Optimización De Trayectorias Tipo Y Análisis De Parámetros Del Vuelo Peio Castellano Ugarte V

Optimización De

Optimización De

Trayectorias Tipo Y

Trayectorias Tipo Y

Análisis De Parámetros

Análisis De Parámetros

Del Vuelo

Del Vuelo

Índice de contenido

1. INTRODUCCIÓN...7

1.1 Motivación...7

1.2 Objetivos...7

2. MÉTODO...9

2.1 Presentación del problema...9

2.2 Simplificaciones a trayectorias tipo...9

2.3 Trayectorias Tipo...12 2.3.1 Trayectoria tipo 1...12 2.3.2 Trayectoria tipo 2...17 2.4 Restricciones...23 2.4.1 Restricciones comunes:...23 2.4.2 Restricciones particulares...24 Trayectoria tipo 1...25 Trayectoria tipo 2...25 2.4.3 Límites...26 Trayectoria tipo 1:...26 Trayectoria tipo 2...27 2.5 Fmincon...29

2.5.1 Estructura del fmincon...29

Actualización del Hessiano...29

Subproblema QP...30

Método de line-search...31

2.5.2 Aplicación de las restricciones...31

Restricciones no lineales:...31

Restricciones lineales...33

2.5.3 Obtención del mínimo...33

3. ANÁLISIS...37

3.1 Crucero...37

3.1.1 Trayectoria tipo 1...37

Diferencias entre los valores:...45

Evolución de las variables...46

Hessiano en diferentes puntos...47

Análisis...47

Valores para el análisis...49

3.1.2 Trayectoria tipo 2...50

3.2 Análisis del CI...52

3.2.1 Método de continuación...52

Aplicación del método...52

Problemas del método de continuación...53

Mejora del método...54

3.2.3 Resultados...54

3.3 Influencia del peso inicial...64

4. CONCLUSIONES...69

A: Nomenclatura...71

B: Cálculo del Hessiano...73

C: Ecuaciones...75

C.1 Cálculo del techo máximo...78

D: Modelo Aeronave...81

D.1 Modelo aerodinámico...81

D.2 Modelo propulsivo...82

Índice de figuras

[Fig. 1]: Trayectoria tipo 1...12

[Fig. 2]: Ascenso en la trayectoria tipo 1...14

[Fig. 3]: Crucero en la trayectoria tipo 1...15

[Fig. 4]: Descenso en la trayectoria tipo 1...16

[Fig. 5]: Trayectoria tipo 2...17

[Fig. 6]: Ascenso en la trayectoria tipo 2...19

[Fig. 7]: Crucero en la trayectoria tipo 2...19

[Fig. 8]: Descenso en la trayectoria tipo 2...21

[Fig. 9]: Relación TAS/CAS/M...24

[Fig. 10]: Consumo de combustible para distintas etapas y condiciones iniciales...38

[Fig. 11]: Evolución CAS ascenso con el numero de etapas de crucero...39

[Fig. 12]: Evolución Mach ascenso con el numero de etapas de crucero...39

[Fig. 13]: Evolución Mach de crucero con el numero de etapas de crucero...40

[Fig. 14]: Evolución Mach de descenso con el numero de etapas de crucero...40

[Fig. 15]: Evolución CAS descenso con el numero de etapas de crucero...41

[Fig. 16]: Evolución de las altitudes de crucero para 3, 4, 5 y 6 etapas de crucero...42

[Fig. 17]: Evolución de las altitudes de crucero para 7 y 8 etapas de crucero...43

[Fig. 18] Evolución del consumo con el número de etapas...44

[Fig. 19]: Efecto del CAS de ascenso y del Mach de descenso sobre la función objetivo...48

[Fig. 20]: Evolución de la función objetivo con el CI...54

[Fig. 21]: Evolución del CAS de ascenso con el CI...56

[Fig. 22]: Evolución de los distintos Mach con el CI...57

[Fig. 23]: Evolución de las altitudes de crucero con el CI...58

[Fig. 24]: Evolución de las distancias de crucero con el CI...59

[Fig. 25]: Evolución del CAS de descenso con el CI...59

[Fig. 26]: Tiempo de vuelo con el CI...60

[Fig. 27]: Altitud de transición de ascenso con el CI...61

[Fig. 28]: Altitud de transición de descenso con el CI...61

[Fig, 29]: Evolución de la trayectoria conforme varía el CI...62

[Fig. 30]: Detalle de fin de ascenso...62

[Fig. 31]: Detalle inicio de descenso...63

[Fig. 32]: Evolución del consumo de combustible con el peso inicial...64

[Fig. 33]: Evolución de los números de Mach con el peso inicial...65

[Fig. 35]: Evolución de las altitudes de crucero con el peso...66 [Fig. 36]: Evolución de las distancias con el peso inicial...67 [Fig. C.1] : Altitud máxima en función del Mach y del consumo...79

1. INTRODUCCIÓN

1.1 Motivación

El exceso de aeronaves y el consumo de combustible de estas ha llevado a un aumento de los costes de vuelo (debido a tanto el aumento del precio del combustible como al gasto de tiempo). Debido a esto, y para abaratar costes, se ha propuesto por NextGen y por SESAR el concepto de “Trajecory Based Operations” (TBO, operaciones basadas en trayectorias).

Para poder llevarse a cabo este concepto (TBO), en primer lugar han de optimizarse las trayectorias propias de cada aeronave y tratar de obtener el consumo mínimo del vuelo en función de los diferentes parámetros.

El problema a la hora de realizar este tipo de análisis es el optimizar trayectorias sujetas a ligaduras. Para poder realizarlo en una primera aproximación, se simplifica el modelo a uno más sencillo (con un mucho menor número de grados de libertad) y se simplifica la trayectoria asumiéndola como una trayectoria tipo (en donde se pueden imponer ciertas ligaduras con un valor constante). En este caso, se han considerado dos trayectorias tipo, descritos en el apartado 2.3. Gracias a esto, se puede reformular el problema de trayectorias con ligaduras en un problema de optimización multivariable sujeto a ligaduras.

1.2 Objetivos

Los objetivos principales del siguiente análisis sujeto a una aeronave predefinida (B767-300ER) son:

• Optimizar teniendo en cuenta una combinación entre el combustible y el tiempo, relacionando ambas variables por un parámetro llamado CI, que sirve para marcar una relación de peso entre el combustible y el tiempo.

• Dentro de los parámetros que pueden afectar a la función objetivo, los dos parámetros principales a analizar son el peso y el CI. Con dichos parámetros se pueden similar dos de las variables que cambian de un vuelo a otro; el efecto del peso (dependiente de la carga) y el CI (dependiente de las aerolíneas y de la densidad del tráfico).

Para poder llevar a cabo los objetivos anteriormente citados, el análisis debe realizarse siguiendo los siguientes pasos:

• Establecer las diferentes condiciones (lineales, no lineales y de contorno) para permitir un análisis del coste de la función objetivo.

• Optimizar las distintas trayectorias para obtener el consumo mínimo de cada una de ellas.

• Analizar las etapas de crucero y determinar el numero de etapas de crucero necesarias para simular, sin un excesivo error, un “cruise climb” (crucero en el que las altitudes varían constantemente).

• Realizar un análisis del vuelo teniendo en cuenta los diferentes parámetros a variar (peso y CI).

2. MÉTODO

2.1 Presentación del problema

Como se ha mostrado anteriormente, el problema a realizar es un análisis de “Cost Index” (CI) para un vuelo entre dos puntos. La aeronave con la que se plantea el problema es un Boeing 767-300ER. El procedimiento para poder realizar este análisis consiste en realizar diferentes simplificaciones y pasos intermedios que permiten llegar a un problema final a solucionar.

