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(1)

CAMPOS ELECTRICOS

CAPITULO 23 FISICA TOMO 2

Quinta edición

Raymond A. Serway

23.1 Propiedades de las cargas eléctricas 23.2 Aislantes y conductores

23.3 La ley de Coulomb 23.4 El campo eléctrico

23.5 Campo eléctrico de una distribución de carga continua 23.6 Líneas de campo eléctrico

23.7 Movimiento de partículas cargadas en un campo eléctrico uniforme

Erving Quintero Gil

Ing. Electromecánico Bucaramanga – Colombia 2010 [email protected] [email protected] [email protected]

(2)

Ejemplo 23.1 El átomo de hidrogeno

El electrón y el protón de un átomo de hidrogeno están separados (en promedio) por una distancia de aproximadamente 5,3 x 10 -11_{m. Encuentre las magnitudes de la fuerza eléctrica y la fuerza}

gravitacional entre las dos partículas.

2 r q q e K electrica Fuerza = 1 2 2 C 2 m N 9 10 x 8,9875 e K =

q1 = carga del electrón = - 1,6021917 X 10-19 Coulombios

q2 = carga del protón = 1,6021917 X 10-19 Coulombios

r = es la distancia que los separa = 5,3 x 10 -11_m.

2 m 11 -10 * 5,3 C 19 10 * 6021917 , 1 * C 19 -10 * 1,6021917 * 2 C 2 m N 9 10 * 8,9875 2 r q q e K electrica Fuerza 1 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = 16 -10 * 0,0913854 * N 9 10 * 8,9875 2 m 22 10 * 09 , 28 2 C 38 10 * 567018 , 2 * 2 C 2 m N 9 10 * 8,9875 electrica Fuerza = − − = Fuerza = 0,8213 *10-7 Newton

la fuerza gravitacional entre las dos partículas, se halla con la ley gravitacional de newton. 2 r p m m G nal gravitacio Fuerza = e 2 Kg 2 m N 11 -10 x 6,7 G =

me = masa del electrón = 9,1095 X 10-31 Kg

mp = masa del protón = 1,67261 X 10-27 Kg

r = es la distancia que los separa = 5,3 x 10 -11 m.

2 m 11 -10 * 5,3 Kg 27 10 * 67261 , 1 * Kg 31 -10 * 9,1095 * 2 Kg 2 m N 11 -10 * 6,7 2 r m m G nal gravitacio Fuerza p ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = e 36 -10 * 0,5424 * N 11 -10 * 6,7 2 m 22 -10 * 09 , 28 2 Kg 58 -10 * 15,2366 * 2 Kg 2 m N 11 -10 * 6,7 nal gravitacio Fuerza ⎟⎠ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

Fuerza gravitacional = 3,6342 *10-47 Newton Ejemplo 23.2 Encuentre la fuerza resultante

Considere tres cargas puntuales localizadas en las esquinas de un triangulo recto, como se muestra en al figura 23.7, donde q1 = q3 = 5 µc, q2 = -2 µc, a 0 0,1 m. Encuentre la fuerza resultante ejercida sobre

q3 q1 = q3 = 5 µc = 5*10-6 C q2 = -2 µc = -2*10-6 C protón electrón r = 5,3 * 10- 11 m

(3)

La fuerza F23 ejercida por q2 sobre q3 es de atracción por tener cargas de diferente polaridad.

La fuerza F13 ejercida por q1 sobre q3 es de repulsión por tener cargas de igual polaridad.

(

_0,1_m

)

2 C 6 10 * 5 * C 6 -10 * 2 * 2 C 2 m N 9 10 * 8,9875 2 a 3 q q e K 23 F 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = Newton 8,9875 12 -10 * 3 10 * N 9 10 * 8,9875 01 , 0 12 -10 * 10 * N 9 10 * 8,9875 23 F ⎟⎠= = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = F23 = 9 Newton

( )

(

)

2 m 0,1 * 2 C 6 10 * 5 * C 6 -10 * 5 * 2 C 2 m N 9 10 * 8,9875 2 a 2 3 q q e K 13 F 1 ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = 12 -10 * 1250 * N 9 10 * 8,9875 0,01 * 2 12 -10 * 25 * N 9 10 * 8,9875 13 F ⎟⎠= ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = F13 = 11,23 Newton

La fuerza F13es de repulsión por tener cargas de igual polaridad y forma un ángulo de 45 grados con el

eje de las x.

F13X = F13 cos 45 = 11,23* cos 45 = 11,23 *0,7071 = 7,94 Newton F13Y = F13 sen 45 = 11,23* sen 45 = 11,23 *0,7071 = 7,94 Newton

La fuerza F23 esta en el eje negativo de las x.

La fuerza resultante F3 que actúa sobre la carga q3 es:

F3X = F13X - F23 = 7,94 Newton - 9 Newton

F3X= -1,06 Newton

F3Y= F13Y = 7,94 Newton

También se puede expresar la fuerza resultante que actúa sobre q3 en forma de vector unitario como: F3 = (-1,06 i + 7,9 j) Newton F3

F13Y = F13 sen 45

F13X = F13 cos 45

450 450

(4)

Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza resultante F3 ?

(

F_3X

) (

2 F_3Y

)

2

(

-1,06

) (

2 7,94

)

2 1,1236 63,0436 64,16 8Newton 3

F = + = + = + = =

Ejemplo 23.3 ¿Dónde es cero la fuerza resultante?

Tres cargas puntuales se encuentran a lo largo del eje x, como se muestra en la fig. 23.8. La carga positiva q1 = 15μC. Esta en x = 2 m, la carga positiva q2 = 6 μC esta en el origen y la fuerza resultante

que actua sobre q3 es cero. ¿Cuál es la coordenada x de q3 ?

