Metodo Del Anulador

(1)

Coeﬁcientes Indeterminados: M

Coeﬁcientes Indeterminados: M ´´etodo del Anulador

etodo del Anulador

C. C. L

L´´opez

opez

Septiembre del 2009

Resumen Resumen

1 1 In

Intr

trod

oduc

ucci

ci´´on

on

Consideremos ciertas ecuaciones diferenciales no homog

Consideremos ciertas ecuaciones diferenciales no homog ´éneas con ciertos coeficientes constantes de ordeneneas con ciertos coeficientes constantes de orden ll:: L

L yy f f xx ,, een n eeffeecctto o ((11))

L

L yy aa_ll D Dll aa_ll ₁₁ D Dll 11 aa11 D D aaoo yy

podemos dar soluci

podemos dar soluci ´´on a (on a (????) si sabemos como anular) si sabemos como anular f f xx con operadcon operadores simpores simples. les. AquAqu´´ı llamamos ”anular” alı llamamos ”anular” al efecto de

efecto de aplicar un aplicar un anulador m´anulador m´ınimo no ınimo no trivial, digamos algtrivial, digamos alg ´´unun M M pp_m_m D Dmm bb11 D D bb00 a ambos lados de (a ambos lados de (????))

para obtener una ecuaci´

para obtener una ecuación homogón homogéneaenea M M LL yy 0 o bien0 o bien ML

ML yy 00 ((22))

cuya soluci

cuya soluci ´ón no necesariamente es la misma que la de (on no necesariamente es la misma que la de ( ????), pero contendr), pero contendr´á la solucia la soluci ´ón de (on de (????), ya que podemos), ya que podemos extraer la soluci

extraer la soluci ´´on de (on de (????) desde la de () desde la de (????). Para ilustrar esto sabemos,). Para ilustrar esto sabemos, L

L yy f f xx MLML yy 00 yy C C 11 y y11 C C 22 y y22 .. . .. .C C mm ll y ymm ll,,

en donde

en donde LL es de ordenes de orden ll yy M M es de ordenes de orden mm, lo que vuelve a, lo que vuelve a MLML yy una ecuaciúna ecuación diferencial homogón diferencial homogénea de gradoenea de grado m

m ll cuyas solucionescuyas soluciones yy11, . . . ,, . . . , y ymm ll son linearmente independientes, es decir, que forman un conjunto fundamentalson linearmente independientes, es decir, que forman un conjunto fundamental

de soluciones esta E.D. Si las soluciones de esta E.D. de orden

de soluciones esta E.D. Si las soluciones de esta E.D. de orden mm ll son linearmente independientes, entonces,son linearmente independientes, entonces, la soluci

la soluci ´ón a la ecuacion a la ecuaci ´ón diferencial no homogon diferencial no homog ´éneaenea LL yy f f xx estest´á contenida en la nueva ecuacia contenida en la nueva ecuaci ´ón homogon homog´éneaenea ML

ML yy 0, aunque en algunos casos, se pueda perder informaci´0, aunque en algunos casos, se pueda perder informaci´on al aplicaron al aplicar M M ..

2 2 En

Enco

cont

ntra

rand

ndo

o

M

Ejemplo 1.

Ejemplo 1. Consideremos la siguiente ecuaciConsideremos la siguiente ecuaci ´ón diferencial lineal no homogon diferencial lineal no homog ´énea con coeficientes constantesenea con coeficientes constantes L

L11 yy yy yy 11

Resolviendo la parte homog

Resolviendo la parte homog ´´enea deenea de LL11, tenemos como ra, tenemos como ra´´ıces de su polinomio caracterıces de su polinomio caracter´´ısticoıstico r r 22 r r , , aa 1, por lo1, por lo

que su soluci´

que su soluci´on complementaria eson complementaria es yycc cc11ee x x cc22ee xx, con, con cc11,,cc22 RR.. Carlos Eduardo L

(2)

