CUESTIONES Y PROBLEMAS DE EXÁMENES DE LOS CURSOS A

CUESTIONES Y PROBLEMAS DE EXÁMENES DE LOS CURSOS 2003-2004 A 2006-2007

CUESTIONES Y PROBLEMAS DEL TEMA 1

Cuestión 1.- Considere el campo vectorial escrito en coordenadas cilíndricas que se muestra a continuación: E(ρ, ϕ) = σ0ρ 4²0R[− cos(2ϕ)uρ+ sen(2ϕ)uϕ] ; r < R E(ρ, ϕ) = σ0R 2²0ρ ·µ 1 + R2 2ρ2cos(2ϕ) ¶ uρ+ R 2 2ρ2sen(2ϕ)uϕ ¸ ; r > R

a) Demuestre que el campo vectorial cumple TODAS las condiciones para ser un campo electrostático. b) Calcule las densidades de carga superficial y volumétrica que crean ese campo electrostático.

Cuestión 2.- Se dispone de dos discos cargados superficial-mente con densidades de carga uniformes +σ0y -σ0. Los dis-cos son paralelos y comparten el mismo eje de revolución. Los discos tienen radio a y están separados una distancia d, siendo d << a. Sin hacer muchos cálculos, determine:

a) El campo eléctrico en la porción del eje de revolución común que queda entre los dos discos (esto es, en los puntos del eje z de la figura para los que |z| ≤ d/2). a) El campo eléctrico en los puntos del eje de revolución

común que están muy alejados de los dos discos en relación con su tamaño (esto es, en los puntos del eje z de la figura para los que |z| >> a.

a

a

x

y

z

d/2

d/2

+s

-s

Figura Cuestión 2: Pareja de discos par-alelos con distribución superficial de carga uniforme y de signos opuestos.

Cuestión 3.- Una carga puntual positiva q > 0 se encuentra a una distancia d del centro de una esfera conductora de radio a, que también está cargada positivamente con carga Q > 0. Indique razonadamente si será atractiva o repulsiva la fuerza que ejerce la esfera conductora sobre la carga puntual cuando:

a) La carga puntual está muy cerca de la superficie de la esfera conductora (esto es, cuando d − a << a). b) La carga puntual está lejos de la esfera conductora (esto

es, cuando d >> a).

Figura Cuestión 3:Carga puntual positiva frente a esfera conductora aislada y cargada positivamente.

Cuestión 4.- Nueve cargas puntuales idénticas, de valor q, se encuentran situadas en los vértices de un polígono regular de nueve lados (vea la figura). La distancia de cada carga al centro del polígono vale a. ¿Cuál es la fuerza neta sobre una carga Q situada en el centro del polígono?. Suponga que la carga q situ-ada sobre el eje x de la figura es eliminsitu-ada. ¿Cuánto vale ahora la fuerza sobre Q?. Explique detalladamente los razonamientos utilizados.

Figura Cuestión 4: Nueve cargas pun-tuales uniformemente distribuidas sobre una circunferencia y una carga en su centro.

Cuestión 5.- Sobre la superficie de una esfera de radio a se distribuye una carga superficial de forma no uniforme, siendo σ(θ, ϕ) la densidad superficial de carga con respecto a un sis-tema de coordenadas esféricas con origen en el centro de la esfera (vea la figura). Demuestre que el potencial en el centro de la esfera vale:

φ(r = 0) = Q 4πε0a

siendo Q la carga total sobre la esfera. Demuestre también que el campo eléctrico en el centro de la esfera vale:

E(r = 0) = − p 4πε0a3

siendo p el momento dipolar eléctrico de la distribución de car-ga sobre la esfera.

Figura Cuestión 5: Distribución superfi-cial esférica de carga no uniforme.

Cuestión 6.- En el origen de coordenadas se encuentra situada una carga puntual positiva de valor + 4q. A una distancia a a lo largo de cada uno de los ejes coordenados x e y (véase la figu-ra) se encuentran situadas cuatro cargas negativas de valor −q. Encuentre el término dominante del desarrollo multipolar para el potencial en puntos alejados de la distribución de cargas.

Figura Cuestión 6:Distribución de cargas puntuales.

Cuestión 7.- Dos superficies planas cargadas uniformemente con densidades de carga superficial +σ0y -σ0se disponen per-pendicularmente como se muestra en la figura. Calcule el cam-po eléctrico en todos los puntos del espacio y dibuje las líneas de campo.

Figura Cuestión 7:Dos planos que inter-sectan en el eje z con cargas superficiales positiva y negativa.

Cuestión 8.- Un anillo está uniformemente cargado con una carga total Q. El anillo está contenido en el plano z = 0 y su centro coincide con el origen de coordenadas (vea la figura).

a) Calcule el campo eléctrico creado en el eje del anillo y obtenga la posición de los puntos del eje donde el módu-lo de este campo eléctrico se hace máximo.

b) Si se coloca una carga puntual q de masa m en el eje del anillo de forma que pueda moverse a lo largo del mismo, demuestre que existe un valor umbral de m por debajo del cual es posible encontrar un punto del eje en el que la carga puntual levita. ¿Cuánto vale ese valor umbral de m?.

Figura Cuestión 8:Circunferencia carga-da frente a carga puntual con masa no nula.

Cuestión 9.- Una carga puntual de valor q se encuentra situada en uno de los vértices de un cubo. Determine razonadamente el flujo de campo eléctrico que atraviesa cada una de las caras del cubo.

Figura Cuestión 9:Carga puntual en ori-gen de coordenadas y cubo a través de cuyas caras hay que calcular el flujo.

Cuestión 10.- Una esfera de radio a, cargada uniformemente en volumen con densidad de carga ρ0, se encuentra sometida al campo eléctrico creado por una carga puntual q. La carga puntual está situada a una distancia d del centro de la esfera (d > a). Calcule la fuerza que actúa sobre la esfera.

Figura Cuestión 10:Carga puntual frente a esfera con carga volumétrica.

Problema 1.- Considere una anilla de radio a que está cargada uniformemente con carga positiva Q (Q > 0). a) Calcule el campo eléctrico y el potencial eléctrico

cread-os por la anilla en su eje de revolución (eje z en la figura), suponiendo que el centro de la anilla coincide con el ori-gen de coordenadas.

b) Considere una carga puntual negativa, -q (q > 0), con una masa m, situada en el eje de revolución de la anilla a una distancia prácticamente infinita de ésta. Si se suelta la carga -q partiendo del reposo, demuestre que la carga se moverá por el eje de la anilla bajo la atracción de ésta y calcule la velocidad que tendrá la carga puntual al pasar por el centro de la anilla.

c) Si la carga -q se encuentra en el centro de la anilla y se la desplaza desde este punto a lo largo del eje z una distancia pequeña z0(z0 << a), demuestre que la carga seguirá un movimiento oscilatorio y calcule la frecuencia de las oscilaciones.

d) Considere ahora una carga puntual positiva +q (q > 0) situada sobre el eje de revolución de la anilla a una dis-tancia prácticamente infinita de ésta. Si se obliga a esta carga a moverse a lo largo del eje de la anilla en dirección hacia la misma, ¿qué velocidad inicial habrá que comu-nicarle a la carga q para que llegue con velocidad nula al centro de la anilla?.

Figura Problema 1:Anilla circular carga-da y cargas puntuales que se mueven a lo largo del eje z.

Problema 2.- La región del espacio comprendida entre los planos z = −d/2 y z = +d/2 está ocupada por una distribu-ción volumétrica de carga uniforme de densidad de carga ρ0 (vea la figura).

(a) Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espa-cio.

(b) Calcule el potencial eléctrico en todos los puntos del es-pacio tomando el plano z = 0 como origen de potencial. (c) Calcule el par de fuerzas y la fuerza neta que actúa sobre un dipolo de momento dipolar p = p0uz situado en el

origen de coordenadas.

Figura Problema 2:Distribución laminar volumétrica de carga uniforme y dipolo eléc-trico.

