Solución de ecuaciones no lineales y aplicaciones a la cuadratura numérica

(1)

Solución de ecuaciones no lineales y

aplicaciones a la cuadratura numérica

Javier Segura

Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación Universidad de Cantabria, Spain

(2)

Contenidos:

1 _{Repaso de métodos básicos}

Bisección

Método de la secante El método de Newton

2 _{Métodos de punto fijo}

Soluciones numéricas de punto fijo

Punto fijo y aproximaciones analíticas: dos ejemplos

3 Cuadraturas gaussianas y ceros de polinomios ortogonales

4 _{Método de autovalores para relaciones de recurrencia}

Ceros de polinomios ortogonales

Ceros de soluciones mínimas de relaciones de recurrencia Pros y contras de los métodos de recurrencias

(3)

Repaso de métodos básicos Bisección

Bisección

Teorema (Bolzano)

.

Si f (x ) es continua en el intervalo [a, b] con f (a)f (b) ≤ 0, entonces existe al menos un α ∈ [a, b] tal que f (α) = 0.

Algoritmo (Bisección)

Algoritmo: Bisección en un intervalo [a,b], tal que f (a)f (b) < 0 (1) Sea c = (b + a)/2

(2) Si b − c ≤ , aceptar c; parar

(3) Si f (b)f (c) ≤ 0, tomar a = c; y si no: b = c. (4) Volver a (1)

(4)

Bisección

Teorema (Bolzano)

.

Si f (x ) es continua en el intervalo [a, b] con f (a)f (b) ≤ 0, entonces existe al menos un α ∈ [a, b] tal que f (α) = 0.

Algoritmo (Bisección)

Algoritmo: Bisección en un intervalo [a,b], tal que f (a)f (b) < 0 (1) Sea c = (b + a)/2

(2) Si b − c ≤ , aceptar c; parar

(5)

(6)

1 _{Bisección es lo óptimo para resolver una ecuación f (x ) = 0}

cuando no sabemos nada de f salvo calcular su signo.

2 _{El cero está siempre dentro de un intervalo de acotación y}

converge siempre que f cambie de signo, aunque también puede converger a una discontinuidad.

3 _{Lento aunque seguro: a lo sumo, el orden de convergencia es 1.}

4 _{Inespecífico: el número de iteraciones sólo depende del intervalo}

(7)

(8)

(9)

(10)

Orden de convergencia

Sea {xn} una sucesión que converge a α y definamos n=xn− α. Si

exite un número p y una constante C 6= 0 tales que lim

n→∞

|_n+1| |n|p

=C

se dice que el orden de convergencia es p siendo C la constante de error asintótica.

(11)

Regula falsi

Regula falsi es un intento (fallido) de mejorar bisección estimando c por interpolación lineal

c = b − b − a

f (b) − f (a)f (b) =

af (b) − bf (a) f (b) − f (a) Puede llegar a ser peor que bisección:

y=f(x) y x x=a x=b (a,f(a)) (b,(f(b)) Regula falsi

(12)

Repaso de métodos básicos Método de la secante

Método de la secante

Igual que regula falsi, pero sin tener en cuenta los signos xn+1 =xn− xn− xn−1 f (xn) −f (xn−1) f (xn) (1) y y=f(x) ´ Metodo de la secante

(13)

Orden de convergencia:

Con k =xk − α, desarrollando f (xk) =f (α + k)y llevándolo a (1),

tenemos que

n+1=

f00(α) 2f0(α)nn−1

Con esto, se puede comprobar que el orden es p = (1 +√5)/2

(Vamos mejorando, ¡si es que converge!)

