SOLUCIÓN AL SISTEMA GENERAL DE ECUACIONES DE EULER PARA UN FLUIDO COMPRESIBLE RESUMEN

SOLUCIÓN AL SISTEMA GENERAL DE ECUACIONES DE EULER PARA UN FLUIDO COMPRESIBLE

$62/87,2172$*(1(5$/6<67(02)(8/(5(48$7,216 )25$&2035(66,%/()/8,'

Adrian Ricardo Gómez Plata

'RFHQWHHQHO'epartamento de Matemáticas, 8QLYHUVLGDG0LOLWDU1XHYD*UDQDGD adrian.gomez@unimilitar.edu.co

Fecha de recepción:  de HQHURGH Fecha de aprobación: 11 GHPD\RGH

RESUMEN

(QHVWHDUWtFXORVHSUHVHQWDOD H[LVWHQFLD de soluciones viscosas al sistema general GH (XOHU VLQ IXHQWH SDUD XQ IOXLGR comprensible. (O PpWRGR TXH VH XVy para solucionar el sistema, no es el de las regiones invariantes que se encuentra en la OLWHUDWXUD (Q SDUDOHOR, encontraremos las soluciones viscosas globales suaves del sistema, usando el principio deOPi[LPR.

Palabras clave: lH\HV GH FRQVHUYDFLyQ KLSHUEyOLFD, principio del Pi[LPR,

HVWLPDFLRQHVDSULRULHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVSDUDEyOLFDV problema de CDXFK\.

ABSTRACT

7KLV SDSHU UHYHDOV WKH H[LVWHQFH RI VROXWLRQV WR D JHQHUDO (XOHU V\VWHP ZLWKRXW VRXUFH IRU D FRPSUHVVLEOH IOXLG 7KH PHWKRG XVHG WR VROYH WKH V\VWHP LV QRW WKH FRPPRQ LQYDULDQW UHJLRQV IRXQG LQ OLWHUDWXUH ,Q SDUDOOHO ZH ZLOO ILQG WKH VPRRWK JOREDOYLVFRXVVROXWLRQVRIWKHV\VWHPXVLQJWKHPD[LPXPSULQFLSOH

Key words: K\SHUEROLF FRQVHUYDWLRQV ODZV PD[LPXP SULQFLSOH D SULRUL HVWLPDWH

CDXFK\ problems.

INTRODUCCIÓN

8Q IOXLGR compresible es aquel en donde H[LVWHQ YDULDFLRQHV GH GHnsidad VLJQLILFDWLYDV SURGXFLGDV SRU FDPELRV GH WHPSHUDWXUD SUHVLyQ o por grandes velocidades.

/D HFXDFLyQ GH (XOHU SDUD XQ IOXLGR FRPSUHVLEOH en coordenadas eulerianas, se SXHGHHVFULELUHQODVLJXLHQWHIRUPDFRQVHUYDWLYD como: ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ( )) 0 t t t div v v div v v p E div v E p U U U U   …  ’   

'RQGHODHQHUJtDWRWDOHVWi dada por:

2

2

v

E  e

( , )x t

U es la densidad, v es el campo de velocidades, e HVODHQHUJtDLQWHUQD p

HVODSUHVLyQ termodinámica \… UHSUHVHQWDHOSURGXFWRGH.URQHFNHUentre Uv \

v.

Las ecuaciones representan en su OHFWXUD GH DUULED KDFLD DEDMR la OH\ GH FRQVHUYDFLyQ GH PDVD OD OH\ GH FRQVHUYDFLyQ GH PRPHQWR OLQHDO \ OD OH\ GH FRQVHUYDFLyQGHHQHUJtDWRWDO(VWHVLVWHPDFRPSOHPHQWDXQDHFXDFLyQGHHVWDGR SDUDHOIOXLGRGHODIRUPD

