Dos modelos de la teoría no lineal de la Física de la Materia Condensada: la cadena Frenkel-Kontorova y la escalera de uniones Josephson

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Texto completo

(1)

Colección de Estudios de Física

31

Juan José Mazo Torres

Dos modelos de la teoría no lineal

de la Física de la Materia Condensada:

la cadena Frenkel-Kontorova

y la escalera de uniones Josephson

Dos modelos de la teoría no lineal de la Física de la Materia Condensada: la cadena

Frenkel-Kontorova y la escalera de uniones Josephson

Juan José Mazo T

o

rres

CEF

31

9 788477 339281

ISBN 978-84-7733-928-1

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(3)

Materia Condensada: la adena Frenkel-Kontorova

(4)

Esta oleión reoge las tesis presentadas en el

Departa-mento de Físia de laMateria Condensada de la Universidad

(5)

Dos modelos de la teoría no lineal de la

Físia de la Materia Condensada: la adena

Frenkel-Kontorova y la esalera de uniones

Josephson

(6)

MAZO TORRES, Juan José

Dos modelos de la teoría no lineal de la Física de la Materia Condensada : la

cadena Frenkel-Kontorova y la escalera de uniones Josephson / Juan José Mazo

Torres. — Zaragoza : Prensas Universitarias de Zaragoza, 2007

XIII, 193 p. ; 24 cm. —(Colección de Estudios de Física ; 31)

Tesis-Universidad de Zaragoza

ISBN 978-84-7733-928-1

1. Materia condensada–Tesis doctorales. I. Universidad de Zaragoza. II.

Título. III. Serie: Colección de Estudios de Física (Prensas Universitarias de

Zaragoza) ; 31

538.9(043.2)

No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la

trans-misión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro

u otros métodos, ni su préstamo, alquiler o cualquier forma de cesión de uso del ejemplar, sin el permiso

previo y por escrito de los titulares del Copyright.

©

Juan José Mazo Torres

©

De la presente edición, Prensas Universitarias de Zaragoza

1.ª edición, 2007

Prensas Universitarias de Zaragoza. Edificio de Ciencias Geológicas, c/ Pedro Cerbuna, 12,

50009 Zaragoza, España. Tel.: 976 761 330. Fax: 976 761 063

puz@unizar.es http://puz.unizar.es

Impreso en España

Imprime: Servicio de Publicaciones. Universidad de Zaragoza

D.L.: Z-3182/2007

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Prólogo xi

I Modelo Frenkel-Kontorova 1

Resumen de la primera parte 3

1. Introduión 7

1.1. Estruturas espaialmente moduladas. . . 7

1.2. Dinámia de estruturasespaialmentemoduladas . . . 9

1.2.1. Ondas dedensidad de arga . . . 10

2. Propiedades de equilibrio del modelo Frenkel-Kontorova 17 2.1. Deniionesypropiedades básias . . . 17

2.2. Estadosfundamentalesonmensurados,disonmensuraiones ele-mentalesytransiión Conmensurada - Inonmensurada. . . 25

2.3. Estados fundamentalesinonmensuradosytransiión deAubry (TBA) . . . 33

2.4. Defetos, interfases,estadosmetaestables ylímiteanti-integrable 40 3. Dinámia disipativa del modelo Frenkel-Kontorova bajo fuer-zas onstantes 47 3.1. Propiedades básiasde la dinámia disipativa:regla prohibido adelantar deMiddletonysus onseuenias . . . 48

3.2. Caraterizaión delrégimendeslizante:funión hull dinámia . 51 3.3. La transiión dedesanlaje . . . 59

3.3.1. Desanlaje delsistemade unapartíula . . . 60

3.3.2. Estruturas onmensuradas . . . 63

3.3.3. Estruturas inonmensuradas . . . 65

3.3.4. Disonmensuraiones . . . 71

(10)

fuer-4.1. Pulsos . . . 81

4.2. Fases onmens. bajo fuerza sinusoidal. Transiión de desinro-nizaión. . . 85

4.3. Estruturasinonmensuradasimpulsadasporfuerzas sinusoida-les.Transiión de Aubry dinámia . . . 95

4.4. Disonmensuraiones, sinronizaión ymetaestabilidaddinámia 103 Bibliografía I 113 II La esalera de uniones Josephson 117 Resumen de la segunda parte 119 5. Introduión 121 5.1. El efetoJosephson . . . 121

5.2. Redesde uniones Josephson . . . 124

5.2.1. Estadosfundamentalesytransiionesdefaseenredesde uniones Josephson . . . 128

5.2.2. Redes de uniones Josephson sometidas a orrientes ex-ternas . . . 131

5.3. Red unidimensional deuniones Josephson enparalelo . . . 135

6. Propiedades deequilibriode laesalera deunionesJosephson137 6.1. El modelo . . . 137

6.2. Estados fundamentales . . . 139

6.3. Metaestabilidad . . . 148

7. Efetosdeapantallamientodeampo enlaesaleradeuniones Josephson 155 7.1. El modeloylos métodos empleados . . . 155

7.2. Estados fundamentales . . . 159

7.3. Metaestabilidad . . . 167

7.4. Apéndie:matrizde induiones . . . 170

8. Algunos aspetos dinámios en la esalera de uniones Joseph-son 173 8.1. Dinámia de relajaiónalequilibrio . . . 173

8.2. Dinámia en preseniade orrientes externas . . . 179

8.2.1. Euaionesdel movimiento . . . 179

8.2.2. Algunosresultados dedinámiapeuliares delaesalera de unionesJosephson bajointensidades ontinuas . . . . 182

(11)

Un onjunto importante de los sistemas que son estudiados por la Físia

delaMateriaCondensada,estánaraterizados por laompeteniaentre

dife-rentesesalasdelongitudydetiempo.Deentrelosresultados deestas

ompe-tenias, podemos itar algunos fenómenostan interesantes omo la existenia

de fasesmoduladasen sólidos olos fenómenosdinámios de sinronizaiónde

freuenias;todoselloshan sidoenlosúltimos años,ysonhoy,objetodel

tra-bajo teório y experimental de una parte de los físios de la Termodinámia,

laMateria Condensada ylaMeánia Estadístia.

El objetivo de este trabajo de Tesis Dotoral ha sido realizar un estudio

de diferentes estruturas espaiotemporales en sistemas marosópios. Estas

estruturas son fruto de los fenómenos de ompetenia entre esalas, que

re-sultan en una diversidad de transiiones de fase, fenómenos rítios y

om-portamientosomplejos,algunos delosuales sonestudiados enestamemoria

(latransiión Conmensurada-Inonmensurada, latransiión dedesanlaje,las

transiiones de Aubry estátia y dinámia, la transiión de desinronizaión,

transiiones deestabilidadde fasesmoduladas,o fenómenosderelajaión

len-ta).ParallevaraaboesteestudiohemosesogidolaadenaFrenkel-Kontorova

y una esalera de uniones Josephson. A lo largo de esta memoria nos

mante-nemos dentrode los límitesde validez deltratamiento lásio del problemay,

porlotanto,másalládelaseuaionesdelaMeániaCuántiaquedesriben

el omportamiento de lamateria yla energía a las esalas máspequeñas. Así

mismo, al onsiderar estos sistemas omo marosópios los hemos estudiado

en el límite termodinámio de los mismos. Por último, ambos sistemas son

disretos. Tener en uenta esta disretitud es lave para entender un número

de resultados quenoapareen en lasaproximaiones ontinuasa lossistemas.

Una segunda, y no por ello menos importante, araterístia de la Físia

de laqueestamos hablando eslano linealidad presenteen ladesripión

ma-temátia detodosestosfenómenos.Podríamos armarque, históriamente,la

(12)

másrepresentativas,han permaneido,yesto siguesiendo asíhoyendíapara

muhos, ajenas alinterés de los físios y, sobre todo, fuera delalane de sus

métodos.Sialgotienenenomúnestasdisiplinas,eslaomplejidadylano

li-nealidad.Lasituaiónqueaabamosdedesribirestáambiandorápidamente

yde heho, omplejidad yno linealidad forman parte de un onjunto de

on-eptos que son básiospara entender parte de la Físia de este nalde siglo.

