05 Libro de Trigonometría Pag 127-148

22 

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Texto completo

(1)

Trigonometría

Trigonometría

(2)
(3)

1

Resolución de triángulos oblicuángulos

I (Senos y proyecciones)

Concepto

Resolver un triángulo es determinar la medida de los tres lados y ángulos.

Para resolver un triángulo oblicuángulo es suficiente conocer la medida de tres elementos entre ángulos y lados, donde por lo menos uno de ellos debe ser un lado.

Ley de senos

En un triángulo ABC A C B c a b Se cumple: a SenA = b SenB = c SenC = 2R  R: Circunradio

Demostración

Todo triángulo es inscriptible en una

circunfe-rencia tal como se observa en la figura:

A Q C B c R  a R  C A

Por B trazamos un segmento que pasa por el centro

de la circunferencia hasta Q. (BQ = 2R; R: Radio).

Observar que:

m

BAQ = 90º y m

BCQ = 90º

  Además:

m

BQA = C y m

BQC = A

  Entonces:

BAQ = SenC = 2R C

SenCC  = 2R ... (1) BCQ = SenA = 2R a

SenAa  = 2R ... (2) Igualando (1) y (2) c SenC = a SenA = 2R ... (

α

)

Trazamos el diámetro que pasa por A se

demues-tra en forma análoga: b SenB = c SenC = 2R ... (

β

)  Se demuestra de (

α

) y (

β

): a SenA = b SenB = c SenC = 2R 

Ley de proyecciones

En todo triángulo ABC:

A C

B

c a

b

a = b CosC + cCosB b = a CosC + c CosA c = a CosB + b CosA

Demostración:

En la figura, trazamos BH: A C B c a m n H b

(4)

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

OBLICUÁNGULOS I (SENOS Y

PROYECCIONES)

Trabajando en clase

Se determina sobre el lado AC dos segmentos m y

n tal que: b = m + n AHB: m = c CosA CHB: n = a CosC m + n = c CosA + a CosC

b = c CosA + a CosC

Advertencia pre

En todo triángulo oblicuángulo se cumple:

a = 2R SenA

b = 2R SenB

c = 2R SenC

donde: R: circunradio

Integral

1. Según el gráfico mostrado, calcula «b».

A B C b 7 30º 53º 2. En un

ABC, m

∠+

C = 60º

 R = 4. Calcula «c» donde R: circunradio. 3. Se tiene un

ABC, m

A = 45º; m

B = 120º; a = 2. Calcula «b». PUCP 4. En un

ABC: a = 3

 b = 5.

Calcula: S = 2SenB + SenA2SenB – SenA Resolución:

Por ley de senos: SenB = 2R b

 SenA = 2R a Luego: S = 2

2R b  +2R a 2

2R b  –2R a  = 2n + a2b – a  = 2(4) + 32(4) – 3 22R b  – 2R a S = 115  = 2,2 5. En un

ABC: a = 10; b = 13

 c = 15

6. De la figura, calcula «x» (ABCD: trapecio).

A B a 2

θ

C x D

θ

7. En un

ABC, se cumple: SenA 2  = SenB 3  = SenC 4 Calcula: F = b 2 + c2 b2 – a2 UNMSM 8. Para un

ABC, reduce:

M = (a + b) CosC + (a + c) CosB + (b + c) Cos A Resolución:

M = (a + b) CosC + (a + c) CosB + (b + c) Cos A

M=aCosC+bCosC+aCosB+cCosB+bCosA+cCosA ordenando, se tiene: M=(aCosC+cCosA)+(bCosC+cCosB)+(aCosB+bCosA) b a c (Ley de proyecciones)

 M = a + b + c

9. Para un

ABC, reduce:

N = a(CosB + CosC) + b(CosA + CosC) +

(5)

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

OBLICUÁNGULOS I (SENOS Y

PROYECCIONES)

10. En un

ABC; de lado a, b

 c, ¿a qué es igual? F = c – aCosBaSenB

11. En un

ABC, simplifica:

R = (a – bCosC)TanB+bSenC

Sen(A + B) UNI

12. De acuerdo al gráfico, calcula «Cos

α

».

