Boletin nº 1 Repaso Especial SM ADE 2013.pdf

Razonamiento lógico

1.

Escriba en cada recuadro uno de los números enteros del 3 al 7 de manera que ninguno se repita y se verifique la igualdad. ¿Cuál es el número que debe escribirse en el recuadro sombreado?

+ – × ÷ =16

A) 3 B) 5 C) 4 D) 7 E) 6

UNMSM 2007 - II

2.

En cada una de las casillas circulares que se muestran en el gráfico, se en-cuentra una ficha de ajedrez. De las 8 fichas implicadas, dos son peones, dos caballos, dos torres y dos alfiles.

2 3 4 1 5 6 8 7 Además  ‡ &DGDSHyQVHHQFXHQWUDMXQWRDXQ caballo.

 ‡ &DGD FDEDOOR VH HQFXHQWUD MXQWR D una torre.  ‡ &DGDWRUUHVHHQFXHQWUDMXQWRDXQ alfil.  ‡ 1LQJXQDWRUUHVHHQFXHQWUDMXQWRD XQSHyQ  ‡ 1RKD\GRVILFKDVMXQWDVGHOPLVPR tipo.

¿Qué tipo de ficha ocupa la casilla nú-mero 6? A) SHyQ B) caballo C) torre D) alfil E) no se puede precisar

3.

Aldo, Daniel y Edwin son tres amigos. Se sabe que dos de ellos tienen 66 años y siempre mienten, mientras que la edad del tercero es 48 años y siempre dice la verdad. Si Aldo dijo: La edad de Daniel no es 66 años, entonces es cierto que A) Aldo y Edwin mienten.

B) Aldo dice la verdad. C) Edwin tiene 48. D) Daniel tiene 48.

E) Edwin y Daniel dicen la verdad. UNMSM 2009 - I

4.

En el aula 723, se ha perdido un celular. Los sospechosos del robo, al ser inte-rrogados por su profesor de RM, decla-raron lo siguiente:

Raúl: Alfredo es culpable. Alfredo: Raúl es culpable. Edgar: Jesús es culpable. Jesús: Soy culpable. Carlos: Alfredo es inocente.

 (OSURIHVRUVDEtDTXHVyORXQRGHHOORV mentía y que este no era culpable del robo. ¿Quién o quienes con seguridad son los culpables del robo?

A) Raúl y Alfredo

B) Jesús, Carlos y Alfredo C) Jesús y Alfredo D) Jesús y Raúl

E) Jesús, Raúl y Alfredo

5.

De cinco niños, se sabe que solo uno de ellos tiene un celular. Al preguntarles quién tiene celular, ellos respondieron: Saúl: Renzo.

Renzo: Ignacio. Ignacio: Manuel.

Luis: Yo no tengo celular.

Manuel: Ignacio mintió cuando dijo que yo tengo celular.

hoso r su pr ente: s cu os p aron lo sigu Raúl: Alfredo e Alfredo: Raú gar: M VH HQFXHQWU R V r do s. s E J 2

Razonamiento Matemático

Si uno dice la verdad y los otros cuatro mienten, ¿quién dice la verdad?

A) Luis B) Saúl C) Renzo D) Ignacio E) Manuel

6.

Distribuya los nueve primeros números pares no múltiplos de 3 y mayores que 10, uno por casilla circular y sin repetir, de modo que la suma de los números ubicados en tres casillas conectadas por una línea sea la misma y la menor posible. Dé como respuesta la suma de cifras de dicha suma.

A) 14 B) 4 C) 8 D) 16 E) 10

7.

Distribuya los números naturales del 1 al 7 en las regiones interiores simples de cada circunferencia, de modo que la suma de los números contenidos en cada circunferencia sea 13. Dé como respuesta la suma de los números ubicados en las regiones sombreadas. A) 18

B) 19 C) 20 D) 21 E) 22

8.

Raúl, Abel, Carlos, Juan y Marcio acor-daron encontrarse en la academia. Se FRQRFH TXH &DUORV OOHJy LQPHGLDWD-mente después de Abel, Juan y Marcio llegaron después de Abel, y tanto Raúl como Juan han observado la llegada de Abel y Marcio, respectivamente. ¢4XLpQOOHJyHQFXDUWROXJDU"

A) Raúl B) Marcio C) Juan D) Abel E) Carlos

9.

0LPL 1HQD 3DWW\ \ 5XWK UHFLELHURQ propinas de S/.40, S/.60, S/.100 y S/.110, no necesariamente en ese orden. Ade-más, se conoce que  ‡ 0LPLQRUHFLELy6QL3DWW\6  ‡ 1HQDQRWLHQH6QLWDPSRFR6  ‡ 0LPL\1HQDWLHQHQMXQWDV6  ¢&XiQWRWLHQHQMXQWDV1HQD\5XWK" A) S/.160 B) S/.150 C) S/.140 D) S/.100 E) S/.170

10.

En la biblioteca hay 3 revistas M, K, L,

puestas de tal manera que L está en el centro. De estas tres revistas, una es peruana, otra chilena y la otra argen-tina, también pertenecen a diferentes géneros: política, labores y humor. Si  ‡ ODDUJHQWLQDHVWiLQPHGLDWDPHQWHD

la derecha de la de labores.  ‡ DODGHUHFKDGHK está la peruana.  ‡ L está a la izquierda de la argentina.  ‡ DODGHUHFKDGHODFKLOHQDHVWiODGH política. Entonces A) la peruana es K y es de humor. B) la argentina es K y es de labores. C) la argentina es M y es de política. D) la chilena es M y es de política. E) la peruana es M y es de política. oce q UHFLELy QH 6 WLH PL QR 1HQD QR WL ‡ 0LPL \ 1HQ &XiQW WLHQH C) 8 ) 4 ‡   A 3

Razonamiento Matemático

Planteo de ecuaciones

11.

Sebastián cría conejos en la azotea de su casa. Él ha observado que si coloca tres conejos en cada conejera, le sobra un conejo; pero si coloca cinco cone-jos en cada conejera, le sobran tres conejeras. ¿Cuántas conejeras tiene Sebastián?

A) 5 B) 8 C) 7 D) 6 E) 4

UNMSM 2008 - II

12.

Hoy tengo el cuadrúple de lo que tuve ayer y ayer tuve la séptima parte de lo que tendré mañana. Si todas las canti-dades, excepto la de mañana, fuesen S/.6 menos, resultaría entonces que la cantidad de hoy sería el quíntuplo de la de ayer. ¿Cuántos soles tendré ma-ñana?

A) 98 B) 147 C) 168 D) 231 E) 210

13.

Se tienen 4 velas de igual longitud y calidad. Cada vela se prende 20 minu-tos después que la anterior. La prime-UDYHODVHWHUPLQyWRWDOPHQWHFXDQGR la cuarta se había consumido en su tercera parte. En ese instante, ¿en qué UHODFLyQVHHQFXHQWUDQODVORQJLWXGHV de las otras dos?

A) 1/4 B) 2/5 C) 1/6 D) 1/3 E) 1/2

14.

Cierto día, José vende 100 pantalones y

le queda aún más de la mitad de lo que tenía. Después de dos días, vende 52 más y se percata que le queda menos

de 60. Si José no recuerda cuántos pantalones tenía originalmente, ¿cuál puede ser la máxima cantidad de pantalones que tenía inicialmente? A) 201 B) 152 C) 211 D) 210 E) 202

15.

3HGURJDVWy61x9 para comprar polos

de distintas calidades, cuyos costos son S/.6, S/.2 y S/.9, respectivamente. 6LQRUHFXHUGDFXiQWRVSRORVFRPSUy solo que dichas cantidades eran nú-meros consecutivos, además, la ma-yor cantidad corresponde al de menor costo unitario y la menor cantidad al de mayor costo unitario, ¿cuántos po-ORVFRPSUyHQWRWDO"

A) 15 B) 30 C) 27 D) 24 E) 18

16.

Ana decide comprar 100 lapiceros en total, cuyos precios son de S/.2, S/.3 y 6 6L FRPSUy DO PHQRV XQR GH FDGD tipo, gastando S/.234, y observa que la cantidad de lapiceros comprados de S/.3 es un número primo mayor que 28, indique la diferencia positiva de las cantidades de lapiceros comprados de S/.2 y S/.5.

A) 31 B) 57 C) 67 D) 73 E) 49

17.

Mi tía es ahora dos veces mayor que yo, pero hace cinco años era tres veces mayor. ¿Cuántos años tiene mi prima VLQDFLyWUHVDxRVDQWHVTXH\R"

A) 15 años B) 16 años C) 17 años D) 18 años E) 19 años rio y sto un WRWDO ayor c ORV FRPSUy H ) 15 ndré C) 168 E) ) 147 las a e sole d esen l qu ces n fue s qu i-o de ma-A D 4

Razonamiento Matemático

18.

Estando reunidas Ana, Betty y Carmen, VHHVFXFKDODVLJXLHQWHFRQYHUVDFLyQ Betty: Mi edad es la misma que tenía Ana cuando Carmen nació.

Ana: Así es, y en ese entonces nuestras edades sumaban 30 años.

Carmen: Mi edad actual es la misma que tenía Betty cuando yo nací. ¿Cuál será la edad que tendrá Ana cuando Carmen tenga la edad que tie-ne Betty?

