UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

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DISEÑO Y ANÁLISIS DE MODELO MATEMÁTICO

Y PRUEBA EXPERIMENTAL PARA DETERMINAR

DEFLEXIÓN EN LA CURVATURA DE LA

COLUMNA VERTEBRAL DE PACIENTE CON

CONDICIÓN DE ESCOLIOSIS

2019

PRESENTADO POR:

MARIA ALEJANDRA QUINTERO PERALTA

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

PROYECTO DE GRADO

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA

MECÁNICA

PROFESOR ASESOR:

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1

“Nada tiene tanto poder para ampliar la mente como la capacidad de

investigar de forma sistemática y real todo lo que es susceptible de observación

en la vida”.

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AGRADECIMIENTOS

En primer lugar, mis agradecimientos van dirigidos hacia la universidad de los Andes, la cual me ha inculcado valores y conocimientos en el transcurso de mi carrera. Debo mencionar que esta al mismo tiempo me ha brindado experiencias inolvidables, la oportunidad de conocer personas extraordinarias, y la capacidad para desenvolverme en un entorno social y competitivo. De aquí me llevo los mejores recuerdos, pero sobre todo esto, la imborrable lección de vida “Más allá del deber”.

En segunda instancia, me gustaría agradecer sinceramente al departamento de Ingeniería Mecánica, a todos sus miembros, desde el director Juan Pablo Casas Rodríguez y la coordinadora Rebeca Martínez Movilla, hasta los encargados de las secretarías y laboratorios.

Por otro lado, quisiera mencionar a todos los profesores con los que tuve la oportunidad de tener clases, puesto a que de no haber sido por ellos hoy no podría decir a viva voz que ya casi soy “Ingeniera Mecánica”. Ellos fueron, son y serán el elemento clave para la formación de sobresalientes profesionales, caracterizados no solamente por su cognición sino también por su habilidad de superar grandes pruebas y obstáculos.

Asimismo, en esta oportunidad pretendo reiterarle mis más sinceros agradecimientos al profesor Luis Mario Mateus Sandoval, quien sin dudarlo aceptó ser el asesor de mi proyecto de grado. Mi intención es reconocer su apoyo incondicional ante esta nueva propuesta que buscó brindar una solución ingenieril a una condición médica concurrente como la escoliosis.

Por último, mi gratitud va hacia al Instituto de Ortopedia Infantil Roosevelt, al Centro Técnico de Ortopedia y a la paciente Remedios Pérez Escobar. Al primero, quiero reconocerle su contribución en el esclarecimiento de la condición médica, ya que así se obtuvo un panorama de las causas y consecuencias de la patología. Al segundo, le agradezco cálidamente su gran participación, en especial, al ortesista y protesista Francisco Zuluaga, debido a sus aportes cognitivos y contributivos al desarrollo del prototipo y de las pruebas experimentales. A la paciente, le recalco mi reconocimiento por su disposición y entrega durante todo el recorrido del proyecto.

Gracias a ustedes hoy llego a culminar esta gran iniciativa, con la convicción de continuar la investigación y mejorar el proyecto.

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DEDICATORIA

Gozosamente, quiero comenzar esta dedicatoria dándole gracias a Dios por permitirme la oportunidad de haber culminado grandes logros durante la trayectoria de mi carrera profesional. Solamente Él conoce cuáles fueron mis fortalezas y debilidades, así como mis victorias y caídas, en este transcurrir. Gracias a la Virgen por escuchar mis constantes oraciones, y por interceder para que poco a poco alcanzara cada meta de este proceso universitario.

Dedico con gran regocijo y satisfacción a mi querida y adorada madre, no sólo este gran proyecto llevado a cabo de la mano de mi asesor y de un grupo médico, sino también todos los años de dedicación y superación en mi recorrido por diversas experiencias.

Asimismo, me gustaría terminar mi dedicatoria mencionando a todas aquellas personas que infaltablemente me acompañaron cada momento de evolución durante mi carrera universitaria, hago referencia a mis familiares y mis más cercanos amigos.

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I. CONTENIDO

II. INTRODUCCIÓN ... 5

III.OBJETIVOS ... 5

III.I. OBJETIVO GENERAL ... 5

III.II.OBJETIVOS ESPECÍFICOS ... 5

IV.REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA ... 6

IV.I. LA COLUMNA VERTEBRAL ... 6

IV.II.ESCOLIOSIS ... 7

IV.III.ÁNGULO DE COBB ... 8

IV.IV.CAUSAS Y SINTOMATOLOGÍA DE PACIENTES CON ESCOLIOSIS ... 8

IV.V.TIPOS DE ESCOLIOSIS ... 9

IV.VI.TIPOS DE CORSÉS ... 10

V. MODELO MATEMÁTICO PARA DEFLEXIÓN DE LA CURVATURA DE LA COLUMNA VERTEBRAL ... 12

V.I. ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y TEOREMA DE CASTIGLIANO ... 12

V.II. PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO DEL MODELO TEÓRICO ... 13

VI.MODELO CAD DE LA COLUMNA VERTEBRAL DE LA PACIENTE ... 19

VII.DISEÑO Y DESARROLLO DE PRUEBA EXPERIMENTAL ... 22

VII.I.PROTOTIPO ... 22

VII.I.A.REQUERIMIENTOS ... 22

VII.I.B.CONDICIÓN DE LA PACIENTE ... 22

VII.I.C.¿POR QUÉ EL ARNÉS DE KALLABIS? ... 23

VII.I.D.ELABORACIÓN DE PROTOTIPO ... 24

VII.II.PROGRAMA DE MEDICIÓN DE FUERZAS ... 25

VII.III.PROCEDIMIENTO DE REGISTRO DE DATOS EXPERIMENTALES ... 27

VIII.CÁLCULO DE INCERTIDUMBRES ... 32 IX.RESULTADOS... 33 X. DISCUSIÓN DE RESULTADOS ... 44 XI.CONCLUSIONES ... 46 XII.RECOMENDACIONES ... 46 XIII.REFERENCIAS ... 47

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II. INTRODUCCIÓN

Durante el transcurrir de los años, una de las patologías más influyentes tanto en jóvenes como en infantes ha sido la escoliosis, cuyo término deriva del griego y significa curvatura. Esta deformación en la columna vertebral se origina en el plano coronal, y a medida que avanza el tiempo puede aumentar de grados dependiendo claramente de las condiciones de vida del paciente. Cabe resaltar que, es completamente normal que los seres humanos posean una leve deformidad en la columna; sin embargo, cuando ya se aprecia una curvatura mayor a 10 grados se considera escoliosis. Las repercusiones de esta condición médica conllevan al paciente a un estado de cansancio y dolor muscular, debido a la aglomeración de los músculos en cierta zona de la espalda, y ni hablar de lo estético, puesto que regularmente se puede apreciar la formación de una especie de giba en el plano sagital.

Es de gran importancia destacar que, de acuerdo con la magnitud y potencial de evolución, la escoliosis puede tratarse a partir de ortopedia o directamente con cirugía. Actualmente, existen variedades de corsés encargados de corregir la postura que ha adoptado el paciente, y simultáneamente de ayudar con la alineación de la columna vertebral. Sin embargo, se desconoce cuán efectivo puede lograr ser un elemento ortopédico, debido a que se ignoran los valores correspondientes a la fuerza de compresión que debe ejercer el aparato de corrección para generar en gran medida la deflexión de la curvatura.

Esta es la razón por la cual, se incentivó a realizar este proyecto, con la finalidad de brindar a través de la ingeniería una solución a este tipo de condición médica y, de esta manera, prevenir el aumento de la curvatura y lograr corregir esta deformidad.

Dado lo anterior, el propósito de este proyecto consiste en el diseño y análisis de un modelo matemático y una prueba experimental, con los cuales se determinen los valores de deflexión de la curvatura de la columna vertebral al aplicar ciertas cargas sobre esta, y de esta manera, encontrar qué valores de fuerza son efectivos y soportables por el paciente.

