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El problema de existencia y regularidad para las ecuaciones de Navier-Stokes: uno de los siete problemas del milenio

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(1)

El problema de existencia y regularidad para las ecuaciones

de Navier-Stokes: uno de los siete problemas del milenio

Nicol´as Bourbaki

Departamento de Matem´aticas Universidad de Antioquia

Copyleft c 2008. Reproducci´on permitida bajo los t´erminos de la licencia de documentaci´on libre GNU.

(2)

Contenido

Introducci´on

¿Qu´e son las ecuaciones de Navier-Stokes? ¿C´omo surgen?

Problema matem´atico

Descripci´on del problema

Las ecuaciones de Euler

Las Ecuaciones de Navier-Stokes El desaf´ıo

Enunciado del problema

(3)

¿Qu´

e son las ecuaciones de Navier-Stokes?

I Son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido (liquidos y gases).

I Modelan una gran variedad de fen´omenos f´ısicos complejos:

I clima

I corrientes oce´anicas I aerodin´amica

I movimiento de estrellas

I No se conoce una f´ormula que resuelva las ecuaciones (soluci´on anal´ıtica) excepto en algunos tipos de flujos concretos.

I Es necesario recurrir al an´alisis num´erico para determinar soluciones aproximadas.

(4)

¿Qu´

e son las ecuaciones de Navier-Stokes?

I Son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido (liquidos y gases).

I Modelan una gran variedad de fen´omenos f´ısicos complejos:

I clima

I corrientes oce´anicas I aerodin´amica

I movimiento de estrellas

I No se conoce una f´ormula que resuelva las ecuaciones (soluci´on anal´ıtica) excepto en algunos tipos de flujos concretos.

I Es necesario recurrir al an´alisis num´erico para determinar soluciones aproximadas.

(5)

¿Qu´

e son las ecuaciones de Navier-Stokes?

I Son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido (liquidos y gases).

I Modelan una gran variedad de fen´omenos f´ısicos complejos:

I clima

I corrientes oce´anicas

I aerodin´amica

I movimiento de estrellas

I No se conoce una f´ormula que resuelva las ecuaciones (soluci´on anal´ıtica) excepto en algunos tipos de flujos concretos.

I Es necesario recurrir al an´alisis num´erico para determinar soluciones aproximadas.

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¿Qu´

e son las ecuaciones de Navier-Stokes?

I Son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido (liquidos y gases).

I Modelan una gran variedad de fen´omenos f´ısicos complejos:

I clima

I corrientes oce´anicas I aerodin´amica

I movimiento de estrellas

I No se conoce una f´ormula que resuelva las ecuaciones (soluci´on anal´ıtica) excepto en algunos tipos de flujos concretos.

I Es necesario recurrir al an´alisis num´erico para determinar soluciones aproximadas.

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¿Qu´

e son las ecuaciones de Navier-Stokes?

I Son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido (liquidos y gases).

I Modelan una gran variedad de fen´omenos f´ısicos complejos:

I clima

I corrientes oce´anicas I aerodin´amica

I movimiento de estrellas

I No se conoce una f´ormula que resuelva las ecuaciones (soluci´on anal´ıtica) excepto en algunos tipos de flujos concretos.

I Es necesario recurrir al an´alisis num´erico para determinar soluciones aproximadas.

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¿Qu´

e son las ecuaciones de Navier-Stokes?

I Son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido (liquidos y gases).

I Modelan una gran variedad de fen´omenos f´ısicos complejos:

I clima

I corrientes oce´anicas I aerodin´amica

I movimiento de estrellas

I No se conoce una f´ormula que resuelva las ecuaciones (soluci´on anal´ıtica) excepto en algunos tipos de flujos concretos.

I Es necesario recurrir al an´alisis num´erico para determinar soluciones aproximadas.

(9)

¿Qu´

e son las ecuaciones de Navier-Stokes?

I Son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido (liquidos y gases).

I Modelan una gran variedad de fen´omenos f´ısicos complejos:

I clima

I corrientes oce´anicas I aerodin´amica

I movimiento de estrellas

I No se conoce una f´ormula que resuelva las ecuaciones (soluci´on anal´ıtica) excepto en algunos tipos de flujos concretos.

