Dinámica de Fluidos

8: DINÁMICA DE FLUIDOS

8.1 INTRODUCCIÓN

La hidrodinámica estudia el movimiento de los líquidos y junto con la hidrostática constituyen la hidráulica. En general, el estudio del movimiento de los líquidos es muy complejo. Sin embargo, en un modelo teórico en el cual consideramos el movimiento de un fluido ideal, éste estudio es simple y es el que aquí presentamos. A pesar de ser un modelo válido para fluidos ideales, en las aplicaciones prácticas existen diversas situaciones físicas en las cuales éste modelo se cumple con mucha aproximación.

8.2 FLUIDO IDEAL

Un fluido se puede considerar ideal si presenta las siguientes características:

FLUIDO INCOMPRESIBLE

La densidad del fluido es constante en el tiempo. Los líquidos presentan ésta característica.

FLUJO UNIFORME, ESTABLE O LAMINAR

La velocidad de las partículas y la presión del fluido, presenta el mismo valor al pasar por un punto determinado de la conducción (tubería, canal, ducto, etc.). Esto sucede para valores de velocidad relativamente bajos, dependiendo de la naturaleza del fluido, y en este caso las trayectorias que describen las partículas en su movimiento o líneas de corriente, no se cruzan entre sí, ver fig.8.1.

FLUJO NO VISCOSO

En el movimiento de un fluido real, existe una fuerza de fricción interna asociada al desplazamiento relativo entre capas adyacentes. Esto se conoce como viscosidad. Si el flujo es a través de una conducción, la fricción del fluido con las paredes del conducto dan como resultado que las capas de fluido próximas a las paredes tengan una menor velocidad, ver fig. 8.2. Si el fluido es no viscoso, la velocidad de sus partículas es la misma sobre toda la sección transversal de la conducción.

Fig. 8.1 Flujo uniforme y no uniforme

v_{salida v’}

FLUJO IRROTACIONAL

Si las partículas del fluido en su movimiento no presentan un momento angular resultante. Experimentalmente esto se verifica observando el movimiento de una rueda de paletas ubicada dentro del fluido. Si la rueda no rota, el flujo es irrotacional, ver fig.8.3.

8.3 CAUDAL O GASTO Y LA ECUACIÓN DE

CONTINUIDAD

CAUDAL

Se define como caudal al volumen del fluido que pasa por la sección transversal de la conducción en la unidad de tiempo. Expresado matemáticamente:

t V

G (8.1)

Fig. 8.2 Flujo viscoso y no viscoso

Flujo Flujo

Fig. 8.3 Flujo rotacional e irrotacional

Flujo

 0 Flujo

Dónde, “V”, es el volumen de fluido que atraviesa la sección transversal de la conducción en el tiempo “t". El gasto se expresa en unidades de volumen por unidad de tiempo. En el S.I., en m3_/s.

Se puede demostrar qué, para un fluido ideal, una relación equivalente para el caudal es:

A v t V

G  (8.2)

Donde, “A” es el área de la sección transversal y “v”, la velocidad del fluido en ese punto de la conducción.

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

Si el fluido es ideal, la ecuación de continuidad establece que, “cualquiera

que sea la forma del conducto, el caudal es constante a lo largo de la conducción”, esto es,

G = A1 v1 = A2 v2 (8.3)

Es decir,

G = A v = constante,

Una consecuencia inmediata de la ecuación de continuidad es que la velocidad del fluido es mayor en los puntos de la conducción donde la sección se reduce y es mayor en los ensanchamientos, ver fig.8.4.

Fig. 8.4 Flujo ideal a través de una conducción de sección variable

A₁ v₁

A₂

8.4 LA ECUACIÓN DE BERNOULLI

Cuando un líquido que se mueve a través de una conducción de sección transversal y altitud variable, varía la presión a lo largo del mismo. En 1738, El físico suizo Daniel Bernoulli (1700-1782) dedujo una expresión que relaciona la velocidad, la presión y la altitud en cada punto de la conducción.

Ésta relación se puede obtener aplicando el teorema del trabajo y la energía, el cual relaciona el trabajo neto con la variación en la energía cinética, al movimiento de una “porción” del líquido cuando éste se encuentra en dos posiciones diferentes de la conducción.

