Fundamentos de las operaciones financieras

Fundamentos de las operaciones

financieras

1.5- Problemas Préstamos (Prof. González Catalá)

Parte 1 (del 1 al 20)

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Indice

1

PROBLEMAS PRÉSTAMOS

¡ERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.

1.1 Problemas préstamos (Universidad de Granada) ¡Error! Marcador no definido.

1.2 Problemas préstamos (Universidad de Albacete) ¡Error! Marcador no definido.

1.3 Problemas préstamos (Universidad de León) ¡Error! Marcador no definido.

1.4 Problemas préstamos (Universidad de Sevilla) ¡Error! Marcador no definido. 1.5 Problemas préstamos (V. González Catalá)

5

Problemas préstamos

5.1

Problemas préstamos (V. González Catalá)

Problema 5.1-1

Se concede un préstamo con las siguientes características: - Cuantía del capital prestado: 1.000.000 €. - Duración de la operación: 5 años.

-Réditos anuales: 𝑖1= 0′08; 𝑖2 = 0′085; 𝑖3= 0′09; 𝑖4= 0′10; 𝑖5= 0′11

- Los términos amortizativos son: 𝑎1= 𝑎2= 𝑥; 𝑎3= 1′5𝑥; 𝑎4= 2𝑥; 𝑎5= 3𝑥.

Determinar

1.° Cuantías de los términos amortizativos. 2.° Cuantías de las reservas.

3.° Cuantías de las cuotas de amortización. 4.° Cuantías de las cuotas de interés. 5.° Cuantía del capital amortizado.

Para obtener el término amortizativo, resolvemos la ecuación de equivalencia respecto al inicio de la operación:

Determinamos las expresiones funcionales de todos los parámetros que interesan:

Tabla de amortización C0 106; n 5; i h : 0.08, 0.085, 0.09, 0.1, 0.11 h ; aa h : x,x, 1.5x, 2x, 3x h ; sol NSolve C0 j 1 n aa j k1 j 1 i k 1,x x 158 709. a h : aa h . sol 1 ; Cp h : jh1 n a j kh 1 j 1 i k 1; h : Cp h 1 i h ; A h : a h h ; M h : j1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Años", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Años a h I h A h Cp h M h 1 158709. 80000. 78708.8 921 291. 78 708.8 2 158709. 78309.8 80399. 840 892. 159 108. 3 238063. 75680.3 162383. 678 509. 321 491. 4 317418. 67850.9 249567. 428 943. 571 057. 5 476126. 47183.7 428943. 0 1. 106

Problema 5.1-2

Construir el cuadro de amortización de un préstamo otorgado con las condiciones: - Cuantía del capital prestado 2 millones de €.

- Duración de la operación 8 años.

- Réditos anuales: 𝑖1= 𝑖2= 𝑖3= 0′09; 𝑖4 = 𝑖5= 0′10; 𝑖6= 𝑖7= 𝑖8= 0′12.

en los supuestos:

1.° Los términos amortizativos son:𝑎1= 𝑎2= 𝑎3= 𝑎4 = 𝑥; 𝑎5= 𝑎6= 1′5𝑥; 𝑎7= 𝑎8= 2𝑥.

2." Las cuotas de amortización son: 𝐴1 = 𝐴2= 𝑦; 𝐴3= 𝐴4 = 𝐴5= 2𝑦; 𝐴6= 1′5𝑦; 𝐴7= 3𝑦; 𝐴8= 3′5𝑦

Supuesto nº 1

Expresiones funcionales de la tasa de interés y del término amortizativo en función de “x”

El valor de “x” del término amortizativo se obtiene al resolver la ecuación de equivalencia respecto al inicio:

Supuesto nº 2

Cuota de amortización en función de “y”

El valor de “y” se obtiene resolviendo la ecuación de equivalencia financiera respecto al inicio

C0 2 106;n 8; i h : Which 1 h 3, 0.09, 4 h 5, 0.1, 6 h 8, 0.12 ; a h : Which 1 h 4,x, 5 h 6, 1.5x, 7 h 8, 2x ; NSolve C0 j1 n a j k1 j 1 i k 1,x x 286 895. A h : Which 1 h 2,y, 3 h 5, 2y, h 6, 1.5y, h 7, 3y, h 8, 3.5y ; NSolve C0 j1 n A j ,y y 125000.

Problema 5.1-3

Construir el cuadro de amortización del préstamo del ejercicio anterior si se amortiza por el método americano.

El sistema americano implica el pago periódico de intereses y la amortización del principal en el último período.

Tabla de amortización C0 2 106; n 8; i h : Which 1 h 3, 0.09, 4 h 5, 0.1, 6 h 8, 0.12 ; h : C0i h ; A h : If h n, 0, C0 ; a h : h A h ; M h : If h n, 0, C0 ; Cp h : C0 M h ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 180 000. 180 000. 0 2 000 000 0 2 180 000. 180 000. 0 2 000 000 0 3 180 000. 180 000. 0 2 000 000 0 4 200 000. 200 000. 0 2 000 000 0 5 200 000. 200 000. 0 2 000 000 0 6 240 000. 240 000. 0 2 000 000 0 7 240 000. 240 000. 0 2 000 000 0 8 2.24 106 _{240 000. 2 000 000 0 2 000 000}

Problema 5.1-4

Si la operación del ejercicio n.° 1 fuese concebida como: 1.° Suma de operaciones simples simultáneas. 2.° Suma de amortizaciones sucesivas.

3.° Amortización por constitución del montante. 4.° Amortización con fondos de amortización. 5.° Amortización mixta.

6º Suma de amortizaciones americanas,

obtener los resultados para cada una de esas interpretaciones.

Se concede un préstamo con las siguientes características: - Cuantía del capital prestado: 1.000.000 €.

- Duración de la operación: 5 años.

-Réditos anuales: 𝑖1= 0′08; 𝑖2 = 0′085; 𝑖3= 0′09; 𝑖4= 0′10; 𝑖5= 0′11

- Los términos amortizativos son: 𝑎1= 𝑎2= 𝑥; 𝑎3 = 1′5𝑥; 𝑎4= 2𝑥; 𝑎5= 3𝑥.

