GMC. Modelos Estructurales: Vigas

Modelos Estructurales: Vigas

Felipe Gabald´on / Jos´e M.a Goicolea

Grupo de Mec´anica Computacional

Depto. Mec´anica Medios Continuos y Teor´ıa Estructuras E.T.S. Ingenieros de Caminos, UPM

http://w3.mecanica.upm.es

Bibliograf´ıa

♠ N. Ottosen y H. Petersson,

Introduction to the Finite Element Method, Prentice Hall Eu-rope, 1992.

♠ Thomas J.R. Hughes,

The Finite Element Method, Prentice Hall, 1987.

♠ Eugenio O˜nate,

C´alculo de Estructuras por el M´etodo de Elementos Finitos, Centro Internacional de M´etodos Num´ericos en Ingenier´ıa, 1995.

VIGAS 2D: Definici´

on de Resultantes

N def= Z _t/2 −t/2 σxxb(z) dz; (1) V def= Z _t/2 −t/2 σxzb(z) dz; (2) M def= − Z _t/2 −t/2 zσxxb(z) dz. (3) z b(z) x x z y y

VIGAS: Condiciones de Equilibrio

dN dx + qx = 0; (4) dV dx + qz = 0; (5) dM dx + V = 0 (6)

dx

q

_z

M

+

dM

M

V

+

dV

V

y

z

x

z, w

q

_x

N

_{x, u}

N

+

dN

Hip´

otesis de Bernouilli-Euler

1. Pieza prism´atica, directriz

y

z

x

2. Secciones planas normales a directriz permanecen planas y nor-males a la directriz

3. Desplazamientos normales a la viga son uniformes sobre la secci´on, e iguales a los de la directriz:

w(x, z) = w(x). (7) 4. Tensi´on plana:

Desplazamientos

x, u

w(x)

z, w

x

z

θ

directriz

θ

=

dw_dx

♦ Giro de secci´on: θ ♦ Giro de directriz: dw

dx = w

0

♦ Secci´on normal a directriz:

θ = dw dx ; (9) ♦ Desplazamiento longitudinal: u(x, z) = u₀(x) − zθ = u₀(x) − zdw dx (10)

Deformaciones

de (9): ε_xx = ∂u ∂x = du₀ dx − z d2w dx2 ; (11) de (7): ε_zz = ∂w ∂z = 0; (12) de (10): γ_xz def= 2ε_xz = ∂u ∂z + ∂w ∂x = − dw dx + dw dx = 0 (13) γ_yz = γ_xy = 0 (14)

♥ No hay deformaci´on por cortante

♥ Hip´otesis v´alida para vigas esbeltas: λ = l

Relaciones Constitutivas: Momento

M = − Z _t/2 −t/2 zσxxb(z) dz (15) de (11): σ_xx = Eε_xx = E Ã du₀ dx − z d2w dx ! (16)

M

N

σ

_xx M = −E Z _t/2 −t/2 z du₀ dx b(z) dz + E Z _t/2 −t/2 z 2d2w dx2 b(z) dz = EI d2w dx2 (17)

♠ Curvatura (w peque˜na):

κ = d 2_w/dx2 h 1 + (dw/dx)2i3/2 ≈ d 2_w dx2 ⇒ M = EIκ (18)

Relaciones Constitutivas: Axil, Cortante

♠ Por integraci´on de las tensiones:

N = Z _t/2 −t/2 σxxb(z) dz = EA du₀ dx (19) V = Z _t/2 −t/2 σxzb(z) dz; (20) ♠ Contradicci´on: de (13), γ_xz = 0 ⇒ σ_xz = Gγ_xz = 0 ⇒ V = 0 ! (21)

♠ En la pr´actica, el cortante V se calcula a partir de ecuaciones de equilibrio (6)

Formulaci´

on fuerte

♣ De (6): (6) : dM dx + V = 0 (5) : dV dx + q = 0        ⇒ d 2_M dx2 = q M = EId 2_w dx2 ⇒ EI d4w dx4 = q (22) (suponiendo EI constante)