Criterio de parada: como el orden es p > 1:

|xn+1− xn|

|xn− α|

≤ 1 +|xn+1− α| |xn− α|

→ 1

cuando n → +∞. Se puede entonces utilizar |xn+1− xn| para estimar

(14)

Otra forma de interpretar el método de la secante

Teorema (Teorema del resto)

Sea f (x ) una función continua en [a, b] y derivable n + 1 veces en (a, b). Si Pn(x ) es el polinomio de grado menor o igual que n que interpola f (x ) entre

los n + 1 nodos distintos x0...xn∈ [a, b] (es decir, tal que Pn(xk) =f (xk))

entonces ∀x ∈ [a, b] ∃ζx ∈ (a, b), dependiente de x, tal que

f (x ) = Pn(x ) + f(n+1)(ζx) (n + 1)! n Y j=0 (x − xj) ≡Pn(x ) + Rn(x )

donde se dice que Rn(x ) es el resto.

Utilizando diferencias divididas de Newton:

f (x ) = f [x0] +f [x0,x1](x − x0) + ... +f [x0,x1, ...,xn](x − x0)...(x − xn−1) n

(15)

Resolver la ecuación f (x ) = 0, con solución x = α es equivalente a evaluar α =g(0) donde g = f(−1)_.

Aproximando g(y ) por interpolación lineal para los puntos (yn,xn),

(yn−1,xn−1)(yk =f (xk)), tenemos: g(y ) = _yy − yn−1 n− yn−1g(yn) + yn− y yn− yn−1g(yn−1) +E = y − fn−1 fn− f n − 1xn+ fn− y fn− fn−1xn−1+E E = ˙g(ζ)₂ (y − yn)(y − yn−1) = g 0_(ζ)

2 (y − fn)(y − fn−1), para cierto ζ.

Haciendo y = 0: α = fnxn−1− fn−1xn fn− fn−1 +¨g(ζ) 2 fnfn−1 De donde n+1 ≈ ¨ g(0) 2 f 0_(α)2 nn−1

Esta idea se puede generalizar para más puntos de interpolación, de manera que se pueden obtener métodos de order arbitrariamente alto,pero...

(16)

Recordemos que con el método de la secante no tenemos intervalos de acotación de la raíz.

¿ Cómo garantizar que el método converge?

¿ Cómo escoger los valores iniciales?

Existen algoritmos que combinan bisección y secante que:

1 _{Garantizan la convergencia y dan un intervalo de acotación}

2 _{Convergen más rápidamente que bisección}

Los métodos deDekker(bisección + secante) yBrent(bisección +

(17)

¿ Cómo garantizar que el método converge? ¿ Cómo escoger los valores iniciales?

(18)

¿ Cómo garantizar que el método converge? ¿ Cómo escoger los valores iniciales?

(19)

Repaso de métodos básicos El método de Newton

El método de Newton

El método de Newton consiste en resolver la ecuación f (x ) = 0 invirtiendo la aproximación lineal de Taylor alrededor de x = α (f (α) = 0) 0 = f (xn− n) =f (xn) −f0(xn)n+ f00(ζn) 2 2 n donde n=xn− α Despreciando el error α 'xn+1 =xn− f (xn) f0(xn) Orden de convergencia = 2

(20)

x

y

x x x x₃ ₂ ₁ ₀ α y=f(x) Metodo de Newton´ rectas tangentes

(21)

(22)

En el plano complejo los problemas aumentan

El método de Newton también se puede utilizar para calcular ceros en el plano complejo.

Supongamos que queremos resolver f (z) = 0 donde f (z) = z3_{− 1.}

Tenemos zn+1 =zn−z

3 n− 1

3z_n2 . El conjunto de los valores iniciales que

(23)

En el plano complejo los problemas aumentan

El método de Newton también se puede utilizar para calcular ceros en el plano complejo.

Supongamos que queremos resolver f (z) = 0 donde f (z) = z3_{− 1.}

Tenemos zn+1 =zn−z

3 n− 1

3z_n2 . El conjunto de los valores iniciales que

(24)

Métodos de punto fijo

Métodos de punto fijo

Los métodos de punto fijo responden a esquemas xn+1 =T (xn)

Ejemplo: el método de Newton, T(x)=x-f(x)/f’(x)

Si T is contínua y, dado cierto x0, existe limn→∞xn= αentonces

α =T (α) (α punto fijo de T ).