I Es necesario recurrir al an´alisis num´erico para determinar soluciones aproximadas.

(10)

¿C´

omo surgen?

Daniel Bernoulli (1700 - 1782)

Durante la primera mitad del siglo XVIII el matem´atico suizo Daniel Bernoulli muestra c´omo adaptar los m´etodos del c´alculo para analizar c´omo fluyen los fluidos.

Leonhard Euler (1707 - 1783)

Basado en el trabajo de Bernoulli, Leonhard Euler formula un conjunto de ecuaciones cuyas soluciones decriben precisamente el movimiento de un fluido hipot´etico no viscoso.

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¿C´

omo surgen?

Daniel Bernoulli (1700 - 1782)

Durante la primera mitad del siglo XVIII el matem´atico suizo Daniel Bernoulli muestra c´omo adaptar los m´etodos del c´alculo para analizar c´omo fluyen los fluidos.

Leonhard Euler (1707 - 1783)

Basado en el trabajo de Bernoulli, Leonhard Euler formula un conjunto de ecuaciones cuyas soluciones decriben precisamente el movimiento de un fluido hipot´etico no viscoso.

(12)

¿C´

omo surgen?

Claude-Louis Navier (1785 - 1836)

En 1822 Navier modifica las ecuaciones de Euler para abarcar el caso m´as realista de un fluido con viscosidad. Aunque su razonamiento matem´atico fue incorrecto, obtuvo las ecuaciones correctas.

George Gabriel Stokes (1819 - 1903)

En 1842 Stokes deduce por medio de un razonamiento correcto las ecuaciones que 20 a˜nos antes Navier hab´ıa obtenido y extendi´o la teor´ıa.

(13)

¿C´

omo surgen?

Claude-Louis Navier (1785 - 1836)

En 1822 Navier modifica las ecuaciones de Euler para abarcar el caso m´as realista de un fluido con viscosidad. Aunque su razonamiento matem´atico fue incorrecto, obtuvo las ecuaciones correctas.

George Gabriel Stokes (1819 - 1903)

En 1842 Stokes deduce por medio de un razonamiento correcto las ecuaciones que 20 a˜nos antes Navier hab´ıa obtenido y extendi´o la teor´ıa.

(14)

Problema matem´

atico

I Los matem´aticos aun no consiguen demostrar si para el caso en tres dimensiones siempre existir´an soluciones (existencia).

I En caso de existir, ¿contendr´an dichas soluciones discontinuidades o singularidades (regularidad)?

I El instituto Clay de Matem´aticas ha denominado a ´este como uno de los siete problemas del milenio.

I El instituto Clay ofrece la suma de un mill´on de d´olares a quien presente una soluci´on o un contraejemplo a este dif´ıcil problema.

(15)

Problema matem´

atico

I Los matem´aticos aun no consiguen demostrar si para el caso en tres dimensiones siempre existir´an soluciones (existencia).

I En caso de existir, ¿contendr´an dichas soluciones discontinuidades o singularidades (regularidad)?

I El instituto Clay de Matem´aticas ha denominado a ´este como uno de los siete problemas del milenio.

I El instituto Clay ofrece la suma de un mill´on de d´olares a quien presente una soluci´on o un contraejemplo a este dif´ıcil problema.

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Problema matem´

atico

I Los matem´aticos aun no consiguen demostrar si para el caso en tres dimensiones siempre existir´an soluciones (existencia).

I En caso de existir, ¿contendr´an dichas soluciones discontinuidades o singularidades (regularidad)?

I El instituto Clay de Matem´aticas ha denominado a ´este como uno de los siete problemas del milenio.

I El instituto Clay ofrece la suma de un mill´on de d´olares a quien presente una soluci´on o un contraejemplo a este dif´ıcil problema.

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Problema matem´

atico

I Los matem´aticos aun no consiguen demostrar si para el caso en tres dimensiones siempre existir´an soluciones (existencia).

I En caso de existir, ¿contendr´an dichas soluciones discontinuidades o singularidades (regularidad)?

I El instituto Clay de Matem´aticas ha denominado a ´este como uno de los siete problemas del milenio.

I El instituto Clay ofrece la suma de un mill´on de d´olares a quien presente una soluci´on o un contraejemplo a este dif´ıcil problema.

