SOLUCiÓN: Los números negativos se ubican a la izquierda de cero y los positivos a la derecha, como se observa en la figura 1.10.

números enteros en una recta nurnertca, se

S

NÚMEROS ENTEROS EN LA RECTA NUMÉRICA

Los números enteros se pueden representar en una recta numér ea

Para representar los estos pasos:

10Se elige un punto inicial, que se marca con O. IDEAS CLAVE • representación gráfica • sentidos opuestos

I

~

o Figure 2.° Se elige una unidad de medida arbitraria y se marcan puntos a la 2-:::

y a la izquierda del cero con la misma unidad de medida.

3.°Los núr1"leros a la derecha del cero son los enteros positivos y los izquierda son los enteros negativos. Observa la figura 1.9.

TEN EN CUENTA El signo +que antecede a los números positivos puede omitirse.

ACTIVIDADES RESUELTAS

A.Representa los números -4, +5, -1, O, +8, Y-9 en la recta nurnér ca SOLUCiÓN: Los números negativos se ubican a la izquierda de cero y los positivos a la derecha, como se observa en la figura 1.10.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Figura B. Describe los desplazamientos representados en la recta numérica .

.

,

,.

,

•I I I I I I I I I I I I I I I

.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7 Figura 1.11

SOLUCiÓN: En el primer desplazamiento se avanza 7 unidades y en el segundo, se retrocede 8.

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS

INTERPRETA

1.COMUNICACiÓN. Escribe el número entero que

co-rresponde a cada letra en la recta numérica.

e E A o F B

·1

+

+ +

1

+

+ +

l·

o Figura 1.12

ARGUMENTA

2.EJERCITACIÓN. Representa cada grupo de números

en la recta numérica.

PROPONE

3. En el juego de la "esca.e-ra", los jugadores sacan por turnos una cc--ta. Las cartas rojas indican pasos de ava....:::: y las azules, de retroceso. Después del ::--mer turno, ¿cuál es la posición de cada -: en la recta numérica, con respecto al pL~:_ salida? Represéntala en la recta de la fg -::: 1.17.

al

+4, -6, +7, +5, -7 y O --,-, 1 1 1 1 1

-

+

~

-

+

~

-

+-

,

-

,

-

+

-

,

-

1

-

-

--

--

,

-6 -4 -2 o 2

4

.

'

6 ' ¡ Figura 1.131 1'---' bl +10, -20, +40, -30, -10 Y -40

~

:

-:-

:

-

:-+I--

-

l

l

-

-

+

-

-:

_

+

_

I

O 20 ~?gura

11

4

1

el

+200, +300, + 100, -200, -100 YO -40 -20 i 11 1 1

:

--

:

-

-:

-

-

:-

-

:--

:

-

f

---400 -300-200 -100 O 100 200 300 400 I Figura 1151

••

I

I

I

I

1_1-+-1

-•

" , -6 -5 -4 -3 -2 -1 O +1 +2 -3

--

_-

-"""

-B

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTER

O

El valor absoluto de un número se define como la distancia que hay entre

ese número y el punto cero sobre la recta numérica. El resultado de esa

medida siempre es un número positivo.

El valor absoluto de un número entero a, se simboliza como [al.

ACTIVIDAD RESUELTA

• Determina el valor absoluto de -3 y +3.

••

SOLUCiÓN:En la recta de la figura 1.19 se observa que -3 está a 3 unidades de distancia de O. Lo mismo ocurre con +3.

•

•

•

Es decir, el valor absoluto de -3 es 3 y el valor absoluto de +3 es 3, yse escribe 1-31 = 3Y 1+31= 3, respectivamente.

1-31=3 1+31=3 ••• I ~ I I I I ~ I ~ -4 -2 -1 o 1 2 4

•

Opuestos

•

Figura 1.19

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS

INTERPRETA

1.EJERCITACIÓN. Calcula estos valores absolutos.

al 1-21 = . cl 1-121 = . el 1-91 = . gll+lll=· ..· ·

bl

1-31 = .

dl

181= . fl 1+61= . h] 1-71 = ..; .