Teorema

Si T (x ) es continua en I = [a, b] y T (I) ⊂ I entonces existe al menos un punto fijo de T (x ), α ∈ [a, b].

(25)

x

y

y=x y=g(x) A B a b a b puntos fijos ´ la linea y=x para alcanzar La curva debe cruzar B desde A puesto que la curva esta confinada en la caja

(26)

Teorema (Continuación)

Si, además T (x ) es continuamente diferenciable en (a, b) y

|T0(x )| ≤ M < 1 , ∀x ∈ (a, b) , entonces

1 T (x )tiene un único punto fijo α en [a, b]

2 Para cada x0∈ [a, b], la sucesión definida como

xn+1=T (xn) converge al único punto fijo α.

3 La estimación del error de la enésima iteración está dada por

|xn− α| ≤ Mn 1 − M|x1− x0| 4 Si T0(α) 6=0, y ∃N > 0 : an6= α ∀n > N entonces lim n→∞ α −x_n+1 α −xn =T0(α).

(27)

|T0(x )| ≤ M < 1 , ∀x ∈ (a, b) , entonces

(28)

|T0(x )| ≤ M < 1 , ∀x ∈ (a, b) , entonces

(29)

|T0(x )| ≤ M < 1 , ∀x ∈ (a, b) , entonces

(30)

Métodos de punto fijo x x x x

y

α y=x y=g(x)

(31)

Métodos de punto fijo x₂ x₀x1

_x

y

_y=x α y=g(x)

(32)

x x x x

y

_y=x

y=g(x)

(33)

Métodos de punto fijo x₀ x₁ y=x

x

y=g(x)

y

(34)

Teorema (Otra versión)

Sea T (x ) continua en I ≡ [a, b] y continuamente diferenciable en (a, b). Si ∃α ∈ I : T (α) = α y se verifica que |g0(x )| ≤ M < 1 en (a, b), entonces se cumplen los resultados enunciados en el anterior.

Consecuencia de esto es que si T es continuamente diferenciable en un entorno de α y |T0(α)| <1, entonces existe un entorno de α tal que

xn+1=T (xn)converge a α para cualquier x0en ese entorno

(convergencia local).

Teorema (Convergencia monótona)

Si T (x ) tiene derivada primera continua en un intervalo I que contiene un punto fijo de T (x ) y 0 ≤ T0(x ) < 1 en I, entonces hay sólo un punto fijo de T (x ) en I, la iteración de punto fijo xn+1=T (xn)es convergente

(35)

Dado un método de punto fijo xn+1=T (xn)y T (α) = α, si la primera

derivada no nula en α de T (x ) es la m − sima (y es continua),

entonces el método tiene orden de convergencia m con constante de error asintótica C = T(m)(α)/m!. En efecto: xn+1=T (α + n) =T (α) + T(m)(ζn) m! m n Luego n= T(m)(ζn) m! m n

con ζn entre α y xn, luego

lim

n→∞

n+1

mn

(36)

Dos ejemplos de métodos de punto fijo con orden

m ≥ 2

1 _{El método de Newton cuando f}0_{(α) 6=}_0:

T (x ) = x − f (x )/f0(x ) → T0(x ) = f (x )f00(x )/f ‘(x )2 → T0(α) =0, T00(α) =f00(α)/f0(α) Orden 2 2 _{Método de arctan(Newton)} T (x ) = x − 1 w (x )arctan(w (x )y (x )/y 0_{(x ))} para cierto w (x ).

¿Cuál es el orden si y (x) es solución de y00₍_{x) + w (x)}2_{y (x) = 0 ?}

(37)

Dos ejemplos de métodos de punto fijo con orden

m ≥ 2

1 _{El método de Newton cuando f}0_{(α) 6=}_0:

T (x ) = x − f (x )/f0(x ) → T0(x ) = f (x )f00(x )/f ‘(x )2 → T0(α) =0, T00(α) =f00(α)/f0(α) Orden 2 2 _{Método de arctan(Newton)} T (x ) = x − 1 w (x )arctan(w (x )y (x )/y 0_{(x ))} para cierto w (x ).

