Existencia de soluciones semipositivas para sistemas lineales y no lineales vinculados a Modelos de Leontief. José Ángel Silva Reus

UNIVERSIDAD DE ALICANTE

F A C U L T A D D E C I E N C I A S

EXISTENCIA DE SOLUCIONES SEMIPOSITIVAS

PARA SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES

VINCULADOS A MODELOS DE LEONTIEF

Memoria presentada por JOSE ANGEL SILVA REUS para optar al grado de Doctor en Ciencias

CARMEN HERRERO BLANCO, PROFESORA TITU-LAR DE LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y EM-PRESARIALES DE LA UNIVERSIDAD DE ALICANTE,

CERTIFICA : Que la presente Memoria : "EXISTENCIA DE SOLUCIONES SEMIPOSITIVAS PARA SISTEMAS

de Estadística y Econometría de la Facul-tad de Ciencias Económicas y Empresaria-les de la Universidad de Alicante, por el

Licenciado en Ciencias Matemáticas, D .

. José Angel Silva Reus, y constituye su

Tesis para optar al Grado de Doctor en Ciencias, Sección de Matemáticas .

Y para que conste, en cumpli-miento de la legislación vigente, presento ante la Facultad de Ciencias de la Univer

sidad de Alicante la -referida Tesis

Docto-ral, _{firmando el presente certificado en}

Alicante, a quince de Noviembre de mil no vecientos ochenta y cuatro .

LINEALES Y NO LINEALES VINCULADOS A MODELOS DE LEONTIEF", ha sido realiza-da bajo. su dirección en el Departamento

Quiero hacer constar mi más sincero agra-decimiento a la profesora Carmen Herrero, no sólo por haber dirigido esta Memoria, sino también por todo el entusiasmo que pone en su dedicación a la Universi-dad, siendo un ejemplo constante para todos nosotros .

Así, mismo, agradezco a Josep Peris su constante apoyo y sugerencias y, en general, a todos mis compañeros de los Departamentos de Matemáticas, Teoría Económica y Estructura, por el aliento conti-nuo que me han proporcionado .

Finalmente, destacar mi agradecimiento a Antonio Villar por sus valiosas aportaciones y suge-rencias, sobre todo en el capitulo IV (Referencias Eco nómicas) .

No obstante lo anterior, la responsabilidad de los errores que puedan encontrarse en el texto me corresponden exclusivamente .

Alicante, a quince de Noviembre de mil novecientos ochenta y cuatro .

I N D I C E

11 .5 Unicidad y positividad de las solucio

Pag . INTRODUCCION . . . 1

CAPITULO I . UN MODELO LINEAL . . . 14

I .1 Introducción . . . 15 1 .2 Sistema (S) . Resultados convencionales

acerca de su resolubilidad . . . . .. . . 20 1 .3 La condición (NIS) . Su vinculación a

la resolubilidad de (S) . . . 25 1 .4 Unicidad y positividad de las solucio

nes de (S) . Estática comparativa . . . 31

CAPITULO II . UN MODELO DIFERENCIABLE . . . 36

11 .1 Introducción . . . 37 11 .2 El sistema (S') . Primeros resultados

sobre resolubilidad . . . 41 I1 .3~ Nuevas condiciones de resolubilidad

para el sistema (S') . . . 45 11 .4 Una nueva propiedad que se vincula

a la resolubilidad de (S') : la produc

II . Extensión del teorema de Perron-Frobe nius a operadores continuos homogéneos

11

nes . Estática comparativa . . . 64

CAPITULO III . UN MODELO CONTINUO . . . 72

III .l Introducción . . . 73

111 .2 El sistema (S'') . Primeros resultados de resolubilidad . . . 77

111 .3 La condición (NIS) . Su vinculación a la resolubilidad de (S'') . . . 81

111 .4 La condición (C) . . . 92

111 .5 Productividad de los operadores y su relación con la resolubilidad . . . 97

111 .6 Unicidad y positividad de las solucio nes . Estática comparativa . . . ₁₀₂

CAPITULO IV . REFERENCIAS ECONOMICAS . . . 105

IV .1 Introducción . . . 106

IV .2 El marco económico . . . 110

IV .3 Los modelos económicos implícitos . . . 115

IV .4 Significado de los resultados . . . 126

AP ENDICE . . . ₁₃₇

I . Introducción . Los teoremas de Perron-Frobenius . . . ₁₃₈

Pag. de grado 1 . . . ., . . . 143 III . Extensión al caso de operadores conti

nuos subhomogéneos . . . ₁₄₅ IV . _{Un resultado para operadores}

conti-nuos . . . 147 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . 150

Concedamos que los modelos sean inevitables, ¿por qué pretender que representan la realidad?

Una de las formas habituales de modelizar relaciones múltiples, en el campo de la Economía Ma-temática, consiste en el empleo de sistemas de ecua-ciones simultáneas . Desde este punto de vista hay dos cuestiones que, tradicionalmente, han constituido el núcleo de la discusión : por una parte, la existencia, unicidad y no negatividad de las soluciones de tales sistemas (en los que las variables suelen ser precios o cantidades) ; por "otra, la comparación de solucio-nes asociadas a sistemas alternativos (o bien, a sis-temas en los cuales se producen alteraciones en los parámetros) . A la primera de estas cuestiones aludi-remos, en general, con el término "resolubilídad", en-tendido como existencia de solución no negativa (la no negatividad es un requisito derivado del signifi-cado económico de las variables) ; el segundo problema suele inscribirse bajo el rótulo de "estática compara-tiva", o bien, "análisis de sensibilidad" .

En el análisis de los modelos tipo Leon-tief, tanto lineales como no lineales, estas cuestiones se vienen discutiendo desde! los años cincuenta (estan do asociadas a los nombres de autores como Metzler, Morishima, etc.) . Recientemente, se han obtenido

al-gunos resultados relevantes a este respecto en relación con las propiedades de las M-matrices y de ciertas funciones que dejan invariantes conos en espacios eu-clídeos . En este sentido, merece la, pena citar los tra-bajos de SIERKSMA (1979) ; ELSN ER, JOHNSON & NEUMANN (1982) ; ELSNER & SUN (1982) ; FUJIMOTO, HERRERO & VILLAR (1984a), para el caso lineal y SANDBERG(1973)

LAHIRI (1976) ; LAHIRI & PYATT (1980) ; FUJIMOTO

(1979)(1980) ; CHANDER (1983) ; FUJIMOTO, HERRERO &

VILLAR (1984b, c), para el caso no lineal .

Desde esta perspectiva surge de una for-ma natural la discusión de condiciones generales de resolubilidad y propiedades comunes de estática com parativa para los diversos sistemas matemáticos que soportan los modelos económicos mencionados . Tal es el objeto de este trabajo . Para ello, tomaremos como referencia un sistema de ecuaciones lineales cuya ma-triz de coeficientes es una N-mama-triz (que se corres-ponde con el modelo inicial de Leontief) ; para este tipo de sistemas existe una colección bien definida de condiciones equivalentes de resolubilidad (véase

WOODS (1978) ; TAKAYAMA (1974), HERRERO (1984) y

pre-senta un comportamiento muy regular con respecto a las alteraciones en los parámetros . Siguiendo este planteamiento, el objeto de la investigación, consiste en la extensión de los resultados del modelo lineal a otros más generales (que se corresponden con las modelizaciones no lineales

más

conocida del modelo de Leontief), preservando la regularidad del compor-tamiento del sistema lineal .

El hilo conductor de esta memoria viene dado por el intento de rea.lizar un análisis unificado del problema de la resolubilidad y la estática compa rativa en tres tipos de sistemas, un sistema lineal y dos generalizaciones del mismo de naturaleza dife-rente (que denominaremos modelos diferenciable y con-tínuo, respectivamente) . Ello nos lleva a articular los capítulos destinados al estudio de estos modelos mediante un esquema común, que recoge los siguien-tes elementos :

- Planteamiento del sistema .

- Referencia al modelo económico de base .

- Referencia a los resultados conocidos sobre resolu-bilidad.

- Nuevas condiciones de resolubilidad y equivalencia entre ellas .

- Discusión de la unicidad y positividad de las solu-ciones .

- Estática comparativa.

sistema

El capítulo I se dedica a la discusión del

Bx = c (S)

c E R+ ; dicho sistema se

con el modelo lineal de cantidades de precios de producción de de condiciones equivalentes donde B es una N-matriz y

corresponde, tanto

de Leontief, como con el Sraffa . Al amplio

(frecuentes en la

tivas) que garantizan la se añade una nueva, la que resulta ser también la resolubilidad . Parte condiciones equivalentes

gue, en la pauta que va solubilidad de sistemas los capítulos II y III .

servir de guía, se cierra el capítulo ción de los resultados convencionales

grupo

literatura sobre matrices semiposi-resolubilidad del sistema (S)

no inversión de signo (NIS), necesaria y suficiente para de este grupo ampliado de se constituye, en lo que

si-a dirigir el si-análisis de re--más generales, efectuado en Con este mismo propósito de con una exposi-en torno a las

propiedades de estática comparativa .

