = 845.83

3.- Tiempo exacto – Año Comercial IS. = (30000) (69/365) (0.12)

IS = 251.51

4.-Tiempo aproximado – Año Calendario IS. = (30000) (150/365) (0.12)

IS = 246.58 MONTO

Una operación financiera que duró del 08 de enero al 18 de marzo con un capital de $30000 sometido a una tasa de interés del 1405% anual. Calcular el monto Gráfica C=30000 n e =69 n a=70 días M= ---anual--- Fórmula 𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑛 × 𝑖 ) Monto unitario 𝑀1 = {30000 1 + (69 360) (0.145)} = (1.027791667) = 30833.75 𝑀2 = {30000 1 + (70 360) (0.145)} = (1.028194444) = 30845.83

𝑀3 = {30000 1 + (69

365) (0.145)} = (1.027410959) = 30822.33 𝑀4 = {30000 1 + (70

365) (0.145)} = (1.027808219) = 30834.25

El monto unitario se relaciona a cuanto se ganó por cada dólar invertido al final de la operación financiera.

 Calcule el interés simple y el monto por tiempo exacto y año comercial en cada uno de los siguientes casos:

A) $ 1500 al 18% días de plazo.

B) $ 280 al 1.7% mensual a 120 días plazo.

C) $ 50000 al 9 % anual del 15 marzo al 31 agosto del mismo año.

D) $ 85.00 al 14.4% anual desde el 10 de agosto hasta el 15 de diciembre del mismo año.

E) $ 4500 al 1.7% mensual del 10 de abril al 22 de octubre del mismo año. F) $ 2500 al 1.5% mensual desde el 12 de mayo al 15 de septiembre del mismo año.

G) $ 3000 al 15% diario del 15 de marzo al 14 de abril del mismo año. a) 𝐼𝑠 = 𝐶 × 𝑛 × 𝑖 𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑛 × 𝑖) 𝐼𝑠 = ((1500) (180 360) (0.18)) 𝑀 = 1500(1 + (180/360) (0.18) 𝐼𝑠 = 135.00 𝑀 = 1635 b) 𝐼𝑠 = 𝐶 × 𝑛 × 𝑖 𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑛 ∗ 𝑖) 𝐼𝑠 = ((280) (120 30) (0.17)) 𝑀 = 280(1 + (120/300) (0.17) 𝐼𝑠 = 19.04 𝑀 = 299.04

c) 𝐼𝑠 = 𝐶 × 𝑛 × 𝑖 𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑛 ∗ 𝑖) 𝐼𝑠 = ((50) (169₃₆₀) (0.18)) 𝑀 = 1500(1 + (180/360) (0.18) 𝐼𝑠 = 135.00 𝑀 = 52.1125 d) 𝐼𝑠 = 𝐶 × 𝑛 × 𝑖 𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑛 × 𝑖) 𝐼𝑠 = ((85) (127 360) (0.144)) 𝑀 = 85 (1 + (127/360) (0.09) 𝐼𝑠 = 4.318 𝑀 = 89.32 e) 𝐼𝑠 = 𝐶 × 𝑛 × 𝑖 𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑛 × 𝑖) 𝐼𝑠 = ((4500) (195 30) (0.017)) 𝑀 = 4500(1 + (195/30) (0.017) 𝐼𝑠 = 497.25 𝑀 = 4997.25 f) 𝐼𝑆 = 𝐶 × 𝑛 × 𝑖 𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑛 × 𝑖) 𝐼𝑠 = ((2500) (126 30 ) (0.015)) 𝑀 = 1500(1 + (180/360) (0.18) 𝐼𝑠 = 157.50 𝑀 = 2657.50 g) 𝐼𝑠 = 𝐶 × 𝑛 × 𝑖 𝑀 = 𝐶 (1 + 𝑛 × 𝑖) 𝐼𝑠 = ((3000) (30 1) (0.0015)) 𝑀 = 3000(1 + (30/1) (0.0015)) 𝐼𝑠 = 135.00 𝑀 = 3135

Ejercicio:

 ¿En qué tiempo se incrementara en 205 un capital de 50000 colocado al 1₄% anual? Datos 𝐼 = 𝐶 × 𝑛 × 𝑖 𝑛 = 𝐼 𝐶 × 𝑖 𝑛 = 205 (50000)(0.1025 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) 𝑛 = 0.04𝑎ñ𝑜𝑠 ∗ 360𝑑𝑖𝑎𝑠 = 14.4 𝑑𝑖𝑎𝑠 14.4𝑑𝑖𝑎𝑠 ∗ 12𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 0.48𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

 ¿A qué tiempo se obtiene un monto de 54500 con un capital de 5000, colocado en una tasa del 1.50 mensual?

Datos 𝑛 =? 𝑀 = 54500 𝐶 = 50000 𝑖 = 1.5% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑀 = 𝐶 + 𝐼 54500 = 50000 + 4500 𝑛 = 𝐼 𝐶 × 𝑖= 4500 (50000)(0.015𝑚𝑒𝑠)

𝑛 = 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

𝑛 = 6 × 30 𝑑í𝑎𝑠 = 180 𝑑í𝑎𝑠

 ¿En qué tiempo se convierte un monto de 80000 un capital de 55000 a una tasa del 1% diario?

Datos 𝑛 =? 𝑀 = 80000 𝐶 = 55000 𝑖 = 1% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 Solución 𝑛 = 𝐼 𝐶 ∗ 𝑖= 25000 (55000)(0.01) 𝑛 = 45.45 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑛 =45.45 30 = 1.515 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑛 =45.45 360 = 1.12625 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑀 = 𝐶 + 𝐼 80000 = 55000 + 25000

 ¿En qué tiempo expresado en mese, días, años, un capital de 18000 se convirtió en 20000 una tasa de 6% anual?

Datos 𝑛 =? 𝑀 = 20000 𝐶 = 18000 𝑖 = 6% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑀 = 𝐶 + 𝐼 20000 = 18000 + 2000

Solución 𝑛 = 𝐼 𝐶 ∗ 𝑖= 2000 (18000)(0.06) 𝑛 = 1.85 1.85 ∗ 180 = 333𝑚𝑒𝑠 1.85 ∗ 6 = 11.1 𝑑𝑖𝑎𝑠

 ¿En qué tiempo un capital de 150000 se convirtió en 180000 con una tasa de 13% anual? Datos 𝑛 =? 𝑀 = 180000 𝐶 = 150000 𝑖 = 13% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝐼 = 30.000 Solución 𝑛 = 𝐼 𝐶 ∗ 𝑖= 30000 (15000)(0.13)= 1.54 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑛 = 1.54 ∗ 360 = 554.5 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑛 = 1.54 ∗ 30 = 46.2 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑛 = 1.54 ∗ 12 = 18.48 𝑑𝑖𝑎𝑠

 ¿A qué tasa de interés anual se coloca un capital de 4000 para que se convierta en 4315 en 120 días? Datos 𝑛 = 210 𝑀 = 4000 𝐶 = 4315 𝑖 = ?

