Geometría y Cinemática. Control y Programación de Robots

(1)

Geometría y Cinemática

1 Control y Programación

de Robots

(2)

Cinemática directa

Cinemática Inversa

Matriz Jacobiana

Cinemática de un Robot Manipulador

(3)

Cinemática del robot : Estudio de su movimiento con respecto a un sistema de referencia

– Descripción analítica del movimiento espacial en función del tiempo – Relaciones: localización del extremo del robot-valores articulares

Problema cinemático directo: Determinar la posición y orientación del extremo final del robot, con respecto a un sistema de coordenadas de referencia, conocidos los ángulos de las articulaciones y los parámetros geométricos de los elementos del robot

Problema cinemático inverso: Determinar la configuración que debe adoptar el robot para una posición y orientación del extremo conocidas

Modelo diferencial (matriz Jacobiana): Relaciones entre las velocidades de movimiento de las articulaciones y las del extremo del robot

Cinemática de un Robot Manipulador

(4)

Cinemática de un Robot Manipulador

(5)

Cinemática de un Robot Manipulador

5 Resolución del problema cinemático directo con matrices de

(6)

Modelo directo

6 Cálculo de la posición y orientación de

cualquier punto del robot (Elemento

Terminal) en función las variables

articulares

q₁ q₂ q_n-1 q_n p(x,y,z,α,β,γ)

Procedimiento sistemático de

Denavit-Hartemberg

(7)

1. Identificar los Enlaces y Ejes de las articulaciones y trazar líneas

imaginarias a lo largo de ellos.

Procedimiento de colocación de

Ejes de Referencia

7

+1

(8)

2. Identificar la perpendicular común entre ejes consecutivos. El

origen del SR

i

estará en la intersección del Eje

i

con la normal

común entre los ejes

i

e

i+1

Procedimiento de colocación de

Ejes de Referencia

8

+1

(9)

3. Colocar el eje

Z

_i

sobre el eje de la articulación

i

Procedimiento de colocación de

Ejes de Referencia

9

+1 +1

Z

_i

_Z

i

(10)

4. Colocar el eje

X

_i

sobre la perpendicular común, o si los ejes

intersectan, sobre la normal al plano que forman los ejes

Z

_i

y

Z

_i+1

Procedimiento de colocación de

Ejes de Referencia

10

+1 +1

Z

_i

_Z

i

X

_i

X

_i

(11)

5. Colocar el eje

Y

_i

completando un

sistema de referencia dextrógiro

Procedimiento de colocación de

Ejes de Referencia

11

+1 +1

Z

_i

_Z

i

X

_i

X

_i

Y

_i

_Y

i

(12)

Parámetros de Denavit-Hartemberg (D-H)

12 Cuatro Parámetros:

– Dos ángulos (

θ

_i

,

α

_i-1

)

– Dos distancias (d

_i

, a

_i-1

)

(13)

Parámetros D-H

Definen el paso de un sistema de referencia asociado a una

articulación al siguiente

Sólo dependen de las características geométricas de cada

eslabón y de las articulaciones que le unen con el anterior y

siguiente (no dependen de la posición del robot)

Definen las matrices A que permiten el paso de un sistema

de referencia asociado a una articulación al siguiente y por

tanto definen las matrices T

Cuatro Parámetros:

– Dos ángulos (

θ

_i

,

α

_i-1

)

– Dos distancias (d

_i

, a

_i-1

)

(14)

θ

_i

: Es el ángulo de x

_i-1

a x

_i

medida

sobre z

_i

(utilizando la regla de la mano

derecha).

d

_i

: Es la distancia de x

_i-1

a x

_i

medida

a lo largo de z

_i

a

_i

: Es la distancia de

z

_i

a

z

_i+1

medida

a lo largo de

x

_i

α

_i

: Es el ángulo de

z

_i

a

z

_i+1

medida

sobre

x

_i

(utilizando la regla de la mano

derecha).