III. OBJETIVOS

III.i. OBJETIVO GENERAL

✓ Diseñar y analizar modelo matemático y prueba experimental que conlleven a la obtención de la deflexión del ápice de la curvatura de la columna vertebral.

III.ii. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

✓ Establecer un modelo matemático con el cual se lleve a cabo el análisis de la deformación de la columna al someterla a las cargas de corrección.

✓ Registrar las fuerzas ejercidas por el prototipo en los puntos de apoyo y de corrección del paciente.

✓ Encontrar la deflexión de la curvatura de manera experimental a medida que se apliquen las fuerzas de corrección en el paciente.

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IV. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA IV.i. LA COLUMNA VERTEBRAL

La columna vertebral del ser humano se considera una estructura elemental del tronco, la cual se compone de 5 secciones: cervical, torácica o dorsal, lumbar, sacra y coxígea. (Partes de la columna vertebral, s.f.)

o SECCIÓN CERVICAL (7 VÉRTEBRAS)

Esta sección se encarga de sostener el cráneo, además de permitir el movimiento del cuello. o SECCIÓN TORÁCICA O DORSAL (12 VÉRTEBRAS)

A esta región se le atribuye la estabilidad en la zona superior e inferior de la espalda.

o SECCIÓN LUMBAR (5 VÉRTEBRAS)

Posee dos funciones; mecánica y neurológica. En su función mecánica, transmite el peso de cabeza y extremidades superiores hacia las extremidades inferiores. En cambio, en su función neurológica, se encarga de la protección de la médula espinal y todos los nervios que van hacia la pelvis y las piernas.

o SECCIÓN SACRA (5 VÉRTEBRAS)

Su función consiste en transmitir hacia la cintura pélvica el peso del cuerpo.

o SECCIÓN COXÍGEA (4 VERTEBRAS)

Anatómicamente, brinda el apoyo a un conjunto de músculos y ligamentos.

Figura 1. Regiones de la columna vertebral y sus curvaturas en el plano sagital.1

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7 Las curvaturas en el plano sagital mostradas en la Figura 1 se encuentran con normalidad en el esqueleto humano, ya que son aquellas que le permiten mayor resistencia a la columna vertebral.

IV.ii. ESCOLIOSIS

Comúnmente la escoliosis es conocida como la patología donde ocurre una desviación de la columna vertebral en el plano coronal. La curvatura lateral generada puede encontrarse en forma de C (hacia

derecha o izquierda) o de S, y aunque en la mayoría de los casos se desconoce el origen, se infiere

que derivan de anomalías óseas, musculares o posturales. (UrbanFisio, 2018)

Figura 2. Planos en los que se divide la columna vertebral (coronal, sagital y transversal).2

Figura 3. Columna vertebral normal vs columna vertebral con desviación en forma de C.3

2_{Ver Sasa Cukovic, Goran Devedzic, Lozica Ivanovic, Tanja Zecevic & K. Subburaj, Development of 3D kinematic model of the spine for}

idiopathic scoliosis simulation, 2010.

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IV.iii. ÁNGULO DE COBB

Un indicador cuantificable de la magnitud correspondiente a la curvatura de la columna vertebral es conocido como el ángulo de Cobb. Este mismo se mide teniendo en cuenta las vértebras iniciales y finales de la deformación de la columna. Sobre estas se trazan líneas perpendiculares que al prolongarse se interceptarán en un punto. El ángulo formado por la intercepción de las dos líneas hace referencia al ángulo de Cobb (Kurz, Bahadir, & Yeon Lee, 2015). En la siguiente figura es posible apreciar el ángulo mencionado.

Figura 4. Ángulo de Cobb de la curvatura de la columna vertebral.4

IV.iv. CAUSAS Y SINTOMATOLOGÍA DE PACIENTES CON ESCOLIOSIS

o

CAUSAS

No es tan frecuente determinar la causa exacta que origina la escoliosis en los pacientes; sin embargo, esta deformación puede ocasionarse por alguno de los siguientes factores (Mayo Clinic, 2017):

▪ Afecciones neuromusculares (parálisis cerebral infantil o distrofia muscular).

▪ Defectos originados desde el nacimiento que influyen en la formación ósea de la columna. ▪ Lesiones o infecciones en la columna.

▪ Postura inadecuada.

o SÍNTOMAS

En el momento de generarse una anomalía en la columna vertebral, los pacientes presentan la siguiente sintomatología (UrbanFisio, 2018):

▪ Dolor de espalda debido a grandes espasmos.

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9 ▪ Dolor en el cuello, hombros y cabeza.

▪ Diferencia en altura de hombros y cadera. ▪ Inclinación del tronco.

▪ Deformación en el tórax debido a la rotación de vértebras. ▪ Deformidad en las costillas.

IV.v. TIPOS DE ESCOLIOSIS

A continuación, se muestra una lista con los diferentes tipos de escoliosis (Tuespaldasana, 2012): ▪ Idiopática.

▪ Neuromuscular. ▪ Congénita. ▪ Degenerativa.

o IDIOPÁTICA

Se considera una escoliosis idiopática aquella a la cual se le desconoce su causa. Diversos factores se pueden atribuir a la formación de este tipo, incluyendo herencia genética. Por esto último, las personas cuya ascendencia presentan deformidades en la columna vertebral, poseen alta probabilidad de adquirir esta patología.

El 80% de los casos se les diagnostica una escoliosis idiopática, cuyo rango de incidencia ocurre en niños entre los 10 y 14 años (Bermejo, 2017).

• Infantil: Diagnosticado antes de los 3 años. • Juvenil: Diagnosticado en niños entre 4 y 10 años. • Adolescente: Diagnosticado en mayores de 10 años.

o NEUROMUSCULAR

El tipo de escoliosis neuromuscular se deriva de una enfermedad proveniente del sistema nervioso como la parálisis cerebral o distrofia muscular. Por esta razón, es factible que infantes adopten una escoliosis en forma de C, debido a que estos no pueden soportar su propio peso y tienden a dirigirse hacia un lado.

o CONGÉNITA

La escoliosis congénita es el resultado de malformaciones en la columna durante el período de gestación; es decir, previamente al nacimiento se presenta esta deformidad. Generalmente, suele ocurrir cuando un lado de una vértebra no se forma del todo (hemivértebra), o cuando las vértebras no llegan a segmentarse del todo, formando de esta manera un bloque vertebral, lo cual afecta la formación correcta de la columna vertebral.

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o DEGENERATIVA

Patologías como la osteoporosis, la fractura por compresión de la columna y la degeneración del disco intervertebral pueden ser las causas de que se genere en pacientes adultos este tipo de escoliosis. Durante el periodo de adultez existe mayor probabilidad de que se formen curvaturas con altos grados, específicamente mayor a 50°. Cuando la deformidad de la columna vertebral está por encima de 70° resulta alarmante para el paciente, ya que la escoliosis podría ocasionar problemas cardiopulmonares.

IV.vi. TIPOS DE CORSÉS

o CORSÉ DE WILMINGTON Y DE BOSTON

Se consideran chalecos con la capacidad de corregir curvaturas moderadas de la caja torácica y parte inferior de la columna vertebral. Estos se encuentran fabricados a partir de plástico rígido y ligero. La gran diferencia entre estos dos consiste en que el corsé de Wilmington se ajusta en la parte delantera, y su diseño es totalmente personalizado dependiendo de cada paciente. En cambio, el corsé de Boston se ajusta en la parte trasera y son diseñados por tallas (KidsHealth, 2017).

Figura 5. Corsé de Boston y corsé de Wilmington.56

o CORSÉ DE CHARLESTON

El uso de este tipo de corsé se limita a la jornada nocturna, ayudando a corregir la curvatura mientras la mantiene doblada. Se emplea cuando se trata de una deformación en forma de C (KidsHealth, 2017).

5_{Ver http://www.medicalexpo.es/prod/boston-brace/product-74664-453532.html} 6_{Ver https://www.ortosur.es/catalogo-de-productos/ortesis/corse/body-jacket/}

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11 Figura 6. Corsé de Charleston.7

o CORSÉ CORRECTIVO DINÁMICO SPINECOR

El material de este chaleco es de algodón, y para ajustar sobre el paciente se utilizan cinchas. Por este último detalle, resulta no tan eficaz el correctivo SpineCor comparado con los demás corsés (KidsHealth, 2017).