2. RAZONAMIENTO. Escribe en los cuadros números

enteros que hagan verdadera cada igualdad.

al 1+61 = 101 = O

bl 101 = 101 = 4

cllOI =0

dl 101 = 3 = 101

el IDI = 1151= O

3. COMUNICACiÓN. Determina el resultado de cada

operación.

al 1-31 . 181 = bll-91 + 1-131 = .

el 1-251 7 151 = dll-301 7 1-101 = .

el 1-81 . 1-41 = fll- 51+ 1-101 .

gl 121. 1-91 = hll-241 7 161= .

4. RAZONAMIENTO. Escribe los números que hacen

que las igualdades sean ciertas.

al 101 == 5

el 1-31 =0

PROYECTO APRENDER JUNTOS ©ED!CIONES SM

bll-41 = O dllOI = 7 IDEAS CLAVE • distancia de un número al cero • medida TEN EN CUENTA En la recta numérica, un número entero y su

opuesto están ala misma

distancia del punto cero.

, , : I-al =a , : .•• I lal =a 1 ~ ¡ -a O , , a Figura 1.18 ARGUMENTA

5. RAZONAMIENTO. Sustituye la letra a por números

• en cada caso.

al lal = O

bl

lal = 5

el

I-[-all = 3

d] -a = 1-41

6. RAZONAMIENTO. En cada caso, escribe el número

entero que cumple la condición dada.

al Su valor absoluto es 5y está entre -6 y +2.

bl Coincide con su opuesto .

cl Su opuesto es 15 y es menor que 9 .

d] Entero negativo cuyo valor absoluto es 2.

el Su opuesto es un entero mayor que 3 ....

7. COMUNICACiÓN. ¿Cuál es el valor absoluto del opu

es-to del opueses-to del opuesto de un número?

PROPONE

8. Un pájaro, en el aire. ]

• buzo, sumergido en el mar, se encuen ran :: la misma distancia del nivel del mar. ¿,....

=

_

=

altura se encuentra el pájaro y a q ~

:-:-fundidad, el buzo, si están separados ::

ACTIVIDADES RESUELTAS

~

RELACIONES

DE ORDEN EN EL CONJUNTO

DE LOS NÚMEROS

EN

TEROS

IDEAS CLAVE • comparación de números enteros • recta numérica TEN EN CUENTA Cuando se comparan n ú-,meros enteros en la recta :numérica, se pueden pre -:sentar estas situaciones:

,

:• Alcomparar dos núme

-ros positivos siempre es

mayor el que está a la derecha del otro.

:• Todo número positivo : siempre es mayor que : un número negativo.

, • Al comparar dos nú

me-ros negativos siempre es mayor el que está más cerca de O.

Si a está representado en la recta numérica a la izquierda de b. e~::

-:=

a es menor que b, y se escribe a

<

b.

Si a está representado en la recta numérica a la derecha de b, e-::- :-=:: a es mayor que b, y se escribe a > b.

A. Compara los números dados.

al

5 y 6 bl -2 Y+3

SOLUCiÓN: ••.

al

ó > 5, porque 6 está a la derecha de 5 [figura 1.20].

el

-8 Y-12

I I I I

+

;

-2 -1 o 1 2 3 4 5 6 Figura 1 2G

bl

+3 > - 2, porque todo número positivo siempre es mayor que un n'

"'"'=-negativo [figura 1.21].

+

+

-3 -2 -1 _o 2 3 4 Figura 1.21

el

-8 > -12, porque está más cerca de Oen la recta numérica [figura' ::

, I

•

I I

-16 -12 -8 -4 o 4 8 12 16 Fi-:

B. Ordena de menor a mayor los números -15, 12,-9, -5 Y 5.

SOLUCiÓN: Al ubicar los números en la recta numérica se determina el or _

-15 -9 -5 5

, I • I I l. I l. I I I • I I ₊ 1,

-16 -12 -8 -4 o 4 8 12 16 _{F~u~ _}

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS f

INTERPRETA

1.EJERCITACIÓN. Observa la ubicación de los números enteros en la recta numérica y escribe> o

<

.

según cada caso.