Inicialmente, se realizan distintas simplificaciones y se utiliza el modelo de ecuaciones más adelante descrito (junto al Apéndice C). Una vez simplificadas estas ecuaciones mediante distintas consideraciones posteriormente explicadas; se pasa a un modelo de trayectorias tipo creadas a partir de la unión de distintos segmentos de vuelo. Dicha simplificación se realiza para simplificar el problema; ya que resulta mucho más sencillo la aplicación de las ligaduras a cada uno de los segmentos que establecer unas leyes de vuelo para la trayectoria global. En dicho análisis se proponen dos distintas trayectorias tipo; cada una de ellas con diferentes variables que las conforman

A continuación; y antes de realizar un análisis de optimización (llevado a cabo mediante el algoritmo fmincon); se deben aplicar las distintas restricciones y condiciones que deben cumplirse para que el vuelo corresponda con una realidad física.

Finalmente, el último paso antes de poder realizar un análisis del CI consiste en determinar en número de etapas de crucero necesarias para poder simular un “cruise climb” mediante un

“stepped cruise climb” (más detallado a continuación) de la mejor manera posible, tratando de

mantener un resultado cercano al “cruise climb” con el menor número de etapas de crucero posibles. Una vez realizado este paso, tan solo queda ver la trayectoria tipo de menor consumo y conducir el análisis del CI.

2.2 Simplificaciones a trayectorias tipo

Para poder realizar el análisis se deben obtener primeramente las ecuaciones del movimiento de la aeronave. Las ecuaciones son las correspondientes a la mecánica del vuelo. Estas ecuaciones son las obtenidas mediante el uso de la segunda ley de Newton y la definición de velocidad [apéndice C]. Para simplificar el problema se tomarán en cuenta las siguientes simplificaciones:

– Aeronave: Se considera el avión (Boeing 767-300ER) como una masa puntual. También se considera el avión como un cuerpo rígido (sin tener en cuenta las deformaciones). De esta forma no se analiza el problema aeroelástico. Teniendo en cuenta esto, se reduce todo el problema al movimiento del centro de masas.

Además, se considera que la aeronave es simétrica (en el plano vertical), como sucede para la gran mayoría de las aeronaves.

– Fuerzas inerciales causadas por la tierra, coriolis y centrífuga: Dichas fuerzas se consideran insignificantes (ordenes de magnitud inferior) en comparación con el resto de fuerzas. Esto es valido ya que el avión vuela a una velocidad subsónica y la distancia recorrida no es lo suficiente como para verse afectada por la rotación terrestre (es del mismo orden del radio de la tierra).

– Motor: Para los cálculos realizados se ha considerado que la dirección del empuje es siempre en la dirección de la velocidad. Por ello, los ángulos que fijan la dirección del

vector del empuje ε y ν [apéndice A] serán nulas (ε = 0; ν = 0).

– Modelo tierra: El trajectory considera un modelo de tierra genérico pudiendo tener en cuenta el efecto de esfericidad de la tierra. Sin embargo, por simplificar los cálculos se ha considerado un modelo de tierra plana.

– Gravedad: se considera que el efecto de la gravedad es constante y no varía con la altitud. Esto es válido ya que la altura de vuelo no sufre grandes variaciones. De hecho, dicha altura siempre se encuentra variando entre un límite inferior de 10000 pies (3048 metros) y siendo siempre inferior a 15 km. Se toma como módulo del vector gravedad el valor de la gravedad a nivel de mar g0.

Con estas simplificaciones, las ecuaciones de la mecánica del vuelo se pueden expresar de la siguiente forma:

Ec. 1

Siendo: L, μ y el empuje T funciones independientes de las variables a integrar (ángulo de ataque, palanca del motor y μ). Para poder resolver el problema habrá que imponer lo que se conocen como ligaduras, “flight constraints” (3) para cerrar el problema. El sistema matemático a resolver se conoce con el nombre de DAE (Differential Algebraic Equations - ecuaciones algebraicas diferenciales-).

Al ser ambos problemas de vuelo a optimizar vuelo realizados tan sólo en el plano vertical, las ecuaciones se simplifican al estar el rumbo prefijado con la ligadura: χ = χA. Introduciendo esta

ligadura las ecuaciones se simplifican como se puede observar el conjunto de ecuaciones de a continuación [ec. 2]. Cabe destacar que al estar el rumbo fijado, resulta de mayor interés conocer la distancia recorrida en lugar de la latitud y de la longitud.

R_Ehd d t =Vcoscos R_Ehcosd d t =Vcossin d h d t=Vsin md V d t =T−D−m gsin mVcosd d t=Lsin m V d d t =Lcos−m gcos d m d t =−c

Ec. 2

Teniendo ya definida una ligadura, tan sólo es necesario el implementar las dos restantes para la resolución del problema. Como se ha expresado anteriormente, la resolución de las DAE resulta muy costosa. Por ello, se realiza otra simplificación que consiste en separar el vuelo en una unión de distintos tramos en donde se realiza el vuelo con las dos condiciones de vuelo (ligaduras) restantes fijas. Esto permite una resolución del problema mucho más sencilla y menos costosa, que resulta muy valida para una primera aproximación.

Para ello se ha procedido a separar el vuelo en distintos tramos o segmentos. El vuelo completo constara de la unión de varios segmentos. Esto conllevará a que existan discontinuidades (saltos bruscos) en γ. Dichas discontinuidades son insignificantes en comparación con la trayectoria completa y apenas afectan al resultado final. En este caso se han tomado dos trayectorias tipo (formadas cada una por distintos segmentos); para tratar de simular las dos trayectorias mencionadas anteriormente que podría realizar la aeronave.

El análisis final de cada trayectoria se realizara como una suma de todos los segmentos que la componen. Las condiciones de parada en el análisis de cada segmento están determinadas por las condiciones iniciales del siguiente segmento, así todos los segmentos pueden ser unidos. Para el análisis de cada uno de los segmentos se utilizara una herramienta escrita en MatLab llamada

Trajectory.

El funcionamiento básico del Trajectory es aplicar para cada uno de los distintos segmentos las tres ligaduras de cada segmento a cada una de las ecuaciones expresadas anteriormente [ec. 2]. Además, se imponen las condiciones iniciales de cada uno de los segmentos (que son las condiciones finales del tramo anterior o, en caso de que se trate del primer tramo, las condiciones iniciales del problema), junto con la condición de parada de cada segmento.

De esta forma se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE) para cada uno de los segmentos; problema de menor complejidad que se resuelve hasta alcanzar las condiciones de parada impuestas.

Finalmente, se agregan sumar los segmentos y se considera como la solución del problema (consumo de combustible) la diferencia entre la masa al inicio de la trayectoria y la masa al finalizar el último segmento. d r d t=Vcos R_E REh ≃Vcos d h d t =Vsin md V d t =T−D−m g0sin mV d d t =L−m g0cos d m d t =−c

2.3 Trayectorias Tipo

Las dos trayectorias tipo a analizar son una de ascenso CAS/Mach seguido de un crucero escalonado (“stepped cruise climb”) y de un descenso Mach/CAS y otra de un ascenso a velocidad vertical (“Rate of Climb”) constante en tres etapas seguido de un crucero escalonado (“stepped

cruise climb”) para finalizar en un descenso a “Rate of Descent” (“Rate of Climb” negativo)

constante en tres fases. Ambas trayectorias comienzan a 10000 pies y CAS de 250 nudos (3048 m y TAS de 148.5213 m/s).

2.3.1 Trayectoria tipo 1

Como se puede observar en la gráfica a continuación [fig. 1], la trayectoria 1 está formada por distintos segmentos, habiendo que definir en cada uno de los tramos las diferentes ligaduras (flight

constraints) que permiten convertir el sistema de DAE's en un sistema de ecuaciones diferenciales

de primer orden. Cabe destacar que al tratarse de un vuelo en el plano vertical, el rumbo es siempre constante. De esta forma se tiene determinada la primera ligadura para todos los tramos.