De este modo, el reiente interés de la Físia en problemas no lineales y los

logrosdelosmétodosdeanálisisqueempleadebenserlosmejoresavalespara

lairrupiónde nuevasténias e ideasen los ampositadosanteriormente.

Los sistemasestudiados alo largode esta memoria tienen la semillade la

ompetiiónentreesalasylanolinealidad;sólodesdelaomprensión deestos

fenómenosa losniveles másbásios sepueden intentarlogrosmayores.

El modelo Frenkel-Kontorova ha sido estudiado durante muho tiempo

omo un modelo paradigmátio para la araterizaión de fases moduladas.

Podemos separar dos aspetos fundamentales de nuestra aportaión al

estu-dio de este sistema. Primero el estudio de la dinámia disipativa del mismo,

espeialmente bajo laaión de fuerzas alternas. Estas introduen una esala

temporalnuevaenelsistema,esalaqueentraenompeteniaonlafreuenia

típia del movimiento del mismo. Diha ompetenia resulta en el fenómeno

desinronizaión.Segundo,hemosrealizadounavisiónintegradora delas

pro-piedades de equilibrioy laspropiedadesdinámias delsistema.Por esto,toda

laprimera partede esta memoria debe servista omoun esfuerzode revisión

e integraión de las prinipalespropiedades de equilibrio y dinámias no

disi-pativasdel modelo Frenkel-Kontorova, dentro del maro de dos desripiones

opuestasyomplementarias: laanalítia frentea lafratal.

Lasegundapartedeestamemoriaestudiaunsistemaexperimentalonreto

delamateriaondensada:unaredde unionesJosephson,on unadistribuión

geométriapeuliar, lade unaesalera. Lasredes deuniones Josephson están

entreaquellossistemas físios donde todoelonjunto deoneptosde los que

estamos hablando pueden ser omprobados teória y experimentalmente del

mejor modo. Por ello, la literatura sobre el estudio de múltiples fenómenos

estátiosydinámiosnolinealesenredesdeunionesJosephsonesamplísimay

siguereiendohoyen día.DeentrelasdiferentesredesdeunionesJosephson,

la esalera es un sistemapartiularmente interesante. Contiene los

ingredien-tes más representativos de la físia de las redes de uniones Josephson y, por

su aráter asi unidimensional, es suseptible de un estudio más riguroso.

Nosotros hemos realizadoun estudiode laspropiedades estátias delared en

dosaproximaiones distintas físiamenterelevantes, asíomo de aquellas

(13)

Por último, no puedo dejar de enumerar un onjunto de ténias uya

expliaión no he desarrollado explíitamente en la memoria, pero que han

sido fundamentales en distintos momentos del trabajo: son los métodos de

integraión numéria de sistemas deterministas y estoástios de euaiones

difereniales; lautilizaióndel métodode potenialesefetivos paraelálulo

de diagramas de fases de estadosfundamentales; el álulo de exponentes de

Lyapunov, seiones de Poinaré y espetros de potenias; la búsqueda de

soluionesde equilibrio delsistemay elanálisisde estabilidad de las mismas;

yelanálisisde Floquetde laestabilidad desoluionesdinámias periódias.

Estelibro eselresultadodeltrabajodeinvestigaiónquehellevadoaabo

en elDepartamento de Físiade laMateria Condensada delaUniversidadde

Zaragozaonunonjuntodeexelentesientíosymejorespersonasalasque

quieroexpresar mi agradeimiento.

(14)
(15)
(16)
(17)

La primera parte de esta memoria reoge los avanes más reientes de la

teoría de la dinámia disipativa de las fases moduladas en el modelo

Frenkel-Kontorova. A nuestro juiio, las onlusiones más importantes

integradoras de laspropiedades de equilibrio ydinámias delmodelo F

renkel-Kontorova estándar sonlas siguientes:

Lasmodulaiones onmensuradasposeenunalongitud deoherenia

nita, queestá diretamenterelaionada on elaráterdisreto delgrupode

simetría de sus propiedades de invariania. Las impliaiones físias de este

heho sonlaapaidad de admitir defetos(defetibilidad) yla abundania

deestadosmetaestablesde energíasarbitrariamentepróximas

(metaestabili-dad).

Lasmodulaionesinonmensuradaseradellímiteintegrable(

K

=

0

) son invariantes bajo transformaiones de un grupo de simetría ontinuo y tienenunalongituddeohereniainnita. Por lotanto,nosondefetiblesyel

paisajedeenergíasdelespaiodeonguraionesnopresentametaestabilidad.

Sin embargo, la situaión en las eranías del límite anti-integrable (

1

/K

0

) es similar a la de las estruturas onmensuradas. El ambio entre ambos regímenes no es suave, sino rítio y está desrito por una transiión de

Aubry. Aun lado de latransiión de Aubry ladesripión de lamodulaión

inonmensurada esanalítia,mientras quealotro ladoesno analítia,fratal

deheho.Deestemodo,eltérminofratalidadomoopuestoaanalitiidad

es el reomendado. Ambas desripiones, laontinua (integrable) yla fratal

(anti-integrable) tienen su propiodominio de validezysonomplementarias.

El juego entre ladesripión ontinua y lafratal seextiende a la diná-mia disipativa de lasestruturas moduladas.Las estruturasonmensuradas

ylasinonmensuradas noanalítias, bajounampode fuerzasonstante

evo-luionan haia el dominio de validez de la desripión ontinua. El grado de

defetibilidad y metaestabilidad deree progresivamente onforme el ampo

externoseinrementa, hastaqueourrelatransiión de desanlaje.Desde

ese momento es adeuada una desripión ontinua, en laque desapareen la

defetibilidad ylametaestabilidad.

Por enimadelatransiión de desanlaje hayunúnioatratordela di-námia disipativa,desritoporuna funiónanalítia unidimensional.La

tran-siión de desanlaje es un fenómeno rítio uyo análisis es reduible a una

(18)

tran-FiguraC.1:ImagenquerepresentalatransiióndeAubryomoelpunto nalde

unalíneadetransiionesdedesanlajedelasestruturasinonmensuradas.

nal de la línea de transiiones de desanlaje de las estruturas

inonmensu-radas (gura C.1), esta es una perspetiva interesante nueva, no totalmente

desarrollada.

La inlusión deun ampo de fuerzas periódioen ladinámiadisipativa de las fases moduladas introdue la ruptura de la invariania ontinua bajo

traslaióntemporal,queesentonesreemplazadaporunainvarianiadisreta.

Entones, en ladesripiónde ladinámia delsistemaapareen losoneptos

de movimiento resonante y sinronizaión. En un movimiento resonante

la freuenia asoiada on el desplazamiento de la estrutura modulada está

sinronizada a múltiplos raionales de la freuenia de forzado. Las

estrutu-ras onmensuradas espaialmente moduladas, en elrégimen resonanteposeen

el aráter de atratores estables de la dinámia ya que ualquier pequeña

utuaión espaio-temporal relajaexponenialmente. El aráterdisretodel

grupodesimetríadelonjunto delosestadosestaionariosdaabidaala

exis-tenia de metaestabilidady defetibilidad. La variaióndel valor medio de la

fuerza ambia la veloidad del movimiento y se produe una transiión de

desinronizaiónavaloresno resonantesdelaveloidadoanuevas

resonan-ias. Estamultipliidad de fases resonantes estables de la dinámiapuede ser

(19)

FiguraC.2:ImagenquerepresentalatransiióndeAubrydinámiaomoelpunto

naldelíneasdetransiionesdedesinronizaiónenestruturasinonmensuradas.

Latransiióndedesinronizaión estáaraterizadaomounatransiión de periodiidad temporal a uasiperiodiidad. Fenomenológiamente, puede

desribirse por medio de la generaión de estruturas oherentes, loalizadas

y regularmente distribuidas en el tiempo, que llamamos instantones, y que

produen un inremento de la veloidad de las partíulas. Cada instantón es

portadordeunaargatopológia,uyoorigeneselaráterdisretodelgrupo

de transformaionesde simetríadelestado estaionario resonante.