,1 I I I I I I I I I I I I -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

al

-2

O

4 d] 107 I I ' o 2 4 6 8 10 12 Figura 1.24 bl -9 0-5 el 30-3 el 6 0-8

tl

-13

O

O

2. EJERCITACIÓN. Representa cada pareja de números enteros en la recta numérica y escribe> o

<

.

según el caso.

al

-5

O

2 I I I I

bl

-6

O

O ...- I o 1 Figura1.25 -1 =-;-= I I :-+---

dl

40-12 -+-1-. I I I I I I I I I I I I I O 1 Figura1.27 -2 O -I I I I

tl

00 -5 -+---+-: I -1 O Figura1.29 1 - - -= ~: -+--+--+--+-+--1

-e

l

-1

0

4

, I el -3 0-8 """-,-f--+-+--+--

-3. EJERCITACIÓN. En cada caso, compara los dos nú

-meros y establece la relación menor que [<l

o mayor que

[>1

.

al -1

D

+1

el

O

D

-4 el -5 D-4 gl +5

D

-3 bl -2

D

+3 dl+4D+7

fl

-5

D

+6 h]-5

D

-3 4. EJERCITACIÓN. Completa la tabla 1.5. ANTERIOR NÚMERO SIGUIENTE -210 +245 -62 +299 -157 -302 _{Tabla 1.5}

5. RAZONAMIENTO. Localiza cada grupo de números

en la recta numérica y establece su orden de menor a mayor. al -2,3, 1 I I I O bl -10, 2, -4 Figura 1.31 I I I I I I • O cl 2, -4, -2 Figura 1.32 I I I I O dl 5,2, -3 Figura 1.33 I O el -6, -1,

-4

Figura 1.34 I I I I I O fl 1, 2,-8 Figura 1.35 I I I I O gl -5, -8, -2 Figura 1.36 I I I I I O hl -6, -3, -12 Figura 1.37 I I I I I I I I I I I I I I I I O Figura 1.38 ARGUMENTA

6. COMUNICACiÓN. Interpreta cada uno de los enun

-ciados y completa la frase con la relación entre el primer y el último número.

al Como -3 es menor que O y O es menor que

1, entonces -3 es

D

que 1.

bl Como -5 es menor que -2 y -2 es me-nor que -1, entonces -5 es

c

=

J

que -1.

el

Puesto que -3 es mayor que -8 y-8 es ma-yor que -10, entonces -3 es

c=J

que -10.

d] Como -8 es menor que -5 y -5 es me -nor que -2, entonces -8 es

c=J

que -2.

PROYECTO APRENDER JUNTOS ©EDICIONES SM

7. RAZONAMIENTO. En cada grupo, ordena de ma

• a menor los siguientes puntajes.

al -10 4 23 8

r.

r.

c

:

:

Jc

:

:J

b] -15 12 -9 -5 5

c:

:

JLJ LJ LJ LJ

el

6 -2 -1 12 -13 -30 11 25

LJLJLJc:

:

JLJL

JL

JC

=

8. COMUNICACiÓN. En cada recta numérica se han ubi

-• cado dos números enteros, además del cero.

• ¿Cuál de estos dos números enteros es me -nor y por qué?

al_'__ ~ __ -+ +I----~I--~----+I----~I---

-o

+1

+

3 Figura 1.3 bl-~----+-I ---+----+~ ---jI----+---1I-- -- 2 O +1 Figura 1.4~ Cl---+I----+----t-I---jI~--1----+----~1 --- --3 -1 O Figura 1.4' dl' I I -3 -2 I O I Figura 1.42

9. COMUNICACiÓN. Determina si cada afirmación es

• verdadera [Vl o falsa [Fl. Justifica tus res-puestas. al 3 está entre 1y-l. bl -1 está entre -3 y

o.

