Electromagnetismo Líneas de transmisión 1

Electromagnetismo 2018

9 – Líneas de transmisión 1

Electromagnetismo 2018

Plan de la clase:

Líneas de transmisión 1

1 – Modelo de constantes distribuidas

2 – Modelo circuital de constantes distribuidas: línea ideal

3 – Modelo circuital de constantes distribuidas: línea con pérdidas 4 – Propagación de potencia

5 – Línea con bajas pérdidas

6 – Parámetros de líneas comunes 7 – Líneas de cinta

8 – Representación matricial de la líneas de transmisión 9 – La línea como elemento de circuito: línea cargada

Líneas de transmisión

1 – Modelo de constantes distribuidas

Si las tres dimensiones de un sistema cumplen la condición cuasi-estática se puede utilizar la teoría de circuitos (elementos concentrados R, L, C).

La siguiente complicación del modelo se produce cuando

una sola dimensión no cumple la condición cuasiestática.

Este caso se puede analizar por la teoría de circuitos pero considerando parámetros distribuidos. El paradigma habitual es la línea de transmisión bifilar.

Se trata de un par de electrodos paralelos por una longitud L  . Los electrodos están carga-dos con distribuciones de carga iguales y opuestas variables a lo largo de la línea, y crean campo eléctrico que puede expresarse por una capacitancia distribuida.

Además circulan corrientes iguales y opuestas variables a lo largo de la línea, creando campo magnético que puede expresarse por una inductancia

distribuida. La potencia fluye a lo largo de la línea. 3

I -I Q -Q E H

Líneas de transmisión

Modelo de constantes distribuidas

La energía electromagnética puede ingresar a una línea de transmisión en forma de excitación concentrada o distribuida.

Las fuentes concentradas se aplican en un punto determinado de la línea y la

señal se propaga por la línea desde allí. Se simulan mediante fuentes de tensión y/o corriente conectadas en el sitio de ingreso de la excitación.

En el caso de fuentes distribuidas la excitación se distribuye a lo largo de la línea. Se simula esta situación mediante una onda, habitualmente plana, que ilumina a la línea en toda o parte de su extensión.

Una dada excitación puede generar distintas respuestas de la línea. La fuente de la figura produce corrien-tes que pueden representarse como la superposición de corrientes en

modo común (modo de antena) y

corrientes en modo diferencial

Líneas de transmisión

Modelo de constantes distribuidas

En el modelo de constantes distribuidas la línea bifilar se puede pensar como una sucesión de segmentos de dimensión longitudinal pequeña que se modelan como cuadripolos en cascada.

Así, cada cuadripolo cumple la condición cuasi-estática y puede modelarse con la teoría de circuitos. El campo eléctrico se asocia a capacidades distribuidas y el campo magnético a inductancias distribuidas.

Puede haber pérdidas óhmicas en los con-ductores y pérdidas dieléctricas en el material que separa a los concon-ductores. Estas pérdidas se asocian a resistencias/conductancias distribuidas.

Líneas de transmisión

2 – Modelo circuital de constantes distribuidas: línea ideal

Una línea sin pérdidas se denomina línea ideal. En este caso el modelo circuital de la línea sólo tiene elementos reactivos. Queda así el cuadripolo de la figura, donde L dz es la inductancia del tramo y C dz su capacidad.

Aplicamos la 1ra. regla de Kirchhoff al nodo A:

Y ahora aplicamos la 2da. regla de Kirchhoff al circuito marcado: 6 ( ) ( ) 0 z v i z dz i z C dz t       ( ) ( ) 0 z i v z dz L dz v z t      

Líneas de transmisión

Modelo circuital de constantes distribuidas: línea ideal

Desarrollamos en serie de Taylor hasta primer orden, porque dz0:

Entonces obtenemos las llamadas ecuaciones del telegrafista:

que pueden desacoplarse para obtener:

Podemos demostrar que las soluciones de estas ecuaciones son ondas de tensión y de corriente, que tienen una forma matemática general:

c es la velocidad de propagación de las ondas.

