Universidad Católica de Valparaíso Prueba Recuperativa de Mat 146 Instituto de Matemáticas Lunes 05 de julio, 2010
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Trabaje ordenadamente y justi…que todas sus respuestas. Cada pregunta vale 10 puntos.
La pregunta 7 es obligatoria. De las preguntas 1 a 6 debe contestar sólo 4 de ellas. De las preguntas 5 y 6 debe contestar a lo menos una.
1. (10puntos)Demuestre que para todo número natural ny para cualquier ángulo de valor real se cumple que: cos (a+n ) = ( 1)ncos (a)
2. (10puntos)Gra…que el conjuntoA4BCSiendoA=fz2C:kz 3 +ik<Re (z 4i)g; B= z2C:kz 3 +ik> 2i 3 z
3. (10puntos) Sean L1 y L2 dos rectas perpendiculares no paralelas a los
ejes coordenados de pendientesmL1 ymL2:Usando trigonometría pruebe quemL1 mL2 = 1
4. (10puntos)Si z2Ctal que
20 X k=1 z+k 2 i k = 125 + 20i, determine el valor de 20 Y k=1 z p 2 k
5. (10puntos) Dado el polinomio p(x) = ax3+ (b 1)x2 c, determine
a; b; c2R; de modo quex= 1sea raíz dep(x), al dividirp(x)porx+ 2 se obtenga resto3yp(0) = 1:
6. (10puntos) Sea q(x) = 2x4+x3 11x2+ 11x 3. Exprese mediante
fracciones parciales el cociente 1 x
4
q(x) enR[X]:
7. (5puntos c/u)Determine si son verdaderas o falsas cada una de las sigu-ientes a…rmaciones. Si son verdaderas, ruébelas y si son falsas, de un contraejemplo:
(a) SiU=fp(x)2R[X] :gr(p(x)) 3g;A=fp(x)2U:p( 1) = 0g;B =
fp(x)2U:p(1) = 0g;C=fp(x)2U:ptiene al menos una raíz compleja no realg; entonces se puede asegurar que: (8y2U) y2(A\C))y2BC :
(b) El polinomio p(x) = 2x16540+ 17x720+ 7no tiene raíces relaes.
(c) Si en un triángulo, los valores del seno de os tres ángulos están en P.G. de razón r, entonces los valores de la medida de los lados también forman una P.G. de razónr:
(d) Sip(x)2R[X]es tal quep(sin ) = sin (100 ) , entonces el resto al dividirp(x)porx 12 = sin 23 :
"Hay hombres que luchan un día y son buenos, hay quienes lucharon un año y son mejores, están los que luchan muchos años y son muy buenos,
pero hay quienes luchan toda la vida y son los impresindibles"B . B retch
"Jamás desesperes, aún estando en las más sombrías a‡icciones, pues de las nubes negras cae agua limpia y fecundante"M . de U namuno:
"Vas a ganar cada batalla, ya lo presiento. Hay que empezar de cero para tocar el cielo. Ahora vamos por todo..."Shaquira
Desarrollo
1. (10puntos)Demuestre que para todo número natural ny para cualquier ángulo de valor real se cumple que: cos (a+n ) = ( 1)ncos (a) Considere paraa2Rla proposiciónP(n) : cos (a+n ) = ( 1)ncos (a): P.d. P(n) V;8n2N:
1o Note que para n = 1 se cumple que cos (a+ ) = cos (a) cos ( )
sin (a) sin ( ) = cos (a) = ( 1)1cos (a): 2oAhora, sik2
N;cualquiera con la condición de queP(k) V;queremos probar que en ese caso,P(k+ 1) V:
En efecto, sabemos quecos (a+k ) = ( 1)kcos (a):De este modo podemos asegurar que:
cos (a+ (k+ 1) ) = cos (a+k ) cos ( ) sin (a+k ) sin ( ) = ( 1)kcos (a) ( 1) sin (a+k ) (0) = ( 1)k+1cos (a)
por lo queP(k+ 1) V:)P(k))P(k+ 1): )P(n) V; 8n2N:
2. (10puntos)Gra…que el conjuntoA4BCSiendoA=fz2C:kz 3 +ik<Re (z 4i)g;
B= z2C:kz 3 +ik> 2i 3 z Tenemos que: A = fz2C:kz 3 +ik<Re (z 4i)g = fx+yi2C:k(x 3) + (y+ 1)ik<Re (x+ (y 4)i)g = x+yi2C: q (x 3)2+ (y+ 1)2< x = nx+yi2C:x2 6x+ 9 + (y+ 1)2< x2o = nx+yi2C: (y+ 1)2<6x 9o = nx+yi2C: (y+ 1)2<6 (x 3=2)o La grá…ca del conjuntoA corresponde a:
B = z2C:kz 3 +ik> 2i 3 z = nx+yi2C:k(x 3) + (y+ 1)ik< (2 y)i (3 +x) o = x+yi2C: q (x 3)2+ (y+ 1)2< q (x+ 3)2+ (y 2)2 = x+yi2C:x2 6x+ 9 +y2+ 2y+ 1< x2+ 6x+ 9 +y2 4y+ 4 = fx+yi2C:y <2x+ 5=6g
La grá…ca del conjuntoB corresponde a:
De este modo, como A4BC = A BC [ BC A = (A\B)[
(A[B)C;entonces la grá…ca deA4BC corresponde a:
3. (10puntos) Sean L1 y L2 dos rectas perpendiculares no paralelas a los
ejes coordenados de pendientesmL1 ymL2:Usando trigonometría pruebe quemL1 mL2 = 1