La tabla de amortización es la compilación de todos los criterios descritos en el enunciado

C0 106; n 5; i h : 0.08, 0.085, 0.09, 0.10, 0.11 h ; X h : x,x, 1.5x, 2x, 3x h ; xx x . First NSolve C0 j1 n X j k1 j 1 i k 1,x 158 709. a h : X h .x xx Cp h : jh1 n a j kh 1 j 1 i k 1; h : Cp h 1 i h ; A h : a h h ; M h : j1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 158 709. 80 000. 78 708.8 921 291. 78 708.8 2 158 709. 78 309.8 80 399. 840 892. 159 108. 3 238 063. 75 680.3 162 383. 678 509. 321 491. 4 317 418. 67 850.9 249 567. 428 943. 571 057. 5 476 126. 47 183.7 428 943. 0 1. 106

Problema 5.1-5

Una entidad bancaria concede un préstamo de 10 millones de € a cierta S. A. para ser amortizado en 15 años mediante anualidades constantes. Si el rédito anual concertado es el 10 %, determinar:

1.° Cuantía de la anualidad constante que amortiza el préstamo. -→ 1.314.737’76 2.° Cuota de amortización del cuarto periodo. -→ 418.915’97

3.° Cuota de intereses del octavo periodo. -→ 807.849’44

4.° Capital amortizado en los diez primeros años. -→ 5.016.109’46 5.° Capital vivo al principio del sexto año. → 8.078.494’45

Para calcular la anualidad constante, resolvemos la ecuación de equivalencia respecto al inicio:

Determinamos las expresiones funcionales de los parámetros interesantes:

Tabla de amortización C0 10 106;i1 0.1; n 15; xx x . First NSolve C0 j1 n x k1 j 1 i1 1,x 1.31474 106 a h : xx; Cp h : jh 1 n a j k h1 j 1 i1 1; h : Cp h 1 i1; A h : a h h ; M h : j1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 1.31474 106 _{1. 10}6 _{314738. 9.68526 10}6 _{314 738.} 2 1.31474 106 _{968526. 346212. 9.33905 10}6 _{660 949.} 3 1.31474 106 933905. 380833. 8.95822 106 1.04178 106 4 1.31474 106 _{895822. 418916. 8.5393 10}6 _{1.4607 10}6 5 1.31474 106 _{853930. 460808. 8.07849 10}6 _{1.92151 10}6 6 1.31474 106 807849. 506888. 7.57161 106 2.42839 106 7 1.31474 106 _{757161. 557577. 7.01403 10}6 _{2.98597 10}6 8 1.31474 106 _{701403. 613335. 6.40069 10}6 _{3.59931 10}6 9 1.31474 106 640069. 674668. 5.72603 106 4.27397 106 10 1.31474 106 _{572603. 742135. 4.98389 10}6 _{5.01611 10}6 11 1.31474 106 _{498389. 816349. 4.16754 10}6 _{5.83246 10}6 12 1.31474 106 _{416754. 897984. 3.26956 10}6 _{6.73044 10}6 13 1.31474 106 326956. 987782. 2.28178 106 7.71822 106 14 1.31474 106 _{228178. 1.08656 10}6 _{1.19522 10}6 _{8.80478 10}6 15 1.31474 106 _{119522. 1.19522 10}6 _{0 1. 10}7

Problema 5.1-6

Se concede un préstamo de 2.000.000 de € para ser amortizado en 10 años a un tipo de interés del 9 % anual. Calcular el término amortizativo anual del préstamo bajo las siguientes hipótesis.

1.° Durante los tres primeros años solamente se pagan intereses y en los restantes la anualidad constante necesaria para extinguir la deuda.

2° Durante los tres primeros años no se paga ninguna cantidad y en los restantes siete años la anualidad constante necesaria para amortizar la deuda.

1ª hipótesis 1 2 3 4 5 6 7 8 10 0 x x x x x x x C0 i1 C0 i1 C0 i1 C0 i1

Se paga sólo intereses

Con los datos del enunciado, formamos la expresión funcional del término amortizativo en función de “x”. Su valor se calcula resolviendo la ecuación de equivalencia respecto al inicio.

Con el valor obtenido redeterminamos el término amortizativo y el resto de parámetros

Tabla de amortización C0 2 106; n 10;i1 0.09; xx x . First NSolve C0 j1 n 3 x k1 j 1 i1 1 397 381. a h : Which 1 h 3, Cp h 1 i1, 4 h n, xx ; Cp h : Which 0 h 3, C0, 4 h n, j h1 n a j kh1 j 1 i1 1 ; h : Cp h 1 i1; A h : a h h ; M h : j1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 180 000. 180 000. 0. 2 000 000 0. 2 180 000. 180 000. 0. 2 000 000 0. 3 180 000. 180 000. 0. 2 000 000 0. 4 397 381. 180 000. 217 381. 1.78262 106 _{217 381.} 5 397 381. 160 436. 236 945. 1.54567 106 454 326. 6 397 381. 139 111. 258 270. 1.2874 106 _{712 597.} 7 397 381. 115 866. 281 515. 1.00589 106 _{994 112.} 8 397 381. 90 530. 306 851. 699 037. 1.30096 106 9 397 381. 62 913.4 334 468. 364 570. 1.63543 106 10 397 381. 32 811.3 364 570. 0 2. 106

2ª hipótesis 1 2 3 4 5 6 7 8 10 0 x x x x x x x C0 i1 No se paga nada C0

Nótese cómo se han especificado los límites del sumatorio y del productorio.

Tabla de amortización yy y . First NSolve C0 j1 n 3 y k 1 j 3 1 i1 1 514 620. a h : Which 1 h 3, 0, 4 h n, yy ; Cp h : Which 0 h 3, C0 1 i1 h, 4 h n, j h1 n a j kh1 j 1 i1 1 ; h : Which 0 h 3, 0, 4 h n, Cp h 1 i1 ; A h : a h h ; M h : j1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 0 0 0 2.18 106 ₀ 2 0 0 0 2.3762 106 0 3 0 0 0 2.59006 106 ₀ 4 514 620. 233 105. 281 515. 2.30854 106 _{281 515.} 5 514 620. 207 769. 306 851. 2.00169 106 588 366. 6 514 620. 180 152. 334 468. 1.66722 106 _{922 833.} 7 514 620. 150 050. 364 570. 1.30265 106 _{1.2874 10}6 8 514 620. 117 239. 397 381. 905 274. 1.68478 106 9 514 620. 81 474.6 433 145. 472 128. 2.11793 106 10 514 620. 42 491.6 472 128. 0 2.59006 106

Problema 5.1-7

En un préstamo concertado en las condiciones siguientes: - Cuantía del capital prestado 500.000 €

- Duración de la operación 5 años. - Tipo de interés anual, el 11 %.

Si la amortización es con términos variables en progresión geométrica de razón q = 1,08, determinar: 1.° Cuantía de los términos amortizativos. → 117.164,34

2.° Capital vivo al principio del tercer año. -> 359.460’10 3.° Cuota de amortización del tercer año. → 97119’88

Se determina la expresión genérica del término general de la progresión geométrica, en función del primer término “x”. Resolviendo la ecuación de equivalencia respecto al inicio de la operación, obtenemos el valor del primer término:

Las expresiones funcionales de los parámetros interesantes son

Tabla de amortización C0 500 000; n 5;i1 0.11; q 1.08; a h : x qh1; a1 x . First NSolve C0 j1 n a j k 1 j 1 i1 1,x 117 164. a h : a1 qh 1; Cp h : jh 1 n a j k h1 j 1 i1 1; h : Cp h 1 i1; A h : a h h ; M h : j1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 117 164. 55 000. 62 164.3 437 836. 62 164.3 2 126 537. 48 161.9 78 375.6 359 460. 140 540. 3 136 660. 39 540.6 97 119.9 262 340. 237 660. 4 147 593. 28 857.4 118 736. 143 604. 356 396. 5 159 401. 15 796.5 143 604. 0 500 000.

