redes hardy cross

(1)

REDES

NETWORKS

Gómez, Gonzalo; Galarza, Rodrigo; Rodríguez, Oscar

u1101344@unimilitar.edu.co

u1101344@unimilitar.edu.co;; u1101342@unimilitar.edu.cou1101342@unimilitar.edu.co;; u1101163@unimilitar.edu.cou1101163@unimilitar.edu.co;;

Universidad ili!ar Nueva Granda

Es!udian!es "ng# civil

$ogo!% D#&#

RESUEN

Se

Se ananalalizaizará rá el el comcompoportartamimienento to de de ununa a rered d de de tutubeberíarías s a a memedidida da quque e se se auaumementntan an loloss caudales, así mismo se verán las diferencias de presiones que estos eperimentan! "l sistema caudales, así mismo se verán las diferencias de presiones que estos eperimentan! "l sistema para e

para efectuar fectuar la prácla práctica tica es es una red una red de tubería de tubería cerrada, cerrada, que cuenta que cuenta con cinco con cinco #$% mal#$% mallas, las, & un& un m'lti

m'ltiple de ple de piez(mpiez(metros #)* etros #)* piez(mpiez(metros%! "l sistema etros%! "l sistema de mallas de mallas cuenta con dos cuenta con dos salidas, cadasalidas, cada una a un vertedero diferente los cuales desa+uan a un canal, el a+ua desaloada sube de nuevo una a un vertedero diferente los cuales desa+uan a un canal, el a+ua desaloada sube de nuevo al tanque +racias a una bomba -idráulica! .ara realizar el balance del sistema se acude al al tanque +racias a una bomba -idráulica! .ara realizar el balance del sistema se acude al m/todo de Hard&01ross!

m/todo de Hard&01ross!

'()($R(S &)(*E

Malla, 2ed cerrada, 1oeficiente de ru+osidad, nodo, descar+a! Malla, 2ed cerrada, 1oeficiente de ru+osidad, nodo, descar+a!

($STR(&T

3ill anal&ze t-e be-avior of a net4or5 of pipes as t-e flo4 is increased6 also see t-e 3ill anal&ze t-e be-avior of a net4or5 of pipes as t-e flo4 is increased6 also see t-e differences of pressures t-e& eperience! 7-e s&stem for performin+ practice is a closed pipe differences of pressures t-e& eperience! 7-e s&stem for performin+ practice is a closed pipe net4o

net4or5, 4it- five r5, 4it- five #$% mes-es, and #$% mes-es, and multimultiple piezometerple piezometers s #)* piezomete#)* piezometers%! 7-e nets rs%! 7-e nets -as t4o-as t4o outputs, eac- to a different landfill 4-ic- a c-annel to drain t-e 4ater displaced a+ain rises to outputs, eac- to a different landfill 4-ic- a c-annel to drain t-e 4ater displaced a+ain rises to t-e tan5 b& a

t-e tan5 b& a -&draulic pump! 7o -&draulic pump! 7o balance t-e sbalance t-e s&stem +oes to t-e Hard&01ross &stem +oes to t-e Hard&01ross met-od!met-od!

KE+WORDS

Mes-, closed net4or5, rou+-ness coefficient, node, flus-! Mes-, closed net4or5, rou+-ness coefficient, node, flus-!

"NTRODU&&"N

"l presente informe pretende an

"l presente informe pretende analizar el comportamiento de una alizar el comportamiento de una red de tuberías, red de tuberías, mediante unmediante un ensa&o de laboratorio! "l ensa&o consiste en suministrar a la red un caudal, el cual será ensa&o de laboratorio! "l ensa&o consiste en suministrar a la red un caudal, el cual será variado, & se tomaran medidas de presi(n para cada uno de estos caudales, en los piez(metros variado, & se tomaran medidas de presi(n para cada uno de estos caudales, en los piez(metros situados a lo lar+o de la red de tuberías!

situados a lo lar+o de la red de tuberías!