♣ Ecuaci´on diferencial (4.o _{orden) de la el´astica, para obtener}

Formulaci´

on matricial

♣ Soluci´on general en tramo 1–2 sin cargas intermedias (q = 0):

d4w dx4 = 0

V

1

V

2

M

₂

M

1

1

q

= 0

2

♣ Condiciones de contorno: w₁, dw dx ¯ ¯ ¯ ¯ 1 , w2, dw dx ¯ ¯ ¯ ¯ 2 w(x) = α₀ + α₁x + α₂x2 + α₃x3 (23) 4 condiciones ⇒ 4 par´ametros (α₀, α₁, α₂, α₃)

♣ Planteamiento directo de ecuaciones matriciales: programas de

((barras))

Formulaci´

on d´

ebil

♣ Funciones de peso (desplazamientos virtuales) ¯w, en principio arbitrarias. De (22): d2M dx2 = q ⇒ Z _b a w¯ d2M dx2 dx = Z _b a wq dx¯ ∀w¯ (24)

♣ Integrando por partes, dos veces:

− Z _b a dw¯ dx dM dx dx + · ¯ wdM dx ¸_b a = Z _b a wq dx¯ Z _b a d2w¯ dx2 EI d2w dx2 dx = Z _b a wq dx¯ + · dw¯ dxM ¸_b a − [ ¯wV ] b a (25)

Aproximaci´

on elementos finitos

♣ Funciones de interpolaci´on de desplazamientos, N_i(x)

w(x) ≈ {N}T{a} = hN₁(x) N₂(x) . . . N_n(x)i          a₁ a₂ ... a_n          ♣ Interpolaci´on de ((deformaciones)): [B] d2w dx2 ≈ [B]{a}; (26) [B] = d 2 dx2{N} T ₌ hd2N₁ dx2 d2N₂ dx2 . . . d2Nn dx2 i (27)

M´

etodo de Galerkin

♣ Misma interpolaci´on para ¯w que para w d2w¯ dx2 ≈ [B]{¯a} = {¯a} T_[B]T ₍₂₈₎ Z _b a d2w dx2 EI d2w¯ dx2 dx ≈ Z _b a {¯a} T ³_[B]T_EI[B]´ _{{a}dx (29)} Z _b a wq dx¯ ≈ Z _b a {¯a} T_{{N}q dx = {¯a}}T_{f int} (30) {¯a}T     Z _b a [B] T | {z } (n×1) EI [_|{z}B] (1×n) dx   | {z } [K] (n × n) {a}   _{= {¯a}}T  _{{fint} + {fext}}   ₍₃₁₎

Formulaci´

on Matricial

♣ {a}T arbitrarios; {f} = {f_int} + {f_ext}: [K]{a} = {f}

• w, dw_dx: cond. contorno cinem´aticas o esenciales

• M, V : cond. contorno est´aticas o naturales (→ {f})

♣ A nivel elemental, integrales en subdominio Ωe:

[Ke]{ae} = {fe}; (32) [K] = numel

A

[Ke]; {f} = numel

A

{fe}. (33)

Requisitos de complitud y compatibilidad

♠ w_µ(x) debe poder representar un movimiento r´ıgido arbitrario

w0, θ0 = ³dw_dx´0

¶

♠ w(x) debe poder representar deformaciones con curvatura cons-tante arbitraria, µ d2w dx2 ¶₀ = κ0. → w(x) = α₀ + α₁x + α₂x2 + . . .

♠ Debe tener continuidad al menos un orden menor que las de-rivadas que aparecen en la formulaci´on d´ebil (dw_dx),

→ w(x) ∈ C1 → 4 condiciones: w_a,(dw_dx)_a, w_b,(dw_dx)_b.

Elemento con interpolaci´

on c´

ubica (herm´ıtico)

N₁(x) = 1 − 3x 2 l2 + 2 x3 l3

1

1

2

a₁ = w₁ N₂(x) = x à 1 − 2x l + x2 l2 !