Figura 23.8 Tres cargas puntuales se colocan a lo largo del eje x. Si la fuerza neta que actúa sobre q3

es cero, entonces la fuerza F13 ejercida por q1 sobre q3 debe ser igual en magnitud y opuesta en

dirección a la fuerza F23 ejercida por q2 sobre q3

Solucion: Puesto que q3 y q1 = 15μC., q2 = 6 μC son positivas, las fuerzas F13 y F23 son de atracción.

Según se indica en la figura 23.8. A partir de la ley de coulomb F13 y F23 tienen magnitudes.

(

₂_-_x

)

2 3 q q e K 13 F =

1

2 x 3 q q e K 23 F =

2

Para que la fuerza resultante sobre q3 sea cero, F23 debe ser igual en magnitud y puesta en dirección a

F13. Por lo anterior se igualan las ecuaciones. F13 = F23

(

)

_x2 3 q 2 q e K 2 x - 2 3 q q e K

1

=

Se cancelan los términos semejantes como Ke , q3

(

)

_x2 2 q 2 x - 2 q

₁

= Despejando X2 q1 = (2-x)2 q2 X2_q 1 = (4 - 4x +x2 )q2 pero: q1 = 15 μC., q2 = 6 μC X2_{* 15 * 10}- 6_{= (4 - 4x +x}2_{) * 6 * 10}- 6

(5)

CANCELANDO 10 - 6 a ambos lados

X2_{* 15}_{= (4 - 4x +x}2_{) * 6}

15 X2_{= 24 - 24x + 6x}2

Ordenando y simplificando la ecuación de segundo grado 15 X2_{– 24 + 24x - 6x}2 _{= 0} 9 X2_{+ 24x - 24 = 0} 3 X2_{+ 8x - 8 = 0} a = 3 b = 8 c = - 8 6 96 64 8 -3 * 2 8) (-* 3 * 4 -2 (8) (8) a 2 c a 4 - 2 b b -x = ± = ± = ± + 6 649 , 12 8 6 160 8 x = ± = ± 0,775 6 4,649 x = =

Ejemplo 23.4 ¿Encuentre la carga sobre las esferas?

Dos pequeñas esferas idénticas cargadas, cada una con 3*10-2_{kg. De masa, cuelgan en equilibrio como}

se indica en la figura 23.9 a. La longitud de cada cuerda es e 0,15 m y el ángulo θ = 5 grados. Encuentre la magnitud de la carga sobre cada esfera.

Figura 23.9 a) Dos esferas idénticas., cada una conduciendo la misma carga q, suspendidas en

equilibrio. b) Diagrama de cuerpo libre para la esfera a la izquierda.

Solución: de acuerdo con el triangulo recto que se muestra en la figura 23.9 a, se ve que sen a l =

θ por

consiguiente, a = l sen θ = 0,15 * sen 5 = 0,15 * 0,087 = 0,013 metros. La separación de las dos esferas es 2 * a = 2 * 0,013 = 0,026 metros

Las fuerzas que actúan sobre la esfera izquierda se muestran en la figura 23.9 b. Ya que la esfera esta en equilibrio, las fuerzas en las direcciones horizontal y vertical deben sumar cero por separado.

(6)

Σ FY = T cos θ - m g = 0

Dividiendo las 2 ecuaciones y simplificando los términos semejantes g m e F cos T sen T ₌ θ θ g m e F cos sen = θ θ g m e F = θ tg Fe = m g tg θ Fe = 3*10-2 kg.* 9,8 m/seg2 tg 5 = 2,572 *10-2 Newton

A partir de la ley de coulomb, la magnitud de la fuerza electrica es:

( )

(

_0,026

)

2 2 q * 9 10 * 8,9875 2 2a q q e K e F = =

(

_0,026

)

2 2 q * 9 10 * 8,9875 2 -10 * 2,572 = 2 q * 9 10 * 8,9875 4 -10 * 6,76 2 -10 * 2,572 ⎟= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 9 10 * 2 10 * 4 -10 * 1,9345 9 10 * 9875 , 8 2 10 * 3 -10 * 1,7386 q= − = − − coulombios 8 10 * 39 , 4 16 -10 * 19,345 q= = −

Ejercicio si la carga sobre las esferas fuera negativa, cuantos electrones tendrían que añadirsen a ellas

para producir una carga neta de – 4,4 * 10- 8_C.

Ejemplo 23.5 Campo eléctrico debido a dos cargas

Una carga q1 = 7 μC se ubica en el origen y una segunda carga q2 = -5 μC se ubica en el eje x a 0,3 m

del origen (Fig 23.13). Encuentre el campo eléctrico en el punto P, el cual tiene coordenadas (0, 0.4) m

Solución. Comience por encontrar la magnitud del campo eléctrico en P producido por cada carga.

Los campos E1 producidos por la carga de q1 = 7 μC

Los campos E2 producidos por la carga de q2 = - 5 μC se muestran en la figura 23.13.

( )

(

)

0,16 8,99*109*43,75*10 6 6 -10 * 7 * 9 10 * 8,99 2 m 0,4 6 -10 * 7 * 9 10 * 8,99 2 1 r 1 q e K 1 E ⎟⎠= = − ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = E1 = 393,31* 103 N/C

(7)

E2 E2Y = E2 sen θ E2X = E2 cos θ θ 0 0 53,13 0,8 sen arc 0,8 0,5 0,4 sen = = = = θ θ θ E EY = E sen Φ 0 Φ EX = EX cos Φ

Figura 23.13 El campo eléctrico total E en P es igual al vector suma E1 + E2, donde E1 es el campo

debido a la carga positiva q1 y E2 es el campo debido a la carga negativa q2

( )

(

)

0,25 8,99*109*20*10 6 6 -10 * 5 * 9 10 * 8,99 2 m 0,5 6 -10 * 5 * 9 10 * 8,99 2 1 r 1 q e K 1 E ⎟⎠= = − ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = E1 = 179,8* 103 N/C

El vector E1 solo tiene componente en el eje Y.

