Metodo de Rigidez

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(1)

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(2)

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

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XCEL

"

CATEDRÁTICO : M.Sc CASTRO PÉREZ , CRISTIAN

ALUMNO : AYALA BIZARRO, ROCKYGIBAN

(3)

M L

A DIOS por iluminar y

bendecir nuestro camino.

A nuestros padres,

quienes nos apoyan de

manera incondicional

en nuestra formación

académica; gracias a ellos

por apostar siempre en la

educación.

(4)

ÍNDICE GENERAL

ÍNDICE GENERAL . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ii

INTRODUCCIÓN . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . iii

OBJETIVOS . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . iv

1

Introducción a Macros en Excel 1 1.1 Para que sirve . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 1

1.1.1 Vista de un macro en Excel . . . 2

1.1.2 Ejemplo . . . 2

1.2 Activar el menú desarrollador en Excel . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 3

1.3 Ayudas en la Web. . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 5

2

Manual del programa “Método de Rigidez con Macros en Excel v1.0 (Versión de Prueba) ” 6 2.1 Programa “Método de Rigidez con Macros en Excel v1.0 (Versión de Prueba) ” . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 6

2.2 Ingreso de Datos . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 6

2.3 Funcionalidad de los Botones de Comando. . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 8

2.3.1 Botón de Comando Assemble . . . 8

2.3.2 Botón de Comando Clear . . . 8

2.3.3 Botón de Comando Strain. . . 9

2.3.4 Botón de Comando Stress & Forces . . . 9

3

Metodología del Método de Rigidez con el programa 10 3.1 Ejemplo aplicativo. . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 10

CONCLUSIONES 23

BIBLIOGRAFÍA 24

(5)

INTRODUCCIÓN

(6)

OBJETIVOS

Generales :

 Explicar el manejo de los macros en Excel.

 Promocionar el uso de Macros con Excel en el análisis estructural.

 Dar a conocer el manejo adecuado del programa Método de Rigidez con Macros

en Excel v1.0 (Versión de Prueba) para simplificar los cálculos del Método de Rigidez.

(7)

PARA EL CAPITULO

INGENIERÍA CIVIL - UNSCH

DINÁMICA

(IC -246)

FONDO DE HOJA

student support

MÉTODOS

NUMÉRICOS

AYALA BIZARRO, Rocky G.

HUAMÁN CABRERA, Yelsin J.

CARDENAS HUAMAN, Royer J.

VARGAS ÑAUPA, Hilmar.

A L U M N O S :

D O C E N T E :

:

ING. CASTRO PÉREZ CRISTIAN

GAMBOA SANTANA, HEDBER

PARA EL INDICE

CAPÍTULO

Introducción a Macros en Excel

Introducción a Macros en Excel

1

¿Qué es una macro de Excel?

Las macros Excel es un conjunto de instrucciones programadas en la hoja de cálculo electrónica Excel, las cuales automatizan las operaciones que realiza la aplicación ofimática Excel con el objetivo de eliminar tareas repetitivas o realizar cálculos complejos en un corto espacio de tiempo y con una nula probabilidad de error. [7]

Existen 2 maneras de realizar Macros en Excel:

 Mediante el uso de la grabadora de Macros.

 Mediante el uso del lenguaje VBA para programar a Excel.

1.1

Para que sirve

Una macro nos ayuda a automatizar aquellas tareas que hacemos repetidamente. Una macro es una serie de instrucciones que son guardadas dentro de un archivo de Excel para poder ser ejecutadas cuando lo necesitemos.

A continuación se citan algunos ejemplos de las cosas que podemos con las Macros Excel:

! Desarrollo de aplicaciones complejas.

! Automatización de tareas repetitivas

! Desarrollo de nuevas funciones o aplicaciones dentro de la propia Excel.

! Comunicación entre aplicaciones compatibles con VBA como Word, Access, Outlook,

Autocad.

! Creación de juegos dentro de la aplicación Excel. Figura 1

Ejemplos de las cosas que podemos con las Macros Excel

Fuente:Internet

(8)

CAPÍTULO1 INTRODUCCIÓN A MACROS ENEXCEL

1.1.1 Vista de un macro en Excel

Figura 2

Las macros son escritas en un lenguaje de computadora conocido como VBA

Fuente:Elaboración propia

1.1.2 Ejemplo

Figura 3

Programa Análisis Matricial de Estructuras Automatizado 3D -Facultad de Ingeniería Civil UNCP, Huancayo

Fuente:https://www.facebook.com/ronald.santanatapia

(9)

CAPÍTULO1 INTRODUCCIÓN A MACROS ENEXCEL

1.2

Activar el menú desarrollador en Excel

Para poder desarrollar aplicaciones o macros en el entorno de Microsoft Excel, primero se tiene que activar el menú desarrollador para ello tenemos que realizar la siguiente secuencia de pasos.