El teorema del trabajo y la energía establece que:

2 2 1 mv -2 2 2 mv neto W 

Apliquemos éste teorema al flujo a través de una conducción de altitud variable. Consideremos una “porción” de volumen del líquido que avanza por la conducción, como se muestra en la fig.8.5.

El resultado neto de éste movimiento es como si el elemento de volumen, de masa “m”, cambiara de la posición con altitud h1 a la posición h2,

Así, el trabajo neto realizado por las fuerzas externas en éste proceso es: 2 mv -2 mv W W 2 1 2 2 gravedadde fuerza presión fuerzasde  2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 mv 2 1 mv 2 1 mgh mgh Δx A p Δx A p     

Notando que: A1Δx1 = A2Δx2 = V y m = líquidoV, en la ec. anterior,

simplificando y ordenando términos con igual subíndice, obtenemos:

2 2 2 2 2 1 1 1 ₂ρv 1 ρgh p ρv 2 1 ρgh p      (8.4)

Por tanto, a lo largo de la conducción:

constante ρv 2 1 ρgh p_{ } 2 _

Ésta relación se conoce como la Ecuación de Bernoulli. Los dos primeros términos en ésta ecuación se denominan presión estática y el tercer término, presión dinámica, luego, podemos afirmar que a lo largo de la

Fig. 8.5 Flujo a través de una conducción de altitud

Variable. h₁ p₁A₁ Δx1 v 1 mg Δx2 mg h₂ p₂A₂ v₂ Nivel de referencia Flujo v₁

conducción la suma de las presiones estática y dinámica permanece constante.

La ecuación de Bernoulli, aun cuando se ha obtenido para un líquido, es válida para todo fluido que pueda ser considerado “ideal”.

El trabajo realizado por las fuerzas de presión, es decir, el trabajo realizado por el medio circundante para mover el líquido, es:

V

Δp

Δx

A

p

Δx

A

p

W







Luego, la rapidez con la cual se realiza éste trabajo o potencia, será:

G p t V p P  (8.6)

8.5 ALGUNAS APLICACIONES DE LA ECUACION DE

BERNOULLI

TOREMA DE TORRICELLI

Consideremos un depósito abierto que contiene un líquido, el cual sale a través de un orificio practicado en él a una cierta profundidad, ver fig.8.6. Si se desea obtener la velocidad de salida del líquido, podemos considerar el caso como el flujo de un líquido a través de una conducción en la cual la sección transversal se reduce considerablemente.

Note qué, el área de la sección transversal del orificio es mucho menor que la del depósito (A1 A2), luego, la aplicación de la ecuación de

continuidad nos reporta que v2 v1  0. Luego, al aplicar la ec. de

Bernoulli en los puntos 1 y 2, con un nivel de referencia pasando por el punto 1 (h1 = 0), obtenemos: 2 líquido o 2 1 líquido o p gh 2 v p    De donde: 2 1 2gh v  O simplemente, 2gh v_salida , (8.7)

Donde, h, es la profundidad a la cual se ha practicado el orificio. Éste resultado se conoce como el Teorema de Torricelli.

v_salida p_o h_{2 Nivel de} referencia 1 2

Fig. 8.6 Fuga del líquido de un depósito a través de un orificio 2

MEDIDOR DE VENTURI O VENTURÍMETRO

Es un dispositivo que sirve para medir la velocidad del flujo de un fluido de densidad conocida. Básicamente consiste de un tubo en forma de “U” que generalmente contiene mercurio; una rama se fija al punto donde se desea conocer la velocidad y la otra rama, a un punto cercano donde previamente se ha practicado un estrechamiento, de modo que el área de las secciones transversales también es conocida, ver fig.8.7.

En el caso particular de que el fluido es un gas, después que el mercurio alcanza el equilibrio se registra la diferencia de niveles en las dos ramas y = ho. Éste desnivel se debe a la diferencia de presiones entre los puntos 1 y

2; el flujo es de izquierda a derecha, debido a que p1p2.