¿Cuál es el orden si y (x) es solución de y00₍_{x) + w (x)}2_{y (x) = 0 ?}

(38)

Métodos de punto fijo Soluciones numéricas de punto fijo

Como ejemplo consideremos el cálculo de los ceros de

κx sin(x ) − cos(x ) = 0 → tan x = 1

κx Invirtiendo

x = arctan 1_κx+mπ ≡ Tm(x ), m = 1, 2, ...;

T0(x ) = π/2 − arctan(κx )

Tenemos un cero en cada intervalo

Im= ((m − 1/2)π/2, (m + 1/2)π/2), m ∈ N y otro en I0= (0, π/2) si

κ >0.

T (Im) ⊂Im,T0(x ) = −

κ 1 + κ2x2

(39)

Métodos de punto fijo Punto fijo y aproximaciones analíticas: dos ejemplos

Aproximaciones analíticas: un ejemplo simple

Consideremos de nuevo el ejemplo κx sin(x ) − cos(x ) = 0.

Vamos a construir una aproximación para ceros grandes (o no tanto).

Partimos de x0=mπ e iteramos con Tmpara aproximar el cero αm en

Im.

Como |T_m0 (x )| = O(m−2), tenemos, iterando una vez:

α(m)=arctan 1 κmπ +mπ + O(m−2) =mπ + 1 πκm+ O(m −2₎

E iterando dos veces

α(m)=Tm(Tm(xm))+O(m−4) =mπ+µ−1− κ + 1 3 µ−3+O(µ−5) (2) donde µ = πκm

(40)

Otra forma de hacer lo mismo es por resustitución:

Empezamos con α(m) ∼ mπ. Teníamos Tm(x ) = arctan(1/(κx )) + mπ.

Como arctan 1 z = 1 z − 1 3z3 + 1 5z5− . . . , (3)

quedándonos sólo con el primer término y sustituyendo con la primera aproximación mπ. Tenemos: α(m)₁ =mπ + 1 κmπ. Resustituyendo de nuevo: α(m)₂ =mπ + 1 κα1 − 1 3(κα1)3

(41)

Un caso más general

El anterior ejemplo

x − arctan(1/κx ) = mπ

para m grande es un ejemplo particular de un caso más general: f (x ) = w donde f (x ) = x + n X i=0 fi xi + O(x −n−1_), _{x → ∞}

En el que se puede comprobar la validez del esquema anterior considerando T (x ) = w − g(x ), g(x ) = f (x ) − x = n X i=0 fi xi + O(x −n−1₎

(42)

Un ejemplo no trivial

Expansion de McMahon para ceros grandes de las funciones de Bessel

La función de Bessel function Jν(z), solución regular en el origen de

z2y00+zy0+ (z2− ν2_{)y = 0}

se puede escribir

Jν(z) =

r 2

πz {P(ν, z) cos ξ − Q(v , z) sin ξ} , |arg z| < π, (4) donde ξ = z − νπ/2 − π/4 y P y Q tienen conocidas expansiones cuando z → ∞, con Q/P ∼ µ −1

8z (1 + O(z

−1_{)), µ = 4ν}2_.

Para aproximar los ceros, tomamos tan(ξ) = P/Q e invertimos:

z = β − arctan(Q/P), β = (s + ν/2 − 1/4)π, s = 1, 2, . . . . (5) Una primera aproximación para los ceros de Jν(x ) es jν,s ∼ β and the second

(43)

Expansion de McMahon (continuación)

Repitiendo el proceso, se puede escribir

jν,s ∼ β − µ −1 2 ∞ X i=0 Pi(µ) (4β)2i+1, (7)

con Pi(µ)polinomios en µ de grado i, que se pueden escribir

Pi(µ) =ci i

X

k =0

(−1)i−ka(k )_i µk, ci ∈ Q+, a(k )_i ∈ N. (8)

Algunos de los coeficientes (usando Maple) son i ci a(0)i a (1) i a (2) i a (3) i a (4) i a (5) i 0 1 1 — — — — — 1 1/3 31 7 — — — — 2 2/15 3779 982 83 — — — 3 1/105 6277237 1585743 153855 6949 — — 4 2/305 2092163573 512062548 48010494 2479316 70197 — 5 2/3465 8249725736393 1982611456181 179289628602 8903961290 287149133 5592657

(44)

McMahon no basta

Para valores de ν moderados, McMahon funciona hasta para los primeros ceros.

