Multiplier pada D-aljabar

ISSN 2301-9115

MULTIPLIER PADA d-ALJABAR Gita Okta Ariyati

Jurusan Matematika, FMIPA, UniversitasaNegeriaSurabaya e-mail : gitaokta03@gmail.com

Agung Lukito

Jurusan Matematika, FMIPA, UniversitasaNegeriaSurabaya e-mail : gung_lukito@yahoo.co.id

Abstrak

Himpunan tak-kosong : dengan operasiabiner 6Û6 _{danaelemen khusus} r _{disebut d-aljabar jika} memenuhi TÛTLr_, r_EÛTLr_{, serta jika TE}ÛULr _{dan UE}ÛTLrá maka TELUá untuk setiap TáUÐ:. Fungsi Bã:\: disebut multiplier pada d-aljabar : apabila memenuhi B:TEÛäU;LB:T;äÛEU, ÊTáUäÐ:. Dengan operasi tertentu kumpulan multiplier pada d-aljabar membentuk d-aljabar implikatif positif. Kernel

multiplier pada d-aljabar merupakan subaljabar. Multiplier yang endomorfisme, kernel homomorfisma yang

merupakan multiplier adalah d-ideal. Himpunan tetap multiplier merupakan subaljabar pada d-aljabar. Hasil kali dua multiplier idempoten yang komutatif juga merupakan multiplier idempoten pada d-aljabar.

Kata Kunci: d-aljabar, multiplier, d-ideal, idempoten

Abstract

A non-emptyaset : with binary operation Û6_{and special element} r _{is calledad-algebra ifasatisfies T}Û TLr_, rÛETLr_{, and if T}ÛULr_{=J@ U}ÛTLr_{, then TLU, for every TáU}Ð:. The function Bã:\: is called a multiplier on d-algebra : if satisfies B:TÛU;LB:T;ÛUáÊTáUÐ:. Under some binary operation the collection of all multipliers on a algebra forms a positive implicative algebra. The kernel of a multiplier on d-algebra is a subd-algebra. The kernel of a multiplier which is an endomorphism is a d-ideal. The set of fixed points of a multiplier on d-algebra is a subalgebra. A product of two commutative idempotent multipliers is also an idempotent multiplier on d-algebra.

Keywords: d-algebras, multiplier, d-ideal, idempotent

PENDAHULUAN

d-aljabar merupakan struktur aljabar yang pertamaakali diperkenalkan oleh JosephiNeggers dan Hee SikuKim. d-aljabar adalah suatu himpunan tak kosong : dengan operasi biner 6Û6 _{dan elemen khusus} r _yang memenuhi aksioma: TÛTLr_, rÛTLr_{, dan jika T}Û ULr _{dan U}ÛäTLr _{maka T}

_E

_LäU untukasetiap

E

TáUÐ: (M.A. Chaudhry & F. Ali, 2012).

Multiplier merupakan salah satu konsep yang dapat diterapkan pada struktur aljabar. Banyak peneliti yang sudah mengembangkan konsep multiplier. Sebelumnya sudah pernah dikembangkan konsep multiplier pada BE-aljabar yang dikaji oleh Kyung Ho Kim pada tahun 2011. BE-aljabar adalah suatu himpunan tak-kosong : dengan operasi biner 6Û6 _{dan elemen} khusus s _{serta memenuhi aksioma-aksioma tertentu.} Fungsi Bã:\: disebut multiplier pada BE-aljabar :

apabila memenuhi B:T

E

ÛäU;LT

E

ÛäB:U;áäÊTáUÐ:ä Konsep multiplier yang serupa telah dibahas oleh M.

Anwar Chaudhry dan Faisal Ali yakni pada d-aljabar.

Multiplier pada d-aljabar : apabila memenuhi B:TÛ

U;LB:T;ÛU,

E

ÊTáUÐ : (M.A. Chaudhry & F. Ali, 2012).