Merece la pena destacar dos aspectos im-portantes del tratamiento efectuado para

lineal . Por una parte, la disponibilidad de un nativas equivalentes de utilizado como lista de

tados de estática comparativa reflejan el buen

portamiento (entendido como regularidad) de este tipo de sistemas . En las generalizaciones de este modelo que se presentan en los capítulos 11 y 111, no sólo se consigue ofrecer un conjunto de condiciones equi-valentes igualmente operativo, sino que se preserva

la regularidad del caso lineal .

El capítulo 11 (denominado genéricamente "un modelo diferenciable") analiza el sistema

x - q(x) = c ;

f (x) = c (S')

n

donde c e R+, q, (x) = j E1 qij (xj ), con _qij e C1 ; qij (0) = 0 y qij (0) > qij (xj ) > 0 Y- xj e R+ . El sistema (S') está asociado a la generalización realizada por SANDBERG (1973) del modelo de Leontief .

el sistema presenta un interés notable conjunto de condiciones alter-resolubilidad, que pueda ser chequeo. Por otra, los resul-

com-Por su parte, el capítulo 111 (denominado "un modelo continuo") se dedica al análisis del siste-ma '

x - q(x) = c f (x) = c (SI )

donde c e R+ y q es un operador semipositivo, conti

nuo, monótono y subhomogéneo . El sistema (S" ) se corresponde con la generalización de LAHIRI (1976) y LAHIRI & PYATT (1980) .

Del amplio grupo de condiciones equivalen-tes que garantizan la resolubilidad del sistema lineal una de ellas, la condición (P)*, se extiende al sis tema (S') , pero carece de sentido en el sistema (S' ' ) . Para el sistema diferenciable, la condición (P) se transcribe en la forma "J f (0) es una P-matriz", y la equivalencia entre esta condición y el que (S') posea solución semipositiva para todo c e Rn, ya aparece en

el trabajo inicial de Sandberg .

Por otra parte, la equivalencia entre las condiciones

(FR) El sistema posee solución x > 0 V- c > 0

(reso-* (S) verifica .(P) cuando la matriz de coeficientes, B

lubilidad fuerte) .

(DR) El sistema posee solución x > 0 para un cierto c > 0 (resolubilidad débil) .

(NIS) f no invierte el signo de los elementos de R+ . (C) l~ x > 0 1 lim qn( x ) = 0 (q es convergente) .

se constituye en el elemento central de análisis de los capítulos II y 111 . Es interesante destacar que las pruebas ofrecidas de las equivalencias entre es-tas condiciones son completamente distines-tas en cada uno de los sistemas estudiados, dándose la circuns-tancia de que los elementos que diferencian las dos extensiones del sistema lineal constituyen la clave de las pruebas en cada caso . Así, la prueba de la equi-valencia entre estas condiciones gira en torno a la condición (P), para el sistema diferenciable, mientras que la subhomogeneidad de q, junto con el procedi-miento de inducción, son los elementos cruciales de las pruebas para el caso continuo .

Por su parte, la condición (Pr) presenta otras peculiaridades . En el caso lineal (S) verifica (Pr) cuando X*(A) < 1, siendo X*(A) la raíz de Frobe nius de la matriz semipositiva A. La extensión de la

condición (Pr) a los sistemas contínuo y diferenciable, resulta ser, en ambos modelos, de naturaleza análoga . La generalización de la condición (Pr), por una par-te, obliga a la búsqueda, para operadores semipositi-vos, de "autovalores" que amplíen el concepto de raíz de Frobenius para el caso no lineal, y que sean ma-nejables, tanto para el sistema (S') como para el sis-tema (S'') .

Las generalizaciones conocidas de los teo-remas de Perron-Frobenius permiten, en principio, una extensión de la propiedad (Pr) a operadores

subhomo-con el caso analizado resultan aplicables al operador q del sistema diferenciable . Además, existe

cultad con la extensión conocida del teorema de Pe-operadores subhomogeneos : la seguro que cumpla la pro-resulta clave en el análisis de

resolubi-en módulo a cualquier otra raíz . con la obtención

nuevo (que puede considerarse también una extensión géneos* (que se

en (S''», pero no

corresponderían

rron-Frobenius para

raíz allí encontrada no es piedad que

lidad : acotar

dificultad se obvia

Véase teorema A-2, Apéndice . FUJIMOTO (1979) .

una

difi-Esta de un teorema

del de Perron-Frobenius, para operadores semipositi-vos que únicamente se anulen en el origen y que pue-de ser empleado simultáneamente para el análisis pue-de resolubilidad del sistema (S') y del (S''), sin reque-rir el supuesto de subhomogeneid,ad . Este teorema, junto con una recopilación de los resultados conocidos sobre Perron-Frobenius y extensiones, se ofrece en el Apéndice .

Hasta el momento, la única cualificación que hemos asociado a la noción de resolubilidad es la de la existencia de solución no negativa . No obs tante, hay dos propiedades adicionales (en parte in-terrelacionadas) que son discutidas también para los diversos sistemas : la unicidad de las soluciones y la estricta positividad de las mismas . Esta segunda cuestión queda asegurada siempre que el término in-dependiente sea estrictamente positivo, o bien, siendo c > 0, cuando el sistema es indescomponible . Mayor in-terés tiene el tema de la unicidad de la solución . Tanto para el sistema lineal como para el diferencia-ble, la existencia y unicidad de solución semipositiva se aseguran conjuntamente ; no es éste el caso del sis-tema continuo, en el cual sólo se puede asegurar la

0-unicidad de la solución si c > 0, o bien, si el sistema es indescomponible .

El interés que tiene garantizar la unicidad de las soluciones se deriva de resultar un requisito indispensable para proceder a la discusión de la es tática comparativa. En efecto, sólo si para cada con-junto de parámetros podemos asegurar que existe una solución única, podemos pasar a comparar esta solu-ción con la asociada a un conjunto de parámetros di-ferentes .

A este respecto, señalemos que la regula-ridad de comportamiento que presenta el sistema li-neal, se conserva para el sistema continuo, sin más que garantizar la positividad estricta de la solución . No ocurre lo mismo con el modelo diferenciable, en el que, dada la posibilidad de comportamientos errá-ticos en los coeficientes del sistema*, es preciso in-troducir una condición de r , ;)notonía sobre q para po-der mantener el resultado del caso lineal .

E i último capítulo de esta memoria posee un carácter marcadamente diferente de los tres ante-riores . En él no se incorporan nuevos resultados, sino

que se procede a discutir los modelos económicos que han servido de base, tanto en relación con los resul-tados obtenidos, como con el conjunto de supuestos

que los sustentan .

Terminemos esta introducción con dos bre-ves observaciones . En primer lugar, señalemos que únicamente se ha procedido a incluir las pruebas de aquellos lemas, proposiciones y teoremas originales, limitándonos a enunciar y referencias aquellos resul-tados previamente establecidos que se emplean .

Finalmente, por lo que respecta a la sim-bologia empleada, toda ella es standard, y tan sólo vale la pena precisar que, en relación con la compa

ración de vectores, se ha empleado la siguiente con-vención : x > y para x, y e Rn, significa xi >y, Y i ;

2-x > y significa 2-x > y pero 2-x ~ y; 2-x > y significa xi > yi para todo i.

Análoga interpretación tienen los mismos símbolos en relación con la comparación de matrices .

I .1 Introducción .

C A P I T U L 0 I

U N

M 0 D E L 0

L I N E A L

I .2 Sistema (S) . Resultados convencionales acerca de su resolubilidad .

1 .3 La condición (NIS) . Su vinculación a la resolubili-dad de (S) .

1 .4 Unicidad y positividad de las soluciones de (S) . Es-tática comparativa .

14-1 .14-1 INTRODUCCION

El tratamiento de modelos económicos desagre-gados, se halla vinculado originalmente a su formulación en términos lineales . Recordemos, por ejemplo,las especi ficaciones de WALRAS (1874) y CASSEL (1923) de equilibrio general, el tratamiento de tales modelos en términos de programación lineal de KUHN (1956) y DORFMAN, SAMUELSON y SOLOW (1958) o los modelos de análisis de actividades de KOOPMANS ( 1957) .

Un grupo específico de modelos lineales son los que se suelen asociar a los nombres de LEONTIEF (1941), VON-NEUMANN - (1945) y SRAFFA (1960) . Estos modelos se caracterizan por el enfoque reproductivo de la producción y el intercambio, por el tratamiento explícito de los pro-blemas de la distribución y acumulación, y por considerar una conceptualización de la competencia que comporta la igualación de los tipos de beneficios sectoriales.