Las estruturas inonmensuradas, era del límiteontinuo (integrable) semuevensinsinronizaión alosvaloresresonantesdelaveloidad,yaqueel

atrator mantiene una simetría ontinua. En este régimen analítio, los

esta-dosestaionarios sonindefetibles y no hay lugar parala metaestabilidad. El

atrator de la dinámia está desrito por una funión hull bidimensional

analítia. Eltránsito desdeeste omportamiento analítioalnoanalítio que

arateriza el régimen anti-integrable está marado por una transiión de

Aubry dinámia, por enima de la ual enontramos sinronizaión,

defe-tibilidad ymetaestabilidad. La transiión de Aubry dinámia puede ser vista

omo el punto nal de líneas de transiiones de desinronizaión de las fases

inonmensuradas (guraC.2).

Se ha estudiado la posibilidad de la supervivenia de estruturas me-taestables omo estados estaionarios de la dinámia disipativa del modelo

(20)

supervivenia,dada launiidad delestado estaionarional. Por el ontrario,

uandoelsistemaestáimpulsadoporunampodefuerzasexternasperiódias,

lasinronizaióndelmovimiento onlafreueniade lafuerzaposibilita, bajo

(21)

Introduión

1.1. Estruturas espaialmente moduladas

Estruturas espaialmente moduladas han sido observadas

experimental-mente en muhos sistemas físios [1, 2, 3℄. En todos ellos el vetor de onda

que arateriza la modulaión ambia on parámetros externos tales omo la

temperatura, la presión o el ampo magnétio. En oasiones este ambio es

ontinuo, pero a menudo antes de ambiar a otro valor el vetor permanee

onstante, e igual a unnúmero raional, a lolargo de un intervalo de valores

del parámetro externo. A las modulaiones on vetor de onda raional las

llamamosonmensuradasyaaquellasonvetordeonda irraional,

inon-mensuradas.

Elorigenfísiodeesteomportamientotanpeuliareslaompetiiónentre

las distintasinteraiones quedan uenta de laenergía libredel sistema. Uno

de los modelos mejor entendidos entre aquellos que presentan este tipo de

omportamiento es el modelo ANNNI [1, 2℄ (axial next-nearest neighbour

Ising).Suestudiohasidofundamentalparaentenderelomportamiento delas

estruturas espaialmente moduladas. Es unmodeloIsing ferromagnétioon

interaiónantiferromagnétiaasegundosveinossituadosenunadeterminada

direión

z

. La ompetiión entre la interaión a primeros veinos (

J

1

>

0

) y la interaión a segundos (

J

2

<

0

), que depende de la temperatura, puede estudiarsea travésdel siguientehamiltoniano:

H

=

1

2

J

0

X

ijj

S

i,j

S

i,j

J

1

X

ij

S

i,j

S

i

+1

,j

J

2

X

ij

S

i,j

S

i

+2

,j

,

(1.1)

donde

i

señala planos perpendiulares aleje

z

mientras que

j

y

j

sonespines

veinos próximos.A temperatura ero, sólo son estadosde equilibrio dos

(22)

Figura 1.1: Diagrama de fases de ampo medio del modelo ANNNI mostrando las prinipalesfasesonmensuradas[1℄.

κ

=

J

2

/J

1

<

1

/

2

,y(

. . .

+ +

− −

+ +

− −

. . .

)si

κ >

1

/

2

.Conforme

T

aumenta eldiagrama defases seabreenuna ora partir delpunto de

oexis-tenia defasesatemperaturaero,

κ

= 1

/

2

,or uyospétalosseasoianalas diferentesfases moduladas.

La espetaularidad de este diagrama de fases (gura 1.1) es

araterís-tia de los muhos modelos diferentes de la Meánia Estadístia para fases

moduladas. Dada la omplejidad de inluso los más simples de estos

mode-los, una aproximaión tipo Landau al problema puede dar las araterístias

fundamentalesdelomportamiento deequilibrio.SiguiendoaGriths[4 ℄,una

forma sensatade proeder esasumirla evidenia experimental de que la

an-tidadpromedio

M

queestámodulada(lamagnetizaiónenelasodelmodelo ANNNI)esonstantealolargodelosplanosperpendiularesalamodulaión,

ysuponeruna energía librefenomenológiade laforma:

F

=

X

j

1

(

M

j

) + Φ

2

(

M

j

, M

j

+1

) + Φ

3

(

M

j

, M

j

+1

, M

j

+2

) +

...

]

,

(1.2)

donde

Φ

1

,

Φ

2

,et...sonenergíaslibresfenomenológiasquedependendealgún mododeparámetrosintensivosomolatemperatura,lapresiónoalgúnampo.

El promedio

M

j

en ada planopuede sertratado omo unavariablelásia y, al estar ya inluidas en este promedio las utuaiones térmias, es posible

determinar la modulaión en el equilibrio alulando el valor mínimo de

F

sobre todaslasonguraiones posibles

{

M

j

}

.

En esta aproximaiónvariaional resultaonvenienteaudir a las

(23)

en (1.2)

Φ

1

(

u

) = Φ

1

(

u

+ 1)

,

Φ

2

(

u

j

, u

j

+1

)

6

= 0

y

Φ

j

= 0

paratodo

j >

2

,se ob-tiene lalase de modelos Frenkel-Kontorova,quepueden servistosomo

la opión más senilla entre aquellos uyo omportamiento no es trivial. El

modelo Frenkel-Kontorova estándarorrespondea laeleión

Φ

1

(

u

) =

(2

K

π

)

2

[1

cos(2

πu

)]

,

Φ

2

(

u, v

) =

1

2

(

v

u

µ

)

2

.

(1.3)

Ambasontribuiones a la energía libre ompiten paradeterminar la

mo-dulaión de la estrutura

{

u

j

}

de equilibrio,la soluión de este problema v a-riaional requirióde onsiderablegenialidad [5,6 ℄.

En el apítulo2 presentamos un resumen de las propiedadesmás

relevan-tes del problema del estado fundamental del modelo Frenkel-Kontorova. Los

trabajosdeGriths[4℄ySelke[2 ℄sondosexelentestrabajosderevisión

intro-dutoriosaestetema.Losletoresmásambiiosos,enontraranenlasleiones

de Aubry [5℄ una exposiión de las prinipalesideas y resultados. El resumen

de las propiedades de equilibrio del modelo Frenkel-Kontorova, que

presenta-mosen elapítulo2,estáenaminadoa proporionaralosnoespeialistas las

noiones ydeniiones básiasqueserán usadasposteriormenteen los

apítu-los 3 y 4, que abordan la dinámia disipativa del modelo Frenkel-Kontorova

estándar.

1.2. Dinámia de estruturas espaialmente

modula-das

En los últimos años ha reido el interés en el omportamiento dinámio

de lasestruturas espaialmente moduladas uando sonsometidas ala aión

de amposde fuerzas [7℄. Una muestra senilla de este tipo de situaión esel

análisisde PrigodinySamukhin [8℄ delared deAbrikosov devórties en una

pelíulasuperondutoradetipoIIorrugada periódiamenteysometidaaun

ampo magnétio perpendiular. Eneste sistemael periodode la orrugaión

ompite on ladistania natural entre vórties a ese valor del ampo

magné-tio,lo quese tradue en distribuionesmoduladas de los vórties.Al apliar

orrientes externasenladireiónperpendiularalaorrugaión, lafuerzade

Lorentz tiendea desplazarlared deAbrikosovalolargo de ladireiónde la

orrugaión, lo que plantea el problema de la dinámia de la red de vórties

sobreunpotenialsubstratoperiódio.Unanálisissimilarhasidoapliadopor

Burkoval asode superondutores laminares de tipo II[9℄. Enambas

(24)

Siemprequepuedaargumentarselairrelevaniadelaineriaenelsistema,

ellímitedisipativodeladinámiaesunaaproximaiónadeuadaalproblema.

Talaproximaiónestájustiadaen muhassituaionesfísias,omoel

trans-porteensistemasonunaondadedensidaddeargaenpreseniadeunampo

elétrio,oladinámiademuhasredesdeunionesJosephson.El restodeeste

apítulo de introduión lo dediaremos a las ondas de densidad de arga ya

que el interés en este fenómeno ha sido el prinipal impulso a los estudios de

ladinámia delmodeloFrenkel-Kontorova, elobjetode estaprimera parte de

la memoria. En la segunda parte de la misma estudiamos algunos aspetos

estátiosydinámios de redes deuniones Josephson.