7 5

α

3

α

Resolución:

Aplicando la ley de senos, tenemos:

Sen5

α

 = Sen37

α ⇒

Sen5

α

 = Sen

α

(2Cos27

α

+1) 10Cos2

α

 + 5 = 7

 10Cos2

α

 = 2

 Cos2

α

 = 1

5

 2Cos2 – 1 = 1 5

 Cos 2

α

 = 3 5

 Cos

α

 = 35

13. De acuerdo al gráfico, calcula «Sen

α

».

A B

C

7 9

3x x

14. En el

ABC, si a = 14; b = 10

 c = 12. Calcula el valor de la expresión: M = CscC – CscACscB – CscA

(6)

2

Resolución de triángulos oblicuángulos

II (Cosenos y Tangentes)

Ley de cosenos

A c B a C b

Demostración

Trazamos la altura BH, determinándose los

trián-gulos rectántrián-gulos BHA y CHB.

A b B a C H bSenA bCosA c–bCosA C  En el BHC: (teorema de Pitágoras) a2 = (bSenA)2 + (c – bCosA)2

a2 = b2SenA2 + c2 – 2bcCosA + b2Cos2A

a2 = b2(Sen2A + Cos2A) + c2 – 2bcCosA             uno

 a2 = b2 +2 –2bcCosA

Ley de tangentes

a – b a + b = Tg A – B 2 Tg A + B 2 a – c a + c = Tg A – C 2 Tg A + C 2 b – c b + c = Tg B – C 2 Tg B + C 2 Nota: En un

ABC se cumple: (2p: perímetro)

P = R(SenA + SenB + SenC)

Demostración

Sabemos pr el teorema del seno:

a = 2RSenA

 b = 2RSenB  Dividiendo se tendrá: a b = 2RSenA 2RSenB

a b = SenA SenB  Aplicando proporciones: a – b a + b  = SenA – SenB SenA + SenB a – b a + b = 2Sen A – B 2  Cos A + B 2 2Sen A + B 2  Cos A – B 2 a – b a + b = 2Sen A – B 2  Cos A + B 2 2Sen A + B 2  Cos A – B 2 a – b a + b  = Tg A – B 2  Ctg A + B 2

a – ba + b = Tg A – B 2 Tg A + B 2 Nota De Ley de cosenos: CosA = b 2 + c2 – a2 2bc a2 = b2 + c2 – 2bc CosA b2 = a2 + c2 – 2ac CosB c2 = a2 + b2 – 2ab CosC A b B a c C

(7)

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

OBLICUÁNGULOS II (COSENOS Y

TANGENTES)

Trabajando en clase

Integral 1. En un

ABC, si m

B = 120º; b = 3 ; c = 1. Cal-cula la longitud del lado «a».

2. Del gráfico, calcula «x».

A B

C

2 x

60º

3. Del gráfico mostrado, calcula «m».

A B C 2m 4 2 m 13 135º PUCP

4. En el gráfico mostrado, calcula «x».

A C B D 6 x 8 37º 30º 60º Resolución:

BCD: BC = a

 Aplicando ley de senos, tene-mos: a Sen30º = 6 Sen37º

 a = 6 Sen30º Sen37º a = 6 1 5 1 5

 a = 5

Luego,

ABC

 aplicando ley de cosenos, tene-mos: x2 = 82 + 52 – 2.8.5 Cos60º x2 = 64 + 25 – 80 1 2 x2 = 89 – 40

 x2 = 49

 x = 7

5. Del gráfico mostrado, calcula «m».

A C B D m 4 2 2 45º 30º

6. En el triángulo mostrado, calcula «a».

(2a+1) (2a+3) (2a–1) A C B 120 º

7. En un

ABC de lados a, b

 c respectivamente, se cumple que:   Tan A – C 2  Cot A + C 2 = 1 3   Calcula: SenASenC

UNMSM 8. En un

ABC, se cumple: a + ba + c  = c – ab Calcula la m

c. Resolución: A B C b a c Del dato: a + b a + c  = c – a b operando tenemos:

(8)

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

OBLICUÁNGULOS II (COSENOS Y

TANGENTES)

ab + b2 = (a + c)(c – a) ab + b2 = c2 – a2 Luego: c2 = a2 + b2 + ab ... (1)

por ley de cosenos:

c2 = a2 + b2 – 2abCosc ... (2) (1) = (2): a2 + b2 + ab = a2 + b2 – 2abCos ab = –2abCosc

 Cosc – 1 2

C = 120º 9. En un ---ABC se cumple: (a + b + c)(b + c – a) = bc 4 Calcula «CosA»

10. En un

ABC de lados a, b

 c respectivamente, reduce:

N = 2(a+b)2Sen2 c

2  – 2ab + (a

2 + b2)Cosc

11. En un ----ABC, se cumple que:

A = 45º; b = 10 2

 c – a = 8 Calcula la longitud del lado «c».