El sistema abierto de Leontief, junto con el de precios de producción de Sraffa, proporciona una modeli-zación simple y manejable de una economía cerrada y sin sector público, que produce mercancías por medio de

mer-Supuesto que prevalecen rendimientos constan-tes a escala, las posibilidades de producción de nuestra economía quedan especificadas mediante urca matriz semi-positiva, A (matriz input-output, donde a

_i]

es la cantidad de mercancía i-ésima requerida para producir una unidad de mercancía j-ésima) y por un vector a > 0 (cuya j-ésima componente, a,

J designa la cantidad de trabajo por unidad de j) . _{Si x representa el vector de outputs brutos totales}

(x1

es el output bruto de la mercancía j-ésima), la dife-rencia x-Ax reflejará las producciones netas de cada sec-tor. _{Designemos por d al vector de demandas finales ; en} estas condiciones el equilibrio en el sistema de cantidades vendrá dado por

Por otra parte, siendo w la tasa de salario y r la tasa de beneficio uniforme, un vector p > 0 cons-tituirá la solución de equilibrio del sistema de precios,

cuando

p = (1 + r) (pA + wa) (2)

Si se pueden predecir la demanda final d y el valor de las variables distributivas (w, r), se plantea el problema, para el sistema (1) , de determinar los ni veles de output (x) de equilibrio , y para el sistema (2) determinar el vector de precios de equilibrio ; por otra

parte, tanto la solución de (1) como la de (2), han de tener significado económico, lo que supone reque-rir su semipositividad .

donde

i) B es una N-matriz ii) c > 0.

Características comunes a los sistemas (1) y (2) son las siguientes :

i ) _{Tienen el mismo n-° de ecuaciones que de} incóg-nitas .

ii) La matriz de coeficientes del sistema es una N-matriz (los términos fuera de la diagonal principal son no positivos) .

iii) _{Los vectores de términos independientes son} se-mipositivos .

De este modo, si consideramos el sistema

los sistemas (1) y (2) son casos particulares de (S) : para el sistema (1) se tiene que B = (1 - A), donde A > 0, mientras que para el sistema (2) B=(1-(l+r)A' )

tiva de escribir el sistema (S) será ,(1 - A) x = c con

i) A > 0 ii) c > 0

Este capítulo se dedica a realizar un aná-lisis de condiciones bajo las cuales se puede asegurar la resolubilidad (entendida como existencia de solución x > 0) para sistemas de la forma (S) .

El análisis de condiciones que garantizan la resolubilidad de un sistema de este tipo, está vin-culado a diversos tópicos de la teoría de matrices se

mipositivas . En la sección 1 .2 se recopilan aquellas condiciones frecuentes en la literatura, vinculadas a este problema . En la sección 1 .3 se introduce una condición inédita (la no inversión de signo para los elementos de Rn por parte de la N-matriz B), que re-sulta ser también . _necesaria y suficiente para la reso-lubilidad de (S) .

El amplio grupo de condiciones equivalen-tes encontradas sobre el sistema (S), que se resumen en el teorema 1 .3 sirve de pauta para dirigir el

aná-lisis sobre resolubilidad de sistemas más generales, realizado en los capítulos 11 y 111 .

Cierra el capítulo la sección 1 .4, en la que se recogen algunos resultados referentes a positi-vidad estricta y unicidad de las soluciones, así como un teorema de estática comparativa del cual se obtie-nen como casos particulares, los resultados habituales en la literatura .

1 .2 SISTEMA (S) . RESULTADOS CONVENCIONALES ACER-CA DE SU RESOLUBILIDAD

El sistema standard asociado al modelo li-neal, presentado en I .1, es el siguiente:

Bx = c; [I -. A] x = c (S)

donde se verifica :

i) B y A matrices de orden n, siendo A semipositiva y B una N-matriz (es decir, b

ij < 0 para todo i ~ j), de modo que B =_ 1 - ;A .

ii) c E Rn , c > 0 .

El problema que tratamos de estudiar en este capítulo es el análisis de resolubilidad (o exis-tencia de solución semipositiva) para el sistema (S) . En este sentido, comenzamos enunciando las dos defi-niciones siguientes :

Definición 1 .1 Diremos que el sistema ~ (S) es "débil mente resoluble" si, para un cierto c > 0, existe x > 0 tal que Bx = c .

-20-Definición 1 .2 El sistema (S) se dice "fuertemente re-soluble" si para todo c > 0 existe solución x > 0 .

La definición 1 .2 especifica lo que se en-tiende, en este trabajo, por "resolubilidad del sistema (S)", es decir, la existencia de solución semipositiva para cualquier c > 0 .

En el teorema 1 .1 se presentan las condi-ciones, más habituales en la literatura, que garanti-zan la "resolubilidad" de un sistema lineal del tipo (S) . Estas condiciones se agrupan en dos bloques : en el primero se recopilan propiedades sobre la N-matriz del sistema B, para asegurar la resolubilidad de (S) ; un segundo grupo recoge propiedades que debe cumplir la matriz semipositiva A, (B = I-A), con este mismo fin.

A continuación se presenta un conjunto de definiciones que serán utilizadas en el enunciado del teorema 1 .1 .

Definición 1 .3 Diremos que una N-matriz, B, verifica la condición HAWKINS-SIIvïON (abreviadamente ( H-S» ,

sí¡ todos los menores principales superiores de B, son positivos" .

Definición 1 .4 Se dice que una matriz cuadrada, C, de orden n es P-matriz sí¡ todos sus menores princi-pales son positivos .

Definición 1 .5 Diremos que C= (cij ) ij= 1 . . .n, tiene

J. J. sentido de MCKENZIE) damente "C tiene 2, . . . . n, tales que d . 1 c . . 1 j= 1, 2, . . . , n . Si cjj

diremos que C posee d .d . positiva .

Definición 1 . 6 Se dice que una es convergente sí¡ lim AP = 0 .

p~~

timas filas y columnas det B > 0 .

diagonal dominante

izquierdos

una matriz cuadrada (en .el y lo designaremos abrevia-d .abrevia-d .", si existen. números abrevia-d.i > 0, i=1,

> _{di l c . .1 para todo} iwj 1J

J Jj

> 0 para todo j= 1, 2, . . . . n,

matriz A, semipositiva

Esto es, los menores que se obtienen suprimiendo las úl-l búl-lúl-l b 12

de B :b11 > 0 ;det1b _{b > 0 ; . . . ;} 21 22

Se entiende por menor principal de una matriz C, cual-quier menor obtenido suprimiendo en C las filas y co-lumnas que se deseen, con la única condición de que, cada vez que se ha suprimido una fila, se suprima tam-bién la columna que posee el mismo índice, y recípro-camente .

MCKENZIE (1960) . Existen otros conceptos de

dominan-cia de diagonal, véase TAKAYAMA (1974, ch .4) y WOODS (1978, ch .1) .

Definición 1.7 Una matriz cuadrada A semipositiva diremos que es productiva sí¡ su raíz de Frobenius*,

X* (A), es menor que la unidad .

Teorema 1.1 Para el sistema (S) las condiciones si-guientes son equivalentes** :

(DR) El sistema (S) es débilmente resoluble . (FR) El sistema (S) es fuertemente resoluble.

(H-S) La matriz B verifica la condición de HAWKINS-SIMON.

(P) B es una P-matriz . (I) Existe B-1 y B-1 > 0.

(d .d .) B posee diagonal dominante positiva . (C) La matriz A es convergente.

(Pr) La matriz A es productiva .

NOTA - Las condiciones (DR) y (FR) se refieren a la resolubilidad del sistema (S) . Es interesante destacar el hecho de que para un sistema dP

Ver apéndice, FROBENIUS(1909,1912) PERRON(1907,1929) . La equivalencia entre (DR) (FR) (H-S) y (P) aparece en el trabajo de HAWKINS-SIMON (1949) . La condición (d .d .) y su vinculación a la resolubilidad de (S) se debe a MCKENZIE (1960) . La condición (Pr) aparece vin-culada al resto por DEBREU & HERSTEIN (1953), y la (C)

la forma (S), el poseer solución semipositiva para un cierto c > 0, implica que va a existir solución se-mipositiva para cualquier c > 0. El grupo [(H - S), (P), (1), (d . d .) ] son condiciones sobre la matriz B . Las condiciones (1) y (P) aseguran la unicidad de solución para cada c > 0 . Por último, las condicio-nes [ (C) y (Pr) ] son relativas a la matriz A. La

-1 convergencia de A, obliga . a la existencia de B =

(1 - A) -1 por ser la serie 7 An convergente* . n=0

Ver HERRERO-SILVA-VILLAR (1984), pp . 158-159 .

-24-1 .3 "LA CONDICION (NIS) .

de no inversión de signo una función vectorial, que nueva condición sobre la solubilidad de (S) .

RESOLUBILIDAD DE(S) .

SU VINCULACION A LA

La presente sección introduce el concepto de los elementos de Rn para será utilizado para dar una matriz B que asegure la

re-Tras la definición de la no inversión de signo de los elementos de Rn (Definición 1 .8),

el teorema 1 .2 que caracteriza a las P-matri-en términos de dicha definición . Este teorema se para demostrar (Proposición 1 .1) que la con- enun-ciamos

ces utiliza

dición

(NIS) B no invierte el signo de los elementos de R+,

es necesaria y suficiente para que una N-matriz sea P-matriz . Finaliza la sección enunciando el teorema 1 .3, en el cual se incluye la condición (NIS) con las dadas en el teorema 1 .1, para asegurar la resolubi-lidad de (S) .