A) 30 años B) 40 años C) 50 años D) 60 años E) 70 años

19.

Alex tarda 6 minutos en nadar entre

dos puntos de un río, ayudado por la corriente. Al regresar, nadando contra la corriente, tarda 30 minutos. Halle el tiempo que emplearía Alex si la rapi-dez de la corriente fuera cero.

A) 8 min B) 9 min C) 10 min D) 12 min E) 15 min

20.

8Q DXWRPyYLO SDUWH GH A al mismo WLHPSR TXH XQ SHDWyQ OR KDFH GH B. &XDQGRRFXUUHHOHQFXHQWURHOSHDWyQ sube al auto y regresa a B6LHOSHDWyQ WDUGy XQD KRUD PHQRV HQ HO UHJUHVR que en la ida, halle la distancia de A a B sabiendo que la rapidez del auto y GHOSHDWyQVRQNPK\NPKUHV-pectivamente.

$NP %NP  &NP 'NP      (NP

Situaciones aritméticas

21.

Si a; a2 y 3a son los tres primeros tér-PLQRV GH XQD SURJUHVLyQ DULWPpWLFD entonces, ¿cuánto es la suma de los 10

SULPHURVWpUPLQRVGHGLFKDSURJUHVLyQ aritmética?

A) 8a2+4 B) 84 C) 120 D) 110 E) 4a2

22.

La cantidad de dinero tanto de cada uno de los varones como de cada una GHODVPXMHUHVDVLVWHQWHVDXQDUHXQLyQ forma las siguientes progresiones arit-méticas.

ab; aa; mn3; mn7; ...; aaa y x5; x8; ...; 1(x+2)2

Halle el número de asistentes.

A) 227 B) 265 C) 267 D) 276 E) 287

23.

Si S_n=1+2+3+...+n, halle el valor de S. S=S₁+S₂+S₃+...+S₂₀ A) 1080 B) 1154 C) 1210 D) 1540 E) 1830

24.

Si la suma de los n primeros números pares es a00, halle el valor de a+n.

A) 20 B) 12 C) 30 D) 18 E) 22

25.

8Q FRPHUFLDQWH YHQGLy XQ DUWtFXOR ganando el 40% del precio de venta. Si lo hubiera vendido ganando el 40% del costo, habría dejado de ganar S/.60. ¿Cuál es el costo del artículo?

A) S/.150 B) S/.225 C) S/.160 D) S/.240 E) S/.200 B) 2 Si SS =1+2+3+_n alle el C) 10 min E) min A al SDUWH GH A Q SHDWyQ HO H era D ntr le el lex cero si l o Hall la ra a

23.

h S 5

Razonamiento Matemático

26.

(Q OD 81060 VH KDQ UHDOL]DGR ODV elecciones para el tercio estudiantil. El 48% de los sufragantes eran mujeres y el 25% de ellas votaron por la lista A que, además, obtuvo los votos del 50% de los varones. ¿Qué tanto por ciento de los sufragantes votaron por la lista A?

A) 54% B) 38% C) 42% D) 30% E) 36%

27.

Un hombre puede hacer una obra en 20

días; si le ayudan 4 mujeres, acabaría en 10 días; en cambio, si le ayudan 3 niños, acabaría en 12 días. ¿En cuántos días podrá terminar el hombre dicha obra si le ayudan 4 mujeres y 9 niños?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

28.

8QYDJyQOOHQRGHFDOSHVDW\OOHQR

hasta los 3/5, pesa los 7/4 del peso del YDJyQ YDFtR ¢&XiQWR SHVD HO YDJyQ vacío?

A) 15 t B) 12 t C) 18 t D) 16 t E) 17 t

29.

Una obra iba a ser hecha por 40

obre-ros durante 15 días; pero una vez he-cho los 2/5 de la obra, cierta cantidad de obreros son despedidos, motivo por HOFXDOODREUDVHHQWUHJyFRQGtDVGH retraso. ¿Cuántos obreros fueron des-pedidos?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

30.

Una caja contiene (2n+5) esferas

blan-cas, (n+3) azules, (5n+8) amarillas y (3n+2) rojas. ¿Cuántas esferas se

de-ben extraer al azar y como mínimo para obtener con seguridad dos esfe-ras de diferente color? (n t 1).

A) 2n+6 B) 3n+8 C) 5n+7 D) 6n+11 E) 5n+9 Situaciones algebraicas

31.

Si 264=aa _{y 3}54₌( )₃bb, halle 3a+2b. A) 48 B) 96 C) 66 D) 99 E) 44 UNMSM 2010 - II

32.

Calcule el valor de x. x x x 3 53 5 5 3 A) 24 _B) 5_{3 C) 3}4 D) 85 _{E) 9}

33.

Si a(b+c)= – bc y a+b+c=2, entonces, el valor de a2+b2+c2 es

A) 4 B) 2 C) 2 2 D) 3 E) 4 2

34.

Si x – x – 1=1, (x z 0), entonces los valores de x2+x – 2 y x3 – x – 3 son A) 3 y 4 B) 2 y 3 C) 2 y 1 2 D) 3 y 1 3 E) 4 y 14 UNMSM 2010 - II

35.

Halle el valor de k, de modo que las raí-FHVGHODHFXDFLyQx+1)(x+2) – (k+2) (x+2)=0 sean iguales. A) 2 B) – 1 C) – 3 D) – 4 E) 1 lor x5 3 A) 24 8 5  W \ OO 7/4 del peso d SHVD O YDJ Xi ) 12 t S E 9 QR el D

33

6

Razonamiento Matemático

36.

Se sabe que

log24=2a; log42=2b; log28=2c Calcule log4. A) a+b+c B) a – 2b+c C) a – b+c D) a c b + ( ) 2 E) a+b – c

37.

Resuelva x x x x + +1 _{− + =}1 ₁

e indique el número de soluciones.

A) 1 B) 4 C) 2 D) 0 E) 3

38.

Indique la suma de los valores de x TXHVDWLVIDJDODHFXDFLyQ __x_ – 1_=x A) 4 3 B) 9 4 C) 5 7 D) 1 2 E) 116

39.

Si 2 1 5 6 x∈ ⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥

; , determine el menor va-lor entero de M para que se cumpla

x x M + + ≤ 3 6 A) 4 B) 3 C) 2 D) 5 E) 1

40.

Halle el valor mínimo de E.

E x x x = + + + 2 _{2 10} 1 ; x > – 1 A) 8 B) 6 C) 7 D) 10 3 E) 52 Situaciones geométricas

41.

En el siguiente gráfico, ABCD y CDEF

son cuadrados de lado 6 u, además, M y N son puntos medios de BC y DE, respectivamente. Calcule el perímetro GHODUHJLyQVRPEUHDGD A D N E B M C F A) 3 7 3 2 5 5

(

+ +

)

u B) 3 7 2 2

(

+ + 5

)

u C) 3 7 2 2 2 5

(

+ +

)

u D) 3 7

(

+ 2+ 5

)

u E) 3 7 3 2

(

+ + 5

)

u

42.

En el gráfico, CM=MD y BM=4 u. Cal-FXOH HO SHUtPHWUR GH OD UHJLyQ VRP-breada. M A B C D 30+θ θ A) 10 u B) 6 u C) 9 u D) 12 u E) 15 u 5 5 +

)

5

)

7 33+ 3 B) 3 7 2 2

(

+2 2+ ) 3 7

(

(

) 7 E) 1 6 eter A D 7

Razonamiento Matemático

43.

En el gráfico, M es punto medio de AB. 6LHOiUHDGHODUHJLyQSDUDOHORJUiPLFD ABCD es 360 cm2, ¿cuál es el área de la UHJLyQVRPEUHDGD" A D M B C A) 30 cm2 B) 10 cm2 C) 18 cm2 D) 24 cm2 E) 60 cm2 UNMSM 2007 - II

44.

En el gráfico, ABCD es un rectángulo donde AB=12 cm y AD=16 cm. Si M y N son puntos medios de AB y AD, respec-WLYDPHQWHFDOFXOHHOiUHDGHODUHJLyQ sombreada. A N D B M C A) 16 cm2 B) 12 cm2 C) 24 cm2 D) 20 cm2 E) 28 cm2

45.

En el gráfico, ABCD es un paralelogra-mo cuya área es 400 cm2. Si M y N son puntos medios de AD y AB,

respecti-YDPHQWH FDOFXOH HO iUHD GH OD UHJLyQ sombreada. A M N B C D A) 220 cm2 B) 240 cm2 C) 200 cm2 D) 210 cm2 E) 215 cm2

46.

En el gráfico, ABCD es un cuadrado inscrito en una circunferencia cuyo radio mide 12 cm. Calcule el área del máximo círculo que puede inscribirse entre BC y BCp. B C A D A) 24 5 2 3

(

−

)

π cm2 B) 12 8 3 3

(

−

)

π cm2 C) 18 3 2 2

(

−

)

π cm2 D) 12 8 3 2

(

−

)

π cm2 E) 16 8 3 3

(

−

)

π cm2 ABC cm En el gráfico, nscrito en u dio m n rectáng =16 cm. Si M yM B y AD, respe GH OD ios d FXOH HO iUH es E UNMSM 20 ulo N

6

r m 8

Razonamiento Matemático

47.