UNI

12. En un

ABC,

c = 60º

 a = 3b. Determina el  valor de S = Tan(A – B) Resolución: C B B a=3b 60º b

 A + B = 120º

Por ley de tangentes a + b a – b  = Tan A + B 2 Tan A – B 2

3b + b3b – b = Tan 120 2 Tan A – B 2

4b2b = Tan60º Tan A – B 2

 Tan A – B 2  = 3 2 Luego: Tan(A – B) = 2Tan A – B 2 1 – Tan2 A – B 2

 Tan(A – B) = 2

3 2 1 – 3 2 2  = 3 1 – 3 4

 Tan(A – B) = 4 3

13. En un

ABC,

B = 30º; a = 4c. Determina el va-lor de:

F = Tan(A – C)

14. En un

ABC, se cumple que: a + c

a – c  = 4Tan B2

 Cot A –C2 Calcula:

(9)

3

Ecuación trigonométrica

Las identidades son ecuaciones que contienen funciones trigonométricas que verifican para todo  valor de la variable (valor admisible).

En esta lección estudiaremos las ecuaciones que contienen funciones trigonométricas que verifican solo para ciertos valores, a dichas ecuaciones llamaremos ecuaciones trigonométricas.

Ejemplos

Tgx + Ctgx = SecxCscx : identidad Sen2x + Cos2x = 1 : identidad

Senx = 1 2 : ecuación trigonométrica Cos x –

π

2 = 1 2  = 3 2 : ecuación trigonométrica

Clasificación de ecuaciones trigonométricas

I. Ecuaciones trigonométricas elementales

Son de la siguiente forma: F.T. (ax + b) = N Ejemplos: Sen3x = 3 5 Ec. T. Elemental Cos x –

π

2 = 1 2 Ec. T. Elemental Tg 2x –

π

3 =1 Ec. T. Elemental Resuelve Cosx = 2

2

 > 0, hay solución en el Iy IV cuadrante x = 45º, 315º

Para obtener las demás soluciones se les va agre-gando o restando 360º a cada valor obtenido. Resuelve Sen(2x) = 1

2

 > 0, hay solución en el I y II cuadrante 2x = 30º, 150º

 x = 15º, 75º

II. Ecuaciones trigonométricas no elementales

Son ecuaciones que requieren del uso de opera-ciones adicionales para convertirlos en ecuacio-nes elementales, estas operacioecuacio-nes pueden ser transformaciones, identidades, operaciones alge-braicas, etc.

Recuerda

Si Senx = N Si Cosx = N

 x = ArcSen(N)

 x = ArcCos(N) –

π

2

x

≤ π

2 0

 x

≤ π

–1

 N

 1

Trabajando en clase

Integral

1. Resuelve e indica la primera y segunda solución de la ecuación trigonométrica:

Sen3x = 1 2

2. Resuelve e indica la segunda solución de la E. T. 2Cos5x – 2  = 0

3. Indica la suma de las dos primeras soluciones po-sitivas de:

3Tan2x – 3  = 0

PUCP

4. Halla el menor valor positivo que toma «x» en la E.T.

(10)

ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA

1 1 + Cosx = 1 1 – Cosx = 8 Resolución: Operando, tenemos: 1 – Cosx + 1 + Cosx (1 + Cosx)(1 – Cosx)  = 8 2 1 – Cos2x = 8

1 Sen2x = 4

1 = 2

2Sen2x   2Sen2x = 1 2

 1 – Cos2x = 1 2

 Cos2x = 1 2 Luego: 2x = 60

 x = 30º

5. Halla el menor valor positivo que toma «x» en la E.T. 1 1 + Senx = 1 1 – Senx = 8 3 6. Resuelve: 1 + Cosx = 2Sen2x

Indicando la suma de sus dos primeras soluciones positivas.