Esta trayectoria, al igual que la segunda trayectoria tipo, puede ser dividida en tres tramos (ascenso, crucero y descenso). En esta trayectoria tenemos un tramo de ascenso realizado de forma a CAS/Mach, vuelo de crucero en un modo conocido como “stepped cruise climb” y un tramo de descenso, también construido a modo de Mach/CAS. A su vez cada tramo contiene diferentes segmentos que servirán de nexo entre los diferentes tramos. Cada tramo está subdividido en distintos segmentos donde se impondrán las diferentes ligaduras. Al final de cada tramo se adjuntan diferentes figuras [fig. 2], [fig. 3] y [fig. 4] para facilitar la explicación. En dichas figuras, también se establecen las ligaduras introducidas para cada uno de los segmentos.

Figura 1: Trayectoria 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 x 1 06 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0 6 0 0 0 7 0 0 0 8 0 0 0 9 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 d i s t a n c i a r e c o r r i d a [ m ] a lt u ra [ m ] t r a m o d e a s c e n s o t r a m o s c r u c e r o t r a m o d e d e s c e n s o

• Ascenso: El tramo de ascenso está compuesto por cuatro segmentos distintos:

◦ Aceleración horizontal desde la velocidad inicial (250 nudos) hasta la velocidad a la que se realiza el siguiente tramo, que a partir de ahora será conocida como CAS de ascenso (o simplemente CASA). Este vuelo se realizará a altitud constante y a un rating de motor

de MCLB (Maximum Climb Rating). De esta forma las dos ligaduras restantes serán que la altitud se mantiene constante y el motor se mantiene a un rating de MCLB. La condición de parada vendrá dada cuando se alcance un CASA.

◦ Ascenso a CAS constante. Esta es la primera parte de lo que se podría considerar como ascenso propiamente dicho. Esta parte se realiza a un CAS constante (CASA) y a motor

constante. Por lo tanto, las ligaduras correspondientes a este tramo serán el CAS, que permanecerá constante y el rating de motor, que como en el tramo anterior se mantendrá constante en MCLB. La condición de parada para este segmento será cuando se alcance un Mach correspondiente al utilizado en el siguiente tramo.

◦ Acenso a Mach constante. Como su propio nombre indica, se trata de un vuelo a Mach constante, denominado a partir de ahora como MA. Esta podría considerarse como la

segunda parte del ascenso. Este segmento, como los anteriores, también se realiza con un rating de motor constante a MCLB. La ligadura restante está relacionada con la velocidad, al imponer que el Mach se mantenga constante. El cálculo de las variables se realizará hasta alcanzar una altitud que corresponde a la primera altitud en los tramos de crucero, dato que se detallará a continuación.

◦ Adaptación del Mach. Este segmento es un segmento de nexo entre el ascenso y el tramo de crucero. La intención de este segmento es adaptar el Mach usado para el ascenso (MA) al Mach en que se realizará el crucero (detalles a continuación). Dicho tramo se

realiza a altitud constante, correspondiente a la primera altitud de crucero. La otra ligadura dependerá de la relación entre los números de Mach. Si el Mach de ascenso es inferior al Mach en que se realiza el crucero, las condiciones de motor constante serán de MCLB, lo que se traduce a una aceleración. Si por contra, el MA es superior al Mach de

crucero, la condición de motor constante será de IDLE, llevando a una deceleración. La parada de la integración se realizará una vez se alcance el Mach de crucero.

• Crucero: Como esta demostrado en diferentes libros de texto y puede comprobarse en la bibliografía [ref. 13], el vuelo a velocidad de crucero constante en “cruise climb” puede considerarse como el vuelo con menor consumo y mayor eficiencia. Al ser este el objetivo del análisis, resulta ser la mejor opción para el problema a tratar. Sin embargo, debido a las restricciones impuestas por los servicios de control de tráfico aéreo, no es factible realizar un vuelo en “cruise climb”. A modo de aproximación se procede a simular un vuelo en

“stepped cruise climb”.

Para simular este tipo de crucero, la parte de crucero consta de la suma de diferentes segmentos, predefinidos anteriormente. Cada segmento de crucero se realiza a una altitud constante y estos segmentos están unidos por distintos tramos de ascenso.

◦ Segmentos de crucero. Cada uno de estos segmentos de realiza a una altitud diferente, pero todos ellos se realizan a un mismo Mach crucero (Mcr). Esto se debe a que el

crucero de mínimo consumo; de entre las diferentes posibilidades es el que se obtiene al establecer un Mach de crucero constante. Las dos ligaduras restantes de este tramo son el mantener tanto el Mach como la altitud constante. La condición de parada viene determinada por una variable externa que indica dónde detener el segmento de crucero y comenzar el siguiente segmento.

◦ Segmentos de adaptación (ascensos). El número de este tipo de segmentos es siempre inferior en una unidad (uno menos) que los tramos rectos de crucero. Estos segmentos se inician donde indica la variable externa que se detenga la etapa de crucero anterior. Estos segmentos están determinados por mantener el Mach constante (siendo el mismo para todo el crucero) y por realizarse a un rating de motor fijo denominado MCRZ. La condición de parada en este caso viene dada cuando se alcanza la altitud impuesta para el siguiente segmento de crucero.

Figura 2: Ascenso en la trayectoria 1

0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 x 1 04 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0 6 0 0 0 7 0 0 0 8 0 0 0 9 0 0 0 1 0 0 0 0 d i s t a n c i a r e c o r r i d a [ m ] a lt u ra [ m ] m o t o r = M C L B ; h = 3 0 4 8 m m o t o r = M C L B ; C A S = C A S_A m o t o r = M C L B ; M = M_A m o t o r = M C L B / / ID L E ; h = h_{c r}( 1 )

• Descenso: El tramo de descenso, al igual que el de ascenso también está compuesto por cuatro segmentos distribuidos de forma inversa al tramo de ascenso.

El tramo de descenso comienza en un punto denominado CSR (Cruise Speed Reduction Point), punto determinado mediante iteración. Éste es el punto de parada del tramo de crucero. Más adelante se hará referencia a este punto para la aplicación de distintas condiciones. Sin embargo; para esta trayectoria tipo, el punto de fin de crucero (CSR) no coincide con el punto en el que comienza a descender la altura (TOD, Top Of Descent) debido a la necesidad de un segmento de adaptación de velocidades.

◦ Adaptación del Mach. Análogamente a lo que sucede en el tramo de ascenso, este segmento trata de adaptar el Mach de crucero al Mach de descenso (MD). Como sucede

en el tramo de ascenso, la idea de este segmento es ser un nexo entre el crucero y el descenso. Dicho tramo se realiza a altitud constante, correspondiente a la última altitud de crucero. Como en el caso anterior, la otra ligadura dependerá de la relación entre los números de Mach. Si el Mach de descenso es superior al Mach en que se realiza el crucero, las condiciones de motor constante serán de MCLB, lo que se traduce a una aceleración. Si por contra, el MD es inferior al Mach de crucero, la condición de motor

constante será de IDLE, llevando a una deceleración. Análogamente a lo que sucede para el ascenso, la parada de la integración se realizará una vez se alcance el Mach de crucero.

◦ Descenso a Mach constante. Se trata de la primera de las dos partes del descenso propiamente dicho. Se trata de un tramo de descenso que se realiza a Mach constante (MD). Las ligaduras de este tramo son una condición de velocidad constante, mediante

un Mach de valor fijo, y una condición de motor, al que se impone un rating constante de IDLE. La detención del integrador viene dada cuando se alcanza el valor de CAS

Figura 3: Crucero en la trayectoria 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 x 1 06 0 . 9 6 0 . 9 8 1 1 . 0 2 1 . 0 4 1 . 0 6 1 . 0 8 1 . 1 x 1 0 4 d i s t a n c i a r e c o r r i d a [ m ] a lt u ra [ m ] h = c o n s t a n t e ; M = M _{c r} m o t o r = M C R Z ; M = M _{c r}

utilizado en el siguiente segmento.