Definición 1 .8 Sea f : Rn _> Rn . Se dice que f( x ) no invierte el signo de los elementos de Rn cuando :

siendo y = f(x) .

Definición ,1 .9 Diremos que una matriz cuadrada C no invierte el signo de los ° elementos de Rn sí¡ la aplicación lineal asociada no los invierte .

Teorema 1 .2* Una matriz A de orden n, es P-matriz sí¡ A no invierte el signo de los elementos de Rn . Proposición 1 .1 Sea B una N-matriz . B es una P-matriz sí¡ B no invierte el signo de los elementos de R+ (es decir xiyi < 0 - xi ? 0 para todo i= 1, 2, . . . . n

=> x1= 0, siendo y = Bx) .

Demostración . Necesidad . Inmediata por teorema 1 .2 . Suficiencia . Veremos que si una N-matriz, B, no in-vierte el signo de los elementos de R+, entonces B no invierte el signo de los elementos de Rn, con lo cual, por el teorema 1 .2, B es una P-matriz .

Por ser B una N-matriz, se puede expresar en la forma

* GALE-NIKAIDO (1965) .

-26-a)

x

<0

bl -a12 -a 1n

B

--a21-ab2 . . 2n

-an1

siendo aij ? 0 para i~j .

y

-an2 bn

Sea _{{ el , . . . e}

n

_{} la base canónica de Rn.} Como el E _{R+ para todo i = 1,2, . . . . n y, por otra parte}

Be . = B1₁

la no inversión de signo para los elementos de R+ por la matriz B, obliga a que bi > 0 para todo i=1,2, . . ,n . Por tanto, la diagonal principal de la N-matriz B es estrictamente positiva .

Razonando por reducción al absurdo, su-pongamos que B invierte el signo de algún

x E

Rn ,

x

~ R+ . Dividimos el análisis en los dos casos posi-bles .

b)

x

E _RnURn

a) Si

x

< 0, se obtiene trivialmente que:

(- xi ) [B(-x) ] i < 0 para todo i=1,2, . . . . n . Con lo cual se llega a una contradición, pues B invier te el signo de

-x

> 0 en contra de la hipótesis .

Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que:

xi

> 0 para ¡E: K= {1,2, . . ., K }

xi

< 0 para i E S={K+1, . . . , K }

se verifica que:

Sea y = Bx ; si B invierte el signo de

x,

x

i

y

i

< 0 para todo i = 1, 2, . . ., n .

Por lo que y

_i

< 0 para todo i E K, es decir:

b .x .

-a . .x . -

.-~ a . .x.

< 0 para todo i E K . 1 1 _{j E K ~{i1 13 3 3 E S 13 3}

Como

xj

< 0 para i E S, se tiene que

luego

ya que

É'S a . .

x . > 0 b .

x.

-a . . x .

_{1 1 j E}

₇

< 0 para todo ¡E: K [31

-

-{

i} 13 3

-Si consideramos el vector xt donde xt₁ xi = 0 Y- i E S. Se obtiene que z = Bx t < 0 z.=b .x . - _ a. .

x . <

0 para i E K por [3 ] 1 1 1 _{j E K-{¡} 13 3} z . a. .

x.

< 0 para i E S 1 13 3 --2 8-y

Con lo cual, B invierte el signo de xf e R+, xt

0, en contra de la hipótesis .

En consecuencia, B no invierte el signo de los elementos de Rn y aplicando el teorema 1 .2, se obtiene que B es una P-matriz .

El resultado obtenido en la proposición 1 .1 motiva la siguiente definición

Definición 1 .10 Sea f : Rn . Rn. Diremos que f (x) ve-rifica la propiedad (NIS) sí¡ f no invierte el signo de los elementos de R+, es decir :

xl

f1 (x) < 0 ^ xi> 0 para todo i=1,2, . . .n, => xi=0

La proposición 1 .1 afirma que la condición (NIS) B no invierte el signo de los elementos de R+, es equivalente (cuando B es una N-matriz) a la con dición (P) del teorema 1 .1 y por ello, a cualquiera de las condiciones listadas en el mismo. Ello permi-te enunciar el permi-teorema siguienpermi-te :

Teorema 1 .3 Para el sistema (S) las condiciones si-guientes son equivalentes

(DR) El sistema (S) es débilmente resoluble . (FR) El sistema (S) es fuertemente resoluble . (H-S) La N-matriz B verifica la condición (H-S) . (d .d .) B posee diagonal dominante positiva . (P) B es una P-matriz .

(I) Existe B-1 y B-1 es semipositiva .

(NIS) B no invierte el signo de los elementos de R+ . (C) La matriz A es convergente .

1 .4

UNICIDAD Y POSITIVIDAD DE LAS SOLUCIONES DE

(S) . ESTATICA COMPARATIVA

Como ya fue observado en la nota que si-gue al enunciado del teorema 1 .1, la verificación por parte del sistema (S) de cualquiera de las condicio nes equivalentes allí listadas (y asimismo, de la con-dición (NIS),' vinculada al grupo en el teorema 1 .3), garantiza, no sólo la existencia de solución x >0 pa-ra cada c > 0, sino la unicidad de tal solución . En efecto, la condición (I) supone la existencia de la inversa de B, B-1 , por lo que, cuando se verifica cualquiera de las condiciones equivalentes, ;S) resul-ta ser un sistema de Cramer, que posee solución (se-mipositiva siempre que c sea semipositivo) única .

Otra cuestión de interés es el analizar ba-jo qué condiciones podemos asegurar que la solución semipositiva x del sistema (S) es estrictamente positi-va . En primer lugar, es evidente que cuando c > 0, al darse la igualdad x = Ax + c > c > 0, podemos concluir que la solución asociada a un tal c, x > 0. En general, sin embargo, no puede concluirse que V c > 0 la solución asociada x sea x > 0. No

obs-la matriz B) es indescomponible*, '"'" '" , puede asegurar-se la posibilidad estricta de la solución x asociada a cada c > 0 . Lo anterior es un resultado inmediato de la propiedad recogida en la proposición siguiente :

Proposición 1 .2 Si para el sistema (S), débilmente resoluble, la matriz B es indescomponible, entonces existe B-1 y se tiene que B-1 > 0*** .

El problema a que se dedica el resto de esta sección se refiere a la posibilidad de establecer comparaciones entre las soluciones de dos sistemas al ternativos del tipo (S) parcialmente coincidentes (es decir, cuando tales sistemas tienen en común algunos de los parámetros recogidos, bien en la matriz del sistema, bien en el vector de términos independientes,

i .e, si no es posible encontrar una matriz de- permuta

~A A

ción , tal que Tr -l A T

=i 101 A12 , donde All, A12 son

matrices cuadradas . 22

En algunos textos se utiliza el término"irreducible" . Véase GANTMACHER (1959) o BERMAN & PLEMMONS (1979) . Una prueba de la proposición 1 .2 puede verse en HERR_E R0, SILVA & VILLAR (1984) .

-32-(S) :

de tal forma que BT

o ambos) . Presentamos un teorema del cual se obtie-nen como corolarios los resultados más frecuentes en la literatura sobre estática comparativa .

Antes de presentar el teorema, especifica-mos algunas notaciones que serán empleadas en él : consideramos el conjunto de índices { 1, 2, . . . . n } divi dido en dos partes, S = { 1, 2, . . . . s } y T = { s+l, . . , n } . Designamos por B S a la sxn matriz formada por las s primeras filas de B, BT a la (n-s) xn matriz, for mada por las restantes filas de B ; c S es el s-vector formado por las s primeros componentes de c, cT el (n-s)-vector formado por las restantes componentes ; xT , xS se interpretan de manera análoga .

Consideramos entonces dos

B'x = c' ; [I - A' Ix = cl

Bt x = c t ; _{[I - At ]} x = ct

= BT y

cT

=

cT

(esto es, trices de ambos sistemas coinciden en

mas filas, y los vectores de coinciden en sus (n-s) últimas mente, AT = A,tr también . En el

sistemas tipo

las ma-sus (n-s) últi-términos independientes componentes . Obvia-teorema que sigue se

plantea una condición suficiente para poder asegurar que la solución x° del sistema [ 4 ] y la solución xt del sistema [SI , son tales que x° > x . Además, en

el caso en que ambas sean positivas, se localiza la variación relativa mayor entre las coordenadas corres-pondientes a los parámetros en que ambos sistemas se diferencian (esto es, en S) :

Teorema 1 .4 * Sean [ 4 ] y [ 5 ] dos sistemas resolubles tipo (S), tales que BT = B Tt

cT

= cZt, . Sean x°, xt ,

las soluciones de [4 ] y [ 5 ], respectivamente, y supon gamos que BS x° >c

S.

En estas condiciones

i) x° > x't (dándose además

xS

> xS) ii) Si x t >O, se verifica además

x° x°

Del teorema 1 .4 se obtiene una serie de corolarios de interés** .