7. Resuelve e indica la solución en el intervalo

270º; 360º

 de la E. T.

Senx + Sen3x + Sen5x = 0 UNMSM

8. Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica Sen5x + Senx = Cos5x + Cosx; x

0;

π

2

Resolución:

Por transformaciones, tenemos: 2Sen3x Cos2x = 2Cos3xCos2x 2Cos2x(Sen3x – Cos3x) = 0

Cos2x = 0

 Sen3x – Cos3x = 0

2x = 90º; 270º

 Sen3x = Cos3x

Cos3xSen3x = 1 x = 45º; 135º

 Tan3x = 1

 3x = 45º;225º;405º

x = 15º; 75º; 135º Los valores de «x» son: {15º; 45º; 75º} o

π

12

π

4 5

π

12 ; ;

9. Calcula la menor solución positiva de la E.T. Sen5x + Sen13x = 3 (Cos5x + Cos13x)

10. Resuelve la E. T.: 3 Cosx = 1 + Senx, donde x

 [0º; 360º]

11. Resuelve e indica la suma de las dos primeras so-luciones positivas de la E. T.:

Sen6x – Sen2x = 3  Cos4x UNI 12. Resuelve la E. T. en el intervalo

0; 32

π

Sen3x + 2Cos2x + 1 = 0 Resolución: Sen3x + 2Cos2x + 1 = 0

3Senx – 4Sen3x + 2(1 – 2Sen2x) + 1 = 0

3Senx – 4Sen3x + 2 – 4Sen2x + 1 = 0

(3Senx + 3) – 4(Sen3x + Sen2x) = 0

 3(1 + Senx) – 4Sen2x (1 + Senx) = 0

(1 + Senx)(3 – 4Sen2x) = 0

1 + Senx = 0

 Senx = – 1

x = 270º 3 – 4Sen2x = 0

 3 = 4Sen2x

  2Sen2x = 3 2

 1 – Cos2x = 3 2 1 – 3 2  = Cos2x

 Cos2x = – 1 2 ; x = 60º

 2x = 120º; 240º; 480º; 600º x = 60º; 120º; 240º; 300º

 x =

π

3

3 4

π

3 ; ; 13. Resuelve la E. T. en el intervalo

0;

π〉

Cos6x + 3 = 4Cos2x, e indica la mayor solución.

14. Calcula la suma de las tres primeras soluciones positivas de la ecuación:

2Cos2x = –4Cosx – 3

(11)

4

Solución general de una ecuación

trigonométrica

El objetivo de este capítulo es encontrar la solución general que satisface a una ecuación trigonométrica.

Definiciones

Valor principal (Vp)

Es el valor que asume el arco cuando se aplica la función inversa.

Si Snx = N

 Vp = ArcSen(N)

También Si Cosx = N

 Vp = ArcCos(N) Si Tgx = N

 Vp = ArcTg(N) Ejemplos: Si Tg x 3  = 1

 Vp = ArcTg(1)

 Vp =

π

4 Si Cos 2x –

π

6 = 1 2

 Vp = ArcCos 12

 Vp =

π

3

Solución general

Si Senx = A

 solución general: x = n

π

 + (–)n Vp

donde Vp = ArcSen(A)

Si Cosx = B

 solución general: x = 2n

π ±

 Vp donde Vp = ArcCos(B) Si Tgx = C

 solución general: x = n

π

 + Vp donde Vp = ArcTg(C)

 n

Z

Recuerda

Senx = A

π

2

 Vp

≤ π

2 Cosx = B

 0

 Vp

≤ π

Tgx = C

 –

π

2 < Vp <

π

2

Trabajando en clase

Integral

1. Determina el valor principal (Vp) para cada E. T.

Sen 4x –

π

6 = 3 2

Vp = _________  Cos(5x + 10º) = 1 2

Vp = _________  Tan x –

π

10 = – 3 3

Vp = _________  Cos 3x –

π

6 = – 3 2

Vp = _________ 2. Resuelve e indica la solución general:

2Sen4x – 1 = 0

3. Resuelve e indica la solución general:

  2Cos x

4  – 3  = 0

PUCP 4. Resuelve e indica la solución:

Tan 2x –

π

4 = 3 Resolución: Tan 2x –

π

4 = 3

Vp = ArcTan 3  =

π

2            

(12)

SOLUCIÓN GENERAL DE UNA

ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA

2x –

π

4  = n

π

 + Vp 2x –

π

4  = n

π

 +

π

3

2x = n

π

 +

π

3  +

π

4 2x = n

π

 + 7

π

12

 x = n

π

2  + 7

π

24 5. Resuelve e indica la solución general.