Interpretación Parámetros D-H

(15)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = = − − − − − − − − − − − − − − − − − − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ) , 0 , 0 ( ) , ( ) 0 , 0 , ( ) , ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i c d c c s s s s d s c c s c a s c d c s s c a c s s c A d T z T a T x T A α α θ α θ α α α θ α θ α θ θ θ θ θ θ α α α α θ α

Matrices de transformación

15

(16)

Matrices de transformación

16

(17)

Matrices de transformación

17

(18)

Matrices de transformación

18

(19)

Matrices de transformación

19

(20)

Cinemática de un Robot Planar 2GDL

20 Ejemplo:

Z₀ X₀ Y₀ Z₂ X3 Y₂ X₂ Y₃ _d 3 a₁ _a 2

θ

₂

0 a

₂

-90º

3 θ

₂

0 a

₁

0

2 θ

₁

0

1 θ

_i

d

_i

a

_i-1

α

_i-1

i

Z₃ Z₁ Y₁ X₁

(21)

Cinemática de un Robot Manipulador

21 Ejemplo:

(22)

Cinemática de un Robot Manipulador

(23)

Cinemática de un Robot Manipulador

(24)

Cinemática de un Robot Manipulador

24

Matriz de Cambio para

problema

(25)

Cinemática de un Robot Manipulador

25

Matriz de Cambio para

problema

(26)

Cinemática Inversa

(27)

Cinemática Inversa: Posibles Soluciones

(28)

Cinemática Inversa: Métodos

(29)

Cinemática Inversa: Método Geométrico

29

Ejemplo de solución del problema

Ejemplo de solución del problema cinemático cinemático Inverso por métodos Inverso por métodos geométricos

(30)

Cinemática Inversa: Método Geométrico

30

Ejemplo de solución del problema cinemático cinemático Inverso por métodos Inverso por métodos geométricos (Múltiples soluciones)

(31)

Cinemática Inversa: Método Matrices

Homogéneas

31

Ejemplo de solución del problema cinemático cinemático Inverso mediante Inverso mediante matrices de transformación homogéneas

matrices de transformación homogéneas

0 q₃ 0 0 3 q₂ 0 0 -90º 2 q₁ l₁ 0 0 1 θ_i d_i a_i-1 α_i-1 i ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 l cq sq sq cq A ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 2 2 2 2 1 cq sq sq cq A ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 3 3 2 q A z₁ z₀ z₂ z₃ x₁ x₀ x₂ x₃ Y₀ Y₁ Y₂ Y₃

(32)

Cinemática Inversa: Método Matrices

Homogéneas

32

Ejemplo de solución del problema cinemático cinemático Inverso mediante Inverso mediante matrices de transformación homogéneas

matrices de transformación homogéneas

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 l Cq Sq Sq Cq ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 cq sq q sq cq q cq sq sq cq 2 2 2 2 3 1 2 2 2 1 1 1 ) 1 ( arctan ) arctan( 0 y x x z y x x y y x p p Sq p Cq q p l p p q p p q p Sq p Cq + − − = − + = = ⇒ = +

(33)

Cinemática Inversa: Método de

reducción polinómica

33

Consiste en transformar las ecuaciones trascendentales obtenida

Consiste en transformar las ecuaciones trascendentales obtenidas por s por métodos algebraicos o geométricos para que adopten forma

métodos algebraicos o geométricos para que adopten forma

polinómica

polinómica, más fáciles en principio de resolver., más fáciles en principio de resolver.

2 2 2

1

2 sin

1

1 cos

2 tan

u

+

=

+

−

=

θ

Algunas

transformaciones

usuales

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ± = ∴ + − − ± = = − + − + + = + − = + − c a c a b b c a c a b b u a c bu u c a u c bu u a solution c b a 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 tan 2 0 ) ( 2 ) ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) sin cos θ θ θ

(34)

Cinemática Inversa: Desacoplamiento

cinemático

34

Es típico en robots de 6 GDL

Se puede resolver de forma explícita

los 3GDL que definen la orientación de

la garra.