Las redes cerradas son conductos ramificados que forman anillos o circuitos, los cuales se Las redes cerradas son conductos ramificados que forman anillos o circuitos, los cuales se alimentan de uno o varios suministros & conducen el a+ua entre ellos o desde ellos, & los alimentan de uno o varios suministros & conducen el a+ua entre ellos o desde ellos, & los nudos & etremos finales por más de un recorrido posible! "n puntos determinados de la red nudos & etremos finales por más de un recorrido posible! "n puntos determinados de la red

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pueden ocurrir descar+as o salidas de a+ua, además de las posibles ramificaciones! "sos puntos se denominan nudos de consumo, pero tambi/n es un nudo el punto en donde cambian

las características del conducto, con su diámetro o su ru+osidad!

"isten diferentes m/todos de análisis de tuberías, los cuales nos sirven para procesos de comprobaci(n de dise8o! Uno de ellos es m/todo de Hard&01ross el cual es un proceso de tanteos directos en el cual los austes -ec-os sobre valores previamente admitidos o adoptados son calculados & por lo tanto, controlados!

-# RED &ERR(D(

Las redes cerradas son conductos ramificados que forman anillos o circuitos, se alimentan desde uno o varios suministros & conducen el a+ua entre ellos o desde ellos, & los nudos & etremos finales por más de un recorrido posible!

"n puntos determinados de la red pueden ocurrir descar+as o salidas de a+ua, además de las posibles ramificaciones! "sos puntos se denominan nudos de consumo! .ero tambi/n es un nudo el punto donde cambian las características del conducto, como su diámetro o su ru+osidad, así no -a&a consumo o ramificaci(n #Ilustraci(n *%!

(3)

Tramo 10 7 r a

m o * 9

(4)

Nudo j

Planta de una nudo típico

Consumo qj Tramo (i+1)2 Caudal Q(i+1)2 7 r a m o i 1 a u d a l : i

"lus!ración

-Una red cerrada de tuberías es aquella en la cual los conductos o tuberías que la componen se ramifican sucesivamente, conformando circuitos o anillos cerrados! Un circuito es cualquier tra&ectoria cerrada que puede recorrer una partícula fluida, partiendo desde un punto o nudo de la red, flu&endo por distintos tramos, -asta lle+ar al punto de partida!

Las redes urbanas de distribuci(n de a+ua potable, las redes de distribuci(n de +as para usuarios urbanos, las redes de distribuci(n de a+ua en distritos de rie+o, las redes de distribuci(n de +as en sistemas de refri+eraci(n, las redes de distribuci(n de aceite en sistemas de lubricaci(n & las redes de distribuci(n de aire en sistema de ventilaci(n, son eemplos clásicos de conformaci(n de redes cerradas de tuberías! Sin embar+o, en esta oportunidad, el análisis se centrará en las redes de distribuci(n de a+ua, cu&a aplicaci(n es de +ran inter/s para los profesionales de las In+enierías Hidráulica, Minas, 1ivil, Industrial, ;+rícola &

Sanitaria!

Las redes urbanas de distribuci(n de a+ua forman ramificaciones sucesivas de tuberías, si+uiendo el trazado de las calles & vías de acceso, conformando circuitos o anillos cerrados, de manera que el a+ua, en un nudo de la red, puede venir por dos o más direcciones distintas, lo cual presenta la ventaa de no interrumpirse el suministro en los eventos de reparaci(n o de mantenimiento!

"l análisis de una red cerrada de tuberías conduce al planteamiento de un sistema de ecuaciones no lineales, de soluci(n mu& laboriosa, que solamente es posible resolver por m/todos de aproimaciones sucesivas, uno de los cuales es el M/todo de Hard& 1ross

-#-#

."DR(U)"&( DE )( &ONDU&&"ON

-#-#-# &ONT"NU"D(D

"n cada nudo se plantea una ecuaci(n de continuidad! ;l nudo lle+ará a+ua por al menos un tubo & desde allí pueden salir caudal como consumo o por uno o más tubos! Sea :i el caudal que circula por el tramo i, que termina en el nudo , & sea q  el caudal que se descar+a en el nudo  #Ilustraci(n <% #*%=

Q_i

=

Q₍_i₊₁₎₁

+

Q_Q₍_i₊₁₎₂

+

Q_j

Ecuación

(5)

-#-#/# ENERG0(

"ntre el etremo de suministro, con frecuencia un tanque, & cada etremo, que puede ser un nudo de consumo, una descar+a sumer+ida en un tanque, una descar+a libre a la atm(sfera o el inicio de otro conducto, se escribe la ecuaci(n de la ener+ía=

