Espacios de señales. 2 Espacios de señales

(1)

Procesamiento Digital de Señales Espacio de señales Agosto de 2010 1/44

Espacios de señales

Agosto de 2010 Licenciatura en Bioinformática FI-UNER

Señales y algebra Espacios de señales Bases y transformaciones

Organización

1 Señales y algebra lineal

2 Espacios de señales

(2)

Procesamiento Digital de Señales Espacio de señales Agosto de 2010 3/44 • En general se asocia a las señales con “elementos aislados”.

• Incorporar a las señales en un marco estructurado: el espacio vectorial. • Considerando a las señales como vectores de un espacio n-dimensional

se puede:

– aprovechar las propiedades de la estructura algebraica de los espacios vectoriales.

– interpretar el procesamiento de las señales desde una perspectiva conceptual sencilla.

Introducción

3 T₁ T₂ 2 2 3 m T 2 1 Introducción Introducción

R

2

Señales y algebra

(3)

Procesamiento Digital de Señales Espacio de señales Agosto de 2010 5/44 0 0. 05 0. 1 0. 15 0. 2 0. 25 0. 3 0. 35 0. 4 0. 45 0. 5 - 1 - 0. 8 - 0. 6 - 0. 4 - 0. 2 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 0 10 20 30 40 50 60 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 m T En 1 hora ...

Para señales continuas... Ya no se puede representar gráficamente como un “vector” en el espacio “tradicional”, pero el concepto es el mismo.

Introducción

R

60

R

∞

Introducción

Espacios de señales

Una “señal” es un elemento de un espacio S. Interesa estudiar a cada señal en relación al resto.

(4)

Procesamiento Digital de Señales Espacio de señales Agosto de 2010 7/44 Para ello debo primero definir un conjunto:

Significa el conjunto de las x, tal que P sea cierto, ó

Si P es cierto implica que x pertenece a

S

.

S

{ ; ( )

R e[exp(

)]}

=2 f -

t

,

S

x x t

j t

c

f

R

α

ω

π

α

=

+

∞ ≤ ≤ ∞

∈

Ejemplo: conjunto de las señales sinusoidales.

{ ; }

S

=

x p

P

⇒ ∈

x S

Conjunto de señales

x

{x; x(t) = A1, x(t) > A1 } {x; x(t)= A2, x(t) < A2 } {x; x(t) = 0, T1 > t v t > T2}

{

}

( )

;

( )

0,

,

j t

X

x t e

dt

x

x X

ω

ω ω ω ω

ω

∞ − −∞

=

>

<

∫

A1

A2

t

T1 T2 Señales limitadas temporalmente Señales limitadas temporalmente Señales limitadas en amplitud Señales limitadas en amplitud Señales de banda limitada Señales de banda limitada Conjunto de señales Conjunto de señales

Espacios de señales

(5)

Procesamiento Digital de Señales Espacio de señales Agosto de 2010 9/44 • El conjunto de elementos satisfacen una condición, pero además

pueden cumplir otras propiedades... • En particular se debe dotar al conjunto de:

– una estructura geométrica (espacio de señales). – una estructura algebraica (espacio vectorial). Conjunto de señales

Conjunto de señales

• Si al conjunto de señales definido anteriormente le agregamos una métrica (distancia) entonces estamos hablando de un espacio de señales.

Estructura geométrica

Espacios de señales

• Propiedades

• La distancia es un concepto muy importante asociado a un espacio.