Problema 3.- Considere los dos campos vectoriales escritos en coordenadas esféricas que se muestran a contin-uación:

Caso 1

E = −E0cos θ ˆur+ E0sen θ ˆuθ ; r < R

E = E0 µ 2R3 r3 cos θ ˆur+ R3 r3 sen θ ˆuθ ¶ ; r > R Caso 2 E = E0 µ 6r R − 4 ¶ cos θ ˆur+ E0 µ 4 −3r R ¶ sen θ ˆuθ ; r < R E = E0 µ 2R3 r3 cos θ ˆur+ R3 r3 sen θ ˆuθ ¶ ; r > R

a) Demuestre que los campos vectoriales cumplen TODAS las condiciones para ser campos electrostáticos. b) Calcule las densidades de carga superficiales y volumétricas causantes de esos campos electrostáticos.

Problema 4.- Consideremos una anilla de radio a que está cargada uniformemente con una densidad de carga lineal λ0. Supongamos que se coloca un dipolo eléctrico en el eje de rev-olución de la anilla a una distancia d del centro de la anilla, y supongamos que el momento dipolar del dipolo es paralelo al plano que contiene la anilla (vea la figura). Sea p0el módulo de dicho momento dipolar.

a) Calcule el par de fuerzas que actúa sobre el dipolo. Suponiendo que el dipolo está sujeto por su centro pero puede girar libremente alrededor de ese punto, indique cuál será la dirección y sentido que tomará momento dipolar del dipolo en el equilibrio.

b) Una vez que el dipolo ha girado hasta alcanzar la posi-ción de equilibrio, calcule la fuerza eléctrica que actúa sobre el dipolo. Obtenga asimismo el valor de d para el cual dicha fuerza se anula.

Figura Problema 4:Distribución lineal de carga en forma de circunferencia frente a dipolo.

Problema 5.- Dos hilos infinitos cargados uniformemente con densidades lineales de carga +λ0están contenidos en el plano y =0, son paralelos al eje z y equidistan de dicho eje, tal y como se muestra en la figura.

a) Calcule el campo eléctrico creado por los hilos sobre los puntos del eje y.

b) Calcule la fuerza que ejercen los hilos sobre un dipolo de momento dipolar p= p0uy, situado sobre el eje y a una

distancia ddel origen de coordenadas.

c) Demuestre que hay dos puntos del eje y en los que el campo eléctrico creado por los hilos cargados se hace máximo, y determine esos puntos.

d) Demuestre que si el dipolo citado en el apartado b) se ubica en alguno de esos puntos, estará en equilibrio. ¿Es la posición del dipolo una posición de equilibrio es-table?.

Figura Problema 5: Pareja de hilos in-finitos cargados interactuando con un dipolo eléctrico.

CUESTIONES Y PROBLEMAS DEL TEMA 2

Cuestión 11.- Considere un cuerpo conductor en equilibrio electrostático y conectado a masa (tierra), que está rodeado por otros cuerpos conductores cargados positivamente (vea la figu-ra). Indique razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) La carga total del conductor a masa es nula.

b) La densidad superficial de carga tiene el mismo signo en toda la superficie del conductor a masa.

c) El potencial eléctrico del conductor a masa es nulo. d) El campo eléctrico es nulo tanto en el interior del

con-ductor a masa como en su superficie.

Figura Cuestión 11: Conductores car-gados positivamente frente a conductor a masa.

Cuestión 12.- Considere un conductor en el seno de un campo electrostático.

a) ¿Puede una línea de campo que sale de la superficie del conductor retornar a dicha superficie?.

b) ¿Pueden existir simultáneamente líneas de campo que terminan en la superficie del conductor y líneas de campo que parten de dicha superficie?.

Figura Cuestión 12:(a) Conductor del que salen líneas de campo eléctrico que vuelven sobre él. (b) Conductor al que llegan y del que salen líneas de campo eléctrico.

Cuestión 13.- Una esfera conductora de radio a se encuentra situada en el centro del hueco esférico de radio b de otra es-fera conductora de radio exterior c (véase figura). Mediante una batería se pone la esfera interna a V0voltios. Teniendo en cuen-ta que la esfera conductora hueca está descargada, determine el potencial de la misma y la carga que adquiere la esfera interior.

Figura Cuestión 13:Dos esferas conduc-toras concéntricas con la interior a potencial

V0.

Cuestión 14.- Considere un condensador de capacidad C cuyas armaduras están cargadas con cargas +Q y -Q (Q > 0). Calcule el trabajo necesariopara transferir un elemento infinitesimal de carga positivo, ∆q > 0 (∆q << Q), desde la armadura carga-da negativamente hasta la armadura cargacarga-da positivamente.

Figura Cuestión 14: Carga infinitesimal transportada desde la armadura negativa a la positiva de un condensador.

Cuestión 15.- Considere una esfera conductora de radio c que tiene un hueco esférico de radio b. El hueco esférico y la su-perficie externa de la esfera conductora no son concéntricos. Una segunda esfera conductora de radio a < b está situada en el interior del hueco esférico de forma que la superficie de es-ta segunda esfera y el hueco esférico sí son concéntricos. Si la esfera conductora de radio a está puesta a tierra y la esfera conductora de radio c tiene una carga Q, calcule:

a) La carga de la esfera de radio a.

b) El potencial de la esfera de radio c. Figura Cuestión 15:cargada con hueco. Dentro del hueco hayEsfera conductora una esfera conductora a masa.

Cuestión 16.- Un conductor esférico de radio c tiene en su in-terior una cavidad, también esférica, de radio b. La superficie exterior del conductor y la cavidad no son concéntricas (vea la figura). El conductor esférico hueco está descargado. En el interior de la cavidad y concéntrico con ésta, hay un segundo conductor esférico macizo de radio a que está cargado con una carga Q (vea la figura). Calcule la energía electrostática

alma-cenada en este sistema. _{Figura Cuestión 16: Esfera conductora}

descargada con hueco esférico descentrado que encierra a otra esfera conductora carga-da con carga Q.

Cuestión 17.- Se dispone de un recipiente cilíndrico de vidrio cuya base es un círculo metálico. El recipiente tiene un émbo-lo circular metálico que puede deslizar manteniendo contacto hermético con las paredes de vidrio. El recipiente está lleno de aire (cuya permitividad se supone igual a ε0). En el equilibrio la presión dentro del recipiente vale p0y la separación entre la base del recipiente y el émbolo vale d0(vea la figura). Si a tem-peratura constante se establece una diferencia de potencial ∆Φ entre el émbolo y la base del recipiente, demuestre que la nueva separación entre ambos, d, satisface la siguiente ecuación:

1 2 ε0(∆Φ)2) p0 + d 2_{− d} 0d = 0

Nota: desprecie en los cálculos los efectos de borde y suponga que el aire se comporta como un gas ideal.

Figura Cuestión 17:Émbolo con pistones metálicos sujetos a una diferencia de poten-cial.

Cuestión 18.- Considere dos conductores macizos C1y C2, y un conductor hueco C3. Los conductores C1 y C2 se hallan alojados en el interior del conductor C3, tal y como muestra la figura. Establezca relaciones entre los coeficientes de po-tencial pij (i, j =1,2,3) y los coeficientes de capacidad Cij

(i, j =1,2,3) del conjunto de tres conductores. Figura Cuestión 18:Sistema de tres

con-ductores arbitrarios en el que dos de ellos se encuentran encerrados en una cavidad del tercero.

Cuestión 19.- Utilizando el teorema de reciprocidad, calcule el potencial de una esfera conductora de radio R con carga Q cuyo centro dista una distancia d, (d > R) de una carga puntual q.

Figura Cuestión 19:Carga puntual frente a esfera conductora aislada pero cargada con una carga Q.

Problema 6.- Un conductor plano infinito puesto a tierra posee una protuberancia semicilíndrica de radio a. Se coloca un hilo cargado con densidad de carga lineal λ0a una distancia d de la parte plana de la superficie del conductor, dispuesto paralela-mente a la protuberancia semicilíndrica, tal y como se muestra en la figura.

a) Calcule el potencial eléctrico en todos los puntos del es-pacio.

b) Calcule la fuerza por unidad de longitud que ejerce la carga inducida en el conductor sobre el hilo cargado.

Figura Problema 6:Línea de carga infinita sobre plano de masa con protuberancia cilín-drica.