Tan 3x +

π

8 =

3 3

6. Resuelve e indica la solución general: Sen 4x +

π

6 =

3 2

7. Resuelve e indica la solución general:

  Cos x 3 +

π

6 = – 1 2 UNMSM

8. Resuelve e indica la solución general de la E. T.: Sen62x + Cos62x + Cos22x = 2

Resolución:

S.q.: Sen6x + Cos6x = 5

8  + 3

8  Cos4x (Identidad) Sen62x + Cos62x + Cos2x = 2

            5 8  + 3 8 Cos8x + 1 + Cos4x 2  = 2 5 + 3Cos8x + 4 + 4Cos4x = 2

8 3Cos8x + 4Cos4x = 7   3(2Cos24x – 1) + 4Cos4x = 7   6Cos24x + 4Cos4x – 10 = 0   3Cos24x + 2Cos4x – 5 = 0 3Cos4x 5 Cos4x –1

Luego: (3Cos4x + 5)(Cos4x – 1) = 0 Cos4x – 1 = 0

 Cos4x = 1

 Vp = 0   Finalmente:

4x = 2n

π ±

 0

 x = n

π

2

9. Resuelve e indica la solución general de la E. T. Sen6x + Cos6x = 13

16 ;

n

Z

10. Calcula la solución general de la ecuación: Sen

π

6 + x + Sen

π

6 – x  = 3 4Cosx; n

Z 11. Calcula la solución general de la ecuación:

Cos2

π

8 – x – Cos 2

π

8 + x  = 1 2; n

Z UNI

12. Resuelve e indica la solución general de la E. T. Cos 2x + 4

π

3 Sen 2x – 5

π

6  – Cos2x + 1 = 0 Resolución: Cos 2x + 4

π

3 Sen 2x – 5

π

6  – Cos2x + 1 = 0 2Cos 2x + 4

π

3   Cos 4

π

3  – 2x  – 2Cos2x + 2 = 0 por transformaciones, tenemos:

Cos8

π

3  + Cos4x – 2Cos2x + 2 = 0 Cos2

π

3  + 2Cos 22x –1 – 2Cos2x + 2 = 0 –1 2 + 2Cos 22x – 2Cos2x + 1 = 0   2Cos22x – 2Cos2x + 1 2 = 0

 4Cos22x – 4Cos2x + 1 = 0 (2Cos2x – 1)2 = 0

 2Cos2x – 1 = 0

 Cos2x = 1 2 Vp =

π

3

 2x = 2n

π ± π

3

 x = n

π ± π

6 13. Indica la solución general:

2Sen

π

4 + x 2  Cos

π

4 – x 2 = 3 Cosx

14. Resuelve e indica un conjunto solución de la E. T.: Tan2x + Cotx = 8Cos2x

(13)

5

Funciones inversas I

Notación:

Función seno inverso o función arco Seno:

Arc Sen

Función coseno inverso o función arco

cose-no. Arc Cos

Función tangente inversa o función arco

tan-gente: ArcTan

Función cotangente inversa o función arco

cotangente: ArcCot

Función secante inversa o función arco

se-cante: ArcSec

Función cosecante inversa o función arco

co-secante: Arc Csc Tener en cuenta: –

π

2

 ArcSen x

≤ π

2 ; –1

 x

 1 0

 ArcCosx

≤ π

 ; –1

 x

 1 –

π

2 < ArcTanx <

π

2; –

 < x <

Trabajando en clase

Integral 1. Calcula el valor de:

α

 = ArcSen 3 2 2. Calcula:

θ

 = ArcSen 1 2 + ArcCos 2 2 3. Despejar «

θ

» de: Sen

θ

3 +

π

6 = a PUCP 4. Calcula: J = Tan ArcCos1 5 Resolución: Sen

θ

 = ArcCos1 5

 Cos

θ

 = 1 5 5

θ

1 2 6

Nos piden Tan

θ

 = 2 6

5. Calcula:

M = Sen ArcTan1 3 6. Si:

θ

 = ArcCot1

2

Calcula: P = Sen

θ ⋅

 Cos

θ

7. Si

α

 = ArcSen1

4. Calcula: Sen2

α

(14)

FUNCIONES INVERSAS I

UNMSM 8. Calcula: C = Sen(ArcCot3 + ArcTan1 2) Resolución:

Sea:

α

 = ArcCot3

 Cot

α

 = 3

β

 = ArcTan1 2

Tan

β

 = 1 2 Nos piden: C = Sen(

α

 +

β

)

C = Sen

α

 Cos

β

+ Cos

α

 Sen

β

  Sabemos:  Cot

α

 = 3

1

α

3 10  Tan

β

 =1 2

1

β

2 5   reemplazando: C = 1 10

2 5 + 310

1 5 C = 5 5 2  = 12 = 52 9. Simplifica: R = Sen ArcCot 5 12 – ArcCos 35 10. Calcula M = Tan ArcTan1 5 + ArcTan 1 3 11. Calcula:   Cos 1 2 ArcCot 34 UNI 12. Reduce: J = Sec 2 (ArcTanx) – Csc2(ArcCoty) Sen(ArcSenx) – Cos(ArcCosy) Resolución:

  Sea:

α

 = ArcSenx

 Sen

α

 = x

β

 = ArcCosy

 Cos

β

 = y    También:

Sec2(ArcTanx) = 1 + Tan2(ArcTanx)

= 1 + [Tan(ArcTanx)]2

= 1 + x2

Csc2(ArcCoty) = 1 + Cot2(ArcCoty)

= 1 + [Cot(ArcCoty)]2 = 1 + y 2   Reemplazando J = 1 + x 2 – (1 + y)2 x – y  J = x 2 – y 2 x – y   = (x + y)(x – y) x – y 

 J = x + y  13. Reduce: J = Tan

2(ArcSecx) – Cot2(ArcCscy)

Sen(ArcSenx) + Cos(ArcCosy) 14. Calcula:

J = Cos ArcCos Tan ArcTan 1 4

(15)

6

Funciones inversas II

Propiedades

ArcSenx + ArcCosx =

π

2;

 x

 [–1; 1] ArcTanx + ArcCotx =

π

2;

 x

R  ArcSecx + ArcCscx =

π

2;

 x

∈ 〈

; –1]

 [1;

∞〉

Para valores negativos:

ArcSen(–x) = –ArcSenx ArcCos(–x) =

π

 – ArcCosx ArcTan(–x) = –ArcTanx ArcCot(–x) = – ArcCotx ArcSec(–x) =

π

 – ArcSecx ArcCsc(–x) = –ArcCscx

Trabajando en clase

Integral 1. Calcula:

θ

 = ArcSen 3 2 –  + ArcCos 1 2 – 2. Si ArcSenx + ArcSeny = 23

π

Calcula:

θ

 = ArcCosx + ArcCosy 3. Calcula: Q = ArcSen 1 2  – ArcTan 3 3 – Arc Tan(–1) + ArcCos 2

2 – PUCP 4. Reduce: J = Sen(ArcSenx + 2ArcCosx); x

∈ 〈

0; 1

Resolución:

J = Sen [ArcSenx + ArcCosx + ArcCosx] J = Sen

π

2  + ArcCosx

J = Cos(ArcCosx) J = x

5. Reduce:

J = (3ArcSenx + 2ArcCosx); x

∈ 〈

0; 1

6. Resuelve el sistema y halla x

y  ArcSen(2x + y) =

π

6 ArcTan(x – 2y) =

π

4

7. Determina el valor de x en: Arc Cos (–x) = 4ArcSenx

UNMSM 8. Calcula x si:

ArcSenx = ArcCosx Resolución:

Del dato ArcSenx = ArcCosx =

α

Sen

α

 = x Cos

α

 = x Sabemos que: ArcSenx + ArcCosx =

π

2

α

 +

α

 =

π

2

α

 =

π

4

(16)