En el gráfico, ABC es un triángulo don-GHHOiUHDGHODUHJLyQWULDQJXODUABQ es 12 cm2. Si AC=4AQ; BC=6RC y BQ=3BP FDOFXOH HO iUHD GH OD UHJLyQ sombreada. A Q C R P B A) 20 cm2 B) 15 cm2 C) 18 cm2 D) 12 cm2 E) 24 cm2

48.

En el siguiente gráfico, ABCD es un cua-GUDGR (QWRQFHV OD UHODFLyQ HQWUH ODV áreas de las regiones sombreadas es

A D B O C A) 1/12 B) 1/13 C) 1/14 D) 1/15 E) 1/16

49.

En el siguiente gráfico, se muestra la vista superior de una mesa de billar en la cual se ha lanzado una bola desde el punto A tocando las bandas y llega al punto B. ¿Cuál es la mínima longitud recorrida por la bola de billar?

2 cm 20 cm 4 cm 3 cm A B A) 20 cm B) 25 cm C) 30 cm D) 15 cm E) 35 cm

50.

+DOOH HO iUHD Pi[LPD GH XQD UHJLyQ rectangular, de tal manera que su perí-metro sumado con el triple de la longi-tud de su ancho es 60 cm. A) 90 cm2 B) 80 cm2 C) 900 cm2 D) 120 cm2 E) 400 cm2

Razonamiento Matemático

01 - C 02 - B 03 - C 04 - E 05 - E 06 - A 07 - B 08 - C 09 - A 10 - C 11 - B 12 - C 13 - E 14 - D 15 - D 16 - C 17 - D 18 - B 19 - C 20 - C 21 - D 22 - C 23 - D 24 - C 25 - B 26 - B 27 - A 28 - B 29 - C 30 - E 31 - C 32 - B 33 - A 34 - A 35 - C 36 - C 37 - D 38 - D 39 - E 40 - B 41 - A 42 - D 43 - A 44 - D 45 - A 46 - C 47 - A 48 - E 49 - B 50 - A cm B) 25 cm C) 30 cm 15 cm breadas es C HODFL m2 BCD Ly es u a ODV D_E 9

Razonamiento Matemático

Conjuntos y proporcionalidad

1.

Dados los subconjuntos A; B y C de U donde U={x ∈ Z+ / x < 11} A={1; 4; 6; 8; 10} B={3; 6; 9} C={2; 3; 7; 10} Calcule B C_( '∪ ) − ∆

(

B C

)

_{ ∩}A'. A) {1; – 3} B) {3; 5} C) {9; 10} D) {1; 5} E) {1; 3; 2}

2.

Dados tres conjuntos A; B y C se cumple • A ∩ C=φ; A – B ≠ φ

• n(B ∩ A)=2n[B – (A ∪ C)] • n(B)=45=n(C)+5 • n(C – B)=2×n(A – B)+1

Calcule la suma del menor y mayor va-lor que puede tomar el cardinal de A. A) 51

B) 52 C) 60 D) 39 E) 57

3.

De un grupo de 220 jóvenes, 70 no gus-tan de la cumbia y 90 no gusgus-tan del rock. Si hay 40 jóvenes que no gustan de nin-guno de estos géneros, ¿cuántos gustan de los dos géneros mencionados? A) 70

B) 60 C) 80 D) 100 E) 90

4.

Se tienen cuatro recipientes A; B; C y

D con cantidades de agua; A y B en la

relación de 2 a 3; C y D en la relación de 5 a 7. Si entre A y B hay una misma cantidad de agua que entre C y D, cal-cule en qué relación se encuentra el exceso de las cantidades de agua de B y A con el exceso de las cantidades de agua en D y C.

A) 1

2 B) 34 C) 67

D) 4

3 E) 65

5.

En una proporción geométrica, la suma de las raíces cuadradas del producto de los términos de cada razón es 100 y la suma de los antecedentes es 125. En qué relación se encuentra la diferencia entre las raíces cuadradas de los ante-cedentes, con la diferencia entre las raíces cuadradas de los consecuentes. A) 5 2 B) 54 C) 65 D) 7 9 E) 97

6.

Se cumple que a a a a a a 1 2 2 1 3 1 10 3 2 = − = =

¿Cuál será la cuarta proporcional de a₃;

a₂ y a₁ en ese orden? A) 18 B) 6 C) 9 D) 8 E) 12

Aritmética

7.

El promedio de 50 números es 38, siendo 38 y 62 dos de los números. Si eliminamos estos números, calcule el nuevo promedio. A) 37,2 B) 37,5 C) 34,2 D) 34,5 E) 36

8.

En una reunión hay 15 personas cuya edad promedio es 24,6 años, además se sabe que todos tienen por lo menos 18 años. ¿Cuál será el mayor valor que puede tomar el promedio de edades de 5 de los presentes? A) 37,8 B) 38,7 C) 36,8 D) 38,6 E) 37,2 Aplicaciones de la proporcionalidad

9.

Un padre de familia desea repartir una herencia entre sus tres hijos. Si el repar-to lo realiza en forma IP a sus edades, los dos menores recibirían S/.11 040 y S/.8280, pero si el reparto lo hacía DP a sus edades, los dos mayores recibían S/.9280 y S/.10 440. ¿Cuál fue la heren-cia total repartida?

A) S/.26 860 B) S/.26 680 C) S/.28 660 D) S/.24 680 E) S/.22 860

10.

Dadas las magnitudes M, N y P, se sabe que M DP N (P: constante) M IP P (N: constante) en la tabla de valores M 10 5 30 N 6 2 b P a 6 4 calcule a+b. A) 26 B) 24 C) 27 D) 16 E) 31

11.

Tres socios A, B y C inician un negocio aportando S/.2000, S/.3000 y S/.5000, respectivamente; faltando 6 meses para terminar el negocio se retira C y faltando 2 meses se retira B.

Si las ganancias obtenidas por A y B ex-ceden en S/.240 a la ganancia obtenida por C, ¿cuántos meses duró el negocio si el socio B ganó S/.540?

A) 15 B) 16 C) 14

D) 20 E) 18

12.

Si Juan gastara el 30% del dinero que tiene y luego ganase el 28% de lo que le quedara, perdería 156 soles. ¿Cuánto tiene? A) S/.1400 B) S/.1300 C) S/.1500 D) S/.1200 E) S/.1600

Aritmética

13.

En la venta de un artículo se sabe que A es el tanto por ciento de ganancia cal-culada sobre el precio de compra y B es el tanto por ciento de ganancia cal-culada sobre el precio de venta. Halle 1 1 B−A A) 0,25 B) 1 C) 0,1 D) 0,01 E) 0,5

14.

¿En qué tanto por ciento debe recargar el precio de sus artículos un vendedor, para que en sus ventas realice un des-cuento máximo del 20%, lo cual hace que no gane ni pierda?

A) 125% B) 30% C) 35% D) 20% E) 25%

15.

Se depositó un capital al r% durante un tiempo t, y se obtuvo una ganancia I. Si se dejara por un tiempo adicional que es el 25% de t, se ganaría S/.300 más. Calcule el capital inicial si el interés I es el 66 6, %



del monto que se obtuvo en el tiempo t. A) S/.2400 B) S/.600 C) S/.1200 D) S/.1600 E) S/.1800

16.

La cuarta parte de un capital se depo-sitó al 5% bimestral durante 6 meses y el resto al 3% cuatrimestral durante un tiempo equivalente a una vez más el anterior y se obtuvo un monto total de S/.1547. Halle el capital. A) S/.1300 B) S/.1200 C) S/.1100 D) S/.1400 E) S/.1450 Números enteros

17.

Si 4aa₇=bc(2c)₍₁₃₎ calcule el valor de a×b×c. A) 35 B) 30 C) 42 D) 36 E) 40

18.

Se cumple que 2 5 ₁₁₁₂ 13 1 1 a ab ab n n ( ) = − ( ) …

Determine el máximo valor de a+b+n. A) 12 B) 15 C) 18 D) 14 E) 16

Aritmética

19.

Si m representa la cantidad de numera-les de la forma 2 1 3 1 2 1 3 9 a− b a b c ( ) −   ( + ) −( )( ) determine la cantidad de cifras que po-see el menor numeral en base 8, cuya suma de sus cifras es m.

A) 16 B) 15 C) 17 D) 14 E) 18

20.

Se sabe que aab – baa=xy4. Calcule el máximo valor de a+b+x+y.

A) 26 B) 29 C) 27 D) 30 E) 28

21.

Si CA (abcd)=dbc, calcule la suma de los productos parciales al multiplicar

bca por dab.

A) 8262 B) 10 062 C) 6462 D) 7344 E) 17 172

22.

Si al número 215 se le divide entre n, se observa que su residuo que es 7, más el doble del cociente es igual al

triple del divisor. ¿Qué cantidad posi-tiva como mínimo se le debe agregar a 215 para que se divida exactamente entre n? A) 6 B) 10 C) 12 D) 5 E) 25

23.