Problema 7.- Considere dos esferas conductoras concéntricas, una maciza de radio a y otra hueca de radio interior b y radio exterior c (a < b < c). Partimos de una situación (situación (a) en la figura) en la que la esfera interna está cargada con una carga Q y la externa se encuentra descargada y aislada. Calcule en esta situación los potenciales de las esferas interna y externa.A continuación, mediante un hilo conductor, se ponen en contacto las esferas interna y externa (situación (b) en la figura), manteniendo aislado el conjunto de las dos esferas. Acto seguido, se desconecta el hilo conductor de la esfera externa y se utiliza el mismo hilo para poner a masa la esfera interna, manteniendo aislada la esfera externa (situación c) en la figura). Calcule en esta última situación la carga de la esfera interna y el potencial de la esfera externa.

Figura Problema 7:Conductores esféricos concéntricos en diversas situaciones.

Problema 8.- Considere una esfera conductora de radio c que tiene dos huecos esféricos de radios b1 y b2. Dentro de esos dos huecos hay dos esferas conductoras macizas de radios a1y a2(a1 < b1y a2 < b2), siendo estas dos esferas conductoras concéntricas con los huecos en los que están ubicadas (vea la figura). Calcule la matriz de coeficientes de capacidad del con-junto de las tres esferas conductoras. El espacio entre esferas

es aire. Figura Problema 8:Conjunto de tres

con-ductores esféricos de distintos tamaños, dos de los cuales se encuentran en el interior de sendos huecos esféricos de un tercero.

Problema 9.- Considere dos discos conductores circulares de radio a y espesor e, situados uno encima del otro y separados una distancia t (t <<< a). Los discos están situados dentro de una cavidad cilíndrica practicada en un conductor esférico, de forma que el conjunto formado por los discos y el conductor esférico hueco posee simetría de revolución alrededor del eje z (vea la figura). La cavidad cilíndrica tiene radio b (b = 4a < c), – siendo c el radio del conductor esférico –, y altura 2e + 2h + t (h <<< a), siendo h la distancia de los discos conductores a las superficies planas que limitan la cavidad por arriba y por abajo. Despreciando los efectos de borde, calcule la matriz de capacidad del sistema de tres conductores descrito.

Figura Problema 9: Dos discos conduc-tores circulares paralelos y muy próximos en cavidad cilíndrica practicada en esfera con-ductora.

Problema 10.- Una lámina plana infinita está cargada con den-sidad superficial de carga σ0. La lámina es paralela a un plano conductor a tierra situado a una distancia d de la lámina.

a) Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espa-cio.

b) Calcule la diferencia de potencial entre la lámina cargada y el plano conductor a tierra.

c) Si se sitúa una carga puntual q a una distancia a del plano conductor a tierra (a < d), calcule la fuerza que actúa sobre dicha carga puntual.

d) Calcule la energía potencial electrostática de la carga puntual citada en el apartado anterior.

s

d

Apartados a) y b)

s

d

_a

Apartados c) y d)

q

Figura Problema 10:Plano de carga su-perficial frente a plano de masa sin y con carga puntual.

Problema 11.- Considere una esfera conductora de radio b que tiene un hueco esférico concéntrico de radio a. La esfera con-ductora está puesta a tierra. Se sitúa una carga puntual q en el interior del hueco a una distancia d del centro de la esfera hueca, siendo d < a (vea la figura).

a) Calcule el potencial en todos los puntos del espacio. b) Calcule la fuerza que actúa sobre la carga puntual. c) Indique cómo se modifican los resultados anteriores si la

esfera conductora se coloca a un potencial V0.

Figura Problema 11: Carga puntual en hueco esférico practicado en esfera conduc-tora a masa.

Problema 12.- Considere tres láminas conductoras planas iguales de espesor despreciable. Las tres láminas son paralelas pero, mientras que las dos láminas de los extremos están fijas, la lámina que está en medio se puede mover libremente en di-rección perpendicular a las tres láminas. Se conectan las lámi-nas a tres generadores que las ponen a potenciales V1= V2/4, V2y V3= V2/2 (vea la figura). Si la separación entre las lámi-nas de los extremos vale d, encuentre cuánto valen en el equi-librio las distancias entre la lámina que está en medio y las láminas de los extremos (a y b en la figura).

Figura Problema 12:Tres placas conduc-toras paralelas a potenciales distintos.

Problema 13.- Considere dos semiplanos conductores que for-man una cuña. En la arista de la cuña se coloca una varilla de material aislante que impide que los dos semiplanos se toquen (vea la figura). Uno de los semiplanos conductores se coloca a un potencial +V , y el otro a un potencial −V . En esas condi-ciones:

a) Dibuje las líneas de campo eléctrico en la región exis-tente entre los dos semiplanos conductores. Consejo: si utiliza las coordenadas adecuadas, la simetría del prob-lema le dará información sobre la orientación del campo eléctrico.

b) Si se coloca un dipolo en el plano bisectriz de la cuña de forma que su momento dipolar apunta perpendicular-mente a dicho plano bisectriz (vea la figura), ¿cuál es la dirección y sentido de la fuerza que actúa sobre el dipo-lo? Razone la respuesta.

x

y

a

a

V

V

p

Figura Problema 13:Dos placas conduc-toras semiinfinitas que forman un ángulo 2α a potenciales +V y -V .

Problema 14.- Una superficie esférica de radio b está carga-da uniformemente con una densicarga-dad superficial de carga σ0. La superficie esférica encierra un conductor esférico macizo de radio a conectado a masa. La superficie esférica y el conduc-tor esférico a masa son concéntricos. El conjunto formado por la superficie esférica y el conductor a masa está situado en el interior de un conductor esférico hueco de radio interior c y ex-terior d, de forma que el conductor hueco, la superficie esférica cargada y el conductor esférico a masa son también concéntri-cos (vea la figura). Sabiendo que el conductor esférico hueco está descargado, determine:

(a) El campo eléctrico en todos los puntos del espacio. (b) El potencial eléctrico en todos los puntos del espacio. (c) La densidad de carga superficial sobre el conductor

ma-cizo, y las densidades de carga superficiales sobre las su-perficies exterior e interior del conductor hueco.

Figura Problema 14:Distribución super-ficial de carga esférica entre esferas conduc-toras.

Problema 15.- En la figura se muestran tres placas conductoras idénticas dispuestas paralelamente y separadas unas distancias pequeñas en comparación con las dimensiones de las placas.

a) Calcule la matriz de capacidad.

b) Si V1 = V3 = 0 y V2 = V , calcule la fuerza que se ejerce sobre la placa central en direcciones horizontal y vertical.

Desprecie los efectos de borde en la resolución del problema. Figura Problema 15:

Tres placas conduc-toras planas y paralelas próximas entre sí.

Problema 16.- Se dispone de una esfera conductora maciza de radio a y de otra esfera conductora concéntrica y hueca de radio interno b y externo c (a < b < c). La esfera interna está a un potencial V y la esfera externa está a tierra.

a) Calcule el potencial eléctrico en todos los puntos del es-pacio así como la carga de los dos conductores.

b) Se desconecta la esfera externa de tierra dejándola aisla-da. Asimismo, se desconecta la esfera interna del gener-ador que la mantiene a potencial V y se conecta a tierra. Calcule de nuevo el potencial eléctrico en todos los pun-tos del espacio y la carga de los dos conductores. c) Calcule la variación de energía electrostática.

a b c

e

e

Figura Problema 16:Esferas conductoras concéntricas en dos situaciones consecuti-vas.

Problema 17.- Considere un conductor semiinfinito puesto a tierra cuya superficie es un plano que posee una protuberan-cia semiesférica de radio a. Se coloca una carga puntual q a una distancia d (d > a) de la parte plana de la superficie del conductor (vea la figura).

a) Calcule el potencial eléctrico en todos los puntos del es-pacio.

b) Calcule la fuerza que ejerce la carga inducida sobre la superficie del conductor sobre la carga puntual.

Figura Problema 17:Carga puntual sobre superficie conductora plana con protuberan-cia semiesférica.

Problema 18.- Una partícula cargada con carga q y masa m es mantenida en reposo a una distancia d de un plano conductor a tierra. Si la partícula se libera, calcule el tiempo que tarda en chocar contra el plano conductor a tierra.