Problema 5.1-8

En el préstamo del ejercicio anterior cuáles serían los resultados de los puntos que se proponen si la amortización es con términos variables en progresión aritmética de razón d = 10.000.

C0 500 000; n 5;i1 0.11; d 10 000; a h : y d h 1 ; a1 y . First NSolve C0 j1 n a j k 1 j 1 i1 1,y 117 363. a h : a1 d h 1 ; Cp h : jh 1 n a j k h1 j 1 i1 1; h : Cp h 1 i1; A h : a h h ; M h : j1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 117 363. 55 000. 62 362.6 437 637. 62 362.6 2 127 363. 48 140.1 79 222.5 358 415. 141 585. 3 137 363. 39 425.6 97 936.9 260 478. 239 522. 4 147 363. 28 652.6 118 710. 141 768. 358 232. 5 157 363. 15 594.5 141 768. 0 500 000.

Problema 5.1-9

Un préstamo de 800.000 € se otorga en las siguientes condiciones: - Tipo de interés anual el 12 %.

- Duración de la operación 10 años.

- Amortización con cuotas de amortización constantes Obtener

1.° Cuantía del primer término amortizativo y ley de recurrencia de los mismos. 2.° Capital pendiente de amortización al principio del sexto año

3.° Capital amortizado al final del séptimo año. 4.º Cuota de intereses del quinto año.

C0 800 000; n 10;i1 0.12; A h : C0 n ; M h : j1 h A j ; Cp h : C0 M h ; h : Cp h 1 i1; a h : h A h ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 176 000. 96 000. 80 000 720 000 80 000 2 166 400. 86 400. 80 000 640 000 160 000 3 156 800. 76 800. 80 000 560 000 240 000 4 147 200. 67 200. 80 000 480 000 320 000 5 137 600. 57 600. 80 000 400 000 400 000 6 128 000. 48 000. 80 000 320 000 480 000 7 118 400. 38 400. 80 000 240 000 560 000 8 108 800. 28 800. 80 000 160 000 640 000 9 99 200. 19 200. 80 000 80 000 720 000 10 89 600. 9600. 80 000 0 800 000

Préstamos con intereses prepagables (Fuente UDIMA)

Este tipo de operaciones se caracteriza porque los intereses se pagan anticipadamente, al principio de cada período, a tipos de interés variable en función del período i[h], mientras que las cuotas de amortización siguen siendo ospagables. El esquema de flujos de caja en un préstamo de cuantía C0, a amortizar en n pagos, a un tanto variable de interés i[h]

es el siguiente:

1 2 4

0

C0

i[1] i[2] i[3] i[4]

0 C * i[1] 1+i[1]

A[1] A[2] A[3]

Cp[3]*i[4] 1+i[4] Cp[2]*i[3] 1+i[3] Cp[1]*i[2] 1+i[2]

a[1] a[2] a[3]

A[4] Cp[4]*i[5] 1+i[5] n A[n-1] Cp[n-1]*i[n] 1+i[n ] a[4] _a[n-1] A[n] i[n]

La estructura genérica del término amortizativo pagado en un momento k cual-quiera será, por tanto, la siguiente: 𝑎[ℎ] = 𝐼[ℎ + 1] + 𝐴[ℎ]

Es decir, al final de cada período, cada pago realizado incluye los intereses del período siguiente y la cuota de amortización correspondiente al período que acaba, excepto en el último período a cuyo final se paga solamente la cuota de amortización.

Caso particular del método alemán

En este caso, además, habrá que tener en cuenta un primer término en el origen que recoja los intereses prepagables del primer período, lo que provoca la minoración del principal. El esquema de la operación para un préstamo de cuantía C0,

amortizable en n períodos, es:

1 2 4

0

i[1] i[2] i[3] i[4] a[1] a[2] a[3]

n a[4] a[n-1] i[n] a[n] 𝐶0− 𝐶0∗ 𝑖[1] 1 +𝑖[1]

Así mismo, deberá considerarse si loa términos amortizativos son variables o constantes y, si las tasas de interés son variables o constantes.

Problema 5.1-10

Se concede un préstamo con las siguientes condiciones: - Capital nominal prestado 1.000.000 de € - Duración de la operación 6 años.

- Abono de intereses anticipados en base a los réditos 𝑖1∗= 𝑖2∗ = 0′08; 𝑖3∗= 𝑖4∗ = 0′10; 𝑖5∗= 0′09; 𝑖6∗ = 0′11,

siendo i* el rédito correspondiente al año s.

- El término amortizativo que vence en el año s es 𝑎1= 𝑎2 = 𝑎3= 𝑥; 𝑎4= 1′25𝑥; 𝑎5= 𝑎6= 2𝑥

Determinar

1.º Cuantías de los términos amortizativos.--> 𝑎1= 𝑎2= 𝑎3= 160283; 𝑎4= 200229; 𝑎5= 𝑎6= 320367

2.º Reserva al principio del año s para s = 2, 3, 4, 5 y 6.--> 𝐶𝑝2∗= 912843; 𝐶𝑝3∗= 836289; 𝐶𝑝4∗= 605493¸𝐶𝑝5∗= 320367

3.º Cuotas de amortización. -->

𝐴1∗ = 87156; 𝐴2∗ = 76554; 𝐴3∗ = 85060; 𝐴4∗ = 45734; 𝐴5∗ = 285126; 𝐴6∗ = 320367

Los intereses que se cobran de forman adelantada no son habituales en las operaciones financieras porque supone percibir una prestación previa a una contraprestación. Los intereses, por definición, devengan al final de un período preestablecido.

Unos intereses 𝐶0𝑖, devengados al final de un período unitario, son equivalentes a unos intereses

𝐶0𝑖 1 + 𝑖 ←⏞ 𝐴𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐶0𝑖 Haciendo 𝑖∗₌ 𝑖 1 + 𝑖 Despejando: 𝑖 = 𝑖 ∗ 1 − 𝑖∗

Por consiguiente, sustituyendo valores, se obtiene las tasas de interés efectivas (pospagables): 𝑖1= 𝑖2= 0′0869565; 𝑖3 = 𝑖4= 0′111111; 𝑖5= 0′0989011; 𝑖6= 0′123596

Son las tasas de interés aplicables en cada período.