Si hacemos coincidir el nivel de referencia con el eje de la conducción (h1

= 0 y h2 = 0) y aplicamos la ec. de Bernoulli en los puntos 1 y 2,

obtenemos:

Flujo de gas

Fig. 8.7 Medidor de Venturi

h_o Diferencia de alturas en la ramas del mercurio

1

2 2 gas 2 2 1 gas 1 v 2 1 p v 2 1 p      De donde: (A) ) v v ( 2 1 p p 2 1 2 2 gas 2 1    

Ésta diferencia de presiones se puede hallar observando que el mercurio se encuentra en equilibrio, luego, aplicando la ec. fundamental de la hidrostática, obtenemos:

p1- p2 =mercurio g ho (B)

Igualando (A) y (B), se tiene:

(C) h g ) v v ( 2 1 o mercurio 2 1 2 2 gas   

Además, haciendo uso de la ec. de continuidad, A1v1 =A2v2, tenemos: 2 1 2 2 2 1 2 2 v A A v _       

Usando éste resultado en la ec. (C) y resolviendo para v1, obtenemos:

              1 A A ρ h g ρ 2 v ₂ 2 1 gas o mercurio 1 (8.8)

8.6 PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Por una manguera contra incendios de 6,35 cm de diámetro fluye agua a razón de 3π Litros/s. La manguera termina en una boquilla de 2 cm de diámetro interior. ¿A qué velocidad sale el agua de la boquilla?

2. En una tubería horizontal, fluye el agua con una velocidad de 4 m/s bajo una presión de 280000 N/m2_{. La tubería se estrecha hasta la mitad de}

su diámetro original. Determinar el valor de la velocidad y de la presión del agua en la parte más estrecha?

3. Por una tubería horizontal, que tiene un estrangulamiento, fluye agua. La presión es 45 KPa en un punto donde la rapidez es 2 m/s. Encuentre la presión en donde el área de la sección se reduce a la cuarta parte.

4. Un tubo horizontal de 10 cm de diámetro tiene una reducción uniforme que lo conecta con un tubo de 5,0 cm de diámetro. Si la presión del agua en el tubo más grueso es 8,0 x 104 _{Pa, y la presión en el tubo más}

delgado es 5,0 x 104 _{Pa. Determínese el caudal del flujo de agua que}

pasa a través del tubo de área mayor.

5. En un gran tanque de almacenamiento lleno de agua se forma un pequeño orificio en su costado en un punto 5.0 m debajo de la superficie libre del agua. Si el caudal de agua en la fuga es 2,5 πL/s, el diámetro del orificio es:

6. Hallar a la velocidad de salida del agua a través del orificio. El aire en el recipiente cerrado está a una presión manométrica de 1,88 x105 _Pa.

7. Por un orificio, en el fondo de un depósito abierto y lleno de agua hasta una altura de 4 m, se escapa un caudal de 50 L/min. Calcular el nuevo caudal si sobre la superficie libre se aplica una sobrepresión de 50 KPa.

8. El tubo de Venturi, ver figura, tiene secciones transversales de áreas A en (1) y A/5 en (2), respectivamente. La diferencia de alturas de las columnas de Hg es H = 480/12,6 m. Hallar la velocidad del agua en el estrechamiento (2).

9. En el tubo de la figura pasa aire con una rapidez de 36 litros por segundo. Si las secciones transversales de la parte ancha y estrecha son 2 cm2 _{y 0,5 cm}2_{, respectivamente. ¿Cuál es la diferencia de niveles que}

10. Se impulsa un gas, que se encuentra a

presión atmosférica, a través del

tubo horizontal que se muestra. Si la

densidad del gas es 1,36 Kg/m3_{, hallar la}

velocidad del flujo en el punto A. La altura de la columna de mercurio es 16 cm. 16cm C A B 6cm 6cm 2cm Hg

11. Un barquillo de helado, en forma de un cono circular, tiene 27 cm2 _de

sección en su parte ancha. En el fondo del barquillo se practica un orificio de 1 mm2_{, por el cual el helado fundido ( =1,2 g/cm}3_{) empieza}

a salir. Si inicialmente en el barquillo lleno al ras hay 108 gramos de helado, determinar el caudal de salida del helado por el orificio, inmediatamente después de practicar el orificio. Desprecie la viscosidad.

12. Mediante una fuerza constante F aplicada a un émbolo se expulsa completamente un litro de agua contenida en un cilindro que tiene un orificio de salida, ver fig., en un tiempo de 100 segundos. Si el orificio de salida tiene una sección transversal de 1 cm2_{, determinar el trabajo}