7 ( ) ( ) ; ( ) ( ) z z i v i z dz i z dz v z dz v z dz z z           ( ) ( ) 0 ; ( ) ( ) 0 z z v i i z dz i z C dz v z dz L dz v z t t             2 2 2 2 2 2 0 ; 2 2 0 v v i i LC LC z t z t             ( , ) ( ) ; ( , ) ( ) con 1 v z t  f z ct i z t  g z ct c  LC ; z z z z i v v i C L z t z t  _{ }   _{ }     

Líneas de transmisión

Modelo circuital de constantes distribuidas: línea ideal

El signo (–) de la doble determinación corresponde a ondas progresivas (se propagan según +z) el signo (+) a ondas regresivas (se propagan según –z).

Además, las ondas de corriente y tensión están relacionadas por las ecuaciones del telegrafista:

Esta cantidad tiene dimensiones de impedancia, por lo que se la conoce como

impedancia característica de la línea.

La velocidad de propagación y la impedancia característica son los dos paráme-tros que definen completamente a una línea ideal.

La forma geométrica de la línea permite calcular los parámetros cuasi-estáticos capacidad e inductancia (autoinductancia). A su vez, estos parámetros depen-den de las propiedades del dieléctrico de la línea: la permitividad, asociada a la capacidad, y la permeabilidad, asociada a la inductancia.

8 ( , ) ( ) ; ( , ) ( ) con 1 v z t  f z ct i z t  g z ct c  LC 0 ( , ) ; ( , ) z z z z i v v i v z t L C L Z z t z t i z t C  _{ }   _{ }  _{    }    

Líneas de transmisión

3 – Modelo circuital de constantes distribuidas: línea con pérdidas

Las líneas reales presentan pérdidas de energía de dos tipos:

- Pérdidas en los conductores (efecto Joule) - Pérdidas dieléctricas

En líneas de uso práctico las pérdidas son bajas ya que el objetivo de una línea de transmisión es transportar energía e información.

El modelo circuital de una línea con pérdidas incorpora en el cuadripolo una resistencia serie Rdz (pérdidas conductoras) y una conductancia paralelo Gdz

(pérdidas dieléctricas).

Con el mismo procedimiento usado con la línea ideal las ecuaciones del telegrafista resultan ahora:

y las ecuaciones desacopladas son:

que se reducen a las ecuaciones para una línea ideal para R = G = 0. 9

( ) ; ( ) z z z z i v v i Gv z C R i z L z t z t  _{  }   _{  }     









2 2 2 2 2 2 ; 2 2 v v v i i i RG v RC LG LC RG i RC LG LC z t t z t t  _{  }  _   _{  }  _       

Líneas de transmisión

Modelo circuital de constantes distribuidas: línea con pérdidas

No existe en este caso una solución general de estas ecuaciones diferenciales. Conviene trabajar en el dominio de la frecuencia, asumiendo señales armónicas:

Con esta elección, las ecuaciones del telegrafista se pueden escribir:

donde Z es la impedancia serie e Y la admitancia paralelo del cuadripolo. La ecuación diferencial para la tensión (para la corriente es igual) queda:

10









2 2 2 2 2 2 2 2 v v v RG v RC LG LC z t t i i i RG i RC LG LC z t t  _{  }  _      _{  }  _     ( , ) _s( ) j t ; ( , ) _s( ) j t v z t  v z e  i z t i z e 





2 2 2 2 2 2 0 s s s s d v d v RG j RC LG LC v v dz         dz  









s s s s s s d v v i R i L R j L i Z i z t d z d i i v G v C G j C v Y v z t d z    _{  }  _{     }    _{  }  _{     }  

Líneas de transmisión

Modelo circuital de constantes distribuidas: línea con pérdidas

Podemos observar que:

En general,  es una cantidad compleja. Las soluciones de estas ecuaciones diferenciales ordinarias son:

Incorporamos la dependencia temporal y separamos onda progresiva y regresiva con el mismo criterio que en el caso ideal:

(onda progresiva) (onda regresiva)

Observamos que las ondas se atenúan exponencialmente por las pérdidas de energía que describe el número de atenuación , y su propagación está asocia-da al número de propagación : ( : longitud de onda) También se demuestra que:

11 ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0 ( , ) ; ( , ) ( , ) ; ( , ) z j t z z j t z z j t z z j t z v v z t v e e i z t e e Z v v z t v e e i z t e e Z                              





2 2 2 2 2 2 0 ; 2 0 ; s s s s d v d i v i LC RG j RC LG dz   dz          







j R j L G j C ZY            ( ) ( ), ( ) j z j j z s s v z i z e   e   0 0 0 Z  Z  j Z  Z Y ; 2 c      