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Problema matem´

atico

Anuncio del Instituto Clay de Matem´aticas

Navier-Stokes Equation

Waves follow our boat as we meander across the lake, and turbulent air currents follow our flight in a modern jet. Mathematicians and physicists believe that an explanation for and the prediction of both the breeze and the turbulence can be found through an understanding of solutions to the Navier-Stokes equations. Although these equations were written down in the 19th Century, our understanding of them remains minimal. The challenge is to make substantial progress toward a mathematical theory which will unlock the secrets hidden in the Navier-Stokes equations. http://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes Equations/

(19)

Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos

I Las ecuaciones de Euler gobiernan el flujo de un fluido hipot´etico sin viscodidad que se extiende de manera infinita en todas las direcciones.

I Asumimos que cada punto P = (x, y, z) en el fluido est´a sujeto a fuerzas que var´ıan con el tiempo en cada direcci´on: fx(x, y, z, t),

fy(x, y, z, t) y fz(x, y, z, t).

I El fluido experimenta una presi´on p(x, y, z, t) en el punto P al tiempo t.

I El movimiento del fluido en el punto P al tiempo t queda determinado por la velocidad con que fluye en cada direcci´on: ux(x, y, z, t),

(20)

Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos

I Las ecuaciones de Euler gobiernan el flujo de un fluido hipot´etico sin viscodidad que se extiende de manera infinita en todas las direcciones.

I Asumimos que cada punto P = (x, y, z) en el fluido est´a sujeto a fuerzas que var´ıan con el tiempo en cada direcci´on: fx(x, y, z, t),

fy(x, y, z, t) y fz(x, y, z, t).

I El fluido experimenta una presi´on p(x, y, z, t) en el punto P al tiempo t.

I El movimiento del fluido en el punto P al tiempo t queda determinado por la velocidad con que fluye en cada direcci´on: ux(x, y, z, t),

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Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos

I Las ecuaciones de Euler gobiernan el flujo de un fluido hipot´etico sin viscodidad que se extiende de manera infinita en todas las direcciones.

I Asumimos que cada punto P = (x, y, z) en el fluido est´a sujeto a fuerzas que var´ıan con el tiempo en cada direcci´on: fx(x, y, z, t),

fy(x, y, z, t) y fz(x, y, z, t).

I El fluido experimenta una presi´on p(x, y, z, t) en el punto P al tiempo t.

I El movimiento del fluido en el punto P al tiempo t queda determinado por la velocidad con que fluye en cada direcci´on: ux(x, y, z, t),

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Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos

I Las ecuaciones de Euler gobiernan el flujo de un fluido hipot´etico sin viscodidad que se extiende de manera infinita en todas las direcciones.

I Asumimos que cada punto P = (x, y, z) en el fluido est´a sujeto a fuerzas que var´ıan con el tiempo en cada direcci´on: fx(x, y, z, t),

fy(x, y, z, t) y fz(x, y, z, t).

I El fluido experimenta una presi´on p(x, y, z, t) en el punto P al tiempo t.

I El movimiento del fluido en el punto P al tiempo t queda determinado por la velocidad con que fluye en cada direcci´on: ux(x, y, z, t),

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Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos

I Asumimos que el fluido es incompresible: no se puede “comprimir” o “expandir” cuando act´uan fuerzas sobre ´este.

I La incompresibilidad se expresa matematicamente por medio de ∂ux ∂x + ∂uy ∂y + ∂uz ∂z = 0 (1)

I El problema presupone que conocemos c´omo es el movimiento del fluido al inicio cuando t = 0, i.e., ux(x, y, z, 0), uy(x, y, z, 0) y

uz(x, y, z, 0) son conocidas (condiciones iniciales).

I Estas funciones iniciales deben satisfacer ciertas hip´otesis de “suavidad” o regularidad que m´as adelante en la secci´on (3) precisaremos.

(24)

Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos

I Asumimos que el fluido es incompresible: no se puede “comprimir” o “expandir” cuando act´uan fuerzas sobre ´este.

I La incompresibilidad se expresa matematicamente por medio de ∂ux ∂x + ∂uy ∂y + ∂uz ∂z = 0 (1)

I El problema presupone que conocemos c´omo es el movimiento del fluido al inicio cuando t = 0, i.e., ux(x, y, z, 0), uy(x, y, z, 0) y

uz(x, y, z, 0) son conocidas (condiciones iniciales).