FUNCIONES INVERSAS II

 Sen

π

4 = 12 9. Calcula x, si: ArcSen2x = ArcCos2x 10. Calcula: M = ArcSec5 + ArcCsc5 ArcCot 1 4  + ArcTan 1 4 11. Calcula:

R = 2(ArcSec3 + ArcCsc3)(ArcTan2 + ArcCot2) UNI 12. Calcula

θ

 = ArcSen Sen

π

3  + ArcSen Sen 2

π

3 Resolución: Sen 2

π

3  = Sen

π

3

θ

 = ArcSen Sen

π

3  + ArcSen Sen

π

3

θ

 =

π

3 +

π

3

θ

 = 2

π

3 13. Calcula:

α

= ArcSen Sen

π

5  + ArcSen Sen 3

π

5 14. Calcula:

β

 = ArcSen(Sen2) + ArcCos(Cos3)

(17)

7

Funciones trigonométricas

(seno y coseno)

Funciones trigonométricas seno

Representación

F. T. (Seno) = {(x; y) / y = Senx; x

 D(seno)} Gráfica Senx1 1 y  x –1 –

π

2

π

2 Senx2 x1 2

π

3

π

π

x2 3

π

2 5

π

2

Del gráfico se afirma: D(Seno) =R 

R(Seno) = [–1; 1] Es continua enR 

Creciente y decreciente

Periódica, período principal: 2

π

Es una función impar: Sen(–x) = –Senx No es inyectiva

Función trigonométrica Coseno

Representación

F.T. (Coseno) = {(x; y) / y = Cosx; x

 D (coseno)} Gráfica Cosx2 Cosx1 1 y  x –1 0 –

π

2

π

2 x1 2

π

3

π

π

x2 3

π

2 5

π

2

Del gráfico se afirma: D(Coseno) =R 

R(Coseno) = [–1; 1] Es continua enR 

Creciente y decreciente Función par: Cos(–x) = Cosx Periódica; período principal: 2

π

No es inyectiva

Criterios de periodicidad

Las consideraciones a tener en cuenta para el cálculo del periodo será:

Dada la función:

f(x) = A + B F.T.n (kx +

φ

)

Donde k

R  – {0}; n

Z+

 Para Seno y Coseno n: impar T =

2

π

n: par T =

π

Ejemplo: f(x) = 4Cos2x n = 1

T =2

π

2  =

π

k = 2 g(x) = Sen4x n = 4

T =

π

1  =

π

k = 1

Advertencia pre

La gráfica de una función par  siempre es

simétrica con respecto al eje «y» mientras

que la función impar  es simétrica respecto

(18)

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

(SENO Y COSENO)

Trabajando en clase

Integral

1. Completa los pares ordenados de la siguiente función:

F. T. (Sen) = (0; ),

π

6 ; ,

π

4; ...

2. Señala verdadero (V) o falso (F) según corres-ponda en:

I. La función y = f(x) = Senx, tiene un máximo en

0;

π〉

II. la función y = f(x) = Senx es inyectiva en

π

2;

π

2

III. La función y = f(x) = Senx es impar 3. Halla el período de:

f(x) = 4Cos62x

PUCP

4. Dada la función seno, calcula un valor de «x» si el par ordenado

π

3 + x; 12 pertenece a dicha fun-ción. Resolución: Como

π

3 + x; 12

 f(seno)   Sen

π

3 + x  = 12 = Sen

π

6

π

3 + x =

π

6

 x = –

π

6

5. Dada la función coseno, calcula un valor d e «x» si el par ordenado

π

10+2x; 22 pertenece a dicha función.

6. Halla el dominio de: y = f(x) = 1 + 2Senx 7. Halla el rango de:

UNMSM

8. Halla el dominio y rango de la función: y = f(x) = Cosx–1 Resolución: Analizando: y = f(x) = Cosx–1

 Cosx – 1

 0   Cosx

 1: Cosx = 1 Cosx > 1     

 Cosx = 1

 x = 2n

π

; n

Z Dom(f) = {x

R  / x = 2n

π

; n

Z} sabemos que: Cosx = 1

Cosx – 1 = 0 Cosx–1 = 0

 Ran(f) = {y

R  / y = 0}

9. Halla el dominio y rango de la función: y = f(x) = 1–Senx

10. Halla el período de la función: f(x) = 4 + 3Sen4x

11. Halla el dominio de: g(x) = 3Senx + 1

1 + Cosx

UNI 12. Calcula el rango de la función:

y = f(x) = Senx (1 – Senx) Resolución: y = f(x) = Senx – Sen2x = –(Sen2x – Senx) Completando cuadrados y = f(x) =1 4 – Sen2x – Senx + 1 4 f(x) =1 4 – Senx – 12 2 Sabemos que: –1