Figura 7. Corsé correctivo dinámico SpineCor.8

7_{Ver http://www.ortopediacurto.com/Corse-de-Providence-p-30-es.html}

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V. MODELO MATEMÁTICO PARA DEFLEXIÓN DE LA CURVATURA DE LA COLUMNA VERTEBRAL

V.i. ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y TEOREMA DE CASTIGLIANO9

A partir de la teoría de energía de deformación es posible encontrar el trabajo aplicado a un elemento curvo, cuando este es sometido a cargas externas. De este modo, para cargas de tensión y compresión, cortantes y flexión el trabajo o energía es igual al siguiente:

𝑈 = ∫ 𝐹 2 2𝐴𝐸 𝑑𝑥 𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑦 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 (1) 𝑈 = ∫𝐶𝑉 2 2𝐴𝐺 𝑑𝑥 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 (2) 𝑈 = ∫𝑀 2 2𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝐹𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 (3)

Donde, 𝐹 se refiere a la carga aplicada (tensión o compresión), 𝑉 es equivalente a la carga cortante transversal, 𝑀 es el momento por flexión, 𝐶 corresponde al factor de corrección de la energía de deformación para cortante transversal, 𝐴 equivale al área de sección transversal, 𝐸 es igual al módulo de elasticidad, 𝐺 es el módulo de rigidez e 𝐼 hace referencia a la inercia del elemento.

Un método de mayor simplicidad para encontrar la deflexión de un elemento curvo es derivando la energía de deformación mencionada con anterioridad. Este método es conocido como el teorema de

Castigliano, el cual estipula que cuando un sistema elástico es sometido a cargas y momentos, su

desplazamiento será equivalente a la derivada parcial de la energía de deformación con respecto a la carga aplicada.

Por lo tanto, la deflexión será la siguiente:

𝛿𝑖=

𝜕𝑈 𝜕𝐹𝑖

𝐷𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 (4)

Donde 𝛿𝑖 corresponde al desplazamiento del elemento en el punto de aplicación de la fuerza, y 𝐹𝑖 es

la carga aplicada.

9_{Ver Richard G. Budynas y J. Keith Nisbett, 𝑆ℎ𝑖𝑔𝑙𝑒𝑦´𝑠 𝑀𝑒𝑐ℎ𝑎𝑛𝑖𝑐𝑎𝑙 𝐸𝑛𝑔𝑖𝑛𝑒𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐷𝑒𝑠𝑖𝑔𝑛, 9th ed., sec. 4-7, 4-8, 4-9, McGraw-Hill, New}

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13 Por ende, 𝛿𝑖= 𝜕 𝜕𝐹𝑖 (∫ 𝐹 2 2𝐴𝐸 𝑑𝑥) + 𝜕 𝜕𝐹𝑖 (∫𝐶𝑉 2 2𝐴𝐺 𝑑𝑥) + 𝜕 𝜕𝐹𝑖 (∫𝑀 2 2𝐸𝐼 𝑑𝑥) (5)

Teniendo en cuenta lo anterior, resulta óptimo obtener la deflexión directamente pasando la derivada parcial dentro de la integral, en vez de hallar la energía de deformación a partir de la integral y luego la deflexión con la derivada parcial.

De esta manera se tiene,

𝛿𝑖 = ∫ 𝜕 𝜕𝐹𝑖 (𝐹 2 2𝐴𝐸 ) 𝑑𝑥 + ∫ 𝜕 𝜕𝐹𝑖 (𝐶𝑉 2 2𝐴𝐺) 𝑑𝑥 + ∫ 𝜕 𝜕𝐹𝑖 (𝑀 2 2𝐸𝐼) 𝑑𝑥 (6)

Resolviendo lo anterior se obtiene,

𝛿𝑖 = ∫ 1 𝐴𝐸(𝐹 𝜕𝐹 𝜕𝐹𝑖 ) 𝑑𝑥 + ∫ 𝐶 𝐴𝐺(𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝐹𝑖 ) 𝑑𝑥 + ∫ 1 𝐸𝐼(𝑀 𝜕𝑀 𝜕𝐹𝑖 ) 𝑑𝑥 (7)

V.ii. PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO DEL MODELO TEÓRICO

La curvatura de la columna vertebral en el plano coronal conocida como escoliosis, puede llegar a corregirse, siempre y cuando, sea sometida a cargas que permitan una efectiva deflexión. Por esta misma razón, se plantea un modelo matemático con el cual se lleva a cabo el análisis de la deformación de la columna a partir de cargas aplicadas.

En primera instancia, se asume la curvatura como un arco completo, con una carga 𝐹 aplicada en el ápice y con restricciones en A y en B, como se muestra en la siguiente figura:

Figura 8. Esquema en forma de arco de la curvatura de la columna vertebral con una carga F aplicada en el punto C.

Asimismo, se ignoran los músculos y ligamentos, y se asume el arco del mismo material. Por esa razón, se tendrán en cuenta solamente las propiedades de los discos intervertebrales.

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14 Por simetría, se considera en un principio solamente la mitad del arco. Teniendo en cuenta esto, el diagrama de fuerzas es el siguiente:

Figura 9. Diagrama de fuerzas de la mitad del arco.

Partiendo de la teoría de energía de deformación, se obtiene que el trabajo o energía es igual a:

𝑈 = ∫ 𝐹𝑦𝜃 2 2𝐴𝐸 𝑅 𝑑𝜃 + ∫ 𝐹𝑥𝜃 2 2𝐴𝐸 𝑅 𝑑𝜃 𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑦 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 (8) 𝑈 = ∫𝐶𝐹𝑦𝑟 2 2𝐴𝐺 𝑅 𝑑𝜃 + ∫ 𝐶𝐹𝑥2_𝑟 2𝐴𝐺 𝑅 𝑑𝜃 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 (9) 𝑈 = ∫ 𝑀 2 2𝐴𝑒𝐸 𝑑𝜃 𝐹𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 (10)

Donde, 𝑅 es el radio de curvatura del arco, 𝑒 es equivalente a la excentricidad (𝑒 = 𝑅 − 𝑟𝑛) y 𝑟𝑛 es

el radio del eje neutro10.

Las fuerzas 𝐹_𝑦𝜃 y 𝐹_{𝑥 𝜃} también producen un momento. Por ende, 𝑈 = − ∫𝑀 𝐹𝑦𝜃 𝐴𝐸 𝑑𝜃 + ∫ 𝑀 𝐹_{𝑥 𝜃} 𝐴𝐸 𝑑𝜃 (11) 10

Ver Richard G. Budynas y J. Keith Nisbett, 𝑆ℎ𝑖𝑔𝑙𝑒𝑦´𝑠 𝑀𝑒𝑐ℎ𝑎𝑛𝑖𝑐𝑎𝑙 𝐸𝑛𝑔𝑖𝑛𝑒𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐷𝑒𝑠𝑖𝑔𝑛, 9th ed., sec. 3-18, McGraw-Hill, New York, 2011.