Figura Problema 18:Carga puntual sobre superficie conductora plana en movimiento baja la acción de la fuerza apropiada.

CUESTIONES Y PROBLEMAS DEL TEMA 3

Cuestión 20.- Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique brevemente su respuesta: a) Dos puntos de una línea de campo eléctrico están al mismo potencial eléctrico si en el tramo de línea situado

entre los dos puntos no hay ninguna carga.

b) Como una carga puntual no ocupa volumen, el campo eléctrico que crea la carga tiene divergencia nula en todos los puntos del espacio.

c) Si se tiene un cuerpo polarizado en ausencia de cargas libres, el vector D necesariamente es cero en todos los puntos del espacio.

d) La componente del vector desplazamiento eléctrico perpendicular a la superficie de separación entre dos dieléctricos es siempre continua.

Cuestión 21.- La superficie plana de un dieléctrico está en con-tacto con el aire, cuya permitividad supondremos igual a ²0. Se sabe que la dirección del campo eléctrico en el aire forma un ángulo π/6 con la normal a la superficie del dieléctrico, y que el módulo del campo eléctrico en el aire vale 100 V/m. Asimismo, la dirección del campo eléctrico en el interior del dieléctrico forma un ángulo π/3 con la normal (vea la figura). Calcule:

a) La permitividad relativa del dieléctrico.

b) El módulo del campo eléctrico en el interior del dieléc-trico.

c) La densidad superficial de carga de polarización en la superficie del dieléctrico.

Figura Cuestión 21: Refracción de línea de campo eléctrico al atravesar la frontera entre un dieléctrico de permitividad relativa

Cuestión 22.- Una línea de campo eléctrico se refracta al atrav-esar la superficie de separación entre dos dieléctricos diferentes de permitividades ε1y ε2(vea la figura). Si θ1y θ2son los án-gulos que forma la línea de campo eléctrico en cada medio con la normal a la superficie de separación y se cumple que θ2> θ1 (vea la figura), indique razonadamente cuál de los dos dieléc-tricos tiene mayor permitividad.

Figura Cuestión 22: Refracción de línea de campo eléctrico al atravesar la frontera entre dos dieléctricos de permitividades dis-tintas.

Cuestión 23.- Una carga puntual q se encuentra situada en la frontera plana de separación entre dos medios dieléctricos semiinfinitos de permitividades ε1y ε2. Calcule el campo eléc-trico, el vector desplazamiento y la polarización en todos los puntos del espacio.

Figura Cuestión 23: Carga puntual en la frontera de separación entre dos dieléctri-cos.

Cuestión 24.- Considere un condensador de placas planas y paralelas entre las cuales sólo hay aire. Se conectan las placas del condensador a los polos de una pila de V voltios. A con-tinuación se desconecta la pila. Una vez desconectada la pila, se introduce entre las placas una lámina dieléctrica de permi-tividad ε = 3 ε0 que ocupa todo el espacio entre las placas. Despreciando los efectos de borde, determine cómo se modi-fica el campo eléctrico, el vector desplazamiento, la diferencia de potencial entre las placas, la carga libre de las placas, la ca-pacidad y la energía electrostática. En caso de que ésta última

haya variado, razone cuál es el origen de tal variación. Figura Cuestión 24:Condensador de

pla-cas paralelas antes y después de ser cargado con una lámina dieléctrica.

Cuestión 25.- Considere un condensador de placas planas y paralelas entre las cuales sólo hay aire. Se conecta una pila a las placas del condensador. Manteniendo conectada la pila, se introduce entre las placas una lámina dieléctrica de permitivi-dad ε =3ε0 que ocupa todo el espacio entre las placas. Des-preciando los efectos de borde, determine cómo se modifican al introducir la lámina dieléctrica el campo eléctrico, el vec-tor desplazamiento, la diferencia de potencial entre las placas, la carga libre sobre las placas, la capacidad y la energía

elec-trostática. Figura Cuestión 25:_{cas paralelas antes y después de ser cargado}Condensador de

pla-con una lámina dieléctrica a potencial pla- con-stante.

Cuestión 26.- Considere un cilindro dieléctrico infinito de sec-ción circular de radio a (permitividad del material ε). En el eje de ese cilindro hay un hilo de radio despreciable cargado con una densidad de carga lineal uniforme λ0C/m. Calcule el campo eléctrico, el vector desplazamiento, la polarización y las densidades de carga de polarización en TODOS los puntos del espacio.

a

e

e

l

Figura Cuestión 26: Densidad de carga lineal en el eje central de un cilindro dieléc-trico.

Cuestión 27.- Considere un condensador formado por una pareja de placas conductoras circulares de radio a dispues-tas paralelamente. Las placas están separadas una distancia d, significativamente menor que a (se pueden despreciar los efectos de borde). El condensador está cerrado mediante una pared dieléctrica lateral de espesor despreciable (cuya permi-tividad relativa vale aproximadamente uno). Se rellena el con-densador hasta la mitad con un líquido dieléctrico de permi-tividad εrε0. A continuación se conecta a una pila de f.e.m. V0voltios. ¿Cuánto vale la capacidad del condensador?. ¿Y la energía electrostática almacenada entre las placas?. Si se retira la pila y se orienta el condensador verticalmente, tal y como se muestra en la figura, ¿cuánto valen ahora la capacidad y la energía electrostática?. d/2 d/2 2a

e

e e

e

e e

Figura Cuestión 27:Condensador de pla-cas paralelas circulares parcialmente relleno de un dieléctrico líquido hasta la mitad colo-cado horizontal y verticalmente.

Cuestión 28.- Un condensador esférico de radio interno a y radio externo b está completamente lleno de un líquido dieléc-trico de permitividad ε =2ε0. Mediante una pila se colocan las armaduras del condensador a una diferencia de potencial V . Desconectamos la pila del condensador y, a continuación, ex-traemos el líquido dieléctrico mediante una jeringuilla. Indique cuánto valen la carga de las armaduras, la diferencia de poten-cial y la energía electrostática almacenada antes y después de extraer el líquido. ¿Cómo justificaría la variación de energía electrostática que ha tenido lugar en términos mecánicos?.

Figura Cuestión 28: Condensador esféri-co esféri-con un dieléctriesféri-co en su interior al que se aplica una diferencia de potencial medi-ante una batería que, posteriormente, se de-sconecta. Acto seguido se extrae el líquido dieléctrico mediante una jeringuilla.

Cuestión 29.- Las placas de un condensador plano se sumergen parcialmente en un líquido dieléctrico, como se muestra en la figura. Al aplicar una diferencia de potencial entre las placas el líquido dieléctrico experimenta un empuje que le hace subir por encima del nivel del líquido fuera del condensador. ¿Cuál es el origen físico de la fuerza responsable de este fenómeno?.

Figura Cuestión 29:Condensador de pla-cas paralelas parcialmente sumergido en un líquido dieléctrico y conectado a una batería de f.e.m. V .

Cuestión 30.- Una carga puntual q se encuentra situada en el centro de un hueco esférico de radio a y relleno de aire (cuya permitividad se supone igual a ε0), practicado en el seno de un medio infinito de constante dieléctrica relativa εr.

a) Calcule los campos E, D y P en todos los puntos del espacio.

b) Calcule las cargas de polarización. Figura Cuestión 30:_{centro de un hueco esférico vacío practica-}Carga puntual en el

do en un dieléctrico de extensión infinita de permitividad relativa εr.

Problema 19.- Considere un condensador esférico compuesto por dos conductores esféricos concéntricos, uno macizo de ra-dio a y otro hueco de rara-dio interno b (a < b). El espacio entre los conductores está ocupado por un dieléctrico de permitivi-dad ε. Se conecta una pila entre los conductores que establece entre ellos una diferencia de potencial V0. Manteniendo conec-tada la pila, el conductor externo se dilata por efecto del calor y se despega del dieléctrico de manera que su forma esférica se mantiene y su radio interno pasa a valer b0_{= b(1 + δ) (δ > 0),}

tal y como muestra la figura. Calcule:

a) Los vectores campo eléctrico y desplazamiento en el es-pacio existente entre los conductores, antes y después de la dilatación.

b) La relación entre los valores de la capacidad antes y de-spués de la dilatación y el valor aproximado que toma esta relación cuando δ << 1.

e

e

e

Figura Problema 19:Condensador esféri-co relleno de dieléctriesféri-co sólido antes y de-spués de dilatarse la armadura esférica exte-rior.