Solución 𝐶 × 𝑛 × 𝑖 𝑖 = 𝐶 × 𝑛 𝑖 = 𝐼 𝐶 × 𝑛= 315 4000(210₃₆₀₎ = (0.135)(100) = 13.5 13.5 12 = 1.125% 13.5 13602= 0.0375%

 ¿A qué tasa de interés mensual un capital 1850 se incrementa un cuarta parte más en 310? Datos 𝑛 = 310 𝑀 = 4000 𝑖 = ? 𝑖 = 462.5 1850(300_{12 )}= 0.01 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑀 = 2312.5 𝐷𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜 = (0.01)(30) = 0.3% 𝐴𝑛𝑢𝑎𝑙 = (0.01)(360) = 3.6% EJERCICIOS Datos 𝑪 = 1 300 𝑴 = 16 300 𝒏 = 228 𝑑í𝑎𝑠

𝒊 =

𝐼 𝐶×𝑛

=

1300 (15000)(228₃₀)

= 0,0114 × 100 = 1,14%

Mensual

𝒊 =

_𝐶×𝑛𝐼

=

1300 (15000)(228₃₆₀)

= 0,136 × 100 = 13,68%

Anual. Datos 𝒊 =? 𝐴𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑪 = 2 800 𝑴 = 3 100 𝒕 = 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑎ñ𝑜 𝑐𝑎𝑙𝑒𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑰 = 𝑀 − 𝐶 𝑰 = 3 100 – 2 800 = 300 Solución

𝒊 =

𝐼 𝐶×𝑛

=

300 (2800)(₁₂3)

= 0,4285 × 100 = 42,86%

Anual

𝒊 =

𝐼 𝐶×𝑛

=

300 (2800)(3)

= 0.0357 × 100 = 3,57%

Mensual

 ¿Cuál es la tasa de interés diaria si se tiene un capital de $1000,00 para que se convierta en 2200 en un semestre?

Datos 𝑪 = 1 000 𝑴 = 2 200 𝑷𝑪 = 𝑆𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑰 = 2 200 – 1 000 = 1 200

𝒊 =

𝐼 𝐶×𝑛

=

1200 (1000)(6)

= 0.2 × 100 = 20%

Mensual 20 ÷ 30 = 0.66666% Diario.

 De una tasa del 28% anual. Determinar la tasa equivalente de esta expresada en tasa semestral, cuatrimestral, trimestral, bimensual, mensual, diaria y hora.

Semestral Cuatrimestral Trimestral

28 ÷ 2 = 14% 28 ÷ 3 = 9,33% 28 ÷ 4 = 7%

Bimensual Mensual Diaria

28 ÷ 6 = 4,666% 28 ÷ 12 = 2,33% 28 ÷ 360 = 0,07777% Hora

28 ÷ 8640 = 0,00324%

 Determine las tasas equivalentes expresadas en día, mes, bimestral, trimestral, cuatrimestral, semestral y anual de una tasa diaria de 0,00324% horaria. 0,00324 × 24 = 0,07776 Diaria 0,00324 × 720 = 2,3328 Mensual 0,00324 × 1440 = 4,6656 Bimestral 0,00324 × 2880 = 9,33 Cuatrimestral 0,00324 × 2160 = 6,99 Trimestral 0,00324 × 4320 = 13,99 Semestral

 ¿Cuál es la tasa de interés trimestral que generó un interés de 15% $500 sobre un capital de $45 000 invertido en una política de acumulación durante 15 días? Datos 𝑰 = 500 𝑪 = 45 000 𝒏 = 15 𝑑í𝑎𝑠

𝒊 =

𝐼 𝐶×𝑛

=

500 (45000)(15)

= 0,0007407 = 0,074%

Diario

 ¿Cuál es el interés bimensual que generó un interés de $1500 durante un semestre con un capital de $ 25 000?

𝒊 =

𝐼

𝐶×𝑛

=

1500

(25000)(1)

= 0,06 = 6%

Semestral 6 ÷ 3 = 2% Bimensual

 ¿Cuál es la tasa de interés anual que generó un interés de $800 sobre un capital de $800 durante 2 trimestres?

800

(800)(2)

= 0,5 = 50%

Trimestral 50 × 4 = 200% Anual

 ¿Cuál es el capital que cobrado a una tasa de interés del 9% anual durante 180 días generó un interés de $1125?

𝐶 = 1125

(180_{360) (0,09)}= 25000

 ¿Qué capital colocado a una tasa del 15% semestral durante 5 meses produjo un interés de $800 luego de haber sido entregado de préstamo?

𝐶 = 800

(0,15_{6 ) (5)}= 6400

VALOR ACTUAL

Es el valor del dinero sometido a una operación financiera con vencimiento anterior a la fecha pactada.

Sirve para renegociar créditos, deudas contraídas venta de documentos, venta de bienes adquiridos.

Caso 1.- Valor Actual en función del monto Caso 2.- Valor Actual en función del capital

FORMULA DEL MONTO

Caso 1.- C= M

(1+n*i)

Caso 2.- M= C (1+n*i)

C´= M C= M(1 + n ∗ i)

−1

(1+n*i)

FUNCION DEL MOMTO Solo tasa a un tiempo

Función del capital.- la que vale es la tasa mayor es el que va el valor actual dos tasa y dos tiempos

Cuando no esta dada que tasa trabajamos con la misma

Calcular el valor actual de una deuda renegociada cuyo valor de vencimiento es de $ 2300 a 5 meses a una tasa de 10% anual ¿cuánto se paga por el documento? DATOS

M= 2300

i= 10% anual

n= 5 meses

C´=

_{(1+𝑛∗𝑖)}𝑀

C´=

2300 (1+_{12𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠}5𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠∗0.10 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙)

C´= 2208

C= 𝑀(1 + 𝑛 ∗ 𝑖)

−1

C´=2300(1+

5𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 12𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

∗ 0.10)

−1

C= 2300(0.96)

C= 2208

Un funcionario publico realiza un bono del estado recibe un capital de $60000 por el cual el estado le paga una tasa del 8% anual al plazo de un año. Pero al mes tercero de la emisión el empleado público necesita liquides para comprarse un vehículo así que se Acerca al Banco de Guayaquil a vender su documento a dicha institución. En cuanto debe vender el documento.

DATOS

C= 60000

i= 8% anual

n1= 1 año

n2= 9 meses

M=C (1 + 𝑛 ∗ 𝑖)

−1

M=60000(1+ 1año*0.08)

M= 64800

C´=M (1 + 𝑛 ∗ 𝑖)

−1

C´=64800(1+

9𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 12𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

∗ 0.08)

−1

C’= 64800(0.9433962264)

C´= 61132.07

DATOS

C= 60000

I1= 10% anual

n1= 1 año

i2= 6% anual

C´=M (1 + 𝑛 ∗ 𝑖)

−1

C´=64800(1+

9𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 12𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

∗ 0.10)

−1

C´= 60279.07

C´=M (1 + 𝑛 ∗ 𝑖)

−1

C´=64800(1+

9𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 12𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

∗ 0.06)

−1

C´= 62009.57

Valor Unitario.- Cantidad de $ por cada dólar que hace la renegociación La tasa de renegociación es > que la que se pactada al inicio.

Yo compre un vehículo hace 2 años por un valor de $ 38500 por el cual imbauto le cobro una tasa 18% anual durante 5 años. Considere que entrego el 30% en efectivo y acabo de los 2 años transcurrido yo deseo vender el vehículo a una tercera persona quien asumirá la deuda con el banco ¿Cuánto venderá el vehículo? DATOS

C= 38500

I1= 18% anual

i2= 18% anual

n1= 5 años

n2= 3 años

M=C (1+n*i)

M=38500(1+ 5año*0.18)

M= 38500(1.9)

M= 73150

CORRECCIÓN DEL DEBER Ejercicio: Datos: C= 540 n= 270 i= 12% anual

a) Cuál es el valor actual M = C (1+n*i) M = 540(1+270/360*0.12) M = 540 (1.09) M = 588.6  Dentro de 240 días C´= M (1+N*I)−¹ C´= 588.6(1+270/360*0.12) −¹ C´=588.6 (0.9174311927) C´= 540

C´= M (1+N*I)−¹ C´= 588.6(1+240/360*0.12) −¹ C´=588.6 (0.9259259259) C´= 545  Dentro de 90 días C´= M (1+N*I)−¹ C´= 588.6(1+180/360*0.12) −¹ C´= 588.6 (0.9433962264) C´= 555.28

ECUACIONES DE VALOR (INTERÉS SIMPLE)

Concepto.- es una igualdad matemática que me permite sustituir un conjunto de operaciones financieras por otras obligaciones.