Para ν grande McMahon falla y se necesitan

aproximaciones uniformes (mucho más complicadas) Es habitual que haya que combinar métodos (como pasa con el ejemplo más sencillo)

Aunque hay otras estrategias para ciertas funciones, incluida la función de Bessel

(45)

McMahon no basta

aproximaciones uniformes (mucho más complicadas)

Es habitual que haya que combinar métodos (como pasa con el ejemplo más sencillo)

(46)

McMahon no basta

(47)

McMahon no basta

(48)

McMahon no basta

(49)

Otras dos aproximaciones para el mismo

problema (el sencillo, claro)

◦ Para κ pequeño y ceros no muy grandes:

x = arctan 1 κx +mπ = (m+1₂)π −arctan(κx ), m = 0, 1, 2, . . . , (9) Consideramos xn+1 =T (xn)con T (x ) = Λπ − arctan(κx ), Λ = (m + 1₂). (10)

Para κ pequeño y moderado x , |T0(x )| ∼ κ y, empezando con x0= Λπ

tenemos un O(κ) en cada iteración. Iterando tres veces:

α(m)(κ) ∼ Λπ " 1 − κ + κ2+ −1 + Λ 2_π2 3 ! κ3+ O(κ4) # , κ →0. (11) Esta expansión es útil para κ pequeño y ceros no muy grandes (caso para el que la anterior expansion no funciona).

α(m)(κ) ∼ Λπ " 1 − κ + κ2+ −1 + Λ 2_π2! κ3+ O(κ4) # , κ →0.

(50)

Para κ grande, el primer cero de κx sin x − cos x = 0 tiende a hacerse pequeño. Una primera aproximación viene de resolver

κx sin x − cos x ' −1 + (κ + 1/2)x2− (κ/6 + 1/24)x4=0

Expandiendo el menor cero en potencias de κ−1:

α(0)∼ √1 κ 1 − 1 6κ

El método de punto fijo para T₀(x ) = π

2 − arctan(κx) no es tan fácil de

aplicar ahora porque T0(α(0)) = κ/(1 + κ2_α(0)_{) ∼}_{1, pero se puede...}

Resultado: α(0)= 1√ κ 1 − 1 6κ−1+ 11360κ−2− 175040κ−3 (13)

(51)

Combinando los tres:

κ 1 2 3 4 5 6

0.01 2 10−7(2) 6 10−6(2) 2 10−6(2) 4 10−5(2) 6 10−5(2) 1 10−4(2) 0.1 4 10−4(2) 4 10−3(2) 1 10−2(2) 5 10−3(1) 2 10−3(1) 6 10−4(1) 1 1 10−4 (3) 2 10−5(1) 5 10−5(1) 5 10−6(1) 9 10−7(1) 2 10−7(1) 10 1 10−10(3) 2 10−6(1) 3 10−8(1) 3 10−9(1) 5 10−10(1) 1 10−10(1)

Y aprovechando la convergencia local del método de Newton tenemos un método eficiente y seguro para todo κ.

(52)

Cuadraturas gaussianas y ceros de polinomios ortogonales

Cuadratura gaussiana

A continuación trataremos de obtener los nodos y los pesos para cuadraturas de integrales tales que

Z b a f (x )w (x )dx = n X i=1 wif (xi) + γn f(2n)(λ) (2n)! , λ ∈ (a, b) siendo w (x ) una función peso.