ACTIVAR MENÚ DESARROLLADOR

Figura 4

Vista del Menú : Archivo -> Opciones

Fuente:Elaboración Propia

Figura 5

Vista del formulario Opciones Excel: Activar la casilla Desarolador

Fuente:Elaboración Propia

(10)

CAPÍTULO1 INTRODUCCIÓN A MACROS ENEXCEL

INGRESAR AL PROYECTO - VBA PROJECT Figura 6

Para poder ver y escribir los codigos se tiene que ingresar a "Ver Código"

Fuente:Elaboración Propia

Figura 7

En esta plataforma se podrá editar, cambiar y escribir codigos fuente relacionados a la programacion Visual Basic

Fuente:Elaboración Propia

(11)

CAPÍTULO1 INTRODUCCIÓN A MACROS ENEXCEL

1.3

Ayudas en la Web

Libros y paginas recomendadas para poder programar en VBA Excel.

Macros Visual Basic para Excel

http://personales.upv.es/jpgarcia/LinkedDocuments/macrosVisualBasicParaExcel. pdf

Manual de Excel para Ingeniería Civil

http://es.slideshare.net/RolandoHerreraMuoz/manual-ok-excel-para-ingenieria-civil Con estos conocimientos básicos de macros en Excel se puede iniciar a escribir códigos para

la creación de aplicativos, como el Programa "Método de Rigidez con Macros en Excel v1.0 (Versión de Prueba) " que sera descrito posteriormente.

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CAPÍTULO

Manual del programa “Método de Rigidez con

Macros en Excel v1.0 (Versión de Prueba) ”

Manual del programa “Método de Rigidez con

Macros en Excel v1.0 (Versión de Prueba) ”

1

2

2.1

Programa “Método de Rigidez con Macros en Excel v1.0 (Versión de Prueba) ”

Es un programa básico que permite resolver paso a paso estructuras tipo pórtico(frame), armadura(Truss) y mixtos(frame and truss) utilizando el Método Directo de Rigidez.

Este programa se desarrollo en el entorno de programación Macros en Excel (Visual Basic For Application - Excel).

El programa lo pueden descargar de la siguiente dirección web Yedaro

2.2

Ingreso de Datos

El programa resenta un ingreso de datos intuitivos relacionados al entorno de trabajo de Microsoft Excel.

Para poder resolver una armadura se necesita tener los siguientes datos básicos: 1 Coordenadas de cada nudo de la estructura(x,y).

2 Numero de Barras o miembros con la relación sus nudos(Ni,Nj). 3 Modulo de elasticidad para cada barra (E).

4 Área transversal para cada barra (A). 5 Momento de Inercia para cada barra (I).

6 Momento de flujo de corte para cada barra (A’). 7 Modulo de corte para cada barra (G).

8 Variación de Temperatura de cada barra (∆ T ). 9 Coeficiente de dilatación para cada barra (α).

Observación

Los datos de los ejercicios solo se ingresaran en las celdas especificas que se muestra a continuación.

(13)

CAPÍTULO2 MANUAL DEL PROGRAMA“MÉTODO DERIGIDEZ CONMACROS EN

EXCEL V1.0 (VERSIÓN DEPRUEBA) ”

Figura 1

Ingreso de los Nudos y sus coordenadas

Fuente:Elaboración Propia

Figura 2

Ingreso de propiedades de las barras

Fuente:Elaboración Propia

También se tendrá que ingresar las condiciones de los apoyos, asentamiento, fuerzas en los nudos.

Figura 3

Ingreso de las condiciones de los nudos

Fuente:Elaboración Propia

(14)

CAPÍTULO2 MANUAL DEL PROGRAMA“MÉTODO DERIGIDEZ CONMACROS EN

EXCEL V1.0 (VERSIÓN DEPRUEBA) ”

Y por ultimo para estructuras tipo pórticos, en la Hoja 3DT-S1 se tiene que ingresar los momentos de empotramiento para las barras con cargas.

