Unidad 5
Leyes del movimiento
Una fuerza es una acción que tiene la capacidad de cambiar el estado de movimiento de un cuerpo o producirle deformación.
La fuerza tiene carácter vectorial Leyes de Newton.
1er ley de Newton (Inercia)
En ausencia de fuerzas externas un objeto detenido, permanece detenido y un objeto en movimiento permanece en movimiento con velocidad constante
2da ley de Newton
La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa
a=F/m 3er ley de Newton
Si dos fuerzas interactúan la fuerza F12 que ejerce el objeto 1 sobre el 2 es igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza F21 que ejerce el objeto 2 sobre el 1
Fuerza normal= es una fuerza que se produce por tercer ley de newton y siempre es perpendicular a la superficie de contacto
Fuerza de fricción=Es la fuerza que se siempre se opone al movimiento f=µ*N
donde
µ es el coeficiente de fricción sea estático o cinético, el coeficiente estático es siempre mayor que el cinético
Ejemplo
La caja de la figura presenta un coeficiente de fricción cinética de 0,55 y un coeficiente de fricción estática de 0,8. Determine la fuerza normal, la fuerza de fricción, la fuerza resultante horizontal y la aceleración.
En esta figura no aparecen tres fuerza, la normal (N), fricción, y el peso (W), agréguelas
Fuerza normal.
Es perpendicular a la superficie de contacto por lo tanto es una fuerza sobres el eje Y. ∑Fy = 0 = N-W+8sen60 + 3sen30
0 = N – 9,8 + 6,92 + 1,5 0 = N –1,38 1,38N = N Fuerza de fricción fe= μe*N fk = μk*N fe= 0,8*1,38 fk=0,55*1,38 fe= 1,10N fk=0,75N Fuerza resultante horizontal
La fuerza normal siempre se opone al movimiento, por lo tanto su signo se determinará dependiendo del comportamiento del conjunto de las otras fuerzas
∑Fx = - 8cos60 + 2 + 3cos30 +/- f = m.a (recuerde F = ma en el eje donde se mueve)
-4 + 2 + 2,60 +/-f = 1a
0,6 -f = 1a (0,6<fe por lo tanto no se mueve)
Ejemplo
Una masa de 5 kg se encuentra en un plano inclinado que tiene un ángulo de 40° con la horizontal, el coeficiente de fricción cinético es de 0,5 y el coeficiente de fricción estático es 0,65. ¿Cuál es la aceleración de la caja?
Para resolver este tipo de problema, se debe girar imaginariamente la caja, transformando el plano inclinado en un plano horizontal, nótese que el peso de la caja de 5kg es de 49N y el ángulo de 50º es complementario del de 40º. La fuerza normal que no esta marcada en el dibujo apunta hacia arriba en el dibujo transformado
La fuerza normal la despejamos de la suma de fuerzas en “y”. ∑Fy = 0 = -2sen30 + 3cos20 – 49 sen 50 + N
0 = -35,71 + N 35,71N = N Fuerza de fricción fe = μeN fk = μN fe= 0,65 º35,71 fk = 0,5º35,71 fe= 23,21N fk =17,85N
Fuerza resultante horizontal ∑Fx = ma
2cos30 + 3sen20 – 5 – 49cos 50 +/- f = 5ºa (no se sabe si la caja sube o baja para
definr el signo de la fricción)
-33,73 + 17,85 (f) = 5ºa (si se mueve)
-15,88N = 5ºa ( La fuerza resultante es de 32,41N)
-15,88/5 = a -3,17m/s2 = a
R/La aceleración de la caja en el plano inclinado es de -3,17m/s2 a la izquierda
Ejemplo de sistemas de dos cajas
Determine la aceleración y el valor de las tensiones para el siguiente sistema si el coeficiente de fricción cinético es 0,2