I Estas funciones iniciales deben satisfacer ciertas hip´otesis de “suavidad” o regularidad que m´as adelante en la secci´on (3) precisaremos.

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Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos

I Asumimos que el fluido es incompresible: no se puede “comprimir” o “expandir” cuando act´uan fuerzas sobre ´este.

I La incompresibilidad se expresa matematicamente por medio de ∂ux ∂x + ∂uy ∂y + ∂uz ∂z = 0 (1)

I El problema presupone que conocemos c´omo es el movimiento del fluido al inicio cuando t = 0, i.e., ux(x, y, z, 0), uy(x, y, z, 0) y

uz(x, y, z, 0) son conocidas (condiciones iniciales).

I Estas funciones iniciales deben satisfacer ciertas hip´otesis de “suavidad” o regularidad que m´as adelante en la secci´on (3) precisaremos.

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Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos

I Asumimos que el fluido es incompresible: no se puede “comprimir” o “expandir” cuando act´uan fuerzas sobre ´este.

I La incompresibilidad se expresa matematicamente por medio de ∂ux ∂x + ∂uy ∂y + ∂uz ∂z = 0 (1)

I El problema presupone que conocemos c´omo es el movimiento del fluido al inicio cuando t = 0, i.e., ux(x, y, z, 0), uy(x, y, z, 0) y

uz(x, y, z, 0) son conocidas (condiciones iniciales).

I Estas funciones iniciales deben satisfacer ciertas hip´otesis de “suavidad” o regularidad que m´as adelante en la secci´on (3) precisaremos.

(27)

Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos

I Al aplicar las leyes de Newton a cada punto P del fluido y la ecuaci´on de la incompresibilidad (1) Euler obtuvo

∂ux ∂t + ux ∂ux ∂x + uy ∂ux ∂y + uz ∂ux ∂z = fx(x, y, z, t) − ∂p ∂x (2) ∂uy ∂t + ux ∂uy ∂x + uy ∂uy ∂y + uz ∂uy ∂z = fy(x, y, z, t) − ∂p ∂y (3) ∂uz ∂t + ux ∂uz ∂x + uy ∂uz ∂y + uz ∂uz ∂z = fz(x, y, z, t) − ∂p ∂z (4)

I Las ecuaciones diferenciales parciales (1) – (4) son conocidas como las ecuaciones de Euler para el movimiento de un fluido.

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Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos

I Al aplicar las leyes de Newton a cada punto P del fluido y la ecuaci´on de la incompresibilidad (1) Euler obtuvo

∂ux ∂t + ux ∂ux ∂x + uy ∂ux ∂y + uz ∂ux ∂z = fx(x, y, z, t) − ∂p ∂x (2) ∂uy ∂t + ux ∂uy ∂x + uy ∂uy ∂y + uz ∂uy ∂z = fy(x, y, z, t) − ∂p ∂y (3) ∂uz ∂t + ux ∂uz ∂x + uy ∂uz ∂y + uz ∂uz ∂z = fz(x, y, z, t) − ∂p ∂z (4)

I Las ecuaciones diferenciales parciales (1) – (4) son conocidas como las ecuaciones de Euler para el movimiento de un fluido.

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Las ecuaciones de Euler para el movimiento de fluidos

I Al aplicar las leyes de Newton a cada punto P del fluido y la ecuaci´on de la incompresibilidad (1) Euler obtuvo

∂ux ∂t + ux ∂ux ∂x + uy ∂ux ∂y + uz ∂ux ∂z = fx(x, y, z, t) − ∂p ∂x (2) ∂uy ∂t + ux ∂uy ∂x + uy ∂uy ∂y + uz ∂uy ∂z = fy(x, y, z, t) − ∂p ∂y (3) ∂uz ∂t + ux ∂uz ∂x + uy ∂uz ∂y + uz ∂uz ∂z = fz(x, y, z, t) − ∂p ∂z (4)

I Las ecuaciones diferenciales parciales (1) – (4) son conocidas como las ecuaciones de Euler para el movimiento de un fluido.

(30)

Las Ecuaciones de Navier-Stokes

I Navier y Stokes modifican las ecuaciones de Euler para abarcar el caso m´as realista de un fluido con viscosidad..