Determinamos la expresión funcional de la tasa de interés y la de del término amortizativo:

Con estas expresiones funcionales, aplicamos la ecuación de equivalencia con respecto al inicio, como si se tratase de un préstamo normal (pospagable):

C0 106;n 6; ii 1 & 0.08, 0.08, 0.10, 0.10, 0.09, 0.11 0.0869565, 0.0869565, 0.111111, 0.111111, 0.0989011, 0.123596 i h : ii h ; X h : x,x,x, 1.25x, 2x, 2x h ;

Con el resultado obtenido redeterminamos la expresión funcional del término amortizativo (pospagable) y las expresiones funcionales del resto de parámetros:

Con estas expresiones funcionales, calculamos la tabla de amortización en la que se incluye los intereses adelantados y vencidos resultantes: Tabla de amortización xx x . First NSolve C0 C0i 1 1 i 1 j1 n X j k 1 j 1 i k 1,x 160 184. a h : xx,xx,xx, 1.25xx, 2xx, 2xx h ; Cp h : 1 i h 1 j h1 n a j kh1 j 1 i k 1; h : Cp h 1 i h 1 i h ; A h : Cp h 1 Cp h ; M h : j1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 160 184. 80 000. 87 156. 912 844. 87 156. 2 160 184. 73 027.5 76 554.6 836 289. 163 711. 3 160 184. 83 628.9 85 060.7 751 229. 248 771. 4 200 229. 75 122.9 145 735. 605 494. 394 506. 5 320 367. 54 494.4 285 127. 320 367. 679 633. 6 320 367. 35 240.4 320 367. 0 1. 106

Problema 5.1-11

Se otorga un préstamo método alemán por un importe de 500.000 €, para ser amortizado en 10 años. Si el rédito anticipado anual de la operación es el 6 %, determinar:

1.° Anualidad que amortiza el préstamo. → a=65021

2.° Cuota de amortización del cuarto periodo. → A(4)=44856 3.° Capital amortizado al principio del octavo año. → M(7)=316405 4.º Capital vivo al principio del sexto año. -→ Cp(5)=288366

Datos del enunciado, convirtiendo la tasa de interés prepagable en tasa de interés pospagable (como la mayor parte de los préstamos).

Obtenida la tasa pospagable, se opera de la forma habitual (como pospagable):

El término amortizativo constante se obtiene al resolver la ecuación de equivalencia respecto al inicio:

Tabla de amortización C0 500000; n 10; i1 0.06 1 0.06 0.0638298 xx x . First NSolve C0 C0 i₁ 1 i₁ j1 n x k1 j 1 i1 1,x 65 021.6 a h : xx; Cp h : 1 i1 jh1 n a j kh1 j 1 i1 1; h : Cp h 1 i1 1 i₁; A h : Cp h 1 Cp h ; M h : j1 h A j ; z 6; Cp z 1 Cp z , M z M z 1 47 719.6, 47 719.6 TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 65 021.6 30 000. 37 257.1 462 743. 37 257.1 2 65 021.6 27 764.6 39 635.2 423 108. 76 892.2 3 65 021.6 25 386.5 42 165.1 380 943. 119 057. 4 65 021.6 22 856.6 44 856.5 336 086. 163 914. 5 65 021.6 20 165.2 47 719.6 288 367. 211 633. 6 65 021.6 17 302. 50 765.6 237 601. 262 399. 7 65 021.6 14 256.1 54 005.9 183 595. 316 405. 8 65 021.6 11 015.7 57 453.1 126 142. 373 858. 9 65 021.6 7568.52 61 120.3 65 021.6 434 978. 10 65 021.6 3901.3 65 021.6 0. 500 000.

Problema 5.1-12

Si el préstamo del ejercicio anterior se amortizase con cuotas de amortización constantes ¿cuáles serían las anualidades que lo amortizarían?

Calculamos la tasa efectiva vencida

Determinamos la expresiones funcionales de los parámetros

Verificamos la validez de las expresiones:

Tabla de amortización C0 500000;n 10;i1 0.06 1 0.06 0.0638298 A h : C0 n ; M h : j1 h A j ; Cp h : C0 M h 1 i1 ; h : Cp h 1 i1 1 i₁; a h : h A h ; z 6; Cp z 1 Cp z ,M z M z 1 50 000, 50 000 TableForm Table h,a h , h ,A h ,Cp h ,M h , h,n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 78 200. 28 200. 50 000 423 000. 50 000 2 75 380. 25 380. 50 000 376 000. 100 000 3 72 560. 22 560. 50 000 329 000. 150 000 4 69 740. 19 740. 50 000 282 000. 200 000 5 66 920. 16 920. 50 000 235 000. 250 000 6 64 100. 14 100. 50 000 188 000. 300 000 7 61 280. 11 280. 50 000 141 000. 350 000 8 58 460. 8460. 50 000 94 000. 400 000 9 55 640. 5640. 50 000 47 000. 450 000 10 52 820. 2820. 50 000 0. 500 000

Problema 5.1-13

Calcular las cuantías de los términos amortizativos que amortizan un préstamo de 400.000 € otorgado con las siguientes condiciones:

- Duración de la operación 3 años.

- Pago de intereses trimestrales siendo el rédito trimestral de cada año 𝑖4= {0′ 02, 0′03, 0′025}

- Las cuotas de amortización que vencen al final de cada año verifican: 𝐴2= 2𝐴1; 𝐴3 = 2𝐴2+ 𝐴1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0

i=0'02 i=0'03 i=0'025

I I I I+A I I I I+A I I I I+A

C0

trimestres

De las relaciones entre las cuotas de amortización se infiere fácilmente: 𝐴1 = 𝑥 𝐴2= 2𝑥 𝐴3= 5𝑥 Con lo que: 𝐶0= ∑ 𝐴𝑗 𝑛 𝑗=1 = 𝑥 + 2𝑥 + 5𝑥 = 8𝑥 = 400000−→ 𝑥 = 50000 Tabla de amortización C0 400 000; n 3 4; I4 h : Which 1 h 4, 0.02, 5 h 8, 0.03, 9 h 12, 0.025 ; A h : Which Mod h, 4 0, 0, h 4, 50 000, h 8, 100 000, h 12, 250 000 ; M h : j1 h A j ; Cp h : C0 M h ; h : Cp h 1 I4 h ; a h : h A h ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Trim.", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Trim. a h I h A h Cp h M h 1 8000. 8000. 0 400 000 0 2 8000. 8000. 0 400 000 0 3 8000. 8000. 0 400 000 0 4 58 000. 8000. 50 000 350 000 50 000 5 10 500. 10 500. 0 350 000 50 000 6 10 500. 10 500. 0 350 000 50 000 7 10 500. 10 500. 0 350 000 50 000 8 110 500. 10 500. 100 000 250 000 150 000 9 6250. 6250. 0 250 000 150 000 10 6250. 6250. 0 250 000 150 000 11 6250. 6250. 0 250 000 150 000 12 256 250. 6250. 250 000 0 400 000

Problema 5.1-14

Se concede un préstamo de 500.000 € para ser amortizado en 10 años, con abono de intereses trimestrales a rédito trimestral constante del 3 %, y vencimiento de cuotas de amortización anuales progresivas. Se pide:

1.° Cuota de amortización del segundo año.

2.° Cuota de intereses del primer trimestre del quinto año. 3.° Cuantía total que se abona al final del noveno año.

Es una operación financiera en la que las cuotas de interés se abonan en períodos trimestrales, mientras que las cuotas de amortización se desembolsan en períodos anuales. Es decir, ambas cuotas no se devengan en la misma unidad temporal. Entonces, ¿cómo se obtiene el término amortizativo, aplicado a un único período?. Se considera, inicialmente, que ambas cuotas devengan a final de año, determinando individualmente las cuotas de interés para cada trimestre. Cuando el enunciado dice “…vencimiento de cuotas de amortización anuales progresivas”, debe interpretarse que setrata de un préstamo francés (términos amortizativos constantes) en el que las cuotas de interés disminuyen, mientras que las cuotas de amortización aumentan.