◦ Descenso a CAS constante. Consiste en la segunda parte del descenso. Esta parte se realiza a un CAS constante y equivalente al anteriormente nombrado CASD y a motor

constante. Las ligaduras correspondientes a este tramo serán el CAS, que permanecerá constante y el rating de motor, que como en el tramo anterior se mantendrá constante en IDLE. La condición de parada se alcanza cuando se llega a la altitud de 10000 pies (3048 metros). De esta forma ya se tiene la misma condición de altitud que en las condiciones iniciales.

◦ Deceleración horizontl. Este segmento sirve para alcanzar las condiciones finales, iguales a las iniciales. Al estar la altitud ya obtenida, tan solo queda por obtener la condición de velocidad de 250 nudos. Para ello se decelera a altitud constante. Las ligaduras de este segmento son el mantener la altitud constante y el motor constante en IDLE. La condición de parada es alcanzar la condición final de CAS, y de esta forma conseguir las mismas condiciones finales que las iniciales (vuelo a 250 nudos y a 10000 pies).

Definidos los segmentos, los grados de libertad del problema son los siguientes:

• CASA: CAS de ascenso constante. Es la velocidad a la que se realiza el primera tramo de

ascenso propiamente dicho.

• MA: Mach de ascenso constante. Mach al que se realiza la segunda parte del ascenso como

tal.

• Mcr: Mach de crucero constante. Mach al que se realizan todos los tramos de crucero, tanto

los de altitud constante como los de altitud variable. El hecho de que sea constante en todos los tramos ya ha sido explicado anteriormente.

Figura 4: Descenso de la trayectoria 1

9 . 8 9 . 8 2 9 . 8 4 9 . 8 6 9 . 8 8 9 . 9 9 . 9 2 9 . 9 4 9 . 9 6 9 . 9 8 1 0 x 1 06 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0 6 0 0 0 7 0 0 0 8 0 0 0 9 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 d i s t a n c i a r e c o r r i d a [ m ] a lt u ra [ m ] m o t o r = M C L B / / I D L E ; h = h_{c r}( e n d ) m o t o r = I D L E ; M = M D m o t o r = I D L E ; C A S = C A S D m o t o r = I D L E ; h = 3 0 4 8 m

• hcri: Se trata de la altura de crucero constante correspondiente al tramo “i” de crucero. Habrá

tantos valores de altura hcri como etapas tenga el crucero. En el caso del ejemplo (de 3 etapas

de crucero) habrá los valores hcr1, hcr2 y hcr3 correspondiente cada uno al primer, segundo y

tercer tramo de crucero respectivamente.

• rcri: Se trata de la distancia a la que se interrumpe la evolución a altura constante del

segmento “i” de crucero. Habrá tantos valores de rcri como etapas de crucero menos una. En

el caso del ejemplo (de 3 etapas de crucero) habrá los valores de rcr1 y rcr2 correspondientes a

las condiciones de parada del primer y del segundo tramo de crucero respectivamente.

• MD: Mach de descenso constante. Mach al que se realiza la primera parte del descenso como

tal.

• CASD: CAS de descenso constante. Es la velocidad a la que se realiza el segundo segmento

de descenso propiamente dicho.

2.3.2 Trayectoria tipo 2

Al igual que la anterior trayectoria, esta trayectoria puede ser dividida en tres tramos: un tramo de ascenso realizado a diferentes “Rate of Climb” (R/C) constantes, un tramo de vuelo de crucero (en el previamente mencionado modo “stepped cruise climb”) y un tramo de descenso, también realizado como una suma de segmentos a distintos R/C (Cada tramo a su vez esta subdividido en distintos segmentos donde se impondrán las diferentes ligaduras). Al igual que para la anterior trayectoria, al final de cada explicación se adjuntan diferentes figuras [fig. 6], [fig. 7] y [fig. 8] para facilitar la explicación. En dichas figuras, también se establecen las ligaduras introducidas para cada uno de los segmentos.

• Ascenso: El tramo de ascenso también está compuesto por cuatro segmentos.

A diferencia del caso anterior, en este caso no existe un segmento de adecuación entre las condiciones iniciales a las condiciones de ascenso, si no que se comienza a ascender desde

Figura 5: Trayectoria tipo 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 x 1 06 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0 6 0 0 0 7 0 0 0 8 0 0 0 9 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 d i s t a n c i a r e c o r r i d a [ m ] a lt u ra [ m ] t r a m o d e a s c e n s o t r a m o s c r u c e r o t r a m o d e d e s c e n s o

el primer momento. Los diferentes segmentos en este tramo son los siguientes:

◦ Primer segmento de ascenso a R/C constante: Como su propio nombre indica, en este segmento se asciende manteniendo constante la variable R/C. El valor de este R/C de vuelo constante se define ROC1. Teniendo de esta forma una de las dos ligaduras

requeridas ya definida (como una velocidad), tan solo queda una ligadura por definir. La ligadura restante se impone al fijar el rating de motor constante en la configuración de 'MCLB'. La condición de parada para finalizar la integración en este segmento es una altitud a la que se finaliza el segmento, ha1.

◦ Segundo segmento de ascenso a R/C constante: Segmento de ascenso análogo al anterior con las mismas ligaduras. Sin embargo, el valor constante de R/C en este caso es ROC2.

La condición de parada sigue siendo una altitud, siendo en este caso ha2.

◦ Tercer segmento de ascenso a R/C constante: Último segmento de ascenso a R/C constante, manteniendo el rating de motor 'MCLB' y manteniendo una altitud como condición de parada. En este caso, el R/C constante es ROC3 y la altitud para la parada

es la altitud correspondiente a la primera etapa del crucero.

◦ Adaptación de la velocidad: Tal y como sucede en la trayectoria anterior, es posible que la velocidad a la que se finaliza el último segmento de ascenso real no coincida con la velocidad a la que se realiza el crucero. Para acomodar estas dos velocidades se dispone de un segmento a modo de nexo para adaptar estas dos velocidades. Dicho segmento se realiza a altitud constante, correspondiente a la primera altitud de crucero (la altitud final de ascenso). La otra ligadura dependerá de la relación entre los números de Mach. Si el Mach al finalizar el ascenso es inferior al Mach en que se realiza el crucero, las condiciones de motor constante serán de MCLB, lo que se traduce a una aceleración. Si, por contra, este Mach al final del descenso es superior al Mach de crucero, la condición de motor constante será de IDLE, llevando a una deceleración. La parada de la integración se realizará una vez se alcance el Mach de crucero.

• Crucero: Exactamente igual que en el caso anterior.

Figura 6: Ascenso de la trayectoria 2

0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 x 1 04 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0 6 0 0 0 7 0 0 0 8 0 0 0 9 0 0 0 1 0 0 0 0 d i s t a n c i a r e c o r r i d a [ m ] a lt u ra [ m ] m o t o r = M C L B ; R / C = R O C₁ m o t o r = M C L B ; R / C = R O C 2 m o t o r = M C L B ; R / C = R O C 3 m o t o r = M C L B / / I D L E ; h = h_{c r}( 1 ) h = h a 1 h = h a 2

Figura 7: Crucero en la trayectoria 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 x 1 06 0 . 9 6 0 . 9 8 1 1 . 0 2 1 . 0 4 1 . 0 6 1 . 0 8 1 . 1 x 1 0 4 d i s t a n c i a r e c o r r i d a [ m ] a lt u ra [ m ] h = c o n s t a n t e ; M = M _{c r} m o t o r = M C R Z ; M = M _{c r}

• Descenso: El tramo de descenso es bastante similar al de ascenso, haciendo el descenso en distintos tramos y después adaptando velocidades. Al igual que el tramo de ascenso, esta compuesto de 4 segmentos. Por contra, a diferencia del caso de ascenso, este tramo contiene diferentes condiciones de motor, y una distinta disposición de los segmentos. En el caso de esta trayectoria tipo, la distancia de fin del crucero (CSR) coincide con el punto la altitud comienza a disminuir (TOD).