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15 La energía de deformación total es:

𝑈 = ∫ 𝐹𝑦𝜃 2 2𝐴𝐸 𝑅 𝑑𝜃 + ∫ 𝐹𝑥𝜃 2 2𝐴𝐸 𝑅 𝑑𝜃 + ∫ 𝐶𝐹𝑦2_𝑟 2𝐴𝐺 𝑅 𝑑𝜃 + ∫ 𝐶𝐹𝑥2_𝑟 2𝐴𝐺 𝑅 𝑑𝜃 + ∫ 𝑀2 2𝐴𝑒𝐸 𝑑𝜃 − ∫𝑀 𝐹𝑦𝜃 𝐴𝐸 𝑑𝜃 + ∫ 𝑀 𝐹_{𝑥 𝜃} 𝐴𝐸 𝑑𝜃 (12) 𝐹_𝑦𝜃=𝐹 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐹_𝑦𝑟=𝐹 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐹_{𝑥 𝜃}= 𝐹𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐹_{𝑥 𝑟}= 𝐹𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑀 = (𝑅 − 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜃)𝐹 2+ (𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝐹𝑥

Con la finalidad de encontrar 𝐹𝑥, se emplea el teorema de Castigliano, donde se deriva con respecto

a esta fuerza. 𝜹𝒙= ∫ 𝜕 𝜕𝐹𝑥 (𝐹𝑦𝜃 2 2𝐴𝐸) 𝑅 𝑑𝜃 + ∫ 𝜕 𝜕𝐹𝑥 (𝐹𝑥𝜃 2 2𝐴𝐸) 𝑅 𝑑𝜃 + ∫ 𝜕 𝜕𝐹𝑥 (𝐶𝐹𝑦𝑟 2 2𝐴𝐺) 𝑅 𝑑𝜃 + ∫ 𝜕 𝜕𝐹𝑥 (𝐶𝐹𝑥𝑟 2 2𝐴𝐺) 𝑅 𝑑𝜃 + ∫ 𝜕 𝜕𝐹𝑥 ( 𝑀 2 2𝐴𝑒𝐸) 𝑑𝜃 − ∫ 𝜕 𝜕𝐹𝑥 (𝑀 𝐹𝑦𝜃 𝐴𝐸 ) 𝑑𝜃 + ∫ 𝜕 𝜕𝐹𝑥 (𝑀 𝐹𝑥 𝜃 𝐴𝐸 ) 𝑑𝜃 (13) 𝜹𝒙 = ∫ 1 𝐴𝐸(𝐹𝑦𝜃 𝜕𝐹_𝑦𝜃 𝜕𝐹𝑥 ) 𝑅 𝑑𝜃 + ∫ 1 𝐴𝐸(𝐹𝑥 𝜃 𝜕𝐹_{𝑥 𝜃} 𝜕𝐹𝑥 ) 𝑅 𝑑𝜃 + ∫ 𝐶 𝐴𝐺(𝐹𝑦𝑟 𝜕𝐹_𝑦𝑟 𝜕𝐹𝑥 ) 𝑅 𝑑𝜃 + ∫ 𝐶 𝐴𝐺(𝐹𝑥 𝑟 𝜕𝐹_{𝑥 𝑟} 𝜕𝐹𝑥 ) 𝑅 𝑑𝜃 + ∫ 1 𝐴𝑒𝐸(𝑀 𝜕𝑀 𝜕𝐹𝑥 ) 𝑑𝜃 − ∫ 1 𝐴𝐸( 𝜕 (𝑀 𝐹_𝑦𝜃) 𝜕𝐹𝑥 ) 𝑑𝜃 + ∫ 1 𝐴𝐸( 𝜕(𝑀 𝐹_{𝑥 𝜃}) 𝜕𝐹𝑥 ) 𝑑𝜃 (14)

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16 𝐹_{𝑥 𝜃} = 𝐹𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜕𝐹_{𝑥 𝜃} 𝜕𝐹𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐹_{𝑥 𝑟}= 𝐹𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜕𝐹_{𝑥 𝑟} 𝜕𝐹𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑀 = (𝑅 − 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜃)𝐹 2+ (𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝐹𝑥 𝜕𝑀 𝜕𝐹𝑥 = 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑀 𝐹_𝑦𝜃 = [(𝑅 − 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜃)𝐹 2+ (𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝐹𝑥] ( 𝐹 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 ) 𝜕 (𝑀 𝐹_𝑦𝜃) 𝜕𝐹𝑥 =𝐹 2 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑀 𝐹_{𝑥 𝜃}= [(𝑅 − 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜃)𝐹 2+ (𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝐹𝑥] ( 𝐹𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜃 ) 𝜕(𝑀 𝐹_{𝑥 𝜃}) 𝜕𝐹𝑥 = (𝑅 − 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜃)𝐹 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 2𝐹𝑥𝑅 𝑠𝑒𝑛 2_𝜃

Al reemplazar los términos anteriores en la ecuación 14 y teniendo presente que es medio arco, se obtiene lo siguiente: 𝜹𝒙= 𝐹𝑥𝑅 𝐴𝐸 ∫ 𝑠𝑒𝑛 2_𝜃 𝜋/2 0 𝑑𝜃 +𝐹𝑥𝐶𝑅 𝐴𝐺 ∫ 𝑐𝑜𝑠 2_𝜃 𝜋/2 0 𝑑𝜃 + 𝑅 2 𝐴𝑒𝐸∫ ( 𝐹 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝐹 2 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐹𝑥 𝑠𝑒𝑛 2_{𝜃) 𝑑𝜃} 𝜋/2 0 − 𝐹𝑅 2𝐴𝐸∫ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜋 2 0 𝑑𝜃 + 𝑅 𝐴𝐸∫ ( 𝐹 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝐹 2 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + 2𝐹𝑥 𝑠𝑒𝑛 2_{𝜃) 𝑑𝜃} 𝜋 2 0 (15) 𝜹𝒙= ( 𝜋 4) ( 𝐹𝑥𝑅 𝐴𝐸) + ( 𝜋 4) ( 𝐹𝑥𝐶𝑅 𝐴𝐺 ) − ( 1 4) ( 𝐹𝑅 𝐴𝐸) + ( 𝜋 2) ( 𝐹𝑥𝑅 𝐴𝐸) + ( 1 2) ( 𝐹𝑅 𝐴𝐸) − ( 1 4) ( 𝐹𝑅 𝐴𝐸) + ( 𝜋 4) ( 𝐹𝑥𝑅2 𝐴𝑒𝐸) + (1 2) ( 𝐹𝑅2 𝐴𝑒𝐸) − ( 1 4) ( 𝐹𝑅2 𝐴𝑒𝐸) = 0 (16)

Teniendo en cuenta que, la deflexión en 𝑥 es igual cero, es posible despejar 𝐹𝑥 de la ecuación.

𝐹𝑥= −

𝐹𝑅

3𝜋𝑒 + 𝜋𝑅 +𝜋𝑒𝐸𝐶_𝐺

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17 De ahora en adelante, se definirá S como:

𝑆 = 3𝜋𝑒 + 𝜋𝑅 +𝜋𝑒𝐸𝐶 𝐺

Ahora bien, conociendo 𝐹𝑥 se puede obtener la deflexión en el ápice de la curva (punto C), a través

del teorema de Castigliano. Esta vez, derivando con respecto a 𝐹.

𝜹𝑪= ∫ 𝜕 𝜕𝐹( 𝐹𝑦𝜃 2 2𝐴𝐸) 𝑅 𝑑𝜃 + ∫ 𝜕 𝜕𝐹( 𝐹𝑥𝜃 2 2𝐴𝐸) 𝑅 𝑑𝜃 + ∫ 𝜕 𝜕𝐹( 𝐶𝐹𝑦𝑟 2 2𝐴𝐺) 𝑅 𝑑𝜃 + ∫ 𝜕 𝜕𝐹( 𝐶𝐹𝑥𝑟 2 2𝐴𝐺) 𝑅 𝑑𝜃 + ∫ 𝜕 𝜕𝐹( 𝑀2 2𝐴𝑒𝐸) 𝑑𝜃 − ∫ 𝜕 𝜕𝐹( 𝑀 𝐹_𝑦𝜃 𝐴𝐸 ) 𝑑𝜃 + ∫ 𝜕 𝜕𝐹( 𝑀 𝐹_{𝑥 𝜃} 𝐴𝐸 ) 𝑑𝜃 (18) 𝜹𝑪 = ∫ 1 𝐴𝐸(𝐹𝑦𝜃 𝜕𝐹_𝑦𝜃 𝜕𝐹 ) 𝑅 𝑑𝜃 + ∫ 1 𝐴𝐸(𝐹𝑥 𝜃 𝜕𝐹_{𝑥 𝜃} 𝜕𝐹 ) 𝑅 𝑑𝜃 + ∫ 𝐶 𝐴𝐺(𝐹𝑦𝑟 𝜕𝐹_𝑦𝑟 𝜕𝐹 ) 𝑅 𝑑𝜃 + ∫ 𝐶 𝐴𝐺(𝐹𝑥 𝑟 𝜕𝐹_{𝑥 𝑟} 𝜕𝐹 ) 𝑅 𝑑𝜃 + ∫ 1 𝐴𝑒𝐸(𝑀 𝜕𝑀 𝜕𝐹) 𝑑𝜃 − ∫ 1 𝐴𝐸( 𝜕 (𝑀 𝐹_𝑦𝜃) 𝜕𝐹 ) 𝑑𝜃 + ∫ 1 𝐴𝐸( 𝜕(𝑀 𝐹_{𝑥 𝜃}) 𝜕𝐹 ) 𝑑𝜃 (19) 𝐹_𝑦𝜃 =𝐹 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜕𝐹_𝑦𝜃 𝜕𝐹 = 1 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐹_𝑦𝑟=𝐹 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜕𝐹_𝑦𝑟 𝜕𝐹 = 1 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐹_{𝑥 𝜃} = −𝐹𝑅 𝑆 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜕𝐹_{𝑥 𝜃} 𝜕𝐹 = − 𝑅 𝑆 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐹_{𝑥 𝑟}= −𝐹𝑅 𝑆 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜕𝐹_{𝑥 𝑟} 𝜕𝐹 = − 𝑅 𝑆 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑀 = (𝑅 − 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜃)𝐹 2− (𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃) ( 𝐹𝑅 𝑆 ) 𝜕𝑀 𝜕𝐹 = 1 2(𝑅 − 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜃) − 𝑅2 𝑆 𝑠𝑒𝑛𝜃