( , )

p g U e

que GHWHUPLQD OD SUHVLyQ HQ WpUPLQRV GH ODV GHQVLGDGHV GH PDVD \ GH HQHUJtD interna. /D IRUPD GH OD IXQFLyQ g se establece mediante observaciones H[SHULPHQWDOHV\GHEHVHUFRQVLVWHQWHFRQODVOH\HVGHODWHUPRGLQiPLFD según [1]. (VSRVLEOHHVWXGLDUHOVLVWHPDGHHFXDFLRQHVGH(XOHUHQXQDGLPHQVLyQHVSDFLDO, FRPRFDVRSDUWLFXODUGHOVLVWHPD\TXHPRGHODSRUHMHPSOR: la dinámica de un JDVTXHIOX\HDWUDYpVGHXQWXER\GRQGHODGHQVLGDGODYHORFLGDG\ODHQHUJtDVRQ constantes a lo largo de sHFFLRQHV WUDQVYHUVDOHV GHO WXER este IHQyPHQR HV claramente unidimensional.

(V LPSRUWDQWH GHFLU TXH KD\ VXILFLHQWHV HVWXGLRV GHVGH HO DQiOLVLV QXPpULFR SDUD este tipo de sistemas, \D TXH OD GHPRVWUDFLyQ GH VROXFLRQHV H[SOLFLWDV HV casi LPSRVLEOH SRU PpWRGRV FOiVLFRV 3RU HMHPSOR: SDUD HO VLVWHPD GH (FXDFLRQHV GH (XOHUXQLGLPHQVLRQDOYpDVH>], SDUDODVHFXDFLRQHVGH(XOHUHQ'YpDVH[3] o para HFXDFLRQHVGH(XOHUGHIRUPDJHQHUDO, Ypase [4], RXQDDSOLFDFLyQDODHFRQRPtDFRQ PpWRGRVQXPpULFRV, se puede ver en [5].

(QHVWHDUWtFXOR, VHSUHVHQWDODH[LVWHQFLDGHVROXFLRQHVYLVFRVDVDOVLVWHPDGHIOXMR GHIOXLGRFRPSUHQVLEOHHQIRUPDJHQHUDO\TXHPDQWLHQHODVOH\HVGHFRQVHUYDFLyQ

GHPDVD\GHPRPHQWROLQHDOGHOVLVWHPD 3DUDtal ILQ se estudia el sistema de HFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVSDUciales dado por:

2 1 ( ) 0 2 (2) ( ( )) 0 t x t x u u f v v uv g v ­ _§ _ · ° ¨_© ¸_¹ ® °   ¯

Con condiciones acotadas medibles en la norma Lf dadas por

0 0

( ( , 0), ( , 0))u x v x ( ( ),u x v x( ))

)tVLFDPHQWH, se puede entender este sistema como el modelo para la dinámica de XQ IOXLGR FRPSUHVLEOH QR YLVFRVR TXH QR FRQGXFH FDORU \ FX\DV HFXDFLRQHV VH pueden interpretar como lDFRQVHUYDFLyQGHODPDVD:

( ( )) 0

t x

v  uvg v

'onde la densidad por unidad de KLSHUYROXPHQ GH OD PDVD GHO IOXLGR VH SXHGH representar por v \ODYHORFLGDGGHOIOXLGRHV representada por u . LDFRQVHUYDFLyQ del momento lineal total, se puede entender como:

2 1 ( ) 0 2 t x u §_¨ u  f v ·_¸ © ¹ 8QFDVRSDUWLFXODUGHOVLVWHPDGRVHVHOFRQRFLGRVLVWHPDGHHFXDFLRnes dinámico SDUDXQJDVSROLWUypico como se puede encontrar en >@\>].

/DPHWRGRORJtD que se usa en este DUWtFXOR, se IXQGDPHQWa HQXQPpWRGRque H[Lste HQODWHRUtD GHOH\HVGHFRQVHUYDFLyQKLSHUEyOLFDFRQVLVWHQWHHQTXH para encontrar DSUR[LPDFLRQHV GH VROXFLRQHV YLVFRVDV GH XQ VLVWHPD KLSHUEyOLFR, se perturba en FLHUWDIRUPDGLFKRVLVWHPD\VHFRQYLHUWHHQSDUDEyOLFRSDUDDSOLFDUHOPpWRGRGHODs regiones invariantes o el SULQFLSLRGHOPi[LPR. 8QDOH\GHFRQVHUYDFLyQKLSHUEyOLFD HVXQVLVWHPDGHHFXDFLRQHVTXDVLOLQHDOGHODIRUPD