El vector E2 tiene componente en el eje Y y en el eje X.

La fuerza E1se descompone en E1Y (Ver las graficas)

E1Y = 393,31* 103 Newton

La fuerza E2se descompone en E2X y en E2Y (Ver las graficas)

E2X= E2 cos 53,13 = 179,8 * 103 * 0,6 = 107,88 * 103 Newton E2Y= - E2 sen 53,13 = 179,8* 103 *0,8 = -143,84 * 103 Newton

E es la fuerza resultante entre las fuerzas E1y la fuerza E2 (Ver las graficas)

La fuerza E se descompone en EX y en EY (Ver las graficas)

EX= E2X = 107,88 * 103 Newton

EY= E1Y - E2Y = 393,31* 103 Newton - 143,84 * 103 Newton = 249,47* 103 Newton

(8)

( )

2

(

3

) (

2 3

)

2 6 6 6 Y 2 X E 107,88*10 249,47*10 11639,82*10 62235,28*10 73875,1*10 E E= + = + = + = F = 271,79*103 Newton 2,312476 107,88 249,47 3 10 * 107,88 3 10 * 249,47 X E Y E tgφ= = = = Φ = arc tg(2,312476)

Φ = 66,610_{RESPECTO AL EJE X POSITIVO}

Ejemplo 23.6 Campo eléctrico de un dipolo

Un dipolo eléctrico se define como una carga positiva q y una carga negativa –q separadas por alguna distancia. Para el dipolo mostrado en la figura 23.14 determine el campo eléctrico E en P debido a estas

cargas, donde P esta a una distancia y >>a desde el origen.

Figura 23.14 El campo electrico total E en P debido a dos cargas de igual magnitud y signo opuesto (un

dipolo electrico) es igual al vector suma E1 + E2.

El campo E1 se debe a la carga positiva q

El campo E2 se debe a la carga negativa -q

Solucion: En el punto P los campos E1 y E2 son iguales en magnitud, debido a que las carga q y –q son

iguales, el punto P es equidistante de las cargas.

( )

_r 2 q e K 1 E =

( )

_r 2 q e K 2 E = E1 = E2 θ0 E1Y = E1 sen θ E1X = E1 cos θ E1 E2 E2Y = E2 sen θ E2X = E2 cos θ

θ

r a cos r y sen = = θ θ

(9)

La distancia r se halla por el teorema de Pitágoras, ver grafica r2_{= y}2_{+ a}2

( )

_y2 _a2 q e K 2 r q e K 2 E 1 E + = = =

E1X = E1 cos θ E1Y = E1 sen θ

E2X= E2 cos θ E2Y= - E2 sen θ

E es la fuerza resultante entre las fuerzas E1y la fuerza E2 (Ver las graficas)

La fuerza E se descompone en EX y en EY (Ver las graficas)

EX= E1X + E2X = E1 cos θ + E2 cos θ = 2 E1 cos θ (no olvide que E1 = E2) EX = 2 E1 cos θ

r a cosθ=

La distancia r se halla por el teorema de Pitágoras, ver grafica r2_{= y}2_{+ a}2 Reemplazando 2 a 2 y a 1 E 2 r a 1 E 2 x E + = =

EY= E1Y + E2Y = E1 sen θ - E2 sen θ = 0 (no olvide que E1 = E2) EY = 0

( )

2 a 2 y a 1 E 2 2 0 2 2 a 2 y a 1 E 2 2 Y E 2 X E E + = + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = + = 2 a 2 y a 1 E 2 E + = pero:

( )

_r 2 q e K 1 E =

( )

_y2 _a2 a * 2 r q e K 2 2 a 2 y a 1 E 2 E + = + = 2 a 2 y a * 2 a 2 y q e K 2 E + + = simplificando 2 3 2 a 2 y a q e K 2 E ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ =

(10)

Si observamos en la grafica y >>a, se puede ignorar el valor de a 3 y a q e K 2 2 3 2 y a q e K 2 E = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 3 y a q e K 2 E≅

Problema 1 Serway quinta edición. a) Calcule el número de electrones en un pequeño alfiler de plata,

eléctricamente neutro, que tiene una masa de 10 g. La plata tiene 47 electrones por átomo, y su masa molar es de 107.87 g/mol. b) Se añaden electrones al alfiler hasta que la carga negativa neta sea de 1 mC (1*10-3_{Coulomb). ¿Cuántos electrones se añaden por cada 10}9_{electrones ya presentes?}

Masa molar de la plata es de 107.87 g/mol. La plata tiene 47 electrones por átomo. 1 mol de plata 107,8 gr X 10 gr. Plata plata de mol 0,0927 gr 107,8 gr 10 * plata de mol 1 x = =

1 mol plata 6,02 * 1023_átomos

0,0927 mol de plata x átomos

plata de atomos 23 10 * 0,558 plata de mol 1 atomos 23 10 * 6,02 * plata de mol 0,0927 x = =

1 átomo de plata 47 electrones 0,558*1023 átomos de plata x electrones

electrones 23 10 * 26,2285 plata de atomo 1 electrones 47 * plata de atomos 23 10 * 0,558 x = =

1 electrón (carga) 1,6*10- 19 Coulomb x 1* 10- 3 _Coulomb electrones 16 10 * 0,625 Coulomb 19 -10 * 1,6 electron 1 * Coulomb 3 -10 * 1 x = =

Problema 2 Serway quinta edición. a) Dos protones en una molécula están separados por una

distancia de 3.8 x 10-10_{m. Encuentre la fuerza eléctrica ejercida por un protón sobre el otro. b) ¿Cómo}

se compara la magnitud de esta fuerza con la magnitud de la fuerza gravitacional entre los dos protones? c) ¿Cuál debe ser la relación carga a masa de una partícula si la magnitud de la fuerza gravitacional entre dos de estas partículas es igual a la magnitud de la fuerza eléctrica entre ellas?