Figura 4

Ingreso de los momentos de empotramiento para cada barra en los grados de libertad que indica el programa

Fuente:Elaboración Propia

2.3

Funcionalidad de los Botones de Comando

2.3.1 Botón de Comando Assemble

Con los datos ingresados correctamente desarrolla las matrices generales de cada barra para luego ensamblar en una matriz general.

También en este proceso se tendrá que ingresar los momentos de empotramiento de cada barra en sus respectivos grados de libertad que el programa genera automático.

2.3.2 Botón de Comando Clear

Limpia datos y configuraciones de la Hoja 3DT-S1.

(15)

CAPÍTULO2 MANUAL DEL PROGRAMA“MÉTODO DERIGIDEZ CONMACROS EN

EXCEL V1.0 (VERSIÓN DEPRUEBA) ”

2.3.3 Botón de Comando Strain

Este Boton de comando nos muestra los siguientes resultados. 1 Matriz ensamblada de los momentos de empotramiento. 2 Cargas de temperatura.

3 Fuerza en los nodos con o sin desplazamiento.

4 La matriz de rigidez general con penalización en las condiciones de contorno. 5 Matriz de fuerzas totales que actúan sobre la estructura.

Para poder hallar los desplazamientos en cada nodo debemos utilizar los las funciones matemáticas que ofrece Microsoft Excel.

Cuadro 1: Funciones Matemáticas en Excel

Función Sintaxis Descripción

MMULT MMULT(matriz1;matriz1)

Devuelve la matriz producto de dos matrices. El resultado es una ma-triz con el mismo número de filas que matriz1 y el mismo número de columnas que matriz2.

MINVERSA MINVERSA(matriz1) Devuelve la matriz inversa de la

ma-triz almacenada en una mama-triz.

Fuente:Elaboracion propia

2.3.4 Botón de Comando Stress & Forces

Permite calcular las fuerzas internas de cada barra tanto en coordenadas globales como locales.

Ademas calcula las reacciones de los apoyos impuestos en los nudos correspondientes.

(16)

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CAPÍTULO

Metodología del Método de

Rigidez con el programa

Metodología del Método de

Rigidez con el programa

1

2

3

En este capítulo explicare la Metodología del Método de Rigidez y la programación con que se desarrolló el programa.

3.1

Ejemplo aplicativo

Problema 1. Determinar las reacciones, las fuerzas internas y los diagramas finales de esfuerzos del siguiente pórtico sometido a los estados de carga indicados y con un asentamiento vertical en el apoyo móvil de 0.025 m.

DATOS: I = 250−6 m4 A = 30−3 m2 E = 200 G  SOLUCIÓN: Paso 1

Numeración de nudos, barras y establecer las coordenadas ade-cuadas a cada nodo de la estructura.

Se establecen las barras entre dos nodos Ni y Nj, para poder hallar la longitud de cada barra y los cosenos directores teniendo en-cuenta la dirección del nudo inicial hacia el nudo final.

Longitud de la barra L = q (yj− yi)2+ (xj− xi)2= q (−4 − 0)2+ (11 − 8)2= 5 m Ingeniería Civil

10

(17)

CAPÍTULO3 METODOLOGÍA DEL MÉTODO DERIGIDEZ CON EL PROGRAMA

Hallando el angulo entre las barras

cos θ = xj− xi L = 11 − 8 5 = 0.6 sin θ = yj− yi L = −4 − 0 5 = −0.8

El programa realiza estas operaciones para cada barra.

Numeración de nuestro pórtico

Figura 1

Numeracion de los nudos y barras del pórtico

y

x

Fuente:Elaboración Propia

Figura 2

Resultados del programa

Fuente:Elaboración Propia

(18)

CAPÍTULO3 METODOLOGÍA DEL MÉTODO DERIGIDEZ CON EL PROGRAMA

Datos Ingresados al programa

Figura 3

Resultados del programa

Fuente:Elaboración Propia

Observación

Los datos ingresados de longitud, área, inercia, modulo de elasticidad y modulo de corte deben de tener la misma unidad de longitud, y se recomienda en el SI que se encuentren en mm para que los desplazamientos se calculen en dicha unidad.

Para los datos de Cargas, Momentos de empotramiento, Modulo de elasticidad y modulo de corte también deben estar en las mismas unidades de Peso.

Paso 2

Para obtener las matrices de rigidez de cada barra el programa numera 3 grados de libertad por nudo empezando de el nudo 1, tal como se muestra en la siguiente figura.