Distancia Distancia

ℜ

→

}

y

,

x

{

:

d

• Significados: “error”, “diferencia” o “grado de aproximación” entre dos señales.

y x 0 ) y , x ( d 0 ) y , x ( d ≥ ∧ = ⇔ = ) x , y ( d ) y , x ( d = ) z , y ( d ) y , x ( d ) z , x ( d ≤ + Simetría

(6)

Procesamiento Digital de Señales Espacio de señales Agosto de 2010 11/44 Distancia Distancia Estructura geométrica Estructura geométrica • Ejemplos

x

y

)

y

,

x

(

d

=

−

2 2 _x y ) y , x ( d = − x=[x1,x2,x3] y=[y₁,y₂,y₃] 2 1 2 3 1 n yn xn ) y , x ( d         − = ∑ =

• Proporciona información acerca del “tamaño” de un elemento del espacio. Norma Norma Estructura geométrica Estructura geométrica

Espacios de señales

0 x 0 x y 0 x ≥ = ⇔ = y x y x+ ≤ +

x

=

α

• La norma se refiere a un solo elemento, mientras que la distancia a dos.

• Existen muchas normas, pero la más utilizada es la denominada norma-p.

(7)

Procesamiento Digital de Señales Espacio de señales Agosto de 2010 13/44 • Secuencias discretas • Señales continuas

p

1 n

p

x

(

n

)

x

_











=

∑

∞

−∞

=

Norma-p Norma-p Estructura geométrica Estructura geométrica p 1 p p

x

(

n

)

dt

x

_











=

∞∫ ∞ −

AMPLITUD de la señal x ACCIÓN de la señal x ENERGÍA de la señal x ) n ( x sup X N n∈ ∞ = } 0 ) n ( x : n { # p p x 0 plim 0 X = ≠ → = 2 2 X Norma-p Norma-p Estructura geométrica Estructura geométrica

Espacios de señales

1 X Medida de DISPERSIÓN

(8)

Procesamiento Digital de Señales Espacio de señales Agosto de 2010 15/44

x

₁

E(x)

1/2

A(x)

x

₂ Norma-p Norma-p Estructura geométrica Estructura geométrica

Norma-p

(9)

Procesamiento Digital de Señales Espacio de señales Agosto de 2010 17/44 • Otros ejemplos:

– Norma del Volumen Mínimo (similar a ||x||₀) – Norma de Cauchy

– Norma Varimax

– Otras dependiendo de la aplicación...

Norma

dt ) t ( x T P ) n ( x N P T T x N N n x 2 2 2 1 2 1

∫

∑

− − = = =

Espacios de señales

Potencia media Potencia media Estructura geométrica Estructura geométrica

(10)

Procesamiento Digital de Señales Espacio de señales Agosto de 2010 19/44 dt 2 T T ) t ( x T 2 1 T lim x P 2 N N n ) n ( x N 2 1 N lim x P

∫

∑

− ∞ → = − = ∞ → =

Potencia media total

Espacios de señales

Conjunto de señales Espacio de señales Conjunto de señales Espacio de señales Estructura geométrica

(11)

Procesamiento Digital de Señales Espacio de señales Agosto de 2010 21/44 • Conjunto para el que están definidas las operaciones binarias

(cerradas) de:

– Multiplicación de cualquier elemento POR un ESCALAR – Adición ENTRE cualesquiera de sus elementos

• Estas operaciones son conmutativas, asociativas y distributivas.

• Poseen elemento neutro y cancelativo

• A los elementos de los espacios lineales los llamamos VECTORES y podemos referirnos al espacio como ESPACIO VECTORIAL

Espacio vectorial

Estructura algebraica

Conjunto de señales Espacio de señales Espacio vectorial Conjunto de señales Espacio de señales Espacio vectorial Estructura algebraica

Espacios de señales

(12)

Procesamiento Digital de Señales Espacio de señales Agosto de 2010 23/44 • Son aquellos espacios vectoriales en los que TODOS sus

elementos poseen norma finita.

• Los subconjuntos de señales que poseen energía finita o

acción finita son espacios normados.