Este teorema fue presentado por FUJIMOTO, HERRERO & VILLAR(1984a) y generaliza varios resultados anterio-res de estática comparativa para sistemas de estas ca racterísticas . Véase MORISHIMA (1964,ch .4) y METZLER

(1951) .

Respecto a las interpretaciones económicas de estos corolarios,confróntese el capítulo IV de esta memoria .

-34-Corolario 1 * Si S = { 1 }

y se verifica Bl xo > _cl,

a a

entonces x° > x y además

Corolario 2 Si T = 0 y se verifica Bt x° > ct=> x° > xt

Obsérvese que el corolario 2 establece un criterio su-ficiente para poder comparar las soluciones de dos sistemas completamente diferentes .

Corolario 3** Sean B = Bt . Si c, > C

S,

entonces

i) x° > xt (siendo x S > x~)

x . x .

ii) max i > x3 Y j E T i E S x . x .

1 3

NOTA - A partir del teorema 4 .1 pueden obtenerse algunas propiedades interesantes de las M-matrices . Confróntese, en este sentido, el trabajo de FUJIMOTO, HERRERO & VILLAR (1984a) .

Resultado obtenido por HERRERO, JIMENEZ-RANEDA & VI-LLAR (1980) .

La relación del corolario 3 con las clásicas leyes de HICKS (Véase MORISHIMA (1964),ch .1) es clara . Confrón-tese cap . IV .

C A P I T U L 0

1 I

U N

M O D E L O

D I F E R E N C I A B L E

II .1 Introducción .

11 .2 El sistema (S') . Primeros resultados sobre resolu-bilidad .

11 .3 Nuevas condiciones de resolubilidad para el siste-ma (S') .

11 .4 Una nueva propiedad que se vincula a la resolubili-dad de (S') : la productiviresolubili-dad .

11 .5 Unicidad y positividad de las soluciones . Estática comparativa .

6-11 .1 INTRODUCCION

La modelización en términos lineales de las relaciones de producción e intercambio de una economía no resultan plenamente satisfactorias en la mayor parte de los casos* ; no obstante, las ventajas del análisis lineal (simplicidad, potencia de los re-sultados, etc.) hacen de esta aproximación un punto de partida de considerable interés . El paso siguiente consiste, como es obvio, en la eliminación de la, hi-pótesis de linealidad y en la modelización de sistemas más generales que, a ser posible, conserven las bue-nas propiedades del caso lineal, pero permitan el análisis de casos no contemplados en aquél .

El presente capítulo de esta como el capítulo 111,

de el punto de vista mas correspondientes,

ralización distinta del modelo a extender a dichos sistemas

solubilidad y estática comparativa, analizados en el memoria, así están dedicados a analizar (des matemático), dos tipos de siste-cada uno de ellos, a una gene-económico de Leontief, y los resultados sobre

re-Véase capítulo IV, sección IV .2, comentarios acerca de rendimientos variables .

capítulo 1, para el sistema lineal (S) .

El sistema objeto de estudio en este capi-tulo está inspirado en la generalización del modelo de Leontief, presentada por SANDBERG (1973), cuyas

características fundamentales se resumen en los

si-guientes puntos :

n a) La aplicación lineal . A (x) = (2:aij

x j ) del modelo

de Leontief*, se reemplaza por una función

n

q (x) (~ qij (xj)) i=l , . . . . n ' donde gij (xj ) representa la cantidad de mercancía i-ésima necesaria para producir xj unidades de mercancía j-ésima .

b) El comportamiento de la función q queda determi-nado por las hipótesis que se realizan sobre las funciones

qij, i, j=1, . . . , n . Se suponen las qii

con-tinuamente diferenciables .

c) El sistema asociado a este modelo se puede' aproxi-mar, en cada punto, por un sistema lineal del

ti-Donde a . son los coeficientes de la matriz

input-out-put de ~~ economía .

-38-po (S) .

En la sección 11 .2 presentamos el sistema standard (S') asociado al modelo de Sandberg, así como el primer resultado sobre resolubilidad del sis tema (S' ), que aparece en el trabajo inicial de 1973 .

En la sección 11 .3 se obtiene un extenso grupo de condiciones, equivalentes a las dadas en la sección 11 .2, inspiradas en las obtenidas para el modelo lineal .

En el punto 11 .4 se generaliza el concepto de productividad de un operador lineal, a cualquier operador continuo semipositivo que únicamente se anu-la en cero . Incluyendo esta propiedad entre anu-las que ha de verificar el operador q, se obtiene que la pro-ductividad es una condición necesaria para que el sistema (S') sea resoluble, siendo suficiente en el ca-so de que la matriz jacobiana de q en el origen, sea una matriz indescomponible .

La sección 11 .5 analiza la unicidad y po-sitividad estricta de las soluciones del sistema (S') .

Finalmente, se obtiene una extensión de los resultados de estática comparativa estudiados para el caso li-neal en la sección 1 .4 .

11 .2 EL SISTEMA (S') . PRIMEROS RESULTADOS SOBRE

x

-q

(x) = c ;

f

(x) = c

(SI) (siendo f(x) = x - q (x)) , y donde se verifica

cumpliéndose, para todo supuestos

RESOLUBI? IPAD

El sistema standard asociado al modelo no lineal de Sandberg, es del siguiente tipo :

(S .1) qij (0) = 0

i,j=l, . . .,n,

(S .2) qij (xj ) es continuamente diferenciable (S .3) _qij(0) > qij (xj ) > 0 para todo xj e

R

+

los siguientes

NOTA .- El supuesto (S .3) indica el carácter créciente, para los xj e R+ de las funciones qij (xj ) ; por su

par-te, al ser qij (0) = 0, (supuesto (S .1)) , se tiene que qij (xj ) > 0 para todo xj £

R

+

,

esto es qij (y consecuen temente q) son semipositivos . Por otra parte, los

su-puestos (S .1), (S .2), (S .3) implican que, si para al-gún xj

> 0, se tiene que qij (xj )=0, entonces qij (xj )=0 para todo x~ E R+ (evidentemente, gij (x~)=0 para todo

0 < xj <x3 . Por ser, por otra parte, gij (0) = 0, en este caso, se obtiene la anulación de

qi.j en todo x~ E R+ ) . Observemos, finalmente, que el sistema (S)

analizado en ~el capítulo 1 es un caso particular de (S'), en el cual qij (xj ) es lineal, qij (xj )=aij

x j , don

de aij son los coeficientes de la matriz semipositiva A[B=I-A ].

El teorema siguiente _{(SANDBERG (1973»,} afirma la equivalencia entre la resolubilidad fuerte del sistema (S' ) y el que la jacobiana de f en el origen, Jf(0),_ sea una P-matriz :

Teorema 2.1 Para el sistema (5') se verifica que : a) Para todo c >0 existe un único x > 0 ,tal que f(x)=c b)

fl

(c)=Mc + 6(c), de modo que lim 116(C)11

=

0

11 c 11 -o 1I c1

siendo M una matriz cuadrada de orden n,

-42-si, y sólo si

c) J f (0) es una P-matriz .

NOTA 1 .- La vinculación entre la condición a) del teorema 2 .1, y la condición (FR) para el sistema

li-ne,al, es clara . La aparente diferencia entre ambas

(que se concreta en la unicidad de la solución exigi-da en a)) queexigi-da subsanaexigi-da por el hecho de que para el sistema (S) la verificación de (FR) supone que la solución del sistema es única* .

NOTA 2 .- Si consideramos la función f(x)= [I-A ]x aso-ciada al sistema lineal (S), es inmediato deducir que la condición (P) del teorema 1 .1 se puede reformular diciendo que la matriz jacobiana de f, (I-A), es una

P-matriz para todo x E R+ . Por verificarse para el

mo-delo de Sandberg que Jf (0) < Jf (x) para todo x E R+ (siendo ambas N-matrices), es fácil ver (lema 2 .2),

que si Jf(0) es P-matriz, también J f (x) es P-matriz,

para todo x E R+ . Ello indica, simplemente, que la

condición (c) del teorema 2 .1 es u~a generalización

de la condición (P) del teorema 1 .1, para el modelo dado por el sistema (S') .

11 .2 NUEVAS CONDICIONES DE RESOLUBILIDAD PARA EL S I STEMA (S')

Nos ocupamos en esta sección de extender al sistema (S') las condiciones de resolubilidad (DR),

(FR), (P), (C) y (NIS) presentadas, para el sistema

lineal (S) en el teorema 1 .2 . La equivalencia entre

este grupo de condiciones se obtiene en el teorema 2 .2 en cuya prueba necesitamos del empleo de una "serie de lemas que se presentan a continuación .

Lema 2 .1* Sea 'f contïnuamente diferenciable, f : R+ -,. Rn

de tal modo que J f (x) es una P-matriz para todo

x c R+ . Si f(0)=0, entonces

f(x) < 0 x > 0 => x = 0

Lema 2 .2** Sean A y B dos N-matrices, verificando

A < B . En estas condiciones, si A es una P-matriz, entonces B es también una P-matriz .