1.2.1. Ondas de densidad de arga

Enlosúltimos25años,laFísiadelaMateriaCondensadahaprestadogran

atenión al fenómeno delas ondasde densidad de arga en sólidos.Predihas

previamenteporlateoría, las propiedadesde transporte anómalasobservadas

en adenas lineales de iertos ompuestos inorgánios fueron la evidenia

ex-perimentaldeunnuevofenómenodetransporteoletivo,donde elmeanismo

de onduión elétria deriva de las propiedades de un estado fundamental

peuliar,llamado onda dedensidad de arga.

En este apartado no pretendemos realizar una revisión minuiosa de este

importante fenómeno. Las referenias [11, 12, 13 , 14℄ son exelentes trabajos

de reopilaión sobre el tema, a los que el letor interesado se debe dirigir.

Nuestro ánimo es desribir la fenomenología asoiada a la dinámia de las

ondasdedensidaddeargaensólidos,eintroduiralgunosdelosmodelosmás

usados para estudiarla. Algunos de estos modelos están relaionados on la

dinámia disipativa del modelo Frenkel-Kontorova, estudiadaen los apítulos

3 y4de estatesis.

Dinámia de lasondas de densidad de arga

Peierls[15℄ mostróqueunmetalunidimensional aopladoalaredatómia

subyaente esinestable a bajas temperaturas y sufreuna transiión de fase a

unestado noondutor.A ausade lasinteraioneseletrón-fonón,elestado

fundamental está araterizado por una distorsión periódia de la red

aom-pañada de la apertura de un gap en el diagrama de bandas situado al nivel

de Fermi, loque provoa un dereimiento de laenergía de los eletrones del

sistema,dereimiento queompiteon eloste enenergía elástia asoiado a

(25)

El estado fundamental también está araterizado por un modo oletivo

formado por pareseletrón-hueo on un vetor de ondas

~q

= 2

~k

F

,ypor una

modulaión de la densidad eletrónia de arga, la onda de densidad de

arga,

ρ

(

~r

) =

ρ

0

+

ρ

1

cos(2

~k

F

~r

+

ϕ

)

,

(1.4) donde

ρ

0

es la densidad media de eletrones en el metal,

ρ

1

la amplitud de laonda y

ϕ

(la fase) desribe laloalizaión de esta on respeto a lared. El periodo

λ

delamodulaiónestárelaionadoonelvetordeondasdeFermi

~k

F

,

λ

=

k

π

F

,yenlamayoríadelosasosesinonmensuradoon laredsubyaente.

Más adelante veremos que muhas de las propiedades dinámias del sistema

pueden serdesritas entérminos de lafasede laonda.

Las primeras evidenias experimentales de este fenómeno se enontraron

algunos años después del trabajo de Peierls. Muhos materiales on una

es-trutura de bandas muy anisótropa a bajas temperaturas desarrollan una

onda de densidad de arga. Algunos ejemplos son los ondutores orgánios

TTF-TCNQ, algunos ompuestos semiorgánios (KCP), ompuestos

inorgá-nios on una estrutura laminar (que poseen una onda de densidad de

ar-ga bidimensional) yompuestos inorgánios de adenalineal (

N bSe

3

,

T aSe

3

,

K

0

,

3

M oO

3

,et...),los másestudiados. Estosmateriales sufren unatransiión de segundo orden de metal a aislante, que está asoiada on la apariión de

distorsiones periódias de la red, las uales son en general inonmensuradas

on laredsubyaente.

A temperaturas inferiores a la transiión de Peierls estos materiales

de-berían ser semiondutores y sus propiedades elétrias estar asoiadas a las

exitaiones atravésdelgapenlaestruturadebandas. Sinembargo,en1954

Fröhlih [16℄apuntó quedebidoalaposibleinvariania traslaionalde los

sis-temas inonmensurados, el estado de la onda de densidad de arga es apaz

de portar una orriente ontinua sin resistenia.El estudiode la dinámiade

los modosoletivosmuestra que en elsistemaexiste unmodo ero

traslaio-nal. Este modo está asoiado on la fasede la onda ylleva una orriente que

resulta delmovimiento traslaional delondensado de eletrones mientras los

iones osilanentornosusposiionesdeequilibrio.Porotroladolarelaiónde

dispersiónparalaamplituddelmodopresentaungap,porloquelamayoríade

lasdesripionesdeladinámiadelmodooletivoestánhehasentérminosde

lafasedelondensado tansólo, omoourre enelasode unsuperondutor.

En la ausenia de amortiguamiento, el ondensado es un ondutor perfeto

y las densidades de orriente

j

CDW

y de portadores

n

c

son funiones de las variaiones dela fase:

j

CDW

=

e

π

dt

;

n

c

=

e

π

dx

.

(1.5)

(26)

Un onepto entralparaomprender ladinámiade laondaen este

mar-o teório eseldel anlaje por impurezas. Todoslos fenómenosde transporte

dependen ruialmente de las interaiones entre el modo oletivo y las

im-purezas ydefetosde lared.Tales interaiones destruyen lainvariania

tras-laional de la onda inonmensurada y onduen a un anlaje de la fase a la

red. Por esto, a valores muy pequeños del ampo los experimentos sobre las

propiedadesondutorasdeunaondadedensidaddearga,norevelanseñales

de movimiento oletivo y tan sólo se enuentra una ontribuión óhmia a

la ondutividad (denida omo el oiente

j/E

, donde

j

es la densidad de

orriente total y

E

elampo elétrio).

Una aproximaiónteóriamuydiferente alas ondasdedensidad dearga,

en la que las impurezas no juegan un papel signiativo, ha sido avanzada

reientemente por Aubry y sus olaboradores [17 ℄. Estos autores, usando las

ideas del límite anti-integrable en hamiltonianos eletrón-fonón llegan a una

araterizaión rigurosa (para valores altos del aoplamiento eletrón-fonón)

de la onda omo una red de bipolarones, uyo anlaje es onseuenia de la

transiióndeAubryenelmodelo.Estaprometedoraperspetivaaúnestá

sien-dodesarrolladay,enpartiular,ladinámiadeondasbipolaróniaspermanee

sinser estudiada.

Lasprimerasobservaionesdedinámiadeondasdedensidaddearga

fue-ron hehasenlos añossetenta [18 , 19 ℄, uando seestudiaronompuestos muy

anisótropos omo

K

0

,

3

M o

0

3

,

N bSe

3

y

T aS

3

. En estos trabajos se enontró

unaondutividad ontinuano linealon unlaro ampo umbral. Por enima

de este ampo umbral la onda de densidad de arga desliza en el ristal y,

además deuna ontribuiónóhmia (debida alos eletrones noondensados),

seenuentra una ontribuión no lineala laondutividad. Esta ontribuión

esmayor quela primerayestá asoiadaa loseletrones ondensados. Los

de-talles sobre la ondutividad no lineal ambian fuertemente omo funión de

latemperatura,lasinhomogeneidades, elnúmeroyextensióndelosentros de

impureza, eltamaño yalidad delamuestra,et...En muhosasos el

desan-lajede laondade densidad deargaesbastanteabruptoyestáaompañado

por un salto y efetos de histéresis, uyo origen es usualmenteatribuido a la

existenia defuertesentros de anlajeen lamuestra [20 ℄.

Uno de loshallazgosmás espetaularesen esteampo fueladeteión de

Fleming y Grimes en 1979 [21 ℄ de osilaiones en las orrientes dentro de la

región no lineal de laondutividad. La freueniafundamental de tales

osi-laionesesproporionalalaorrientellevadaporelmovimientooletivoylas

orrientes pueden ser resueltas en dos omponentes: osilaiones oherentes,

(27)

ión,origenyaraterizaióndeambasomponenteshasidoobjetodeespeial

atenión en losestudios de ladinámiade ondasde densidad de arga.

Moneau etal. en 1980 [22 ℄ enontraron fenómenosde interferenia

uan-do a la muestra se leaplia un ampo alterno on una omponente ontinua.