Espacio vectorial normado

Estructura algebraica

Espacios de señales

Conjunto de señales Espacio de señales

Espacio vectorial Espacio vectorial normado

Conjunto de señales Espacio de señales Espacio vectorial Espacio vectorial normado

Norma finita Estructura algebraica Estructura geométrica

(13)

Procesamiento Digital de Señales Espacio de señales Agosto de 2010 25/44 Proyección de un vector en otro

Proyección de un vector en otro

Producto interno Producto interno v1 v₂ ve c2.v2 c2.v2: proyección de v1sobre v2 v1=c2.v2+ve θ

Además, el producto interno se define como:

La componente (o proyección) de v1a lo largo de v2es:

Producto interno

Espacios de señales

Entonces se puede escribir:

2 2 2 1 2 , c v v v = Si c2= v1,v2 ) cos( . v v c₂ ₂ = ₁ θ ) cos( . v . v v , v1 2 = 1 2 θ 1 2 = v

(14)

Procesamiento Digital de Señales Espacio de señales Agosto de 2010 27/44 v

v2

c₂.v₂

θ

Producto interno Producto interno v1 c1.v1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 . , . , v . c v . c v v v v v v v v v + = + =

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0

0.5

1 Producto interno de señales

Señales iguales 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -0.5 0 0.5 Señales ortogonales 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -1 -0.5 0 Señales opuestas 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -1 -0.5 0 0.5 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -1 -0.5 0 0.5 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -1 -0.5 0 0.5 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -1 -0.5 0 0.5 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -1 -0.5 0 0.5 1 0.5 1 0 y , x > 0 y , x < 0 y , x = Producto interno Producto interno

Espacios de señales

x[n], y[n] → N muestras x[n] y[n] x[n] y[n] x[n] x[n].y[n]

(15)

Procesamiento Digital de Señales Espacio de señales Agosto de 2010 29/44 Conjunto generador

Conjunto generador

Dado un conjunto N vectores (señales) X0={xi} con N<∞

∑

= α = N 1 i i ix

x combinación lineal de vectores x_i, donde α_ison escalares.

Variando los α_ise genera un nuevo conjunto X, que en el caso que sea un espacio vectorial entonces X₀es un conjunto generador de ese espacio.

∑

= = α N 1 i i

ix 0 {xi} son linealmente independientes

Base Conjunto generador. {x_i} linealmente independientes. Definición de base Definición de base

Bases y transformaciones

(16)

Procesamiento Digital de Señales Espacio de señales Agosto de 2010 31/44 Ortogonalidad

Ortogonalidad

Se define un conjunto X₀como ortogonalsi:

j i k x , x j i 0 x , x j i j i = ∀ = ≠ ∀ =

Además, si k = 1 entonces X0es ortonormal.

Entonces, si X0es una base del espacio vectorial X, los coeficientes αise

pueden calcular mediante el producto interno entre el vector (señal) y cada uno de los elementos de la base.

N N 2 2 1 1 N 1 i i ix x x ... x x=

∑

α =α +α + +α =

Suponga que quiere representar el vector x en RN _{generado por el}

conjunto X₀={x_i}, con i= 1..N. Representación de señales Representación de señales

Bases y transformaciones

〉 〈 α + + 〉 〈 α + 〉 〈 α = 〉 〈x,x_i ₁x₁,x_i ₂ x₂,x_i ... _N x_N,x_i Efectuando producto interno por x_ia ambos miembros:

(17)

Procesamiento Digital de Señales Espacio de señales Agosto de 2010 33/44 Representación de señales Representación de señales 〉 〈 α = 〉 〈x,x_i _i x_i,x_i Si X₀es ortogonal, entonces: 2 i i i i i i x x , x x , x x , x 〈 〉 = 〉 〈 〉 〈 = α 〉 〈 α = 〉 〈x,x_i _i x_i,x_i Si X₀es ortonormal, entonces: 〉 〈 = αi x,xi

Concepto importante: α_ies la componente de la señal x en x_i.