Realizamos un diagrama de cuerpo libre para cada una de las masas Para 6kg ∑Fx =0 ∑Fy = T1-mg = ma T1-6°9,8 = -6a T1-58,6 = -6a La aceleración hacia abajo es negativa) Para 3kg ∑Fy =N-W =0 N-29,4=0 N=29,4N f=µ*N f=0,2*29,4 f=5,88N ∑Fx = T1-T2-5,88 = ma T1-T2-5,88 = 3a La aceleración a la derecha es positiva Para 1kg ∑Fy =N-W =0 N-9,8=0 N=9,8N f=µ*N f=0,2*9,8 f=1,96N ∑Fx = T2-1,96 = ma T2-1,96 = 1a La aceleración a la derecha es positiva
Con estas ecuaciones montamos un sistema ordenando en distintas columnas cada letra o número presentes
Para resolverlo con facilidad debemos lograr que en cada fila tengamos las aceleraciones con el mismo signo, de no se así cambie el signo de una fila completa
Si todas las ecuaciones están bien escritas, habrá tensiones con signos contrarios en cada fila, por lo que al sumar hacia abajo se cancelarán. Se despeja la aceleración
50,96/10 = a 5,09m/s2 = a
Si sustituimos la aceleración en la tercer ecuación despejamos el valor de T2 T2-1,96 = 1a
T2 = 5,09+1,96 T2=7,05N
Al sustituir en la primer ecuación obtenemos T1 T1-58,6 = -6a T1 – 58,6 = -6°5,09 T1 – 58,6 = -30,54 T1 = -30,54 + 58,6 T1 = 28,06N Respuesta: La aceleración es de 5,09m/s2, T1 es de 28,06N y T2 de 7,05N Ejemplo
Determine la aceleración y la tensión de la cuerda en la máquina de Atwood
Realizamos un diagrama de cuerpo libre para cada una de las masas Para la masa de 2kg
T – mg = ma T – 2°9,8 = 2a
T – 19,6 = 2a
(positiva por viajar hacia arriba)
Para la masa de 5kg T – mg = ma
T – 5°9,8 = -5a
T –49 = -5a
(negativa por viajar hacia abajo) Montamos el sistema de ecuaciones
Deseamos eliminar una tensión, cambiamos los signos a la ecuación 2 y sumamos
29,4/7 = a 4,2 m/s2 = a
Para encontrar la tensión sustituimos en una ecuación T – 19,6 = 2a
T – 19,6 = 2°4,2
T – 19,6 = 8,4 T = 8,4 + 19,6 T = 28N
Respuesta: La aceleración es de 4,2 m/s2 y la tensión de 28N
Ejemplo
Determine la aceleración del sistema, y las tensiones en las cuerdas si el coeficiente de fricción cinética es 0,1
ΣFy=-W+T1=ma -98+T1=-10a
ΣFy=-Wsenϴ+N=0 -19,6sen60+N=0 N=16,97N f=µN f=0,1*16,97=1,69N ΣFx=-T1+T2+1,69+19,6cos60=-2a -T1+T2+11,49=-2a ΣFy=-W+N=0 -29,4+N=0 N=29,4N f=µN f=0,1*29,4=2,94N ΣFx=-T2+2,94=-3a # T1 T2 = m a -98 T1 = -10a 11,49 -T1 T2 = -2a 2,94 -T2 = -3a -83,57 = -15a -83,57/-15=a 5,57m/s2=a Despejando T1=42,3N y T2= 19,65N Ejemplo
Determine las tensiones T1, T2 y T3 para el sistema
∑Fy = 0 = T1-W 0 = T1-9,8
9,8 = T1
Calcular T2 y T3 no es tan sencillo, requerimos un sistema de ecuaciones que obtenemos de las sumatorias en X y Y, ubicándonos en el punto de unión de las tres fuerzas
∑Fy = 0 = T2sen30 + T3sen45 – T1 0 = T2sen30 + T3sen45 – 9,8 9,8 = T2sen30 + T3sen45
∑Fx = 0 =T2cos30 - T3cos45
Sistema de ecuaciones
Calculando el valor numérico de los senos y cosenos obtenemos
Al introducir los valores a sistemas de ecuaciones de la calculadora lo debemos ordenar
0,5 T 2 + 0,70 T3 = 9,8
a1 b1 c1 0,86 T 2 -0,70 T3 = 0
a2 b2 c2
Al estar T2 primero será la primer solución y T3 la segunda
Respuesta: Los valores de las tensiones T1,T2 y T3 son respectivamente 9,8N 7,20N y 8,84N.