La urva intensidad-ampo muestra peldaños en losquelaorrientemediade

la onda permanee onstante frente a variaiones de la omponente ontinua

delampo.Estefenómenoes elresultado de lasinronizaiónde lafreuenia

interna de la onda

ω

n

, asoiada a las osilaiones de la orriente, on la fre-uenia

ω

delampoexterno.Seenuentranpeldañosarmónios(

ω

n

entero) ysubharmónios(

ω

n

fraional).

Modelos de la dinámia de las ondas de densidad de arga

Han sidopropuestosmuhosmodelosparaexpliar losdistintosresultados

experimentalessobre eldesanlaje yla dinámia deuna onda de densidad de

arga. Sinembargo, el interés en todosellos trasiende sus apliaiones a los

fenómenos de transporte en ondas de densidad de arga, al onstituirse en

sistemaprototipo paraelestudiode laspropiedades dinámias desistemasde

muhosgrados efetivosde libertad.

Podemosdistinguirentredosaproximaionesdistintas,quedierenanivel

mirosópio:losmodelos lásiosylosmodelos detúnel.Losprimeros tratan

la onda omo un medio elástio moviéndose sobre un potenial de anlaje

debido a las impurezas. Los modelos de túnel tratan al ondutor omo un

sistemauántiomarosópio. La mayoríade losmodelos asumenquelafase

delparámetrodeordeneslaúniavariabledinámiarelevanteyqueelanlaje

surge delaoplamiento diretoentrelas inhomogeneidades ylafase.

El modelofenomenológiomássenillodeladinámiadeunaondade

den-sidaddeargaeselmodelo deunapartíula[23,24℄.Enestemodelolafase

de laonda estratada omo una variable lásia bajo laaión de tres fuerzas

diferentes: a) el ampo externo. b) Fuertes amortiguamientos, que produen

untérminoinerial despreiable.)Elefetodeanlajedeunpotenialdebido

alasimpurezas,queesperiódioyporsenillezseasumesinusoidal.Siguiendo

esta desripión

I

CDW

dt

=

E

k

sin

ϕ,

(1.6)

donde

E

es elampo externo,

k

esla intensidaddel potenialde anlaje yel tiempo hasido debidamente esalado.

A pesardesusenillez, estemodelodeunúniogradodelibertadesapaz

(28)

La existeniade una ondutividadno linealon unampoumbral.

Lapresenia deosilaiones deorriente enrespuestaa unampo

onti-nuo, on unafreuenia queesproporionala laorrientemedia.

Sinronizaióndefaseenlosarmónios,enrespuestaaamposelétrios

alternos.

Junto on estoslogros, elmodelo deuna partíula presenta deienias

uali-tativasen otros aspetos importantes; así,la omprensión de la transiión de

desanlaje olaexpliaiónde laexistenia depeldañossubharmónios

requie-renelestudiode modelos más sostiados.

El modelo de túnel desarrollado por Bardeen [25 , 26 ℄ está basado en la

asunióndequelosresponsablesdeltransportedelondensadosonproesosde

túneltipoZener. El modelohapodidoexpliarmuhosresultados

experimen-tales. Siguiendo esta desripión, ytras algunas suposiiones simpliadoras,

ladinámiadeunaondade densidaddeargaestádesritaporlaeuaión de

movimiento de una partíula sobreamortiguada en un potenial substrato no

sinusoidal

V

(

θ

)

:

V

(

θ

)

cos

θ

si

π/

2

< θ

π/

2

(mod

2

π

)

cos

θ

si

π/

2

< θ

3

π/

2

(mod

2

π

)

.

(1.7)

Estemodelodeunaúniaoordenadaparalaondadedensidaddearga

mues-traunbuen auerdoualitativoyuantitativo onlasprinipales

araterísti-asde transportebajo amposontinuos y/oalternos[27 ℄.

El primer modelo mirosópio realista fue propuesto por Fukuyama y

Lee [28 ℄. Estos autores desarrollaron, dentro del maro de una desripión

Ginzburg-Landau, el hamiltoniano de una onda elástia inonmensurada de

densidad dearga(1.4), onuna faselentamente variable

ϕ

(

~r

)

que interaio-na onlas impurezas loalizadas en posiionesaleatorias

R

~

j

delsubstrato.

H

=

Z

d~r

K

2

(

ϕ

(

~r

))

2

X

j

V

j

δ

(

~r

R

~

j

)

ρ

1

cos(2

~k

F

~r

+

ϕ

(

~r

))

.

(1.8)

El primer término da la energía elástia asoiada on las distorsiones de la

fase, elsegundo desribelainteraión delaonda dedensidad deargaon el

potenialdeanlaje,

V

(

~r

R

~

j

) =

V

j

δ

(

~r

R

~

j

)

,debidoaunaimpurezasituada en

~

R

j

.

(29)

los modosoletivos. Losmodelos tambiénasumen queel aoplamiento de la

fase al ampo elétrio es lineal; entones, la euaión dinámia para ésta se

deduede

(

~r

)

dt

= Γ

δϕ

δH

(

~r

)

+

neE

2

k

F

.

(1.9)

Las euaiones (1.8) y (1.9) denen un problema no lineal muy omplejo

y para elual no haysoluión analítia. Su estudio ha sido realizado usando

distintasaproximaiones(teoríasdeperturbaiones[29℄ydeampomedio[30℄)

y simulaiones numérias, que se realizan disretizando la euaión ontinua.

Fisher[31 ℄introdujo lasiguienteversiónestándardedisretizaióndelmodelo

ontinuo lásio:

H

=

1

2

X

[

ij

]

J

ij

(

ϕ

i

ϕ

j

)

2

X

j

h

j

cos(

ϕ

j

β

j

)

,

(1.10)

j

dt

=

δH

δϕ

j

+

F.

(1.11)

Aquí

ϕ

j

=

ϕ

(

R

~

j

)

eselvalor delafaseen elsitiode laimpureza

R

~

j

,que trata jar,onfuerza

h

j

,lafasealvalor

β

j

.La elastiidadestárepresentada por las interaiones

J

ij

entre fasesen lossitios deimpureza

R

~

i

,

R

~

j

.Observamos que el asode sólo un entro de impurezas reprodue elmodelo de una partíula.

Losparámetrosquedesribenlasimpurezas,

h

j

y

β

j

,sonvariablesdistribuidas aleatoriamente.

Generalmente, se ree que el desorden ongelado (quenhed disorder) es

una araterístia esenial en ladesripión Fukuyama-Lee dela dinámiade

laondadedensidaddearga.Ciertamente,tieneimportantesonseueniasen

algunos aspetos relaionados on la existenia y naturaleza de muhos

esta-dosmetaestables o los efetosde histéresis por debajodel ampo umbral. Sin

embargo, muhasdelaspropiedades delmodelosoniertamentereproduidas

si seasume

h

j

= constante

, y

β

j

=

j

α

2

π

,donde

α

es algún número real. Bajo estasasuniones elmodeloFukuyama-Leeseidentia on elmodelo F

renkel-Kontorovaestándar,desribiendoelparámetro

α

elespaiadopromedio.Aeste respeto, los trabajos pionerosde Sneddon [32, 33 ℄ ontribuyerona fortaleer

el modelo Fukuyam-Lee disreto omo el maro teório en el ual los

resul-tados experimentales de la dinámia de ondas de densidad de arga podían

sersatisfatoriamenteentendidos. Deeste modo,elmodeloFrenkel-Kontorova

omenzó a interesara losexpertosen ondasde densidad dearga [34℄.

La araterizaión de la onda de densidad de arga en las eranías del

(30)

era del umbral ydesarrolló una teoría de ampo medio,que es válida en el

límite de interaiones de alane innito entre las fases. Los resultados de

Fisher proporionan ierta intuiión sobre la transiión de desanlaje en el

aso de interaiones de orto alane, y son los preedentes diretos de una

serie de trabajos sobre el desanlaje de las estruturas inonmensuradas del

modeloFrenkel-Kontorova [35℄yeldesanlajedelaondadedensidaddearga

on desorden ongelado [36, 37℄.