(19)

18 𝑀 𝐹_𝑦𝜃 = [(𝑅 − 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜃)𝐹 2− (𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃) ( 𝐹𝑅 𝑆 )] ( 𝐹 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 ) 𝜕 (𝑀 𝐹_𝑦𝜃) 𝜕𝐹 = (𝑅 − 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝐹 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝐹𝑅2 𝑆 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑀 𝐹_{𝑥 𝜃}= [(𝑅 − 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜃)𝐹 2− (𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃) ( 𝐹𝑅 𝑆 )] (− 𝐹𝑅 𝑆 𝑠𝑒𝑛𝜃 ) 𝜕(𝑀 𝐹_{𝑥 𝜃}) 𝜕𝐹 = −(𝑅 − 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝐹𝑅 𝑆 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 2𝐹𝑅3 𝑆2 𝑠𝑒𝑛2𝜃

Al reemplazar los términos anteriores en la ecuación 19 y teniendo presente que es medio arco, se obtiene lo siguiente: 𝜹𝑪 = 𝐹𝑅 4𝐴𝐸∫ 𝑐𝑜𝑠 2_𝜃 𝜋/2 0 𝑑𝜃 + 𝐹𝑅 3 𝐴𝐸𝑆2∫ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝜋/2 0 𝑑𝜃 +𝐹𝐶𝑅 4𝐴𝐺∫ 𝑠𝑒𝑛 2_𝜃 𝜋/2 0 𝑑𝜃 +𝐹𝐶𝑅 3 𝐴𝐺𝑆2∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝜋/2 0 𝑑𝜃 +𝐹𝑅 2 𝐴𝑒𝐸∫ ( 1 2− 1 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑅 𝑆 𝑠𝑒𝑛𝜃) 2 𝑑𝜃 𝜋/2 0 −𝐹𝑅 𝐴𝐸∫ ( 1 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 1 2cos 2_{𝜃 −}𝑅 𝑆 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝑑𝜃 𝜋 2 0 +𝐹𝑅 2 𝐴𝐸𝑆∫ (−𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + 2𝑅 𝑆 𝑠𝑒𝑛 2_{𝜃) 𝑑𝜃} 𝜋 2 0 (20) 𝜹𝑪 = ( 𝜋 16) ( 𝐹𝑅 𝐴𝐸) + ( 𝜋 4) ( 𝐹𝑅3 𝐴𝐸𝑆2) + ( 𝜋 16) ( 𝐹𝐶𝑅 𝐴𝐺) + ( 𝜋 4) ( 𝐹𝐶𝑅3 𝐴𝐺𝑆2) − ( 1 2) ( 𝐹𝑅 𝐴𝐸) + ( 𝜋 8) ( 𝐹𝑅 𝐴𝐸) + (𝜋 2) ( 𝐹𝑅3 𝐴𝐸𝑆2) + ( 3𝜋 16) ( 𝐹𝑅2 𝐴𝑒𝐸) − ( 1 2) ( 𝐹𝑅2 𝐴𝑒𝐸) + ( 𝜋 4) ( 𝐹𝑅4 𝐴𝑒𝐸𝑆2) − ( 1 2) ( 𝐹𝑅3 𝐴𝑒𝐸𝑆) (21)

Con el fin de obtener la deflexión del arco completo, se multiplica la deflexión hallada previamente por 2.

𝜹_𝑪𝑻= 𝟐𝜹𝑪

Los valores de área de sección transversal (𝐴) y radio de curvatura (𝑅) se consiguieron a través del modelo CAD (mostrado en la siguiente sección). Asimismo, el factor de corrección de la energía de deformación para cortante transversal de una sección circular se encontró en la tabla 4-1 de Richard G. Badinas y J. Keith Gisbert, 𝑆ℎ𝑖𝑔𝑙𝑒𝑦´𝑠 𝑀𝑒𝑐ℎ𝑎𝑛𝑖𝑐𝑎𝑙 𝐸𝑛𝑔𝑖𝑛𝑒𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐷𝑒𝑠𝑖𝑔𝑛, 9th ed., sec. 4-7, McGraw-Hill, New York, 2011.Por último, de la literatura se obtuvieron los valores de módulo de elasticidad y módulo de rigidez para discos intervertebrales mostrados a continuación:

(20)

19 Tabla 1. Valores de módulo de elasticidad y módulo de rigidez empleados para encontrar la deflexión de la curvatura.

Variables Valores

Módulo de Elasticidad (𝐸) [𝑀𝑃𝑎] 11 _1.0

Módulo de Rigidez (𝐺) [𝑀𝑃𝑎] 12 _5.35

VI. MODELO CAD DE LA COLUMNA VERTEBRAL DE LA PACIENTE

Considerando de gran importancia la visualización en 3D de la columna vertebral, para así estimar los valores de radio de curvatura y área de sección transversal, se descargó en Autodesk Inventor 2019 un modelo obtenido por la tecnología CAD-CAM, en el cual se pudo realizar las modificaciones pertinentes para llevar la columna a la condición de la paciente. Es decir, para desviar esta misma formando una curvatura con ángulo de Cobb de 28°.

En las siguientes imágenes es posible apreciar el modelo de la columna vertebral en condiciones normales (sin escoliosis):

Figura 10. Imagen renderizada de la columna vertebral en condiciones normales desde el plano coronal.

11_{Ver Brody A. Frost, Sandra Camarero-Espinosa & E. Johan Foster, 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑠 𝑓𝑜𝑟 𝑡ℎ𝑒 𝑆𝑝𝑖𝑛𝑒: 𝐴𝑛𝑎𝑡𝑜𝑚𝑦, 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑠, 𝑎𝑛𝑑 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠,}

2019.

12_{Ver A. Vinciguerra & M. Robles, 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑑𝑒}

(21)

20 Figura 11. Imagen renderizada de la columna vertebral en condiciones normales desde el plano sagital.

En primer lugar, se desviaron los planos de cada una de las vértebras involucradas (desde la T9 hasta

la L4), para así lograr un modelo con escoliosis de 28°. Asimismo, se eliminaron los discos

intervertebrales, ya que a medida que la columna se desvía estos cambian su forma. Por ende, se tuvieron que construir nuevamente.

(22)

21 Figura 13. Modelo de la columna vertebral con la desviación requerida.

Posteriormente, como se había mencionado con anterioridad, se realizaron los nuevos discos intervertebrales que estarían ubicados entre las vértebras desviadas.

(23)

22 Figura 15. Imagen final renderizada de la columna vertebral con condición de escoliosis de 28° desde el plano sagital.