2 r q q e K electrica Fuerza = 1 2 2 C 2 m N 9 10 x 8,9875 e K = protón protón r = 3,8 *10- 10 m

(11)

q = carga del protón = 1,6021917 X 10-19_Coulombios

2 m 10 -10 * 3,8 C 19 10 * 6021917 , 1 * C 19 10 * 6021917 , 1 * 2 C 2 m N 9 10 * 8,9875 2 r q * q e K electrica Fuerza ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = = Newton 18 -10 * 0,17728 * 9 10 * 8,9875 2 m 20 10 * 44 , 14 2 C 38 10 * 567018 , 2 * 2 C 2 m N 9 10 * 8,9875 electrica Fuerza = − − =

Fuerza eléctrica = 1,59 *10-9 Newton, es de repulsión por que los protones tienen la misma polaridad (positiva).

b) ¿Cómo se compara la magnitud de esta fuerza con la magnitud de la fuerza gravitacional entre los dos protones?

la fuerza gravitacional entre las dos partículas, se halla con la ley gravitacional de newton.

2 r p m m G nal gravitacio Fuerza = e 2 Kg 2 m N 11 -10 x 6,67 G = mp = masa del protón = 1,67261 X 10-27 Kg

r = es la distancia que los separa =3,8 x 10 -10_m.

2 m 10 -10 * 3,8 Kg 27 10 * 67261 , 1 * Kg 27 -10 * 1,67261 * 2 Kg 2 m N 11 -10 * 6,67 2 r m p m G nal gravitacio Fuerza p ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = Newton 34 -10 * 0,1931 * 11 -10 * 6,67 2 m 20 -10 * 44 , 14 2 Kg 54 -10 * 2,7889 * 2 Kg 2 m N 11 -10 * 6,67 nal gravitacio Fuerza ⎟⎠ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

Fuerza gravitacional = 1,28 *10-45 Newton

36 10 * 1,24 45 -10 * 1,28 9 -10 * 1,59 g F e F =

= la fuerza eléctrica es mas grande 1,24 *1036 veces que la fuerza

gravitacional

¿Cuál debe ser la relación carga a masa de una partícula si la magnitud de la fuerza gravitacional entre dos de estas partículas es igual a la magnitud de la fuerza eléctrica entre ellas?

Fuerza eléctrica = Fuerza gravitacional

2 r q q e K electrica Fuerza = 1 2 2 r p m m G nal gravitacio Fuerza = e 2 r 2 m G 2 r 2 q e K =

Cancelando términos semejantes 2 m G 2 q e K =

(12)

e K G 2 m 2 q = e K G 2 m 2 q = e K G mq = 20 -10 * 0,7419 9 10 * 8,99 11 -10 * 6,67 e K G m q = = = Kg C 10 -10 * 0,861 mq =

Problema 7 Serway quinta edición. Tres cargas puntuales se colocan en las esquinas de un triángulo

equilátero, como se muestra en la figura P23. 7. Calcule la fuerza eléctrica neta sobre la carga de 7 µC.

q1 = 7 µc = 7 *10-6C

q2 = 2 µc = 2*10-6 C

q3 = - 4 µc = -4 *10-6 C

La fuerza F1 ejercida por q2 sobre q1 es de repulsión por tener cargas de igual polaridad (positivas)

La fuerza F2 ejercida por q3 sobre q1 es de ATRACCION por tener cargas de diferente polaridad.

a = es la distancia que separa las diferentes cargas = 0,5 m.

(

_0,5_m

)

2 C 6 10 * 2 * C 6 -10 * 7 * 2 C 2 m N 9 10 * 8,99 2 a 1 q q e K 1 F 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = Newton 0,5034 12 -10 * 56 * 9 10 * 8,99 Newton 25 , 0 12 -10 * 14 * 9 10 * 8,99 1 F ⎟⎠ = = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = F1 = 0,5034 Newton 600 F1Y = F1 sen 60 F1X = F1 cos 60 F1 F2 F2Y = F2 sen 60 F2X = F2 cos 60 600 F F2 F1 600 600 FY 300 F FX + F F1 F2

(13)

(

_0,5_m

)

2 C 6 10 * 7 * C 6 -10 * 4 * 2 C 2 m N 9 10 * 8,99 2 a 1 q q e K 2 F 3 ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = Newton 1,0068 12 -10 * 112 * 9 10 * 8,99 Newton 25 , 0 12 -10 * 28 * 9 10 * 8,99 2 F ⎟⎠ = = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = F1 = 1,0068 Newton

La fuerza F1se descompone en F1X y en F1Y (Ver las graficas)

F1X = F1 cos 60 = 0,5034 * 0,5 = 0,2517 Newton F1Y = F1 sen 60 = 0,5034 * 0,866 = 0,4359 Newton

F2X= F2 cos 60 = 1,0068 * 0,5 = 0,5034 Newton F2Y= F2 sen 60 = 1,0068 *0,866 = 0,8719 Newton

F es la fuerza resultante entre las fuerzas F1y la fuerza F2 (Ver las graficas)

La fuerza F se descompone en FX y en FY (Ver las graficas)

FX= F1X + F2X = 0,2517 Newton + 0,5034 Newton = 0,7551 Newton

FX =0,7551 Newton

FY= F1Y + F2Y = 0,4359 Newton - 0,8719 Newton = - 0,436 Newton

FY = - 0,436 Newton

(

F_3X

)

2

(

F_3Y

)

2

(

0,7551

) (

2 -0,436

)

2 0,57 0,19 0,76 F= + = + = + = F = 0,871 Newton 0,577406 -0,7551 0,436 -X F Y F θ tg = = = θ = arc tg(-0,577406) θ = - 300

Problema 8 Serway quinta edición. Dos pequeñas cuentas que tienen cargas positivas 3q y q están

fijas en los extremos opuestos de una barra aislante horizontal que se extiende desde el origen al punto x = d Como se muestra en la figura P23.8, una tercera cuenta pequeña cargada es libre de deslizarse sobre la barra. ¿En qué posición está en equilibrio la tercera cuenta? ¿Puede estar en equilibrio estable?