1 2 4 6 7 9 10

0

x x x x x x x x x x

i1 =0'1255

Calculamos la cuantía del término amortizativo anual, constante, aplicando la ecuación de equivalencia:

Determinamos las expresiones funcionales de todos los parámetros, sin perder de vista que están referidos a períodos anuales C0 500 000; n 10;i4 0.03;i1 1 i4 4 1 0.125509 xx x . First NSolve C0 j1 n x j 1 j 1 i1 1 90 496.8 a h : xx; Cp h : jh 1 n a j k h1 j 1 i1 1; h : Cp h 1 i1; A h : a h h ; M h : j1 h A j ;

Tabla de amortización

Intereses trimestrales

Sin pérdida de generalidad, tomemos los intereses trimestrales del año 5.

5-1 5-2 5-4

i4 =0'3 año 6

año 4

y y y y I[5]

Resulta evidente que el interés anual I[5], obtenido anteriormente, habrá de ser equivalente a la suma financiera de los intereses trimestrales, si los términos amortizativos anuales son constantes. Por otra parte, los intereses trimestrales son de la misma cuantía porque proceden de un principal común Cp[4] y, además, en todos los períodos, se aplica la misma tasa de interés. Para calcular su valor, resolvemos la ecuación financiera respecto al final del período (anual):

Sin embargo, si se calcula individualmente, los intereses y se retiran de la operación:

También puede considerarse que los intereses devengan, pero no se cobran (se capitalizan):

En conclusión, se precisa una información complementaria sobre el tratamiento de los intereses trimestrales y la definición del tipo de operación.

TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 90 496.8 62 754.4 27 742.4 472 258. 27 742.4 2 90 496.8 59 272.5 31 224.3 441 033. 58 966.8 3 90 496.8 55 353.6 35 143.3 405 890. 94 110. 4 90 496.8 50 942.8 39 554.1 366 336. 133 664. 5 90 496.8 45 978.4 44 518.4 321 817. 178 183. 6 90 496.8 40 390.9 50 105.9 271 712. 228 288. 7 90 496.8 34 102.2 56 394.6 215 317. 284 683. 8 90 496.8 27 024.2 63 472.7 151 844. 348 156. 9 90 496.8 19 057.8 71 439. 80 405.3 419 595. 10 90 496.8 10 091.6 80 405.3 0 500 000. NSolve 5 j1 4 y k1 j 1 i4 ,y y 10 670. Cp 4 i4 10 990.1 j1 4 Cp 4 i4 k j 4 1 i4 47 357.7

Problema 5.1-15

Construir el cuadro de amortización de un préstamo que tiene las siguientes características: - Cuantía del capital prestado 5 millones.

- Duración de la operación 8 años. - Tipo de interés anual 10%.

- Amortización con anualidades constantes que atienden al pago de intereses y a la devolución del principal.

Problema 5.1-16

Construir los cuadros de amortización correspondientes para el préstamo de 5.000.000 de € y tipo de interés del 5 %, en los supuestos siguientes:

1.° Duración de la operación 5 años y amortización con anualidades constantes abonándose a los tres años de concertada la operación.

2.º Duración de la. operación 5 años, abono de intereses en los dos primeros años y abono de anualidades constantes en los siguientes tres años.

3.° Duración de la operación 7 años y amortización mediante pagos constantes realizando el primero a los tres años de concertarse la operación.

4.° Duración de la operación 7 años, abono de intereses en los dos primeros años y abono de anualidades constantes en los siguientes cinco años.

Convenimos en tomar como sistema de referencia (origen de tiempos) la fecha inicio de la operación financiera.

1º) 1 2 3 4 0 a[h]=Cte. i1 =0'05 x x x C0 C0 (1+i1) h

Obtenemos el valor del término amortizativo constante aplicando el principio de equivalencia financiera respecto al inicio de la operación:

Al incluir los dos períodos de demora dentro de la operación financiera, hemos configurar las expresiones funcionales de forma individualizada teniendo en cuenta esta circunstancia porque los parámetros no pueden seguir una periodicidad constante. C0 5 106;i1 0.05; n 5; xx x . First NSolve C0 j3 n x k1 j 1 i1 1,x 2.02424 106 a h : If h 2, 0, xx ; Cp h : If h 2, C0 1 i1 h, jh 1 n a j jh1 j 1 i1 1 ; h : If h 2, 0, Cp h 1 i1 ; A h : If h 2, 0, Cp h 1 Cp h ; M h : j1 h A j ;

Tabla de amortización

Nótese que, en los dos primeros períodos, el capital pendiente de amortizar se ha incrementado (con monto negativo, obviamente) debido al impago de los correspondientes términos amortizativos.

2º) 1 2 3 4 0 a[h]=Cte. i1 =0'05 x x x C0 C0 C0 i1 C0 i1

Al final de los dos primeros años, se paga sendos intereses. Por tanto, al inicio del tercer año, el capital pendiente ha de ser igual al capital inicial C0.

Tabla de amortización

TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 0 0 0 5.25 106 0 2 0 0 0 5.5125 106 ₀ 3 2.02424 106 _{275625. 1.74861 10}6 _{3.76389 10}6 _{1.74861 10}6 4 2.02424 106 _{188194. 1.83604 10}6 _{1.92784 10}6 _{3.58466 10}6 5 2.02424 106 96392.2 1.92784 106 0 5.5125 106 C0 5 106;i1 0.05; n 5; yy y . First NSolve C0 j3 n y k3 j 1 i1 1,y 1.83604 106 a h : If h 2, C0i1, yy ; Cp h : If h 2, C0, j h1 n a j jh1 j 1 i1 1 ; h : If h 2, C0i1, Cp h 1 i1 ; A h : a h h ; M h : j 1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 250000. 250000. 0. 5 000 000 0. 2 250000. 250000. 0. 5 000 000 0. 3 1.83604 106 _{250000. 1.58604 10}6 _{3.41396 10}6 _{1.58604 10}6 4 1.83604 106 170698. 1.66534 106 1.74861 106 3.25139 106 5 1.83604 106 _{87430.6 1.74861 10}6 _{0 5. 10}6

3º)

Tabla de amortización

4ª)

Es idéntico al nº 2, pero con una duración de 7 años en vez de 5 años.