Base no completa

Bases y transformaciones

Si {x_i} no genera el espacio en que está contenido x →→→→ base no es completa.

x=[2, 4, 7]                               = = 0 1 0 0 0 1 } e , e { X_b ₁ ₂ 2 e , x c1=〈 1〉= x=c₁.e1+c2.e2 →→→→ 4 e , x c2 =〈 2〉= → → → → x = [2, 4, 0]

(18)

Procesamiento Digital de Señales Espacio de señales Agosto de 2010 35/44 Base no completa

Base no completa

Entones la suma vectorial anterior es sólo una aproximación a x, y lleva implícito un error.

¿De qué manera se pueden seleccionar adecuadamente los c_i para reducir el error de aproximación?

Base no completa Base no completa

Bases y transformaciones

N N 2 2 1 1 N 1 i i ix x x ... x y~=

∑

α =α +α + +α =

Suponga que quiere representar el vector y en RN _{generado por el}

conjunto ortogonal X0={xi}, con i= 1..N.

2 M 1 j N 1 i ij i j 2 2 N 1 i i i 2 2 2 2 y y~ y x y x e ECT

∑

= = =         α − = α − = − = = 0 i ECT = α ∂ ∂ 〉 〈 〉 〈 = α i i i i _xy,_,x_x

(19)

Procesamiento Digital de Señales Espacio de señales Agosto de 2010 37/44 • Polinomios de Legendre [-1,1] • Polinomios de Chebyshev [-1, 1] • Polinomios de Hermite [- ∞, ∞] • Funciones de Hermite [- ∞, ∞] • Funciones de Walsh [0,T] • Funciones de Haar [0,1] • Wavelets • Funciones de Fourier Bases ortogonales Bases ortogonales

• Funciones de Haar:

Ejemplos: wavelets

(20)

Procesamiento Digital de Señales Espacio de señales Agosto de 2010 39/44 • Onditas de Meyer:

Ejemplos: wavelets

Cambio de base Cambio de base                                         = = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 } e , e , e {

Xe 1 2 3 xXe=α1.e1+α2.e2+α3.e3 =4.e1+8.e2+9.e3= [4,8,9]

Bases y transformaciones

x= [4, 8, 9]                                         −                     −                   = = 3 1 3 1 3 1 2 2 6 1 6 1 0 2 1 2 1 } x , x , x { X1 1 2 3 xX1=β1.x1+ β2.x2+ β3.x3= 6√2.x1+11/3√2.x2+5/3√2.x3=[4,8,9]

(21)

Procesamiento Digital de Señales Espacio de señales Agosto de 2010 41/44 Cambio de base Cambio de base e₁ e₂ e₃ x₁ x₂ x₃ x

Cambio de base Cambio de base

Bases y transformaciones

¿Cómo pasar de X_ea X₁? xXe=xX1=β1.x1+β2.x2+β3.x3==6√2.x1+11/3√2.x2+5/3√2.x3=[4,8,9] [β₁.x₁+β₂.x₂+β₃.x_3]=[α₁,α₂,α₃]           β β β                 − − =           β β β           =           α α α 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 . 3 1 6 2 0 3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 2 1 . x x x 1 X Xe M.x x = M: matriz de transición o de cambio de base. x1 x2 x3

(22)

Procesamiento Digital de Señales Espacio de señales Agosto de 2010 43/44 Cambio de base

Cambio de base Energía de una señal discreta_{Energía de una señal discreta}

2 N 1 n x(n) ) x ( E ∑ = =

[

]

161 3 3 5 , 6 3 11 , 2 6 ) x ( E 161 9 , 8 , 4 ) x ( E 2 e 1 X 2 1 X =     = = = ∑ = ∑ =α = β = N 1 n 2 n N 1 n 2 n ) x ( E

Si ambas bases son ortonormales:

Si una de ellas es solo ortogonal: ∑

= ∑ =α = β = → = N 1 n 2 n n N 1 n 2 n n n n,x k E(x) k x

Fin de la clase