Beberapa sifat multiplier pada d-aljabar dan struktur aljabar yang terkait meliputi idempoten, himpunan titik tetap, kernel á dan masih banyak lagi. Sifat-sifat multiplier pada d-aljabar dan struktur aljabar yang terkait tersebut dapat digunakan pada beberapa penerapan, yaitu untuk mengolah data dalam perintah SQL database, untuk menghindari overlap pada citra vektor gambar, dan masih banyak lagi (B.A. Makayasa, 2015). Karena itu multiplier pada d-aljabar menarik

untuk dipelajari. Dengan demikian akan dikaji lebih dalam pada penelitian ini mengenai sifat-sifat multiplier pada d-aljabar dan struktur aljabar yang terkait yaitu idempoten, himpunan titik tetap, kernel.

KAJIAN TEORI

Berikut ini diberikan beberapa definisi konsep yang digunakan untuk menunjang memahami pembahasan. Aljabar

Definisi 2.1

: disebut aljabar jika : merupakan suatu himpunan tak-kosong dengan suatu operasi biner pada :.

(Alexander & Guinter, 2002:451) Fungsi

Definisi 2.2

Fungsi Bdari himpunanA#ke himpunan $ adalahasuatu aturan yang memetakan setiap elemen di # secara tunggal dengan elemen di $ yang dinotasikanBãä#\$ä

(Thomas, 2004: 2) Definisi 2.3

Fungsi Bã#\$ adisebut fungsiainjektif apabila setiapadua elemen berbeda di # dipetakan ke dua elemen berbeda di $á sehingga dapat ditulis jika T5MT6 maka

:T5;MB:T6; ÊT5áT6 Ð#.

(R. G. Bartle & D. R. Sherbert, 2010: 7) Definisi 2.4

Fungsi Bã#\$ disebut fungsi surjektif apabila untuk setiapb>Ð$ ada =Ð# sedemikian hingga B:=;L>.

(Masriyah,2007:92) Definisi 2.5

Fungsi Bã#\$ merupakan fungsi bijektif apabila B merupakan fungsi injektif dan surjektif.

(R. G. Bartle & D. R. Sherbert, 2010: 8) Operasi Biner

Definisi 2.6

Diberikan sebuah himpunan tak kosong ). Suatu operasi biner pada )adalah fungsi dari )H )ke )ä

(Joseph A. Gallian, 2010:40) Komposisi Fungsi

Definisi 2.7

Misalkan Bfungsiddari #ke $, dan C adalahhfungsiidari $ ke %mmaka C komposisi B dengan notasi CÜB, didefinisikanadengan :CÜB;:T;L

ECkB:T;o

áÊTÐ&Ù.

(Masriyah, 2014: 135) Homomorfisme

Definisi 2.8

Misalkan )á)" aljabar. Pemetaan B : ) \)" disebut homomorfisme jika B:=>;ELEB:=;B:>; untuk setiap =á>Ð)E

(Soebagio A. & Suharti,1993:250) Endomorfisme

Definisi 2.9

Misalkan ) merupakan aljabar. Endomorfisme adalah suatu homomorfisme dari )\)ä

(Soebagio A., Suharti,1993:250) PEMBAHASAN

Berikut ini akanadibahas lebih lanjut mengenai definisi dan sifat-sifat multiplier pada d-aljabar.

Definisi 3.1

Suatu himpunanntak-kosong : dengan operasiibiner 6Û6 dannelemen khusus r _{merupakan d-aljabar, jikaauntuk} setiap TáU Ð: memenuhi aksiomaaberikut:

(i) TÛTLr (ii) rÛTLrä

(iii) Jika TÛULr†ƒ•_UEäÛTLr_{, maka T}LäUE (M.A. Chaudhry & F. Ali, 2012:1)

Definisi 3.2

Subhimpunan tak-kosong 5 dari d-aljabar : disebut subaljabar pada : jika ÛUÐ5á ÊTáU Ð5.

(M.A. Chaudhry & F. Ali, 2012:2) Definisi 3.3

Misalkan : d-aljabar. Subhimpunan +dari : disebut ideal dari : jika memenuhi:

(i)

E

räÐ+

(ii) JikaTÛUÐ+ danUÐ+ámaka TÐ+á

E

ÊTáUäÐ: (M.A. Chaudhry & F. Ali, 2012:2) Definisi 3.4

Misalkan : d-aljabar. Subhimpunan tak-kosong + dari : disebut d-ideal dari : jika memenuhi:

(i) Jika TÛU Ð+ dan UÐ+á maka TÐ+á

E

ÊTáU Ð: (ii) Jika TÐ+ dan UÐ:,

Emaka T

ÛUÐ+.