Estas son cuadraturas gaussianas (con el mayor grado de exactitud posible para n nodos)

Ejemplos clásicos: 1 _{Gauss-Hermite:} R+∞ −∞ f (x )e−x 2 dx 2 _{Gauss-Laguerre:} R+∞ 0 f (x )xαe−xdx , α > −1 3 _{Gauss-Jacobi:} R+1 −1 f (x )(1 − x )α(1 + x )βdx , α, β > −1

(53)

Cuadratura gaussiana

Ejemplos clásicos: 1 _{Gauss-Hermite:} R+∞ −∞ f (x )e−x 2 dx 2 _{Gauss-Laguerre:}R+∞ 0 f (x )xαe−xdx , α > −1 3 _{Gauss-Jacobi:} R+1 −1 f (x )(1 − x )α(1 + x )βdx , α, β > −1

(54)

Cuadratura gaussiana

Ejemplos clásicos: 1 _{Gauss-Hermite:} R+∞ −∞ f (x )e−x 2 dx 2 _{Gauss-Laguerre:}R+∞ 0 f (x )xαe−xdx , α > −1

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Cuadraturas gaussianas y ceros de polinomios ortogonales Teorema

Sea w (x ) una función peso en [a, b] y pnel polinomio mónico de grado n tal que

Z b

a

xkpn(x )w (x ) dx = 0, k = 0, . . . , n − 1. (14)

Sean x1, . . . ,xnlos ceros of pny widefinido por

wi = Z b a Li(x )w (x ) dx , Li(x ) = n Y k =1,k 6=i x − xk xi− xk , (15)

donde i = 1, 2, . . . , n. Entonces, la regla de cuadratura Z b a f (x )w (x ) dx ≈ QnG(f ) = n X i=1 wif (xi) (16)

es exacta para polinomios de grado menor o igual que 2n − 1. Si f tiene derivada continua f(2n)en [a, b], entonces

∃ λ ∈ (a, b) : Z b a f (x )w (x ) dx = QGn(f ) + γn f(2n)(λ) (2n)! , (17)

(56)

Teorema

Los polinomios ortogonales mónicos {p_k} asociados al peso w (x) en el intervalo [a, b] satisfacen la relación de recurrence

p₁(x ) = (x − B₀)p₀(x ), pk +1(x ) = (x − Bk)pk(x ) − Akpk −1(x ), k = 1, 2, . . . , (18) donde Ak= ||pk||2 ||pk −1||2 , k ≥ 1, Bk= <xpk,pk> ||pk||2 , k ≥ 0. (19) Algoritmo (Stieltjes) Input: a, b, w (x ). Output: B₀, A_i, B_i, p_i(x ), i = 1, 2, . . . , n • p−1(x ) = 0; A0=0; • p₀(x ) = 1, B₀=<x , 1 > / < 1, 1 >; • DO i = 1, . . . , n − 1: pi+1(x ) = (x − Bi)pi(x ) − Aipi−1(x ).

(57)

Método de autovalores para relaciones de recurrencia

Método de recurrencias, construcción “general”

Consideremos relaciones de recurrencia

anyn+1(x ) + bnyn(x ) + cnyn−1(x ) = g(x )yn(x ), n = 0, 1, . . . ,

Las primeras N relaciones se pueden escribir

JNYN(x ) + aN−1yN(x )eN+c0y−1(x )e1=g(x )YN(x ), e1= (1, 0, . . . , 0)T,eN= (0, . . . , 0, 1)T,YN(x ) = (y0(x ), . . . , yN−1(x ))T JN=        b0 a0 0 . . 0 c1 b1 a1 0 . 0 0 c2 b2 a2 . 0 . . . 0 . . . aN−2 0 0 0 . cN−1 bN−1        . (20)

Si para cierto x = x0aN−1yN(x0) =c0y−1(x0) =0 tenemos un problema de

autovalores con autovalor g(x0)

Esto es así cuando x0es un zcero of yN(x ) (o de y−1(x )) y, por algún

(58)

Método de autovalores para relaciones de recurrencia

Método de recurrencias, construcción “general”