VII. DISEÑO Y DESARROLLO DE PRUEBA EXPERIMENTAL

VII.i. PROTOTIPO

VII.i.a. REQUERIMIENTOS

o Permitirle un rango de movilidad más amplio al paciente.

o A largo plazo, prevenir dolores, impedir el aumento en la curvatura, corregir la postura y mejorar la comodidad.

o Establecer 3 puntos de actuación de la fuerza (2 puntos de apoyo y 1 punto de corrección). o Ayudar a la respiración del paciente.

o Incentivar su uso por largo tiempo siendo este atractivo y de fácil acomodación.

o

Facilidad de un aseo efectivo.

VII.i.b. CONDICIÓN DE LA PACIENTE

Con la finalidad de realizar un prototipo con el cual fuese posible llevar a cabo la prueba experimental, se seleccionó en un principio una paciente con la condición médica.13 Como se observa en la imagen mostrada a continuación, la paciente con edad de 23 años presenta una escoliosis idiopática con ángulo de Cobb de 28°, originada por una displasia de cadera. Las vértebras comprometidas son desde la T9 (vértebra torácica 9) hasta la L4 (vértebra lumbar 4).

13_{Debe ser mencionado que la paciente por voluntad propia decidió ser parte del proyecto y, por ende, que las pruebas se llevaran a cabo}

sobre ella. Solamente se trabajó con un paciente, ya que resulta complicado conseguir más personas que posean la disponibilidad y acepten ser estudiados.

(24)

23 Figura 16. Radiografía de la paciente donde se muestra su escoliosis de 28°.

VII.i.c. ¿POR QUÉ EL ARNÉS DE KALLABIS?

Inicialmente, se decidió elaborar un sistema de correas que, a diferencia de un corsé regular, permite que el usuario posea mayor movilidad, y pueda desarrollar sus actividades diarias sin restricción alguna. Por esta misma razón, se estableció realizar un prototipo basado en el arnés de Kallabis, con el cual se ejerciera fuerza mediante un sistema simple de tres puntos.

Teniendo en cuenta los requerimientos propuestos previamente, el arnés de Kallabis resulta ser atractivo, ya que es sencilla la acomodación para el paciente, y se puede asear fácilmente. Además de lo mencionado, posee la capacidad para contrarrestar la convexidad de la curvatura, por ende, mejorará dolores y, así mismo, la calidad de vida del usuario.

Figura 17. Arnés de Kallabis.14

(25)

24

VII.i.d. ELABORACIÓN DE PROTOTIPO

Con base en la radiografía mostrada en la Figura 16, se logró establecer en qué puntos debían estar ubicadas las placas que ejercerían las fuerzas sobre el paciente. A partir de la vértebra cervical 7, la ubicación de los puntos fueron las siguientes:

o El primero a 24 cm (punto de apoyo). o El segundo a 35 cm (punto de corrección). o El tercero a 44 cm (punto de apoyo).

Los materiales empleados para la elaboración del arnés se listan a continuación: ▪ Placas circulares de poliestireno (1 mm de espesor).

▪ Reata de nylon (color azul).

▪ Broches y hebillas plásticas ajustables.

Con ayuda de los especialistas del Centro Técnico de Ortopedia, se procedió a la elaboración del arnés.

Figura 18. Diseño del arnés ajustado a la condición de la paciente.

(26)

25 Figura 20. Prototipo final basado en el arnés de Kallabis.

VII.ii. PROGRAMA DE MEDICIÓN DE FUERZAS

Inicialmente, se desarrolló un código en el programa Arduino con el fin de adquirir datos mediante los sensores de fuerza. Estos sensores varían su resistencia a medida que se les aplica una carga sobre su área, por ende, se desarrolló un divisor de voltaje para así adquirir la variación de fuerza entre 0 y 5 V.

(27)

26 Figura 22. Divisor de voltaje para obtener la variación de fuerza entre 0 y 5 V de cada uno de los sensores.

Con el propósito de determinar la curva característica del sistema, se colocó sobre un sensor de referencia distintos pesos (entre 10 g y 3000 g), registrando al mismo tiempo los valores de voltaje arrojados por el multímetro. A continuación, se presenta la gráfica obtenida de Masa vs Voltaje:

Figura 23. Gráfica de resultados de masa vs voltaje.

De la gráfica anterior fue posible hallar la ecuación representativa del sistema, la cual se modificó para obtener valores de salida en unidades de Newtons.

El programa empleado para la adquisición de datos fue desarrollado en LabVIEW de National

Instruments. En este se programó la comunicación entre el computador y Arduino, la transformación

de la señal de voltaje a fuerza (mediante la ecuación hallada previamente), y la lógica para guardar los datos en una matriz.

y = 33,931x6_{- 463,67x}5_{+ 2401,3x}4_{- 5762,5x}3_{+ 6195,1x}2_{- 2217,5x + 24,531} R² = 0,9398 -500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 0 1 2 3 4 5 6 M as a [Kg] Voltaje [V]

Masa vs Voltaje

(28)

27 Figura 24. Código del programa de LabVIEW.

VII.iii.PROCEDIMIENTO DE REGISTRO DE DATOS EXPERIMENTALES

En esta sección se detallará el proceso de adquisición de datos experimentales, el cual consistió en el registro de 10 fuerzas promedio ejercidas por el arnés en los dos puntos de apoyo (sensores 1 y 3) y en el punto de corrección (sensor 2), y en obtener las deflexiones de la columna vertebral de la paciente para cada fuerza de corrección.

Previamente a detallar el procedimiento llevado a cabo, es necesario indicar los instrumentos y equipos empleados.

Tabla 2. Instrumentos utilizados.

Variable de medición

Instrumento Marca Resolución

Fuerza [𝑁] Sensores de fuerza FSR 40615 _{0.1 𝑁}

Longitud [𝑚𝑚] Flexómetro - 1 𝑚𝑚

Tabla 3. Equipo utilizado.

Equipo Referencia

Arduino UNO

(29)

28 Figura 25. Sensores (FSR 406) utilizados para el registro de fuerzas.

Figura 26. Arduino utilizado para el registro de fuerzas.

Figura 27. Montaje experimental de adquisición de datos.

Para iniciar el proceso de adquisición de datos, fue relevante ajustar los valores que aparecían en un principio en el programa de medición de fuerzas, nivelándolos en cero. Cabe resaltar que, estos valores corresponden a la función con la cual se programaron los sensores.

(30)

29 Figura 28. Imagen del programa de medición donde aparecen los valores iniciales de los sensores.

(31)

30 Dado que, los sensores también registran valores cuando estos se flexionan, se ajustó el arnés al molde con la figura de la paciente, con la finalidad de lograr sensar (sin tener inconvenientes con la

respiración de la paciente) estos valores de flexión. Luego, al obtener estos datos se volvió a nivelar

el programa, para que los valores que se sensaran después solamente equivalieran a los de la fuerza neta ejercidos por el arnés; es decir, sin tener en cuenta la flexión.

Figura 30. Molde de la figura de la paciente.16

Figura 31. Imagen del programa de medición donde aparecen los valores de flexión.

(32)

31 Posteriormente, se llevó a cabo la toma de datos acomodando el arnés en la paciente, y situando cada uno de los sensores en los tres puntos de medición. En primer lugar, se ajustó cierta fuerza en el punto de corrección (sensor 2), y al tener esta como referencia, se logró adecuar el arnés para que en los dos puntos de apoyo la fuerza sensada fuera aproximadamente la mitad de la fuerza en el punto 2. Este mismo procedimiento se realizó para 10 fuerzas distintas de corrección.

Luego de haber realizado el registro de los datos de fuerzas (de apoyo y de corrección), se procedió a marcar la trayectoria que seguían las vértebras de la paciente en su condición normal de escoliosis. Ajustando el arnés en la paciente para cada fuerza de corrección, se volvió a marcar el recorrido de las vértebras, para así poder establecer la distancia entre los ápices de las dos curvas. Esta distancia encontrada equivale a la deflexión de la curvatura hallada experimentalmente.

(33)

32 Figura 33. Imagen de la marcación realizada siguiendo la trayectoria de las vértebras de la paciente sin el arnés (línea

roja) y con el arnés (línea negra).