Utilidad.- es hacer renegociación de deudas antiguas por deudas nuevas. Características:

 El elemento más importante es la fecha focal (es la fecha a la cual serán llevadas todas las obligaciones financieras y los pagos).

 Si la fecha focal es posterior al vencimiento de la operación financiera, trabajamos con la fórmula del monto.

 Si la fecha focal es anterior al vencimiento de la operación financiera, trabajamos con la fórmula del valor actual.

 La tasa de renegociación generalmente será mayor a la tasa vigente del mercado.

 Cuando la fecha focal no esté explícita se entenderá como tal a la fecha del último pago.

 Debe existir un deudor –acreedor.

 Calcular el valor de un pago único a un año a una tasa del 14% correspondiente a un grupo de 3 obligaciones financieras que se adeudan al Banco de Guayaquil. La primera deuda es equivalente a $9000 pactada a 9 meses de plazo, la segunda deuda es equivalente a $2500 pactada a 5 meses, la tercera equivale a $1200 y fue pactada a 3 meses.

Datos D1= 1000 (3meses) D2= 2500 (5meses) D3= 3000 (9 meses) P.U= 1año i= 14% anual 𝐷𝑒𝑢𝑑𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙¨ = 1200 + 2500 + 3000 = $6700 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑛 ∗ 𝑖) 1200 (1 + 9 12∗ 0.14) + 2500 (1 + 7 12∗ 0.14) + 3000 (1 + 3 12∗ 0.14) = 𝑥 1200(1.105) + 2500(1.081666667) + 3000(1.035) = 𝑥 1326 + 2704.17 + 3105 = 𝑥 7135.17 = 𝑥

Deuda nueva= $7135.17 Ganancia extra= $435.17

El banco sustituye el pago de tres deudas, por una deuda pactada 12 meses obteniendo una ganancia extra de $437.17 y obteniendo un pago único de $7135.17.

 El señor Juan Pérez desea renegociar cuatro deudas con el Banco del Pichincha la primera deuda es de $ 5000 a 1 mes, segunda deuda $ 10000 a 5 meses, tercera deuda $10000 a 180 días, cuarta deuda $ 18000 a 4 meses. El señor desea hacer un sol pago a 8 meses a una tasa de interés que el banco le cobra equivalente al 18% anual. ¿a cuánto equivale el valor del pago único en dichas condiciones?

Datos D1=5000(1mes) D2=10000(5 meses) D3=10000(180 días) D4=18000(9 meses) P.U= 8 meses i= 18% 5.000 (1 + 7 12∗ 0.18) + 10.000 (1 + 3 12∗ 0.18) + 10.000 (1 + 2 12∗ 0.18) + 18.000 (1 +1 2∗ 0.18) −1 = 𝑥

5.000(1.105) + 10.000(1.045) + 10.000(1.03) + 18.000(0.985221674) = 𝑥 5.525 + 10.450 + 10.300 + 1.733,99 = 𝑥 44.008,99 = 𝑥 Deuda original= $43.000 Deuda nueva= $44.008,99 Ganancia extra= $1.008,99

El pago sustituye el pago de 4 deudas por una deuda pactada a 8 meses, obteniendo un pago único de $44.008,99 y una ganancia extra de $1.008,99.

 Partiendo de las deudas originales del Señor Juan Pérez él desea hacer dos pagos para sustituir sus cuatro deudas, el primero pago desea hacerlo a los cuatro meses y el segundo a los ocho meses ¿A Cuánto equivale cada uno de los pagos?

Datos D1= 5.000(1m) D2=10.000(5m) D3=10.000(6m) D4=18.000(9m) P1=8meses P2=4 meses i=18% anual 5.000 (1 + (7 12⁄ )(0,18)) + 10.000 (1 + (3 12⁄ )(0,18)) + 10.000 (1 + (2 12⁄ )(0,18)) + 18.000 (1 + (1 2⁄ )(0,18))−1_{= 𝑥 (1 + (4 12}⁄ )(0,18)) + 𝑥

5.525 + 10.450 + 10.300 + 17.733,99 = 𝑥(1.06) + 𝑥 44.008,99 = 1,06𝑥 + 𝑥 44.008,99 = 2,06𝑥 𝑥 =44.008,99 2,06 𝑥 = 21.363,59 El valor de cada uno de los pagos es de 21.363,59

 La empresa XYZ tiene las siguientes deudas D1= 5.000(1año)

D2= 8.000(8 meses) D3=10.000(7 meses)

Se reestructuran las deudas a una tasa del 15% anual para encontrar el valor de dos pagos iguales a 7 y 12 meses respectivamente. Calcular a cuanto equivalen dichos pagos

10.000 (1 + (5 12⁄ )(0,15)) + 8.000 (1 + (4 12⁄ )(0,15)) + 5.000 = 𝑥 (1 + (5 12⁄ )(0,15)) + 𝑥 10.000(1,0625) + 8.000(1,05) + 5.000 = 𝑥(1,0625) + 𝑥 10.625 + 8.400 + 5.000 = 1,0625𝑥 + 𝑥 24.025 = 2,0625𝑥

𝑥 =24.025 2,0625 𝑥 = 11.648,48

CALCULO DEL INTERÉS SIMPLE POR LAS INSTITUCIONES

FINANCIERAS Y CASAS COMERCIALES

MÉTODO LAGARTO

 Calcular el valor de las cuotas periódicas de un capital de 6.000 prestado a una tasa de interés del 1% mensual durante 12 meses.

Datos C=6.000 i=1% n=12 meses 𝑀 = 𝑐(1 + 𝑛 ∗ 𝑖) 𝐼 = 𝑀 − 𝐶 𝑀 = 6.000(1 + (12)(0,01)) 𝐼 = 6.720 − 6.000 𝑀 = 6.000(1,12) 𝐼 = 720 𝑀 = 6.720 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 =6.000 12 = 500$ 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒆𝒔 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 =720 12 = 60$ 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠

Periodo Capital Inveteres Capital Pagado Renta 1 6.000 60 500 560 2 6.000 60 500 560 3 6.000 60 500 560 4 6.000 60 500 560 5 6.000 60 500 560 6 6.000 60 500 560 7 6.000 60 500 560 8 6.000 60 500 560 9 6.000 60 500 560 10 6.000 60 500 560 11 6.000 60 500 560 12 6.000 60 500 560 720 6.000 6.720 Cuota 1 𝐼1 = 𝑐 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖 𝐼1 = 6.000 ∗ 1 ∗ 0,01 𝐼1 = 60

Corrección del Deber Datos

D1=7000(90 días) (1% mensual) D2=12000(150 días) (sin intereses) D3=15000(210 días) (2% mensual) D4=20000(300 días) (sin intereses) P=180 días

Gráfico F.F 𝑪´ = 𝑴(𝟏 + 𝑵 ∗ 𝑰) 90 120 150 180 210 240 270 300 D1 D2 D3 D4 M = 7000 (1 +90 30∗ 0,01) = $7210 M = 15000(1 +210/30* 0,02) = $17100 7210 (1 +_360𝑚90𝑚 ∗ 0,18) + 12000 (1 +_360𝑚30𝑚 ∗ 0,18) + 17000 (1 +_360𝑚30𝑚 ∗ 0,18) -1_{+20000(1 +}120𝑚 360𝑚∗ 0,18) -1 _{= 𝑥} 7534,45 + 12180 + 16847,29 + 18867,92= 𝑥 $55429,66= 𝑥 DO= 54.000 DN=55.429,66 Análisis:

La empresa sustituye las cuatro deudas por un pago único de $ 55.429,66; pagando un extra de $1.429,66 por la extensión de las deudas.