La mayoría de la atividad teória en la dinámia de la onda a ampos

superiores al umbral está entrada en las simulaiones numérias del modelo

Fukuyama-Leeondesorden.Cuandolaondadedensidaddeargaes

impulsa-daporvoltajesonomponentealternaseobtienensinronizaionesarmónias

y subharmónias de la orriente on la freuenia externa [38 ℄. El trabajo de

revisión de Littlewood [39℄ estudia en profundidad el fenómeno de la

sinro-nizaión en ondas de densidad de arga. También, se han estudiado diversos

autómataselulares [40 ,41℄,quesondiseñadosparaimitarelomportamiento

dinámio delmodeloFukuyama-Lee disretobajo fuerzas periódias.

Más reientemente Middleton [42, 43, 44℄ ha probado algunos resultados

rigurosos,queproporionanunabasermeparaunaomprensiónteória

satis-fatoria de ladinámia disipativa de medioselástios disretos enpoteniales

deanlaje.Enlasseiones3.1y3.2onsideraremosestosresultados

uidado-samente.

Ya hemos señalado quela desripiónFukuyama-Lee de ladinámiade la

onda dedensidad dearga esesenialmente ladinámiadisipativa delmodelo

Frenkel-Kontorovaonelingredienteañadidodelaaleatoriedadenelpotenial

substrato.Aunqueesteingredienteesimportante,losavanesenlateoríadela

dinámiadelaadenaFrenkel-Kontorovahanontribuidodemodosigniativo

a la teoría de la físia de los sistemas on una onda de densidad de arga.

Reíproamente,elinterésenladinámiadeondasdedensidaddeargahasido

siempre el prinipal impulso para los estudios dinámios del modelo F

renkel-Kontorova.

Sinembargo,existenefetosenontradosenondasdedensidaddeargaque

no puedenser entendidosen elmarode estosmodeloslásios. Muestrasque

han sido deliberadamente desordenadas presentan un tipo de fenomenología,

onoida omo swithing,que generalmente se asoiaon lasutuaiones de

laamplitud.Algunos modelos,queonsideranlosgrados delibertaddelafase

ydelaamplitud hanonseguidoreproduirestosefetos[45,46℄. Estos

(31)

Propiedades de equilibrio del

modelo Frenkel-Kontorova

2.1. Deniiones y propiedades básias

Una imagen usual delmodelo Frenkel-Kontorova, queproporiona una

in-tuiiónmeánia útil sobre el mismo,eslade una adena linealde partíulas

sometidasalaaióndeunpotenialperiódioyonetadasentresípor

mue-lles (ver gura 2.1). Sea

u

j

la posiión de la partíula

j

,la energía potenial total delsistemaes

H

=

X

j

[

V

(

u

j

) +

W

(

u

j

+1

u

j

)]

,

(2.1)

donde

V

(

u

)

eselpotenialperiódio(

V

(

u

+ 1) =

V

(

u

)

)y

W

(∆

u

)

elpotenial del muelle, que depende de la distania entre partíulas veinas. El modelo

Frenkel-Kontorova estándarestádenidoporlassiguientesfunionespara

los poteniales:

V

(

u

) =

(2

K

π

)

2

[1

cos(2

πu

)]

,

W

(

y

) =

1

2

(

y

µ

)

2

.

(2.2)

Aquí las unidades de longitud y energía son el periodo del potenial

V

y la onstante elástia del muelle. Esta eleión redue el número de parámetros

relevantes en el modelo a dos: la intensidad

K

del potenial periódio y la longitud natural del muelle,

µ

. El potenial de interaión entre las partíu-las favoree una separaión homogénea entre las mismas. Por el ontrario, el

(32)

tan-Figura2.1: Laguramuestrauna imagensenilladel modeloFrenkel-Kontorova es-tándar:unonjunto deátomosenuna dimensiónonetadospormuellesysituados enunpotenialsubstratoperiódio.

interaionesprodue lafrustraióndelsistema tambiénsehablade

ompe-tiiónentre esalasdelongitudqueeslaaraterístiaesenialdelmodeloy

setradue enuna fasinanteomplejidad deestruturas espaialmente

modu-ladas.

Aunque existe algúninterés en sistemas nitos [47 ℄, lo normales estudiar

las propiedades del modelo en el límite termodinámio, en el ual el número

de partíulas tiende a

.Denimos una onguraión

{

u

j

}

delmodelo por lasuesiónde innitosnúmerosrealesquedanlasposiionesde laspartíulas.

Una onguraión de equilibrio es aquella para la que la fuerza total

sobreadauna delaspartíulasesnula.Entalaso,esaonguraión

{

u

j

}

es soluióndel siguiente onjunto de euaiones,

∂H

∂u

j

=

V

(

u

j

) +

[

W

(

u

j

+1

u

j

) +

W

(

u

j

u

j

1

)]

∂u

j

= 0

(

−∞

< j <

)

.

(2.3)

Introduimoslatensión

p

j

delmuelle situadoalaizquierda delapartíula

j

,

p

j

=

∂W

(

u

j

u

j

1

)

∂u

j

.

(2.4)

Las euaiones de equilibrio de fuerzas (2.3) quedan entones esritas de la

siguiente manera

p

j

+1

=

p

j

+

V

(

u

j

);

(2.5)

yen elasode queexista una soluiónúniade

u

j

+1

enla euaión

p

j

+1

=

∂W

(

u

j

+1

u

j

)

∂u

j

+1

;

(2.6)

seumple quelas euaiones (2.5) y(2.6) denen sinambigüedad una

aplia-iónbidimensional

T

delplanoreal en símismo:

(33)

Si las funiones

V

y

W

tienen derivada ontinua y

W

es una funión es-tritamente onvexa, entones laapliaión

T

está bien denida, es ontinua, preserva elárea, tiene inversa

T

1

ontinua,ysatisfae laondiiónde twist:

∂u

j

+1

∂p

j

u

j

>

0

.

(2.8)

Lasapliaiones quepreservaneláreayumplen laondiióndetwist han

sido estudiadas en profundidad [48℄ por ser ejemplos de sistemas dinámios

hamiltonianos que presentan un amplio onjunto de dinámias posibles (del

movimiento regular al aótio), y surgen en una gran variedad de ontextos

físios distintos, desde la físia de aeleradores a la de uidos o la de

proe-sos químios. La teoría de estasapliaiones está biendesarrollada, yaque la

ondiióndetwistpermitelapruebadeimportantesresultadosdeamplia

reper-usión.Elasomejorestudiadoeseldelaapliaiónestándar,queorresponde

alproblema delequilibrio enel modeloFrenkel-Kontorova estándar (2.2):

p

j

+1

=

p

j

+

2

K

π

sin(2

πu

j

)

.

u

j

+1

=

u

j

+

p

j

+

2

K

π

sin(2

πu

j

)

.

(2.9)

Podemos ver que el parámetro

µ

no aparee en (2.9), por lo que, en el modelo de Frenkel-Kontorova estándar, la propiedad deser una onguraión

de equilibrio esindependiente deeste parámetro.

Muhas situaiones en la Físia de la Materia Condensada requieren

mo-delos del tipo (2.1) que no satisfaen todas las ondiiones neesarias para

asegurar la existenia de la apliaión

T

. En partiular, muhos sistemas no umplen laondiiónde laonvexidad delpotenial

W

.Estoesespeialmente freuente en sistemas en los que apareen espines. Aunque Sasaki y Griths

[49℄ han probado la equivalenia de iertos modelos onvexos y no onvexos,

tal equivalenia no es de aráter general. A partir de ahora asumiremos que

en lossistemas queestudiamoslaapliaión

T

estábiendenida.

Partiendodeualquier puntoarbitrario (

u

0

, p

0

)delplanoreal,las iteraio-nes de

T

y su inversa

T

1

produen una órbita de la apliaión. Cualquier

órbita orresponde a una onguraión de equilibrio del modelo (2.1) y,

re-íproamente, ualquier onguraión de equilibrio del modelotiene asoiada

una órbita de laapliaión (2.7).Las onguraiones de equilibrio pueden ser

físiamente estables o inestables. La estabilidad físia de una onguraión

{

u

j

}

implia que ningún desplazamiento pequeño de las partíulas disminuye la energía del sistema, y se determina desarrollando la energía de la

(34)

segundoorden enlas desviaiones :

H

(

{

u

j

+

δ

j

}

) =

H

(

{

u

j

}

) +

X

n

∂H

(

{

u

j

}

)

∂u

n

δ

n

+

1

2

X

n

X

m

2

H

(

{

u

j

}

)

∂u

n

∂u

m

δ

n

δ

m

.