>



( ) 0, con ( , ) 0, t x u G u x t  uR f 'onde: ( ,...,1 ) , 1 T n n

u u u R nt , HVXQDIXQFLyQYHFWRULDOGHVFRQRFLGD que modela XQDFDQWLGDGItVLFD\ ( ( ),..., (1 ))

T n

G f u f u HVXQYHFWRUGDGRTXHGHQRWDXQWpUPLQRGH

Se sabe que una SHUWXUEDFLyQ al anterior sistema para convertirlo en un sistema KLSHUEyOLFR según >], VHSXHGHUHDOL]DUGHODVLJXLHQWHIRUPD

( )

t x xx

u G u Hu con H !0

4XHHVXQVLVWHPDGHHFXDFLRQHVSDUDEyOLFDVVHPLOLQHDOHV\GRQGHODVVROXFLRQHVDO VLVWHPD GH &DXFK\ D HVWH VLVWHPD, es lo que comúnmente se llaman soluciones viscosas.

$ILQDOHVGHO siglo pasado, se descubrieron ORVPpWRGRV de compacidad compensada \GHHQWURStD que permiten HVWDEOHFHUODH[LVWHQFLDGHVROXFLRQHVGpELOHVDHVWHWLSR de sistemas GHOH\HVGHFRQVHUYDFLyQKLSHUEyOLFDFRPRVHSXHGH ver [8] [9] >@\ [11]. *UDQ SDUWH GH ORV PiV UHFLHQWHV GHVDUUROORV GH  QXHYRV PpWRGRV ORV KDQ aportado investigadores en matemáticDVGH&KLQD\VRQHOORVTXLHQHQHl momento VH KDQ DGHODQWDGR SDUD HVWDEOHFHU WpFQLFDV TXH SHUPLWHQ JHQHUDOL]DU VLVWHPDV GH OH\HVGHFRQVHUYDFLyQ\DH[LVWHQWHV

1. PRINCIPIO DEL MÁXIMO-LEYES DE CONSERVACIÓN HIPERBÓLICA

(YDQV HQ [6], KDFH XQD FODUD LQWURGXFFLyQ D ODV  HFXDFLRQHV  SDUDEyOLFDV RSHUDGRUHVSDUDEyOLFRV\DOSULQFLSLRGHOPi[LPRGpELO\IXHUWHHQSDUWLFXODU0XUUD\ \ RWUR HQ [] HVWXGLD HO SULQFLSLR GHO Pi[LPR SDUD HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV \ SDVD DO SULQFLSLR GHO Pi[LPR SDUD HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV SDUFLDOHV SDUDEyOLFDV(QHVSHFLDO/DQGLV[13] KDFHXQDSURIXQGD\HOHJDQWHSUHVHQWDFLyQGH este tipo de ecuaciones.

Lu [], KDFH XQD EUHYH \ SUHFLVD LQWURGXFFLyQ D ORV VLVWHPDV GH OH\HV GH FRQVHUYDFLyQ\GHILQHORVLQYDULDQWHVGH5LHPDQQ

2. CALCULO DE ESTIMACIONES A PRIORI

Se puede garantizar ODH[LVWHQFLDGHVRluciones viscosas locales suaves en Lf , \ para WDOILQver HOWHRUHPDHQ Lu [] \HQHOFDStWXOR , usa HOPpWRGRGHODV regiones invariantes para JDUDQWL]DUODH[LVWHQFLDGHVROXFLRQHVGHOVLVWHPD con las FRQGLFLRQHVDFRWDGDVPHGLEOHVHQXQFLDGDVHQ 2 1 ( ) 2 ( ( )) t xx x t x xx u u f v u v uv g v v H H ­ _§ _ · ° ¨_© ¸_¹ ® °   ¯ 

Estimaciones a priori, usando el principio de máximo. Se estima cotas para las

VROXFLRQHVGHpor lo tanto, convertiremos el problema de encontrar la VROXFLyQ de , HQHOSUREOHPDGHHQFRQWUDUODVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQSDUDEyOLFD asociado al problema KLSHUEyOLFR SODQWHDGRSDUD(VWDIRUPDGHDWDFDUHOSUREOHPDes lo que se conoce como encontrar soluciones viscosas a un sistema de ecuaciones GLIHUHQFLDOHV TXH SDUD HVWH FDVR HQ HVSHFLDO, usará el principio del Pi[LPR para ecuaciones SDUDEyOLFDV. Considerando HOVLVWHPD con las condiciones acotadas medibles HQXQFLDGDVHQ\VXSRQLHQGRSDUD ,f g que:

A. 3

>



 

' 2

>



 

' 2

>



1 1 , 0, y f 0, , g 0, v v f gC f f C f g C f SDWLVIDFH f1td, con d , R \ ' ' 1 1 1 1 ' ' 1 1 1 1 2 ( ) 0, para 0 2 ( ) 0, para 0 f g s g v f g s g v   t t   t t 'onde: 2 1 1 4 .1 s g  f B. u0 y v 0 DFRWDGDV\PHGLEOHVv0 t . 0

([LVWHQ IXQFLRQHV TXH FXPSOHQ ODV FRQGLFLRQHV en $, por ejemplo: si se toma

1 ( ) , 1 ( ) l m f v md g k v e donde , , , ,k d l e m VRQFRQVWDQWHVSRVLWLYDV\e!d \ l!m VHSXHGHYHULILFDUTXH f g 1, 1 VDWLVIDFHQGLFKDVFRQGLFLRQHV (OVLJXLHQWHWHRUHPDHVWDEOHFHODH[LVWHQFLDGHVROXFLRQHVJOREDOHVVXDYHVSDUDHO VLVWHPD

Teorema 1. 3DUDXQH !0, HOSUREOHPDGH&DXFK\ FRQODVFRQGLFLRQHVGH\ suponiendo que FXPSOHODVFRQGLFLRQHVGH$\%WLHQHVROXFLyQ~QLFDJOREDOVXDYH

(u x t v x tH( , ), H( , )) TXHVDWLVIDFH:

( , ) , 0 ( , )

u x tH dM d v x tH dM

'onde M es una constante positiva independiente de H .

Demostración(OVLVWHPDVHSXHGHHVFULELUFRPR

0

t x

'onde 2 2 ( , ) , T U u v F R oR , 1 2 : ( , ) ( ), ( ) 2 _x F u v §_¨ u  f v uvg v ·_¸ © ¹  \ ' ' ( ) ( ) u f v dF v u g v § · ¨ _ ¸ © ¹

3ara calcular los valores propios de esta matriz dFVHKDFH det(dFOI) , de 0 donde al resolver 2 2 2 1 1 1 2O O(3u vg ) ( u uvg v f ) 0 Se tiene 1 1 1 1 1 2 2 ( ) 2 ( ) , 2 2 u vg v vs u vg v vs O   O  

5HVROYLHQGR ORV VLJXLHQWHV VLVWHPDV GH HFXDFLRQHV UHVSHFWLYDPHQWH

>

dFO1I 0 y

@

>

dFO2I 0

@

VH REWLHQH TXH ORV YHFWRUHV SURSLRV D GHUHFKD GH

1, 2

O O que son:

1 ( 2 ,1 1 1) , 2 (2 ,1 1 1)

T T

r  f s g r f s g

$O FDOFXODU ORV LQYDULDQWHV GH 5LHPDQQ HV GHFLU, al resolver ’w r.2 0 y ’z r.1 Se 0

obtiene: 1 1 1 1 0 0 , z 2 2 v v g s g s w u

³

 u

³

 Calculando w w wv, u, uu,wuv,w vv  , , ,z z zv u uu zuv,z tenemos vv 1 1 1 1 0 0 , 2 2 v v u u g s g s w u z u u u §  · §  · w _ w _ ¨ ¸ ¨ ¸ w _©

³

_¹ w _©

³

_¹ 1 1 0 2 v v g s w u v §  · w _ ¨ ¸ w ©

³

¹, 1 1 0 2 v v g s w u v §  · w _ ¨ ¸ w ©

³

¹ ' ' ' ' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 ( ) 2 , 2 2 vv vv g g s f g s g f w z s s    