Líneas de transmisión

4 – Propagación de potencia

Las ondas electromagnéticas transportan energía, hecho que puede describirse mediante el vector de Poynting. Podemos hallar un análogo del teorema de Poynting a partir de las ecuaciones del telegrafista:

Multiplicamos la primera ecuación por v y la segunda por i y sumamos miem-bro a miemmiem-bro para obtener:

Podemos observar que:

• el término Ri2 _{+ Gv}2 _{representa la suma de las potencias perdidas por unidad}

de longitud por efecto Joule en los conductores y por pérdidas dieléctricas en el dieléctrico de la línea;

• el término entre corchetes representa la variación de la energía electromagné-tica almacenada por unidad de longitud en el campo eléctrico y magnético.

12 , v i i v R i L G v C z t z t  _{  }   _{  }     

 





2 2 2 2 2 2 2 2 ; 2 2 2 2 i C v v L i i v Cv Li v G v i R i v i vi Gv Ri z t z t z z z t    _{  }   _{  }  _  _  _  _{   }  _          _{  }

Líneas de transmisión

Propagación de potencia

Si multiplicamos esta ecuación por dz:

Finalmente:

con:

Esta ecuación representa el balance de la energía en un tramo de línea de longi-tud dz. El producto (vi) es equivalente al flujo del vector de Poynting y repre-senta el flujo de potencia a lo largo de la línea. Este flujo de potencia se con-vierte en potencia disipada en los elementos activos G y R o potencia almace-nada en los elementos reactivos L y C.

Para una onda armónica en una línea, el flujo de potencia media es:

13

 



2 2



2 2 2 2 Cv Li vi Gv Ri z t    _{   }  _    _{  }

 



2 2



2 2

 

0 0 2 2 EM J dU Cdz Ldz vi dz Gdz v Rdz i v i d vi dP z t dt  _{  }   _  _{    }    _{  }

   



2 2



2 2 , 2 2 EM J z z dz EM J dU vi vi dP dt dU Cdz Ldz dP Gdz v Rdz i v i dt t           _  _    2 0 0 2 2 0 2 z Z v v i e Z    

Líneas de transmisión

5 – Línea con bajas pérdidas

En la práctica se usan líneas de bajas pérdidas. Las definimos con la condición: bajas pérdidas:

Entonces, mediante un desarrollo de Taylor a primer orden obtenemos:

En esta aproximación, el número de propagación coincide con el obtenido en el caso ideal, mientras que el número de atenuación es mu pequeño, indicando que las pérdidas son realmente bajas.

Obtenemos entonces:

La velocidad de propagación coincide con la correspondiente al caso ideal y la impedancia característica es prácticamente real.

Las hojas de datos de líneas reales suelen tabular las dimensiones geométricas, la impedancia real, la velocidad de propagación y la atenuación en dB/m.

14 : 2 R G j LC L C                  _  _   ; R L G C 0 0 0 0 0 0 0 1 ; 2 ; 2 c LC Z L G R Z Z jZ Z Z Z C C L                        _  _  

Líneas de transmisión

6 – Parámetros de líneas comunes

- En las expresiones de C y L se usan los valores de la parte real de  y .

- _eq = " es la conductividad equivalente del dieléctrico.

- Se dan expresiones distintas de R: a baja frecuencia y a alta fre-cuencia por el efecto pelicular: - es la impedancia del

dieléctrico.

-  es la resistividad de baja fre-cuencia del material conductor y es la resistencia superficial de los conductores a alta frecuencia.

15

Coaxil Bifilar Doble cinta

C (F/m) L(Hy/m) G(m)-1 a b d 2a a b t t ) ln(d a   a b  ) ln(d a   b a  a b eq  ) ln( 2 a b   ) ln( 2 b a  ) / ln( 2 a b eq   ) / ln( 2 a d eq   Alta frecuencia R (/m) Z₀ () Baja frecuencia R (/ m) Z₀ ()        b a Rs 1 1 2 _a Rs  b R_s 2 ) / ln( 2 b a  ) / ln(d a   b a        _ bt a 2 1 1 2   2 2 a   bt  2 R j L G j C         2 s R    

Líneas de transmisión

7 – Líneas de cinta

Dos de los diseños de líneas más usados en integrados y PCBs son:

stripline:

K(k) se conoce como integral elíptica de primera especie, y está definida como:

En la figura se grafican K, K’ y 10 Z₀/. Observamos que:

La atenuación por pérdidas conductoras es:

16

 

0 0 0 ( ) 120 ; ; 4 _{r r r} c K k Z c K k   _              2 2 2 0 2 ( ) , sech 2 1 sen ( ) , tanh 1 2 d w K k k b k w K K k k k b  _{ }       _{ }          _{ }    



K´ K 10 Z0/ 0 0 0 1 0 0 w b k Z w b k Z                 2 2 2 2 2 0 0 8 ln con: 2 , 4 8 16 s s c s c c R bk R w R t e wt Z bK k t k Z b K k             _{ }     _{ }  

Líneas de transmisión

Líneas de cinta

microstrip:

Como las líneas de campo se hallan parte en aire y parte en dieléctrico, se usa para el cálculo una permitividad efectiva:

La velocidad de propagación es: y las pérdidas conductoras:

donde R_s es la resistencia superficial del conductor “vivo” a alta frecuencia.

17





0 0 0 0 8 1: ln 4 2 1 1: 1.393 0.667 ln 1.444 eff eff b w w b Z w b w b Z w b w b          _  _        2 1 1 1 0.04 1 2 2 _{1 12} r r eff w b b w        _  _  _ _        0 eff c  c  0 8.686 s ; 2 c s R R w Z      

Líneas de transmisión

8 – Representación matricial de la líneas de transmisión

Las expresiones para las ondas de tensión y corriente en una línea pueden escri-birse como:

Estas ecuaciones pueden escribirse en forma matricial (obviando el exponente temporal):

Supongamos dos posiciones z₁ y z₂ sobre una línea. Escribimos para cada una:

Eliminamos el vector de constantes de estas ecuaciones para obtener:

18 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( , ) j t z j t z ; ( , ) V j t z V j t z v z t V e V e i z t e e Z Z                 0 0 ( ) 1 1 0 ( ) 1 1 0 j z s j z s v z e V i z Z Z e V               _{ }    _            2 1 2 1 2 1 2 0 0 1 0 0 ( ) 1 1 0 ( ) 1 1 0 ; ( ) 1 1 0 ( ) 1 1 0 j z j z s s j z j z s s v z e V v z e V i z Z Z e V i z Z Z e V                            _{ }  _{ }    _       _                  1 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 ( ) cos[ ( )] sen[ ( )] ( ) ( ) sen[ ( )] cos[ ( )] ( ) s s s s v z z z jZ z z v z i z jY z z z z i z                 _{ }         

Líneas de transmisión

Representación matricial de la líneas de transmisión

La relación entre las tensiones y corrientes en dos puntos separados de la línea es una función complicada de la distancia z = z₂ – z₁. Supongamos una línea ideal por simplicidad. Entonces: y resulta:

En el caso en que la separación entre puntos sea chica respecto de la longitud de onda de las ondas en la línea a la frecuencia de trabajo:

longitud eléctrica:

y las tensiones y corrientes son iguales en ambos extremos del trozo de línea. La línea se comporta como un simple cortocircuito entre entrada y salida. Esta es la aproximación cuasi-estática o de baja frecuencia. Viceversa, una conexión entre dos elementos de circuito se comporta como tal si su longitud eléctrica es

pequeña. Si no, se comporta como una línea. 19

1 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 ( ) cos[ ( )] sen[ ( )] ( ) ( ) sen[ ( )] cos[ ( )] ( ) s s s s v z z z jZ z z v z i z jY z z z z i z                 _{ }         



z2 z1



z 2 z         1 0 2 1 0 2 ( ) cos[2 ] sen[2 ] ( ) ( ) sen[2 ] cos[2 )] ( ) s s s s v z z jZ z v z i z jY z z i z                     _{ }          1 2 1 2 ( ) 1 0 ( ) 1 ( ) 0 1 ( ) s s s s v z v z z i z i z        _{ }           

Líneas de transmisión

9 – La línea como elemento de circuito: línea cargada

La presencia de la carga fuerza una condición entre tensión y corriente en ese punto:

Entonces:

de donde se puede expresar la constante V_– (constante de integración de las ecs. del telegrafista) en términos de la otra constante V₊:

Esta relación se conoce como coeficiente de reflexión sobre la carga.

