Título del Proyecto:
ANALISIS DE VIGAS
CON EL METODO DEL ELEMENTO FINITO
BEAM-FEM
Línea de investigación:
Ingeniería Estructural, Mecánica y Sísmica
Clave de registro:
TEP-IC-2012-102
Director Responsable: Ing. José Haro Hernández
Colaborador: M.C. Juan Raúl Arcadia Peña
Resumen
Los elementos estructurales más comunes en las edificaciones son las vigas continuas, este proyecto estudia la teoría del elemento finito y su aplicación a la ingeniería estructural, difunde las ventajas que proporciona el FEM (Finite Element Method) y se pretende demostrar que con esta técnica se puede describir las diferentes acciones mecánicas a las que están sujetas las vigas y simular el comportamiento que tendrán las mismas en cada punto de la viga y no únicamente en los nodos, bajo la acción de las cargas, empleando la teoría de FEM y la tecnología de computación moderna.
Introducción
Actualmente existen métodos de análisis de vigas que permiten obtener las fuerzas internas en una viga, estos procedimientos se usan para obtener de manera independiente los momentos, los cortantes en el caso del método de kani, fuerzas y momentos, en el método de flexibilidades, desplazamientos, fuerzas externas y fuerzas en los nudos, en el método de rigideces, el método FEM permite obtener información en cualquier punto y a cualquier distancia de manera directa en la longitud de los miembros que forman la estructura. Debido al gran esfuerzo que se requiere para realizar las operaciones manualmente y dado que las soluciones requieren del manejo de bastantes datos, se utilizará la tecnología computacional moderna, es decir, programas en sus versiones DEMO como MathCad© y Staad ©.
Un estudiante de ingeniería civil necesita entender bien el comportamiento estructural. Algunos estudiantes tienen dificultades para comprender las ideas del método del elemento finito y por lo tanto es necesario invertir mucho tiempo y esfuerzo para desarrollar una solución de análisis estructural para un problema específico aún de los sencillos. Usando MathCad ©, se crea una hoja de trabajo para resolver vigas con el método del elemento finito (FEM). En este software, el estudiante define funciones del FEM, y escribe el procedimiento para resolver los problemas reales propuestos.
Las capacidades del MathCad © permiten resolver problemas de manera fácil y clara evitando cálculos difíciles y ofreciendo una transparencia de los procedimientos teóricos.
Para la verificación de los resultados de los procedimientos de FEM aplicado a las vigas continuas se utilizará una versión STAAD.Pro ©, el cual permite analizar
virtualmente cualquier tipo de estructura a través de su ambiente flexible de modelado y sus avanzadas características de análisis1.
1.3 Marco Teórico
En estructuras continuas tales como las vigas, para desarrollar el análisis se debe idealizar en un número de elementos antes de usar los métodos matriciales; Estos elementos finitos, como se les conoce, pueden ser en dos o tres dimensiones. Como los elementos están conectados en un número infinito de puntos alrededor de sus fronteras se supone que están conectados en nodos. De tal manera que se asegure la compatibilidad en los desplazamientos en los nodos. La solución es idéntica a los métodos matriciales, la diferencia radica en la idealización de la estructura en elementos finitos, en el cálculo de la matriz de rigidez y en el potencial para obtener los esfuerzos, la deformación vertical, la rotación, la deformación longitudinal, el Corte y los Momentos.
Método del Elemento Finito para vigas
Método del elemento finito
En este enfoque, el dominio de solución se divide primero en un número finito de subdominios llamados elementos finitos. Dentro de cada elemento, la solución se aproxima por un número finito de ecuaciones continuas, basadas en el valor de estas funciones en puntos discretos llamados nodos, asociados con los elementos. La ventaja principal de este proceso de aproximación de dos pasos es que muchos aspectos del procedimiento de solución se llevan a cabo a nivel de los elementos, es decir considerando un elemento a la vez.