(M.A. Chaudhry & F. Ali, 2012:2) Definisi 3.5

Fungsi Bã:\: disebut multiplier pada d-aljabar : apabila memenuhi,

B:TEÛU;äLB:T;EÛäUá

E

ÊTáUÐ:

(M.A. Chaudhry & F. Ali, 2012:2) Definisi 3.6

Misalkan : d-aljabar dengan operasi biner Û _. Didefinisikan relasi Q pada : sebagaiaberikut:

TQUjika danahanya jikaaTÛULrá ÊTáU Ð:ä (M.A. Chaudhry & F. Ali, 2012:2)

Proposisi 3.1

Misalkan :merupakan d-aljabar dan Bmultiplier pada : maka berlaku:

(i) B:r_;Lr

(ii) Untuk setiap TÐ:á berlaku B:T;äQT

(iii)

Jika TQ‹_{U, maka B:T;}Q_UáÊTáUÐ:

(M.A. Chaudhry & F. Ali, 2012:2) Bukti: (i) :r_;L_EB:rÛEB:r_;; Lr Jadi, B:r;ELr Ö (ii) Misalkan TÐ:E, äB:r_; Lr äB:TEÛT;Lr äB:ETE; QET

Jadi, B:T;EQT untuk setiap TEÐ: Ö (iii) Misalkan TáUEÐ: dan TQUá maka berdasarkan

Definisi 3.6 TEÛULr

äB:r; Lr

äB:TEÛU;Lr

äB:T;EÛULr

Karena B:T;ÛULrá sehingga berdasarkan Definisi 3.6 B:T;QEU untuk setiap TáUÐ: Jadi,

jika TQEU maka B:T;QU Ö

Proposisi 3.2

Misalkan B dan C merupakan multiplier pada : . Komposisi BÜC juga merupakan multiplier pada :.

(M.A. Chaudhry & F. Ali, 2012:2) Bukti: Misalkan TáU Ð:, maka :BÜC;:TÛU;LB:CE:TÛU;; LBkCE:T;oÛEU L:BÜCE;:T;ÛU Karena :BÜEC;:TEÛU;L:BÜC;:T;ÛU , makaBÜC

merupakan multiplier pada : Ö

Definisi 3.7

Suatu d-aljabar: dikatakan implikatif positif jika

:TÛU;EäÛVL:TÛV;EÛ:UÛV;,EÊTáUáVEÐ:

(M.A. Chaudhry & F. Ali, 2012:2) Definisi 3.8

Misalkan : d-aljabar implikatif positif dan /::; koleksi semua multiplier pada :. Didefinisikan operasi biner Û pada /::; sebagai berikut:

:BÛEC;:T;LB:T;ÛC:T;áETÐ: @=J BáCEÐ/::; (M.A. Chaudhry & F. Ali, 2012:2) Teorema 3.1

Misalkan : d-aljabar. Jika fungsi 1ã:\: didefinisikan 1:T;ELráEÊTEÐ: dan +:T;LäT,EÊTÐ:, maka 1 dan + merupakan anggota /::;dan /::; tidak kosong.

(M.A. Chaudhry & F. Ali, 2012:2) Bukti: 1:TÛU;ELr LrÛEU L1:T;EÛEU +:TÛEU;LTEÛEU L+:T;EÛU

Jadi, 1 dan + merupakan anggota /::;ä

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa /::;tidak kosong. Misalkan TáUEÐ:á berarti TEÛULr _{sehingga dapat} dibentuk fungsi 1ã:\: dengan 1:=;LráÊ=Ð:ä Jadi 1 merupakan multiplier. Karena /::; memiliki sekurang-kurangnya satu anggota, maka /::; tidak

kosong. Ö

Teorema 3.2

Misalkan : d-aljabar implikatif positif maka /::;adalah d-aljabar implikatif positif.