Figura 4

Grados de libertad posibles por cada nudo

Fuente:Elaboración Propia

(19)

CAPÍTULO3 METODOLOGÍA DEL MÉTODO DERIGIDEZ CON EL PROGRAMA

Con los datos ingresados hallamos las matrices de rigidez en el sistema global para cada barra de la estructura.

Para este calculo el programa simplemente reemplaza los datos ingresados en la siguiente matriz.

Figura 5

Matriz de Rigidez Utilizado

16.3 FRAME-MEMBERGLOBALSTIFFNESSMATRIX 5 9 9

16

16.3

Frame-Member Global Stiffness Matrix

The results of the previous section will now be combined in order to determine the stiffness matrix for a member that relates the global loadings Q to the global displacements D. To do this, substitute Eq. 16–4

into Eq. 16–2 We have

(16–7) Here the member forces q are related to the global displacements D.

Substituting this result into Eq. 16–6 yields the final result,

(16–8) or

where

(16–9) Here k represents the global stiffness matrix for the member. We can obtain its value in generalized form using Eqs. 16–5, 16–1, and 16–3 and performing the matrix operations. This yields the final result,

k = TTk¿T Q = kD Q = TTk¿TD 1Q = TTq2 q = k¿TD 1q = k¿d2. 1d = TD2 AE Llx 2 l y2 12EI L3



AE L lxly 12EI L3



ly 6EI L2  AE Llx 2 l y2 12EI L3



AE L lxly 12EI L3



ly 6EI L2 AE Llx 2 l y2 12EI L3



AE L lxly 12EI L3



ly 6EI L2 AE L lxly 12EI L3



AE L lx 2 ly2 12EI L3



lx 6EI L2 AE L lxly 12EI L3



AE L lx 2 ly2 12EI L3



lx 6EI L2   ly 6EI L2  lx 6EI L2 4EI L ly 6EI L2 6EIlx L2 2EI L ly 6EI L2 6EIlx L2 4EI L ly 6EI L2  lx 6EI L2 2EI L AE Lly 2 12EI L3



 lx2 AE L 12EI L3



 lxly lx 6EI L2  AE Lly 2 12EI L3

 lx2

AE L 12EI L3



lxly lx 6EI L2  AE Llx 2 l y2 12EI L3



AE L lxly 12EI L3



ly 6EI L2      Nx Nx Ny Nz Fx Fy Fz Ny Nz Fx Fy Fz k  (16–10)

Note that this matrix is symmetric. Furthermore, the location of

each element is associated with the coding at the near end,

followed by that of the far end, which is listed at the top of the

columns and along the rows. Like the matrix, each column of the k

matrix represents the coordinate loads on the member at the nodes that are necessary to resist a unit displacement in the direction defined by the coding of the column. For example, the first column of k represents the global coordinate loadings at the near and far ends caused by a unit displacement at the near end in the x direction, that is,DNx.

k¿ Fz, Fy, Fx, Nz, Ny, Nx, 6 * 6

Fuente:Structural Analysis, R. C. Hibbeler[1]

DONDE:

λx: sin θ y λy: cos θ

(20)

CAPÍTULO3 METODOLOGÍA DEL MÉTODO DERIGIDEZ CON EL PROGRAMA

Matrices de rigidez en el sistema global de cada miembro con el programa Método de Rigidez con Macros en Excel v1.0 (Versión de Prueba)

Figura 6

Matrices de rigidez globales de cada miembro del pórtico

Fuente:Elaboración Propia

Paso 3

Con las matrices de rigidez globales de cada elemento se procede al ensamblaje de estas matrices, obteniendo como resultado una matriz de rigidez general para toda la estructura. El algoritmo que se utilizo para ensamblar la matriz de rigidez general es el de la búsqueda

(21)

CAPÍTULO3 METODOLOGÍA DEL MÉTODO DERIGIDEZ CON EL PROGRAMA

iterativa.

La explicación mas sencilla de como funciona este algoritmo lo detallaremos en el siguiente ejemplo.

Figura 7 Estructura de ejemplo

Fuente:Elaboración Propia

Figura 8

Matriz de rigidez general 12x12 de la fig. 7

Fuente:Elaboración Propia

La búsqueda iterativa consiste en tomar una celda(fila-columna) de la matriz de rigidez general 12x12que se ensamblará, en orden creciente empezando desde la fila 1 y columna 1 (1,1), para luego buscar la misma celda en todas las matrices de rigidez global de cada elemento acumulando el valor encontrado si y solo si la celda del valor encontrado coincide con la celda de la matriz que se ensamblará.