Para resolver la parte no homog

Para resolver la parte no homog ´´enea y haciendo uso del menea y haciendo uso del m ´´etodo del anulador, necesitamos un operadoretodo del anulador, necesitamos un operador M M queque vuelva homog

vuelva homog´énea a nuestra ecuacienea a nuestra ecuaci ´ón diferencialon diferencial LL11. Si derivamos ambos lados para. Si derivamos ambos lados para ´ésta, tenemosesta, tenemos

ML

ML yy yy yy 00

lo que nos deja con una E.D. homog

lo que nos deja con una E.D. homog ´´enea, eso es en efecto,enea, eso es en efecto, el resultado de aplicar el operandoel resultado de aplicar el operando M M DD en ambosen ambos lados de la ecuaci

lados de la ecuaci ´´on deon de LL yy .. Resolviendo

Resolviendo MLML yy , , tenemos como tenemos como ra´ra´ıces a ıces a 0 y 0 y aa 1, que nos deja como soluci´1, que nos deja como solución general de esta (o vión general de esta (o viéndoloendolo desde otra perspectiva, la particular de

desde otra perspectiva, la particular de LL yy ) a) a yy_p_p k k 11 k k 22ee x x k k 33ee xx, con, con k k 11,,k k 22,,k k 33 RR

Pero los t

Pero los t´érminoserminos k k 22ee x x yy k k 33ee xx ya estya est´án incluan inclu´´ıdos en la soluciıdos en la soluci ´ón complementariaon complementaria yycc dede LL11, lo que nos deja con, lo que nos deja con

y

y p p k k 11..

Encontremos ahora el coeﬁeciente particular

Encontremos ahora el coeﬁeciente particular k k 11parapara yy p p..

y y_p_p 00 y y_p_p 00 y y_p_p yy p p 11 00 k k 11 11 k k 11 11

Lo que nos deja con la soluci

Lo que nos deja con la soluci ´´on particular deon particular de LL11,, yy p p 11

Sabiendo que la ecuaci´

Sabiendo que la ecuaci´on general deon general de LL yy es,es, yy yycc yy p p, tenemos entonces, tenemos entonces

y

y cc11ee x x cc22ee xx 11 cc11,,cc22 RR

Habiendo resuelto la E.D. del

Habiendo resuelto la E.D. del Ejemplo 1Ejemplo 1, tan s, tan s ´´olamente aplicando el operador anuladorolamente aplicando el operador anulador M M DD, es decir, el, es decir, el operador diferencial (

operador diferencial ( D D), fue un caso trivial, pero para algunas ecuaciones diferenciales este no es el caso, resumamos), fue un caso trivial, pero para algunas ecuaciones diferenciales este no es el caso, resumamos entonces, los diferentes anuladores para volver homog´

entonces, los diferentes anuladores para volver homogénea a una ecuaciénea a una ecuación que no lo es.on que no lo es. 1.

1. Para anuPara anular una clar una constanteonstante C C RR_{, usar el operador D}_{, usar el operador}_D_{(como en el Ejemplo 1)}_{(como en el Ejemplo 1)}

Para anular Para anular xxnn,, x x n n 11 , . . . , , . . . ,C C , usar, usar DD n n 11 2.

2. ParPara anua anularlar eekxkx, usar el operador D, usar el operador D k k nn 11 Para anular Para anular xxnneekxkx,, x x n n 11_eekxkx , . . . , , . . . ,ee kx

kx_{, usar el operador D}_{, usar el operador} _D _k_knn 11

3.

3. ParPara anulaa anular sen(r sen(kxkx)) ´´o cos(o cos(kxkx) (o las dos al mismo tiempo), usar el operador) (o las dos al mismo tiempo), usar el operador DD22 k k 22 .. Para anular

Para anular xxnnsen(sen(kxkx)),, x x

n n_cos(_cos(kx_kx)) , , x x n n 11_sin_{sin kx}_kx , . . . ,

, . . . ,sen(sen(kxkx)),,cos(cos(kxkx), usar el operador), usar el operador DD

2

2 _k_k22 nn 11

4.