Aquí, los métodos energéticos proporcionan una manera sistemática de obtener ecuaciones algebraicas para los valores desconocidos de la solución en los nodos, el trabajo inicia con la revisión de los métodos energéticos, haciendo énfasis en el principio de la energía potencial mínima.2
Principio de la energía potencial mínima3
1
(http://www.bentley.com/en-US/Products/STAAD.Pro/)
2
Bauchau O. A., Craig J.L. Structural Analysis pag. 584
3
La energía potencial de un cuerpo elástico se define como:
Donde es la energía interna de deformación y es el trabajo realizado sobre el cuerpo por las fuerzas externas. El principio de la energía potencial mínima se puede establecer como sigue: de todos los estados posibles de desplazamientos (u, v, w) un cuerpo puede suponer que satisface la compatibilidad y los desplazamientos dados por las condiciones en la frontera, el estado que satisface las ecuaciones de equilibrio hace que la energía potencial tome un valor mínimo.
Si la energía potencial , se expresa en términos de los desplazamientos u, v, w, el principio de la energía potencial mínima dada en el estado de equilibrio es,
( ) ( ) ( )
Es importante notar que la variación se toma con respecto a los desplazamientos, mientras que las fuerzas y los esfuerzos se suponen constantes. La energía de deformación de un cuerpo lineal elástico está definido como
∭ ⃗ ⃗
Donde V es el volumen del cuerpo. Usando la relación esfuerzo – deformación: ⃗ , -( ⃗ ⃗ )
La energía de deformación considerando la deformación inicial se puede expresar como:
∭ ⃗ , -( ⃗ ⃗ )
∭ ⃗ , -( ⃗) ∭ ⃗ , -( ⃗ ) (Ecuación A)
El trabajo realizado por las fuerzas externas se puede expresar también como ∭ ̅⃗⃗ ⃗⃗ ∬ ⃗⃗⃗⃗̅ ⃗⃗ (Ecuación B)
Where ⃗⃗̅ {
̅ ̅ ̅
⃗⃗⃗⃗̅ { ̅ ̅ ̅
} = al vector de fuerzas superficiales prescritas (tracciones),
⃗⃗ { }Es el vector de desplazamientos y S1 es la superficie del cuerpo sobre la cual se aplican las fuerzas.
Usando las ecuaciones A y B se puede escribir la energía potencial de un cuerpo como:
( ) ∭ ⃗ , -( ⃗ ⃗ ) ∭ ̅⃗⃗ ⃗⃗ ∬ ⃗⃗⃗⃗̅ ⃗⃗
Si usamos el principio de la energía potencial mínima para derivar las ecuaciones, suponemos una forma de variación para la variable de campo desplazamiento dentro del cual cada elemento y sus condiciones de derivada las cuales minimizaran el funcional I igual a π.
Formulación de las ecuaciones del método del elemento finito
Se usa el principio de la energía potencial mínima para derivar las ecuaciones de equilibrio de un problema en tres dimensiones. Los grados de libertad (desplazamientos) en los nodos se tratan como incógnitas, la energía potencial se tiene que expresar primero en términos de los grados de libertad de los nodos, por lo que las ecuaciones de equilibrio necesarias se pueden obtener especificando la primera derivada parcial de con respecto de cada uno de los grados de libertad de los nodos igual a cero.
Pasos para la obtención de las ecuaciones de equilibrio4: 1. El cuerpo solido se divide en E elementos finitos.
2. El modelo de desplazamientos en un elemento se suponen como:
⃗⃗ { ( ) ( ) ( ) } , - ⃗⃗( ) (Ecuación C ) 4
Donde ⃗⃗( ) es el vector de desplazamientos de los nodos, en los grados de libertad del elemento, y , - es la matriz de la función de forma.