(M.A. Chaudhry & F. Ali, 2012:2) Bukti:

Akan ditunjukkan CÛBÐ/::;á untuk setiap ECáBÐ /::;.

Misal : d-aljabar implikatif positif dan CáBEÐ/::;, :CÛB;:TÛU;E L kC:TÛU;oÛ:B:TäÛEU;;ä

L kC:T;ÛB:T;oäÛEUä L k:CÛB;:T;oäÛUä Maka CÛBÐ/::;

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa /::; merupakan d-aljabar,

(i) Misalkan BÐ/::; :1Û

EB;T

L1:T;Û

EB:T;

L

E

r

L1:T;,EÊTÐ:

Maka 1Û

EB

L1=untuk setiap BEÐ/::; (ii) Misalkan BÐ

E/::;,

:BÛB;:T;LB:T;EÛB:T; Lr_ä

L1:T;á

E

ÊTÐ:

Maka BÛ

EB

L1 untuk setiap BÐ

E/::;

(iii) Misalkan CáBÐ/::; sedemikian hingga

BÛCL1 dan CÛBL1. Berdasarkan Def. 3.1 (iii)

B:T;EL

EC:T;á

E

ÊTÐ: makaEBLC. Berdasarkan (i),(ii),(iii), /::; merupakan d-aljabar. Akan ditunjukkan /::; implikatif positif.

Misalkan BáCáDäÐ/::;.

k:BÛEC;ÛDEo:T;L:BÛEC;:T;äÛD:T;

L kB:T;ÛD:T;oÛE:C:T;EÛED:T;; L k:BÛED;:T;oÛ::CÛED;:T;;

L::BEÛD;Û:CÛD;;E:T;

Karena itu k:BÛEC;Û_{Do L}:BÛED;Û:CÛED; sehingga /::; implikatif positif.

Jadi /::; merupakan d-aljabar implikatif positif. Ö Proposisi 3.3

Misalkan : d-aljabar dan B multiplier pada :. Jika Badalah fungsi injektif, maka B adalah fungsi identitas pada :.

(M.A. Chaudhry & F. Ali, 2012:3) Bukti:

BkTÛEB:T;o LB:T;EÛB:T; LEr

LEB:r_;

Karena B injektif, jadiTÛB:T;Lr

Dan berdasarkan Definisi 3.6, TQB:T; . Dengan Proposisi 3.1(ii), B:T;QT atau berdasarkan Definisi 3.6 dapat ditulis B:T;ÛTLr_{. Jadi berdasakan Def. 3.1 (iii)} dapat disimpulkan B:T;LT. Jadi, B merupakan fungsi

identitas. Ö

Definisi 3.9

Misalkan B multiplier pada : d-aljabar. -ANJAH B ditulis -AN:B;, didefinisikan sebagai

-AN:B;äL<TãTÐ: @=J B:T;Lr=

(M.A. Chaudhry & F. Ali, 2012:3) Proposisi 3.4

Misalkan : d-aljabar dan B multiplier pada. Jika -AN:B;L<r= maka B merupakan fungsi identitas. Bukti:

Misal TÐ:áTMr_.

BkTÛEB:T;oELEB:T;ÛEB:T;Lrä

Karna TäÛB:T;äLr _{maka T}ÛäB:T;Ð-AN:B; dan berdasarkan Definisi 3.6, TQB:T;. Dengan Proposisi 3.1(ii), B:T;QT atau berdasarkan Definisi 3.6 dapat ditulis B:T;ÛTLr_{. Jadi berdasakan Def. 3.1 (iii) dapat} disimpulkan B:T;LT . Jadi, B merupakan fungsi

identitas. Ö

Proposisi 3.5

Misalkan : d-aljabar dan B multiplier pada :. Dua pernyataan berikut berlaku:

(i) -AN:B; adalah subaljabar pada : dan

(ii) Jika B merupakan fungsi injektif, maka -AN:B;L <r=

(M.A. Chaudhry & F. Ali, 2012:3) Bukti:

(i) Berdasarkan Definisi 3.9 dapat diketahui bahwa -AN:B;?:ä

Selanjutnya, misalkan TáUÐ

E

-AN:B; maka B:T;ELr _{dan B:U;E}Lr

B:TEÛU; LB:T;EÛU L

E

r

Diperoleh B:TÛU;Lr_{, sehingga T}ÛUÐ-AN:B;. Akibatnya -AN:B; adalah subaljabar pada :ä Ö (ii) Misalkan Bfungsi injektif. Misalkan TEÐ-AN:B;ä

B:T; Lr LB:r_; T Lr Binjektif Jadi -AN:B;EL<r₌

Ö

Definisi 3.10

d-aljabar: dikatakan komutatif jika

UÛ:UÛT;LTÛ:TÛEU;áEÊTáU Ð:

(M.A. Chaudhry & F. Ali, 2012:3) Proposisi 3.6

Misalkan : d-aljabar komutatif memenuhi TÛ

är

E

L TáEÊTÐ:. Misalkan Bmultiplier pada :. Jika TEÐ -AN:B; dan UQTá maka UÐE-AN:B;ä

(M.A. Chaudhry & F. Ali, 2012:3) Bukti:

Misalkan TÐ-AN:B;dan UQTEmaka B:T;ELr _dan UÛTLrá B:U;LB:UÛr_; LBkUÛ:UÛT;o LB:TÛ:TÛU;; LräÛr EB:U;Lr Jadi, UÐ-AN:B; Ö Teorema 3.3

Misalkan : d-aljabar memenuhi TäÛrL_TáäÊTÐ:ä Misalkan B multiplier pada : yang merupakan endomorfisme pada : maka -AN:B; adalah d-ideal :ä

(M.A. Chaudhry & F. Ali, 2012:3)

Berdasarkan Proposisi 3.1(i), B:r_;LrárÐ-AN:B; dipenuhi, sehingga -AN:B; tidak kosong.

Untuk menunjukkan Definisi 3.4(i) dipenuhi, misalkan TÛUäÐ-AN:B;áETÐ-AN:B;. dan UÐ-AN:B; maka setiap pernyataan berlaku;

r_EL_B:TEÛU; ELB:T;EÛB:U; ELB:T; Jadi TÐ-AN:B;

Untuk menunjukkan Definisi 3.4(ii) dipenuhi, misalkan TÐ-AN:B; dan UÐ: maka setiap pernyataan berlaku; B:TEÛU;ELEB:T;EÛU

ELErÛEU ELEr Jadi TÛEUÐ-AN:B;.

Karena itu, -AN:B; merupakan d-ideal pada :. Ö Definisi 3.11

Misalkan : merupakan d-aljabar dan B multiplier pada :. Himpunan

E(ET:B;EL<TãTÐ: @=J B:T;LT= disebut himpunan titik tetap B.

(M.A. Chaudhry & F. Ali, 2012:4) Proposisi 3.7

Misalkan : merupakan d-aljabar dan B multiplier pada :á maka (ET:B; adalah subaljabar pada :.

(M.A. Chaudhry & F. Ali, 2012:4) Bukti:

Berdasarkan Proposisi 3.1(i), rÐ(ET:B;MÎä Misalkan TáUÐ(ET:B;.

B:TÛU;LB:T;ÛUE karena B multiplier maka dapat dibentuk menjadi TÛU. Sehingga TÛáUÐ(ET:B;ä Jadi (ET:B; merupakan subaljabar pada :ä

Ö

Definisi 3.12

Misalkan :merupakan d-aljabar dan Bmultiplier pada : maka Bdikatakan idempoten apabila BÜBLB dengan Ü menyatakan komposisi fungsi. Lebih lanjut, BÜB dituliskan sebagai B6_ä

(M.A. Chaudhry & F. Ali, 2012:4) Teorema 3.4

Misalkan : merupakan d-aljabar implikatif positif yang memenuhi TÛrL_TáÊTÐ:ä Misalkan B5áB6 merupakan

dua multiplier idempoten pada:. Jika B5ÜB6LB6ÜB5,

maka B5ÛB6 adalah multiplier idempoten pada :ä Ü merupakan komposisi fungsi dan Û _{merupakan operasi} pada /::;(Definisi 3.8).