(22)

CAPÍTULO3 METODOLOGÍA DEL MÉTODO DERIGIDEZ CON EL PROGRAMA

Figura 9

Matrices de rigidez en el sistema global de cada elemento de la estructura

Fuente:Elaboración Propia

Supongamos que el programa se encuentra en la celda (8,4) de la matriz de rigidez 12x12 que se esta ensamblada, entonces empezará un ciclo de búsqueda en cada celda de las matrices de rigidez de las barras de la estructura, empezando con la barra 1 o elemento 1 donde si alguna celda coincide con la fila 8 y columna 4 (8,4) entonces el programa tomará el valor de dicha celda y lo guardara, caso contrario asumirá el valor de 0, continuando con la barra 2 el programa también no encontrará ninguna celda con la fila 8 y columna 4 (8,4) y así continuará hasta llegar la barra 4 donde por primera vez el programa encuentra una celda en la fila 8 y columna 4, entonces el programa toma el valor de la celda y lo ubicara en la celda descrita de la matriz de rigidez, así termina el ciclo para la celda (8,4), de la matriz de rigidez general. El programa continuara su búsqueda con la celda (8,5), luego (8,6) . . . hasta llegar a la celda (12,12)que es el final de la matriz de rigidez general de toda la estructura.

Con este bucle(ciclo) el programa nos mostrara todo los elementos de la matriz de rigidez general ensamblada.

(23)

CAPÍTULO3 METODOLOGÍA DEL MÉTODO DERIGIDEZ CON EL PROGRAMA

Matriz de rigidez ensamblada con el Programa

Figura 10

Matriz de rigidez ensamblada

Fuente:Elaboración Propia

(24)

CAPÍTULO3 METODOLOGÍA DEL MÉTODO DERIGIDEZ CON EL PROGRAMA

Paso 4

Para las estructuras tipo pórtico es indispensable saber los momentos de empotramiento para las cargas en cada barra de la estructura.

Figura 11

Momento de empotramiento para las barras 1,3,4 y 5

Fuente:Elaboración Propia

Teniendo en-cuenta la numeración de los grados de libertad para cada nudo que se muestra en la fig. 4, ingresamos las cargas de empotramiento al programa, tal como se muestra a continuación.

Figura 12

Momento de empotramiento para las barras 1,3,4 y 5

Fuente:Elaboración Propia

(25)

CAPÍTULO3 METODOLOGÍA DEL MÉTODO DERIGIDEZ CON EL PROGRAMA

Paso 5

Para continuar con la solución del ejercicio se tiene que introducir al programa las condiciones contorno(Apoyos, asentamiento, fuerzas nodales)

Apoyos

Para los apoyos se considera el valor de 1 para las restricciones que tiene en un eje como se detalla en la siguiente figura.

Figura 13

Restriccines para los apoyos

Fuente:Elaboración Propia

Asentamientos

Si existe algún giro o desplazamiento inicial en un nudo se debe considerar según la dirección de su respectivo eje de aplicación.

Fuerzas nodales

Se considera igual que los desplazamientos o giros. Figura 14

Datos ingresados en las condiciones de contorno

Fuente:Elaboración Propia

Al introducir los datos en las condiciones de contorno podremos calcular las deformaciones en los nudos con el método de Rigidez.

(26)

CAPÍTULO3 METODOLOGÍA DEL MÉTODO DERIGIDEZ CON EL PROGRAMA

Paso 6

Penalización en la matriz de rigidez y matriz de fuerzas

Ya sea por desplazamiento en los nudos o por los apoyos, este programa utiliza la matriz de rigidez penalizado para resolver las deformaciones en los nudos.

La penalización consiste en obtener una constante C y sumarle a la diagonal de los grados de libertad con restricciones de la matriz de rigidez.

Para la matriz de fuerzas, solo si existe desplazamiento en los nudos, se utiliza la penalización que consiste en sumar a las fuerzas nodales la constante C multiplicada por el desplazamiento nodal.