Problemas recomendados del capítulo 5 del Serway
Problema 9
Dos fuerzas F1 y F2 actúan sobre un objeto de 5kg. Si toma F1 =20N y F2=15N,
encuentre las aceleraciones en a) y b) de la figura (problema 9, pag 128, serway, sétima edición) a) F=√(202+152) F=25N F=m a 25=5 a 5m/s2=a =tan ϴ -1(15/20) =36,86º ϴ R/ 5m/s2 36,86º˂ b) Fx=20+15cos60=27,5N Fy=15sen60=13 F=√(27,52+132) F=30,41N F=m a 30,41=5 a 6,08m/s2=a ϴ=tan-1(13/27,5) ϴ=25,3º R/ 6,08m/s2 25,3º˂ Problema 17
La distancia entre dos postes de teléfono es de 50m. Cuando un ave de 1kg se posa entre los postes, el alambre se comba 0,2m. Dibuje el diagrama de cuerpo libre. ¿Cuánta tensión produce el ave en el alambre? (problema 17, pag 129, serway, sétima edición)
Se calcula el ángulo a partir del triangulo formado
=tan
ϴ -1(0,2/25)=0,45º
El diagrama de cuerpo libre es
Fy = Tsen 45+Tsen 45-9,8=0 T=9,8/(2sen0,45)
T=623,89N
Problema 23
Los sistemas que se muestran en las figuras están en equilibrio. Si las balanzas de resorte se calibran en newtons ¿Qué lectura indica en cada caso? Ignore las masas de las poleas y cuerdas, suponga que las poleas y el plano inclinado en el inciso “d” no tiene fricción. (problema 23, pag 130, serway, sétima edición)
Solución
La balanza es un dinamómetro que mide las fuerzas en la cuerda
W=mg W=5*9,8 W=49N
El registro en el dinamómetro es de 49N ya que el peso y la tensión en un lado de la cuerda es igual y el dinamómetro registra la fuerza de la tensión que se conecta al aparato.
b)
El peso es el mismo, la lectura es también 49N, ya que el orden es equivalente al de la parte “a”
c)
El dinamómetro registra el peso de ambas esferas sumado, 98N
d)
F=49cos60=24,5N
26) Un objeto de 5kg colocado sobre una mesa horizontal sin fricción se conecta a una cuerda que pasa sobre una polea y después se une a un objeto colgante de 9kg, como se muestra en la figura. Dibuje el diagrama de cuerpo libre y encuentre la aceleración de los objetos. (problema 26, pag 130, serway, sétima edición)
W=m*g=9*9,8=88,2N
Fy=-88,2+T=-9a cambiando signos 88,2-T=9a
Fx=T=5a
Sumando las ecuaciones 88,2-T=9a
T =5a 88,2=14a 88,2/14=a 6,3m/s2=a
28) Dos objetos se conectan mediante una cuerda ligera que pasa sobre una polea sin fricción, como se muentra en la figura. Dibuje diagramas de cuerpo libre de ambos objetos. Si supone que el plano no tiene fricción m1=2kg, m2=6kg =55º encuentre laϴ aceleración de los objetos, b) la tensión en la cuerda c) la rapidez de cada objeto 2s después de que se liberan desde el reposo. (problema 28, pag 130, serway, sétima edición)
Como es sin fricción solo se realizan los cálculos en el eje con movimiento Para M1
W=m*g=2*9,8=19,6N Fy=-19,6+T=2a Para M2
Fx=-T+58,8cos35=6a Sumando ambas ecuaciones
-19,6 +T=2a -58,8cos35-T=6a 28,56=8ª
28,56//8=a 3,57m/s2=a
31) En el sistema que se muestra en la figura , una fuerza horizontal Fx actúa sobre el objeto de 8kg. La superficie horizontal no tiene fricción. Examine la aceleración del objeto deslizante como una función de Fx a) ¿Para que valores de Fx el objeto de 2kg acelera hacia arriba? B) ¿Para que valores de Fx la tensión en la cuerda es cero? (problema 31, pag 131, serway, sétima edición)
a) Para contestar esta pregunta tenemos que pensar para que valor deja de caer y se detiene.