Problema 20.- Un condensador cilíndrico está formado por dos conductores cilíndricos concéntricos, uno macizo de radio a y otro hueco de radio interior b (a < b). Las dos bases del cilindro así formado están cerradas por láminas dieléctricas de permitividad relativa aproximadamente igual a uno. Estando el espacio entre las placas ocupado por aire y estando el conden-sador apoyado sobre una de sus bases, se llena éste de un líqui-do dieléctrico de permitividad ε hasta la mitad. A continua-ción, mediante una batería de corriente continua, se establece una diferencia de potencial V0entre los conductores. ¿Cuánto valen la carga libre en los conductores, lacapacidad y la energía electrostática almacenada?. Ahora se desconecta la batería y se vuelca el condensador apoyándolo sobre su superficie lateral. Diga cuánto valen ahora la carga libre, la capacidad, la diferen-cia de potendiferen-cial entre los conductores y la energía electrostáti-caalmacenada. Nota: en la realización del problema, desprecie los efectos de borde en los extremos del condensador cilíndri-co.

Figura Problema 20:Condensador cilín-drico parcialmente relleno de dieléctrico líquido en posiciones vertical y horizontal.

Problema 21.- Considere un condensador esférico formado por dos esferas metálicas, una maciza de radio a y otra hue-ca de radio interior b (b > a).

a) Se establece con un generador una diferencia de poten-cial V entre los dos conductores del condensador. Acto seguido, se desconecta el generador y se llena la mitad del hueco existente entre las dos esferas con un líquido dieléctrico de permitividad ε (vea la figura). Calcule los vectores E, D y P en la región comprendida entre las dos esferas después de introducir el líquido. Calcule también las variaciones de capacidad y de energía electrostática con respecto a la situación inicial. ¿Aumenta o dismin-uye la energía electrostática?. ¿Por qué?.

b) Repita el apartado anterior si se introduce el líquido sin desconectar el generador.

Figura Problema 21:Condensador esféri-co que, tras ser cargado mediante una batería de f.e.m. V se rellena hasta la mitad de un líquido dieléctrico.

Problema 22.- Considere dos conductores esféricos concéntri-cos, uno macizo de radio a y otro hueco de radio interno b y radio externo c (a < b < c). La mitad del espacio entre los conductores está ocupada por un dieléctrico de permitividad ε y la otra mitad está ocupada por aire (cuya permitividad supon-dremos igual a ε0), siendo la superficie de separación entre el dieléctrico y el aire una superficie plana ortogonal a la super-ficie de los conductores esféricos (vea la figura). El exterior del conductor esférico hueco está también ocupado por aire (de permitividad ε0).

a) Si el conductor esférico macizo se coloca a un potencial V1y el conductor esférico hueco se conecta a tierra, cal-cule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio y la carga total que adquiere cada uno de los dos conduc-tores.

b) Si el conductor esférico macizo se conecta a tierra y el conductor esférico hueco se coloca a un potencial V2, calcule el campo eléctrico en todos los puntos del es-pacio y la carga total que adquiere cada uno de los dos conductores.

c) A partir de los resultados obtenidos en los apartados a) y b), determine la matriz de capacidad del conjunto de dos conductores descrito.

a

c

b

e

e

apartado a)

V

apartado b)

c

V

a

b

e

e

V

Figura Problema 22:Sistema de dos con-ductores esféricos con dieléctrico no ho-mogéneo con dos excitaciones diferentes.

Problema 23.- Se dispone de un condensador de placas parale-las rectangulares que están separadas una distancia s. El con-densador se sumerge parcialmente en un líquido dieléctrico de permitividad ε, manteniendo las placas perpendiculares a la su-perficie de separación entre el líquido y el aire (vea la figura). Si se aplica una diferencia de potencial V entre las placas del condensador mediante una batería de corriente continua, se ob-serva que el líquido asciende una altura h en la región com-prendida entre las placas. Sabiendo que la densidad másica del líquido vale ρm, calcule cuánto vale h. Al determinar h

supon-ga que la permitividad del aire vale ε0. Figura Problema 23:

Condensador de placas paralelas parcialmente sumergidas en líquido dieléctrico y conectado a una batería.

CUESTIONES Y PROBLEMAS DEL TEMA 4

Cuestión 31.- Entre dos discos conductores perfectos de radio a se coloca otro disco de espesor d y del mismo radio fabricado con un material semiaislante de permitividad ε = εrε0y con-ductividad σ. Decimos que la capacidad del condensador así formado es C = επa2_{/d, y la resistencia de fugas del mismo} es R = d/(σπa2_{). Diga cuál de esas expresiones es}

aproxima-da y cuál es exacta, explicando razonaaproxima-damente su respuesta. Figura Cuestión 31:cas paralelas circulares con dieléctrico conCondensador de pla-pérdidas óhmicas en su interior.

Cuestión 32.- Se dispone de dos electrodos metálicos esféricos concéntricos, uno macizo interior de radio a y otro hueco de ra-dio interno b (b > a). Tres cuartas partes del espacio entre los electrodos está ocupada por un dieléctrico ideal de permitivi-dad ²1y conductividad nula, siendo la cuarta parte restante un material de permitividad ²2y conductividad σ2(mucho menor que la conductividad del metal). Calcule la resistencia existente entre los dos electrodos metálicos.

Figura Cuestión 32:Sistema de dos con-ductores esféricos concéntricos separados por dos medios diferentes, uno aislante ideal y el otro aislante con pérdidas óhmicas.

Cuestión 33.- Se dispone de un recipiente cilíndrico lleno de mercurio cuya altura vale h, y cuya sección transversal tiene un área A. Entre los extremos del recipiente se aplica una diferen-cia de potendiferen-cial V mediante un generador de resistendiferen-cia inter-na despreciable. Si el mismo volumen de mercurio se vierte en otro recipiente cilíndrico cuya sección transversal tiene un área A0 _{= A/2 y aplicamos la misma diferencia de potencial V}

entre los extremos, ¿cómo se modifican el campo eléctrico, la resistencia, la densidad de corriente y la intensidad de corriente como consecuencia del cambio de forma del recipiente?.

Figura Cuestión 33: Dos resistores de mercurio con diferentes longitudes y sec-ciones pero con el mismo volumen.

Cuestión 34.- Considere un resistor con forma de media corona circular, que ha sido fabricado con un material conductor po-bre de conductividad σ (típicamente en la práctica se usa grafito mezclado con un aglutinante). El resistor tiene un espesor h, y a y b son los radios interior y exterior de la media corona cir-cular (vea la figura). Si los extremos del resistor se conectan a dos electrodos metálicos como se muestra en la figura, cal-cule la resistencia entre los electrodos en función de σ y de las

dimensiones del resistor. Figura Cuestión 34:Resistor en forma de

corona semicircular con sus electrodos de contacto de muy alta conductividad.

Cuestión 35.- Una corriente pasa a través de la interfase plana entre dos aleaciones metálicas de nicromo (níquel 65 %, hierro 23 % y cromo 12 %) y constantán (cobre 60 % y níquel 40 %). En el nicromo las líneas de corriente forman un ángulo de 45o

con la normal a la interfase, y en el contastán, de 64o_.

a) Si la conductividad del nicromo vale σ1= 106(Ωm)−1, ¿cuánto vale la conductividad del constantán?.

b) Si el campo eléctrico en el nicromo tiene un módulo de 10−4 _{V/cm, ¿cuánto vale el módulo del campo}

eléctri-co en el eléctri-constantán?. Calcule también el módulo de la densidad de corriente en las dos aleaciones.

Figura Cuestión 35:“Refracción” de una línea de corriente eléctrica al atravesar la frontera plana de separación entre dos mues-tras de diferentes conductores.