 Calcular el valor de dos pagos iguales a 180 días y a 210 días que reemplazaran a tres deudas concebidas a 6, 8 y 12 meses equivalentes a

8000, 12000 y 15000 dólares considere una tasa del 18% anual para la sustitución de las obligaciones pendientes.

Datos D1= 8000 n1= 6m D2= 12000 n2= 8m D3=15000 n3=12m P1= 180 días n=6m P2=210 días n=7m I=18% anual Gráfica F.F P1 P2 6m 7m 8m 12m D1=8000 D2=12000 D3= 10000 8000 (1 +_12𝑚1𝑚 ∗ 0,18) + 12000 (1 +_12𝑚1𝑚 ∗ 0,18)−1_{+ 15000 (1 +} 5𝑚 12𝑚∗ 0,18) -1 = 𝑥 (1 +_12𝑚1𝑚 ∗ 0,18) + 𝑥 8000(1,015) + 12000(0,985221674) + 15000(0,930232558) = 𝑥(1,015) + 𝑥 8120 + 11822,66 + 13953,49 = 2,015𝑥 𝑥 = 16.821,91 DO= 30000

DN=33.643,82 Análisis

El banco sustituye las tres deudas por dos pagos de 33.643,82 cobrando un extra de 3.642,82 por la extensión de las deudas pactadas.

Las empresas Alfa tiene las siguientes deudas D1= 17.000 a 3 meses D2=15.000 a 8 meses D3= 1000 a 12 meses. Se reestructuran estas deudas al 15% anual. Para calcular el valor de tres pagos a los 4 meses, 6 meses, 10 meses respectivamente tomando como fecha focal a los 6 meses.

DATOS GRÁFICA D1= 17.000 3 meses D2= 15.000 8meses D3= 1000 12 meses P1= 4 meses P2= 6 meses P3= 10 meses Calculo 17.000 (1 +₁₂3 ∗ 0,15) + 1.500 (1 +₁₂2 ∗ 0,15)-1_{+ 1000 (1 +} 6 12∗ 0,15) -1 = 𝑥 (1 +₁₂2 ∗ 0,15) + 𝑥 + 𝑥 (1 +₁₂4 ∗ 0,15)-1 17.637,50 + 14.634,15 + 4.333,33 = 1,025𝑥 + 𝑥 + 0,952380952𝑥 36.604,98 = 2,977380952𝑥

𝑥 = $12. 294,36

DO=33.000 DN=24.588,72 AHORRO=8.411,28

Análisis

La empresa Alfa sustituye sus tres deudas pactados por tres pagos de $12.294,36 con un ahorro de$ 8.411,28

Ejercicio Datos D1= 5000 D2= 3000 D3=2000 D4= 1000 P1= 4m P2= 9m P3= 12m Solución 𝑀 = 5.000(1 + 3𝑚 ∗ 0,02) 𝑀 = 3.000(1 + 5𝑚 ∗ 0,01) 𝑀 = 2.000(1 + 8𝑚 ∗ 0,02) 𝑀 = 5300 𝑀 = 3.150 𝑀 = 2.320

𝑀 = 1.000 (1 +10𝑚_12𝑚∗ 0,18) 𝑀 = 1.150 5.300 (1 +_12𝑚6𝑚 ∗ 0,18) + 3.150 (1 +_12𝑚4𝑚 ∗ 0,18) + 2.320 (1 +_12𝑚1𝑚 ∗ 0,18) + 1.150 (1 +_12𝑚1𝑚 ∗ 0,18)-1 _{= 𝑥 (1 +} 5𝑚 12𝑚∗ 0,18) + 𝑥 + (1 + 3𝑚 12𝑚∗ 0,18)-1 5.777 + 3.339 + 2.354,80 + 1133 = 1,075𝑥 + 𝑥 + 0,956937799 12.603,80 = 3,031937799𝑥 4.157,01 = 𝑥 DO= 11000 DN=12.471

MÉTODO DE SALDOS DEUDORES

Período Capital insoluto Interés Capital pagado Renta/cuota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.000 5.500 5.000 4.500 4.000 3.500 3.000 2.500 2.000 1.500 1.000 500 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 390 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 6000 560 555 550 545 540 535 530 525 520 515 510 505 6.390

𝐼𝑠 = 𝑐 + 𝑛 + 𝑖 𝐼𝑠 = 6000(1)(0,01) = 60 𝑀 = 𝑐(1 + 𝑛 + 𝑖) = 6000(1 + 1 ∗ 0,01) = 6.060 6000 12 = 500 6000 − 500 = 5500 𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝐼𝑠 = 5.500(1)(0,01) = 55 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒏 ∗ 𝒊) = 6000(1 + 1 ∗ 0,01) = 6.060 6000 12 = 500 6000 − 500 = 5500 𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝐼𝑠 = 5.500(1)(0,01) = 55 𝑰𝒔 = 𝒄 ∗ 𝒏 ∗ 𝒊 𝐼𝑠 = 5.500 ∗ 1 ∗ 0,01 = 55 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒏 ∗ 𝒊) = 5.500(1 + 1 ∗ 0,01) = 5.555 5500 − 500 = 5000 𝑰𝒔 = 𝒄 ∗ 𝒏 ∗ 𝒊 𝐼𝑠 = 5.000 ∗ 1 ∗ 0,01 = 50 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒏 ∗ 𝒊) = 5.000(1 + 1 ∗ 0,01) = 5.050 5.000 − 500 = 4500 𝑰𝒔 = 𝒄 ∗ 𝒏 ∗ 𝒊 𝐼𝑠 = 4500 ∗ 1 ∗ 0,01 = 45 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒏 ∗ 𝒊) = 4500(1 + 1 ∗ 0,01) = 4.545

4500 − 500 = 4000 𝑰𝒔 = 𝒄 ∗ 𝒏 ∗ 𝒊 𝐼𝑠 = 4000 ∗ 1 ∗ 0,01 = 40 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒏 ∗ 𝒊) = 4000(1 + 1 ∗ 0,01) = 4.040 4000 − 500 = 3500 𝑰𝒔 = 𝒄 ∗ 𝒏 ∗ 𝒊 𝐼𝑠 = 3500 ∗ 1 ∗ 0,01 = 35 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒏 ∗ 𝒊) = 3500(1 + 1 ∗ 0,01) = 3535 3500 − 500 = 3000 𝑰𝒔 = 𝒄 ∗ 𝒏 ∗ 𝒊 𝐼𝑠 = 3000 ∗ 1 ∗ 0,01 = 30 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒏 ∗ 𝒊) = 3000(1 + 1 ∗ 0,01) = 3030 3000 − 500 = 2500 𝑰𝒔 = 𝒄 ∗ 𝒏 ∗ 𝒊 𝐼𝑠 = 2500 ∗ 1 ∗ 0,01 = 25 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒏 ∗ 𝒊) = 2500(1 + 1 ∗ 0,01) = 2525 2500 − 500 = 2000 𝑰𝒔 = 𝒄 ∗ 𝒏 ∗ 𝒊 𝐼𝑠 = 2000 ∗ 1 ∗ 0,01 = 20 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒏 ∗ 𝒊) = 2000(1 + 1 ∗ 0,01) = 2020 2000 − 500 = 1500

𝑰𝒔 = 𝒄 ∗ 𝒏 ∗ 𝒊 𝐼𝑠 = 1500 ∗ 1 ∗ 0,01 = 15 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒏 ∗ 𝒊) = 1500(1 + 1 ∗ 0,01) = 1515 1500 − 500 = 1000 𝑰𝒔 = 𝒄 ∗ 𝒏 ∗ 𝒊 𝐼𝑠 = 1000 ∗ 1 ∗ 0,01 = 10 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒏 ∗ 𝒊) = 1000(1 + 1 ∗ 0,01) = 1010 1000 − 500 = 500 𝑰𝒔 = 𝒄 ∗ 𝒏 ∗ 𝒊 𝐼𝑠 = 500 ∗ 1 ∗ 0,01 = 5 𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒏 ∗ 𝒊) = 500(1 + 1 ∗ 0,01) = 505

Calcular por los dos métodos la tabla de amortización completa, si se tiene un capital de $ 6000, a un año plazo con cuotas mensuales sometidas a una tasa de interés del 15% anual. Armar las tablas de amortización usando los dos métodos.