VIII. CÁLCULO DE INCERTIDUMBRES

Es de gran relevancia destacar que, al momento de realizar la toma de datos prevalecen errores sistemáticos y aleatorios. Por esta razón, en esta sección se detallarán los cálculos de las incertidumbres correspondientes a cada una de las variables empleadas.

Generado por el instrumento de medición, en este caso, los sensores de fuerza y el flexómetro, se encuentra el error sistemático. Es posible obtener este mismo a partir de la siguiente ecuación:

𝐸𝑠𝑥 =

𝑅

2 (22)

Donde, 𝐸𝑠𝑥 representa el error de sesgo de una variable de medición 𝑥, y 𝑅 equivale a la resolución

del instrumento.

Por otro lado, con una confiabilidad del 95% se halló un intervalo de confianza para las fuentes de

error aleatorias (fuerzas de apoyo y de corrección), empleando la distribución de probabilidad t-Student. Por ende, el error aleatorio se obtuvo utilizando la siguiente ecuación:

𝐸𝐴𝑥 = ± 𝑡(1−𝛼₂;(𝑛−1))

𝑆

√𝑛 (23)

Donde, 𝐸𝐴𝑥 es el error aleatorio de una variable de medición 𝑥, 𝑆 es equivalente a la desviación

estándar muestral, 𝑛 es igual al número de datos, y 𝑡₍₁₋𝛼 2;(𝑛−1))

representa la función inversa de la distribución t-Student, en la cual, 1 −𝛼

(34)

33 Figura 34. Intervalo de confianza a partir de la distribución de probabilidad t-Student.

La anterior figura ejemplifica la distribución de probabilidad t-Student, en la cual 1 − 𝛼 representa la confiabilidad, que en este caso es del 95%.

Para finalizar, se calculó la incertidumbre de las variables con la ecuación mostrada a continuación: 𝜎𝑥= √(𝐸𝑠𝑥)2+ (𝐸𝐴𝑥)2 (24)

Donde, 𝜎𝑥 representa la incertidumbre de una variable de medición 𝑥.

Cabe resaltar que, la incertidumbre de las fuerzas de apoyo y de corrección estuvieron dadas por el error sistemático proveniente de los sensores, y por el error aleatorio de la cantidad de datos sensados. Mientras que, la incertidumbre de las deflexiones medidas experimentalmente estuvieron dadas solamente por el error de sesgo proveniente del flexómetro.

IX. RESULTADOS

A continuación, se evidenciarán los resultados obtenidos por el modelo matemático y las pruebas experimentales.

Las pruebas experimentales consistieron en sensar las fuerzas ejercidas por el arnés en los dos puntos de apoyo (sensores 1 y 3) y en el punto de corrección (sensor 2). Teniendo en cuenta que, las fuerzas tanto el punto 1 como en el punto 3 deben ser iguales a la mitad de la fuerza en el punto 2, se ajustó el arnés para lograr este cometido. Cabe resaltar que, al momento de la respiración de la paciente los datos se distorsionaban, ya que al inhalar se sensaba una fuerza mayor y al exhalar las fuerzas se registraban negativas. Por esta razón, se filtraron los datos, eliminando en el programa aquellos que discreparan en mayor cantidad de los datos más estables. Para cada registro de datos (en total 10

registros) se halló el promedio de las fuerzas obtenidas por el programa y, asimismo, las

incertidumbres dadas por el error sistemático (proveniente de los sensores de medición) y por el error aleatorio (proveniente de la cantidad de datos sensados). Posteriormente, se midieron de forma experimental las deflexiones de la curvatura de la columna vertebral para cada promedio de fuerza de corrección. Además, se contrastaron estas deflexiones con aquellas halladas por el modelo matemático. De esta manera, se logró encontrar el error porcentual de: las deflexiones medidas experimentalmente con respecto a las obtenidas por el modelo.

(35)

34 En la siguiente imagen es posible observar que, al obtener en el punto 2 una fuerza de aproximadamente 3 N, las fuerzas sensadas en los puntos 1 y 3 son cercanas a la mitad de la fuerza de corrección.

Figura 35. Primer registro de datos de fuerzas por los sensores 1, 2 y 3.

Tabla 4. Promedio de fuerzas de apoyo y de corrección del primer registro de datos.

Fuerza de Apoyo (Sensor 1) [𝑵]

Fuerza de Corrección (Sensor 2) [𝑵]

1.36 ± 1.08 x 10-2 _{3.11 ± 3.78 x 10}-5 _{1.61 ± 1.01 x 10}-2

Tabla 5. Deflexión teórica y experimental de la columna vertebral para una fuerza de corrección promedio de 3.11 N.

Deflexión Teórica [𝒎𝒎]

Deflexión Experimental [𝒎𝒎]

(36)

35 Figura 36. Segundo registro de datos de fuerzas por los sensores 1, 2 y 3.

Tabla 6. Promedio de fuerzas de apoyo y de corrección del segundo registro de datos.

3.27 ± 1.56 x 10-2 _{5.15 ± 1.29 x 10}-2 _{2.88 ± 2.97 x 10}-3

(37)

36 Figura 37. Tercer registro de datos de fuerzas por los sensores 1, 2 y 3.

Tabla 8. Promedio de fuerzas de apoyo y de corrección del tercer registro de datos.

3.57 ± 2.14 x 10-2 _{6.90 ± 7.92 x 10}-2 _{3.59 ± 4.49 x 10}-2

(38)

37 Figura 38. Cuarto registro de datos de fuerzas por los sensores 1, 2 y 3.

Tabla 10. Promedio de fuerzas de apoyo y de corrección del cuarto registro de datos.

4.47 ± 4.55 x 10-3 _{10.11 ± 1.63 x 10}-2 _{5.14 ± 1.12 x 10}-2

(39)

38 Figura 39. Quinto registro de datos de fuerzas por los sensores 1, 2 y 3.

Tabla 12. Promedio de fuerzas de apoyo y de corrección del quinto registro de datos.

8.43 ± 2.31 x 10-2 _{15.28 ± 1.94 x 10}-2 _{8.26 ± 5.10 x 10}-2

(40)

39 Figura 40. Sexto registro de datos de fuerzas por los sensores 1, 2 y 3.

Tabla 14. Promedio de fuerzas de apoyo y de corrección del sexto registro de datos.

8.96 ± 8.13 x 10-2 _{18.43 ± 1.01 x 10}-1 _{9.31 ± 3.93 x 10}-2

(41)

40 Figura 41. Séptimo registro de datos de fuerzas por los sensores 1, 2 y 3.

Tabla 16. Promedio de fuerzas de apoyo y de corrección del séptimo registro de datos.

8.47 ± 3.11 x 10-2 _{19.09 ± 6.68 x 10}-2 _{9.30 ± 8.50 x 10}-2

(42)

41 Figura 42. Octavo registro de datos de fuerzas por los sensores 1, 2 y 3.

Tabla 18. Promedio de fuerzas de apoyo y de corrección del octavo registro de datos.

12.03 ± 2.04 x 10-1 _{21.40 ± 3.07 x 10}-2 _{12.90 ± 5.41 x 10}-2

(43)

42 Figura 43. Noveno registro de datos de fuerzas por los sensores 1, 2 y 3.

Tabla 20. Promedio de fuerzas de apoyo y de corrección del noveno registro de datos.

14.14 ± 2.30 x 10-1 _{29.09 ± 5.93 x 10}-1 _{12.37 ± 1.44 x 10}-2

(44)

43 Figura 44. Décimo registro de datos de fuerzas por los sensores 1, 2 y 3.

Tabla 22. Promedio de fuerzas de apoyo y de corrección del décimo registro de datos.

17.21 ± 1.90 x 10-1 _{34.62 ± 2.52 x 10}-1 _{18.81 ± 7.13 x 10}-2

(45)

44 En la siguiente tabla se logran evidenciar los resultados obtenidos de manera teórica (modelo

matemático) y de manera experimental (prototipo) junto al error relativo respectivo.

Tabla 24. Error porcentual de las deflexiones experimentales con respecto a las deflexiones teóricas para cada fuerza de corrección aplicada.