el

-

2 está entre O y 5. d] 2 está entre -1 y 1. el 3 está entre -5 y 5. fl 2 está entre - 2 Y-8. PROPONE

10.RAZONAMIENTO. Completa el cuadro con un númer

entero que se encuentre entre cada par _~

números.

al -3

<

D

<

5 b] -2

<

c

::

J

<

O

el

-4>

LJ

> -8

11. Alcomparar la IT'c::c : rp

o-• ral de los integrantes del equipo de es n

ces-to, con respecto a la de Oswaldo, S2 :ene que:

Alberto es 1 kg menos pesado, R2~ ro es 5 k::

menos pesado, Camilo es 3 kg mas pesad""

Donaldo es 3 kg menos pesado. ¿Cuál e3 orden de los jugadores, del más al mef1-=

sado? .

m

ADICiÓN DE NÚMEROS ENTEROS. PROPI

ED

ADES

IDEAS CLAVE - números enteros de igual signo - números enteros dediferente signo - valor absoluto TEN EN CUENTA Sia,by e son números enteros, entonces: -a+bElZ. -a+b=b+a -(a+b)+e =a+(b +e] -a+(-a) =(-a) +a=O :-a+O=O+a=a CONVIVENCIA Y PAZ COMPETENCIAS CIUDADANAS

Iván y Felipe discuten sobre un juego de canicas. Iván comenta que al iniciar el juego no tenía canicas y le pidió prestadas diez a Feli-pe, con las cuales le ganó las doce que le quedaban. Ahora Felipe le reclama que el juego no es válido puesto que Iván no tenía canicas para jugar y es su deber devolver las que ganó. - ¿Cuáles operaciones

ma-temáticas justificarían el triunfo de lván?

Para adicionar dos números enteros deL mismo signo, se 'halla _= ~_

de sus valores absolutos y al resultado se le coloca el mismo siqoc =::

-sumandos.

Para adicionar dos números enteros de diferente signo, se sustrae t s ,

valores absolutos [el mayor menos el menor] y al resultado se le c: ::= _

signo del número que tenga el mayor valor absoluto.

~

La adición de números enteros cumple las siguientes propiedades ltab a

"'PROPIEDAD NOMBRE EJEMPLO

La suma de números enteros es un

Clausurativa 7+(-9] = [-2) número entero.

En una adición de números enteros

[-11] + [-3] = -14

se puede intercambiar el orden de los Conmutativa

•

sumandos, sin alterar su resultado. [-3] +[-11) = -14

En la adición de números enteros se

pueden agrupar tres o más sumandos _Asociativa [13+[-8)] +[-1) = 5+[-1 =

-de distintas formas sin que se altere el 13+[[-8) +[-1)] = 13+(- = -resultado.

La adición entre un número entero y

Invertiva 15+[-15) =O

su opuesto es igual a cero.

La adición de un número con cero da

Modulativa [-8) +0=-8

como resultado el mismo número.

-

_-

_:::::

-

₌

.

ACTIVIDADES RESUELTAS

A. Un ascensor baja cuatro pisos y luego baja tres pisos más. ¿CUá~-:5 pisos ha bajado?

SOLUCiÓN: Para saber cuántos pisos ha bajado el ascensor, se representa

esta situación sobre la recta [figura 1.43]. El punto cero, representa e e

5-desde el cual empieza a descender el ascensor.

• I -3 -4 ~~ • I I

+

I I I + I l' -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 Figura' -3

1-41 + 1-31 = 7. Como los números son negativos, entonces el resu. a:: es [-4] + [-3]

=

-7, lo que significa que el ascensor ha bajado s e:::

piSOS.

B. En cierta ciudad, la temperatura a las 9:00 a.m. era de -2°C y -rE5

horas después subió 7 °C. ¿Qué temperatura había en la ciudad a 2~

12:00 del medio día?

SOLUCiÓN: En la recta numérica de la figura 1.4-4, se representa la situac

:-+7 • I -2

r-::'>

,

I

+

I + + I • -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5

1-21 + 1+71 = 5. Como el número con mayor valor absoluto es

--tonces el resultado tiene signo positivo. Es decir, la temperatura a día era de +5 °C.