Obtención de la constante C

La constante C sera igual a :

C = MAX ([K]) × 104 (3.1.1)

Ejemplo de Penalizaciónn en la matriz de rigidez y la matriz de fuerza

Figura 15

Datos ingresados en las condiciones de contorno

Fuente:Elaboración Propia

Como se observa en la figura 16 en la matriz de rigidez ensamblada a los elementos de las diagonales en los Grados de libertad se les suma la constante C, para que la matriz de rigidez ensamblada sea una matriz no singular1, con este artificio no hay necesidad de eliminar los grados de libertad de los apoyos, ahora ya se podrá invertir la matriz de rigidez.

En el caso de la matriz de fuerza, se observa en la fig. 16 que al grado de libertad del nudo con desplazamiento se le agrega el valor de C multiplicado el desplazamiento de ese nudo con su respectivo signo.

1La matriz singular no tiene inversa

(27)

CAPÍTULO3 METODOLOGÍA DEL MÉTODO DERIGIDEZ CON EL PROGRAMA

Con estas observaciones se obtendrá las deformaciones en los nudos sin complicaciones. Figura 16

Datos ingresados en las condiciones de contorno

Fuente:Elaboración Propia

Paso 7

El programa Método de Rigidez con Macros en Excel v1.0 (Versión de Prueba) nos muestra los siguientes resultados con el procedimiento que se explico en el Paso 6.

Desplazamiento en los nudos

Para el calculo de las deformaciones con el método de Rigidez se considera la siguiente ecuacion matricial.

{δ } = [K−1]{F} (3.1.2)

DONDE:

[K] : Es la matriz de rigidez ensamblada con penalidades en los elementos de la

diagonal de los apoyos y asentamientos(desplazamientos) .

{F} : El vector fuerza también con penalidades en el grado de libertad de los

asen-tamientos o desplazamiento de los nudos.

{δ } : Matriz de deformaciones nodales.

Con estas ecuaciones se logra hallar las deformaciones en los nodos.

(28)

CAPÍTULO3 METODOLOGÍA DEL MÉTODO DERIGIDEZ CON EL PROGRAMA

Figura 17

Datos ingresados en las condiciones de contorno

Fuente:Elaboración Propia

Reacciones en los apoyos

Para la obtención de las reacciones en los nudos se tendrá en-cuenta la siguiente ecuación.

Ri= C × δi+ Fi (3.1.3)

DONDE:

i : Grado de libertad del nudo donde se encuentra el apoyo, puede estar en la direc-cion x, y o z.

C : Constante que se definió en el Paso 6.

Fi : Fuerza total ubicado en el nudo donde se encuentra el apoyo.

δi : Deformación, ubicado en el nudo donde se encuentra el apoyo, hallado con la

matriz de rigidez penalizada

Figura 18

Datos ingresados en las condiciones de contorno

Fuente:Elaboración Propia

(29)

CONCLUSIONES

Conclusiones :

 La utilización del software Microsoft Excel es indispensable para el desarrollo de nuestra carrera.

 El programa Método de Rigidez con Macros en Excel v1.0 (Versión de Prueba)

es netamente académico que permite calcular una estructura compleja con el método de Rigidez paso a paso, donde nos permite comprender y analizar a detalle dicho método.

 Para poder desarrollar cálculos estructurales es indispensable el uso de un or-denador ya que existen procedimientos o modelos muy complejos donde algún aplicativo como el programa Método de Rigidez con Macros en Excel v1.0 (Versión de Prueba) lo pueda resolver.

 Para el desarrollo del Método de Rigidez con ordenador se tiene que facilitar los procesos utilizando la matriz de Rigidez Penalizada y no eliminar los grados de libertad de los apoyos con restricciones.

(30)

BIBLIOGRAFÍA

[1] HIBBELER R. C.(2012). Structural Analysis. New Jersey: Pearson. Pag. 599

[2] KARDESTUNCER H. Introducción al Análisis de Estructuras con Matrices. U.S.A.: MgGraw-Hill.

[3] TENA COLUNGA A.(2007) Análisis de Estructuras con métodos Matriciales . Mexico: Limusa.

[4] P. LAIBLE J. Análisis Estructural: MgGraw-Hill.

[5] ROJAS ROJAS A., PADILLA PUNZO H. (2007) Análisis de Estructuras con Matrices . Mexico: Trillas.

[6] CURASMA WLADIMIR D. Análisis Matrices de Estructuras .

[7] http://www.queesexcel.net/que-son-las-macros-excel.html [8] https://cristiancastrop.wordpress.com/2011/01/18/

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Referencias