No. Datos Fuerza de corrección [𝑵] Deflexión Teórica [𝒎𝒎] Deflexión Experimental [𝒎𝒎] Error Porcentual [%] 1 3.11 0.55 1 81 2 5.15 0.92 2 118 3 6.90 1.23 2 63 4 10.11 1.80 3 67 5 15.28 2.72 4 47 6 18.43 3.28 4 22 7 19.09 3.40 5 47 8 21.40 3.81 8 110 9 29.09 5.17 8 55 10 34.62 6.16 9 46 X. DISCUSIÓN DE RESULTADOS

El cometido del proyecto ha sido diseñar y desarrollar tanto la prueba experimental como el modelo teórico, con el fin de garantizar la mayor precisión de los datos, y corroborar si efectivamente existe gran discrepancia entre los resultados obtenidos. Sin embargo, como en toda prueba prevalecen factores que afectan en cierta medida la obtención de los resultados esperados. Este es el caso de las pruebas experimentales, donde se pudo observar en un principio que factores como la respiración de la paciente y la sensibilidad de los sensores de medición influyeron en los registros de fuerzas. Por un lado, la respiración es el factor que más interviene en la toma de datos, puesto a que al inhalar y al exhalar las fuerzas sensadas no son estables y, por ende, no permite determinar con mayor exactitud la fuerza ejercida por el arnés en los tres puntos (dos de apoyo y uno de corrección). Razón por la cual, el proceso de registro de fuerzas requirió mayor tiempo, para así poder obtener grandes cantidades de datos, y con estos determinar qué fuerzas se mantenían más o menos constantes. De este modo, se filtraron los resultados eliminando lo más inestables, y así se logró hallar por cada registro un promedio de fuerzas en los puntos 1, 2 y 3, con sus respectivas incertidumbres. Estas incertidumbres se generaron no sólo por la resolución de los sensores, sino también por la cantidad de datos sensados.

Teniendo en cuenta que, desde el inicio del proyecto se estableció que los dos puntos de apoyo (puntos

1 y 3) serían igual a la mitad de la fuerza en el punto de corrección (punto 2), se ajustó el arnés para

lograr lo mencionado. No obstante, la respiración en este caso en particular generó que las fuerzas en los dos puntos de apoyo no fueran exactamente la mitad de la fuerza de corrección. Pero se puede evidenciar en los resultados, que estas fuerzas (puntos 1 y 3) son muy cercanas al valor que se espera. Un ejemplo de lo anterior es el octavo registro de datos, en el cual el promedio de la fuerza de corrección fue de 21.40 N, y el promedio de las fuerzas de apoyo fueron respectivamente 12.03 N y

(46)

45 12.90 N, los cuales no llegaron a ser tan cercanos a la mitad de la fuerza en el punto 2 (10.7 N). Mientras que, en el tercer registro de datos, el promedio de las fuerzas en los puntos 1 y 3 fueron respectivamente 3.57 N y 3.59 N, valores que se desviaron de la mitad de la fuerza de corrección (3.45 N) por 0.12 N y 0.14 N.

Por otro lado, se pudo evidenciar que existe una pequeña variación en las fuerzas sensadas en cada registro que se realizó, lo cual generó error aleatorio. Esto se debe a la sensibilidad de cada uno de los sensores empleados, otro factor que influyó en las pruebas experimentales. Es decir, el más mínimo movimiento de la paciente fue sensado, y eso explica ese pequeño cambio en las fuerzas. Dados los resultados teóricos y experimentales de deflexión, se logró llegar a la conclusión mediante el error relativo, que estos valores divergen en gran cantidad. Es decir, el mayor error porcentual que se obtuvo fue de 118% (deflexión teórica de 0.92 mm y deflexión experimental de 2 mm), seguido por el de 110% (deflexión teórica de 3.81 mm y deflexión experimental de 8 mm). Estos errores relativos pueden disminuir si se hacen correcciones tanto en la prueba experimental como en el modelo matemático.

En cuanto a las mediciones experimentales de deflexión, fue posible observar que estas difieren de aquellas halladas por el modelo matemático, siendo las últimas menores a las obtenidas experimentalmente por el arnés. Lo anterior mencionado, puede explicarse con el hecho de que marcar un punto en la espalda de la paciente con la trayectoria que sigue su columna vertebral, no es considerado un método tan efectivo. Debido a que, la columna se encuentra rodeada por músculos que, dependiendo de la condición física de la paciente, no permiten ver con claridad la posición de algunas vértebras. Esta es la razón por la cual, se considera con mayor efectividad realizar la toma de radiografías mientras el arnés se encuentre en uso por el usuario, de manera que, se pueda determinar el nuevo ángulo de Cobb y la deflexión de la curvatura de la columna vertebral.

El planteamiento de un modelo teórico permite un acercamiento al comportamiento que sigue la curvatura de la paciente, cuando se aplican ciertas cargas de corrección. Sin embargo, cabe la posibilidad de que, se deba reconsiderar esta deformación de la columna vertebral, no como un arco exactamente. Esto conlleva a revisar con mayor profundidad otro tipo de modelos matemáticos, o en caso tal, determinar mediante la energía de deformación y el teorema de Castigliano la deflexión, pero de cada uno de los componentes de la columna vertebral; es decir, tanto de los discos intervertebrales como de las vértebras, sin considerar la curvatura como un arco completo. Otro factor que pudo ocasionar discrepancia en la exactitud de los resultados del modelo, son los valores empleados de módulo de elasticidad y módulo de rigidez. Estos últimos se asumieron como aquellos encontrados en la literatura, pero para los discos intervertebrales, sin tener en cuenta los valores correspondientes a las vértebras. De algún u otro modo, es posible que estos módulos sean una de las razones del margen de error encontrado, ya que como se pudo apreciar en la literatura estos valores pueden variar. Es necesario mencionar que otro de los factores que intervino en los resultados del modelo matemático, fue el hecho de haber ignorado los músculos y ligamentos, los cuales también influyen en el comportamiento de la columna vertebral.

Por último, se logró evidenciar que a pesar de aplicar mediante el arnés una fuerza de corrección máxima de 34.62 N, con lo cual experimentalmente se consiguió una deflexión de 9 mm, la paciente no pudo soportarla por mucho tiempo, ya que presentaba dolor en sus rodillas. Por ende, la carga máxima efectiva y soportable por la paciente fue de 21.40 N con una deflexión de 8 mm.

(47)

46

XI. CONCLUSIONES

• Se logró registrar cada una de las fuerzas ejercidas por el arnés en los dos puntos de apoyo y en el punto de corrección del paciente.

• Se obtuvieron las deflexiones correspondientes a la curvatura de la paciente de manera experimental para cada una de las fuerzas de corrección, dentro de las cuales las mayores deflexiones se encontraron para cargas entre 21.40 y 34.62 N.

• Al obtener el error relativo se pudo evidenciar que existe gran discrepancia entre los datos de deflexión obtenidos por el modelo matemático y por las pruebas experimentales, con un error porcentual máximo de 118%.

XII. RECOMENDACIONES

o Se recomienda realizar la toma de radiografías de la paciente con el arnés y sin el arnés para lograr encontrar el nuevo ángulo de Cobb y, así mismo, determinar el nuevo radio de curvatura y deflexión de la columna vertebral.

o Por otro lado, se sugiere realizar mediante el modelo CAD de la columna vertebral las simulaciones respectivas, con la finalidad de obtener nuevos valores de deflexión para cada carga aplicada, y contrarrestar estos con los anteriores encontrados.

o Se propone ajustar el modelo matemático previamente planteado, teniendo en cuenta los músculos y ligamentos.

(48)

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XIII. REFERENCIAS

Bermejo, N. (31 de Julio de 2017). Escoliosis. Recuperado el 02 de Noviembre de 2018, de https://www.webconsultas.com/salud-al-dia/escoliosis/tipos-de-escoliosis-6683

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Cukovic, S., Devedzic, G., Ivanovic, L., Zecevic, T., & Subburaj, K. (2010). Development of 3D kinematic

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