◦ Primer segmento de descenso: En este segmento se realiza el primer tramo de descenso. A diferencia del ascenso, dicho descenso se realiza a un valor de “Rate of Descent” (R/C de signo negativo) constante, ROD1. La condición de ligadura restante viene impuesta

por el motor, al que se impone un régimen de motor constante en ralentí (IDLE). La condición de parada se encuentra definida por una altitud, impuesta mediante una variable externa (hd1).

◦ Segundo segmento de descenso: Este segmento, tal y como sucedía en el caso del ascenso; es un segmento igual al anterior pero con diferentes valores para la ligadura de velocidad (“Rate of Descent”) y con distinto valor de altitud de parada. En este caso el valor de la ligadura de velocidad es ROD2 y el valor de altitud de parada es hd2.

◦ Tercer/último segmento de descenso: Segmento análogo a los dos segmentos anteriores de descenso, variando en el valor de la condición de parada y en el valor de la ligadura de la velocidad (“Rate of Descent”). En este caso el valor de la ligadura en velocidad es ROD3. La condición de parada en la altitud está determinada por la altitud final de la

trayectoria (10000 pies).

◦ Adaptación de velocidad: Una vez la condición final de altitud ha sido alcanzada, tan solo queda por alcanzar la condición final de velocidad (CAS de 250 nudos). Dicha adaptación se realiza a altitud constante, de 10000 pies. De esta forma, la primera ligadura ya ha sido impuesta como una ligadura de altitud constante. La condición de parada es el alcanzar la condición final de velocidad del vuelo (el anteriormente definido CAS de 250 nudos). En cuanto a la segunda ligadura; esta ligadura, que consiste en imponer régimen de motor constante, depende del valor del CAS final del segmento anterior. Si este valor es superior a 250 nudos, la condición de motor será de 'IDLE' (ralentí) para decelerar. Si por contra, este valor es inferior a los 250 nudos, la condición de motor será de 'MCLB', produciendo un incremento de velocidad.

Tal y como se ha realizado para la trayectoria tipo 1; una vez ya han sido definido los diferentes segmentos, tan solo resta por expresar los distintos grados de libertad del problema. Dichos valores se pueden resumir en los siguientes valores:

• ROC1: Velocidad de ascenso. Se trata del “Rate of Climb” (velocidad de ascensión) al que

se realiza el primer segmento de ascenso.

• ha1: altitud intermedia. Esta altitud es la altitud que indica el punto donde se pasa del primer

al segundo segmento de la trayectoria. Se trata de la altitud a la que se interrumpe el primer segmento y se inicia el siguiente segmento.

• ROC2: Velocidad de ascensión constante a la que se realiza el segundo segmento del

ascenso, y de la trayectoria.

• ha2: altitud de transición en la que se concluye en segundo segmento de ascenso y se inicia el

tercer segmento de ascenso.

• ROC3: Velocidad de ascensión constante a la que se realiza el tercer segmento de la

trayectoria global.

• Mcr: Mach de crucero constante. Mach al que se realizan todos los tramos de crucero, tanto

los de altitud constante como los de altitud variable.

• hcri: Se trata de la altura de crucero constante correspondiente al tramo “i” de crucero. Habrá

tantos valores de altura hcri como etapas tenga el crucero. En el caso del ejemplo (de 3 etapas

de crucero) habrá los valores hcr1, hcr2 y hcr3 correspondiente cada uno al primer, segundo y

tercer tramo de crucero respectivamente.

• rcri: Se trata de la distancia a la que se interrumpe la evolución a altura constante del

segmento “i” de crucero. Habrá tantos valores de rcri como etapas de crucero menos una. En

Figura 8: Descenso de la trayectoria 2

9 . 8 2 9 . 8 4 9 . 8 6 9 . 8 8 9 . 9 9 . 9 2 9 . 9 4 9 . 9 6 9 . 9 8 1 0 x 1 06 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0 6 0 0 0 7 0 0 0 8 0 0 0 9 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 d i s t a n c i a r e c o r r i d a [ m ] a lt u ra [ m ] m o t o r = M C L B ; R / C = R O D₁ m o t o r = M C L B ; R / C = R O D 2 m o t o r = M C L B ; R / C = R O D 3 m o t o r = M C L B / / I D L E ; h = h_{c r}( e n d ) h = h d 1 h = h d 2

el caso del ejemplo (de 3 etapas de crucero) habrá los valores de rcr1 y rcr2 correspondientes a

las condiciones de parada del primer y del segundo tramo de crucero respectivamente.

• ROD1: Velocidad de descenso. Se trata del “Rate of Descent” (velocidad de ascensión

negativa) al que se realiza el primer segmento de ascenso.

• hd1: altitud intermedia. Esta altitud es la altitud que delimita el punto donde se pasa del

primer al segundo segmento del descenso. Se trata de la altitud a la que se interrumpe el primer segmento y se inicia el siguiente segmento del descenso.

• ROD2: Velocidad de ascensión (negativa) constante a la que se realiza el segundo segmento

del descenso.

• hd2: altitud de transición en la que se concluye en segundo segmento de descenso y se inicia

el tercer segmento de descenso.

2.4 Restricciones

Una vez definidas las dos posibles trayectorias, deben establecerse las restricciones que rigen cada una de las distintas trayectorias. Al tratarse de un problema real y no uno matemático, donde cualquier condición es válida, las variables deben tener sentido físico y cumplir ciertas restricciones. A modo de un ejemplo simple, las altitudes no pueden ser negativas, ya que aunque matemáticamente se puede obtener una solución con una altitud negativa, dicha solución no es puede conseguirse físicamente.

Adicionalmente, estas restricciones son en muchos casos necesarias para el correcto funcionamiento del programa de cálculo de la trayectoria tipo. Debido a la definición de las variables dentro

Trajectory y a las uniones entre segmentos, existen ciertas restricciones de parada que marcan

tanto el fin de un segmento como el inicio del siguiente. Para poder satisfacer las restricciones de parada y, en algunos casos, permitir que se alcancen, se imponen determinadas restricciones.

Al haber dos trayectorias tipo, existen ciertas restricciones que son comunes en ambas trayectorias, mientras que hay otras ciertas restricciones que son propias de cada trayectoria. Las restricciones particulares referidas a cada trayectoria tipo dependen en parte de las variables que diferencian esta trayectoria tipo. Dichas variables son las que definen el ascenso o descenso.

2.4.1 Restricciones comunes:

Las restricciones comunes a ambas trayectorias; que deben tenerse en cuenta para la correcta definición del problema son las siguientes.

1. Restricciones de motor.

Como era de suponer, para que el problema tenga una realidad física y sea real, el motor debe estar limitado en empuje, como sucede en los motores reales. A pesar de que el motor está definido en casi la totalidad de los segmentos, quedan algunos segmentos en la trayectoria donde queda por determinar la condición de motor (los segmentos de crucero), y comprobar que se encuentra en los límites aceptados por el motor para la condición de vuelo en la que se encuentra (crucero).

2. Restricciones de altitud de crucero

Como todas las aeronaves, esta aeronave tiene un techo máximo, dependiente tanto del Mach como del peso. Por ello, aunque se haya determinado el techo máximo, este depende del Mach en cada momento. Este efecto hace que dependiendo al Mach de crucero al que se vuele la altitud máxima varíe. Es por ello que se debe comprobar la altitud de crucero con respecto al Mach (ver [Apéndice C.1]).

3. Restricción de distancia final

Al igual que sucede con las altitudes, es necesario limitar la distancia recorrida en los diferentes segmentos a altitud constante a las que se realiza el crucero. Como se explica a continuación, las distancias intermedias se limitan a partir de la distancia final. Por contra, la última distancia de crucero no tiene un límite final y necesita limitarse con un valor anterior al inicio del descenso. Por ello, se debe evitar que la distancia a la que se finaliza la última etapa de crucero se sitúe tras el anteriormente mencionado punto de CSR para no interferir en el descenso. A esta restricción también debe añadírsele una cierta tolerancia.