(M.A. Chaudhry & F. Ali, 2012:4) Bukti:

Berdasarkan Teorema 3.2, B5ÛB6 merupakan multiplier pada : maka k:B5ÛEB6;Ü:B5ÛB6;o:T;L:B5ÛEB6;::B5ÛEB6;:T;; LB5EkB5:T;ÛEB6:T;oÛEB6:B5:T;ÛEB6:T;; L:B5kB5:T;oÛEB6:T;;Û:B6EkB5:T;oÛEB6:T;; L kB5E:T;ÛB6E:T;oÛr LB5E:T;ÛB6E:T; Jadi :B5ÛB6;EÜE:B5ÛB6;ELB5ÛB6 . sehingga B5ÛB6Ü merupakan idempoten. Ö

SIMPULAN DAN SARAN A. Simpulan

Berdasarkanapembahasan yang sudah dijabarkan pada skripsi yang berjudul Multiplier Pada d-Aljabar, bahwa sifat-sifat multiplier pada d-aljabar dan struktur aljabar yang terkait adalah sebagai berikut:

1. Misalkan : d-aljabar implikatif positif. Misalkan /::; koleksi multiplier maka /::; adalah d-aljabar implikatif positif.

2. Misalkan : d-aljabar dan B multiplier pada :, maka -AN:B;L<TãTÐ: @=J B:T;LEr₌ merupakan subaljabar pada :ä

3. Misalkan : d-aljabar memenuhi TÛr_EL TáÊTÐ:äMisalkan B multiplier pada : yang merupakan endomorfisme pada : maka -AN:B; merupakan d-ideal.

4. Misalkan : d-aljabar dan B multiplier pada :á maka (ET:B;L<TãTáÐ: @=J B:T;áLT= merupakan subaljabar pada :ä

5. Misalkan : merupakan d-aljabar implikatif positif yang memenuhi TÛrL_TáÊTÐ:ä Misalkan B5áB6 merupakan dua multiplier idempoten pada:. Jika B5ÜB6LB6ÜB5, maka B5ÛB6 adalah multiplier idempoten pada :ä Ü merupakan komposisi fungsi dan Û merupakan operasi pada /::;ä

B. Saran

Pada skripsi ini, penulis membahas tentang sifat sifat multiplier pada d-aljabar dan struktur aljabar yang terkait. Penulis menyarankan bagi pembaca untuk mengkaji sifat-sifat multiplier pada struktur aljabar yang lain.

DAFTAR PUSTAKA

Makayasa B.A, 2015. IdentifikasiaCitra SidikaJari

Terdistorsi MenggunakanaMetode Filtering dan

OverlappingaWindow BerbasisaWavelet. Fakultas

Sains danaTeknologi UniversitasaIslam Negeri MaulanaaMalik IbrahimaMalang.

Chaudhry M.A. & F. Ali F.. 2012. Multipliers in d-Algebras.World Applied Science Journal, 18(11); 1649-1650.

D. Ghosh, J. ; A. Haque, MD.. 2004 ³+RZ 7R Learn &DOFXOXV 2I 2QH 9DULDEOH´. Volume 1.

G. Bartle, Robert; R. Sherbert, Donald. 2010. ³,QWURGXFWLRQ 7R 5HDO $QDO\VLV´ Fourth Edition. Urbana-Champaign: University of Illionis.

Gallian, Joseph A. 2010. Cotemporary Abstract Algebra. Seventh Edition. Duluth: University of Minnesota Duluth.

Masriyah. 2014. Pengantar Dasar Matematika. Revisi 2. Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Surabaya.

Mikhalev, Alexander V dan Gunter F. Pilz. 2002.

Handbook of Algebra. First Edition. Kluwer

Academic.

Soebagio A., Suharti. 1993. Struktur Aljabar. Modul 1-12. Jakarta: Universitas Terbuka, Depdikbud. Thomas, G. B.; Weir, M. D.; Hass, J. Giardino, F. R..

2004. 7KRPDV¶ &DOFXOXV New York: Pearson Education.