Problema 24.- Un cable de longitud infinita está fabricado con dos conductores cilíndricos coaxiales, uno macizo de conductividad σ1y radio a, y otro hueco de conductividad σ2, radio interno a y radio externo b (vea la figura). Por el cable circula una corriente de intensidad I en la dirección del eje de revolución de los conductores.

a) Calcule el campo eléctrico y la densidad de corriente en el interior de los conductores.

b) Calcule la intensidad de corriente que circula por cada conductor.

c) Calcule la resistencia de un tramo de longitud l, la difer-encia de potdifer-encial entre los extremos y la potdifer-encia con-sumida por efecto Joule.

d) Obtenga el valor numérico de las magnitudes requeri-das en los apartados b) y c) cuando a = 0,5 cm, b = 1,5 cm, σ1 = 1,03×107 (Ωm)−1 (acero), σ2 = 3,77×107 _(Ωm)−1 _{(aluminio), I = 1.000 A y l = 300}

m.

Figura Problema 24: Cable conductor fabricado con dos conductores diferentes a través del cuál circula una corriente.

CUESTIONES Y PROBLEMAS DEL TEMA 5

Cuestión 36.- Considere una espira no plana cuyo contorno coincide con seis de las aristas de un cubo (como se muestra en la figura). La espira transporta una corriente de intensidad I y cada arista del cubo tiene una longitud l. Aplicando el principio de superposición, calcule:

a) Un vector unitario que nos dé la dirección y sentido del campo magnético en el vértice A del cubo que se muestra en la figura.

b) El momento dipolar magnético de la espira.

Figura Cuestión 36:Espira no plana sobre las aristas de un cubo.

Cuestión 37.- Un electrón tiene masa mey carga -e. Se va a utilizar para medir un campo eléctrico y un campo

magnético (uniformes y estáticos) que hay en una cierta región del espacio.

a) Se sitúa el electrón en reposo en dicha región y se observa que adquiere una aceleración a = a2uˆy, siendo

a2constante.

b) Se introduce el electrón en la región con velocidad inicial v = v0uˆx, y en ese instante, adquiere una

acel-eración a = a2uˆy+ a3uˆz.

c) Se introduce el electrón en la región con velocidad inicial v = v0uˆyy adquiere una aceleración a = a2uˆy.

Figura Cuestión 37:Electrón que se mueve en diferentes circunstancias bajo la acción de un campo eléctrico y un campo magnético desconocidos.

Cuestión 38.- Una espira circular de radio a por la que circula una corriente de intensidad I2se encuentra situada en el interior de un solenoide cilíndrico de longitud h y radio b (h >>> b > a), de forma que el centro de la espira coincide con el centro del solenoide. El solenoide se ha fabricado con un bobinado de N vueltas de hilo de cobre esmaltado, y por el hilo circula una corriente de intensidad I1. Si el eje de revolución de la espira forma un ángulo α con el eje del solenoide, calcule el par de fuerzas que actúa sobre la espira.

Figura Cuestión 38:Espira circular plana en el interior de un solenoide recto cilíndri-co.

Cuestión 39.- En la figura se muestra una espira que transporta una corriente estacionaria de intensidad I.

a) Calcule el campo magnético creado por la espira en el origen de coordenadas.

b) Si se coloca un dipolo de momento dipolar m = m0ux

en el origen de coordenadas de forma que esté sujeto por su centro, calcule el par de fuerzas sobre el dipolo. In-dique asimismo la dirección y sentido que debe tomar el momento dipolar para que el dipolo se encuentre en una

posición de equilibrio estable. Figura Cuestión 39:Espira plana con for-ma de sector de corona circular y dipolo magnético.

Cuestión 40.- Con un hilo de un material conductor de conduc-tividad σ se construye un solenoide de N vueltas, radio a y lon-gitud h. A continuación, se conecta el solenoide a un generador de corriente continua de fuerza electromotriz V0y resistencia interna despreciable (vea la figura). Si con el mismo hilo con-ductor se construye un segundo solenoide de 2N vueltas, radio a y longitud h, y este segundo solenoide se conecta al mismo generador que el primero (vea de nuevo la figura), establez-ca una relación entre las resistencias de los dos solenoides, las intensidades de corriente que los atraviesan, los campos mag-néticos existentes en su interior, y las potencias disipadas por efecto Joule. Desprecie los efectos de borde en el cálculo de los campos magnéticos. V0 h 2Nvueltas V0 h Nvueltas 2a 2a

Figura Cuestión 40:Dos solenoides con-struidos con el mismo tipo de hilo conductor y con diferente número de vueltas.

Cuestión 41.- Sea el potencial vector magnético siguiente: A = µ0J0 µ aρ 2 − ρ2 3 ¶ ˆ uϕ ; ρ < a ; A = µ0J0a 3 6ρ uˆϕ ; ρ > a a) Calcule el campo magnético.

b) Calcule la densidad de corriente que crea el campo magnético.

c) Calcule el flujo magnético a través de un círculo de radio R > a centrado en el eje z y situado en un plano perpendicular a dicho eje.

Problema 25.- Estudie las siguientes situaciones:

a) Considere un conductor laminar con forma de media superficie cilíndrica de radio c y longitud infinita (vea la figura a). Por el conductor circula una corriente uni-formemente distribuida de intensidad I en la dirección del eje de revolución de la superficie cilíndrica (eje z en la figura). Calcule el campo magnético en los puntos de dicho eje.

b) Considere ahora un conductor volumétrico con forma de medio cilindro hueco de radio interno a y radio externo b. Por el conductor circula una corriente uniformemente distribuida de intensidad I en la dirección del eje z de la figura. Utilizando los resultados del apartado anterior, calcule de nuevo el campo magnético producido por esa distribución de corriente en los puntos del eje z. c) Si al conductor del apartado anterior le añadimos la

mi-tad que le falta para formar un cilindro hueco completo por el que circula una corriente de intensidad 2I, ¿cuán-to valdría ahora el campo magnético en los pun¿cuán-tos del eje z (eje de revolución del cilindro hueco completo)?. ¿Podría calcular en este caso de forma sencilla el campo magnético creado en todos los puntos del espacio (esto es, no sólo en el eje)?. ¿Por qué no sería tan fácil calcu-larlo en el caso tratado en el apartado (b)?.

c z y x I Caso a) z y x a I b Caso b)

Figura Problema 25: Distribuciones su-perficial (a) y volumétrica (b) de corriente con forma semicilíndrica.

Problema 26.- Calcule el coeficiente de inducción mutua entre las parejas de espiras siguientes:

a) Un solenoide toroidal de sección rectangular y un hi-lo conductor infinito situado en el eje de revolución del solenoide. El solenoide toroidal se ha fabricado con un bobinado de N vueltas, y sus dimensiones son las que se muestran en la figura. El hilo infinito puede considerarse parte de una espira que se cierra por el infinito.

b) Dos hilos conductores infinitos paralelos separados una distancia d (que forman parte de una misma espira que se cierra por el infinito, y por lo tanto, transportan la misma corriente en sentidos contrarios) y una espira rectangular que se encuentra en el mismo plano que los hilos. Las dimensiones de la espira rectangular y su distancia a los hilos se muestran en la figura.

I1 I2 a b N vueltas h Caso (a) I1 _I I1 2 a b c d Caso (b)

Figura Problema 26:Dos casos de pare-jas de circuitos eléctricos cerrados acoplados magnéticamente.

Problema 27.- Aunque es habitual suponer que la corriente en los solenoides lleva siempre dirección perpendicular al eje, en la práctica eso no suele ocurrir. Considere un solenoide cilín-drico infinito de radio a en el que el hilo conductor enrollado alrededor del solenoide tiene forma helicoidal, y en el que la dirección de la corriente forma un ángulo α con el plano per-pendicular al eje de revolución del solenoide (vea la figura). Sea I la intensidad de corriente que circula por el hilo conduc-tor. Si el bobinado del hilo conductor es denso y uniforme, se puede demostrar que el solenoide se puede modelar mediante un conductor cilíndrico laminar por el que circula una corriente superficial de densidad de corriente:

K = K0(cos α uϕ+ senα uz)

siendo K0 = I/(2πasenα), y siendo el eje z el eje de rev-olución del solenoide. Utilizando el modelo que se acaba de describir basado en el conductor cilíndrico laminar, obtenga el campo magnético creado por el solenoide en todos los puntos del espacio.

Figura Problema 27:Tramo de solenoide cilíndrico con bobina enrollada de forma he-licoidal.