4. Restricciones de altitud:

crucero. Como se ha mostrado anteriormente, para que el crucero sea óptimo debe llevarse a cabo en lo que se conoce como “stepped cruise climb”, tal y como está mostrado en la gráfica anterior [fig. 3].

Para que este tipo de crucero se de, las altitudes de crucero deben ir incrementando siendo mayores para cada tramo. Al tratarse de una relación para dos altitudes, el numero de restricciones de este tipo tiene que ser el mismo que el numero de tramos a los que se realiza el crucero menos uno, para así poder relacionar todas las altitudes de crucero.

5. Restricciones de distancia

Estas restricciones tienen la misma base que las anteriormente citadas. En este caso lo que se intenta limitar es la separación entre las distintas rcri. Para que el problema mantenga su

significado físico, debido a la definición que se les ha dado, estos valores deben ir siempre en aumento con respecto al valor anterior.

Además de lo anterior, como se puede observar en la definición del problema (o en la gráfica anteriormente mencionada [fig. 3]), entre dos segmentos de vuelo a altitud constante en el crucero existe un segmento de ascenso a Mach constante que sirve de forma de nexo entre las dos altitudes. Dicho segmento recorre una cierta distancia para poder conseguir esa adecuación de altitudes.

Debido a ello, no es suficiente con que los valores de las componentes de rcr vayan en

aumento, sino que además se tiene que garantizar una separación mínima entre las distancias. A modo de establecer un valor, se puede considerar dicha distancia mínima como un 5% de la distancia total de vuelo.

2.4.2 Restricciones particulares.

Como se ha expresado anteriormente, existen ciertas restricciones a aplicar que tan sólo atañen a cada una de las trayectorias. Dichas restricciones se encuentran relacionadas con el ascenso y el

Figura 9: Relación TAS/CAS/M

0 . 6 51 0 . 7 0 . 7 5 0 . 8 0 . 8 5 0 . 9 0 . 9 5 1 1 . 0 5 1 . 1 1 . 1 5 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 T A S / C A S / M a c h a d i m e n s i o n a l i z a d a [ ] a lt u ra a d im e n s io n a li z a d a [ ] E v o l u c i ó n T A S E v o l u c i ó n C A S E v o l u c i ó n M a c h

descenso, que es básicamente lo que diferencia cada una de las 2 trayectorias tipo.

Trayectoria tipo 1.

Las restricciones que se necesitan imponer para la trayectoria tipo 1, son las relacionadas con los valores de CAS o Mach de ascenso/descenso. Las restricciones extra que se imponen pueden agruparse en el siguiente grupo de restricciones:

• Restricciones de altitud de transición:

Tanto en el ascenso como en el descenso de vuelo está formado por dos segmentos, uno de CAS constante y otro de Mach constante. De este forma se consigue el ya mencionado ascenso CAS/Mach o descenso Mach/CAS. Para que se puedan mantener las restricciones finales de un segmento como las iniciales del siguiente, la unión de estos segmentos debe darse en un cierto punto. Este punto es el conocido como altitud de transición (transition

altitude) y viene determinado por los valores del CAS y del Mach anteriormente

mencionados.

La evolución de esta altitud de transición con las variables es la siguiente, conforme se aumenta el CAS, la altitud disminuye. Esto se debe a que conforme se asciende a CAS constante el Mach aumenta, en parte debido a la disminución de la velocidad del sonido. (ver figura que muestra la relación de las variables CAS-TAS-Mach cuando una se mantiene constante con el aumento de altitud [fig. 9]). Por tanto, cuanto mayor sea el CAS de ascenso constante, antes se alcanzará un Mach mayor, correspondiente al Mach del segmento de Mach constante, implicando una disminución en la altura de transición. En cuanto a la relación de la altitud de transición con el Mach, conforme el Mach disminuye la altitud de transición desciende, por la misma razón que el caso anterior.

Trayectoria tipo 2.

En este caso, las restricciones a imponer en la trayectoria tipo 2 están relacionadas con los valores

de “Rate of Climb/Descent” y a las altitudes que interrumpen los diferentes tramos de ascenso y

descenso. Para condicionar este problema (obligando a que las variables cumplan la realidad física) se necesitan imponer los dos siguientes grupos restricciones:

• Restricciones de motor para ascenso/ descenso.

La limitación de los valores de “Rate of Climb/ Rate of Descent” se lleva mediante la imposición de restricciones relacionadas con el motor y las alturas de parada (hai y hdi). Esto

se debe a que, al ser las altitudes a las que se realizan los diferentes tramos a R/C y R/D constante una variable; dichas altitudes variarán conforme avance la optimización, llevando a la necesidad de incluirlas en las restricciones. Para ambos casos se procederá a una limitación basada en tratar de obtener el empuje para cada punto de la trayectoria. Posteriormente se trata de establecer (mediante distintas simplificaciones) límites para la variación de la velocidad (ya que por ejemplo un R/C excesivo podría llevar a un descenso excesivo de la velocidad, y la posterior entrada en pérdida).

• Restricciones de altitudes intermedias.

Como sucede para el caso de la trayectoria tipo 1, las altitudes intermedias a las que se unen las diferentes etapas del ascenso (y descenso) se tienen que limitar. Mientras que en el primer tipo de trayectoria estas variables había que obtenerlas a partir de las variables de entrada; en este caso, las altitudes intermedias son grados de libertad, por lo que pueden ponerse los límites de la misma manera que las altitudes de crucero. En este caso, lo que se

debe imponer es que las altitudes intermedias de ascenso siempre vayan en ascenso, pero manteniéndose siempre menores a la primera altitud de crucero. Las altitudes de descenso, por contra, deberán ir disminuyendo pero siendo siempre mayores a la altitud final de 10000 pies.

2.4.3 Límites

Para finalizar con la limitación de las variables, otra forma de limitar los valores que adquieren ciertas variables es fijando sus posibles valores máximos y mínimos. Esto debe realizarse para evitar valores carentes de sentido para que durante la iteración para obtener el mínimo, no se utilicen valores que, por carecer de lógica, lleven a la interrupción del proceso. . Para poder realizarse lo anterior, se deben asegurar el resto de restricciones de forma que ninguna de las restricciones anteriormente citadas haga que los valores de las variables salga del rango definido. El rango permitido para la variación de los grados de libertad es el siguiente:

Trayectoria tipo 1:

• CAS: El CAS se limita de diferente forma dependiendo de si trata del ascenso o del descenso:

◦ CASA: El caso del Mach de ascenso es el más sencillo de limitar. Esto se debe a que el

límite inferior se controla mediante la condición de altitud de transición; por al cual se obtienen valores de CASA superiores siempre al valor establecido como mínimo. Aparte

de esto, la solución tiende a tomar valores más altos en el caso del ascenso que en el descenso; siendo el límite inferior más difícil de alcanzar en el caso del ascenso. En el caso del límite superior, al estar el motor en un rating que produce mucho empuje ('MCLB'), se tiene empuje suficiente incluso como para vencer a altos valores de resistencia; producidos por un valor elevado de velocidad. Por ello, los valores tomados para limitar el CAS de ascenso son un valor de CAS mínimo de 260 nudos y de CAS máximo de 400 nudos (205,7776 m/s).

◦ CASD: El caso del CAS de descenso es más complicado de limitar que en el ascenso.