C0 5 106;i1 0.05; n 7; zz z . First NSolve C0 j3 n z k1 j 1 i1 1,z 1.27325 106 a h : If h 2, 0, zz ; Cp h : If h 2, C0 1 i1 h, jh 1 n a j jh1 j 1 i1 1 ; h : If h 2, 0, Cp h 1 i1 ; A h : If h 2, 0, Cp h 1 Cp h ; M h : j1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 0 0 0 5.25 106 0 2 0 0 0 5.5125 106 ₀ 3 1.27325 106 _{275625. 997624. 4.51488 10}6 _{997 624.} 4 1.27325 106 225744. 1.0475 106 3.46737 106 2.04513 106 5 1.27325 106 _{173369. 1.09988 10}6 _{2.36749 10}6 _{3.14501 10}6 6 1.27325 106 _{118375. 1.15487 10}6 _{1.21262 10}6 _{4.29988 10}6 7 1.27325 106 _{60630.9 1.21262 10}6 _{0 5.5125 10}6

Problema 5.1-17

Construir el cuadro de amortización de un préstamo de un millón de €, que se amortiza en 8 años abonándose un tipo de interés anual del 7 % si las cuantías de los términos amortizativos aumentan en progresión aritmética de razón 7.000 €

Formamos la expresión genérica del término amortizativo como una progresión aritmética en función del primer elemento y resolvemos la ecuación de equivalencia respecto al inicio:

Tabla de amortización C0 106; n 8;i1 0.07; d 7000; a h : x d h 1 ; a1 x . First NSolve C0 j1 n a j k 1 j 1 i1 1,x 145 442. a h : a1 d h 1 ; Cp h : jh 1 n a j k h1 j 1 i1 1; h : Cp h 1 i1; A h : a h h ; M h : j 1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 145 442. 70 000. 75 442. 924 558. 75 442. 2 152 442. 64 719.1 87 722.9 836 835. 163 165. 3 159 442. 58 578.5 100 864. 735 972. 264 028. 4 166 442. 51 518. 114 924. 621 048. 378 952. 5 173 442. 43 473.3 129 969. 491 079. 508 921. 6 180 442. 34 375.5 146 066. 345 013. 654 987. 7 187 442. 24 150.9 163 291. 181 721. 818 279. 8 194 442. 12 720.5 181 721. 0 1. 106

Problema 5.1-18

Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 200.000 €, si la duración de la operación es diez años, el tipo de interés anual concertado el 6 % y los términos amortizativos varían en progresión geométrica de razón q = 0,90. Es idéntico al caso anterior, salvo que el término amortizativo sigue una progresión geométrica.

Tabla de amortización C0 200 000; n 10;i1 0.06; q 0.9; a h : y qh1; a1 y . First NSolve C0 j1 n a j k 1 j 1 i1 1,y 39 736.8 a h : a1 qh 1; Cp h : jh 1 n a j k h1 j 1 i1 1; h : Cp h 1 i1; A h : a h h ; M h : j1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 39 736.8 12 000. 27 736.8 172 263. 27 736.8 2 35 763.1 10 335.8 25 427.3 146 836. 53 164. 3 32 186.8 8810.16 23 376.6 123 459. 76 540.7 4 28 968.1 7407.56 21 560.5 101 899. 98 101.2 5 26 071.3 6113.93 19 957.4 81 941.5 118 059. 6 23 464.2 4916.49 18 547.7 63 393.8 136 606. 7 21 117.7 3803.63 17 314.1 46 079.7 153 920. 8 19 006. 2764.78 16 241.2 29 838.5 170 162. 9 17 105.4 1790.31 15 315.1 14 523.4 185 477. 10 15 394.8 871.406 14 523.4 0 200 000.

Problema 5.1-19

Construir el cuadro de amortización de un préstamo amortizable con cuotas de amortización constantes si la cuantía prestada es un millón de €, la duración de la operación 10 años y el rédito anual constante concertado el 7 %.

Problema 5.1-20

Construir el cuadro de amortización de un préstamo cuyas características son: - Cuantía del capital nominal prestado 1.800.000 €

- Duración de la operación ocho años.

- Abono de intereses prepagables o anticipados.

- Los réditos anuales concertados para los correspondientes años

son: 𝑖1∗= 𝑖2∗= 0′08; 𝑖3∗= 0′09; 𝑖4∗= 𝑖5∗= 𝑖6∗ = 0′10; 𝑖7∗= 0′105; 𝑖8∗= 0′11

- Las cuotas de amortización siguen la ley As = s A para s = 1, 2,.... 8.

1 2 4

0

i[1] i[2] i[3] i[4]

0 0 C * i[1] C 1 [1]i − +

A[1] _A[2] A[3]

Cp[3]*i[4] 1+i[4] Cp[2]*i[3] 1+i[3] Cp[1]*i[2] 1+i[2]

a[1] a[2] a[3]

A[4] Cp[4]*i[5] 1+i[5] n A[n-1] Cp[n-1]*i[n] 1+i[n] a[4] _a[n-1] A[n] i[n] a[n]=A[n] h h+1 ih ih+1 Cp[h]i[h+1] [ ] [ 1] [ ] 1 [ 1] Cp h i h Cp h i h + − + +

Al ser los intereses pagados al inicio de cada período, las tasas de interés del enunciado se entienden como tasas de interés referidas al inicio. Para poder operar de la forma habitual (entendiendo los pagos y abonos como pospagables), debemos obtener las tasas de interés referidas al final del período. Ya se vió anteriormente que la relación entre ambas tasas es:

𝑖 = 𝑖

∗

1 − 𝑖∗

Calculamos la tasa equivalente para cada período:

Sabiendo que la cuota de amortización es directamente proporcional al período “h”, obtenemos la constante de proporcionalidad “m” resolviendo la ecuación:

La cuantía del principal es igual a la suma de las cuotas de amortización

Por tanto, las expresiones funcionales de los parámetros implicados son

C0 1800000 ; n 8; ip 0.08, 0.08, 0.09, 0.1, 0.1, 0.1, 0.105, 0.11 ; ii 1 & ip 0.0869565, 0.0869565, 0.0989011, 0.111111, 0.111111, 0.111111, 0.117318, 0.123596 i h : ii h ; fA h : ph; NSolve C0 j1 n fA j ,p p 50 000.

Recuérdese que estamos operando asumiendo que las cuantías son pospagables. Tabla de amortización

El término amortizativo está constituido por la cuota de amortización pospagable más la cuota de interés del período siguiente (prepagable). ¿Es correcto sumar aritméticamente dos cuantías pertenecientes a distintos períodos?

A h : 50 000h; M h : j1 h A j ; Cp h : C0 M h ; h : Cp h 1 i h 1 i h ; a h : h A h ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,

TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "

Año a h I h A h Cp h M h 1 194 000. 144 000. 50 000 1 750 000 50 000 2 240 000. 140 000. 100 000 1 650 000 150 000 3 298 500. 148 500. 150 000 1 500 000 300 000 4 350 000. 150 000. 200 000 1 300 000 500 000 5 380 000. 130 000. 250 000 1 050 000 750 000 6 405 000. 105 000. 300 000 750 000 1 050 000 7 428 750. 78 750. 350 000 400 000 1 400 000 8 444 000. 44 000. 400 000 0 1 800 000

Problema 5.1-21

Construir el cuadro de amortización de un préstamo método alemán cuyas características financieras son: - Cuantía del capital nominal prestado 700.000 €

- Rédito constante anual anticipado concertado el 9 %. - Duración de la operación 10 años.

Se trata de un préstamo de términos amortizativos constantes (método alemán), y la cuota constante de interés prepagable. Se entiende que la tasa de interés dada está referida al inicio de cada período.