~ERPRETA

1.RAZONAMIENTO. En cada suma, indica cuál de los

dos sumandos tiene mayor valor absoluto

y cuál es su respectivo signo. Observa el

ejemplo.

al 14

+

[-51 El de mayor valor absoluto es

14. Signo positivo bl [-181

+

10

el

28

+

[-91

dl

24 + [-341 el [-451

+

50 2. EJERCITACIÓN. Calcula estas sumas. al - 2

+

[-

31. b

I

1

+ [

-

2] ~ .

el

5

+

7 d] 18

+

36 ~ . el 9

+

13 ~

tl

[-121

+

[-25] : . g] [-6]

+

[-8] .. h] 45

+

12 . il [-13]

+

[-7] . :... j] [-16]

+

[-9] : . k] [-10]

+

[-24] l] [-26]

+

[-50] . , ml [-1 5]

+

8 n] 18 O

+ [-

76] . '. ñ] 7

+

[-20] ~ o] -105

+

80 · : . p]'18

+

[-12].' q] 150

+

[-123] :

r

l

[-251

+

23

sl

220

+

[-250] . t] [-34]

+

39 u] [-1840]

+

1520 .

EJERCITACIÓN. Representa cada adición mediante

desplazamientos en la recta numérica.

a] 7

+

4

=

7 4 , I I I I I I I I

o

7+4 _{Figura 1.45}

o]

[-6] + [-5]

=

, _{I I I I I I I I I I I I I I} O _{Figura 1.46} c] [-8] + 3

=

, _{I I I I I I I I I I I I I}

.

O _{Figura 1.47} d] [-4] + [-6]

=

, _{I I I I I I I I I I I I} O _{Figura 1.48} e] [-7] + [5]

=

I I I I I I I I I I I I I I I

o

_{Figura 1.49} '] [-6] + 8

=

, I I I I I I I I I I I I I I O _{Figura 1.50}

AZONAMIENTO. ¿A qué es igual la suma de los

valores absolutos de dos números enteros

opuestos?

5. MODELACIÓN. Lee la información. Luego. resuelve

lo que se indica a continuación.

Para calcular la suma de varios números ente

-ros se puede: sumar de dos en dos, sucesiva

-mente 0, aplicar las propiedades de la adición

para calcular, por separado, la suma de los

positivos y la de los negativos y luego operar

los resultados. De la primera forma: ! , 9 + [-6] + (-7] + (

=

3 + [-6]

=

-3 1 t De la segunda forma: I -. 9+1[-6) + [-7)1+ 1 =9+ 1+1[[-6) +[-7)]1= 107(-131 =-3 I '.

Realiza las siguientes operaciones de dos for

-mas distintas.

a] 5 + [-7] + 8 + [-6]

. !! -.•...

b] 10 + [-2] + [-2] + 3

e] 5 + [-5] + [-10] + 10

6. RAZONAMIENTO. Utilizando las propiedades de la

adición entre enteros, obtén el resultado men

-talmente.

a) 10+ (-2) + [-8) + 17= .

bl 8

+

[-5) + 12 + [-15) + 8 = .

PROPONE

7. Reúnete con un compañero o una

.

_companera- _{y propongan:}

a] Tres ejemplos de adiciones entre números

enteros con diferente signo, cuyo resultado

sea positivo. .. .

bl Tres ejemplos de adiciones entre números

enteros con diferente signo, cuyo resultado

..• sea negativo .

• Cuando hubo diferencias de opinión en el

•. grupo, ¿cómo las resolvieron?

RESOLUCiÓN DE PROBLEMAS

8. Euclides fue un matemático que vivió 60 años

• y murió en el 265 a. C. ¿En qué año nació?

9. La primera mujer matemática conocida,

• Hypatía de Alejandría, nació en el 370 d.C.

¿Cuánto tiempo pasó desde que murió Euclides