Problema 28.- Una espira circular de radio a está recorrida por una corriente estacionaria de intensidad I. Si se hace coincidir el centro de la espira con el origen de coordenadas y se hace coincidir el eje de revolución de la espira con el eje z (vea la figura), es posible demostrar que el campo magnético creado por la espira en todos los puntos del espacio admite en coordenadas cilíndricas una expresión del tipo B = Bρ(ρ, z)uρ+ Bz(ρ, z)uz.

a) Obtenga el valor del campo magnético en el eje de revolución de la espira.

b) Demuestre que en puntos próximos al eje de revolución de la espira (esto es, en puntos para los que ρ <<< a), la componente radial del campo magnético se puede aproximar por:

Bρ(ρ, z)]_ρ<<<a≈ ρf1(z) Obtenga el valor de la función f1(z).

c) Utilizando el resultado obtenido en el apartado c), de-muestre que en puntos próximos al eje de revolución de la espira, la componente axial del campo magnético se puede aproximar por:

Bz(ρ, z)]ρ<<<a≈ f2(z) + ρ2f3(z) Obtenga los valores de las funciones f2(z) y f3(z). Consejo: utilice las expresiones de la divergencia y el rota-cional del campo magnético creado por la espira para resolver

los apartados b) y c). _{Figura Problema 28:}Espira circular

cen-trada en el origen y situada en el plano z =0.

Problema 29.- Considere un conductor cilíndrico hueco de longitud infinita cuyo eje de revolución coincide con el eje z (vea la figura). El radio interno del conductor cilíndrico vale a, y el radio externo vale b. Por el conductor circula una corriente de densidad volumétrica J = J0uϕ.

a) Calcule el campo magnético creado por el conductor cilíndrico en todos los puntos del espacio.

b) Calcule el potencial vector en todos los puntos del espa-cio, tomando como origen de potencial vector el eje del conductor cilíndrico.

c) Calcule la fuerza que actúa sobre un dipolo de momento dipolar m = m0uz, situado dentro del conductor a una

distancia c de su eje (a < c < b).

m

u

=m

z

2a

2b

j

u

=J

Figura Problema 29:Corriente cilíndrica azimutal que fluye en un cilindro hueco con dipolo magnético en su interior.

Problema 30.- Un electrón de carga −e y masa mesigue un

movimiento rectilíneo uniforme en el sentido positivo del eje x con velocidad v = v0ux. El electrón entra en una región de

campo magnético uniforme B=B0uzque está limitada por los

planos x = 0 y x = b. Al salir de esta región, el electrón con-tinúa moviéndose hasta impactar sobre una pantalla detectora situada en el plano x = b + c. El electrón impacta en la pantalla en un punto situado a una distancia d del plano y = 0 (vea la figura).

a) ¿Cuál es el valor máximo que puede tener b para que el electrón pueda alcanzar la pantalla?

b) Para los valores de b inferiores al obtenido en el apartado a), determine el valor de d.

Figura Problema 30: Electrón que atraviesa una región de campo magnéti-co uniforme e impacta en una pantalla posterior.

CUESTIONES Y PROBLEMAS DEL TEMA 6

Cuestión 42.- ¿Puede acelerarse una partícula cargada mediante un campo magnético estacionario?. ¿Puede este campo cambiar la energía cinética de dicha partícula? ¿Es posible cambiar la energía cinética de la partícula cargada mediante un campo magnético variable en el tiempo? Justifique las respuestas.

Cuestión 43.- Una barra metálica de longitud l gira alrededor de un eje perpendicular a uno de sus extremos (eje z en la figu-ra) con velocidad angular constante ω0. Si la barra está situada en una región donde existe un campo magnético uniforme B = B0uz, calcule la diferencia de potencial entre los extremos de

la barra (puntos A y B en la figura).

Figura Cuestión 43: Barra metálica gira-toria en el seno de un campo uniforme par-alelo a la velocidad angular.

Cuestión 44.- ¿Es posible obtener un campo eléctrico cuyas líneas de campo sean cerradas (circunferencias, por ejemplo)?. Razone la respuesta. En caso de que la respuesta sea afirmativa, sugiera un ejemplo de sistema físico que sea capaz de crear un campo eléctrico con líneas de campo cerradas.

Cuestión 45.- El estudio de la energía magnetostática se posterga hasta que ha concluido el estudio de la ley de Faraday. ¿Puede explicar por qué?.

Cuestión 46.- Se dispone de dos anillos metálicos R y S que cuelgan de dos hilos idénticos. Los anillos son iguales excepto en el hecho de que S está partido como se muestra en la figura. Se hace oscilar a los anillos alrededor de un eje que pasa por cada hilo (esto es, se convierten en sendos péndulos de torsión) en presencia de un campo magnético uniforme perpendicular a dicho eje (vea la figura). ¿Cuál de los dos anillos se detendrá antes?. Razone la respuesta.

Figura Cuestión 46: Par de anillos con-ductores que pueden oscilar alrededor del hi-lo del que se suspenden en el seno de un campo magnético estático. Uno está comple-to y el otro está partido.

Cuestión 47.- En la figura se muestra un imán cilíndrico situa-do frente a un solenoide cilíndrico cortocircuitasitua-do. Si el imán se acerca al solenoide (vea la figura), indique razonadamente cuál será el sentido de la corriente inducida en el solenoide. Asimis-mo, indique razonadamente cuál será el sentido de la fuerza magnética que ejerce la corriente inducida en el solenoide so-bre el imán. Repita la cuestión para el caso en el que el imán se

aleja del solenoide (vea de nuevo la figura). Figura Cuestión 47:Imán que se acerca o

se aleja a un solenoide cortocircuitado.

Problema 31.- Un hilo conductor de resistencia despreciable con forma de U está conectado a un interruptor y a un generador de fuerza electromotriz (fem) V0y resistencia interna despreciable. Sobre el hilo conductor descansa una barra conductora de longitud a, masa m y resistencia eléctrica R. La barra puede deslizar sin rozamiento sobre el hilo conductor de forma que la barra se mantiene siempre paralela a uno de los lados del hilo conductor con forma de U (paralela al eje y en la figura). La autoinducción del circuito formado por el hilo con forma de U y la barra es despreciable. En la región donde se encuentran el hilo conductor y la barra conductora se ha aplicado un campo magnético uniforme B = B0uˆzdirigido perpendicularmente al plano que contiene al hilo en U y a la barra

a) La velocidad de la barra en función del tiem-po, v = vx(t) ˆux.

b) La intensidad de la corriente I(t) que circula por el circuito formado por el hilo en U y la barra.

c) La energía cinética que adquiere la barra en el estado estacionario, la energía total disipada en la barra por efecto Joule y la energía total entregada por el generador. Compruebe que se satisface el principio de conservación de la energía. x y z B=B0uz m, R v=v (t)x ux V0 t=0 I(t)

Figura Problema 31:Barra conductora de resistencia

R y masa m que desliza sin fricción sobre unos raíles en

el seno de un campo magnético uniforme.

Problema 32.- Una espira cuadrada de lado a se mueve uniformemente con velocidad v = v0uxen el plano que

contiene al origen de coordenadas y a los ejes x e y (vea la figura). En t = 0 la espira empieza a introducirse en una región semiinfinita (x > 0 en la figura) en la que existe un campo magnetostático uniforme B = B0uz. La

espira tiene masa m, resistencia R y autoinducción despreciable. Sabiendo que v0= (2a3B02)/(mR): a) Justifique el sentido de la corriente

induci-da mediante la ley de Lenz. ¿Qué efectos mecánicos tiene esta corriente inducida?. b) Calcule el tiempo que tarda la espira en entrar

completamente en la región de campo mag-nético uniforme. Calcule también la intensi-dad de corriente inducida en la espira en fun-ción del tiempo.

c) Calcule la velocidad de la espira en función del tiempo.

d) Demuestre que la diferencia entre la energía cinética que poseía la espira antes de entrar en la región de campo magnético y la energía cinética que posee la espira después de entrar completamente en la región de campo mag-nético coincide con el calor disipado en la es-pira por efecto Joule (esto es, demuestre que se cumple el principio de conservación de la energía).

Figura Problema 32:Espira cuadrada que se aproxima con velocidad constante v=v0uxa una región semiinfini-ta con campo magnético estático y uniforme .