Este lema es una versión del teorema 20 .3 (NIKAIDO (1968, ch .7)), debido a GALE & NIKAIDO (1965) .

WOODS (1978) pp . 72 . Puede verse una prueba de este lema en HERRERO, SILVA & VILLAR (1984) .

NOTA 1 .- Los dos lemas analizados permiten realizar una conclusión interesante sobre los sistemas del tipo (S') que son resolubles (en el sentido de verificar la condición a) del teorema de Sandberg, t5! 2.1) . En efecto, las hipótesis (S .2), (S .3) sobre (S'), junto con el que Jf(0) sea una P-matriz, aseguran (lema 2 .2) que J f (x) es también una P-matriz para todo x >O . Por otra parte, (S .1) implica que f(0) = 0, en-tonces, según el lema 2 .1, podemos concluir que f (x) 0 para todo x > 0, es decir, la función f: R+ -" Rn, se anula en el origen y solamente en él . NOTA 2 .- Es interesante observar que puede obtener-se, asimismo, resolubilidad fuerte para sistemas veri-fícando (S .1) y (S .2), y en los que (S .3) se sustitu-ye por una condición alternativa: Jf(x) es una P-ma-triz para todo x >O .

Los dos lemas que se presentan a conti-nuación se refieren a sistemas de la forma (S), pero en los cuales no se exige más que la continuidad de la función q (y, por tanto, de la f) .

Lema 2.3 Sea el sistema f(x) = c, f(x) = x-q(x),

-46-verificando :

i ) q : Rn -> Rn , caxit_inua .

ii) q creciente (es decir, q (x) <q(y) si x <y) . iv) para un cierto c° > 0 existe x° > 0, tal que :

Entonces, para todo c tal que 0 < c < c°, existe un x > 0, -tal que f(x) = c .

Demostración _{Sea 0 < c < c° . Planteamos la sucesión :} x (°) = x0

x (1) = q[xO ]+ c < q(x°) + c° = xO

x(i+1) = 9. [x(i) ]+ c < x(i) La sucesión {x (i)}i

e N así construida, es

monótona decreciente y acotada inferiormente, ya que x (1) > 0 para todo i e _{M, con lo cual posee límite x > 0 .}

Por la continuidad de q se obtiene que x=q(x) + c y por ser c > 0, se tiene que x > 0.

Al ser la sucesión decreciente, x < x° (es-to es, el limite n,o es mayor que el primer término

de la sucesión) .

C.Q .D .

NOTA .- En el lema anterior, si 0 < c < c° y f(x) = c, entonces x >0 .

Por otra parte, si c < c° y f(x) = c, obvia mente x <x°.

Lema 2 .4 _{Sea f (x) definida como en el lema anterior} y verificando i), ii), iii), iv), y, de tal modo que v) _{f (0) = 0 y f no se anula para 0 < x < x` .}

En estas

condiciones, dada una sucesión :

c° >c l >c2 > . . . > cp > . . . > 0

tal que lim cp = 0, puede encontrarse una sucesión

p ->m

x°

> a

_{> x2 > . . . > xp > . . . > 0, tal que f(xl) =' cl,} pa-ra todo i, y lim xl = 0 .

p -+=

Demostración Las conclusiones y construcción del le-ma anterior permiten asegurar que, dada la sucesión

-48-c° > cl > . . . > cp > . . . > 0, es posible encontrar x° > x1 > x2 > . . . > xp > . . . > 0, de tal modo que f (xl ) = cl

para todo i .

Al ser la sucesión x° > x1 > . . . > xp > . . . . monótona decreciente y acotada inferiormente, posee límite x y se tiene [ 0 < x < x° ] . La continuidad de f implica que f (x) = lim f (xl ) = lim cl

= 0, y como

f (x) ~ 0 para todo x tal que 0 < x < x",

se sigue que

x = 0.

Presentamos a continuación el teorema 2 .2, en el cual vinculamos, para el sistema (S') un

pri-mer grupo de condiciones que serán necesarias y su ficientes para su resolubilidad, condiciones que son extensión de las analizadas para el modelo lineal . Antes de dar el enunciado de este teorema, y tenien-do en cuenta las observaciones recogidas en la nota 1 tras el lema 2 .2, añadiremos un nuevo supuesto al sistema (S') :

(S .4) f(x) ~ 0 si x > 0.

Definición 2.1 Diremos que el sistema (S') es fuerte-mente resoluble si, y sólo si, para todo c > 0 existe un único x >0, tal que f(x) = c .

Definición 2 .2 Diremos que el sistema (S') es débil-mente resoluble si, y sólo si, para un cierto c > 0 existe x >O, tal que f(x) = c.

Definición 2.3 _{Un operador q : R+ , Rn , diremos que} es convergente si, y sólo si, existe un x > 0 para el cual, lim qn(x) = 0, siendo qn la aplicación reiterada

n -.m

de q, n veces .

Teorema 2 .2 Para el sistema (S') verificando [(S .1) -(S .4) ] las condiciones siguientes son equivalentes : (FR) (S') es fuertemente resoluble.

(DR) (S') es débilmente resoluble. ( P) J f (0) es una P-matriz .

(NIS) f no invierte el signo de los elementos de Rn . (C) q es convergente .

Demostración _{La prueba se realizará siguiendo el} si-guiente esquema :

-50-(FR) ~`=Z* (P) <~ (NIS)

(FR) ~ (P) _{está contenida en el teorema 2.1} (FR) => (DR) es trivial

(P) *=>(NIS) _{El supuesto (S .3) implica que Jf(x) es} una P-matriz para todo x e Rn (véase nota tras el lema 2 .2), por lo que se, verifican las hipótesis del lema 2.1 .

Sea S = { x > 0 xi

f i (x) < 0 Y i=1, . . . . n} ,

esto es, formado por los elementos de R+ a los que f invierte el signo . Si probamos que S = { 0 }, estará visto que f no invierte el signo de los elementos de

R+, con lo que f verificará la condición (NIS) .

Sea x e S, x W 0 . Si x > 0, se verificará f(-,-c) < 0, y x > 0, en contradicción con el lema 2 .1 . Si x > 0, x v 0, construimos los conjuntos de índices K = {ï l xi > 0 } , T = {i 1 xi = 0 } .

V- i E K . Por otra parte, si i E T, se tiene fi (X) = X . -

Z %.(X)

Z %.(X.) -

= -Zq. . j (X) 1 _j EK lj j j E T lj j j EK lj como según (S .1), (S .3)

sabemos que qij (xj ) > 0, se tiene que fi(x) < 0 -Y i E T . Por tanto, fi(x) < 0,

para todo i = 1, . . . . n, x > 0, que es de nuevo una contradicción con el lema 2 .1 . En consecuencia, S= {0 } .

Y9

(NIS) a (P) Sea h(x) una extensión de f al conjun-to U = {x E Rn / x > - a , a > 0 }, a arbitrario*,

verifi-cando**

en 0, se tiene

Como x E S, ha de verificarse que fi(x) < 0

n

hi (x) = xi - 57 hij (x j ) i=l, . . .,n j=1

hij (xj ) = _qij(xj ) V xj > 0

hij (xj ) = gij(0) -Y xj E (- aj , 0)

Desarrollando la función, h, por Taylor

a= (al, . . .Ian) .

Véase WOODS (1978), ch .6-.

-52-donde :

h(x) = Jh (0)x +. _E(Ilxll)

lim E

0 1

x

1 1)

= 0

I1XI 1 -

0

11xI I

Para x > 0, por la construcción de h, se tiene h(x) = f(x) = Jf(0)x

+e(1Ix11)

J f (0) es una N-matriz, ya que fij (0) =-qij (0) < 0 [ i~j ] . Por tanto, para probar que J f (0) es una P-matriz, basta ver que Jf(0) no invierte el signo de los ele-mentos x E R+'" .

Si Jf (0) invierte el signo de algún x > 0, es posible hallar un a > 0, >, ER, tal que en [ 1 ] , los

signos de J f (0) ( ax) prevalezcan sobre E(11Xxil) .Ello

sig-nifica que f invierte el signo de ax (para un cierto a >O) , a x E R+, en contra de la hipótesis .

(DR) > (C) Por la condición (DR) , existe

x >

0, tal

que f(x) = c > 0 . Entonces, x - q (x) = c > 0, por lo que, 5¿ >q(X) >0 .

Y?

Por ser q creciente*, obtenemos q (x) > q [ q(x) ] = q2 (x) >0

en general, qn(x) > qn+1 (x) > 0 . En consecuencia, la sucesión { qn ( :,»ñ E PJ es decreciente y acotada

infe-riormente (puesto que qn ( x) > 0 Y n), por lo que existe lim qn (x) = xt > 0 . La continuidad de q

condu-n -.m

-ce a :

lim qn+1 (x) = lim q [ qn ( X) ] = q (x t) = xt

n-. . n, .

y por (S .4), xt = 0 .

(C) _> (P) Supongamos que existe x >O, tal que

Condición (S .3) .

lim qn (x) = 0

n-. .

Por el carácter creciente de q, es inmediato comprobar que si 0 < x < :Z, se tiene también que lim qn(x) = 0 .