I Introducen una constante positiva ν que mide las fuerzas de fricci´on en el interior del fluido.

I Agregan al lado derecho de las ecuciones de Euler (2) – (4) una fuerza adicional (debido a la viscosidad), dada en el caso de (2) por

ν„ ∂ 2 ux ∂x2 + ∂2ux ∂y2 + ∂2ux ∂z2 «

I Para (3) y (4) el t´ermino a agregar es el mismo pero sustituyendo a ux

(31)

Las Ecuaciones de Navier-Stokes

I Navier y Stokes modifican las ecuaciones de Euler para abarcar el caso m´as realista de un fluido con viscosidad..

I Introducen una constante positiva ν que mide las fuerzas de fricci´on en el interior del fluido.

I Agregan al lado derecho de las ecuciones de Euler (2) – (4) una fuerza adicional (debido a la viscosidad), dada en el caso de (2) por

ν„ ∂ 2 ux ∂x2 + ∂2ux ∂y2 + ∂2ux ∂z2 «

I Para (3) y (4) el t´ermino a agregar es el mismo pero sustituyendo a ux

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Las Ecuaciones de Navier-Stokes

I Navier y Stokes modifican las ecuaciones de Euler para abarcar el caso m´as realista de un fluido con viscosidad..

I Introducen una constante positiva ν que mide las fuerzas de fricci´on en el interior del fluido.

I Agregan al lado derecho de las ecuciones de Euler (2) – (4) una fuerza adicional (debido a la viscosidad), dada en el caso de (2) por

ν„ ∂ 2 ux ∂x2 + ∂2ux ∂y2 + ∂2ux ∂z2 «

I Para (3) y (4) el t´ermino a agregar es el mismo pero sustituyendo a ux

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Las Ecuaciones de Navier-Stokes

I Navier y Stokes modifican las ecuaciones de Euler para abarcar el caso m´as realista de un fluido con viscosidad..

I Introducen una constante positiva ν que mide las fuerzas de fricci´on en el interior del fluido.

I Agregan al lado derecho de las ecuciones de Euler (2) – (4) una fuerza adicional (debido a la viscosidad), dada en el caso de (2) por

ν„ ∂ 2 ux ∂x2 + ∂2ux ∂y2 + ∂2ux ∂z2 «

I Para (3) y (4) el t´ermino a agregar es el mismo pero sustituyendo a ux

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Las Ecuaciones de Navier-Stokes

I Las ecuaciones que Navier y Stokes obtienen son

∂ux ∂t + ux ∂ux ∂x + uy ∂ux ∂y + uz ∂ux ∂z = ν „ ∂2 ux ∂x2 + ∂2ux ∂y2 + ∂2ux ∂z2 « + fx(x, y, z, t) − ∂p ∂x (5) ∂uy ∂t + ux ∂uy ∂x + uy ∂uy ∂y + uz ∂uy ∂z = ν „ ∂2 uy ∂x2 + ∂2uy ∂y2 + ∂2uy ∂z2 « + fy(x, y, z, t) − ∂p ∂y (6) ∂uz ∂t + ux ∂uz ∂x + uy ∂uz ∂y + uz ∂uz ∂z = ν „ ∂2u z ∂x2 + ∂2u z ∂y2 + ∂2u z ∂z2 « + fz(x, y, z, t) − ∂p ∂z (7)

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Las Ecuaciones de Navier-Stokes

I Las ecuaciones que Navier y Stokes obtienen son

∂ux ∂t + ux ∂ux ∂x + uy ∂ux ∂y + uz ∂ux ∂z = ν „ ∂2 ux ∂x2 + ∂2ux ∂y2 + ∂2ux ∂z2 « + fx(x, y, z, t) − ∂p ∂x (5) ∂uy ∂t + ux ∂uy ∂x + uy ∂uy ∂y + uz ∂uy ∂z = ν „ ∂2 uy ∂x2 + ∂2uy ∂y2 + ∂2uy ∂z2 « + fy(x, y, z, t) − ∂p ∂y (6) ∂uz ∂t + ux ∂uz ∂x + uy ∂uz ∂y + uz ∂uz ∂z = ν „ ∂2 uz ∂x2 + ∂2uz ∂y2 + ∂2uz ∂z2 « + fz(x, y, z, t) − ∂p ∂z (7)

(36)

Las Ecuaciones de Navier-Stokes

I Durante el siglo XIX los matem´aticos desarrollan una notaci´on y un m´etodo para analizar cantidades que cambian en cada direcci´on llamado c´alculo vectorial.