Htanque de suministro > Hetremo final ? -f ? -L

Ecuación /

Se deben escribir tantas ecuaciones como sean necesarias para que todos los tubos del sistema queden incorporados en al menos una ecuaci(n de ener+ía! La soluci(n simultánea de las ecuaciones de continuidad & de ener+ía resuelve cualquier tipo de problema en redes abiertas! #<%

-#/#

'RO$)E(S 1UE DE$EN RESO)*ERSE EN REDES &ERRD(S

-#/#-# &%lculo de la 2o!encia3

"n este caso se conocen las características de todos los tramos #L, @, e% & los caudales descar+ados en cada nudo #q%! Se requiere conocer el desnivel entre el tanque superior & la cota de ener+ía en cada etremo de la red #Hi%! Se deben plantear las ecuaciones de continuidad, una para cada nudo, & la ecuaci(n de la

ener+ía entre el tanque más alto & cada uno de los etremos de la red!

-#/#/# Revisión de la ca2acidad 4idr%ulica3

"n este caso se conocen las características de todos los tramos #L, @, e% & la topo+rafía de la red #H7i%! Se requiere conocer el caudal que se descar+a en cada nudo & el caudal en cada tramo! Se deben plantear las ecuaciones de continuidad, una para cada nudo, & la ecuaci(n de la ener+ía entre el tanque más alto & cada uno de los etremos de la red!

(6)

-#/#5# Dise6o de la red3

"n este caso se conocen al+unas características de todos los tramos #L, e%, la topo+rafía de la red #H7i%, la presi(n de servicio & el consumo en cada nudo #q %! Se requiere conocer el diámetro de cada tramo #@%! Se deben plantear las ecuaciones de continuidad, una para cada nudo, & la ecuaci(n de la ener+ía entre el tanque más alto & cada uno de los etremos de la red! "ste problema tiene m'ltiples soluciones! Se preferirá aquella de mínimo costo! #A%

-#5#

&(R&TER"ST"&(S (D"&"ON()ES DE REDES &ERR(D(S

-#5#-# Dise6o de la red3 es!udio de la ecuación de la energía3

"ntre el etremo de suministro, con frecuencia un tanque, & cada etremo final, que puede ser un nudo de consumo, una descar+a sumer+ida en un tanque o una descar+a libre a la atm(sfera, se escribe la ecuaci(n de la ener+ía #Ilustraci(n A% #)%=

Htanque de suministro > Hetremo final ? -f ? -L

(7)

Tramo 10 7 r a

m o * 9 +

(8)

"lus!ración 5

/# &()&U)O DE REDES ETODO DE .(RD+ &ROSS

"l m/todo se fundamenta en dos le&es=

/#-#

)E+ DE &ONT"NU"D(D DE (S( EN )OS NUDOS

La suma al+ebraica de los caudales en un nudo debe ser i+ual a cero # "cuaci(n )%!

∑

j−1 m

(

Qij

+

qi

)

=

0

Ecuación 7

@onde,

:i= 1audal que parte del nudo i o que flu&e -acia dic-o nudo! qi = 1audal concentrado en el nudo i

m = N'mero de tramos que conflu&en al nudo i!

/#/#

)E+ DE &ONSER*(&"N DE )( ENERG0( EN )OS &"R&U"TOS

La suma al+ebraica de las p/rdidas de ener+ía en los tramos que conforman un anillo cerrado debe ser i+ual a cero #"cuaci(n $%!

∑

i−1 j−1 n hfj

=

0

Ecuación 8

@onde,

-f i= ./rdida de car+a por fricci(n en el tramo 7i! n = N'mero de tramos del circuito i

/#5#

E&U(&"ONES $(S"&(S

La ecuaci(n de Hazen B 3illiams ori+inalmente epresa #"cuaci(n C% V =0.355CD0,63Sf 0,54

Ecuación 9

@onde,

D = Delocidad del fluo, mEs!

(9)

@ = @iámetro de la tubería, m!