3. La matriz de rigidez y el vector de cargas se derivan a partir del principio de la energía potencial mínima. Para esto, la energía potencial funcional del cuerpo se escribe como:
∑ ( )
Donde ( ) es la energía potencial del elemento dada por
( )( ) ∭ ⃗
( ) , -( ⃗ ⃗ ) ∭( ) ̅⃗⃗ ⃗⃗ ∬ ( )⃗⃗⃗⃗̅ ⃗⃗ (Ecuación D)
Donde ( ) es el volumen del elemento, ( )
es la porción de superficie del elemento, ⃗⃗⃗⃗̅ están prescritas y ̅⃗⃗ es el vector de fuerzas del cuerpo por unidad de volumen. El vector de deformación ⃗ que aparece en la ecuación se puede expresar en términos del vector de desplazamientos en los nodos derivando la ecuación (C)
⃗ { } { } [ ] { } , - ⃗⃗( ) (Ecuación E) Donde
, - [ ] , -
Los esfuerzos ⃗ se pueden obtener de las deformaciones ⃗ usando la ecuación ⃗ , -( ⃗ ⃗ )
Como
⃗ , -( ⃗ ⃗ ) , -, - ⃗⃗( ) , - ⃗
La sustitución de la ecuación C y la E, en la D produce la energía potencial del elemento como: ( ) ∭ ⃗⃗( ) , - , -, - ⃗⃗( ) ( ) ∭ ⃗⃗ ( ) , - , - ⃗ ( ) ∬ ⃗⃗( ) , - ⃗⃗⃗⃗̅ ∭ ⃗⃗( ) , - ̅⃗⃗ ( ) ( )
Como generalmente también actúan cargas concentradas externas en los nodos, Si ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ denota el vector de las fuerzas en los nodos y que actúan en las direcciones de los desplazamientos nodales ⃗⃗ de la estructura completa, la energía total potencial de la estructura o del cuerpo se puede expresar como:
∑ ( )
⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (Ecuación E)
Donde ⃗⃗ { } es el vector de desplazamientos nodales de toda la estructura y M es el número total de grados de libertad de la estructura.
La suma de la ecuación E implica la expansión del tamaño de la matriz seguida por la suma de los términos que se traslapan, dando la siguiente ecuación
( ) ⃗⃗ [∑ ∭ ⃗⃗( ) , - , -, - ⃗⃗( ) ( ) ] ⃗⃗ ⃗⃗ ∑ (∭ ⃗⃗( ) , - , - ⃗ ( ) ∬ ⃗⃗( ) , - ⃗⃗⃗⃗̅ ∭ ⃗⃗( ) , - ̅⃗⃗ ( ) ( ) ) ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Esta ecuación expresa la energía total potencial de la estructura en términos de los grados de libertad de los nodos ⃗⃗.
La configuración de equilibrio estático de la estructura se puede encontrar resolviendo las condiciones para la minimización de la energía potencial:
⃗⃗ ⃗⃗o , , =… Que con las ecuaciones anteriores, se puede como:
∑ (∭ , - , -, - ( ) ) ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∑ (∭ , - , - ⃗ ∬ , - ⃗⃗⃗⃗̅ ∭ , - ̅⃗⃗ ( ) ( ) ( ) ) Es decir ∑ ([ ( )]) ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∑ . ⃗⃗ ( ) ⃗⃗( ) ⃗⃗( )/ ⃗⃗ (F) Donde [ ( )] ∭ , - , -, -
( ) Es la matriz de rigidez del elemento
⃗⃗( ) ∭ , -( ) , - ⃗ Es el vector de cargas del elemento debido a las deformaciones iniciales
⃗⃗( ) ∬ ( ), - ⃗⃗⃗⃗̅ Es el vector de cargas del elemento debido a las cargas en la superficie.
⃗⃗( ) ∭ , -( ) ̅⃗⃗ Es el vector de cargas del elemento debido a las cargas del cuerpo
4. La ecuación de equilibrio de toda la estructura se puede expresar usando la ecuación F
[ ] ⃗⃗ ⃗⃗ (G)
Donde
[ ] ∑ ([ ( )])
Es la matriz de rigidez de toda la estructura Y
⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∑ . ⃗⃗ ( ) ⃗⃗( ) ⃗⃗( )/Es el vector de cargas en los nodos.