I Utilizando la notaci´on del c´alculo vectorial las ecuaciones de

Navier-Stokes (5)– (7) se pueden escribir de forma m´as compacta como ∂u

∂t + (u · ∇) u = ν∆u − ∇p + f , ∇ · u = 0 (8) donde

u = (ux, uy, uz) = campo de velocidades del fluido

p = presi´on que act´ua sobre el fluido

(37)

Las Ecuaciones de Navier-Stokes

I Durante el siglo XIX los matem´aticos desarrollan una notaci´on y un m´etodo para analizar cantidades que cambian en cada direcci´on llamado c´alculo vectorial.

I Utilizando la notaci´on del c´alculo vectorial las ecuaciones de

Navier-Stokes (5)– (7) se pueden escribir de forma m´as compacta como ∂u

∂t + (u · ∇) u = ν∆u − ∇p + f , ∇ · u = 0 (8) donde

u = (ux, uy, uz) = campo de velocidades del fluido

p = presi´on que act´ua sobre el fluido

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Las Ecuaciones de Navier-Stokes

I Durante el siglo XIX los matem´aticos desarrollan una notaci´on y un m´etodo para analizar cantidades que cambian en cada direcci´on llamado c´alculo vectorial.

I Utilizando la notaci´on del c´alculo vectorial las ecuaciones de

Navier-Stokes (5)– (7) se pueden escribir de forma m´as compacta como ∂u

∂t + (u · ∇) u = ν∆u − ∇p + f , ∇ · u = 0 (8) donde

u = (ux, uy, uz) = campo de velocidades del fluido

p = presi´on que act´ua sobre el fluido

(39)

El desaf´ıo

En ausencia de fuerzas externas (fx= fy= fz= 0), las ecuaciones de

Navier-Stokes (8) quedan as´ı: ∂u

∂t + (u · ∇) u = ν∆u − ∇p, ∇ · u = 0 (9)

El instituto Clay ofrece un mill´on de d´olares a quien responda:

Problema del milenio para las ecuaciones de Navier-Stokes

¿Es posible encontrar funciones ux(x, y, z, t), uy(x, y, z, t), uz(x, y, z, t) y

p(x, y, z, t) que satisfagan (9) y que se comporten lo suficientemente “bien” para corresponder con la realidad f´ısica?

(40)

El desaf´ıo

En ausencia de fuerzas externas (fx= fy= fz= 0), las ecuaciones de

Navier-Stokes (8) quedan as´ı: ∂u

∂t + (u · ∇) u = ν∆u − ∇p, ∇ · u = 0 (9)

El instituto Clay ofrece un mill´on de d´olares a quien responda:

Problema del milenio para las ecuaciones de Navier-Stokes

¿Es posible encontrar funciones ux(x, y, z, t), uy(x, y, z, t), uz(x, y, z, t) y

p(x, y, z, t) que satisfagan (9) y que se comporten lo suficientemente “bien” para corresponder con la realidad f´ısica?

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El desaf´ıo

En ausencia de fuerzas externas (fx= fy= fz= 0), las ecuaciones de

Navier-Stokes (8) quedan as´ı: ∂u

∂t + (u · ∇) u = ν∆u − ∇p, ∇ · u = 0 (9)

El instituto Clay ofrece un mill´on de d´olares a quien responda:

Problema del milenio para las ecuaciones de Navier-Stokes

¿Es posible encontrar funciones ux(x, y, z, t), uy(x, y, z, t), uz(x, y, z, t) y

p(x, y, z, t) que satisfagan (9) y que se comporten lo suficientemente “bien” para corresponder con la realidad f´ısica?

(42)

El desaf´ıo

I Hasta el momento los avances para resolver el problema de las ecuaciones de Navier-Stokes han sido escasos [Devlin, 2002].

I El problema an´alogo para el caso de viscosidad nula ν = 0 (ecuaciones de Euler) tampoco ha sido hasta ahora resuelto.