El límite inferior es complicado de determinar ya que según se aumenta la altitud para un CAS constante, el TAS disminuye, disminuyendo la velocidad hasta llegar a un punto no es suficiente como para mantener el vuelo. Además de esto, al ser la altitud final de crucero mayor a la inicial del crucero, la restricción de la altitud de transición no contribuye a limitar esta variable como en el caso del CASA, por lo que el valor debe

limitarse mediante los límites descritos a continuación. Para complicar aún más el problema si cabe, es más probable que esta variable se torne hacia el valor mínimo en ciertas restricciones, haciendo que la limitación de este valor sea mucho más crítica. Considerando la limitación inferior, debido a la definición del problema, el valor mínimo de CASD debería ser el valor de 250 nudos. En este caso, la limitación ha sido una

restricción impuesta por la definición del problema; por lo que en caso de que el óptimo se alcance para este punto no implica que la restricción sea incorrecta.

En cuanto a la limitación superior, el empuje producido por el motor es mucho menor que en el caso de ascenso; ya que en este caso se tiene el motor en ralentí. Debido a ello, aun y cuando el efecto del peso es favorable (al ser negativo), los valores de velocidad para los cuales se vence a la resistencia aerodinámica son menores. Para la determinación de este valor (altamente dependiente de la altitud de transición), se procede a varias pruebas; obteniendo un límite superior de 380 nudos (195.48872m/s).

• Mach: Las razones para la limitación del Mach de vuelo son análogas a las del CAS. En este caso, el Mach máximo (límite superior) se estima en torno a 0'86, valor máximo de Mach de vuelo según la bibliografía [ref. 1] y también a partir del trajectory.

En cuanto al Mach mínimo, la limitación inferior se debe realizar de una forma más precisa. Esto se debe a que, por ejemplo, el Mach de descenso es la variable (dentro de los diferentes Mach) que obtiene valores más bajos; sobretodo en cuanto se realiza el análisis del CI. Por ello, el valor límite considerado como inferior es el de 0,455 (para los distintos valores de Mach); valor que proporciona una altitud de transición ligeramente superior a los 10000 pies iniciales cuando se combina con un CAS de descenso de 250 nudos (CAS mínimo de descenso).

• Altitudes: Las altitudes deben ser limitadas para evitar que mientras se producen las iteraciones, se alcancen valores ilógicos y/o incompatibles con el problema. Estas limitaciones han de afectar tanto a los valores superiores como a los valores inferiores de altitud.

◦ Considerando el límite superior, este se ha limitado usando la altitud máxima anteriormente mencionada. Al tratarse de una limitación que afecta a todos los segmentos de crucero, se ha considerado un consumo de combustible de en torno al 50% del combustible inicial, lo que corresponde a una altura máxima de en torno a 13'5 km.

◦ En cuanto a la altitud mínima, el valor tomado como cota inferior es de 25000 pies (unos 7620 metros).

Cabe destacar, como ya se remarca a continuación, que en ningún caso se obtiene la solución para un valor de altitud igual a cualquiera de los límites.

• Distancias: Las limitaciones optadas para las distancias de fin de cada tramo de crucero han sido las siguientes. Como límite inferior se ha impuesto el valor de 106 _{metros, de esta forma}

se asegura que el primer segmento de crucero finaliza una vez se ha terminado todo el tramo de ascenso. El límite final ya ha sido impuesto como una restricción común a ambas trayectorias tipo. Los valores intermedios de estas distancias ya vienen denotados por las restricciones no lineales expresadas anteriormente.

Trayectoria tipo 2

En lo referente a los límites de la trayectoria tipo 2, no hay mucho que destacar; ya que la mayoría de las variables que necesitan ser limitadas son las misma que han sido limitadas anteriormente. Las limitaciones utilizadas son las siguientes:

• R/C y R/D: estas variables ya han sido limitadas mediante las restricciones no lineales impuestas anteriormente. Tan solo se deben poner ciertos valores orientativos para el caso en que alguna de las restricciones anteriores fallara en algún punto. Dichos valores vienen expresados en un capítulo más adelante, ya que como se observará, las restricciones mostradas anteriormente limitan mucho la resolución del problema.

• Altitudes de crucero: al ser el mismo crucero que en la trayectoria tipo 1, las limitaciones para las distintas altitudes de crucero se realizarán de la misma forma que para la trayectoria tipo 1.

• Distancias de crucero: análogamente al caso de las altitudes de crucero, las distancias de crucero se limitan con los mismos valores que en la trayectoria tipo 1.

también en este caso entre valores de 0'455 y 0'86.

• Altitudes intermedias: Las altitudes intermedias a las que se inician y paran los diferentes tramos de ascenso/ descenso a los distintos valores de R/C y R/D respectivamente, no necesitan de limitaciones ya que sus valores ya se encuentran controlados por las restricciones particulares.

2.5 Fmincon

Establecidas ya tanto las trayectorias tipo a analizar con las diferentes restricciones que deben cumplir, se procede a realizar la optimización de las trayectorias para las diferentes variables anteriormente mostradas. Para ello, se hace uso del algoritmo fmincon. Fmincon en una función incluida en el programa MatLab. MatLab (abreviatura correspondiente a Matrix Laboratory) es un lenguaje de programación de cuarta generación que permite, entre otras cosas, la implementación de algoritmos, el procesamiento de datos y la representación de gráficas, aspectos necesarios y requeridos para el estudio del problema. Otra razón para el uso de MatLab es que el anteriormente citado Trajectory está implementado en MatLab.

De entre los diferentes métodos para optimización que existen, el método requerido para la resolución del problema, ha de ser uno que permita la introducción de restricciones no lineales. Dentro de las posibles herramientas ya existentes en MatLab, una función que cumple los requisitos anteriormente citados es la fmincon. Además de éste, existen otros muchos métodos de optimización, pero teniendo en cuenta las conclusiones extraídas en el documento “Optimización de Trayectorias mediante Trayectorias Tipo” de José Manuel Picón [ref. 1], el algoritmo fmincon es en general mejor para el cálculo de mínimos. La sintaxis del algoritmo es la siguiente:

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) Que viene a representar el siguiente problema:

min_x funx

sujeto a:

A x≤b ; Aeq x=beq ;

cx≤0;ceqx=0;

lb≤x≤ub

Siendo el problema que resuelve el cálculo de los valores de x que hacen mínima la función implementada en 'fun', sujetos a las restricciones no lineales (c(x) y ceq(x)) introducidas en las función 'nonlcon' y las opciones especificadas en 'options'. Ademas de lo anterior, los valores mínimos de x deben estar en el intervalos [lb, ub] y cumplir con las restricciones de desigualdad e igualdad expresadas mediante las matrices (A y Aeq) y los vectores (b y beq) respectivamente. x0 es el valor inicial utilizado para la primera iteración. En cuanto las distintas variables, condiciones de contorno y distintas relaciones, todas ellas han sido adimensionalizadas.

2.5.1 Estructura del fmincon

En cuanto al algoritmo fmincon, éste contiene diferentes métodos dependiendo del tipo de problema a resolver. El método “line search”, que se trata del método utilizado para este problema, consta de distintas partes pero puede considerarse como un método de optimización englobado en los métodos SQP. En dicho método se tiene que considerar en cada punto lo que se denomina “active constraints”, que se trata de las restricciones activas para cada punto de la iteración. El funcionamiento del método puede dividirse en las tres siguientes partes:

Actualización del Hessiano

Ec. 3

Siendo:

s_k=x_k1−x_k

q_k=∇ f x_k1

∑

∑

Siendo “f” la función objetivo, gi la componente i del gradiente y λi los multiplicadores de Lagrange. Tal y como se puede observar en la ecuación anterior [ec. 3], el Hessiano se aproxima siempre en función del gradiente.

Además de lo anterior, se recomienda que el Hessiano sea semidefinido positivo (para que pueda ser invertido a la hora de resolver un sistema lineal de primer orden); para ello se distorsiona el vector qk hasta que qkT sk sea igual o mayor que 10-5. Para más información ver la bibliografía [ref.

10].