Consideremos relaciones de recurrencia

anyn+1(x ) + bnyn(x ) + cnyn−1(x ) = g(x )yn(x ), n = 0, 1, . . . ,

Las primeras N relaciones se pueden escribir

JNYN(x ) + aN−1yN(x )eN+c0y−1(x )e1=g(x )YN(x ), e1= (1, 0, . . . , 0)T,eN= (0, . . . , 0, 1)T,YN(x ) = (y0(x ), . . . , yN−1(x ))T JN=        b0 a0 0 . . 0 c1 b1 a1 0 . 0 0 c2 b2 a2 . 0 . . . 0 . . . aN−2 0 0 0 . cN−1 bN−1        . (20)

Si para cierto x = x0aN−1yN(x0) =c0y−1(x0) =0 tenemos un problema de

(59)

Método de autovalores para relaciones de recurrencia Ceros de polinomios ortogonales

Para polinomios ortogonales mónicos, yn=Pn(x ), g(x ) = x y anand

cntienen el mismo signo.

Además c0P−1=0, de modo que cuando yn(x0) =PN(x0) =0:

JNYN(x0) =x0YN(x0),

Luegos los ceros de los polinomios ortogonales (nodos of cuadraturas

gaussianas) sonexactamentelos autovalores de la matriz de Jacobi

matrixJN.

(60)

Método de autovalores para relaciones de recurrencia Ceros de soluciones mínimas de relaciones de recurrencia

Consideremos otra vez

JNYN(x ) + aN−1yN(x )eN+c0y−1(x )e1=g(x )YN(x ),

y ahora consideremos que son los ceros de y−1(x ) los que se buscan.

Si yN(x ) es suficientemente pequeño para N grande y y−1(x0) =0

JNYN(x0) ≈g(x0)YN(x )

Esta aproximación funcionaaproximadamenteparasoluciones mínimas de

recurrencias lineales y homogéneas con tres términos, y particularly para las funciones de Bessel Jν(x ) (Grad y Zakrajšek (1973), Ikebe (1975),..., Ball

(2000)).

Unas solución {fn} de una recurrencia a tres términos

yn+1+ βnyn+ αnyn−1=0

es mínima (o recesiva) cuando lim

n→+∞

fn

(61)

Método de autovalores para relaciones de recurrencia Pros y contras de los métodos de recurrencias

Pros

1 _{Todos los ceros de los P.O. se pueden calcular simultáneamente.}

2 _{Los ceros complejos también se pueden evaluar cuando existen.}

3 _{El método sólo requiere de los coeficientes de la recurrencia, y no}

es necesario evaluar la función.

Cons

1 _{Todos los ceros se calculan}

2 _{El condicionamiento no siempre es bueno.}

3 _{El tipo de recurrencias es restrictivo}

4 _{Para soluciones mínimas: ¿dónde truncar la matriz?}

5 _Eficiencia?

Otros métodos más flexibles, menos específicos y globalmente convergentes existen.

(62)

El método de Golub-Welsch

Volviendo al cálculo de cuadraturas gaussianas, consideremos el problema de calcular los nodos y pesos de una cuadratura gaussiana. Los nodos, como ya dijimos, se pueden obtener como autovalores de la matriz de Jacobi.

Para los polinomios ortogonales mónicos teníamos: p1(x ) = (x − B0)p0(x ), pk +1(x ) = (x − Bk)pk(x ) − Akpk −1(x ), k = 1, 2, . . . , (21) donde Ak = ||pk||2 ||pk −1||2 , k ≥ 1, Bk = <xpk,pk > ||pk||2 , k ≥ 0. (22)

Recurrencia para polinomios ortonormales

(63)

Partiendo de las recurrencias para polinomios ortonormales, es sencillo obtener también los pesos, a partir de los autovectores. Ver:

A. Gil, J. Segura, N.M. Temme

Numerical Methods for Special Functions, pp. 141-147

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Partiendo de las recurrencias para polinomios ortonormales, es sencillo obtener también los pesos, a partir de los autovectores. Ver:

A. Gil, J. Segura, N.M. Temme

Numerical Methods for Special Functions, pp. 141-147