En una progresión aritmética, la suma del cuarto término y el decimotercer término es 131, la diferencia del nove-no términove-no y el segundo términove-no es 49. Determine el vigésimo noveno término más el decimosexto término. A) 334 B) 321 C) 327 D) 341 E) 330

24.

Si S₁=9 S₂=9+17 S₃=9+17+25 S₄=9+17+25+33 S₁₅=9+17+25+ … …

Determine la suma de cifras de M si M=S₁+S₂+S₃+ … +S₁₅ A) 5280 B) 5680 C) 5336 D) 5450 E) 5560

Aritmética

Teoría de números

25.

En un salón de 50 alumnos, la mitad de los varones aprobó matemática, los 2/3 de los varones aprobaron Literatu-ra y 1/7 de los varones aprobó Historia. ¿Cuántas mujeres hay en el salón?

A) 7 B) 6 C) 8

D) 4 E) 9

26.

Si Miguelito embolsa sus soldaditos de 7 en 7, le sobran tres; si lo hace de 9 en 9, le faltaría cuatro; y si lo hace de 13 en 13, le sobran siete. ¿Cuántos soldaditos tiene si se sabe que son más de 1400 y menos de 2000?

A) 1968 B) 1869 C) 1796

D) 1598 E) 1697

27.

Si N representa la cantidad de términos 11o de la siguiente sucesión

150; 153; 156; … ;1983

calcule el residuo de dividir N 30 entre 19.

A) 5 B) 1 C) 12

D) 8 E) 2

28.

Se cumple que

ab c a0 ( +1 3)( ) =c 252o Calcule el valor de a×b×c

A) 64 B) 40 C) 12

D) 128 E) 8

29.

¿Cuántos números de tres cifras meno-res de 750 existen, tales que sean PESI con 144?

A) 217 B) 216 C) 215

D) 220 E) 218

30.

La cantidad de divisores de A=20 n×183

es 24/19 de la cantidad de divisores de

B=18 n+2×202. Determine la cantidad de divisores de A×B. Dé como res-puesta la suma de cifras del resultado.

A) 20 B) 16 C) 17

D) 19 E) 15

31.

Si el MCD de dos números enteros po-sitivos es 33 y el producto de ellos es

aba(b+1)7, calcule la suma de dichos

números.

A) 457 B) 462 C) 429

D) 495 E) 460

32.

Al calcular el MCD de abc y bb(2b) me-diante las divisiones sucesivas, se ob-tuvieron como cocientes 2; 5; 1; 1 y 2. Determine el valor de a+b+c

A) 9 B) 15 C) 12

D) 14 E) 10

Números racionales y probabilidades

33.

Se reparte una herencia entre Ana, Beatriz y Claudia correspondiéndole a Ana 1/6, a Beatriz 1/8 y a Claudia el res-to. Si Ana le da 2/3 de su parte a Clau-dia, Claudia le da 3/4 a Beatriz, ¿qué parte de la herencia tendría Beatriz? A) 71

96 B) 8196 C) 7596 D) 49

96 E) 7396

34.

Los caños A y B pueden llenar un reser-vorio en 6 y 8 horas, respectivamente, si trabajaran en forma independiente, mientras que el desagüe C puede va-ciar todo el contenido del reservorio en 12 horas. En cuánto tiempo pueden llenar la mitad del reservorio si los ca-ños y el desagüe funcionaran simultá-neamente.

A) 4,8 h B) 1,8 h C) 2,4 h

D) 1,2 h E) 3,6 h

35.

Al dividir una fracción irreductible con su inversa se obtiene 0 694,



. Determine la cantidad de fracciones equivalentes a la fracción inicial cuya suma de términos resulte un número de tres cifras.

A) 80 B) 79 C) 82

D) 81 E) 78

36.

Katherine tiene 6 libros diferentes, pero en la repisa de su dormitorio solo ca-ben 4 de ellos. ¿De cuántas formas pue-de orpue-denar Katherine los cuatro libros?

A) 15 B) 120 C) 360

D) 180 E) 60

37.

¿De cuántas formas se pueden sentar alrededor de una mesa circular una pareja de esposos y sus cinco hijos si 2 de los niños siempre se sientan juntos?

A) 80 B) 120 C) 160

D) 180 E) 240

38.

¿De cuántas formas se pueden escoger tres números naturales del 1 al 20, de tal modo que la suma de dichos núme-ros resulte impar?

A) 900 B) 1620 C) 1720 D) 920 E) 720

39.

Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la pro-babilidad de que sus caras superiores muestren resultados diferentes? A) 5

6 B) 16 C) 23

D) 1

3 E) 12

40.

En una urna hay 5 fichas blancas, 4 rojas. Si se extraen 3 al azar, calcule • La probabilidad de que sean del

mismo color. • La probabilidad de que solo 2 sean blancas. A) 1/6; 7/42 B) 1/6; 10/84 C) 1/6; 10/21 D) 1/21; 10/21 E) 1/6; 10/63

Aritmética

01 - B 02 - E 03 - D 04 - E 05 - B 06 - D 07 - B 08 - A 09 - B 10 - E 11 - D 12 - C 13 - D 14 - E 15 - B 16 - D 17 - B 18 - E 19 - A 20 - A 21 - A 22 - A 23 - C 24 - E 25 - C 26 - E 27 - B 28 - E 29 - A 30 - D 31 - B 32 - C 33 - A 34 - C 35 - D 36 - C 37 - E 38 - B 39 - A 40 - C

Aritmética

Expresiones algebraicas

1.

Determine el valor de x2 de la siguiente igualdad 2 2 1 2 12 1 2 (− )    = x A) 1/2 B) 1/9 C) 4 D) 3 E) 1/4

2.

Si A=5x+ −_x5x+ B= y+ −_y y+ 5 3 3 3 4 2 5 3 y , calcule el valor de S A B =    36 A) S=10 B) S=100 C) S=100₃₆ D) S=216 E) S=600 UNMSM 2000

3.

Se sabe que x x + =1 3. Determine el valor de E. E x x x x = 3+ 2+ 1₃+ 1₂ A) 49 B) 36 C) 25 D) 18 E) 23 UNMSM 2002

4.

Dado el polinomio P_(x)=(x2+2x+1)3_{, halle el valor de J} J P= +P +P + +P −

( )

3 11

(

32−1

)

(

33−1

)

...

(

310−1

)

A) 381 B) 385 C) 358 D) 285 E) 582

5.

Si los polinomios P_(x)=(x+n)4+(x – n)4 Q_(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e

son idénticos, determine el valor de 8n4 e . A) 8 B) 4 C) 6 D) 2 E) 1

6.

Si el polinomio P_(x)=nxn+5+(n+1)xn+6 _+(n+2)xn+7_+...

es ordenado y completo, calcule el valor de P₍₁₎ – P_{(– 1)} A) –15 B) –12 C) 12 D) 5 E) 15 UNMSM 2009 - II

7.

Si el cociente de la división 4 3 2 2 1 2 2 x x x n x x n n n n + + + − + − + − ; ∈Z

es un polinomio cuadrático, indique la suma de coeficientes del residuo de dicha división.

A) 0 B) 2 C) 3

D) – 3 E) 4

8.

Halle el resto de la división

( ) ( ) ( ) x x x − + + − − 1 6 1 4 20 2 2

dé como respuesta la suma de sus co-eficientes.

A) 220+69 B) 1 C) 220+53 D) – 42 E) 220 – 69

Ecuaciones polinomiales

9.

Halle la solución de la siguiente ecua-ción x a a b x b a c x a b c − + + − = + − + − 2 3 2 A) 2a+b B) 4a C) 5b D) 3c E) 1

Álgebra

10.

Resuelva la siguiente ecuación si se sabe que p > 0 p p p p x p p +    __ − _ = _ _ +_ _         1 1 3 2 3 3 2 2 2 A) 1₃p+_p13      B) 1₃p−_p13      C) 2 3 1 2 p p −    _ D) 3 2 1 2 p p +       E) ₃2 p2 1 p +    _ UNMSM 2004 - I

11.

Si la ecuación cuadrática ax2 – bx+c=0; a, b, c ∈ R

tiene raíces x₁ y x₂ de modo que (x₁+1)(x₂+1)=1, entonces, ¿cuál es el valor de b/c? A) – 1 B) 1 C) 1/2 D) 2 E) – 1/2

12.

En la ecuación x2+px+q=0, las raíces son p ≠ 0 y q ≠ 0. Halle el valor de p+q. A) 0 B) 1 C) – 2 D) – 1 E) 2 UNMSM 2003

13.

Dada la ecuación cuadrática

x2 – 5x+1=0 de conjunto solución CS={a; b}, calcule el valor de (a – 1)2+(b – 1)2 A) 13

B) 15 C) – 3 D) 4 E) 5

14.

Halle el valor de n si se sabe que las si-guientes ecuaciones son equivalentes. 3x2+(a+2b)x+(n+1)=0 2x2+(2b – a+3)x+4=0 A) 3 B) 2 C) 1 D) 4 E) 5

15.

¿Para qué valores a y b el sistema tiene infinitas soluciones? ax y x by + = + =    8 9

Dé como respuesta la suma de los va-lores encontrados. A) 117₅₄ B) 113₅₆ C) 145₇₂ D) 126₄₅ E) 130₆₃ UNMSM 2004 - I

Álgebra

16.