𝐼 = 𝐶 × 𝑛 × 𝑖 = 6000 × 1 × 0,15 = 900

Método Lagarto

 Interés Mensual = Interés Total÷12 meses = 900 ÷ 12 = 75,00  Capital mensual = Capital Total÷12 mese

= 6000 ÷ 12 = 500 Tabla por el Método Lagarto

Periodo Capital Interés Capital Pagado Renta Cuota 1 6000 75 500 575 2 6000 75 500 575 3 6000 75 500 575 4 6000 75 500 575 5 6000 75 500 575 6 6000 75 500 575 7 6000 75 500 575 8 6000 75 500 575 9 6000 75 500 575 10 6000 75 500 575 11 6000 75 500 575 12 6000 75 500 575 I= 900 C=6000 Monto= 6900

Periodo Capital Interés Capital Pagado Renta Cuota 1 6000 75,00 500,00 575,00 2 5500 68,75 500,00 568,75 3 5000 62,50 500,00 562,50 4 4500 56,25 500,00 556,25 5 4000 50,00 500,00 550,00 6 3500 43,75 500,00 543,75 7 3000 37,50 500,00 537,50 8 2500 31,25 500,00 531,25 9 2000 25,00 500,00 525,00 10 1500 18,75 500,00 518,75 11 1000 12,50 500,00 512,50 12 500 6,25 500,00 506,25 487,50 C=6000 6.487,50

Interés total Capital Monto

Cálculo por periodos 𝐼𝑠 = 𝐶 × 𝑛 × 𝑖 𝑖 =0.15 12 = 0,125 Periodo 1: 𝐼𝑠 = 6000 × 1𝑚𝑒𝑠 × 0,0125 = 75 Periodo 2: 𝐼𝑠 = 5500 × 1𝑚𝑒𝑠 × 0,0125 = 568,75 Periodo 3: 𝐼𝑠 = 5000 × 1𝑚𝑒𝑠 × 0,0125 = 562,50 Periodo 4: 𝐼𝑠 = 4500 × 1𝑚𝑒𝑠 × 0,0125 = 556,25 Periodo 5: 𝐼𝑠 = 4000 × 1𝑚𝑒𝑠 × 0,0125 = 550

Periodo 6: 𝐼𝑠 = 3500 × 1𝑚𝑒𝑠 × 0,0125 = 543,75 Periodo 7: 𝐼𝑠 = 3000 × 1𝑚𝑒𝑠 × 0,0125 = 537,50 Periodo 8: 𝐼𝑠 = 2500 × 1𝑚𝑒𝑠 × 0,0125 = 531,25 Periodo 9: 𝐼𝑠 = 2000 × 1𝑚𝑒𝑠 × 0,0125 = 525 Periodo 10: 𝐼𝑠 = 1500 × 1𝑚𝑒𝑠 × 0,0125 = 518,75 Periodo 11: 𝐼𝑠 = 1000 × 1𝑚𝑒𝑠 × 0,0125 = 512,50 Periodo 12: 𝐼𝑠 = 500 × 1𝑚𝑒𝑠 × 0,0125 = 506,26

Interés por Mora  I es mayor a la tasa inicial

 P: 1/2 /3/4/5/6/7/8/9 Ejercicio

Retraso 1 mes, 17% anual

 Método Lagarto FALTA TABLA YOP 𝐼𝑠 = 𝐶 × 𝑛 × 𝑖

𝐼𝑠 = 575 × 30

360× 0,17 𝐼𝑠 = 8,15 𝑈𝑆𝐷

Retraso 2 mes, 17% anual  Método Lagarto 𝐼𝑠 = 𝐶 × 𝑛 × 𝑖

𝐼𝑠 = 575 × 60

360× 0,17 𝐼𝑠 = 16,29 𝑈𝑆𝐷

Retraso 3 mes, 17% anual  Método Lagarto

𝐼𝑠 = 𝐶 × 𝑛 ×i 𝐼𝑠 = 575 × 90

360× 0,17 𝐼𝑠 = 24,44 𝑈𝑆𝐷

PAGO DE INTERESES EN CUENTAS DE AHORRO METODOS

1.- En las transacciones. 2.- En los saldos.

1.- EN LAS TRANSACCIONES

Una persona propietaria de una cuenta de ahorros registra las siguientes transacciones:

1.- 15 de Enero deposito 1000 USD para abrir cuenta. 2.- 10 de Febrero deposita 500 USD.

3.- 02 de Marzo retira 600 USD. 4.- 03 de Abril retira 200 USD. 5.- 30 de Abril deposito 1100 USD. 6.- 01 de Junio retiro 300 USD.

Si la cuenta gana a una tasa del 14 % anual calcular el saldo de la cuenta y los intereses ganados al 30 de Junio del 2014.

15 Enero 10 Febrero 2 Marzo 3 Abril 30 Abril 01 Junio

1 2 3 4 5 6 Enero 16 0 0 0 0 0 Febrero 28 18 0 0 0 0 Marzo 31 31 29 0 0 0 Abril 30 30 30 27 0 0 Mayo 31 31 31 31 31 0 Junio 30 30 30 30 30 29 Días 166 140 120 88 61 29

Fecha de los movimientos DEPÓSITOS RETIROS SALDO INTERES + - 15 Enero 1000 - 1000 64,56 - 10 Febrero 500 - 1500 27,22 - 2 Marzo - 600 900 28 3 Abril - 200 700 - 6,84 30 Abril 1100 - 1800 26,09 - 01 Junio - 300 1500 - 3,38

Interés a favor + en contra 117,87 38,23

Interés 79,64

Saldo 30 de Junio 1579,64

Calculo del interés: 𝐼𝑠 = 𝐶 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖 𝐼𝑠 = (1000) (166 360𝑑í𝑎𝑠) (0,14 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) 𝐼𝑠 = 64.55 𝐼𝑠 = 𝐶 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖 𝐼𝑠 = (500) (140 360𝑑í𝑎𝑠) (0,14 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) 𝐼𝑠 = 27.22 𝐼𝑠 = 𝐶 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖 𝐼𝑠 = (600) (120 360𝑑í𝑎𝑠) (0,14 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) 𝐼𝑠 = 28 𝐼𝑠 = 𝐶 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖 𝐼𝑠 = (200) (88 360𝑑í𝑎𝑠) (0,14 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) 𝐼𝑠 = 6.84

2.- EN LOS SALDOS

Calculo del interés: 𝐼𝑠 = 𝐶 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖 𝐼𝑠 = (1000) (26 360𝑑í𝑎𝑠) (0,14 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) 𝐼𝑠 = 10.11 𝐼𝑠 = 𝐶 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖 𝐼𝑠 = (1500) (20 360𝑑í𝑎𝑠) (0,14 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) 𝐼𝑠 = 11.67 𝐼𝑠 = 𝐶 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖 𝐼𝑠 = (900) (32 360𝑑í𝑎𝑠) (0,14 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) 𝐼𝑠 = 11.20 𝐼𝑠 = 𝐶 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖 𝐼𝑠 = (700) (27 360𝑑í𝑎𝑠) (0,14 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) 𝐼𝑠 = 7.35 FECHA DE LOS MOVIMIENTOS

DEPOSITOS RETIROS SALDO INTERES

+ 15 Enero 10 Febrero 02 Marzo 03 Abril 30 Abril 01Junio 1000 500 --- --- 1100 --- --- --- 600 200 --- 300 1000 1500 900 700 1800 1500 10,11 11,67 11,20 7,35 22,40 16,92 79,65

Al Sr Álvaro Trujillo poseedor de la Cuenta de Ahorros Banco Del Austro tiene un saldo en su cuenta de ahorros 4000 USD al 30 de Junio en el segundo semestre del mismo año.