5. La solución para los desplazamientos en los nudos y los esfuerzos en los elementos se pueden obtener después de resolver la ecuación G.
Viga y la función de Forma
Los miembros que son esbeltos y soportan cargas que están aplicadas perpendicularmente a su eje longitudinal se les llaman Vigas5. En general, las vigas son largas, rectas que tiene una sección transversal constante. Se clasifican de acuerdo en cómo están apoyadas en sus soportes, vigas simplemente apoyadas, vigas en cantiléver y vigas continuas, etc.
La manera de deformarse de una viga se describe por medio de un desplazamiento vertical y una rotación en cada extremo de la viga. Por lo tanto estos valores son tratados como grados de libertad cuyo valor se desconoce. Para un elemento viga de longitud L, la cual está en el plano x-y
5
Los cuatro grados de libertad en el sistema de coordenadas locales se indican como . El giro en contra del reloj se considera positivo. Como hay cuatro desplazamientos nodales, suponemos un modelo de desplazamientos cubico para ( ) como:
( )
Donde las constantes se encuentran usando las siguientes condiciones en los apoyos: ( ) ( ) Y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d1 =v(x=0)= v1 d2 =dv/dx (x=0) =1) d3 = v(x=L)= v2 d4 =dv/dx (x=L) =2) x= 0 = 0 x= L = 1 x, L 0
Escribiendo en forma matricial las cuatro ecuaciones tenemos que: { } [ ] { } [ ]
Resolviendo el sistema para
[ ] { } { } Tenemos que:
Sustituyendo en la ecuación del modelo de interpolación ( ) 12x 3x 2 4x 3 d2 L2 2 d 1 L3 d4 L2 2 d 3 L3 x3 3 d 3 L2 3 d 1 L2 d4 L 2 d 2 L x2 d 2x d 1
Factorizando
( ) , - ⃗
, - , -
Agrupando para los valores de ⃗ escribimos los componentes de , -
De acuerdo a la teoría de las vigas, las secciones de la viga permanecen planas después de la deformación y por lo tanto el desplazamiento axial debido al desplazamiento transversal se puede expresar como:
Donde y es la distancia desde el eje neutro. La deformación axial, está dada por
, - ⃗
Si se conocen los desplazamientos del elemento, se pueden encontrar los esfuerzos, como: ( ) , - ⃗ Donde L3d 1 2 x 3d 1 2 x 3d 3 3 L x2d 1 3 L x2d 3 L x 3d 2 L3xd 2 L x 3d 4 2 L 2x2d 2 L2x2d 4 L3
, - *( ) ( ) ( ) ( )+
La matriz de rigidez de cada miembro se obtiene a partir de [ ( )] ∭ , - , -, - ( ) [ ( )] [ ]
Conocer la matriz de rigidez, significa conocer los desplazamientos nodales que producen, las cargas en los nodos.
El poder del método del elemento finito inicia después de encontrar los desplazamientos resolviendo la ecuación [ ] ⃗⃗⃗ ⃗⃗ .
Como la función de desplazamientos ( ) está determinada, también lo está la rotación ( ), podemos evaluar para cualquier valor de x a lo largo de la viga y no solamente en los nudos.
( ) , - ⃗
( ) , ( ) ( ) ( ) ( )- { }
Pasos para obtener ( )
1.- Encontrar la matriz global de la estructura , - 2.- Resolver * + , -* + Obteniendo * +. 3.-Calcular ( ) , - ⃗ . 2 x L2x2Lx2x3 ( )D12 L2 D11 L 3 3Lx2 2x3 ( ) L3 L x 2 x3 ( )D14 L2 2x 3 3Lx2 ( )D13 L3 d d 2 (6L12x) D1 3 L3 4L6x ( ) D1 2 L2 (6L12x) D1 1 L3 (2L6x) D1 4 L2
4.- Obtener ( ) ( ) , -* + para evaluar la rotación de la viga en cualquier punto a lo largo de la viga.