Dado el sistema lineal nx y n x x ny y + = + + = −    3 2

Indique el valor de verdad de las si-guientes proposiciones:

I. Es compatible determinada si

n ∈ R – {2}

II. Es inconsistente si n=– 2

III. Es compatible indeterminado si n=2 A) FFF B) VFV C) VVV D) FVV E) FVF

Desigualdades

17.

En las expresiones siguientes, n es un número entero mayor que 1. ¿Cuál es el menor de todos? A) 2 1 n− B) 1 n C) _n1₊₁ D) 2 n E) 1 2 n    UNMSM 1998

18.

Si x+ − 1 2 pertenece al intervalo [– 3, – 2〉, entonces el intervalo al cual pertenece

x x + + 1 2 es A) 2 5 6 7 ;   B) 3 5 6 7 ;   C) 4₅; 6_7 D) 1 5 1 7 ;   E) 4 5 6 7 ;  

19.

Una fábrica produce lavadoras y se ha encontrado que cuando el precio por unidad es P dólares, el ingreso I (en dólares) es I=– 4p2+4000 p. ¿Cuál debe ser el precio de cada lavadora para maximizar el ingreso?

A) $400 B) $300 C) $500 D) $600 E) $455

UNMSM 2002

20.

Luego de resolver el sistema

( )( ) ( )( ) ( ) x x x x x − − ≤ − − ≤ −    2 1 0 8 1 1

Determine la suma de las soluciones enteras.

A) 26 B) 55 C) 17

D) 45 E) 8

21.

Halle la suma de los números natura-les, tales que su cuadrado es menor que su séxtuplo disminuido en cinco.

A) 7 B) 10 C) 11

D) 9 E) 8

UNMSM 2006 - I

22.

Determine la suma de los cuadrados de las soluciones reales aumentado en el número de soluciones x x x x x − − + − + − = 1 2 1 ₁ 2 2 ₁ 0 2 A) 8 B) 9 C) 6 D) 5 E) 7

23.

Si se sabe que f_{(x – 1)}=2x+1, entonces determine el producto de las solucio-nes enteras de la inecuación.

f_(x+1) ≤ f_(x2) – 2 ≤ f₍₄₎

A) 6 B) 4 C) – 12 D) – 6 E) 2

24.

Dado el siguiente conjunto A x x x = + − ∈ ≥

{

1 −

}

1 R 0

entonces determine su complemento. A) R \ [0; 2〉 B) R \ 〈– ∞; 1〉 C) R \ 〈– 1; 1〉 D) R \ [0; 1〉 E) R \ 〈0; 1] Tópicos de álgebra

25.

La suma de las soluciones de la ecuación

x− +2 32 2₍ −x₎=0 _es A) 12 B) 14 C) 6 D) 0 E) – 2

26.

Si x > 1, la solución de la ecuación x− −1 x− = −1 2 4 _{se puede encontrar} resolviendo la ecuación. A) x2 – 19x – 34=0 B) x2+19x – 34=0 C) 19x2+x+34=0 D) 19x2+x – 34=0 E) x2 – 19x+34=0

27.

Luego de resolver la ecuación irracio-nal 6x− =1 3x− + , determine la 5 3 suma y el producto de soluciones de la ecuación. A) 46; 205 B) 5 3 41 3 ; C) 40₃;204₉ D) 46₃;205₉ E) 46 3 203 3 ;

28.

Dada la ecuación x2 – 9|x – 1|=2x – 15 determine la suma de la máxima solu-ción positiva con la máxima solusolu-ción negativa. A) 2 B) 11 C) – 7 D) – 2 E) 7

29.

Halle el menor valor de x que satisfaga las siguientes inecuaciones.

a. a ≤ x ≤ a+20 b. |x – a|2 – 7|a – x| – 60 ≥ 0 A) a+5 B) a+7 C) a+12 D) a+6 E) a+8 UNMSM 2006 - II

30.

Dada la ecuación x−12−13 x− = −1 36

determine el número de soluciones.

A) 1 B) 0 C) 2

D) 4 E) 6

31.

Si en el desarrollo del binomio (x3+y b )n el término de lugar 7 tiene la forma

Ax12y – 6 entonces podemos afirmar que en el desarrollo del binomio (xb+y n )n+3 el término de lugar 7 es A) C13₆ x7y60 B) C13₆ x– 7y60 C) C13₆ x– 7y6 D) C13₇ xy E) C13₆ x60y– 7

Álgebra

32.

Dadas las proposiciones I. n n n n n n 1 2 3 2       +      +      +       = ... II. 20 3 20 17       =      III. 7 0 2 7 1 2 7 2 2 7 7 128 7 6 5    _ −_ _ +_ _ − −... _ _ = Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

A) FFV B) VFV C) FVF D) FFV E) FFF

Funciones

33.

Sea f_(x)=2x2 – 6x+13 una función definida de [4; 6] en R tal que el intervalo [a; b] es su rango. Indique la alternativa in-correcta. A) ab=218 B) b_a= 256 C) b₈=1024 D) a+b=218 E) ₃₂a =1

34.

Dado f y g dos funciones de R en R se define la función H_(x) tal que

I. H_(x)=f_(g(x))

II. Dom(H)={x/x ∈ Dom g∧ g(x)∈ Dom f}

Sea f_{( )x} = 3−x; g_(x)=x2 – 1, Dom_(g)=R+ H_(x)=f_(g(x)) halle Dom(H) A) [0; 2] B) 〈0; 2〉      C) 〈0; 2] D) [– 2; 2] E) 〈– 2; 0〉

35.

Dado el polinomio

P_(x)=ax3+bx2+cx+d cuya gráfica es

X Y 3 5 –1 Resuelva la ecuación a|x|3+b|x|2+c|x|+d=0 A) CS={3; – 3; 5; – 5; 1; – 1} B) CS=φ C) CS={3; – 3; 5; – 5} D) CS={1; 3; 5} E) CS={1; – 1}

36.

Halle el área de la región limitada por las gráficas de las funciones

f_(x)=2x+2; g_(x)=ax+12; h_(x)=n

tal que las gráficas de f_(x) y g_(x) se cortan perpendicularmente, además,

n ∈ N ∧ 0 < n < 10 A) n n( ₂+1) B) (50 5 )(10 ) 2 − n −n C) (50 )(10 ) 4 −n −n D) n2 n 1 6 + + E) 50 5−₂ 10₂   −    n n

Álgebra

37.

Halle el valor de a de modo que las gráficas de las funciones

f_(x)=x2+5 ∧  g_(x)=ax+2 tengan la forma X Y A) − 12 B) 12∨ − 12 C) 12 D) 12 E) – 12

38.

Las soluciones de la ecuación

ax2 2+ x= con a > 1, b > 1 sonb A) − ±1 ln( ) ln ab a B) 1± ln( )_{ln( )}ab a C) ± ln( ) ln( ) ab a D) − ±1 ln b E) 2± ln( ) ln( ) ab a

39.

Resuelva la ecuación log

log5₃ 4 2log3 log 2 5 x x x x

(

)

_{+ = +}

e indique el producto de soluciones. A) 125 B) 34 C) 225 D) 625 E) 2025

40.

Resuelva la ecuación

| log₂|x||= x+2 e indique el número de soluciones reales. A) 1 B) 0 C) 2 D) 4 E) 3

Álgebra

01 - E 02 - B 03 - C 04 - B 05 - B 06 - B 07 - D 08 - C 09 - A 10 - B 11 - A 12 - D 13 - B 14 - E 15 - C 16 - A 17 - E 18 - C 19 - C 20 - D 21 - D 22 - E 23 - B 24 - D 25 - C 26 - E 27 - D 28 - E 29 - C 30 - D 31 - B 32 - C 33 - D 34 - C 35 - C 36 - E 37 - C 38 - A 39 - C 40 - E

Álgebra

Figuras planas ( , , )

1.

Del gráfico, calcule x.

x 60º D D+T E E T A) 10º B) 20º C) 30º D) 40º E) 15º

2.

En un triángulo ABC, AB=5, BC=11,

m) BAC=3(m) ACB). Calcule m) ACB.

A) 30º

B) 37º C) 53º/2

D) 127º/2 E) 45º/2

3.

Se tiene un triángulo ABC, m) ACB=30º, se traza CH perpendicular a la bisectriz del ángulo ABC, tal que AC=2(BH). Calcule m) ABC.

A) 40º B) 60º C) 70º D) 80º E) 100º

4.

En un trapecio isósceles, la longitud de su diagonal es el doble de la longitud de la base media. Calcule la medida del ángulo entre las diagonales de di-cho trapecio. A) 30º B) 45º C) 60º D) 90º E) 127º/2

5.

En un romboide ABCD, la mediatriz de CD interseca a la prolongación de AB en M, tal que, AB=6(BM), y AD=5(BM). Calcule m) BAD. A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º E) 60º

6.

En el gráfico, calcule x si mAB



+mDCG



= 220º A B C D E F G x A) 60º B) 50º C) 40º D) 80º E) 70º

7.

Del gráfico, ABCD y ADE son cuadrado y equilátero, respectivamente. Calcule

m MEN

p

. A D B M E N C A) 30º B) 45º C) 60º D) 53º E) 90º x D m) ACB ngulo ABC rpendicular a C, ta C A 2

Geometría

8.