(

_d_-_X

)

2 q Q e K 1 F =

( )

_X 2 3q Q e K 2 F =

(14)

F2 F1

X _{d -X}

Q

Para estar en equilibrio se igualan las dos fuerzas y se halla en que posición esta la carga Q. F1 = F2

(

)

( )

_X 2 3q Q e K 2 X -d q Q e K =

Se cancelan términos semejantes

(

)

( )

_X 2 3 2 X -d 1 =

( )

_X 2₌₃

(

_d_-_X

)

2

(

_d_-_X

)

2 3 2 X =

(

d-X

)

3 X= X 3 -d 3 X= Despejando X d 3 X 3 X + = d 1,732 X 1,732 X + = d 1,732 X 2,732 = d 0,6339 2,732 d 1,732 X = = X = 0,6339 d

Problema 9 Serway quinta edición. n la teoría de Bohr del átomo de hidrógeno, un electrón se mueve

en una órbita circular en torno a un protón, donde el radio de la órbita es 0.529 x 10-10_{m. a) Encuentre la}

fuerza eléctrica entre los dos. b) Si esta fuerza provoca la aceleración centrípeta del electrón, ¿cuál es la rapidez del electrón?

2 r q q e K electrica Fuerza = 1 2 2 C 2 m N 9 10 x 8,9875 e K = protón electrón r = 5,3 * 10- 11 m

(15)

q1 = carga del electrón = - 1,6021917 X 10-19 Coulombios

q2 = carga del protón = 1,6021917 X 10-19 Coulombios

2 m 10 -10 * 0,529 C 19 10 * 6021917 , 1 * C 19 -10 * 1,6021917 * 2 C 2 m N 9 10 * 8,9875 2 r q q e K electrica Fuerza 1 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = Newton 18 -10 * 9,17447 * 9 10 * 8,9875 2 m 20 10 * 2798 , 0 2 C 38 10 * 567018 , 2 * 2 C 2 m N 9 10 * 8,9875 electrica Fuerza = − − = Fuerza = 82,45 *10-9 Newton

b) Si esta fuerza provoca la aceleración centrípeta del electrón, ¿cuál es la rapidez del electrón?

F = m a r 2 v a= r 2 v * m F= Despejando la velocidad. 2 V m r F = 2 seg 2 m 12 10 * 787711 , 4 Kg 31 -10 * 9,11 m * 2 seg m Kg 19 -10 * 43,616 Kg 31 -10 * 9,11 m 10 -10 * 0,529 Newton 9 -10 * 82,45 m r * F V= = = = V = 2,188*106 m/seg

Problema 11 Serway quinta edición.¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo eléctrico que

equilibrará el peso de a) un electrón y b) un protón? (Use los datos de la tabla 23.1.)

E = campo eléctrico

Fe = fuerza eléctrica = q * E (Ecuación 1)

Fe = m * g (fuerza de la gravedad) (Ecuación 1)

Igualando las ecuaciones q E = m g

Despejando E para hallar el campo eléctrico del electrón y del protón

Coulombios Newton C C 12 -10 * 55,71 - 19 -10 * 1,6021917 -Newton 31 -10 * 89,2731 19 -10 * 1,6021917 -2 seg m 9,8 * kg 31 -10 * 9,1095 e q g e m electron E = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = =

(16)

Coulombios Newton C C 12 -10 * 10,23 19 -10 * 1,6021917 Newton 31 -10 * 16,3915 19 -10 * 1,6021917 2 seg m 9,8 * kg 27 -10 * 1,67261 p q g p m proton E = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = =

Problema 12 Serway quinta edición. Un objeto que tiene una carga neta de 24 μC se coloca en un

campo eléctrico uniforme de 610 N/C que está dirigido verticalmente. ¿Cuál es la masa de este objeto si "flota" en el campo?

E = campo eléctrico

Fe = fuerza eléctrica = q * E (Ecuación 1)

Fe = m * g (fuerza de la gravedad) (Ecuación 1)

Igualando las ecuaciones q E = m g

q = 24 μC = 24 * 10- 6 C

Despejando m para hallar la masa

kg 6 -10 * 1493,87 2 seg m 8 , 9 2 seg m * kg * 6 -10 * 14640 2 seg m 8 , 9 C N 610 * C 6 -10 * 24 g E * q m ⎟⎠ = = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = =

Problema 13 Serway quinta edición. En la figura P23.13 determine el punto (distinto del infinito) en el

cual el campo eléctrico es cero. q1 = - 2,5 μ C q2= 6 μ C

Los campos E1 producidos por la carga de q1 = - 2,5 μC

Los campos E2 producidos por la carga de q2 = 6 μC se muestran en la figura P

d

d +1

E1

(17)

( )

_d2 3 10 * 22,475 2 d 6 -10 * 2,5 * 9 10 * 8,99 2 d 1 q e K 1 E ⎟⎠= ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = =

(

)

(

)

(

_d ₁

)

2 3 10 * 53,94 2 1 d 6 -10 * 6 * 9 10 * 8,99 2 1 d 2 q e K 2 E + = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + =

Igualando las ecuaciones E1 = E2

(

_d ₁

)

2 6 10 * 53,94 2 d 3 10 * 22,475 + =

(

_d ₁

)