Sf = ./rdida unitaria de car+a #mEm%

Sf =hf

L

Ecuación :

.or continuidad obtenemos #"cuaci(n F%,

: >D;

Ecuación 

Lue+o #"cuaci(n %, Q

=

0.355 CD0.63

(

hf L

)

π D2 4

Ecuación <

@e la cual resulta #"cuaci(n *9%=

hf

=(

3.5866

/

cD2,63

)

1.851 LQ1.851

Ecuación -=

@onde,

: = 1audal del fluo en el conducto, mA_Es! L = Lon+itud del tramo de tubería, m! -f= ./rdida de car+a, m!

La ecuaci(n anterior se puede transformar de tal manera que el diámetro se eprese en pul+adas & el caudal en lEs, obteni/ndose la si+uiente #"cuaci(n **%!

Hf >

(

56.23

/

C

)

1.851 L D4.87Q 1.851

Ecuación

--Haciendo #"cuaci(n *<% α

=

1 D4,87

(

56.23 C

)

1.851

Ecuación -/

(10)

hf

=

α . L . Q1.851

Ecuación -5

/#5#-# E&U(&"N DE D(R&+ > WE"S$(&.

La ecuaci(n de @arc& B 3eisbac- epresa, en t/rminos de velocidad del fluo, la si+uiente #"cuaci(n *)%=

hf

=

f LV 2

D 2 g

Ecuación -7

donde f es el coeficiente de fricci(n, de @arc&  en t/rminos del caudal, epresa #"cuaci(n *$%=

hf

=

8fL Q 2 π 2g D5

Ecuación -8

Haciendo #"cuaci(n *C%6 β

=

8 f π 2g D5

Ecuación -9

2esulta #"cuaci(n *%= hf

=

βLQ2

Ecuación -:

"n +eneral, la ecuaci(n de p/rdidas de car+a por fricci(n epresa # "cuaci(n *F%= hf

=

rLQn

Ecuación -

@onde,

r

= 1oeficiente de resistencia, cu&o valor depende del tipo de ecuaci(n empleada para el cálculo!

(11)

n = *!F$*, se+'n la ecuaci(n de Hazen B 3illiams! n = <!9 se+'n la ecuaci(n de @arc& B 3eisbac-!

/#7#

E) ETODO DE .(RD+ &ROSS

1orri+e sucesivamente, iteraci(n tras iteraci(n, los caudales en los tramos, con la si+uiente ecuaci(n +eneral #"cuaci(n *%=

∆ Q=

∑

hf

n

∑

hf Q

Ecuación -<

"l coeficiente de fricci(n, f, de la "cuaci(n *A & "cuaci(n *), se calcula con la ecuaci(n de 1olebroo5 B 3-ite, que epresa lo si+uiente #"cuaci(n <9%=

1

√

f

=−

2log

(

k D 3.7

+

2.51 R

√

f

)

Ecuación /=

@onde,

5 = "l coeficiente de ru+osidad de la tubería, mm! @ = @iámetro de la tubería, mm!

2 = "l n'mero de 2e&nolds del fluo, adimensional!

N(tese que la relaci(n 5E@, en la "cuaci(n <9 debe ser adimensional!

; su vez, el n'mero de 2e&nolds, 2, se calcula con la si+uiente ecuaci(n #"cuaci(n <*%= R

=

ρ Dѵ ц

=

D ѵ v

=

4 Q πDv

Ecuación

/-@onde,

v = Delocidad del fluo, mEs!

r = @ensidad del fluido #a+ua%, 5+EmA_!

m = Discosidad dinámica del fluido, 5+Em!s! n = Discosidad cinemática del fluido, m<_Es! @ = @iámetro del conducto, m!

: = 1audal del fluo en el conducto, mA_Es!

La ecuaci(n #*% es una ecuaci(n implícita para f &, por lo tanto, se resuelve iterativamente, por ensa&o & error, en la subrutina )99, aplicando el M/todo de Ne4ton B 2ap-son! N(tese

que, para acelerar el cálculo de f, en esta subrutina se emplea un valor inicial de f > J9, calculado con la si+uiente #"cuaci(n <<%=

(12)

1

√

f

=−

2log

(

k D 3.7

+

5.1286 R5.1286

)

Ecuación //

5# RUDOS"D(D DE) '*&

5#-#

RE?EREN&"(S DE )OS )"$ROS

Material 1oeficiente de Mannin+ n 1oef! Hazen0 3illiams 1H 1oef! 2u+osidad ;bsoluta e #mm% .lástico #.D1% 9!99 *$9 9!99*$ #$% #C% Material 1oef! Hazen0