4. ParPara ana anularular eekxkxsen(sen(bxbx) ) ´´oo eekxkxcos(cos(bxbx) (o las dos al mismo tiempo), necesitamos el operador cuyo polimonio carac-) (o las dos al mismo tiempo), necesitamos el operador cuyo polimonio carac-ter

ter´´ıstico tenga como raıstico tenga como ra´´ıces aıces a k k bibi, es decir,, es decir, r r k k bibi r r k k lili r r 22 22kr kr k k 22 bb22 , en efecto el operador, en efecto el operador a usar es

a usar es DD22 22kDkD k k 22 bb22 Para anular

Para anular xxnneekxkxsen(sen(bxbx)),, x x

n n_eekxkx_cos(_cos(bx_bx)) , , x x n n 11_eekxkx_sin_{sin bx}_bx , , x x n n 11_eekxkx_cos(_cos(bx_bx)) , . . . , , . . . ,ee kx

kx_sin_{sin bx}_bx_{o ee}_´´o kxkx_cos(_cos(bx_{bx), usar el operador}_{), usar el operador}

D

D22 22kDkD k k 22 bb22 nn 11

Ejemplo 2.

Ejemplo 2. Encontremos un operador Encontremos un operador diferencial lineal con diferencial lineal con coeficientes constantes, con coeficientes constantes, con el mél m´ınimo grado ınimo grado posible yposible y anula a la funci

anula a la funci ´´on dada.on dada.

•

• ee88 x x ee22 x x:: DD 88 DD 22 •

• 22 x x33 77 x x22ee 2 x2 x:: DD44 D D 22 33 •

(3)

•

• 33 x x66 22 x x44 x x33 2 :2 : DD77 •

• xxsen(2sen(2 x x)) cos(2cos(2 x x)) 3 :3 : DD DD22 44 22 •

• xx_x_x22cos(3cos(3 x x)) xxsen(2sen(2 x x)) cos(5cos(5 x x)) sen(5sen(5 x x) :) : DD22 D D22 99 33 D D22 44 22 D D22 2525 •

• xx33 ee xx ee x xsen(2sen(2 x x) :) : DD44 D D 11 DD22 22 D D 55 •

• xx44ee x xsen(2sen(2 x x)) 33 xe xe x xcos(2cos(2 x x) :) : DD22 22 D D 55 55

3 3 Res

Resume

umen

n de

de los

los pas

pasos

os a

a seg

seguir

uir

Los siguientes pasos explicados pueden variar alguna vez, pero cada uno va a ser parte del proceso de resolver la E.D Los siguientes pasos explicados pueden variar alguna vez, pero cada uno va a ser parte del proceso de resolver la E.D eventualmente

eventualmente 1.

1. IdenIdentifictificar la soar la soluci´lución complementaria deon complementaria de LL,, yyccque consiste en la combinaci´que consiste en la combinación lineal deon lineal de ll funciones linealmentefunciones linealmente

independientes . Esta es, la soluci

independientes . Esta es, la soluci ´´on a la E.D. homogon a la E.D. homog´´enea relacionada.enea relacionada. 2.

2. Obtener una Obtener una nueva nueva ecuaciecuaci´ón diferencial lineal homogon diferencial lineal homog ´énea aplicando el anulador menea aplicando el anulador m´´ınimo posibleınimo posible M M de la funcide la funci ´ónon relacionada con

relacionada con LL a ambos lados de la E.D. originala ambos lados de la E.D. original LL, para obtener, para obtener MLML yy (a)

(a) Resolver la nueResolver la nueva ecuaciva ecuaci´ón homogon homog´éneaenea MLML yy , que tendr, que tendr´áa mm ll funciones soluciones linealmente inde-funciones soluciones linealmente inde-pendientes.

pendientes. (b)

(b) Identificar cuaIdentificar cuales de esas les de esas funciones, ya esfunciones, ya est´tán contenidas enan contenidas en yycc..

(c)

(c) Las funciones que no fueLas funciones que no fueron ”eliminadasron ”eliminadas” por el paso 2b, forman a” por el paso 2b, forman a yy p p

3.