0, 0, 0, 0

uu uv uu uv

w w z z

0XOWLSOLFDQGRHOVLVWHPDSRU’z u t( , ) ( ,z z_{u v}), tenemos ’z U( _tdFU_x) ' , si H U 1 zdF O z ’ ’ , encontramos: 2 2 1 ( , )( , ) ( 2 ) t x u v xx xx xx uu x uv x x vv x z Oz ’ ' H z U H z z u v Hz H z u  z u v z v 5emplazando ,z_uu z_uv,z encontramos: _vv ' ' 2 1 1 1 1 2 1 1 ( ) 2 ( ) 2 t x xx vv x xx x g s g f z z z z v z v s O H H H H§   ·   _{ ¨ ¸} © ¹ Si ' ' 1 1 1 1 1 2 ( ) 0, 0 2 f g s g v s   t t , entonces 1 t x xx z Oz dHz 

0XOWLSOLFDQGRHOVLVWHPDSRU’w u t( , ) (w w_u, _v), tenemos ’w U( _t dFU_x) ' , si H U 2 wdF O w ’ ’ , encontramos: 2 2 2 ( , )( , ) ( 2 ) t x u v xx xx xx uu x uv x x vv x w O w ’ ' wH U H w w u v Hw H w u  w u v w v 5emplazando w_uu,w_uv,w encontramos: _vv ' ' 2 1 1 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) 2 t x xx vv x xx x f g g s w w w w v w v s O H H H H§   ·   _{ ¨ ¸} © ¹ Si ' ' 1 1 1 1 0, 2 ( ) 0 vt f g g s t , entonces 2 t x xx w O w dHw  7RPDQGR\DVt: 1 (z_t)O(z_x)t H( z_xx)  2 t x xx w O w dHw 

$OFRQVLGHUDUODVGHVLJXDOGDGHV\FRQYDULDEOHVHQ y w z , por el principio

( , ) , z( , )

w u vH H dM u vH H t  M \SRUlo tanto

( , ) , 0 ( , )

u x tH dM d v x tH dM

para una constante positiva M que depende de la norma Lf en los datos LQtFLDOHV.

3. CONCLUSIONES

/RVVLVWHPDVGHDVRFLDGRVDIOXLGRVFRPSUHQVLEOHVFRPRHQ , VHGLFHQVLQIXHQWH que se puede tratar de generalizar este tipo de sistemas, FRORFDQGR XQ WpUPLQR DGLFLRQDODVt: 2 1 2 1 ( ) ( , ) 0 2 ( ( )) ( , ) 0 t x t x u u f v g u v v uv g v g u v ­ _§ _ · _ ° ¨_© ¸_¹ ® °    ¯ 

La idea en este caso, HV  HQFRQWUDU VROXFLRQHV JOREDOHV GH  JXLDGRV HQ HO WUDEDMR TXH <DQ \ RWros realizan en [] [11] \ [14], usando OD LQIRUPDFLyQ VXPLQLVWUDGDHQGLFKRVDUWtFXORV, se puede buscar soluFLRQHVGpELOHVDOVLVWHPD GH KHFKR, Lu en [], encuentra VROXFLRQHV GpELOHV DO VLVWHPD , basados en PpWRGRVGHFRPSDFLGDGFRPSHQVDGD

3RU RWUD SDUWH, es importante decir que son diversas las aplicaciones de este sistema3RUHMHPSOR: ODItVLFD e LQJHQLHUtD UHVXHOYHQGLYHUVDVPDQLIHVWDFLRQHVGHO VLVWHPDSDUDUHVROYHUSUREOHPDVDSOLFDGRVSDUWLFXODUHV pero lo cierto es que cada DSOLFDFLyQ HVXQUHWRGLIHUHQWHSRUTXHDXQTXHVHSXHGHJDUDQWL]DUla H[LVWHQFLDGH VROXFLRQHV HQ OD PD\RUtD GH DSOLFDFLRQHV QR VH SXHGH GHFLU FRQ FHUWH]D TXH VH pXHGHHVWDEOHFHUVROXFLRQHVH[SOtFLWDVRLPSOtFLWDVSRUORV PpWRGRVFOiVLFRV \HVSRU esto, que es posiEOHHQFRQWUDUPXFKRVDUWtFXORVQXPpULFRVTXHUHVXHOYHQFDVRVPX\ concretos relacionados a este tipo de sistemas.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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