Fy=-19,6+T=0 T=19,6N
Para cualquier fuerza mayor a 19,6N la fuerza hace subir la caja b) Para encontrar el momento de tensión cero, analizamos la caja superior
ΣFx=-T+Fx=-8*a 0+Fx=-8*9,8
Fx=-78,4N osea una fuerza a la izquierda de 78,4N
35) Un automóvil viaja a 50mi/h en una autopista. A) Si el coeficiente de fricción estática entre el camino y las llantas en un día lluvioso es 0,1 a)¿Cuál es la distancia mínima en la que el automóvil se detendrá? (problema 35, pag 131, serway, sétima edición) Fy=N-W=0 N=W=m*9,8 f=µ*N= 0,1*(m*9,8) f=0,98m Fx=-f=m*a -0,98m=ma Cancelando m -0,98m/s2 =a 50mi 1609m 1h =22,34m/s h 1milla 3600s
Vf2=vi2 + 2*a*d
02=22,32 + 2*-0,98*d
-499/-1,96=d 254,59m=d
37) Su libro de física de 3,8kg está junto a usted sobre el asiento horizontal de su automóvil. El coeficiente de fricción estática entre el libro y el asiento es 0,65 y el coeficiente de fricción cinética es 0,55. Suponga que viaja a 72km/h =20m/s y frena hasta detenerse sobre una distancia de 45m a) ¿El libro comenzará a delizarse sobre el asiento? ¿Qué fuerza ejercerá el asiento sobre el libro en este proceso?
Fy=N-W=0 N=W=3,8*9,8 N=37,24N
Para que el objeto se mueva se debe superar la fricción estática f=µ*N= 0,65*37,24
f=24,20N
La fuerza se puede determinar a partir de la aceleración Vf2=vi2 + 2*a*d 02=202 + 2*a*45 -400/90=a -4,44m/s2 =a F=ma F=3,8*4,44 F=16,87N
La fuerza que se genera al desacelerar es menor a la fricción estática máxima, por lo que no se mueve el libro
La fuerza sobre el libro es 16,87N hacia atrás y 37,24N hacia arriba
39) Un bloque de 3kg parte del reposo en lo alto de un plano inclinado 30° y se desliza una distancia de 2m hacia abajo por el plano en 1,5s
a) Encuente la aceleración del bloque
d=vi*t+1/2 a t2
2=1,125*a 2/1,125=a 1,77m/s2
b) Coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano Fy=N-29,4sen60=0 N=25,46N f=µ*N= µ*25,46 Fx=f-29,4cos60=-3*1,77 µ*25,46-29,4cos60=-5,31 µ*25,46=-5,31+29,4cos60 µ*25,46=9,39 µ=9,39/25,46 µ=0,36
c) La fuerza de fricción que actua sobre el bloque f=µ*N= 0,36*25,46=9,39N
d) La rapidez del bolque después de deslizarse 2m Vf=vi+a*t
Vf=0+1,77*1,5 Vf=2,65m/s
43) Dos bloque unidos mediante cuerdas de masa despreciable se arrastran mediante una fuerza horizontal. Suponga que F=68N m1=12kg y m2=18kg y el coeficiente de fricción entre cada bloque y la superficie es 0,1. Determine la tensión y la aceleración. N=W=12*9,8 N=W=18*9,8 N=117,6N N=176,4N f=µN f=µN f=0,1*117,6 f=0,1*176,4 f=11,76N f=17,64N Fx=-11,76+T=12*a Fx=-17,64-T+68=18*a -11,76+T=12*a 50,36-T=18*a
Sumando las ecuaciones 38,6=30a 1,28m/s2=a Tensión -11,76+T=12a T=12*1,28+11,76 T=27,12N