3. SustSustituitu´´ır los coeﬁcientes indeterminados deır los coeﬁcientes indeterminados de yy p pen la E.D. originalen la E.D. original LL yy

(a)

(a) EstabEstablecelecerr LL yy p p f f xx y expandir la igualdady expandir la igualdad

(b)

(b) Comparar los coeﬁcientComparar los coeﬁcientes en las diferentes funciones en las diferentes funciones dees de LL yy_p_p con los decon los de f f xx y resolver para ellos, paray resolver para ellos, para obtener

obtener yy_p_p 4.

4. Establecer Establecer la sola soluciluci ´´on general deon general de LL yy , que es, que es yycc yy p p..

4 4 M

M´´as Ejemplos

as Ejemplos

Ejemplo 3.

Ejemplo 3. ResolvamosResolvamos

y

y 33 y y 4040 y y 66ee22 x x Eso es,

Eso es,

L

L22 yy DD22 3 D3 D 4040 yy 66ee22 x x

Resolviendo la parte homog ´´enea deenea de LL22 yy , tenemos que las ra, tenemos que las ra´´ıces de su polinomio caracterıces de su polinomio caracter´´ıstico son, 8 yıstico son, 8 y 5.5.

y

ycc cc11ee88 x x cc22ee 55 x x

Ahora, aplicamos el anulador

Ahora, aplicamos el anulador M M 22 DD 22 ::

D

D 22 DD 88 DD 5 yy5 DD 22 66ee22 x x ML

ML yy DD 22 DD 88 DD 55 yy 00 La soluci

La soluci ´´on aon a MLML22 yy es entonces,es entonces,

y

y AeAe22 x x Be Be88 x x CeCe 55 x x En donde, el t

(4)

Resolviendo por el m

Resolviendo por el m ´étodo de coeficientes indeterminados entonces,etodo de coeficientes indeterminados entonces, y

y p p AeAe22 x x

y

y_p_p 22 Ae Ae22 x x y

y_p_p 44 Ae Ae x x

y

y_p_p 33 y y_p_p 4040 y y p p 66ee22 x x 44 Ae Ae22 x x 33 22 Ae Ae22 x x 40 Ae40 Ae22 x x 66ee22 x x

Resolviendo entonces para Resolviendo entonces para AA,,

ee22 x x A A 44 66 4040 66ee22 x x 42 42 A A 66 A A 11 7 7 Lo que nos deja, a la soluci

Lo que nos deja, a la soluci ´´on generalon general yy yy p p yycc

y y 11 7 7ee 2 2 x x _Be_Be88 x x _Ce_Ce 55 x x , , BB,,C C RR Ejemplo 4.

Ejemplo 4. ResolviendoResolviendo

L

L33 yy DD22 33 D D 4040 yy sen(2sen(2 x x))

Resolviendo la parte homog ´´enea, tenemos como raenea, tenemos como ra´´ıces a 8 y -5 de nuevo, por lo queıces a 8 y -5 de nuevo, por lo que y

ycc33 cc11ee8 x8 x cc22ee 55 x x

Ahora, procediendo a anular, es decir, volviendo homog

Ahora, procediendo a anular, es decir, volviendo homog ´´enea aenea a LL yy y obteniendoy obteniendo MLML yy al aplicaral aplicar M M 33 DD22 44 ,,

tenemos tenemos ML ML33 yy DD22 44 DD 8 D8 D 55 yy DD22 44 sin2sin2 x x ML ML33 yy DD22 4 D4 D 88 DD 55 yy 00

De donde, tenemos como soluci´

De donde, tenemos como soluci´on particularon particular y

y p p AA sin2sin2 x x BBcos(2cos(2 x x))

Ya que, los t

Ya que, los t´´erminoserminos ee88 x xyy ee 55 x xya estya est´´an incluan inclu´´ıdos enıdos en yy_cc. Encontremos entonces los valores de. Encontremos entonces los valores de AAyy BB

y

y p p AAsen(2sen(2 x x)) BBcos(2cos(2 x x))

y

y_p_p 22 A Asen(2sen(2 x x)) 22 B Bsen(2sen(2 x x)) y

y_p_p 44 A Asen(2sen(2 x x)) 44 B Bcos(2cos(2 x x)) Nos deja

Nos deja 4

4 A Asen(2sen(2 x x)) 44 B Bcos(2cos(2 x x)) 33 22 A Acos(2cos(2 x x)) 2 B2 Bsen(2sen(2 x x)) 4040 AAsen(2sen(2 x x)) BBcos(2cos(2 x x)) sen(2sen(2 x x)) 4