El enunciado nos da la tasa de interés prepagable, por lo que debemos calcular la tasa de interés pospagable.

El término amortizativo constante se obtiene resolviendo la ecuación de equivalencia respecto al inicio:

Término amortizativo Capital pendiente

Cuota de interés Cuota de amortización Monto amortizado

Problema 5.1-22

Construir el cuadro de amortización de un préstamo concertado bajo las siguientes condiciones: - Capital nominal prestado 250.000 €

- Duración de la operación 8 años.

- Abono de intereses anticipados a rédito anual constante del 10%. - Amortización con cuotas de amortización anuales constantes.

Cuota de amortización Monto amortizado

Capital pendiente Cuota de interés Término amortizativo

Tabla de amortización pospagable

Problema 5.1-23

Construir el cuadro de amortización de un préstamo cuyas características financieras son: - Capital prestado 300.000

- Duración de la operación 6 años.

-Abono de intereses semestrales a rédito variable de acuerdo con el siguiente plan: Dos primeros años 𝑖₁(2)= 𝑖₂(2)= 0′04; 𝑖₃(2) = 𝑖₄(2)= 0′045; 𝑖₅(2)= 0′05; 𝑖₆(2) = 0′06

- Las cuotas de amortización de cada uno de los años son: 𝐴1= 𝐴2 = 𝑥; 𝐴3= 𝐴4 = 2𝑥; 𝐴5 = 𝐴6= 3𝑥

Como las cuotas de interés se desembolsan mensualmente, aunque las amortizaciones sean anuales, los períodos a considerar deben ser semestrales. El gráfico de la operación es:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0

I+x I+x _{I+2x I+2x I+3x I+3x}

i2 =0'04 i2 =0'045 i2 =0'05 i2 =0'06

0+I 0+I 0+I 0+I _{0+I 0+I}

Obtenemos el valor de “x” resolviendo la ecuación que resulta de igualar el principal a la suma de las cuotas de amortización en función de “x”.

Determinamos las expresiones funcionales de cada parámetro ajustándonos a las condiciones del enunciado:

Problema 5.1-24

Se concede un préstamo de un millón de € para ser amortizado en cinco años por el método francés con abono de intereses semestrales a un rédito semestral constante del 5 % y amortización anual.

Construir el cuadro de amortización.

0

1 2 4 5 6 7 9 10

semestres I I+A I I+A I I+A I I+A I I+A

i2 C0

El sistema francés se caracteriza por ser constantes e iguales todos los términos y ser igual y constante la tasa de interés en todos los períodos. A la vista del gráfico adjunto, deducido del enunciado, resulta evidente que no puede tratarse de un sistema francés, a no ser que se considere separadamente los devengos anuales y los pagos (o imposiciones), semestrales. En tal caso, se tendría:

1 2 4 5 0 a a a a a i1 C0 años

Calculamos la tasa anual equivalente de interés. Para calcular la anualidad constante, resolvemos la ecuación de equivalencia respecto al inicio:

Las expresiones funcionales del resto de parámetros, devengados anualmente, son:

Término amortizativo Capital pendiente Cuota de interés Cuota de amortización Monto amortizado

Teniendo en cuenta que el capital pendiente al inicio de cada semestre es igual al capital pendiente el año precedente, los intereses semestrales, capitalizados a final de año, serían

Problema 5.1-25

Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 300.000 € concedido en las siguientes condiciones: - Duración de la operación 10 años.

- Abono de intereses semestrales a rédito del 3,50 %.

- Amortización mediante cuotas anuales iguales abonándose la primera a los tres años de concertada la operación. Resulta evidente que conviene tomar períodos de duración mensual, con lo cual resulta el gráfico siguiente:

0

1 2 4 5 6 7 9 10

semestres I I I I I I+A I I+A I I+A

i2 C0

19 20 I I+A Paga intereses Cuotas anuales iguales de amortización

Tomamos como punto de referencia, el inicio de la operación financiera y calculamos la tasa semestral de interés.

Tabla de amortización

Se presta un capital de 200.000 € a un tipo de interés del 7 % anual para ser amortizado mediante anualidades constantes. Sabiendo que a los seis años el capital pendiente de amortización es la mitad que el prestado, determinar: 1º Anualidad que amortiza el préstamo.

2.° Componentes del cuadro de amortización del tercer año.

1 2 4 0 C0 h M[h] Cp[h]

Como desconocemos el número de términos (anualidades), debemos operar con las relaciones entre las expresiones funcionales.

Nótese cómo, en este caso, empleamos la expresión relacionada del capital pendiente en función de la expresión funcional del monto amortizado. Lo hacemos así para prescindir del número total de términos.

Esto nos obliga a obtener el resto de expresiones en distinto orden al empleado hasta ahora.

A partir del término amortizativo constante calculamos el número total de anualidades, que resulta ser un valor no entero.

A la vista del resultado, la tabla de amortización la podemos calcular hasta el último término entero (el 16) y efectuar un cálculo aproximativo con el valor sobrante (reparto proporcional, por ejemplo).

Problema 5.1-27

Construir el cuadro de amortización de un préstamo con las siguientes características: - Capital prestado 200.000 €

- Tipo de interés anual el 6 %. - Duración de la operación 10 años.

- Durante los cinco primeros años abono de una anualidad constante que permita amortizar la cuarta parte del principal y durante los cinco restantes abono de la anualidad que extinga la deuda.

Problema 5.1-28

Hace cuatro años fue concedido un préstamo francés, a un tipo de interés del 6 % anual, si en estos momentos (principio del quinto año) el capital pendiente de amortización es 804.392,60 € y sabiendo que la cuota de amortización que hay que abonar al final del período ascenderá a 70.000 € determinar:

1.° Cuantía del capital que se prestó. 2.° Duración de la operación

Se entiene de que la cuota de amoertización se refiere a la cuota del período 5.

El capital pendiente al final del período 5 es:

La cuota de interés devengada en el período 5 es:

Por tanto, el término amortizativo del período 5 y del mismo valor para la totalidad de los períodos por ser un préstamo francés, es:

Conociendo la expresión funcional del término amortizativo, determinamos la expresión funcional del monto amortizado y, consecuentemente, el capital inicial (principal).

Resolviendo la ecuación de equivalencia respecto al inicio se obtiene el número períodos (años) totales “n”.

También podíamos haber operado de la siguiente forma: A partir del término amortizativo, determinamos la expresión funcional del capital pendiente; resolvemos la ecuación del capital pendiente al final del período 4, dado por el enunciado.

En ambos casos, se obtiene el mismo resultado. El número total de períodos obtenido resulta ser un número no entero, por tanto, se deberá realizar la aproximación que mejor convenga.

Problema 5.1-29

Sabiendo que la contraprestación pendiente de una operación de préstamo es la representada en el esquema

s s+1 s+3 s+4 0'08 0'085 0'09 0'10 Hoy Cp[s] 0'08 0'085 0'09 0'10 Hoy C0=Cp[s] 1 2 4 determinar.