Subproblema QP

Para cada iteración en la resolución del mínimo de la función objetivo se debe solucionar un problema QP para determinar la dirección d en la que debe orientarse la solución. Dicho problema QP se define de la forma [ec. 4]:

Ec. 4

Siendo Âi la fila de la matriz Âk; matriz que engloba la anteriormente citada matriz Aeq (de las filas

1 a la me), la matriz A (de las filas me+1 hasta la m) así como la linealización de las ligaduras no

lineales.

La solución mediante el método QP [ref. 11-12] se basa en mantener la matriz Âk como una

estimación de las anteriormente citadas “active constraints”, actualizando Âk para cada punto de

iteración del problema principal y obteniendo la dirección d'k (para diferenciarla de la dirección d,

que es la que buscamos).

Para ello, se forma la matriz Zk que corresponde con las últimas m-l (siendo “l” las denominadas

“active constraints”) filas de la descomposición QR de la matriz ÂkT; así pues QT ÂkT = [R; 0].

Habiendo obtenido Zk y sustituyendo d'k = Zk p; el problema queda expresado como [ec. 5]:

Ec. 5

Diferenciando y sabiendo que buscamos el mínimo, el problema queda expresado como [ec. 6]:

Ec. 6

Por lo que la solución será de la forma:

Z_kT_{H Z} kp=−ZkTc H_k1=H_kqkqk T q_kT_s k − Hk T_H k s_kT_H ksk mind qd=1₂d T H dcTd Âid=bi; i=1...me Âid≤bi; i=me1...m qd=1 2 p T ZT_kH Z_kpcTZ_kd ∇qd=Z_kT_{H Z} kpZkTc=0

Asumiendo que el Hessiano es definido positivo (suposición correcta debido a como ha sido implementado); y por tanto su proyección ZkT H Zk; ya se tiene el valor de p; y por tanto de d'k.

Después se toma la siguiente iteración como dpaso+1 = dpaso + α' d'k. Definiéndose α' como:

'=min_i−Aixk−bi

Aid 'k

Una vez obtenido el valor de d en el siguiente paso, se continua hasta hallar el mínimo del subproblema hasta alcanzar el mínimo con la suficiente tolerancia; y por tanto el valor de d.

Una vez obtenida la dirección d, se procede a actualizar los valores:

x_k1=x_kd

Donde α se selecciona de forma que produzca un descenso suficiente de la función de mérito, ver bibliografía para más información [ref. 9-10].

Método de line-search

Una vez obtenido xk+1; se actualiza el Hessiano y el resto de variables de la función objetivo y si no

se ha alcanzado aún la solución, se procede al cálculo de la siguiente dirección d; y se continua el proceso hasta alcanzar la tolerancia requerida o el número máximo de iteraciones establecido.

2.5.2 Aplicación de las restricciones

Las restricciones expresadas anteriormente, utilizadas para el correcto sentido físico del problema y para simular las limitaciones de la aeronave, son de dos tipos, lineales o no lineales; y dependiendo de lo anterior están introducidas en las matrices o en un vector de restricciones no lineales introducido en una función independiente. Ciertas restricciones (los límites anteriormente mostrados) podrán ser introducidas en los límites 'lb' y 'ub' de la variable 'x'. Cabe destacar que no

hay necesidad de imponer ninguna condición de igualdad, ya sea lineal o no lineal, por lo que la matriz Aeq y los vectores beq y ceq serán vacíos ([ ]).

Una vez expresadas las diferentes restricciones de vuelo queda por determinar qué tipo de condición será cada una de las anteriormente expresadas; para su correcta aplicación en el algoritmo fmincon.

Restricciones no lineales:

Las restricciones no lineales son aquellas, que como su propio nombre indica, no pueden ser representadas mediante relaciones lineales, o dicho de otra forma, con sistemas de ecuaciones matriciales. Debido a ello, son mucho más complejas de expresar que las demás restricciones. Dichas restricciones quedarán encuadras en un vector c(x) ≤ 0 que englobará todas las relaciones. Estas relaciones vienen expresadas en un algoritmo independiente al que se llama a través del

fmincon. De entre las restricciones anteriores, las no lineales son:

• Restricciones de motor:

Para podeer determinar el empuje del motor en los segmentos en los que no ha sido impuesto como una ligadura, se debe volver a ejecutar la trayectoria nuevamente. Posteriormente, se debe comprobar el empuje obtenido en los segmentos a analizar y compararlo con el que se obtendría para el caso de máximo empuje, que se obtiene para una configuración del despegue ('TO' Take-Off). Para el cálculo de este empuje se hace uso del algoritmo 'thrust' (función de trajectory que permite calcular el empuje). La relación entre estos empujes tiene que ser menor que 0,95 (correspondiente al empuje de máximo ascenso) y mayor a 0,0146 (correspondiente al empuje en ralentí, idle). Imponiendo que la máxima

relación sea menor que el valor anteriormente dado y que la mínima relación sea mayor a 0,0146 se tiene impuesta la condición de motor en sólo dos restricciones no lineales.

Considerando esta condición no lineal, como nota de ayuda para la ejecución, conviene multiplicar el valor obtenido por 1000, ya que de esta forma se mantendrá el signo de la condición (nunca mayor que 0) y se tienen valores lejanos a 0, poniendo menos trabas al

fmincon, lo que hace que el programa se ejecute con menor tiempo de computación.

• Restricciones de altitud de crucero

Para reflejar esta condición, se procede a ver el techo máximo correspondiente al Mach de crucero y comprobar que sea superior a las altitudes de crucero a las que se realiza cada segmento (ver apéndice C para más información del cálculo).

Sin embargo, el efecto del peso variará conforme pase el tiempo, la aeronave no tendrá el mismo peso al iniciar el crucero que al finalizarlo. Para tratar de reflejar esto con la mayor veracidad posible, se realizan dos comparaciones: una para el primer tramo de crucero, que se realiza con tan sólo el 20% del combustible consumido; y otra para el último tramo de crucero, con el 50% del combustible consumido. De esta forma, se intenta simular el efecto de la altitud máxima mediante dos restricciones no lineales adicionales.

• Restricciones de distancia final

Para poder limitar esta última distancia de crucero a altitud constante, se impondrá una condición no lineal que implique que la última distancia de crucero se encuentre anterior al inicio del descenso. Para ello, se dará uso al CSR (punto final del crucero) y se impondrá que el último valor de la distancia de crucero se sitúe a una distancia anterior al punto donde ocurre al CSR (con una tolerancia añadida).

• Restricciones de altitud de transición (trayectoria tipo 1)

Para la implantación de esta condición se debe inicialmente obtener la altitud de transición (tal y como se ha mostrado anteriormente). Una vez determinada esta altitud, y para que el problema tenga lógica y pueda ejecutarse, esta altitud de transición debe situarse entre las altitudes a las que se realiza el ascenso o el descenso. En otras palabras, la altitud de transición debe ser mayor que los 10000 pies (3048 m) de las restricciones iniciales y finales; y menor que la primera altitud de crucero en el caso del ascenso; o menor que la última altitud de crucero en el caso de descenso.

• Restricciones de motor para ascenso/descenso (trayectoria tipo 2)

El proceso utilizado para imponer estas restricciones no lineales es el siguiente, se intenta establecer una relación entre la velocidad de vuelo y las distintas velocidades de ascenso y descenso. En el caso del R/C, una posibilidad para establecer este límite sería de asumir un valor máximo de R/C. Utilizando las ecuaciones descritas anteriormente en [ec. 2], dicho valor será el que imponga que:

T−D⋅V−m g Vsin = T−D⋅V−m g V_a = 0

Para tratar de obtener una estimación de la sustentación, se procede a asumir que la variación del γ es despreciable, por lo que se puede estimar el valor de la velocidad como:

0≃L−m g₀cos

L≃m gcosasinVa

V 

Combinando ambas ecuaciones se puede expresar V = V(R/C, ρ, m). Una vez obtenida esta expresión, primeramente se debe tratar de localizar el punto en el cual se obtengan los