1

2

1

a2 = dw_dx ¯ ¯ ¯ 1 N₃(x) = x 2 l2 µ 3 − 2x l ¶

1

2

1

_a 3 = w2 N₄(x) = x 2 l µ x l − 1 ¶

1

a4 = dw_dx ¯ ¯ ¯ 2

Matriz de rigidez

Integrando t´erminos de (31): K₁₁e = EI Z _l 0 B 2 1 dx; B1 = d 2 dx2N1(x) = − 6 l2 + 12x l3 ; (35) K₁₁e = 12EI l3 ; (36) K₁₂e = 6EI l2 ; K e 13 = − 12EI l3 ; . . . (37) [Ke] = 12EI l3      1 l/2 −1 l/2 l/2 l2/3 −l/2 l2/6 −1 −l/2 1 −l/2 l/2 l2/6 −l/2 l2/3      (38)

Matrices de cargas

Integrando t´erminos de (31): {fe} =          ql/2 ql2/12 ql/2 −ql2/12          | {z } {f_int} +          −V₁ −M₁ V₂ M₂          | {z } {f_ext} (39)

Hip´

otesis de vigas de Timoshenko

1. Pieza prism´atica, directriz

y

z

x

2. Secciones planas normales a directriz permanecen planas, pero

no necesariamente normales a la directriz.

3. Desplazamientos normales a la viga son uniformes sobre la secci´on, e iguales a los de la directriz:

w(x, z) = w(x). (40) 4. Tensi´on plana:

Hip´

otesis de vigas de Timoshenko

Desplazamientos

θ: giro secci´on;

dw/dx: giro directriz (1.er _orden)

w(x)

z, w

θ

6

=

dw_dx directriz

θ

x, u

dw dx

x

z

v(x, y, z) = 0 (42) u(x, z) = u₀(x) − zθ(x) (43)

Deformaciones

de (43): ε_xx = ∂u ∂x = du₀ dx − z dθ dx (44) de (40): ε_zz = ∂w ∂z = 0; (45) de (43): γ_xz = 2ε_xz = ∂u ∂z + ∂w ∂x = −θ + dw dx 6= 0 (46) γyz = γxy = 0 (47)

S´ı existe deformaci´on por cortante γ_xz

Deformaci´on cortante es constante en secci´on (hip. Navier) Hip´otesis v´alida para vigas moderadamente gruesas: λ = l

Relaciones Constitutivas

♠ Tensiones σ_xx = Eε_xx = Edu0 dx − Ez dθ dx (48) σ_xz = τ = Gγ_xz = G µ dw dx − θ ¶ (49) ♠ Resultantes M = Z _+t/2 −t/2 −Ez 2dθ dxb(z) dz = EI dθ dx = EIκ (50) V = Z _+t/2 −t/2 G µ dw dx − θ ¶ b(z) dz = GA µ dw dx − θ ¶ = GAγ_xz (51) N = Z _+t/2 −t/2 E µ du₀ dx − z dθ dx ¶ b(z) dz = EAdu0 dx (52)

´

Area Reducida

Seg´un (46), γ_xz = γ₀ (cte.) en secci´on

Exacto: distribuci´on parab´olica, secci´on alabeada. Igualando cortante (V = R₋+t/2_t/2 b(z)γ(z) dz): γ0 = A∗ A γ(z) 3 2γ0

Igualando energ´ıa de deformaci´on entre ambos, 1 2GA ∗_(γ 0)2 = Z _+t/2 −t/2 1 2Gb(z)γ(z) 2 _{dz ⇒ A}∗ _{= αA.} Secci´on rectangular: α = 5₆ ⇒ A∗ = 5₆A

Formulaci´

on Fuerte

♣ A partir de ecuaciones de equilibrio.

de (6): dM dx + V = 0 ⇒ EI d2θ dx2 + V = 0 (53) de (5): dV dx + q = 0 ⇒ GA ∗ Ã d2w dx2 − dθ dx ! + q = 0 (54)

Formulaci´

on d´

ebil (momentos)

Tomando en primer lugar la ecuaci´on del momento (53):

Z ₂ 1 ¯ θ Ã EId 2_θ dx2 ! dx + Z ₂ 1 ¯ θ GA_z}|{∗γxz V dx = 0 ∀θ¯ (55) integrando por partes,