 1 Retiro de 250 USD 25 Agosto

 1 Deposito 300 USD 18 septiembre

 1 Retiro 600 USD 04 Noviembre

 Tasa de interés 7 % anual cuánto gana al 31 de Diciembre

30-06 25-08 18-09 04-11 1 2 3 4 Junio 30 0 0 0 0 Julio 31 31 0 0 0 Agosto 31 31 6 0 0 Septiembre 30 30 30 12 0 Octubre 31 31 31 31 0 Noviembre 30 30 30 30 26 Diciembre 31 31 31 31 31 Días 214 184 128 104 57 FECHA DE MOVIMIENTO

DEPOSITOS RETIROS SALDO INTERES + -- 30 Junio 25 Agosto 18 Setiembre 04 Noviembre 4000 __ 300 __ __ 250 __ 600 4000 3750 4050 3450 143.11 7.73 7.89 13.88 ________________ 151.00 21.61

Fecha de los movimientos DEPÓSITOS RETIROS SALDO INTERES

30 Junio 4000 - 400 43,56

25 Agosto - 250 3750 1,17

18 Septiembre 300 - 4050 2,74

4 Noviembre - 600 3450 6,65

INTERÉS COMPUESTO: DEFINICION:

Es el valor de dinero generado por un capital el cual se capitaliza por varias ocasiones durante la operación financiera.

CAPITALIZACION:

Es el proceso en que el interés se suma al capital para formar uno nuevo. PERIODO DE CPITALIZACION:

Es el tiempo durante el cual se va a realizar la capitalización del dinero. ELEMENTOS:

𝑪 = Capital M = Monto

i = Tasa de interés por periodos de capitalización j = Tasa de interes anual

n = Tiempo de la operación m = frecuencia de capitalización

N₀P = N₀ de veces que C + I se capitalizan FORMULA: 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 𝑀 = 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑖𝑎𝑑 𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐶 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙. 1 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑖 = 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛 = 𝑁₀ 𝑑𝑒 𝑃𝐶 EJEMPLO:

Calcular el interés compuesto de una operación financiera que se realiza por un capital de 1000 aplicando una tasa del 15% anual. Durante 3 años con una capitalización trimestral.

𝑪 = 1000 j = 15% 𝑛 = 3 𝑎ñ𝑜𝑠 ≅ 12 𝑚 = 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑗 𝑝𝑐= 15 4 = 3,75% 𝑀 = 1000(1 + 0.0375)12 𝑀 = 1000(1.555454331) 𝑀 = 1555,45

Periodo Capital Interés Capitalización

1 1000 37,50 1037,50 2 1037,50 38,91 1076,41 3 1076,41 40,37 1116,78 4 1116,78 41,88 1158,66 5 1158,66 43,45 1202,11 6 1202,11 45,08 1247,19 7 1247,19 46,77 1293,96 8 1293,96 48,52 1342,82 9 1342,82 50,34 1392,82 10 1392,82 52,23 1445,05 11 1445,05 54,19 1499,24 12 1499,24 56,22 1555,46

Calcular el interés compuesto de un capital de 4000000 a una tasa del 10% capitalizable semestralmente durante 3 años.

Datos: 𝑪 = 4000000 j = 10% 𝑛 = 3 𝑎ñ𝑜𝑠 ≅ 6 𝑚 = 6 𝑗 𝑝𝑐= 10 2 = 5% 𝑀 = 4000000(1 + 0.05)6 𝑀 = 4000000(1.340095641)

𝑀 = 5360382,56

Calcular el Interés y el Monto a pagar Katty E. a una fecha de vencimiento un crédito que solicito a la Coop. Tulcán, en las siguientes condiciones: Datos

n = 12 años m = trimestral j = 12% anual C = 5000

La mama de Katty le sugiere que analice otra alternativa de crédito como en el Banco del Austro les prestan los mismos 5000 con las siguientes condiciones: C = 5000

n = 12 años j = 12% anual m = semestral

¿Cuál será la alternativa más correcta que debe seleccionar Katty? Coop. Tulcán Datos n = 12 años m = trimestral j = 12% anual C = 5000 𝑗 𝑚= 12 4 = 3% 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 = 0.03% 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 𝑀 = 5000(1 + 0.03)4∗8 𝑀 − 𝐶 = 𝐼 20661.26 − 5000 = 𝟏𝟓𝟔𝟔𝟏. 𝟐𝟔 Banco del Austro

𝑗 𝑚= 12 2 = 6% 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 = 0.06% 𝑀 = 5000(1 + 0.06)24_{= 20244.67} 𝑀 − 𝐶 = 𝐼 20244.67 − 5000 = 𝟏𝟓𝟐𝟒𝟒. 𝟔𝟕 Análisis

La opción B es la más indicada por qué tiene que cancelar menos dinero.

¿Calcular el interés compuesto de una deuda de 5000 capitalizable durante 2 años bimensualmente a una tasa del 8%?

Datos n = 2 años m = bimensual j = 8% anual C = 5000 𝑗 𝑚= 8 6= 1.33% = 0.0133 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 𝑀 = 5000(1 + 0.0133)12 _{= 5859.04} 𝐼 = 𝑀 − 𝐶 𝐼 = 5859,04 − 5000 = 859,04

EQUIVALENCIA ENTRE TASA NOMINAL Y TASA EFECTIVA

No pocas veces nos vemos en la necesidad de convertir una tasa efectiva a una tasa nominal, proceso que no es tan fácil como aplicar una división simple.

En este sentido y para mayor claridad al respecto conviene resaltar que una tasa efectiva anual nunca se puede dividir por ningún denominador, por cuanto se trata de una función exponencial, mientras que las tasas nominales por tratarse de una función lineal, si admiten ser divididas en (m) períodos a fin de obtener la tasa nominal periódica”.

Periodo de capitalización menor a un año, aparece una equivalencia entre: TASA NOMINAL: Tasa de nombre o de captación de la operación financiera. TASA EFECTIVA: Tasa real de costo de la operación financiera.

La tasa efectiva es mayor (>) que la tasa nominal. FORMULA:

Ecuación de montos unitarios (1 + 𝑗)𝑛 _{= (1 +} 𝑗 𝑚) 𝑛∗𝑚 Dónde: 𝑖 = 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑗 = 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 TASA EFECTIVA 𝑖 = (1 + 𝑗 𝑚) 𝑚 − 1 𝑗 = (1 + 𝑗)𝑛 _{= (1 +} 𝑗 𝑚) 𝑛∗𝑚 (1 + 𝑖) = (1 + 𝑗 𝑚) 𝑚 √1 + 𝑖 𝑚 = (1 + 𝑗 𝑚) √(1 + 𝑖) 𝑚 − 1 = 𝑗 𝑚 TASA NOMINAL 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 Monto monetario 𝑖 = 𝑗 𝑚 n =n*m

[ √(1 + 𝑗) − 1𝑚 _{] 𝑚 = 𝑗} 𝑗 = [ √(1 + 𝑖) − 1𝑚 ] 𝑚 Ejercicios

¿Cuál es la tasa nominal equivalente al 20% de una tasa efectiva? Datos I = 20% anual j =? m= semestral (2 veces) 𝑗 = [ √(1 + 𝑖) − 1𝑚 ] 𝑚 𝑗 = [√(1 + 0,20) − 12 _{] 2} 𝑗 = 0,19 ∗ 100% 𝑗 = 19%

Determinar la tasa nominal a la que estuvo sometido un capital que generó un rendimiento efectivo de 32.25% si los periodos de capitalización son bimestrales.