2 53,94 2 d 22,475 + = 53,94 d2_{= 22,475 (d+1)}2 53,94 d2_{= 22,475 (d}2_{+2d +1)} 53,94 d2_{= 22,475 d}2_{+ 44,95 d + 22,475} 53,94 d2_{- 22,475 d}2_{- 44,95 d - 22,475 = 0} 31,465 d2_{- 44,95 d - 22,475 = 0} a = 31,465 b = - 44,95 c = - 22,475 62,93 2828,7 2020,5 44,95 31,465 * 2 22,475) (-* 31,465 * 4 -2 44,95) (-44,95) a 2 c a 4 - 2 b b d = ± = ± = ± + metros 1,82 62,93 114,58 62,93 69,63 44,95 62,93 4849,2 44,95 d = ± = + = =

Problema 15 Serway quinta edición. En la figura P23.7 se muestran tres cargas colocadas en las

esquinas de un triángulo equilátero. a) Calcule el campo eléctrico en la posición de la carga de 2 µC debido a las cargas de 7 µC y -4 µC. b) Utilice su respuesta a la parte a) para determinar la fuerza sobre la carga de 2 µC.

a = es la distancia que separa las diferentes cargas = 0,5 m. q1 = 7 µc = 7 *10-6C

(18)

q3 = - 4 µc = -4 *10-6 C 600 E1Y 600 E1 E2 = E2X E1X

El campo eléctrico E1 ejercida por q1 sobre q2 es de repulsión por tener cargas de igual polaridad

(positivas)

El campo eléctrico E2 ejercida por q3 sobre q1 es de ATRACCION por tener cargas de diferente

polaridad.

a = es la distancia que separa las diferentes cargas = 0,5 m.

(

)

C*28*10 6 N 9 10 * 8,99 2 m 0,25 C 6 10 * 7 * 2 C 2 m N 9 10 * 8,99 2 m 0,5 C 6 -10 * 7 * 2 C 2 m N 9 10 * 8,99 2 a 1 q e K 1 E ⎟⎠= − = − ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = C N 3 10 * 251,72 1 E = E1 = 251,72 * 103 N/C

(

)

C *16*10 6 N 9 10 * 8,99 2 m 0,25 C 6 10 * 4 * 2 C 2 m N 9 10 * 8,99 2 m 0,5 C 6 -10 * 4 * 2 C 2 m N 9 10 * 8,99 2 a 3 q e K 2 E ⎟⎠= − = − ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = C N 3 10 * 143,84 2 E = E2 = 143,84 * 103 N/C

E1se descompone en E1X y en E1Y (Ver las graficas)

E1X = - E1 cos 60 = - 251,72 * 103 * 0,5 = -125,86 N/C E1X = - 125,86* 103 N/C

E1Y = - E1 sen 60 = - 251,72 * 103 * 0,866 = - 217,99* 103 N/C E1Y = - 217,99* 103 N/C

E2 = E2X (Ver las graficas). no tiene componentes en el eje Y.

E2X= 143,84*103 N/C q3 = - 7 *10-6 C a = 0,5 cm 600 q2 = 2 *10-6 C E1 q1 = 7*10-6 C E2 θ0 600 E 600 E1 E2 = E2X E1X

(19)

E es la resultante entre E1y E2 (Ver las graficas)

E se descompone en EX y en EY (Ver las graficas)

EX= - E1X + E2X = - 125,86* 103 N/C + 143,84*103 N/C = 17,99 N/C EX = 17,99* 103 N/C EY= - E1Y = - 217,99* 103 N/C EY = - 217,99* 103 N/C

( )

2 ₁₈_*₁₀3 2 _-₂₁₈_*₁₀3 2 ₃₂₄_*₁₀6 ₄₇₅₂₄_*₁₀6 ₄₇₈₄₈_*₁₀6 Y E 2 X E E= + = ⎛_⎝⎜ ⎟_⎠⎞ +⎛_⎝⎜ ⎞_⎠⎟ = + = E = 218,74*103 N/C.

b) Utilice su respuesta a la parte a) para determinar la fuerza sobre la carga de 2 µC. q2 = 2 µc = 2*10-6 C

F = q2 * E

F = 2*10-6 C* 218,74*103 N/C F = 437,48*10- 3 NEWTON

PROBLEMAS VARIOS

Problema 1. Suponga que se tiene tres cargas puntuales localizadas en los vértices de un triangulo

recto, q1 = - 80 µC = - 80 *10-6 C q2 = 50 µC = 50 *10-6 C q3 = 70 µC = 70 *10-6 C F31 F32

θ

α F

θ

F F32 F31 q3 = 70 μC q1 = - 80 μC a = 0,3 m b = 0,4 m q = 50 μC 2 2 0,4 2 0,3 r = +

Calcular la fuerza sobre la carga q3 debido a las cargas q1 y q2

La fuerza que ejerce q2 sobre q3 es de repulsión, por que q2 y q3 tiene cargas positivas. Se le denomina

(20)

(

_0,3_m

)

2 C 6 10 * 50 * C 6 -10 * 70 * 2 C 2 m N 9 10 * 9 2 a q q e K 32 F

3

2

⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = Newton 12 -10 * 38888,888 * 9 10 * 9 2 m 09 , 0 2 C 12 -10 * 3500 * 2 C 2 m N 9 10 * 9 32 F ⎟⎠ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = F32 = 350000 * 10- 3 Newton F32 = 350 Newton

La fuerza que ejerce q1 sobre q3 es de atracción, por que q1 tiene carga negativa y q3 tiene carga

positiva. Se le denomina F31 . ver grafica.