 Senx

 1 –3 2

 Senx – 1 2

 – 1 2

(19)

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

(SENO Y COSENO)

0

Senx –1 2 2

9 4 – 9 4

 – Senx – 12 2

 0 –2

1 4  – Senx – 12 2

1 4

 Ran(f)

 y

  –2; 1 4

13. Calcula el rango de la función: g(x) = Cosx(Cosx – 1)

14. Halla el período de: y = f(x) = Sen x –

π

3  + Sen x +

π

(20)

8

Repaso

1. Halla el rango de la función: y = f(x) = 3 + 2Csc3x a)R – [1; 5] d) R  –

1; 5

b)R  – [–1; 5

e) R  –

–1; 1

c)R  –

–1; 5

2 Reduce la expresión: E = ArcSen Sen 7

π

8  + ArcCos Cos 9

π

8 a) 2

π

c)

π

e) 0 b) 3

π

2 d)

π

2

3. Halla la solución principal en: Tanx + Cotx = 4

a) 10º c) 18º e) 30º

b) 15º d) 20º

4. Si 0º

 x

 360º, halla el número de soluciones de: Tg2x = 3Tgx

a) 4 c) 6 e) 8

b) 5 d) 7

5. En un triángulo ABC, C = 2A; a = 9 y c = 14. Calcula CosA a) 8 9 c) 2 3 e) 4 9 b)7 9 d) 5 9

6. En un triángulo ABC reduce la expresión: P = bcCosA + acCosB + abCosC

a2 + b2 + c2 a) 1 8 c) 1 2 e) 2 b)1 4 d) 1

7. En la figura mostrada calcula la medida del

ángu-A C B 60 42 140 D a) 30º c) 60º e) 150º b) 45º d) 120º 8. Resuelve: Sen5x + Senx Cos5x + Cosx  = 33 a) 5º c) 15º e) 30º b) 10º d) 20º 9. Resuelve: 2Cos2x + 3Cosx – 2 = 0; x

∈ 〈

0; 2

π〉

e indica la suma de soluciones en el intervalo dado. a) 3

π

c) 3

π

4 e) 3

π

2 b)5

π

2 d) 2

π

10. Calcula la solución general de: Tan x +

π

3  + 3  = Tan x –

π

3  ; n

R  a) n

π

 –

π

8 c) n

π ± π

6 e) n

π ± π

3 b) n

π

 +

π

12 d) 2n

π ± π

6

11. Resuelve e indica un conjunto solución de la E. T. Cot2x + Tanx = 4Cos2x; n

R .

a) n

π

2  + (–1) n

π

12 d) n

π

2

± π

24 b) n + (–1)n

π

6 e) n

π

4

+

(–1) n

π

24

π ± π

(21)

REPASO

12. Halla los valores de x, si 0 < x < 2

π

 y se cumple: Cosx > Senx a)

0;

π

4

5

π

4  ; 2

π

b)

π

4  ;

π

2

π

;

5

π

4 c)

0;

π

2

∪ 〈π

; 2

π〉

d)

π

4  ;

π

54

π

 ; 2

π

Bibliografía

1. ALVA CABRERA, Rubén: Trigonometría teoría y práctica. Editorial: San Marcos. 2. AYRES, Frank: Trigonometría plana y esférica. Editorial: MacGranw-Hill.

3. HALL; H.S.; KNIGHT, S.R.: Trigonometría elemental. Editorial Uteha.

4. HOBSO, E.W.: Plane anda advance trigonometry. Cambridge University Press. 5. RIBNIKOV, K.: Historia de las matemáticas. Editorial: Mir. Moscú.

6. Trigonometría. 5º Pre RACSO editores.

e)

π

4  ; 5

π

4 1. d 2. c 3. b 4. d 5. b 6. c 7. d 8. b 9. d 10. e 11. e 12. a

Claves

(22)

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