− Z ₂ 1 dθ¯ dxEI dθ dx dx + · ¯ θ EI dθ dx ¸₂ 1 + Z ₂ 1 ¯ θGA∗ µ dw dx − θ ¶ dx = 0 ∀θ¯ (56)

Formulaci´

on d´

ebil (cortantes)

Haciendo ahora lo mismo con la del cortante (54):

Z ₂ 1 w GA¯ ∗ Ã d2w dx2 − dθ dx ! dx + Z ₂ 1 qw dx¯ = 0 ∀w¯ (57)

Integrando por partes:

− Z ₂ 1 dw¯ dxGA ∗ µdw dx − θ ¶ dx + · ¯ w GA∗ µ dw dx − θ ¶¸₂ 1 + Z ₂ 1 wq dx¯ = 0 ∀w¯ (58)

Formulaci´

on d´

ebil (conjunta)

Sumando (56) y (58): Z ₂ 1 µ dw¯ dx − θ¯ ¶ | {z } ¯ γ GA∗ µ dw dx − θ ¶ | {z } γ dx + Z ₂ 1 dθ¯ dx |{z} ¯κ EI dθ dx |{z} κ dx =  _{w GA¯} ∗ µ dw dx − θ ¶ | {z } V_i   2 1 +  _{θ EI}¯ dθ dx | {z } M_i   2 1 + Z ₂ 1 wq dx¯ ∀( ¯w, ¯ θ) (59)

♣ Intervienen derivadas primeras de w,w, θ,¯ θ¯ ⇒ requiere tan solo aproximaci´on C0

Aproximaci´

on Elementos Finitos (Galerkin)

♣ La formulaci´on d´ebil (59) puede escribirse:

δW = Z ₂ 1 ¯γ GA ∗ _{γ dx +} Z 2 1 ¯κ EI κ dx − Z ₂ 1 w q dx¯ − [ ¯w V ] 2 1 − h ¯ θ Mi2 1 = 0 ∀(¯γ,¯κ) ♣ Funciones de interpolaci´on lineales (continuidad C0):

wh(x) = w₁N₁(x) + w₂N₂(x); θh(x) = θ₁N₁(x) + θ₂N₂(x);

1

x

2

l

1

N

1

(x) = 1

−

x

l

1

x

2

1

l

N

₂

(x) =

x

l

Interpolaci´

on de Deformaciones

κh = θ₁dN1 dx + θ2 dN₂ dx = h 0 −1/l 0 1/li | {z } [Be_f]          w₁ θ₁ w₂ θ₂          (cte.) γh = Ã dwh dx − θ h ! = w₁dN1 dx − θ1N1 + w2 dN₂ dx − θ2N2 = h−1/l −1 + x/l 1/l −x/li | {z } [Be_c]          w₁ θ₁ w₂ θ₂          (lineal)

Matrices elementales (1)

δWh,e = {¯ae}T   µ [Ke_f] + [Ke_c] ¶ {ae} − {f_inte } − {f_exte }   [Ke_f] = Z ₂ 1 [B e f]TEI[Bef] dx; [Kec] = Z ₂ 1 [B e c]TGA∗[Bec]dx {f_inte } = Z ₂ 1 {N e_{}q(x) dx; {f}e ext} =          −V₁ −M₁ V₂ M₂         

Matrices elementales (2)

Integrando anal´ıticamente: [Ke_f] = µ EI l ¶_e      0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 −1 0 1      (constante: 1 pto. Gauss) [Ke_c] = Ã GA∗ l !_e      1 l/2 −1 l/2 l/2 l2/3 −l/2 l2/6 −1 −l/2 1 −l/2 l/2 l2/6 −l/2 l2/3     

(cuadr´atico: 2 ptos. Gauss)

Deformaci´

on de m´

ensula

♣ Viga Bernouilli (EI): w_f = P l 3 3EI w_f l P ♣ Viga Cortante (GA∗): w_c = P l GA∗ wc l P