Del gráfico, ABCD es un cuadrado, calcule AM MB. O C A M B A) 2 B) 3 C) 4 D) 5/3 E) 4/3 Proporcionalidad de segmentos y relaciones métricas

9.

Del gráfico que se muestra, PQ MN

4 5 calcule D. Q M N P D D D A) 37 3º B) 53 3º C) 452 º D) 15º E) 10º

10.

Del gráfico, calcule NQ. Si TB es la me-diana del triángulo ABC y MN= 6 .

B C A T Q M N D D T T A) 3 2 B) 2 3 C) 6 D) 6 E) 6 2

11.

Del gráfico que se muestra, calcule PQ.

a b P Q A) a2b2 B) ab C) ab D) ab a b E) ab 2

12.

Del gráfico, calcule AQ si se sabe que

MP=2(PQ)=4. M A B P Q A) 3 B) 3 10 C) 2 D) 2 10 E) 3 5

13.

Sea AOB un cuadrante tal que AO=OB,

se traza una circunferencia tangente a OB en B y la secante OMP a dicha circunferencia la cual interseca al arco AB en N. Si OM=MN=2, NP=3. Calcule OA. A) 3 B) 4 C) 6 D) 5 E) 8 B) ) b a b el grá 2 N Q M MN 5 M N

12.

D M 3

Geometría

14.

Sea ABC un triángulo inscrito en una circunferencia de centro O, en AC y BC se ubican los puntos M y N tal que OC A MN, calcule BC, si se sabe que AM=5, MC=4 y BN=NC.

A) 4 B) 5 C) 4 2 D) 5 3 E) 6 2

15.

Sea ABCD un trapecio rectángulo, recto

en A y B. Calcule EF, si (AD)(BC)=24 y BF=2. B F A E C D A) 12 B) 4 2 C) 2 6 D) 8 E) 10

16.

En el gráfico ABCD y EFCP son cuadra-dos. Si N y Q son puntos de tangencia y

NC 2 2 . Calcule PQ. B A F C P D Q N E A) 1 B) 2 C) 2 D) 2 2 E) 1,5

Área de región triangular y relación

17.

Si AP=5 cm y PQ=3 cm,

calcule el área de la región APB. Q P O B A A) 5 cm2 B) 6 cm2 C) 8 cm2 D) 10 cm2 E) 15 cm2

18.

ABCD es un cuadrado, AT=a. Calcule

el área de la región AMN. (T es punto de tangencia). C M D A B N T A) a2 4 B) a2 3 C) a2 2 D) a2 E) 2a2

19.

En el gráfico, T es punto de tangencia.

Calcule el área de la región ATC. A H C T B O 3 2 A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 3 E) 2,5 a reg a). genc C M d D 4

Geometría

20.

Si ABCD es un cuadrado, M, N, P y Q son puntos de tangencia. Calcule el área de la región NHP. Si HN=6. M B H C A _P D N Q A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9

21.

ABCD es un cuadrado, m) MND=90º si AM=3 y AD=5, calcule el área de la región BNM. 3 5 B M N A C D A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

22.

En el gráfico M, N y Q son puntos de tangencia si AM=a. Calcule el área de la región AMN. M O A Q N A) a2 4 B) a2 3 C) a2 2 D) a2 E) 2a2

23.

ABCD es un cuadrado de lado

3 1+

(

)

cm. Calcule el área de la región sombreada. Q P C B D A A) 3 1 2  _B) 2 3 2  _{C) 3} 3 2  D) 4 3 2  E) 2 3

24.

ABCD es un cuadrado y AED y CDF son

triángulos equiláteros. Calcule el área de la región AEF, si BC=2 u. B D E F C A A) 3 1 B) 2 3 1 C) 2 3 D) 3 2 2  _{E) 3 1} 2  A N C 0 de la ea d º A 5

Geometría

Área de región cuadrangular y rectangular

25.

Si ABCD es un cuadrado BN=MN, BM=2 y AM=3, calcule el área de la re-gión AMND. B M N A C D A) 12 B) 15 C) 16 D) 18 E) 20

26.

En un trapecio isósceles ABCD (BC // AD), en la región interna se ubica el punto P de modo que los triángulos APD y BPC son equiláteros. Calcule el área de la región rombal que resulta de unir los puntos medios de todos los lados del trapecio. Si AD+BC=4 A) 3 B) 2 C) 3 D) 2 3 E) 4

27.

En el gráfico ABCD, DEFG son cua-drados, O₁ y O₂ son centros de ABCD y DEFG respectivamente. Calcule el área de la región O₁BFO₂, además

AB 4 2 y FG 3 2. B EE F G C A D O₁ O₂ A) 12 B) 18 C) 24 D) 16 E) 32

28.

ABCD y DEFG son cuadrados.

Si MD · DN=2, calcule el producto de áreas de las regiones cuadradas.

B N M E F G C A D A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 2 2

29.

Si BC 2 6, calcule el área de la

re-gión sombreada. B T A C D T punto de tangencia A) (3+S) B) 3 2 +

(

π

)

C) 3 3 +

(

π

)

D)

(

3 3 2+ π

)

E) 3 3 −

(

π

)

B CD (BC(( ////A ubica el punto los APD y B el áre os trián s. Calcule e que result de E 20 6 D), M 6

Geometría

30.

Según el gráfico, calcule el área de la región sombreada, si R 6. O R R R A) (3 – S) B) 3 3 −

(

π

)

C) (S – 3) D) 3 3 2

(

− π

)

E) 6

(

−π 3

)

31.

Si ABCD y DEFG son cuadrados de la-dos 4 y 3 cm, respectivamente. Calcule el área de la región sombreada.

O B E F G C A D A) 25₄ (π −2) B) 25 2 (π −1) C) 254 (π −1) D) 25₄ (π −4) E) 25₄(π −3)

32.

Según el gráfico, calcule el área de la región sombreada. (M, N y Q son pun-tos de tangencia). 1 3 M N Q A) 4 3 3 − π B) 4 3 3− π C) 4 3 7₂ 6 − π D) 2 3 6 − π E) 2 3 7 3 − π Sólidos

33.

Calcule el área de un rectoedro, cuya diagonal mide 50 y la suma de sus 3 dimensiones es 82.

A) 4000 B) 4224 C) 4424 D) 4624 E) 4864

34.

En el gráfico se muestra un cubo ABCD – EFGH de centro O y volumen 16 2, calcule OP si se sabe que AP=3(PC). A B _PP C D O F E H G A) 2 B) 3 C) 6 D) 5 E) 2

35.

En un recipiente cilíndrico el diámetro de la base circular mide D y la altura h. Si dicho recipiente se encuentra lleno de agua y se vierte el contenido en otro recipiente cilíndrico de diámetro de base 2 D. ¿Qué altura alcanzará el nivel del agua? A) h/3 B) h/4 C) h/5 D) h/2 E) h co se de ce OP grá EFGH EE 16 2, calcule AP=3(PC) F O C

4.

cule da. Calc a-7

Geometría

36.

Un cilindro contiene agua, las tres cuar-tas partes de su volumen. Si se inclina como se muestra en el gráfico, ¿cuánto debe medir T para que el agua no se derrame? θ R 2 R A) 15º B) 30º C) 45º D) 37º E) 53º

37.

Si el área de la superficie lateral de un

cono de revolución es 65S y el área de la base es 25S, calcule el volumen de dicho cono.

A) 50S B) 75S C) 100S D) 80S E) 120S

38.

Calcule la razón de volúmenes que

de-termina un plano secante y paralelo a la base de un cono, si dicho plano con-tiene al punto medio de la altura.

A) 1/7 B) 1/8 C) 2/3 D) 1/9 E) 2/7

39.

En el gráfico se muestra una pirámi-de regular pirámi-de apotema PQ, si PQ=CD. Calcule la altura de dicha pirámide si su área lateral es 128. A B B P C D Q A) 8 3 B) 8 C) 6 3 D) 5 E) 4 3

40.

Calcule el área de la superficie de un tetraedro regular inscrito en una esfera de radio 3. A) 12 3 B) 32 2 C) 32 D) 24 3 E) 24 ) 8 3 5 C) 00S E) 120S n de volúme no se e un de el vo el olum área n de D 8

Geometría

Geometría

01 - C 02 - C 03 - E 04 - C 05 - B 06 - E 07 - C 08 - B 09 - A 10 - D 11 - C 12 - B 13 - A 14 - E 15 - E 16 - B 17 - D 18 - C 19 - A 20 - C 21 - B 22 - C 23 - C 24 - A 25 - C 26 - D 27 - B 28 - A 29 - C 30 - B 31 - A 32 - C 33 - B 34 - B 35 - B 36 - C 37 - C 38 - A 39 - E 40 - D

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

1.

Si el área del triángulo rectángulo es 600 u2 y la tangente de uno de sus án-gulos agudos es 2,4, ¿cuánto mide la hipotenusa?

A) 26 5 B) 10 5 C) 24 5 D) 12 5 E) 20 5

2.

Del gráfico, calcule cot cot

cot . 3 2 θ θ θ + 13 8 4 θ θ θ A) 25 12 B) 14 2 C) 29 12 D) 12 5 E) 29 10

3.