La condición lim qn(x) = 0, junto con n "

-qn(x) >O, permite afirmar que K E N, para el cual

-54-La desigualdad [ 2 ] indica que: existe ;~ >0 tal que x - qK (x) = c>0.

Observemos, por otra parte, que si x< :!, y se tuvie-ra x - qK (x) = 0, entonces x = 0 (ya que si x=qK (x), se tiene q2 K (x) = x, . . . .qsK (x) = x . . . , V- s E N y como

lim qn (x) = 0, se tendría x = 0) . n "

-X >q K (x) >0 [2 ]

Por tanto, qK . _{verifica la hipótesis del}

le-ma 2 .3, por lo que cualquiera que sea c / 0 < c < c°, es posible encontrar un x de modo que c=x-qK _{(x), y}

x <R .

Aplicando ahora el lema 2 .4, podemos en-contrar x tan próximo a cero como queramos, x > . 0, de tal forma que x - qK (x) > 0 .

Considerando, para (x - q' (x» (de modo análogo a como se hizo para f en la prueba (NIS) => => (P», una extensión conveniente, y desarrollando por Taylor, se obtiene :

Tomemos x >0 tan próximo a cero como sea necesario,, de tal forma que x -,q K (x) > 0 y se veri fique que signo (1 - JqK (0)) x = signo [ x - qK (x) ] .

Entonces, para dicho x,

(1 - JgK (0)) x > o x >0 _{[3 ]}

ma

Pero la desigualdad [3 ]indica que el

siste-## Véase WOODS (1978), ch .2, ex .13 .

(I - J gK (0))x = c [4] .

es debilmente resoluble . Por otra parte, y puesto que [4]es un sitema lineal tipo (S), ya que JqK (0) es una matriz sémipositiva, obtenemos que JqK (0), ha de ser productiva*, esto es a*[J q(0)] < 1, siendo a*[JgK (0) ] la raíz de Frobenius de la matriz J qK (0) .

Ahora bien, a*[JgK(0)]= [>'*(Jq (0))]K <,-L

por lo que también

a*(Jq(0)) < 1, y por el teorema 1 .1 J f (0) = I - Jq(0) es una P-matriz, esto es, el sis-tema (S') verifica la condición (P) .

-56-C .Q .D .

Véase teorema 1 .1, equivalencia entre las condiciones (DR) y (Pr) .

11 .4 UNA NUEVA PROPIEDAD QUE SE VINCULA A LA

RE-SOLUBILIDAD DE (S') :

LA PRODUCTIVIDAD

i) q es continua .

de modo que`

Sea q :

R

n

-, R

n

,

verificando las condicio-nes siguientes

ii) q(x) > 0 si x > 0 ; q(0) = 0 .

En estas condiciones, es posible encontrar un * >0, y un vector xt > 0,

xi +

x2 + . . . +

xt = 1,

a) q(xt). = a* xt

b) Si a > a* no existe ningún x > 0, x1+x2+ . . .+xn=1,

de modo que q(x) = ax .

El resultado anterior lleva a introducir, para aquellos operadores semipositivos verificando i)

* Una prueba de este resultado, generalización débil de los teoremas de Perron-Frobenius, se ofrece en el Apé_n dice, Teorema A .3 .

e ii), una generalización del concepto de

productivi-dad* . ' x

Definición 2.4 Sea q : Rn + Rn verificando q (x) conti

nuo y q(x) > 0 si x > 0 ; q(0)=0 . Diremos que q es productivo síi a <l .

El operador q del sistema (S') verifica trivialmente la condición de continuidad, además de q(0)=0 . Para poder hablar de productividad de tal operador necesitamos que éste verifique una condición adicional .

(S .5) q(x) > 0 si x > 0 .

Esto es, no solamente q es semipositivo, sino que no se anula en ningún x E R+, x ~ 0.

En esta sección vinculamos la productivi-dad del operador q, (cuando (S') verifica [(S .1)-(S .5»] con la resolubilidad de (S')_-- -.EL .teorema siguiente afirma que la productividad de q es una condición necesaria de resolubilidad .

# Si q es lineal, q(x)=Ax con A semipositiva . En estas condiciones, a* no es más que A * (A), raíz de Frobenius

de A.

-58-Teorema 2.3 Para el sistema (S' ) , verificando los supuestos [(S .1) - (S .5)],-cualquiera de las condiciones equivalentes (FR), (P), (NIS), (DR), (C), del teorema 2 .2, implica (Pr) q es productivo .

Demostración Basta ver que (NIS) => (Pr) .

Razonando por reducción al absurdo, supo-nemos que x*> 1, entonces sea xt , x t >O,

x1+. . .+

xñ=1, "tal que q(x t ) = Mixt .

Por ser x* > 1, se obtiene que q(xt) - ~* x t >x t

con lo cual f(xt ) = xt - q(x t ) < 0, y al ser xt > 0,

f invierte el signo de xt , lo cual es una contradic-ción con (NIS) .

NOTA .- La condición (Pr) no es suficiente, en el caso general, para poder asegurar la resolubilidad del sistema (S'), como demuestra el siguiente ejemplo:

Sea : 0'2 si 0 <x, < 0'4

4~/ i

5 V 10 - 0'08 si x1 > 0'4

dos los supuestos [ (S . 1) - (S .5) ] ;

g12(x2) = 03x2

822 (x2) = 5x2

gll (x 1 ) + gl2(x2)

La función q(x1 , x2) = verifica to-+ 822(x2)

por

por otra parte, se tiene que q(1, 0) = a (1, 0) , con

0< a = 4 - 0'08 < 1 . Siendo además a = a*

5 l0

0'8 --0'3

Sin embargo Jf(0) = _que, obvia-0 _4

mente no es una P-matriz, y por tanto, por el teorema 2.1, el sistema x - q (x) = c (S'), no és resoluble .

Cuando Jf(0) es indescomponible, se obtiene la equivalencia entre la condición (Pr) y el grupo de condiciones (C), (DR), (FR), (P), (NIS), para un

-60-sistema (S'), verificando [(S.1) - (S .S)]. El resultado se recoge en el teorema 2 .4, cuya prueba es una con-secuencia inmediata de la proposición siguiente :

Proposición 2 .1 Sea q: Rn + R

n,

_{q>i (x) = 1 qij (xj ) ,} verificando (S .1), (S .2), (S .3), y tal que Jq (0) sea indescomponible . Si para un X > 0 y un x > 0, se

ve-rifica x x

-q (x) > 0 => x >O .

Demostración Sea x > 0

y a

>0, tales que

a

x-q(x) > 0 . Sin pérdida de generalidad, suponemos que xi > 0 i = . 1, . . ., K , xi = 0 para i = K+1, . . ., n.

La condición

a

x - q(x) > 0 implica

- q, (x) > o para i = K+l, . . . .n, por lo que (al ser

q(x) > 0 para x > 0), se tiene que q, (x) = 0, para to-do i = K+l, . . .n .

Por otra parte,

K n K

qi (x) =

2

gij (xj ) +

2.

_{gij(xj )=G.q.ij (xj ) = 0}

j=1 j= K+l j=1

para todo i = K+1, . . . . n.

y como

qij(xj ) > 0 Y- xj

tonces

i = K+ 1, . . .,n .

Las hipótesis (S .1) y (S .3) implican, en-gij (0) = 0 j = 1, . . . . K

,

es decir, Jq(0) es descomponible, en contra de la hi-p6tesis .

De la proposición 2.1 se obtiene el siguien te corolario, acerca de la positividad estricta de la

solución en el caso indescomponible

i = K+l, . . .,n

C .Q .D .

Corolario Sea (S' ) fuertemente resoluble y tal que J q(0) sea indescomponible . En estas condiciones, para

todo c > 0 la solución x de - (S') es x > 0.

Demostración Se obtiene inmediatamente de la propo-sición 2 .1, haciendo x=1 y x solución de (S') para c>0 .

Teorema 2.4 Sea el sistema (S') verificando [(S .1) -y tal que J q(0) sea indescomponible. Las condiciones siguientes son equivalentes

(FR) (S') es fuertemente resoluble . (DR) (S') es débilmente resoluble .

(P) J f (0) es una P-matriz .

(NIS) q no invierte el signo de los elementos de R+ . (C) q es convergente .

(Pr) q es productiva .

Demostración Como por el teorema 2.3 se tiene que el conjunto de condiciones (FR), (DR), (P), (NIS),

(C), implican (Pr), basta comprobar que (Pr) implica cualquiera de dichas condiciones . Probaremos que (Pr) implica (DR) .

Sea xt >O, xi + . . . + xt = 1

y tal que q (xt )

= a*

x . Por la proposición 2 .1,

xt > 0, y al ser q productivo, X*- < 1, de donde se

obtiene q(x fi ) < x t , esto es, f(x t ) > 0, con lo que se verifica (DR) .

II . 5 UNICIDAD Y POSITIVIDAD DE LAS SOLUCIONES .