Podemos pensar que una onda progresiva viaja por la línea en el sentido +z. La relación entre tensión y corriente en cada punto es Z₀. Al llegar la onda a la carga, ésta fuerza a que la relación sea Z_L. Entonces surge la onda regresiva o

reflejada para satisfacer esta condición. La onda reflejada surge entonces por la

desaptación de impedancias entre la línea y la carga. 20

( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( , ) j t z j t z ; ( , ) V j t z V j t z v z t V e V e i z t e e Z Z                 0 ( , ) ( , ) _L z v z t i z t _  Z 0 0 ( ) (0, ) ( ) (0, ) ( ) ( ) j t L j t L L Z V V Z v t V V e Z i t V V e Z V V Z                    0 0 L L L Z Z V V Z Z       

Líneas de transmisión

La línea como elemento de circuito: línea cargada

La tensión sobre la carga es:

_L se conoce como coeficiente de transmisión sobre la carga.

Conservación de la energía en una línea cargada:

Una onda progresiva en una línea incide sobre la carga. La energía incidente en parte se refleja y en parte se transmite. Podemos escribir:

onda incidente: onda reflejada:

valores transmitidos:

Las potencias medias incidente, reflejada y transmitida sobre la posición de la carga son: 21 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ( , ) j t z j t z ; ( , ) j t z j t z ; _L L L Z Z V V V v z t V e V e i z t e e Z Z V Z Z           _            





0 2 (0, ) 1 1 j t j t j t L L L L L L L L V Z V e v t V e V e V V V V V Z Z    _{  }                    













( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( , ) ; ( , ) ( , ) ; ( , ) ( ) ; ( , ) j t z j t z j t z j t z j t j t t L L L v z t V e i z t V Z e v z t V e i z t V Z e v t V e i z t V Z e                               2 2 2 0 0 2 2 2 0 0 ( 0) ; ( 0) ; 2 2 2 L L i r t L Z V Z V Z V P z P z P Z Z Z          

Líneas de transmisión

La línea como elemento de circuito: línea cargada

Vemos que:

R y T se conocen como coeficiente de reflexión y de transmisión sobre la carga. Por conservación de la energía:

Adaptación:

El objetivo básico de una línea de transmisión es llevar energía y/o información desde una fuente hasta una carga. La desadaptación de impedancias de la línea a la carga crea una onda reflejada que lleva potencia que no se transmite a la carga. La condición de adaptación, fundamental en el diseño de circuitos, es:

y entonces:

Toda la potencia incidente se transfiere a la carga en adaptación. ₂₂ 0 0 0 0 1 1 L L L L L L L Z Z V V Z Z V Z Z V                   2 2 2 0 0 2 2 2 0 0 ( 0) ; ( 0) ; 2 2 2 L L i r t L Z V Z V Z V P z P z P Z Z Z           2 2 2 2 _{0 0} 2 2 2 2 0 0 ( 0) ; ( 0) ( 0) r t L L L L L i i _{L L} P z P Z Z V Z Z R T P z  P z _{Z Z V Z Z}            _{ } ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) 1 ( 0) ( 0) ( 0) i r t i r t i i i P z P z P P z P z P R T P z P z P z                0 ; 1 R  T 

Líneas de transmisión

La línea como elemento de circuito: línea cargada

La tensión y la corriente en una línea cargada tienen las expresiones:

Como y las cantidades son positivas, porque se trata de cocientes de potencias, se desprende que:

Supongamos por simplicidad una línea ideal. Para un instante de tiempo fijo, la amplitud varía proporcionalmente a los fasores:

En la figura representamos este fasor en el plano complejo para la tensión. Para

z = 0 vale , donde  es el ángulo de fase de _L. A medida que z varía, el ángulo de fase del segundo término cambia y la punta del fasor “móvil” traza una circunferencia. Vemos que la tensión varía entre un mínimo y un máximo . Lo mismo pasa con la dis-tribución de corriente. 23









( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 ( , ) 1 ( , ) 1 j t z j t z j t z j z L j t z j t z j t z j z L v z t V e V e V e e V V V i z t e e e e Z Z Z              





                    2 1 _L 1 R T     T 0  T 1 ; 0  _L 1 2 1



_L e j z 1



_L  1



_L ej



1



m L v V_ 





1



M L v V_ 



Líneas de transmisión

La línea como elemento de circuito: línea cargada Ondas estacionarias:

Defino la relación de onda estacionaria:

Ejemplos:

En una línea adaptada no hay máximos un mínimos:

En una línea a circuito abierto:

y las formas de onda son:

24

























0 0 0 ( , ) ; 1 ( ) 1 ( , ) ; 1 ( ) 1 j t j z j z L L L j t j z j z L L L v z t V e e e V v z V V V V i z t e e e i z Z Z Z      













                    0 0 ; 1 L vm vM V im iM V Z ROE



    _   _   0 : 1 0 ; 2 ; 0 ; 2 L L m M m M Z  



   v  v  V_ i  i  V Z_  ROE  

















0 0 0 ( , ) 2 cos( ) ( , ) 2 sen( ) j t j z j z j t j z j z j t L j t j z j z j t j z j z j t L v z t V e e e V e e e V e z V V V i z t e e e e e e j e z Z Z Z              









                     1 ; 1 1 L M M m m L v i ROE ROE v i





       

Líneas de transmisión

La línea como elemento de circuito: línea cargada

En una línea en circuito abierto la tensión y la corriente tienen las expresiones:

Estas son ondas estacionarias. Las ondas de tensión (en rojo) y de corriente (en azul) están defasadas en /2. La figura muestra las ondas graficadas en función de Estas ondas no propagan energía. El flujo medio de potencia es nulo.

También se dan ondas estacionarias en una línea

cortocircuitada:

En resumen:

Z_L = 0  _L = -1: ondas estacionarias. ROE   Z_L = Z₀  _L = 0: onda viajera pura. ROE = 0

Z_L    _L = +1: ondas estacionarias. ROE   ₂₅



0





0



( , ) 2 cos( ) ( , ) 2 cos( ) cos( )

( , ) 2 cos( ) ( , ) 2 sen( ) sen( )

j t j t v z t V e z v z t V t z i z t j V Z e z i z t V Z t z  













           z   



0



0 0 : 1 0 ; 2 ; 0 ; 2

( , ) 2 sen( ) sen( ) ; ( , ) 2 cos( ) cos( )

L L m M m M Z v v V i i V Z ROE v z t V t z i z t V Z t z











                

Líneas de transmisión

La línea como elemento de circuito: línea cargada Impedancia de onda:

En general, la tensión y la corriente en un punto cualquiera de la línea cargada son:

La relación entre estas cantidades sólo depende de la posición z, tiene dimensio-nes de impedancia se conoce como impedancia de onda:

Por ejemplo, analicemos los casos de terminación más simples:

línea adaptada línea cortocircuitada línea abierta Admitancia de onda: 26













( ) 2 ( ) 2 0 ( , ) 1 ( , ) 1 j t z j z L j t z j z L v z t V e e i z t V Z e e                

 

 

 

 

2 0 0 2 0 0 cos sen 1 ( , ) ( ) ( , ) 1 cos sen j z L L j z L L Z z jZ z e v z t Z z Z Z i z t e Z z jZ z                0 0 Z(z) Z Z Z_L    0 0 ( ) tan( ) L Z   Z z  jZ  z 0 ( ) cotan( ) L Z    Z z  jZ z

 

 

 

 

2 0 0 2 0 0 cos sen 1 1 1 ( ) ( ) 1 cos sen j z L L j z L L Y z jY z e Y z Y Z z Z e Y z jY z               

Líneas de transmisión

La línea como elemento de circuito: línea cargada Línea con carga y generador:

Así como la condición de borde impuesta por la carga permitió eliminar una de las ctes. de inte-gración, la conexión de una fuente Thevenin a la entrada define la otra cte.

En general:

A la entrada, la fuente impone la condición:

de donde despejamos: O también: 27







0







( , ) j t j z _L j z ; ( , ) j t j z _L j z v z t V e_  e   e  i z t  V_ Z e  e   e 







0







( , ) j t j d _L j d _g j t ( , ) _g j t j t j d j d g L v d t V e e e V e i d t Z V e V Z e e e                        0 0 0 ( _g ) j d _L ( _g) j d g Z V V Z Z e   Z Z e    _{  }  0 0 0 0 0 0 ( ) ( )( ) ( ) ( ) L g j d j d L g L g Z Z Z V V Z Z Z Z e  Z Z Z Z e          