Del gráfico, calcule 2cotT – 3, si cosα = 2. 3 18 18 θ α A) 2 B) 5 C) 5 D) 2 E) 3

4.

Del gráfico, calcule cot2D.

αα αα 6A 6A AA A) 2 B) 5 C) 3 D) 7 E) 6

5.

Del gráfico, calcule tanT+tanD, si ABCD es un cuadrado y CM=6. 30º B C A D M α θ A) 1/2 B) 1 C) 1/3 D) 2 E) 3

6.

Del gráfico, calcule tanz · cotx,

si AC BC CD 3 2 2 5 . 45º z A D C P B x A) 8 B) 6 C) 7 D) 9 2 E) 7 4 C α θθ 4 C) 29 1 ) 14 2 2

Trigonometría

7.

Del gráfico, calcule tanT. 37º θ 37º 5 1 11 3 A) 6 7 B) 7 12 C) 9 7 D) 7 6 E) 12 7

8.

Si sen3x=cos(50º+x); 0º < x < 90º. Calcule tanx · tan2x · tan3x } tan8x.

A) 2 B) 3 C) 1 D) 3 E) 2 3 Identidades trigonométricas fundamentales

9.

Si secθ+cscθ= +2 6 y tanθ+cotθ= 6 calcule 1 1

secθ+tanθ+cscθ+cotθ. A) 2 6 B) 2 C) 2 6 D) – 2 E) 1

10.

Si senθ+cosθ= 1, 3 calcule secT+cscT+tanT+cotT. A) – 3 B) 1 18 C) – 2 D)  1 2 E) 1 3

11.

Si sec csc

tan cot cos ,

2_θ 2_θ θ θ θ + + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⋅ = n calcule sen cos cot . θ θ θ 1− − A) n 2 B) n C) n 2 D) – n E) 2n

12.

Si 12+5cotT=13cscT, calcule cotT – secTcscT

A)  5

12 B) 1213 C) 125 D) 13

5 E)  513

13.

Simplifique la siguiente expresión

sen cos

sen cos tan

2 2 2 6 6 2 1 1 4 3 θ θ θ θ θ −

(

)

− + − + A) 4 3sec T B) 2 1 3tan T C) 42 3tan T2 D) 4 3csc T 2 E) 0

14.

De la siguiente identidad, calcule A+M.

sec sen csc cos , 2 2 2θ_θ− −_{− −}1₁ 2_θθ=AtanM( )θ A) 9 B) 4 C) 8 D) 5 E) 7

15.

Calcule el valor de la siguiente expresión cos º sec º csc º tan º cot º cot º

sec º tan º sec

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ₋ 3 4

(

)

−

(

−

)

+ − ( )( 11º tan º− 1 1 2−)+ sec º1 A) 1 B) 2 C) –1 D) 1/2 E) –1/2

16.

Calcule el equivalente de la siguiente expresión. sec sec csc tan 2 4 2 2 1 1 1 θ θ θ θ +

(

)

(

+

)

+ + A) sec8Ttan2T B) sec8T C) sec8Tcot2_T D) tan8T E) cot8Tsec2T B) 3 D) 4 3csc T 2 la sig y 1 6 csc θ tan + θ omé ta métri 3

14.

D 3

Trigonometría

Identidades trigonométricas del ángulo doble

17.

De la siguiente identidad, calcule A+M+N, si A, M, N > 0.

sen cos

cos sen cot .

2 1 2 θ θ θ θ θ + − + =A M(N ) A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

18.

Si cos cos sen , 2θ θ− θ= n calcule sen cos

sen cos sen cos .

3 3 3 θ θ θ θ θ θ + + + A) 2n2 B) n2 C) n D) n2 2 E) n 2

19.

Si cos sen cos csc , θ θ θ θ = + c a 2 2 calcule tan2 . 2 2 1 θ ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟+ + + c a c A) –1 B) 2 C) – 2 D) 1 E) 0

20.

Del gráfico, calcule tan2T, si AB=8.

A θ θ B 2 2 A) 240 163 B) 161 81 C) 161 45 D) 240 13 E) 240 161

21.

Calcule el valor de la siguiente

expre-sión

cot º tan º

tan º cot º cos º sen º

18 18 18 18 418 418 + − ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟

(

−

)

A) 1 B) cos18º C) –1 D) sen36º E) –1/2

22.

De la siguiente condición csc2x+csc2y+csc2z=cot2x+cot2y+ +cot2z, calcule tan tan

tan . x y z  A) 1 B) –1 C) 2 D) – 2 E) 1/2

23.

Calcule el equivalente de la siguiente expresión 1 2 1 2 2 − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + tan cot tan tan sec θ θ θ θ θ

A) cot2T B) 2sec2T C) tan2T D) sec2Tcsc2T E) – tan2T

24.

Simplifique la siguiente expresión csc csc cot cot tan 4θ 8θ 8θ θ θ + + − A) 1/2 B) 2 C) 1 D) –1/2 E) – 2 Ecuaciones trigonométricas

25.

Calcule la solución general de la ecuación 1+2cosx=2sen2x+cos2x, n =. A) 4 3 2 n + ( )π B) 2 1 2 n + ( )π C) nS D) 4 1 2 n + ( )π E) (2n+1)S 2 ⎠ ⎛ ⎞ ⎠⎟ ⎞⎞ ⎠⎠ + θ ⎝ tan θ A) cot2T B sec2 . c + C) – 2 E) 0 ) 2 cule csc c θ + 2 a, _D

24

4

Trigonometría

26.

Calcule la solución general de la ecuación tanx+secx=cosx, n =. A) 2nS B) nS C) nS 2 D) (2n+1)S E) nS 4

27.

Resolver la ecuación tanx+3cotx=2 3;x∈ 2 5; 2 π π A) 7 3S B) 13 6S C) 9 4 S D) 25 12S E) 21 10 S

28.

Resuelva la ecuación 4cosx – 3secx=4, x ¢0; 2S² A) S S 3 5 3 ; B) S S 6 11 6 ; C) 2 3 4 3 S S ; D) S S 6 5 3 ; E) S S 3 11 6 ;

29.

Cuántas soluciones tiene la ecuación 1+cosx=(cosx+senx)2; x ¢0; 2S².

A) 2 B) 5 C) 4

D) 6 E) 3

30.

Cuántas soluciones tiene la ecuación

sen 3 sen ; ; . 4 3 4 3 0 2 x₊ x x ⎛ ⎝⎜ π⎞⎠⎟ = ⎛⎝⎜π− ⎞⎠⎟ ∈ π A) 3 B) 1 C) 4 D) 2 E) 5

31.

Calcule la suma de soluciones de la ecuación cscx− sen⎛x cos x ;x ; ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟= ∈ 8 2 2 0 0 2π A) 3S B) S 2 C) 2S D) 3 2S E) 4S

32.

Calcule la suma de soluciones de la ecuación cot4x – 2csc2x+3=0; x ¢0; 2S² A) 5 2S B) 2S C) 4S D) 3 4S E) 7 2 S Resolución de triángulos oblicuángulos

33.

Del gráfico, calcule sen

sen , 3T T si AB=2(BC). x y A C B θ 3θ A) x y 2 B) 2x y C) y x 2 D) 2y x E) y x

34.

Si G es baricentro del triángulo ABC y BM=6, calcule senTcotD – cosT.

A M C G B _θ 2 α A) 1/2 B) 1/3 C) 3 D) 2 E) 1 calcule áfico, si AB=2(BC(( ). 3 3 E) S 3 11 6 ; ones tiene la +sen S

3.

D C

3

S 5

Trigonometría

35.

Del gráfico, calcule 2csc2D – cotD. A) 3 θ θ 90º–α x 3 x α B) 1 2 C) 1 3 D) 3 3 E) 1

36.

En un triángulo ABC de lados a, b y c respectivamente, se cumple que

b c a

bc A

2 2 2 ₁

3 + − _{−cos = .}

Calcule asenB – bsenA+tan2A.

A) 8 B) 6 C) 7

D) 5 E) 4

37.

Si el área de la región sombreada es 6 3u , calcule x.2 60º 30º _x 6 A) 8 B) 7 C) 6 D) 9 E) 10

38.

Si ABCD es un cuadrado de lado 9 y AL=AB, calcule BL. A) 3 2 4 A D C B L M θ θ B) 4 C) 6 D) 2 E) 3

39.

Del gráfico, calcule cosx.

3 4 30º x 1 A) 13 14 B) 6 7 C) 1 4 D) 5 11 E) 11 14

40.

Del gráfico, calcule 7 sen .D A) 3 3 3 120º α x 2x B) 2 C) 1 2 D) 2 E) 3

Trigonometría

g

01 - A 02 - C 03 - B 04 - D 05 - B 06 - A 07 - E 08 - C 09 - B 10 - A 11 - B 12 - C 13 - A 14 - E 15 - D 16 - C 17 - A 18 - B 19 - D 20 - E 21 - C 22 - B 23 - C 24 - A 25 - B 26 - B 27 - A 28 - C 29 - C 30 - D 31 - E 32 - C 33 - D 34 - B 35 - A 36 - A 37 - B 38 - C 39 - E 40 - E 30 3 13 14 E) 4 sombreada a regió e x. 60 C A. A 6

Trigonometría

Cinemática - estática

1.