I Para el caso de dos dimensiones (u = (ux, uy)), el problema de las

ecuaciones de Navier-Stokes fue resuelto hace muchos a˜nos aunque su soluci´on no ha ayudado a resolver el caso en tres dimensiones

I El problema de las ecuaciones de Navier-Stokes admite soluci´on bajo algunas restricciones.

I Dadas las condiciones iniciales, es posible encontrar un n´umero T > 0 tal que las ecuaciones pueden ser resueltas para todo tiempo 0 ≤ t ≤ T . I Esta constante T (tiempo de “blowup”) es muy peque˜na y por tanto

(43)

El desaf´ıo

I Hasta el momento los avances para resolver el problema de las ecuaciones de Navier-Stokes han sido escasos [Devlin, 2002].

I El problema an´alogo para el caso de viscosidad nula ν = 0 (ecuaciones de Euler) tampoco ha sido hasta ahora resuelto.

I Para el caso de dos dimensiones (u = (ux, uy)), el problema de las

ecuaciones de Navier-Stokes fue resuelto hace muchos a˜nos aunque su soluci´on no ha ayudado a resolver el caso en tres dimensiones

I El problema de las ecuaciones de Navier-Stokes admite soluci´on bajo algunas restricciones.

I Dadas las condiciones iniciales, es posible encontrar un n´umero T > 0 tal que las ecuaciones pueden ser resueltas para todo tiempo 0 ≤ t ≤ T . I Esta constante T (tiempo de “blowup”) es muy peque˜na y por tanto

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El desaf´ıo

I Hasta el momento los avances para resolver el problema de las ecuaciones de Navier-Stokes han sido escasos [Devlin, 2002].

I El problema an´alogo para el caso de viscosidad nula ν = 0 (ecuaciones de Euler) tampoco ha sido hasta ahora resuelto.

I Para el caso de dos dimensiones (u = (ux, uy)), el problema de las

ecuaciones de Navier-Stokes fue resuelto hace muchos a˜nos aunque su soluci´on no ha ayudado a resolver el caso en tres dimensiones

I El problema de las ecuaciones de Navier-Stokes admite soluci´on bajo algunas restricciones.

I Dadas las condiciones iniciales, es posible encontrar un n´umero T > 0 tal que las ecuaciones pueden ser resueltas para todo tiempo 0 ≤ t ≤ T . I Esta constante T (tiempo de “blowup”) es muy peque˜na y por tanto

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El desaf´ıo

I Hasta el momento los avances para resolver el problema de las ecuaciones de Navier-Stokes han sido escasos [Devlin, 2002].

I El problema an´alogo para el caso de viscosidad nula ν = 0 (ecuaciones de Euler) tampoco ha sido hasta ahora resuelto.

I Para el caso de dos dimensiones (u = (ux, uy)), el problema de las

ecuaciones de Navier-Stokes fue resuelto hace muchos a˜nos aunque su soluci´on no ha ayudado a resolver el caso en tres dimensiones

I El problema de las ecuaciones de Navier-Stokes admite soluci´on bajo algunas restricciones.

I Dadas las condiciones iniciales, es posible encontrar un n´umero T > 0 tal que las ecuaciones pueden ser resueltas para todo tiempo 0 ≤ t ≤ T . I Esta constante T (tiempo de “blowup”) es muy peque˜na y por tanto

(46)

El desaf´ıo

I Hasta el momento los avances para resolver el problema de las ecuaciones de Navier-Stokes han sido escasos [Devlin, 2002].

I El problema an´alogo para el caso de viscosidad nula ν = 0 (ecuaciones de Euler) tampoco ha sido hasta ahora resuelto.

I Para el caso de dos dimensiones (u = (ux, uy)), el problema de las

ecuaciones de Navier-Stokes fue resuelto hace muchos a˜nos aunque su soluci´on no ha ayudado a resolver el caso en tres dimensiones

I El problema de las ecuaciones de Navier-Stokes admite soluci´on bajo algunas restricciones.

I Dadas las condiciones iniciales, es posible encontrar un n´umero T > 0 tal que las ecuaciones pueden ser resueltas para todo tiempo 0 ≤ t ≤ T .

I Esta constante T (tiempo de “blowup”) es muy peque˜na y por tanto dicha soluci´on no es muy ´util en aplicaciones reales.