3illiams #C pul+% 1oef! Hazen0 3illiams #*< pul+% 1oef! Hazen0 3illiams #<) pul+% 1oef! Hazen0 3illiams #)F pul+% .olicloruro de vinilo #.D1% *) *$9 *$< 0 #%

5#/#

?($R"&(NTES DE TU$OS DE '*&

(13)

5#/#/# NO*(?ORT

5#/#5# (GROS"STE(S DE) SUR

(TER"()ES + ETODO)OG0(

La instalaci(n para el ensa&o cuenta con un tanque elevado localizado en la parte superior del laboratorio de Hidráulica, el cual se encar+ara de suministrar el a+ua al sistema, además cuenta con una estructura de cinco mallas con un m'ltiple de piez(metros, #)* piez(metros% para el cálculo de caudales! "l sistema de mallas cuenta con dos salidas, cada una a un vertedero diferente los cuales desa+uan a un canal! "l a+ua desaloada sube de nuevo al tanque +racias a una bomba -idráulica! 7oda la tubería de la red es de .D1!

Se procede a abrir la válvula de desa+Ke que lle+a a dos vertederos para que eista un caudal, & lue+o se toman las lecturas para cada una de las mallas, teniendo en cuenta el n'mero de

(14)

cada piez(metro dado en la tabla para la toma de datos, & además se toma nota de la altura del vertedero #Hv% al final de las lecturas de todos los piez(metros del sistema! "ste procedimiento será repetido nueve veces, es decir para cuatro distintos caudales!

"l montae se muestra en la Ilustraci(n )=

"lus!ración 7

(N()"S"S DE RESU)T(DOS

; partir de la resoluci(n del m/todo Hard&01ross, se observa que a medida que aumenta el n'mero de tanteos, la correcci(n de caudal para todas las tuberías se vuelve más precisa, es decir el : se vuelve cada vez menor! "sto ocurre en cada uno de los caudales, indicando que este m/todo lo que intenta es reducir a partir del tanteo, el valor de :! 1omo se observa en los resultados este valor fue ne+ativo, por lo tanto se le resta a : para obtener :!

(15)

"lus!ración 8

.ara los caudales :$, :C, :, :F & : usamos la secuencia de la Ilustraci(n C=

"lus!ración 9

"sto debido a que la salida de caudal :* debía ser menor que el caudal asumido por el tramo ;01, es por eso que para los 'ltimos $ caudales se us( una distribuci(n de caudal diferente!

.odemos darnos cuenta que los caudales asumidos mediante el m/todo de Hard&01ross van teniendo una correcci(n & al+unos se -acen más peque8os mediante otros se -acen más +rande teniendo en cuenta la conservaci(n de masa! Los resultados se encuentran en el documento aneo #O2edes #<9*A0<%!lP%

Haciendo el análisis de las líneas piezom/tricas como lo muestra el Grafica *, podemos darnos cuenta que los datos en los que fueron ma&ores las cabezas de presi(n debido a ma&or

(16)

cantidad de caudal, fueron las que presentaron ma&or variaci(n en la +ráfica! .or el contrario los datos en donde eisti( menos caudal -ubo una variaci(n mu& peque8a en la línea piezom/trica= 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 PIEZOMETRO LINEA PIEZOMETRICA

Gra@ica

-Modelando nuestra red en ".;N"7 < vimos que las presiones se asemean en al+o a las presiones tomadas en la práctica dándole los patrones de demanda #:s* #caudal salida *% &

:s< #caudal salida <%% en el nudo *C & en el nudo ** como lo muestra la Ilustraci(n ! "n el +rafico podemos ver se+'n las etiquetas mostradas por colores las presiones en cada uno de los nudos & los caudales que transitan por cada una de las tuberías!

(17)

"lus!ración :

La Ilustraci(n  solo muestra la modelaci(n de la primer toma de datos :* #;neo se encuentran la modelaci(n de los demás datos en el arc-ivo comprimido Omodelaci(n ".;N"7!rarP%

(N()"S"S EST(D"ST"&O

Haciendo el análisis estadístico por caudal se muestra en la tabla cual es el promedio, la

mediana, la desviaci(n estándar, la varianza, el :ma & el :min de cada uno de los +urpos de toma de datos! Se puede ver que el :< es el que tiene más varianza es decir fue la toma de datos que más valores fuera de la media tubo, esto pudo ser debido a que fue el caudal ma&or que se tuvo con *C! lps!