Datos i = 32.25% anual j =? m= bimestral (6 veces) 𝑗 = [ √(1 + 𝑖) − 1𝑚 ] 𝑚 𝑗 = [√(1 + 0,3225) − 16 ] 6 𝑗 = (0,04768955317)6 𝑗 = 28,88% = 29%

CÁLCULO DEL INTERÉS COMPUESTO CON TIEMPOS MIXTOS

Tiempo mixto Conversión

4 años; 3 meses _{4 +} 3 12= 4 + 0,25 = 4,25 años 2 años; 7 meses 2 + 7 12= 2 + 0,58 = 2,58 años 4 años; 7 meses 4 + 7 12= 4 + 0,58 = 4,58 años 1 mes a años 1 12 = 0,0833 años 2 meses a años 2 12 = 0,166 años 3 meses a años 3 12 = 0,25 años

INTERÉS COMPUESTO CON PERIODOS CAPITALIZACIÓN MIXTA Los periodos de capitalización inexactos

Ejercicio

(1 año, 8 meses) capitalización es semestralmente 3semestre + 2 meses

Capitalización mixta 33.3333 semestre 2años, 7 meses

2 + ₁₂7 = 2+0,58=2.58 años

1.- MÉTODO MATEMÁTICO.- Racional (Exacto)(menos utilizado) 2.- MÉTODO BANCARIO.- (Menos exacto)(mas utilizado)

Formula

𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)

𝑛

𝑀 = 𝐶(1 + 𝑗/𝑚)

𝑛.𝑚

Parte (PC. Enteros) Interés Simple

M= C(1+n*i)

Fraccionario

𝑀 = 𝐶 (1 +

_𝑚𝑗

)

𝑛𝑚

(1 + 𝑛 ∗ 𝑖)

EJERCICIOS

1.- Calcular el Impuesto con un capital de $ 6000 a una tasa de 12% anual por un periodo de 3años 8meses con una capitalización semestralmente.

MÉTODO RACIONAL DATOS

IC=? i= j/m n= n*m

C= 6000 i=

12

i= 12%/2 n= 7.33

semestre

n= 3años8m=3.67años

PC= semestral

m=

12 6

= 2

𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)

𝑛

𝑀 = 6000(1 + 0.06)

7.33

M = 6000(1.532822944)

M = 9196.94

IC= 3196.94

METODO ANCARIO

M = 6000(1 + 0.06)

7

_{1 +}

2 12

∗ 0.12

M = 6000(1.5036)(1.02)

M = 9021.78(1.02)

M = 9202.22

Calcular por los dos métodos el interés compuesto dado un capital de 8700 a una tasa del 15% capitalizada cada 4 meses en un tiempo de 3 años 10 meses.

MÉTODO RACIONAL DATOS

IC=? i= j/m n= n*m

C= 8700 i=

15 3

=0.05 n= 3.83años*3

i= 15% n= 11.49

n= 3años10m=3.83años

PC= trimestral

m= 3

𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)

𝑛

𝑀 = 8700(1 + 0.05)

11.49

M = 8700(1.751721443)

M = 15239.98

IC= 6539.98

METODO ANCARIO

M = 8700(1 + 0.15/3)

11

(1 +

₁₂2

∗ 0.15)

M = 8700(1.710339358)(1.025)

M = (14879.95)(1.025)

M = 15351.95

IC= 6551.95

Valor actual del interés compuesto

𝐶 =

_(1+𝐼)ᴖ𝑀



Cuál será el valor actual de un pagare cuyo valor al

vencimiento al final de 4 años es de 3500 dólares

considerando una tasa de interés del 12% anual capitalizable

semestralmente.

Datos:

M = 3500

j= 12%

n= 4 años

Pc= semestral

𝐶 =

_(1+𝐼)ᴖ𝑀

𝐶 =

_(1+0.12)8 3500

𝐶 =

_{(0.627412371)} 3500

C= 2195.94

 Calcular el valor actual de 35.000$ sometido a una tasa del 18,5% capitalizable trimestralmente durante 3 años 6 meses, el cual es renegociado dos periodos de capitalización antes del vencimiento a una tasa de 2 puntos superiores a la tasa inicial pactada.

Datos C=35.000 j=18,5% n=3años, 6meses Pc=trimestral m=4 𝑛 = 𝑛 ∗ 𝑚 𝑛 = 3,5 𝑎ñ𝑜𝑠 ∗ 4 𝑛 = 14𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠 1) 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 2) 𝐶′ = 𝑀(1 + 𝑖)−𝑛 𝑀 = 35.000(1 + (0,185 4⁄ ))14 𝐶′= 65.912,02(1 + (0,205 4⁄ ))−2 𝑀 = 35.000(1,883200644) 𝐶′ _{= 65.912,02(0,904873734)} 𝑀 = 65.912,02 𝐶′_{= 59.642,06}

 Calcular el valor al que Pepito debería vender su bono de jubilación que le emitió el estado por 50.000$ que se le adeudado por los 35 años que laboro en la entidad pública Ministerio del Interior ejerciendo el cargo de contador. Pepito podrá cobrar su dinero al cabo de 20 años a una tasa de 15% capitalizable semestralmente, acercándose al banco central hacer efectivo su dinero (después de transcurridos los 29 años) después de 2 años necesita de urgencia su dinero líquido para la cual se acerca al banco Internacional a vender su documento para salvar su necesidad urgente. El banco acepta comprarle el documento y le ofrece aplicarle una tasa del 17% capitalizable semestralmente ¿Cuánto va a recibir Pepito por la venta del documento? Datos C=50.000 j=15% Pc= semestral m=2 n=20 años j=17% 1) 𝑀 = 50.000 (1 + (𝑗 𝑚⁄ )) 𝑛∗𝑚 2) 𝐶′ = 902.211,95 (1 + (0,17 2⁄ )) −36 𝑀 = 50.000 (1 +0.15₂ )40 𝐶′ _{= 902.211,95(0,05303030952)} 𝑀 = 50.000(0,075)40 𝑀 = 50.000(18,04423897) 𝐶′ _{= 47.845,16} 𝑀 = 902.211,95

1. Luego de 3 años y 3 meses de la fecha de suscripción se renegocia un documento inscrito el día de hoy por $2800 a 6 años y meses con una tasa de

interés del 12% capitalizable semestralmente. Calculemos el valor a actual a dicha fecha considerando una tasa de interés del 11 ¼% efectiva.

Datos Grafica C=2800 j=12% n= 6 años 9 meses m=2 j=11 ¼% Calculo 𝑀 = 𝑐(1 + 𝑖)𝑛 𝑀 = 2800(1 + 0,06)135 𝑀 = 6 148,76 Método matemático 𝐶′ = 𝑀(𝑖 + 𝑖)−𝑛 𝑐′_{= 6 148,761 + 0,05625)}−7 𝑐′_{= 6 148,761(0,681762244)} 𝑐´ = 4 191,99 𝑀 = 𝑐(1 + 𝑖)𝑛 𝑀 = 2800(1 + 0,06)13 _{(1 +} 3 12∗ 0,12) 𝑀 = (5.972,20)(1,03) 𝑀 = 6 .157,37 Método bancario

𝐶´ = 𝑀(1 + 𝑖)−𝑛_{(1 + 𝑛 ∗ 𝑖)}−1 𝐶´ = 6 157,37(1 + 0,1125)−3_{(1 +} 6 12∗ 0,1125 )−1 𝐶´ = 6 157,37(0,72627307)(0,946745562) 𝐶′ _{= 4 224,66} Análisis

El valor actual mediante el método bancario es menor que el valor actual hallado mediante el método matemático.