(47)

El desaf´ıo

I Hasta el momento los avances para resolver el problema de las ecuaciones de Navier-Stokes han sido escasos [Devlin, 2002].

I El problema an´alogo para el caso de viscosidad nula ν = 0 (ecuaciones de Euler) tampoco ha sido hasta ahora resuelto.

I Para el caso de dos dimensiones (u = (ux, uy)), el problema de las

ecuaciones de Navier-Stokes fue resuelto hace muchos a˜nos aunque su soluci´on no ha ayudado a resolver el caso en tres dimensiones

I El problema de las ecuaciones de Navier-Stokes admite soluci´on bajo algunas restricciones.

I Dadas las condiciones iniciales, es posible encontrar un n´umero T > 0 tal que las ecuaciones pueden ser resueltas para todo tiempo 0 ≤ t ≤ T . I Esta constante T (tiempo de “blowup”) es muy peque˜na y por tanto

(48)

Enunciado del problema

Las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes describen el movimiento de un fluido en Rn(n = 2, 3). Las inc´ognitas del problema vienen dadas por el vector de velocidades u(x, t) = (ui(x, t))1≤i≤n∈ R

n

y la presi´on p(x, t) ∈ R, definidas para toda posici´on x ∈ Rn y todo tiempo t ≥ 0.

Las ecuaciones de Navier-Stokes son ∂ui ∂t + n X j=1 uj ∂ui ∂xj = ν∆ui− ∂p ∂xi + fi(x, t) (x ∈ Rn, t ≥ 0), (10) div u = n X i=1 ∂ui ∂xi = 0 (x ∈ Rn, t ≥ 0) (11) con condiciones iniciales

(49)

Enunciado del problema

Se asume que u0(x) es un campo de clase C

y de divergencia nula en Rn,

fi(x, t) son las componentes de la fuerza externa aplicada (e.g. la gravedad),

ν es el coeficiente de viscocidad y ∆ = n X i=1 ∂2 ∂x2 i es el laplaciano en las variables espaciales. Las ecuaciones de Euler son las ecuaciones (10), (11), (12) con ν = 0.

Se espera que las soluciones satisfagan ciertas propiedades de regularidad que las hagan lo suficientemente “suaves” para que sean soluciones f´ısicamente plausibles y por tanto se establecen las siguientes restricciones sobre las condiciones iniciales y las fuerzas aplicadas:

|∂xαu 0

(x)| < CαK(1 + |x|)−K (13)

(50)

Enunciado del problema

y tambi´en

|∂xα∂ m

t f (x, t)| < CαmK(1 + |x| + t)−K (14)

en Rn× [0, ∞) para todo α, m, K. Una soluci´on de (10), (11), (12) es

f´ısicamente plausible s´olo si se satisfacen las propiedades de regularidad

p, u ∈ C∞(Rn× [0, ∞)) (15)

y

Z

Rn

(51)

Enunciado del problema

El problema fundamental consiste en determinar si las ecuaciones de Navier-Stokes admiten o no soluciones suaves, f´ısicamente plausibles:

Problema de existencia y regularidad en R3

Considere ν > 0 y n = 3. Suponga que el dato inicial u0(x) es suave, de

divergencia nula y satisface la propiedad de decaimiento r´apido (13) y asuma f (x, t) = 0. Entonces existen funciones suaves p(x, t) y ui(x, t)

definidas en R3× [0, ∞) que satisfacen (10), (11), (12), (15), (16). Problema de colapso de la soluci´on en R3

Considere ν > 0 y n = 3. Entonces existe un campo vectorial suave de divergencia nula u0

(x) ∈ R3 y una funci´

on suave f (x, t) en R3× [0, ∞) que

satisfacen (13), (14) para las cuales no existen soluciones (p, u) de (10), (11), (12), (15), (16).

(52)

Referencias

A.J. Chorin, J.E. Marsden.

A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics

Springer-Verlag, 1980. K. Devlin.

The Millenium Problems. The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time

Basic Books, 2002. C. Fefferman.

Clay Mathematics Institute, Millenium Problems. Official problem description.

http://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes Equation Wikipedia contributors

Navier-Stokes equations

Wikipedia, The Free Encyclopedia., 2008.

Referencias

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