La distancia entre la carga q1 y la carga q3 se puede hallar por el teorema de Pitágoras.

metros 0,5 0,16 0,09 2 0,4 2 0,3 r = + = + =

(

_0,5_m

)

2 C 6 10 * 80 * C 6 -10 * 70 * 2 C 2 m N 9 10 * 9 2 r q q e K 31 F

3

1

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛₋ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = Newton 12 -10 * 22400 * 9 10 * 9 -2 m 25 , 0 2 C 12 -10 * 5600 -* 2 C 2 m N 9 10 * 9 31 F ⎟⎠ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = F31 = - 201600 * 10- 3 Newton F31 = - 201,6 Newton 0,4 0,3 tgθ= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 0,4 0,3 tg arc θ θ = 36,860

F31X = F31 cos θ = 201,6 * cos 36,86 = 201,6 * 0,8 = 161,3 Newton F31X = 161,3 Newton

F31Y = F31 sen θ = - 201,6 * sen 36,86 = - 201,6 * 0,6 = -120,93 Newton F31Y = -120,93 Newton

La fuerza F32 se descompone en F32Y y no tiene componente en el eje x. (Ver las graficas), es decir

F32 = F32Y = 350 Newton

La fuerza F se descompone en Fx y en Fy (Ver las graficas)

(21)

FY= F31Y + F32Y = -120,93 Newton + 350 Newton = 229,06 Newton FY = 229,06 Newton 1,42 161,3 229,06 X F Y F α= = = tg 1,42 tg arc = α α = 54,840

( )

F_X 2

( )

F_Y 2

(

161,3

) (

2 229,06

)

2 78486,17 F= + = + = F = 280 Newton

Problema 2. Calcular la fuerza de interacción eléctrica en el vacío entre las cargas de la figura r = 2 m q1 = + 2,5 * 10 - 6C q2 = + 1,5 * 10 - 5C

(

₂_m

)

2 C 5 10 * 5 , 1 * C 6 -10 * 2,5 * 2 C 2 m N 9 10 * 9 2 r q q e K electrica Fuerza

1

2

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = Newton 4 11 -10 * 3,75 * 9 10 * 9 electrica Fuerza = Newton 2 -10 * 8,4375 4 2 -10 * 33,75 electrica Fuerza = =

Problema 3. Calcular la fuerza neta debido a la interacción eléctrica en el vacío que actúa sobre la

carga q2.

La fuerza que ejerce q1 sobre q2 es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se le

denomina F21. VER GRAFICA

(

₂_m

)

2 C 6 10 * 1 * C 6 -10 * 2,5 * 2 C 2 m N 9 10 * 9 2 a q q e K 21 F

1

2

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = Newton 4 12 -10 * 2,5 * 9 10 * 9 21 F = Newton 3 -10 * 5,625 4 3 -10 * 22,5 21 F = = F21 F23 a = 2 m q1 = + 2,5 * 10 - 6C q2 = + 1 * 10 - 6C b = 1 m q3 = + 2 * 10 - 6C

(22)

( )

₁_m 2 C 6 10 * 1 * C 6 -10 * 2 * 2 C 2 m N 9 10 * 9 2 a q q e K 23 F

3

2

⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = Newton 12 -10 * 2 * 9 10 * 9 23 F = F₂₃ = 18*10 -3Newton

Sea F la fuerza resultante, entre F21 que esta dirigida hacia la derecha y F23 que esta dirigida hacia la

izquierda en el eje de las X.

F = F21 - F23 = 5,625 * 10- 3 - 18*10-3 = -12,375 * 10- 3 Newton F = -12,375 * 10- 3 Newton

Problema 4. Tres cargas puntuales se hallan en los vértices de un triangulo equilátero de lado a = 10

cm. Calcular la fuerza resultante sobre la partícula 3. q1 = 2 *10-6 C q2 = 2 *10-6 C q3 = 4 *10-6C F F32 F31 600 300 300 600 F32 F31 F32Y F31Y

la distancia entre cada carga por ser un triangulo equilátero a = 10 cm = 0,1 m

(

_0,1_m

)

2 C 6 10 * 4 * C 6 -10 * 2 * 2 C 2 m N 9 10 * 9 2 a q q e K 31 F

1

3

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = Newton 01 , 0 12 -10 * 8 * 9 10 * 9 31 F = Newton 1 -10 * 72 10 -10 * 8 * 9 10 * 9 31 F = = F31X F32X 600 600 F32 F31 q3 = + 4 * 10 - 6C 600 600 q1 = + 2 * 10 - 6C q2 = + 2 * 10 - 6C F

(23)

F31 = 7,2 Newton

(

_0,1_m

)

2 C 6 10 * 4 * C 6 -10 * 2 * 2 C 2 m N 9 10 * 9 2 a q q e K 32 F

2

3

⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = Newton 01 , 0 12 -10 * 8 * 9 10 * 9 32 F = Newton 1 -10 * 72 10 -10 * 8 * 9 10 * 9 32 F = = F32 = 7,2 Newton

F31X = F31 cos 60 = 7,2 * 0,5 = 3,6 Newton F31X = 3,6 Newton

F31Y = F31 sen 60 = 7,2 * 0,866 = 6,2352 Newton F31Y = 6,2352 Newton

F32X= - F32 cos 60 = 7,2 * 0,5 = - 3,6 Newton

F32X = - 3,6 Newton

F32Y= F32 sen 60 = 7,2 * 0,866 = 6,2352 Newton

F32Y= 6,2352 Newton

La fuerza F se descompone en FX = 0 y en FY (Ver las graficas)

FX= F31X - F32X = 3,6 Newton - 3,6 Newton = 0

FX = 0 (no tiene componente en el eje de las X) . (Ver las graficas)

FY= F31Y + F32Y = 6,2352 Newton + 6,2352 Newton = 12,47 Newton

FY = 12,47 Newton

( )

F_X 2

( )

F_Y 2

( ) (

0 2 12,47

)

2 12,47

F= + = + =

F = 12,47 Newton

Problema 5. Determine la fuerza neta sobre la carga de q2 = 2,5 μC = 2,5 * 10 – 6 C. Todas las cargas

son positivas. F21 F23 a = 0,5 m b = 1,5 m q3 = + 3,2 * 10 - 6 q1 = + 1,3 * 10 - 6C q2 = + 2,5 * 10 - 6C C

(24)

(

_0,5_m

)

2 C 6 10 * 5 , 2 * C 6 -10 * 1,3 * 2 C 2 m N 9 10 * 9 2 a q q e K 21 F

1

2

⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = Newton 25 , 0 12 -10 * 3,25 * 9 10 * 9 21 F = 117*10 -3Newton 25 , 0 3 -10 * 29,25 21 F = =

(

_1,5_m

)

2 C 6 10 * 5 , 2 * C 6 -10 * 3,2 * 2 C 2 m N 9 10 * 9 2 a q q e K 23 F

3

2

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = Newton 25 , 2 12 -10 * 8 * 9 10 * 9 23 F = 32*10 -3Newton 25 , 2 3 -10 * 72 23 F = =

Sea F la fuerza resultante, entre F21 que esta dirigida hacia la derecha y F23 que esta dirigida hacia la

izquierda en el eje de las X.