4 A A 66 B B 4040 A A sen(2sen(2 x x)) 44 B B 66 A A 4040 B B cos(2cos(2 x x)) sen(2sen(2 x x)) 44

44 A A 66 B B sen(2sen(2 x x)) 66 A A 4444 B B cos(2cos(2 x x)) sen(2sen(2 x x)) Y resolviendo el sistema de ecuaciones

Y resolviendo el sistema de ecuaciones

44

44 A A 66 B B 11 6

(5)

nos deja con

nos deja con AA ₄₉₃₄₉₃1111 yy BB ₉₈₆₉₈₆33 yy

y y p p 11 11 493 493sen(2sen(2 x x)) 3 3 986 986cos(2cos(2 x x)).. Encontrando la soluci´

Encontrando la solución finalon final yy yy p p yycc

y y 1111 493 493sen(2sen(2 x x)) 3 3 986 986cos(2cos(2 x x)) EeEe 8 8 x x _Fe_Fe 55 x x _E_E , ,F F RR Ejemplo 5.

Ejemplo 5. ResolviendoResolviendo

y

y 66 y y 88 y y ee33 x x sen(sen( x x)) L

L44 yy DD22 66 D D 88 yy ee33 x x sen(sen( x x))

Resolviendo la parte homog ´´enea deenea de LL44, tenemos como ra´´ıces del polinomio caracter, tenemos como raıces del polinomio caracter´´ıstico aıstico a 4 y4 y 22

y

ycc cc11ee 44 x x cc22ee 22 x x

Aplicando el anulador

Aplicando el anulador M M 44 DD 33 DD 11 , tenemos, tenemos

D

D 33 DD22 11 DD22 66 D D 8 yy8 DD 33 DD22 11 ee33 x x sen(sen( x x)) ML

ML44 yy DD 33 DD22 11 DD22 66 D D 88 yy 00

Resolviendo ahora, tenemos como ra

Resolviendo ahora, tenemos como ra´´ıces a 3,ıces a 3, ii, , -4 y -2. -4 y -2. Las soLas soluclucioniones de lases de las ´´ultimas dos raultimas dos ra´´ıces ya fueronıces ya fueron inclu

inclu´´ıdas enıdas en yycc, lo que nos deja con, lo que nos deja con

y

y p p cc33ee33 x x cc44cos(cos( x x)) cc55sen(sen( x x))

Y resolviendo los coeﬁcientes indeterminados Y resolviendo los coeﬁcientes indeterminados

y

y_p_p 33cc33ee33 x x cc44sen( xsen( x)) cc55cos(cos( x x))

y

y_p_p 99cc33ee33 x x cc44cos( xcos( x)) cc55sen(sen( x x))

Implicando que Implicando que

9

9cc33ee33 x x cc44cos(cos( x x)) cc55sen(sen( x x)) 66 33cc33ee33 x x cc44sen( xsen( x)) cc55cos(cos( x x)) 88 cc33ee33 x x cc44cos(cos( x x)) cc55sen(sen( x x)) ee33 x x

9

9cc33ee33 x x cc44cos(cos( x x)) cc55sen(sen( x x)) 1818cc33ee33 x x 66cc44sen(sen( x x)) 66cc55cos(cos( x x)) 88cc33ee33 x x 8cc8 44cos(cos( x x)) 88cc55sen(sen( x x)) ee33 x x

35

35cc33ee33 x x 77cc44cos(cos( x x)) 66cc44sen(sen( x x)) 77cc55sen(sen( x x)) 66cc55cos( xcos( x)) ee33 x x sen(sen( x x))