(2.10)

El segundo término dela dereha se anula, por ser

{

u

j

}

una onguraión de equilibrio.Deestemodo,laonguraión

{

u

j

}

esestablesilaformauadrátia denida por lamatriz (deorden innito)

M

(

{

u

j

}

) =

{

M

n,m

}

:

M

n,m

=

2

H

(

{

u

j

}

)

∂u

n

∂u

m

,

(2.11)

espositiva o ero. Losvalorespropios de esta matrizsonlos uadrados de las

freueniasdelasosilaionesdepequeñaamplitudentornoalaonguraión

de equilibrio

{

u

j

}

(asumiendo que las partíulas son de masa uno). Como onseuenia,laestabilidadfísiadelaestruturaesequivalentealaondiión

de que las freuenias de estos fonones sean reales. Es importante indiar el

heho deque enelmodeloFrenkel-Kontorova estándar laestabilidadfísia de

lasonguraiones deequilibrio no dependen delparámetro

µ

.

ComofueseñaladoporAubry[5,50℄yCoppersmithyFisher[34℄,lanoión

de estabilidad físia de una onguraión diere de la noión de estabilidad

dinámia de la órbita asoiada a la apliaión

T

. Que la forma uadrátia

M

(

{

u

j

}

)

seaestritamente positivaimplia unexponentedeLyapunov positi-vo para la órbita orrespondiente, y por lo tanto inestabilidad dinámia. Por

esto,entretodaslasonguraionesdeequilibrioestables,sóloaquellasonun

modo fonón de freuenia ero podrían orresponder a una órbita estable de

laapliaión.

Esneesarioteneriertouidadoalhablardeenergíadeunaonguraión,

yaque(2.1)ontiene unasumainnita.Sinembargo,nohayningúnproblema

en usar(2.1) paradenirdiferenias deenergía entreonguraiones que sólo

dieren en un número nito de las

u

j

. Aubry [5 ℄ dene una onguraión

demínima energía

{

u

j

}

omoaquellaparalaualualquier desplazamiento arbitrario

{

δ

j

}

de un segmento nito de la onguraión produe siempre un ambiode energíano negativo.Estadeniióninluye lapropiedadde quelas

onguraiones de mínimaenergía sonestadosdeequilibrio estable.

La energía media por partíula

ǫ

de una onguraión

{

u

j

}

está

de-nidapor elsiguientelímite:

ǫ

=

l´ım

(

N

M

)

→∞

1

N

M

N

1

X

j

=

M

[

V

(

u

j

) +

W

(

u

j

+1

u

j

)]

(2.12)

siempre que este exista para ualquier par

M < N

. Es fáil ver que esto no ourreparatodaslas onguraiones imaginables

{

u

j

}

.Sinembargo, las on-guraiones de mínima energía tienen una energía media por partíula

ǫ

bien

(35)

Figura 2.2: Ejemplo de una transformaión

σ

r,m

(on

r

= 1

y

m

=

1

) sobre un estado

{

u

j

}

deespaiadopromedio

ω

= 2

/

3

.

{

u

j

}

=

{

u

j

+1

1

}

.

denida. Para evitar posible equívoos, es importante señalar que la energía

porpartíula de unaonguraión demínima energía noesneesariamenteel

mínimo valorposiblede

ǫ

.

El espaiado promedio

ω

deuna onguraión,freuentemente llamado

winding number es

ω

=

h

u

j

+1

u

j

i

=

l´ım

(

N

M

)

→∞

u

N

u

M

N

M

.

(2.13)

Aquí también se aplia la advertenia heha al denir (2.12). Aubry [6℄ ha

probadoqueparalos modelosonvexos ada onguraiónde mínimaenergía

tiene un espaiado promedio bien denido y, a la inversa, para ada número

real

ω

existe al menos una onguraión de mínima energía on espaiado

promedio

ω

. Pueden existir onguraiones de mínima energía diferentes on idéntioespaiadopromedio.Enesteasoéstastambiéntienenunmismovalor

de energía por partíula. Diho de otro modo, la energía por partíula de las

onguraionesdemínimaenergía

ǫ

(

ω

)

esunafuniónbiendenidayontinua del espaiado promedio. Esta funión también depende de los valores de los

parámetros delmodelo.

Cuandolospoteniales

V

y

W

en(2.1)nodependendelíndiedepartíula

j

,sediequeelmodeloeshomogéneo.Entones,unambiodeetiqueta delas partíulas no ambia las propiedadesfísias de laonguraión. Deigual

ma-nera,laperiodiidadde

V

yelhehodeque

W

dependa tansólodedistanias relativas tiene omo onseuenia la invariania del modelo bajo traslaiones

enteras.Por esto,si

{

u

j

}

esunaonguraión de mínimaenergía, la

transfor-maión

σ

r,m

denidapor

σ

r,m

{

u

j

}

=

{

u

j

+

r

+

m

}

=

{

u

j

}

(2.14) (

r

y

m

números enteros arbitrarios) da lugar a otra onguraión de mínima energía (ver gura2.2).

Dadas dos onguraiones

{

u

j

}

y

{

v

j

}

deimos que una es menor que laotra,

{

u

j

}

<

{

v

j

}

, uando paratodo

j

,

u

j

< v

j

.Una onguraión

{

u

j

}

es

(36)

rotaionalmenteordenada[51℄siparaualquiertransformaióndesimetría

σ

r,m

,laonguraióntransformada

{

u

j

}

=

σ

r,m

{

u

j

}

esmenorque

{

u

j

}

,mayor queella,oambasoiniden.Si

ω

eselespaiadopromediodeunaonguraión rotaionalmente ordenada

{

u

j

}

,entones seumple que:

σ

r,m

{

u

j

}

<

{

u

j

}

si

+

m <

0

.

σ

r,m

{

u

j

}

>

{

u

j

}

si

+

m >

0

.

(2.15)

Haemosnotar queenuna onguraiónarbitraria demínima energía on

es-paiado promedio

ω

, la ondiión

+

m

= 0

no orresponde, en general,

a

σ

r,m

{

u

j

}

=

{

u

j

}

. Las onguraiones de mínima energía son siempre ro-taionalmente ordenadas. Estapropiedad tiene importantes onseuenias; en

partiular a partir de (2.15) podemos ver que una onguraión

rotaional-mente ordenada

{

u

j

}

, para ualquier par de enteros

j, r

, umple la siguiente desigualdad:

|

u

j

+

r

u

j

|

<

1

,

(2.16)

laual ja unaota restritivaa las utuaiones en longitudde una porión

nitade laonguraión.

Una onguraión

{

u

j

}

es periódia si existe una transformaión

σ

r,m

bajo laualesinvariante; así que,para todo

j

,

u

j

+

r

+

m

=

u

j

.

(2.17)

Elespaiadopromediodeunaonguraiónperiódiaeselnúmeroraional

ω

=

m

r

.

Una onguraión

{

u

j

}

se llamareurrente si existen suesionesde trans-formaiones

σ

r,m

,on

r

→ ±∞

,talesque

σ

r,m

{

u

j

} → {

u

j

}

en elsentido apro-piado(topologíadébil).Laideaesqueualquiersegmentodeunaonguraión

reurrente reapareeonpreisión arbitraria enotrolugardelaonguraión.

Obviamente, una onguraiónperiódiaesreurrente.