ESTATICA COMPARATIVA

La unicidad de la solución para el sistema

(S'), cuando éste verifica cualquiera de las

condicio-nes equivalentes que garantizan su resolubilidad,

es-tá asegurada por el teorema 2.1 (Sandberg) .

Si (S') es resoluble para todo c > 0 y x

es la solución obtenida para un cierto c > 0 como

x = q( :7,) + c , es inmediato que x > 0 .

En el caso general, no se puede asegurar

la positividad estricta de las soluciones para todo

c > 0 . Sin embargo, cuando Jq(0) es una matriz

indes-componible, se garantiza la estricta positividad de

la solución para todo c > 0, por el corolario de la

proposición 2 .1 .

En el resto de esta sección nos

dedicare-mos al problema de comparar las soluciones de dos

-64-sistemas de tipo (S' ) parcialmente coincidentes, gene-ralizando, en lo posible, los resultados obtenidos a este respecto, para sistemas lineales tipo (S) en la

sección I .4 .

Es de resaltar que las hipótesis (S .1) (S .2) (S .3) del sistema (S') permiten comportamientos anóma-los sobre las componentes de la función f . Interpreta-do desde e~l punto de vista económico, fj (x) = xj-qj (x) representa la producción neta de mercancía j cuando el sistema opera a un nivel de actividad determinado por el vector x. Lo habitual (y entre otras cosas es-perable desde el punto de vista económico del funcio-namiento del sistema), es que mayores niveles de ac-tividad produzcan mayores outputs netos en todos los sectores (esto es, si x < y, entonces f (x) < f(y)) ; sin embargo, esto no queda asegurado para los sistemas resolubles del tipo (S') . A continuación se presenta un ejemplo de este comportamiento anormal .

Sea q: R2 -" R2,gi(x)=gil(xl)+9.12(x2) i=1,2 gll (x 1 ) = 0'3 xl ; g12 (x2) ='0'5 x2

q21(x1) = O'002 x1 ; g22(x2) = 0'5 x2 - 0'25 L(x2+1)

Las funciones q . . (x .) i,j=1,2, verifican los_{1J J} supuestos (S .1) (S .2) (S .3) y (S .4) ; por otra parte, el sistema es resoluble . Si el sistema (S') opera con un nivel de actividad 1=300, x2=1, se obtienen como outp uts netos ci=209 .5 y

c2=

_{0 .0733 .} Sin embargo, si opera con niveles de actividad x1=700 y x2=2, los out-puts netos obtenidos son c=489 y c= 0.0024 . Con lo

1

2

cual, un aumento en el nivel de actividad (xi < x1) genera una disminución del output neto obtenido para la mercancía 2 .

Las posibilidades de tal comportamiento anómalo para el sistema (S') hacen que no sea gene-ralizable en todos los casos el apartado ii) del teo rema 1 .4 a tales sistemas . No obstante, en el caso en que f sea monótona (es decir, cuando x < y => f(x) < < f (y)) , sí que es posible obtener. dicho resultado de estática comparativa para sistemas (S') .

Consideremos ahora dos sistemas resolubles de la forma (S') :

-66-x = q° (-66-x) + c° _{[ 5 ]}

x = ; q t (x) + ct

[6 ]

.

tales que c°, ct

>0 .

En estas condiciones [ 5 ], [

6

]po-seen solución única sem.i positiva x°,xt> 0, respectivamente . Tratamos de establecer criterios que permitan

compa-rar las soluciones x° _{x , de los sistemas [ 5}fi

]y [

₆₁

Análogamente a como se hizo en la sección 1 .4, dividamos el conjunto de índices N={1,2, . . . . n} en dos partes y designemos S ={1,2, . . . . s } y T---6+1, . . .'n}

Cualquier vector y E Rn se divide asímismo,

en dos partes, y= (yS ,YT) , donde yS es el s-vector

formado por las s primeras componentes de y ; _{yT es}

el (n-s) -vector formado por las restantes componentes de y .

Una función q : R n, Rn puede descomponer-se de manera análoga . Para cada x, q',(x), es un vector de R s formado por las s primeras componentes de

q (x) ;

_{qT (x) se interpreta análogamente .}

esto es

Hay que observar que qS: Rn -" Rs , y -' R(n-s) .

Sean q° y qt (en las ecuaciones [

5 ] y [6 ] )

tales que coincidan en sus (n-s) últimas componentes,

qO (x) = qTfi(x) para todo x E R+

[71

Nos interesa comparar las soluciones de

[51y[61

cuando q°, qfi verifican [ 7 ] y, además,

t

cT = cT_{. Los resultados a este respecto se recogen}

en la proposición siguiente:

Proposición 2.2 Sean [

5 ] y [6 ]

dos sistemas resolubles tipo (S'), tales que qO(x)=q

_{tf (x)}

para todo x

e

R+, cT=ct_f. Sean x° , xt , las soluciones de [5]y[6], y su-pongamos que xs-qt_{(x°) >cS .}

En estas condiciones :

i) x° > xt (además xS >

xS )

ii) Si ft es creciente y xt > 0, se verifica además x° x°

max _{t > t} Y- j E T

i E S x. x . 1

-68-Demostración

i) De la condición x.

'-qS(x°) > cS

se sigue (por la igualdad entre cT y ctr ), que x° > qt (x°) + ct .

Realicemos entonces la iteración x (°) = x~

x (1) = qt (x°) + c t < xo

x(i+1) = qt (x (i) ) +

c t <x (i)

De esta manera se obtiene una sucesión { x(i) } ._{1 E 1{} monótona decreciente, acotada inferiormente (x (i )> 0 i), cuyo límite ha de ser xt por la continuidad

t fi

de q . Por construcción, x < x° (verificándose trivialmente la desigualdad estricta para las com-ponentes en el subconjunto S) .

ii) Supongamos que existe un j E T, tal que

Sea m

para todo i=l, . . .,n

entonces xt < x° < mxt . El carácter creciente de qt permite afirmar que

qJK (xK) < qJK (m xt ) .

escribir :

cJ = xj - gj (xt ) = xj - qj (x') =

Al ser .j _{e T, co=c}t , _{por lo que podemos}

n

x t )_K

> m xfi - :-57 q° (m xt ) = m xfi - _{qf(m xt )}

j ,,=1 j K K j j

En definitiva,

f~ (x t) > ft (m xt ) siendo xt >0, m > l, que

con-tradice la monotonía de ft .

-70-C .Q .D .*

* La prueba de la parte ii) de esta proposición sigue una sugerencia debida al profesor L . ELSNER .

x . j t x j ~-K=l j x° _t n x° x j - q°. K K ( xJ K.-1 3 xt n

A partir de la proposición 2.2, pueden ob-tenerse corolarios análogos a los presentados en la sección 1 .4 .

III .l Introducción .

111 .4 La condición (C) .

C A P I T U L 0

I I I

U N

M 0 D E L 0

C 0 N T I N U 0

111 .2 El sistema (SI') . Primeros resultados de resolubi-lidad .

111 .3 La condición (NIS) . Su vinculación a la resclubi-lidad de (S'') .

111 .5 Productividad de los operadores la resolubilidad .

111 .6 Unicidad y positividad de las soluciones . Estática comparativa .

-7

111.1 INTRODUCCION

Presentamos en este capítulo una nueva generalización del sistema lineal, estudiado en el ca-pítulo I . Esta modelización alternativa está inspirada en el sistema presentado inicialmente por LAHIRI (1976) y posteriormente desarrollado por LAHIRI & PYATT (1980) en un intento de modelizar una economía tipo Leontief,  admitiendo rendimientos crecientes a esca-la* .

Es interesante observar que las modeliza-ciones de Sandberg (que da origen al sistema diferen-ciable (S') del capítulo II) y de Lahiri (presentada en este capítulo), son generalizaciones independien-tes del modelo lineal de Leontief ; con la palabra "in-dependientes" queremos significar que el tipo de ren-dimientos variables que admiten cada uno de los mo-delos son, en general, de distinta naturaleza, lo que implica que los supuestos bases de cada uno ' de ellos resulten incomparables** .

Véase capítulo IV, sección IV .2 .

Véase en el punto III .1 un ejemplo que prueba que la generalización del modelo lineal presentada en el ca-pítulo II no es un caso particular del estudiado aquí .

Las características fundamentales de la modelización de Lahiri .. pueden resumirse en los sï-guientes puntos

n

a) La función A(x) =

(.15-

_{aij xj ) del sistema lineal,}

1 ql (x)

es sustituida por q : Rn -> Rn, q (x) = q2(x) donde

I

qn(x)

1

qi (x) representa la cantidad del bien i necesaria para producir (x l , x2 , . . . , xn ) cantidades de los bienes 1, 2, . . . . n respectivamente .

b) El operador q es semipositivo, continuo y subhomo-géneo .

En el punto 111 .2 se presenta el sistema standard asociado al modelo de Lahiri (S"), así como el primer resultado de--resolubilidad : equivalencia en-tre resolubilidad fuerte y débil, aparecido en el tra-bajo de LAHIRI & PYATT (1980) .

En el punto 111 .3 se estudia la condición