(35)

Cinemática Inversa: Desacoplamiento

cinemático

35

Es típico en robots de 6 GDL Es típico en robots de 6 GDL

Ejes 4,5,6 se

intersectan

en un

punto

⇒

Existe solución analítica

por métodos algebraicos (Método

de

(36)

Cinemática Inversa: Consideraciones

computacionales

36

•

• Para seguimiento de trayectorias es necesario resolver el probPara seguimiento de trayectorias es necesario resolver el problema lema cinemático

cinemático a gran velocidad (30 veces/a gran velocidad (30 veces/segseg o más).o más). •

• Son preferibles las soluciones cerradas explícitas (si existenSon preferibles las soluciones cerradas explícitas (si existen) a las ) a las iterativas.

iterativas.

•

• Para acelerar cálculos generalmente se emplean tablas previamenPara acelerar cálculos generalmente se emplean tablas previamente te calculadas (

calculadas (looklook--up up tablestables) ) •

•El coste de calcular n soluciones, no es necesariamente n veces El coste de calcular n soluciones, no es necesariamente n veces el de el de calcular una única solución.

(37)

Especificaciones del usuario y localizaciones

estándar

37

{B} {W} {T} {G} {S} •

• {S} Marco de referencia de la celda {S} Marco de referencia de la celda de trabajo

de trabajo

•

• {B} Marco de referencia base del {B} Marco de referencia base del robot

robot

•

• {T} Marco de referencia de la {T} Marco de referencia de la herramienta

herramienta

•

• {G} Marco de referencia objetivo {G} Marco de referencia objetivo (Objeto a manipular)

(Objeto a manipular)

•

• {W} Marco de referencia del extremo {W} Marco de referencia del extremo terminal del robot (Sin herramienta)

terminal del robot (Sin herramienta)

Objetivo: Planear secuencia de movimientos articulares para llevar {T} a {G} satisfaciendo las

(38)

P

R

V

R

V

_P A _p _BA B _P A _B _BA B A ORG

+

Ω

×

=

Velocidades Lineales y Rotacionales

38 Transformación de velocidades lineales

Transformación de velocidades

angulares

x_B Y_A x_A Z_A Y_B Z_B B_P A_P AΩ B A_P ORG B Ω C {C} {B} {A}

C

B

A

B

A

C

A

R

Ω

+

Ω

=

Ω

(39)

Matriz Jacobiana

(40)

Matriz Jacobiana

40

Relaciones Diferenciales

(41)

Matriz Jacobiana

41

En Robótica la matriz

En Robótica la matriz Jacobiana Jacobiana describe las relaciones entre las velocidades describe las relaciones entre las velocidades articulares (

(42)

Matriz Jacobiana en el dominio de las

fuerzas

42

Adicionalmente estamos interesados en conocer la relación entre

Adicionalmente estamos interesados en conocer la relación entre los pares los pares articulares que se ejercen sobre el robot (

articulares que se ejercen sobre el robot (ττ_i_i) y las fuerzas/momentos ejercidas ) y las fuerzas/momentos ejercidas por el efector final (

por el efector final (FF_i_i))

Principio de los trabajos

virtuales virtuales

δθ

τ

δ

T T

X

F

=

(43)

Matriz Jacobiana en el dominio de las

fuerzas

43

La Expresión anterior se puede

expandir como

δθ

δ

X

=

J

Definición de

Definición de JacobianoJacobiano

δθ

τ

δθ

T T

J

F

=

τ

=

J

T

F

δθ

∀

(44)

Matriz Jacobiana

44

Ejemplo:

Ejemplo: JacobianaJacobiana de un robot Plano de 3GDLde un robot Plano de 3GDL

Calcular las relaciones que

describen las siguientes

igualdades

(45)

Matriz Jacobiana

45

Ejemplo:

Parametros Parametros del efector del efector final final Cinemática Directa Cinemática Directa

(46)

Matriz Jacobiana

46

Ejemplo:

dt d

(47)

Matriz Jacobiana

47

En forma matricial tenemos

(48)

Matriz Jacobiana

48

Jacobiana

(49)

Matriz Jacobiana Inversa

(50)