1º Cuantía de las reservas al principio de los períodos s + 1, s + 2, s + 3 y s + 4.

2º Descomposición de los términos amortizativos en sus cuotas de intereses y sus cuotas de amortización. 3º Valor del préstamo, valor del usufructo y valor de la nuda propiedad al principio del año s+1.

4.° Suponiendo que, al principio de los años s+2, s+3 y s+4, el mercado continuase valorando con los mismos ¿cuáles serían los valores del préstamo en cada uno de esos principios de años?

Con los datos del enunciado, formamos las expresiones funcionales del término amortizativo y de la tasa de interés aplicable en cada período

La suma de las actualizaciones de las reservas (término amortizativos) a ser satisfechos es equivalente al principal de un préstamo de duración cuatro años. Monto amortizado Capital pendiente Cuota de interés Cuota de amortización Tabla de amortización

Problema 5.1-30

Se otorgó un préstamo de 2 millones de € para ser amortizado en 12 años a un tipo de interés del 12 % anual. Si en estos momentos, principio del sexto año del préstamo, el tipo de interés del mercado es el 11 % determinar el valor del préstamo, el valor del usufructo y el valor de la nuda propiedad en las siguientes hipótesis:

1.° Método francés. 2.° Método americano.

3.º Términos variables en progresión aritmética de razón d =10.000. 4.° Términos variables en progresión geométrica de razón q = 1,08. 5.° Amortización con cuota de amortización constante.

Método francés 1 2 4 5 0 6 7 x x x x x i1 =0'12 C0 M[h] Cp[h] Hoy

En el método francés, los términos amortizativos y las tasas de interés permanecen constantes e iguales.

Usufructo y nuda propiedad a día de hoy:

Sistema americano

Se paga solamente los intereses, salvo al final del último período en el que abona el interés correspondiente más el principal.

Problema 5.1-31

Un préstamo alemán fue concedido hace tres años con las siguientes características: - Capital nominal prestado 1.000.000 de €.

- Duración de la operación diez años. - Rédito anticipado anual concertado el 6 %.

Si, en estos momentos, el acreedor vende el préstamo a un tanto del 5 % determinar el valor del préstamo, valor del usufructo y valor de la nuda propiedad en los supuestos:

a) Los intereses del cuarto año no se han devengado. b) Los intereses del cuarto año han sido devengados.

𝑀é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑎𝑙𝑒𝑚á𝑛 → {

1. −𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎[ℎ] = 𝐶𝑡𝑒. 2. −𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑘 = 𝐶𝑡𝑒

3. −𝑃𝑎𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 → 𝑖∗

Para operar, calculamos, inicialmente, la tasa de interés pospagable a partir de la tasa de interés prepagable (la dada en el enunciado).

Problema 5.1-32

Hace seis años se concedió un préstamo de 3.000.000 de €, para ser amortizado en 10 años por el método francés con abono de intereses semestrales a rédito 𝑖2= 0′05. En estos momentos, principio del séptimo año de la operación el

mercado valora a un tanto efectivo anual del 12 %.

Determinar el valor del préstamo, el valor del usufructo y el valor de la nuda propiedad al principio del referido año séptimo.

Problema 5.1-33

La venta de un préstamo francés, del que quedan siete años para su amortización ha producido unos ingresos de 727.105,18 € De este préstamo se sabe que la cuota de intereses del año en curso hubiese ascendido a 50.000 €, que la cuota de amortización del año anterior fue de 75.000 € y que el tanto de concesión del préstamo es un uno por ciento superior al de venta

Determinar:

1.° El tanto de concesión del préstamo y el tanto de venta. 2.° La anualidad que lo amortiza.

3.° El capital vivo en el momento de la venta.

s+1 s+2 s+3 s+4 s+5 s+6 s+7 s i1 x x x x x x x s-1 I[s]=50000 A[s-1]=75000 𝑃𝑟é𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜 𝑓𝑟𝑎𝑛𝑐é𝑠 → {1. −𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎[ℎ] = 𝐶𝑡𝑒 2. −𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑖[ℎ] = 𝐶𝑡𝑒

Cuando los términos amortizativos y las tasas de interés son constantes, conviene obtener las relaciones que interesan entre los parámetros funcionales del préstamo. Así, en este caso,

𝑉 = 727105′_{18; 𝐼[𝑠 + 1] = 50000; 𝐴[𝑠] = 78000; 𝑖}

1= 𝑖𝑚1+ 0′01

Interesa conocer la relación de A[s] y A[s+1]. Como el término amortizativo y la tasa de interés se mantienen constantes, y el capital pendiente Cp[h] va disminuyendo, la cuota de interés I[h] también disminuirá. Esto hace que la cuota de amortización A[h] deba aumentar para que el término amortizativo a[h]=Cte. Es inmediato comprobar que

s+1 s+2 s+3 s+4 s+5 s+6 s+7 s i1 x x x x x x x I[s]=50000 A[s]=75000(1+i1) a[s]=50000+75000(1+i1)

Teniendo en cuenta que la valoración de mercado se realiza sobre las anualidades pendientes de amortizar, resulta el gráfico: s+1 s+2 s+3 s+4 s+5 s+6 s+7 im y y y y y y y a[s]=50000+75000(1+im+0'01) Vs=727105'18 Valoración de mercado

Resolviendo la ecuación de equivalencia respecto al inicio de la valoración de mercado se obtiene la tasa de dicha valoración:

Con el valor obtenido determinamos la expresión del término amortizativo constante del préstamo:

Problema 5.1-34

Un capital de 750.000 €, se presta en las siguientes condiciones: - Amortización en diez años.

- Tanto instantáneo de capitalización 𝜌 = 0′11 - Densidad constante del término amortizativo Determinar:

1.° La densidad constante del término amortizativo a'(t) = a' 2.º Capital pendiente de amortización al principio del cuarto año. 3.° Capital amortizado después de siete años.

Problema 5.1-35

Se concede un préstamo de 1.500.000 € para ser amortizado en cinco años, en base a la ley 𝐿(𝑡, 𝑝) = 𝑒0′10(𝑝−𝑡), y siendo constante la densidad de la cuota de amortización.

Determinar

1.° La densidad A'(t)=A'.

2.° Capital amortizado a los tres años y medio de concertada la operación y capital pendiente de amortización al principio del tercer año.

Problema 5.1-36

Sea una operación de amortización con las siguientes características: a) Contractuales

- Cuantía del capital prestado 2.000.000 de € - Duración de la operación 5 años.

- Tipo de interés anual concertado el 10 %. - Términos amortizativos constantes. b) Comerciales

- Gastos iniciales de 25.000 € a cargo del prestatario.

- Gastos de administración anuales del 0,5 % sobre el saldo pendiente al principio del año más una cantidad fija de 750 €, y a cargo del prestatario.

- Gastos finales a cargo del prestatario por un importe del 1,5 % sobre la cantidad demandada en préstamo. - Impuestos anuales del 15 % sobre las cuotas de interés a cargo del prestamista.

Obtener

1.° El tanto efectivo activo o del prestamista. 2.° El tanto efectivo pasivo o del prestatario.