2. Juan Pérez contrae una deuda con el banco Pichincha para comparar su cas por un valor de $65.000 a los cuales se les aplica una tasa del 8,5% anual capitalizable cuatrimestralmente durante 15 años. Sucede que transcurridos 10 años 2 meses Juan Pérez se gana la lotería y decide liquidar su deuda para la cual se acerca al banco a renegociar su deuda. El banco acepta la renegociación en las siguientes condiciones la tasa de renegociación será del 9,5% y se mantendrá el periodo de capitalización. Aplicando el método matemático y bancario para el cálculo del valor actual. ¿Cuánto debe pagar Juan Pérez por su casa?

Datos Grafica C =65000 i =8,5% anual Pc= cuatrimestral n= 15*3= 45 n1=10 años 2 meses i2 = 9,5% Calculo

𝑀 = 𝑐(1 + 𝑖)𝑛 𝑀 = 65.000(1 +0,085₃ )45 𝑀 = 65.000(3,515815805) 𝑀 = 2.285,28 Método Matemático 𝐶′ = 𝑀(1 + 𝑖)−𝑛 𝐶′ _{= 22.8528,03(1 +}0,095 3 )−14,5 𝐶′ _{= 2. 8528,03(0,6363246097)} 𝐶′ _{= 145.418,01} Método bancario 𝐶´ = 𝑀(1 + 𝑖)−𝑛_{(1 + 𝑛 ∗ 𝑖)}−1 𝐶´ = 228 .528,03(1 +0,095 3 )−14(1 + 2 12∗ 0,095)−1 𝐶´ = 145.400,34 Análisis

Le conviene a Juan Pérez que le apliquen el método bancario pagara menos dinero por su casa.

3. Pedro Rosero contrae una deuda con el Banco de Guayaquil para iniciar un negocio por el valor de $ 40.000 las cuales se les aplica un tasa de 10,5% anual capitalizable semestralmente durante 10 años 3 meses sucede que transcurrido 5 años 4 meses desea liquidar su deuda por circunstancias que debe salir del país indefinidamente por el cual renegocia a una tasa del 11,5% capitalizable semestralmente. ¿Cuánto debe pagar Pedro Rosero por el préstamo cancelado antes de tiempo?

Datos C= 40.000 i=10,5% PC= semestralmente n1= 10 años 3 meses n2= 5 años 4 meses i=11,5% Grafica C=40 000

5años 4 meses 4años 11 meses

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 años 3 meses Calculo 𝑀 = 𝑐(1 + 𝑖)𝑛 𝑀 = 40.000(1 +0,105₂ )20,5 𝑀 = 40.000(2,854651802) 𝑀 = 114.186,07

Método Matemático 𝐶′ = 𝑀(1 + 𝑖)−𝑛 𝐶′ _{= 114.186,07(1 +}0,115 2 )−9,83 𝐶′ _{= 114.186,07(0,766775475)} 𝐶′ _{= 87.555,08} Método Bancario 𝐶´ = 𝑀(1 + 𝑖)−𝑛_{(1 + 𝑛 ∗ 𝑖)}−1 𝐶´ = 114.186,07(1 +0,115 2 )−9(1 + 1 12∗ 0.115)−1 𝐶´ = 114.186,07(0,604611795)(0,990507635) 𝐶´ =68.382,91 Análisis

Le conviene a Pedro Rosero que le apliquen el método bancario pagara menos dinero por su deuda con el banco.

VALOR REAL DE LOS BIENES ADQUIRIDOS A CRÉDITO

Valor real: (Precio al contado) No esta incrementado por las tasas de interés. EJEMPLO

Un automóvil se compra en las siguientes condiciones:

 Pago 1 20% Del valor total Contado ?

 Pago 3 30% Del valor total (50.000) (8 meses)  Pago 4 30% Del valor total (50.000) (12 meses)  Pago 2 Diferencia del valor total ? (6 meses)  J=18%

100.000 60% =33.333,33

x 20%

Valor total del bien= 33.333,33+33.333,33+50.000+50.000 Valor total del bien=106.666,67

VALOR ACTUAL≈ 𝑪′ = 𝑴(𝟏 + 𝒊)−𝒏 Gráfica 𝑽𝑹 = 33.333,33 + 33.333,33 ( 1 +0,18 4 ) −2 + 50.000 ( 1 +0,18 4 ) −3 + 50.000 ( 1 +0,18 4 ) −4 𝑽𝑹 = 33.333,33 + 33.333,33(0,915729951) + 50.000(0,876296604) + 50.000(0,838561343) 𝑽𝑹 = 33.333,33 + 30.524,33 + 43.814,03 + 41.828,07 𝑽𝑹 = 𝟏𝟒𝟗. 𝟔𝟎𝟎, 𝟓𝟔 EJERCICIO

María Pérez desea comprar una casa y tiene cuatro opciones.

1) Ángela Imbaquingo le desea vender su casa en las siguientes condiciones, que pague de contado 50.000, una cuota a 10 meses de 10.000, una tercera cuota a 16 meses de 25.000 y el último pago a 20 meses por un valor de 10.000. en las cuotas a crédito Ángela recargo una cuota de interés de 8.5% de capitalización bimestral.

2) Madelaine Tuz también decide vender su casa en las siguientes condiciones: 30.000 de contado, 20.000 pagados a 9 meses y 35.000 pagados a un año, para estos dos últimos pagos se aplicó una tasa del 9% con capitalización trimestral. 3) Álvaro Trujillo también decide vender su casa en las siguientes condiciones:

40.000 en efectivo, 10.000 a 3 meses 15.000 a 9 meses y 25000 a 15 meses, en los últimos pagos se aplicó una tasa de 8.5% con capitalización trimestral.

Finalmente Jessica Melo le ofrece venderle su casa de contado en 90.000.

¿Cuál de las ofertas le conviene a María Pérez aceptar y por qué? OPCIÓN 1 Datos P1 Contado (50.000) P2 (10 meses) (10.000) P3 (16 meses) (25.000) P4 (20 meses) (10.000) PC= Bimestral m=6 j=8.5% Gráfica 𝑽𝑹 = 50.000 + 10.000 ( 1 +0,085 6 ) −5 + 25.000 ( 1 +0,085 6 ) −8 + 50.000 ( 1 +0,085 6 ) −10

𝑽𝑹 = 50.000 + 10.000(0,932080321) + 25.000(0,893563339) + 10.000(0,868773725) 𝑽𝑹 = 50.000 + 9320,80 + 22.339,08 + 8.687,74 𝑽𝑹 = 𝟗𝟎. 𝟑𝟒𝟕, 𝟔𝟐 OPCIÓN 2 Datos P1 Contado (30.000) P2 (6 meses) (20.000) P3 (12 meses) (35.000) PC=Trimestral m=4 j=9% Gráfica 𝑽𝑹 = 30.000 + 20.000 ( 1 +0,09 4 ) −2 + 35.000 ( 1 +0,09 4 ) −4 𝑽𝑹 = 30.000 + 20.000(0,950474435) + 35.000(0,9148433451) 𝑽𝑹 = 50.000 + 19.129,49 + 32.01952 𝑽𝑹 = 𝟖𝟏. 𝟏𝟒𝟗, 𝟎𝟏