5.- Obtener la deformación ( ) , -* + donde , - , - 6.- Obtener los esfuerzos a partir de , -* +
7.- Obtener los momentos de ( ) , -* + 8.- Obtener el Corte de ( ) ( )
1.5 Resultados y discusión
Se integró un alumno de la licenciatura en ing. Civil al proyecto en la parte fundamental que representa el análisis matemático y mecánico del método del elemento finito. Se escribió un artículo científico de los resultados del proyecto. Se presentara la memoria en extenso en una conferencia por realizarse en la semana académica de la ingeniería civil en el Instituto Tecnológico de Tepic.
Se realizaron tres ejemplos representativos de vigas, los cuales se encuentran en su respectivo anexo: Llamados Anexo ejemplo_1 Viga simplemente apoyada, Anexo ejemplo_2 Viga en voladizo, Anexo ejemplo_3 Viga un Claro más Voladizo. Estos ejemplos fueron realizados en MathCad © y verificados en Staad Pro ©
Dado que la solución que proporciona el método del elemento finito es aproximada es necesario implementar una herramienta de programación que permita de manera amigable el ingreso de la viga en estudio, así como el modelado y la representación gráfica de los resultados. Esta herramienta será desarrollada a partir de los resultados obtenidos en el proyecto.
Solo se analizaron vigas, por lo que se pretende extender la aplicación del método del elemento finito a los sólidos con el fin de tener un modelado real y preciso del comportamiento de los elementos. Con base en los resultados de este proyecto se iniciara el análisis en tres dimensiones con la idea de obtener una mejor aproximación al comportamiento de los materiales.
1.6 Conclusiones
Un estudiante de ingeniería civil puede ahorrar tiempo cuando analiza una viga si requiere no solamente información en los nodos, ya que el método le permite conocer de manera simple la respuesta interna de los elementos en cualquier punto a lo largo del elemento.
El método del elemento finito tiene una mejor respuesta que los métodos tradicionales, debido a la gran cantidad de información que produce, ya que se basa en los métodos energéticos y el principio de la conservación de la energía.
Dada la gran cantidad de datos y las operaciones sobre los mismos es necesario contar con una herramienta que se pueda adaptar a los procedimientos de manera fácil y clara.
Mathcad es la herramienta adecuada para realizar el método del elemento finito y presentar sus fundamentos a los estudiantes y público en general interesado en el tema. Como el Staad Pro ©, realiza el análisis con el método de rigidez, es posible verificar los resultados obtenidos con MathCad ©, desde las deformaciones, los esfuerzos, El corte y el momento.
Usando los ejemplos aquí presentados, se pueden resolver diferentes problemas con un menor tiempo y esfuerzo. De tal manera que los estudiantes se enfoquen en el procedimiento y no en la gran cantidad de cálculos involucrados en la solución.
1.7Bibliografia
The Finite Element Method in Engineering, Fifth Edition [Hardcover]
Singiresu S. RAO (Author)
Theory and Analysis of Elastic Plates and Shells, Second Edition (Series in Systems and Control)
J. N. Reddy
Structural Analysis: With Applications to Aerospace Structures (Solid Mechanics and Its Applications)
O. A. Bauchau, J.I. Craig
Introduction to Aircraft Structural Analysis (Elsevier Aerospace Engineering)
T.H.G. Megson
Matrix Analysis of Structural Dynamics: Applications and Earthquake Engineering (Civil and Environmental Engineering) Advanced Engineering Mathematics (2nd Edition)
Michael Greenberg
Computer Methods in Structural Analysis
J.L. Meek
Advanced Mechanics of Materials
Roman Solecki, R. Jay Conant
Advanced Mechanics of Materials
Arthur P. Boresi, Richard J. Schmidt
Engineering Mechanics: Statics and Student Study Pack with FBD Package (11th Edition)
HIBBELER
Mechanics of Materials (7th Edition)
Russell C. Hibbeler (Author)
Introduction to Structural Analysis & Design