P!"#$%! 88&57 74&02 75&09 77&69 98&54 88&09 102&2

3 99&81 78&30 "#$%'N' 89&60 76&30 76&60 79&00 98&90 88&50 102&3

5 100&0 0 79&20 $#%'C%!N #T'N$' 3&228 8561 7 6&506 0553 4 5&002 3774 8 4&421 5837 1&500 5507 1 2&512 7868 1 0&368 1115 3 0&925 7953 1 4&043 08051 '%'N*' 10&42 5512 2 42&32 8756 1 25&02 3780 5 19&55 0402 4 2&251 6524 4 6&314 0975 6 0&135 5061 0&857 0969 5 16&34 65 Q "' 92&00 82&10 81&80 83&80 100&1

0 91&80

102&9 0

100&9

0 84&50 Q "%N 76&10 53&90 57&70 62&90 92&40 79&50 100&8

0 96&40 64&00 #"n el aneo O2edes #<9*A0<%!lP -oa O;nálisis "stadísticoP se encuentra el análisis

(18)

RE&OEND(&"ONES

Se recomienda -acerle mantenimiento a las tuberías & al m'ltiple de piez(metro &a que al+unos piez(metros parece que no están bien calibrados afectando todo el +rupo de datos en el cálculo de resultados! Sería más adecuado tener más especificado en la red el punto eacto en donde se encuentran los piez(metros, & el dato eacto de la altura a la que se encuentra el tanque & la lon+itud del tubo que lo comunica para meores modelaciones & cálculos!

&ON&)US"ONES

Los datos obtenidos a partir del m/todo Hard&01ross muestran que el sistema obtiene unas p/rdidas de ener+ía bastante altas, permitiendo deducir que los nudos son posiblemente nudos

de consumo, es decir que puede -aber una descar+a o una salida de a+ua!

"l comportamiento del caudal que pasa por cada tubería se reflea en cada piez(metro, pues cuando re+istra altas mediciones se puede interpretar que el fluo es alto o por otro lado que la tubería es más del+ada por lo que la presi(n es ma&or!

"n una red cerrada con diferentes diámetros de tubería se puede evidenciar la distribuci(n del caudal de forma diferente! 1on el m/todo de iteraci(n de Hard&01ross podemos lle+ar a un valor más eacto del caudal que pasa por dic-a tubería asumiendo que el caudal parte de formas i+uales por las intersecciones, como lo -icimos en los datos mostrados anteriormente! 1oncluimos que la modelaci(n de la red en ".;N"7 -ace más sencillo el trabao puesto que es un soft4are especializado para tuberías el cual nos -ace el cálculo más rápidamente! .ero tenemos que tener en cuenta que las condiciones en el pro+rama son perfectas, al+o que en la vida real no es así, es por eso que los datos obtenidos eperimentalmente se parecen poco, esto debido a las condiciones del montae!

.udimos comprobar a lo lar+o de los laboratorios & con esto tenemos certeza que las p/rdidas de ener+ía en una tubería están en funci(n de las características propias del material tales como la ru+osidad, del caudal que flu&e por su interior & por la cantidad de accesorios que ten+a el sistema! "n el caso de esta red la +ran cantidad de codos & tees muestran +ran cantidad de p/rdidas en el sistema!

$iAliogra@ía

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Hidraulica de Canales Abiertos. s!l! = McG2;30HILL, *)!

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Ingeniería hidráulica en México. Meico @!T! = s!n!, *C! Dolumen *A!

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1omputer ;pplications in H&draulic "n+ineerin+! ""!UU = $t-"dition, *F!

C!

&a6adas, iguel (ngel ar!ínez#

Hidráulica aplicada a pro&ectos de rie+o! s!l! = Universidad de Murcia, Secretariado de publicaciones, *A!

(19)

!

ndez, anuel *icen!e#

7uberías a presi(n en los sistemas de abastecimiento de a+ua! 1aracas = Universidad 1atolica ;ndres ello, <99!