Siguiendo aAubry,un estado fundamental sedene omo una

ongu-raión reurrente de mínima energía. Para ada número real

ω

hay almenos un estado fundamental on espaiado promedio

ω

y la energía por partíula de este está dada por lafunión

ǫ

(

ω

)

denida anteriormente. Freuentemente sehabla delestado fundamental orrespondiente a unosvalores determinados

de los parámetros del modelo (e.g.:

K

y

µ

en el modelo estándar). Esto debe

entenderseomo laonguraiónestado fundamental queumple

ε

= m´ın

ω

ǫ

(

ω

)

,

(2.18)

paraesosvaloresdelos parámetros.El mínimo

ε

,quedepende de los paráme-tros delmodelo, dene laenergía del estado fundamental yel valor de

ω

(37)

Figura 2.3: Diagrama de fases de los estados fundamentales del modelo Frenkel-Kontorova estándar [4℄. Cada punto

(

K, µ

)

del diagrama está araterizado por el valordelespaiadopromedio

ω

delestadofundamental.Losnúmerosdelagura in-dianvaloresde

ω

.Sólohemosdibujadoalgunasfasesonmensuradassenillas,entre dosualquieradeellasexisteninnitasfasesonmensuradaseinonmensuradas.

paraelualsedaesemínimoeselespaiadopromediodelestadofundamental,

que también depende de los parámetros del modelo. La determinaión de la

onguraión estado fundamental a un valor determinado de los parámetros

delmodeloesunproblemaompliado.Elmétodomáseienteparahaerlaes

elmétodode los poteniales efetivos(tambiénllamadominimization

ei-genvalue method),desarrolladopor Griths[52,53 ℄. Estemétodo estábasado

enlaomputaióndeiertasfuniones,lospotenialesefetivos,queontienen

toda la informaión relevante aera de la relajaión de utuaiones loales

de la onguraión estado fundamental. Además del estado fundamental, el

método proporiona las disonmensuraiones elementales (denidas más

ade-lante)ysusenergíasdereaiónydeanlaje,asíomoinformaiónimportante

sobrelastransiionesentrediferentesestadosfundamentales.Laposibilidadde

apliarelmétododelospotenialesefetivosnoserestringeaningúntipo

par-tiulardeinteraiones,porestosehaonvertido enelmétodomásusualpara

alularlosdiagramasdefasedeestadosfundamentalesdelosmodeloslásios

de sistemas on estruturas espaialmente moduladas [54 ℄. Una presentaión

exelente deeste métodoseenuentra en [4 ℄.

La gura 2.3muestra el onoidodiagrama de fasesde los estados

fun-damentales delmodelo Frenkel-Kontorova estándar.Este está onstituido por

(38)

a-gura, por laridad, sólo mostramos algunas de las regiones (también

llama-das lenguas de Arnold) del diagrama. Entre ualquiera dos de ellas hay un

número innito de otras fases onmensuradas e inonmensuradas. La gura

2.4muestra elespaiado promedio

ω

delestado fundamental omofunión de

µ

uando

K

= 1

. Esta funión es ontinua y posee peldaños paraada valor raionalde

ω

,queorresponden alas lenguasde lagura2.3. Estafuniónes llamada Esalera delDiablo,aunque ya laonoíanlos matemátios bajo el

nombre de funión de Cantor. Se die que una Esalera del Diablo es

om-pleta uando la suma de las anhuras de los peldaños es la medida total; en

asode queno seaasí laEsaleradel Diabloesinompleta.

Figura2.4:

ω

omofuniónde

µ

a

K

= 1

[4℄.Esta funión,onoidaomo Esalera delDiablo,esontinuaytieneunesalónaadavalorraionalde

ω

.

(39)

transiiónConmensurada-Inonmensurada 25

2.2. Estados fundamentales onmensurados,

dison-mensuraioneselementalesytransiión

Conmen-surada - Inonmensurada

Los estados fundamentales para los uales el espaiado promedio es un

número raional se llaman onmensurados. Satisfaen la propiedad de que

si

p

y

q

son números primos entre sí y tales que

ω

=

p

q

, entones ualquier estado onmensurado on el mismo espaiado promedio es invariante bajo la

transformaión

σ

q,

p

:

u

j

+

q

p

=

u

j

(2.19)

paratodo

j

.Enotraspalabras,ualquierestadofundamentalonmensuradoes periódioon periodoelmínimoompatible on elvalorde

ω

.Lasestruturas

on el mismo valor de

ω

pero periodiidad mayor no umplen la propiedad

de ordenrotaional quetoda onguraiónde mínima energía debe satisfaer

(paraun ejemplo,verlagura2.5); por esto,graiasa (2.19),on onoerlas

posiiones

{

u

j

}

(

j

= 1

, . . . q

) de

q

partíulas onseutivasde unestado

funda-mentalonmensurado(laelda unidad)seonoelaonguraiónompleta.

Figura2.5:Laonguraión

{

u

j

}

esunestadofundamentalonmensuradode

ω

= 2

/

3

. Laexisteniadeunaeldaunidadseapreialaramente.Estaestruturaesinvariante bajo la transformaión

σ

3

,

2

:

{

u

j

}

=

σ

3

,

2

{

u

j

}

=

{

u

j

}

.

{

v

j

}

esuna onguraión de

ω

= 2

/

3

on unaelda unidad mayor.Se ve laramenteque

{

v

j

}

no satisfaela propiedaddeordenrotaional:

{

v

j

}

=

σ

3

,

2{

v

j

}

on

v

3

< v

3

pero

v

4

> v

4

.

(40)

La eldaunidadde unestadofundamentalonmensuradopuede ser

deter-minadaa travésdelaminimizaiónglobal delaenergíadelamisma,queesla

siguiente funión de

q

variables:

φ

(

{

u

j

}

q

j

=1

) =

q

X

j

=1

[

V

(

u

j

) +

W

(

u

j

+1

u

j

)]

(2.20)

donde

u

q

+1

=

u

1

+

p

.En elaso delmodelo Frenkel-Kontorova estándar (on

K

6

= 0

)estemínimoesúnio,salvotraslaiones;pero,engeneral,puedenexistir dosomásmínimosglobalesnoequivalentes[55 ℄.Enalgunosasos

exepiona-leselonjuntodemínimosglobalesde(2.20)esunontinuo.Unejemplotrivial

de tal situaión es el aso

K

= 0

del modelo estándar donde el fenómeno es elresultadode lainvarianiatraslaional ontinua delaenergía.Sinembargo,

ChouyGriths[52℄hanmostradoejemplosnotrivialesenunmodeloenelque

elpotenial

V

(

u

)

esparabólioatrozos,on signosalternosparalaurvatura. Por onsiguiente, elonjunto

G

ω

de estadosfundamentalesonmensurados

on espaiado promedio

ω

puede ser tanto disreto omo ontinuo. En todo

aso,siempreestábienordenado;estoes,paradosonguraiones

{

u

j

}

,

{

v

j

} ∈

G

ω

,setiene que

{

u

j

}

<

{

v

j

}

o

{

v

j

}

<

{

u

j

}

.También,

G

ω

esinvariante bajoel grupo detransformaiones desimetría

σ

r,m

.

Vamosaonsiderarprimeramenteelasoexepionalde

G

ω

ontinuo.Sean

{

u

j

}

y

{

v

j

}

dos estados fundamentales arbitrarios de

G

ω

y asumamos que

{

u

j

}

<

{

v

j

}

(la propiedad de orden), entones siempre existe otro estado fundamental

{

w

j

}

entreambos,

{

u

j

}

<

{

w

j

}

<

{

v

j

}

.Conseuenia deesto es quenoesneesarioaportarenergíaalsistemaparadesplazarlo:laonguraión

de estado fundamental es deslizante. En este aso, la matriz de estabilidad

lineal

M

(

{

u

j

}

)

denidaen (2.11) tiene unvalorpropio nulo.

En general,

G

ω

(

ω

raional) es unonjunto disreto, por ello tiene sentido hablar de estados fundamentales ontiguos; esto es, on ningún otro estado

fundamentalentreellos.Comoonseuenia,paraonseguirundesplazamiento

deunestadofundamentalesneesariosuperarunabarreradeenergía:la

on-guraióndeestadofundamentalestáanlada.Esaenergíaextramínima

E

P N

que debe ser proporionada al estado fundamental para desplazarlo hasta el

estadofundamentalontiguoeslabarrera deenergíadePeierls-Nabarro.

En general debería distinguirse entre barreras de energía a izquierdas ya

de-rehas, peroenelmodeloestándar ambasoiniden.

Una magnitud que está fuertemente relaionada on la barrera de energía

de Peierls-Nabarro es la fuerza de desanlaje,

F

d

. Asumamos la presenia de un ampo uniforme de fuerzas

F

, entones las euaiones de equilibrio de

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