Si es el ángulo que forma el sentido positivo del eje OX yL1;sin perder
la generalidad digamos que el ángulo que forma el sentido positivo del eje OX yL2 es +
2 ; pues las rectas son perpendiculares. De este modo tenemos que mL1 mL2 = tan tan +
2 = sin cos sin ( + =2) cos ( + =2) = sin cos cos sin = 1
4. (10puntos)Si z2Ctal que
20 X k=1 z+k 2 i k = 125 + 20i, determine el valor de 20 Y z p 2 k
Siz2Ctal que 20 X k=1 z+k 2 i k = 125 + 20i )20z+1 2 (20) (21) 2 i 1 i20 1 i = 125 + 20i ) 20z+ 105 i 1 1 1 i = 125 + 20i)20z= 20 + 20i)z= 1 +i Luego 20 Y k=1 z p 2 k = 20 Y k=1 1 +i p 2 k = 20 Y k=1 cis 4 k = 20 Y k=1 cis k 4 = cis 20 X k=1 k 4 ! =cis 4 (20) (21) 2 =cis 105 2 =cis 2 =i 5. (10puntos) Dado el polinomio p(x) = ax3+ (b 1)x2 c, determine
a; b; c2R; de modo quex= 1sea raíz dep(x), al dividirp(x)porx+ 2 se obtenga resto3yp(0) = 1:
Tenemos quep(1) =a+b c 1 = 0;quep( 2) = 8a+ 4b c 4 = 3 y que p(0) = c = 1: Así c = 1 y reemplazando en las dos primeras ecuaciones obtenemos el sistema: a+b= 0
2a b= 3=2 de donde se obtiene quea= 1=2 yb= 1=2.de modo quep(x) = x
3
2 + x2
2 + 1
6. (10puntos) Sea q(x) = 2x4+x3 11x2+ 11x 3. Exprese mediante
fracciones parciales el cociente 1 x
4
q(x) enR[X]:
Note que como elgrado del numerador y el deldenominador son iguales, debemos dividir. Así se ontiene lo siguiente:
x4 +1 : 2x4+x3 11x2+ 11x 3 = 1=2 ( x4 1 2x 3 +11 2x 2 11 2x + 3 2) 1 2x 3 11 2x 2 +11 2x 1 2 De este modo1 x 4 q(x) = 1 2+ 1 2x3 11 2x2+ 11 2x 1 2 q(x) = 1 2+ 1 2x3 11 2x2+ 11 2x 1 2 q(x) :
Para factorizarq(x)buscamos sus raíces con división sintética. Así obten-emos que: 2 1 11 11 3 1 2 3 8 3 2 3 8 3 0 1 2 5 3 2 5 3 0 3 6 3 2 1 0
por lo queq(x) = (x 1)2(x+ 3) (2x 1)y así se obtiene que 1 2x 3 11 2x 2+11 2x 1 2 q(x) = A x 1+ B (x 1)2 + C x+ 3 + D 2x 1
Para calcular las constantes podemos ampli…car laecuación anterior por q(x)obteniendo que:
x3 11x2+11x 1
2 =A(x 1) (x+ 3) (2x 1)+B(x+ 3) (2x 1)+C(x 1) 2
(2x 1)+D(x 1)2(x+ 3) Evaluando se obtiene lo siguiente:
x = 1)0 = 4B)B= 0 x = 3) 80 = 112C)C= 5=7 x = 1=2) 15 16= 7 8D)D= 15=14 x = 0) 1=2 = 3A 3B C+ 3D= 3A 5=7 + 15=14)A= 1
Así obtenemos que 1 x
4 (x 1)2(x+ 3) (2x 1) = 1 2 1 x 1+ 5 7 (x+ 3)+ 15 14 (2x 1)
7. (5puntos c/u)Determine si son verdaderas o falsas cada una de las sigu-ientes a…rmaciones. Si son verdaderas, ruébelas y si son falsas, de un contraejemplo:
(a) SiU=fp(x)2R[X] :gr(p(x)) 3g;A=fp(x)2U:p( 1) = 0g;B =
fp(x)2U:p(1) = 0g;C=fp(x)2U:ptiene al menos una raíz compleja no realg; entonces se puede asegurar que: (8y2U) y2(A\C))y2BC :
Verdadero. Sea y 2 (A\C) entonces y es un polinomio de coe…-cientes reales, con grado a lo más3que tiene ax= 1por raíz y que tiene al menos una raíz compleja no real, por lo que su conjugado también debe ser raíz. De este modo ya posee tres raíces diferentes y no puede tener más raíces, por el grado. Así es comox= 1no puede ser raíz, por lo que concluímos quey2BC:
(b) El polinomio p(x) = 2x16540+ 17x720+ 7no tiene raíces relaes. Verdadero. Analizando los cambios de signo de p(x) y dep( x) vemos que no posee ni raíces reales positivas ni raíces reales negativas. Como x= 0 tampoco es raíz, el polinomio no puede tener raíz real alguna.
(c) Si en un triángulo, los valores del seno de los tres ángulos están en P.G. de razónr, entonces los valores de la medida de los lados también forman una P.G. de razónr:
Verdadero. Sabemos que, sin perder la genralidad sin sin =
sin sin = r:Usando el teorema del seno, sabemos que sin =a y que sin =
b
c;por lo que reemplazando a b =
b
c =r: por lo que la medida de los lados también forman una P.G. de razónr:
(d) Sip(x)2R[X]es tal quep(sin ) = sin (100 ) , entonces el resto al dividirp(x)porx 12 = sin 23 :
Verdadero. Comosin 6 = 1
2 y el resto al dividirp(x)por x
1 2