Que nos deja con el sistema de ecuaciones siguiente Que nos deja con el sistema de ecuaciones siguiente 35 35cc₃₃ 11 7 7cc44 66cc55 00 6 6cc44 77cc55 11 y resolviendo, tenemos y resolviendo, tenemos cc33 ₃₅₃₅11 ,,cc44 7 7 35 35,,cc55 6 6 65 65

Finalmente, escribiendo la soluci

Finalmente, escribiendo la soluci ´´on general deon general de LL44,, yy yy p p yycc

y y cc11ee 44 x x cc22ee 22 x x 1 1 35 35ee 3 3 x x 77 85 85cos(cos( x x)) 6 6 65 65sen(sen( x x))

(6)

5 5 Co

Comp

mpar

arac

acii´´on con otros m

on con otros m´´etodos

etodos

Primero que nada, vamos a resaltar desventajas y ventajas que tiene

Primero que nada, vamos a resaltar desventajas y ventajas que tiene ´´este meste m´´etodoetodo

•

• Ventaja:Ventaja: Para resolver la soluciPara resolver la soluci ´ón particular de una E.D, es suficiente saber resolver ecuaciones de sistemason particular de una E.D, es suficiente saber resolver ecuaciones de sistemas

lineales y de conocer, el anulador a aplicar. lineales y de conocer, el anulador a aplicar.

•

• DesventajaDesventaja PodrPodr´´ıan quedar un sistema de ecuaciones muy grande a resolver.ıan quedar un sistema de ecuaciones muy grande a resolver.

Comparando con el m´

Comparando con el método de superposiciétodo de superposición y el de variación y el de variación de parón de parámetrosametros

•

• VariaciVariaci´ón de paron de par ´ámetametros vsros vs. . MM´étodo del anuladoretodo del anulador: Vemos que en variaci: Vemos que en variaci ´ón de paron de par´ámetros, de igual formaametros, de igual forma

resolvemo

resolvemos una s una ecuaciecuaci ´ón homogon homog´énea primero (para obtener la solucienea primero (para obtener la soluci ´ón complementaria). Luego, con el mon complementaria). Luego, con el m ´étodoetodo de variaci´

de variación de parón de parámetros hace falta calcular tres determinantes de matrices, y luego integrar, lo que hace mámetros hace falta calcular tres determinantes de matrices, y luego integrar, lo que hace másas largo el proceso.

largo el proceso. La

La ´única ventaja acunica ventaja ac´á sobre el ma sobre el m´étodo del anulador es que, no hace falta resolver sistemas de ecuaciones, pero aetodo del anulador es que, no hace falta resolver sistemas de ecuaciones, pero a mi juicio, es mucho m

mi juicio, es mucho m ´´as preferible, resolverlo, que calcular determinantes de matrices o integrales (pueden seras preferible, resolverlo, que calcular determinantes de matrices o integrales (pueden ser matrices muy grandes, o integrales largas).

matrices muy grandes, o integrales largas).

•

• SuperposiciSuperposici´ón on vsvs. . MM´étodo del anuladoretodo del anulador De igual forma, hay que resolver para la soluciDe igual forma, hay que resolver para la soluci ´ón homogon homog´énea enenea en

ambo

ambos casoss casos. . En el mEn el m´´etodo de superposicietodo de superposici ´´on, antes de llegar a resolver el sistema de ecuaciones (que se haceon, antes de llegar a resolver el sistema de ecuaciones (que se hace en ambos casos tambi

en ambos casos tambi ´én), hay que tener una buena intuicien), hay que tener una buena intuici ´ón para proponer la forma deon para proponer la forma de yy p p, cuando en el m, cuando en el m´étodoetodo

del anulador, solo hace falta resolver una ecuaci´

del anulador, solo hace falta resolver una ecuación homogón homogénea.enea.

Referencias

[1]

[1] 2007, Michael M. Do2007, Michael M. Doughertyugherty,, Lecture 10: Nonhomogeneous Linear ODEs And The Annihilator Method Lecture 10: Nonhomogeneous Linear ODEs And The Annihilator Method , South-, South-western Oklahoma State University, Differential Equations 1.

western Oklahoma State University, Differential Equations 1. [2]