♣ Viga Timoshenko (EI, GA∗):

w_t = P Ã l3 3EI + l GA∗ ! _l P wt = wf + wc

Bloqueo de viga (Timoshenko) esbelta

♣ Secci´on rectangular b × t: I = ₁₂1 bt3; GA∗ = 5₆bt K_f = 3EI l3 ; Kc = GA∗ l K_f K_c = 3 5(1 + ν) 1 λ2 µ λ = l t ¶ en el l´ımite λ → ∞ ⇒ Kf Kc → 0, θ = dw dx 1 2 3 w, θ 0 θ₀ = 0 ⇒ dw dx ¯ ¯ ¯ ¯ 0 = 0 ⇒ (w lineal en elto.) w1 = 0, θ1 = 0 ⇒ dw dx ¯ ¯ ¯ ¯ 1 = 0, . . . ¡Bloqueo!

Ejemplo: m´

ensula con 1 elemento (1)

1 elemento viga de Ti-moshenko

1

l

2

P

       GA∗ l GA ∗ 2 −GA ∗ l GA ∗ 2 GA∗ 3 l + EIl −GA ∗ 2 GA ∗ 6 l − EIl GA∗ l −GA ∗ 2 GA∗ 3 l + EIl                 0 0 w₂ θ₂          =          V₁ M₁ P 0         

Eliminando las ecuaciones de (V₁, M₁):

à GA∗ l −GA ∗ 2 −GA₂ ∗ GA₃ ∗l + EI_l ! ( w₂ θ₂ ) = ( P 0 )

Ejemplo: m´

ensula con 1 elemento (2)

Invirtiendo: ( w₂ θ₂ ) = µ 1 + µ  GAl ∗ + l 3 3EI l 2 2EI l2 2EI 2EIl   ( P 0 ) _µ µ = 12EI GA∗l2 ¶ w₂ = µ 1 + µP Ã l GA∗ + l3 3EI !

♣ Id´entica a soluci´on exacta (con flexi´on y cortante), salvo el factor

µ 1+µ .

♣ Valor para secci´on rectangular (b × t) y ν = 1/4:

µ 1 + µ = 3 3 + λ2; λl´ım→∞ µ 1 + µ = 0 ¡Bloqueo!

Integraci´

on reducida (del cortante)

• Particularizando [Kc] en el centro del elemento, e integrando con

este ´unico punto de integraci´on: [Ke_c] = Z ₂ 1 · Be_c ¸_T x=l/2GA ∗·_Be c ¸ x=l/2 dx = Ã GA∗ l !_e      1 l/2 −1 l/2 l/2 l2/4 −l/2 l2/4 −1 −l/2 1 −l/2 l/2 l2/4 −l/2 l2/4     

M´

ensula, 1 elto. de integraci´

on reducida

♣ Ecuaci´on matricial: ( w₂ θ₂ ) =  GAl ∗ + l 3 4EI l 2 2EI l2 2EI 2EIl   ( P 0 ) ♣ Para λ → ∞: wEF wexacto → l3/(4EI) l3/(3EI) = 3 4

¡Soluci´on sin bloqueo! (algo m´as r´ıgido que soluci´on exacta) ♣ El error desaparece para una malla suficientemente fina: con

Deformaciones impuestas (1)

• Campo de deformaciones (Timoshenko, interpolaci´on lineal):

γ = 1 l (w2 − w1) + θ1 µ 1 − x l ¶ + θ₂ µ −x l ¶

• En coordenadas isoparam´etricas:

x = l x = l/2 ξ = 0 ξ = +1 x = 0 ξ = −1 γ = 1 l (w2 − w1) − 1 2(θ1 + θ2) | {z } α₁ + 1 2(θ1 − θ2) | {z } α₂ ξ = α₁ + α₂ξ • Vigas muy esbeltas: α₁ → 0 ⇒ α₂ → 0 ⇒ θ₁ = θ₂

Deformaciones impuestas (2)

• M´etodo mixto: interpolaci´on independiente de flechas (w), giros (θ), y deformaciones a cortante (γ)

• Caso m´as simple: imponer γ = cte.:

γ(ξ) = [Bbc]{a} = α1 = 1 l (w2 − w1) − 1 2(θ1 + θ2) = h−1_l −1₂ 1_l −1₂i          w₁ θ₁ w₂ θ₂         