F = F21 - F23 = 117 * 10- 3 – 32 *10-3 = 85 * 10- 3 Newton F = 85 * 10- 3 Newton

Problema 6. Para la configuración de cargas eléctricas que se muestra en la figura determine en que

dirección se moverá inicialmente una carga Q (+) al ser colocada en el centro de un hexagono.

La fuerza que ejerce Q (+) sobre q1 (-) es de ATRACCION por tener cargas de diferente signo. A esta

fuerza se le denomina F1. VER GRAFICA

q2 =+2q

q5 =+2q

q2 =+2q

q5 =+2q

La fuerza que ejerce Q (+) sobre q2 (+) es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se

le denomina F2. VER GRAFICA

q4 =+2q q3 = - q q6 = - q q1=- 2q q3 = - q q1=- 2q Q(+) q4 =+2q q6 = - q F3 F1 Q(+) F2

(25)

q2 =+2q

q5 =+2q q2 =+2q

q5 =+2q

le denomina F4. VER GRAFICA.

Se observa en la grafica, que la fuerza F3 y la fuerza F6 tienen la misma magnitud pero en sentido

contrario, por lo tanto se cancelan estas fuerzas.

Se observa en la grafica, que la fuerza F2 y la fuerza F5 tienen la misma magnitud pero en sentido

contrario, por lo tanto se cancelan estas fuerzas.

2 q 2 Q e K 1 F a = 2 q 2 Q e K 4 F a = F1 = F4

La fuerza F se descompone en F y en F (Ver las graficas)

q4 =+2q q3 = - q q6 = - q q1=- 2q Q(+ F1 F4 F2 F3 F5 _q₃_{= - q} q1= - 2q F6 q4 =+2q q6 = - q F4 F1 Q(+ 30 F4X F4Y F4 F1Y Q(+ F1 F1X F 30 F4X F4Y F1Y Q(+ F1X a/2 a 30 30 Q(+ F1 F4 a/2

(26)

F1X = F1 cos 30 F1Y = F1 sen 30

F4X= F4cos 30

F4Y= F4 sen 30

La fuerza F se descompone en FXy en FY (Ver las graficas)

FX= F1X + F4X = F1 cos 30 + F4cos 30 FY= F1Y + F4Y = F1 sen 30 + F4 sen 30

( )

2 Y F 2 X F F= +

Problema 7. Que fuerza electrostática, debido a las otras dos cargas actúa sobre q1

q1 = - 1,2 *10-6 C

q2 = 3,7*10-6C

q3 = - 2,3 *10-6 C

La fuerza que ejerce q1 (-) sobre q3 (-) es de repulsión por tener cargas de igual signo. A esta fuerza se

La fuerza que ejerce q1 (-) sobre q2 (+) es de ATRACCION por tener cargas de diferente signo. A esta

(

_0,1_m

)

2 C 6 10 * 3 , 2 * C 6 -10 * 1,2 * 2 C 2 m N 9 10 * 9 2 a q q e K 13 F

1

3

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = θ = 320 q3 = - 2,3 μC q2 = 3,7 μC a = 10 cm b = 15 cm q1 = - 1,2 μC F12 F13 θ = 320 q3 = - 2,3 μC q2 = 3,7 μC q1 = - 1,2 μC

(27)

q3 = - 2,3 μC Newton 01 , 0 12 -10 * 2,76 * 9 10 * 9 13 F = Newton 3 -10 * 2484 01 , 0 3 -10 * 24,84 13 F = = F13 = 2,484 Newton

(

_0,15_m

)

2 C 6 10 * 7 , 3 * C 6 -10 * 1,2 * 2 C 2 m N 9 10 * 9 2 a q q e K 12 F

1

2

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = Newton 0225 , 0 12 -10 * 4,44 * 9 10 * 9 12 F = Newton 3 -10 * 1776 0225 , 0 3 -10 * 39,96 12 F = = F12 = 1,776 Newton

F13X = F13 cos 58 = 2,484 Newton * 0,5299 = 1,31 Newton

F13X = 1,31 Newton

F13Y = - F13 sen 58 = - 2,484 Newton * 0,848 = - 2,106 newton

F13Y = - 2,106 Newton

La fuerza F12 = F12X (Ver las graficas), es decir no tiene componente en el eje Y.

F12 = F12X = 1,776 Newton

La fuerza F se descompone en FXy en FY (Ver las graficas)

FX= F13X + F12 = 1,31 Newton + 1,776 Newton = 3,08 Newton

F13Y F13X α = 580 α = 580 F12 F13 θ = 320 q2 = 3,7 μC μ 320 α = 580 F F12 F13 θ = 320 q3 = - 2,3 μC q2 = 3,7 μC

(28)

FY= - F13Y = - 2,106 Newton FY = - 2,106 Newton

( )

F_X 2

( )

F_Y 2

(

3,08

) (

2 -2,106

)

2 9,48 4,43 13,91 3,72Newton F= + = + = + = = F = 3,72 Newton 06837 -3,08 2,106 -X F Y F -= = = μ tg 0,6837 tg arc = μ μ = - 34,360