Un cuerpo inicia su movimiento con aceleración constante de 2 m/s2 y lo mantiene durante 10 s, a partir de ese momento no acelera. Calcule su rapi-dez media (en m/s) en el primer minu-to de su movimienminu-to.

A) 9,3 B) 11,3 C) 15,3 D) 18,3 E) 20,3

2.

Un cuerpo es lanzado verticalmente

hacia arriba desde el piso y cuando alcanza la mitad de su altura máxima tiene una rapidez de 10 2 m/s. Halle el tiempo de vuelo. ( g=10 m/s2).

A) 2 s B) 3 s C) 4 s D) 6 s E) 8 s

3.

Un cuerpo que está a 50 m del piso

es lanzado con una velocidad de

v î



_

=

(

20 15Œ+

)

m/s. ¿Con qué rapidez, en m/s, impacta con el piso? Considere MPCL y g=10 m/s2.

A) 50 B) 35 C) 35 D) 13 5 E) 5 65

4.

Una partícula se mueve sobre el eje X y

se muestra la gráfica de su velocidad en función del tiempo. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

v(m/s)

t(s) t₁

t

t₂

I. La partícula presenta movimiento unidireccional.

II. En el instante t y t₂ la aceleración es diferente.

III. En el instante t1 la velocidad y acele-ración es nula.

A) VVF B) FVF C) FFV D) FFF E) VFF

5.

Una partícula fue lanzada verticalmente

a lo largo del eje Y. Si su posición y

( )

G

dependiente del tiempo se muestra en la gráfica adjunta, determine su rapidez de lanzamiento (en m/s) y el instante en que pasa por el origen (Y=0). ( g=10 m/s2) Y(m) t(s) t 80 35 parábola A) 30 y 8 s B) 30 y 7 s C) 20 y 7 s D) 20 y 8 s E) 30 y 6 s

6.

El sistema mostrado en el gráfico

ca-rece de rozamiento. ¿En qué relación están los módulos de la fuerza F

G

y de la reacción entre las cuñas?

αα M M m m F A) 1 B) m/M C) senD D) cosD E) tanD m) Y 80 m del p velocidad n qué rapide so? Consi . a con el p m/s2 a E 8 s s iso e 2

Física

7.

La barra que se muestra es rígida y de masa despreciable. ¿Qué valor tiene la tensión en la cuerda 1? ( g=10 m/s2). α α 2 kg (1) A) 5 N B) 10 N C) 15 N D) 20 N E) 25 N

8.

¿Qué masa, en kg, tiene la esfera lisa para que el bloque esté a punto de res-balar? ( g=10 m/s2). P_S= 53º 1 2 8 kg 8 kg A) 8 3 B) 12 3 C) 16 D) 16 3 E) 12 Momento de una fuerza - dinámica -

conservación de la energía

9.

Se muestra una barra homogénea de 13 kg que permanece en reposo. Si M es el punto medio de la barra, determi-ne la lectura del dinamómetro ideal D. Considere g=10 m/s2. D O M g 53º A) 30 N B) 40 N C) 50 N D) 80 N E) 130 N

10.

Se muestra un bloque liso de 2 kg que es lanzado en A. Si este luego de 1 s lle-ga a las justas a B, determine h. Consi-dere g=10 m/s2. h A A B B 53º 53º g A) 2,5 m B) 3,2 m C) 4 m D) 4,5 m E) 5 m

11.

Los bloques A y B son de 5 kg cada uno. Si en el instante mostrado A es soltado, determine el tiempo que demora B desde que inicia su movimiento hasta que recorre 2 m. Considere superficies lisas y g=10 m/s2. B B A A 53º 53º g A) 1 s B) 1,5 s C) 2 s D) 2,5 s E) 3 s g º gggggg kgggg kg res-o de a 3

Física

12.

En el instante mostrado, la pequeña esfera de 0,5 kg presenta una rapidez de 5 m/s. Para dicho instante, determi-ne la lectura del dinamómetro ideal. ( g=10 m/s2;



cuerda=10 cm)

D g

60º

A) 1 N B) 3 N C) 5 N D) 6 N E) 8 N

13.

El sistema mostrado es conocido como péndulo cónico. Si la pequeña esfera de-sarrolla un movimiento circunferencial uniforme en un plano horizontal, deter-mine cuánto tiempo emplea la esfera en completar cinco vueltas. Considere g=10 m/s2. g 37º 1 m A) S s B) S 10 s C) S 10 5 s D) S 5 s E) S 5s 10

14.

Una esfera de 2 kg es lanzada en A.

Si describe un MPCL, determine la variación de su energía cinética desde M hasta N y la energía cinética en N. Considere g=10 m/s2. (M es la posición de altura máxima) M A N v=5 2 m/s 45º 20 m 10 m A) 100 J; 125 J B) 200 J; 225 J C) 250 J; 275 J D) 300 J; 325 J E) 450 J; 475 J

15.

Los bloques A y B son de 1 kg cada uno y están unidos por una cuerda ideal. Si en el instante mostrado, la rapidez del bloque A es 0,5 m/s, y antes de impactar con el piso es 1 m/s, determine h. Considere g=10 m/s2; P_K=0,5. B B h K A A A) 5 cm B) 10 cm C) 15 cm D) 20 cm E) 25 cm J 5 J J; 47 Los bloques A stán s. Consid 37º emp ue E de ncial rizo mplea ntal, feren , de e-sfera ere

15.

y 4

Física

16.

Un cuerpo de 2 kg es soltado desde una altura de 20 m. Si llega al piso con una rapidez de 10 m/s, determine la cantidad de trabajo realizado mediante la resistencia del aire. ( g=10 m/s2).

A) –100 J B) –10 J C) – 300 J D) – 30 J E) – 400 J

Impulso y cantidad de movimiento - movimiento armónico

simple - hidrostática

17.

En el instante que se muestra, la persona empieza a jalar de la cuerda ejerciéndo-le una fuerza F

G

cuyo módulo varía como indica la gráfica, además, el bloque de 3 kg inicia su movimiento inmediata-mente. Determine la rapidez del bloque en t=6 s. (PK=0,3; g=10 m/s2). 0 3 10 20 t(s) F(N) K vt=0₀=0 A) 5 m/s B) 9 m/s C) 8 m/s D) 6 m/s E) 7 m/s

18.

Si el bloque A impacta frontalmente y queda adherido al bloque B, determine

la rapidez de los bloques cuando el re-sorte se encuentre deformado la mitad de su máxima deformación. (m_A=m_B /2) v=0 12 m/s liso _{AA BB} A) 2 3 m/s B) 3 m/s C) 3 3 m/s D) 3 2 m/s E) 2 5 m/s

19.

La esfera A choca con otra esfera idén-tica en reposo y se mueven luego del choque, tal como se muestra. Deter-mine la rapidez de A luego del choque. Considere que las esferas están sobre una mesa horizontal lisa.

A A v₀=0 53º 37º B B B B A A v_A v_B luego 8 m/s A) 4,8 m/s B) 6,4 m/s C) 4,2 m/s D) 6,5 m/s E) 5,2 m/s 5 m/s La esfera A ch ca en a, la pers erda ejerciénd dulo varía com

el bloqu in y a, ademá movimiento ne la rapi 3; u E o tática ónico ona

o-19.

t c 5

Física

20.

El bloque liso que se encuentra en re-poso es lanzado hacia la izquierda des-de la posición mostrada y oscila con una amplitud de 10 cm. Si luego de 7 s de ser lanzado se encuentra en la posi-ción x

G

= +5 cm por primera vez, deter-mine la ecuación de su movimiento.

P.E. P.E. x=0 x=0 A) x

G

= ⎛ + ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 10 7 6 sen π π cm B) x

G

= ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 10 3 sen π cm C) x

G

= ⎛ t+ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 10 6 sen π π cm D) x

G

= ⎛ t ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 10 6 sen π cm E) x

G

= ⎛ t+ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 10 3 sen π π cm

21.

Una esfera de 400 g está unida a un re-sorte de rigidez K=40 N/m. Si la esfera es soltada cuando el resorte está estirado, tal como se muestra, y la ecuación de la velocidad es v

G

=5cos ω

(

t+θ m/s , de-

)

termine la ecuación de su movimiento.

g = X Y P.E. K A) y

G

=0 5, sen(10t)m B) y

G

= ⎛ t+ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ 0 5 10 3 2 , sen π m C) y

G

= ⎛ t+ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 0 5 10 2 , sen π m D) y

G

= ⎛ t+ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ sen 10 3 2π m E) y

G

=sen 10 m( t)

22.

En el sistema mostrado, los líquidos se encuentran en reposo. Si la diferencia de presiones entre A y B es de 2 kPa, determine la presión ejercida por el gas. (U₁=0,8 g/cm3; g=10 m/s2; P_atm=105 Pa) 20 cm UU11 A B B gas gas A) 102,2 kPa B) 102 kPa C) 104 kPa D) 100,4 kPa E) 100 kPa a most repo sistem encuentran e de presiones e eterm t + ⎞ ⎠⎟ ⎞⎞ ⎠⎠ 3 π _{π cm}

2.

E

2

d ( 6

Física