Problema 33.- Considere un conductor laminar plano infinito que ocupa todo el plano z = 0. Por el conductor laminar circula una corriente estacionaria que en t = 0 empieza a disminuir gradualmente hasta hacerse cero. La variación con el tiempo de la densidad superficial de corriente en el conductor se modela mediante la ecuación

K(t) =            K0uy t < 0 K0 ¡ 1 − t τ ¢ uy 0 < t < τ 0 t > τ

a) Calcule el campo magnético en todos los puntos del espacio en función del tiempo.

b) Calcule el potencial vector en todos los puntos del espacio en función del tiempo. Tome como origen de potencial vector el plano z = 0.

c) Calcule el campo eléctrico creado por la corriente en todos los puntos del espacio en función del tiempo.

d) Considere una carga puntual q de masa m que se mantiene su-jeta a una distancia d del conductor laminar cuando t < 0, y suponga que en t = 0 se libera dicha carga puntual, permitien-do que se mueva libremente a partir del reposo. Suponienpermitien-do que la fuerza magnética que actúa sobre la carga puntual es despreciable frente a la eléctrica, calcule la aceleración que actúa sobre la carga puntual y obtenga la energía cinética que adquiere una vez que se ha alcanzado el estado estacionario.

Figura Problema 33: Distribución plana de corriente superficial variable en el tiempo de forma lineal. Una car-ga q de masa m se encuentra en sus proximidades.

Problema 34.- Considere una espira circular de radio b que yace en el plano xy y cuyo centro coincide con el origen de coordenadas. Asimismo, considere también una pequeña espira circular de radio a (a << b) por la que circula una corriente de intensidad I0(impuesta por una fuente ideal de intensidad), cuyo centro también coincide con el origen de coordenadas. La espira pequeña rota en torno al eje x con velocidad angular constante ω0de modo que en t = 0 las dos espiras son coplanares.

a) Calcule el coeficiente de inducción mutua entre las espi-ras como función del tiempo.

b) Calcule la intensidad de la corriente inducida en la espi-ra de espi-radio b suponiendo que su resistencia vale R y su autoinducción es despreciable (L ≈ 0).

c) Calcule el par de fuerzas que hay que aplicar a la espira de radio a para mantenerla en rotación con velocidad an-gular constante (consejo: trate la espira de radio a como un dipolo magnético).

d) Calcule la potencia mecánica entregada a la espira de ra-dio a y demuestre que coincide con la potencia disipada por efecto Joule en la espira de radio b.

Figura Problema 34: Espira circular pe-queña con corriente constante que rota de manera que el vector velocidad angular se encuentra contenido en el plano de otra es-pira circular fija de tamaño mucho mayor.

Problema 35.- Una varilla conductora de masa mvestá en contacto permanente con dos raíles conductores

verti-cales y perpendiculares a la varilla. Por uno de sus dos extremos, los raíles están conectados a través de un resistor de resistencia R (vea la figura). Se supone que la resistencia de la varilla y de los raíles es despreciable, y que la autoinducción del circuito formado por la varilla, los raíles y el resistor también es despreciable. Los raíles son paralelos a un hilo conductor rectilíneo infinito por el que circula una corriente estacionaria de intensidad I0. Los raíles y el hilo están en un mismo plano, estando un rail a una distancia a del hilo, y el otro a una distancia b (vea la figura). Si se deja caer la varilla por acción de la gravedad en presencia del campo magnético creado por el hilo (de forma que la varilla se aleja del resistor, tal y como se muestra en la figura), calcule:

a) La intensidad de la corriente inducida en el circuito for-mado por la varilla, los raíles conductores y la resistencia R en función de la velocidad de caída. ¿Cuál es el sentido de la corriente inducida?.

b) La fuerza magnética que actúa sobre la corriente induci-da.

c) La ecuación diferencial para la velocidad de caída y la solución de esa ecuación diferencial.

d) Los valores límite que toman la intensidad de la corriente inducida y la velocidad de caída cuando ha pasado un tiempo suficientemente largo.

Figura Problema 35: Varilla conductora perfecta de masa mv que cae apoyada en dos hilos conductores perfectos en el seno del campo magnético producido por un hilo de corriente.

Problema 36.- Una espira conductora de radio a, masa M , re-sistencia eléctrica R y autoinducción despreciable cae partien-do del reposo de forma que el plano de la espira es siempre per-pendicular al eje z y su centro está contenido en dicho eje (vea la figura). Esta caída se lleva a cabo en la presencia del campo magnético creado por un dipolo magnético situado en el origen de coordenadas de momento dipolar magnético m = m0uˆz.

a) Calcule el potencial vector y el campo magnético creado por el dipolo sobre los puntos de la espira en términos de los vectores unitarios del sistema de coordenadas cilín-dricas.

b) Obtenga la intensidad de la corriente inducida en térmi-nos de la posición de la espira y de su velocidad. ¿Qué sentido tiene la corriente inducida si m0> 0?.

c) Calcule la fuerza magnética que actúa sobre la corriente inducida.

d) Obtenga la ecuación de movimiento de la espira (ecuación diferencial para za(t)) sin resolverla.

Figura Problema 36: Espira conductora de masa M y resistencia R que cae en el seno del campo magnético producido por un dipolo magnético situado en el origen de co-ordenadas sobre su vertical.

Problema 37.- Considere un campo magnético B = Bρuρ+

Bzuz (Bρ y Bz son las componentes del campo en

coorde-nadas cilíndricas) que tiene simetría de revolución alrededor del eje z. En las proximidades del eje z la componente Bzse

puede aproximar por Bz≈ B0+ kz (B0y k son constantes). a) Sabiendo que el campo magnético está acotado en los

puntos del eje z, demuestre que en las proximidades de este eje se cumple que Bρ ≈ −kρ/2.

b) Considere ahora un pequeño anillo conductor de radio a, masa m, resistencia R y autoinducción despreciable. Suponga que este anillo se sitúa en el seno del campo magnético anteriormente descrito de manera que su cen-tro esté situado sobre el eje z y el anillo esté contenido en un plano perpendicular a este eje (vea la figura). Supon-ga que, a continuación, se deja caer el anillo. Calcule la velocidad del anillo en función del tiempo, así como la intensidad de la corriente inducida en el anillo.

c) ¿Cuál es el valor límite que toman la velocidad y de la intensidad de la corriente cuando ha pasado un tiempo suficientemente largo?

Figura Problema 37: Espira conductora de masa m, resistencia R, radio pequeño a y autoinducción despreciable, que cae en el seno del campo magnético a que se refiere el enunciado.

Problema 38.- Considere una espira cuadrada de lado l que yace en el plano xy, cuyo centro coincide con el origen de coordenadas. Asimismo, considere también una pequeña espira circular de radio a por la que circula una corriente de intensidad I0(impuesta por una fuente de intensidad, tal y como se muestra en la figura), cuyo centro también coincide con el origen de coordenadas. La espira circular rota en torno al eje x con una velocidad angular constante ω.

a) Calcule el coeficiente de inducción mutua entre las espi-ras, suponiendo que a ¿ l.

b) Calcule la intensidad de corriente inducida en la espira cuadrada, suponiendo que su resistencia vale R y que su autoinducción es despreciable (L ≈ 0).

c) Calcule el par de fuerzas que hay que aplicar a la espira pequeña para mantenerla en rotación a velocidad angu-lar constante (consejo: trate la espira pequeña como un dipolo magnético).

d) Calcule la potencia mecánica entregada a la espira pe-queña y demuestre que coincide con la potencia disipada por efecto Joule en la espira cuadrada.

Figura Problema 38: Pequeña espira cir-cular de corriente que gira en torno al eje

x en la presencia de una espira cuadrada de

mayor tamaño.

Problema 39.- En el plano x = 0 hay un conductor laminar infinito que transporta una corriente estacionaria de densidad superficial K = K0uy. Una espira rectangular de dimensiones a × b se mueve en el plano z = 0 con

velocidad constante v = v0ux, tal y como muestra la figura. En el instante t = 0 el lado derecho de la espira

toca el conductor laminar y, a continuación, la espira atraviesa el conductor laminar sin que en ningún momento su movimiento deje de ser uniforme.