Colección de Estudios de Física
31
Juan José Mazo Torres
Dos modelos de la teoría no lineal
de la Física de la Materia Condensada:
la cadena Frenkel-Kontorova
y la escalera de uniones Josephson
Dos modelos de la teoría no lineal de la Física de la Materia Condensada: la cadena
Frenkel-Kontorova y la escalera de uniones Josephson
•
Juan José Mazo T
o
rres
CEF
31
9 788477 339281
ISBN 978-84-7733-928-1
Materia Condensada: la adena Frenkel-Kontorova
Esta oleión reoge las tesis presentadas en el
Departa-mento de Físia de laMateria Condensada de la Universidad
Dos modelos de la teoría no lineal de la
Físia de la Materia Condensada: la adena
Frenkel-Kontorova y la esalera de uniones
Josephson
MAZO TORRES, Juan José
Dos modelos de la teoría no lineal de la Física de la Materia Condensada : la
cadena Frenkel-Kontorova y la escalera de uniones Josephson / Juan José Mazo
Torres. — Zaragoza : Prensas Universitarias de Zaragoza, 2007
XIII, 193 p. ; 24 cm. —(Colección de Estudios de Física ; 31)
Tesis-Universidad de Zaragoza
ISBN 978-84-7733-928-1
1. Materia condensada–Tesis doctorales. I. Universidad de Zaragoza. II.
Título. III. Serie: Colección de Estudios de Física (Prensas Universitarias de
Zaragoza) ; 31
538.9(043.2)
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previo y por escrito de los titulares del Copyright.
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Juan José Mazo Torres
©
De la presente edición, Prensas Universitarias de Zaragoza
1.ª edición, 2007
Prensas Universitarias de Zaragoza. Edificio de Ciencias Geológicas, c/ Pedro Cerbuna, 12,
50009 Zaragoza, España. Tel.: 976 761 330. Fax: 976 761 063
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D.L.: Z-3182/2007
Prólogo xi
I Modelo Frenkel-Kontorova 1
Resumen de la primera parte 3
1. Introduión 7
1.1. Estruturas espaialmente moduladas. . . 7
1.2. Dinámia de estruturasespaialmentemoduladas . . . 9
1.2.1. Ondas dedensidad de arga . . . 10
2. Propiedades de equilibrio del modelo Frenkel-Kontorova 17 2.1. Deniionesypropiedades básias . . . 17
2.2. Estadosfundamentalesonmensurados,disonmensuraiones ele-mentalesytransiión Conmensurada - Inonmensurada. . . 25
2.3. Estados fundamentalesinonmensuradosytransiión deAubry (TBA) . . . 33
2.4. Defetos, interfases,estadosmetaestables ylímiteanti-integrable 40 3. Dinámia disipativa del modelo Frenkel-Kontorova bajo fuer-zas onstantes 47 3.1. Propiedades básiasde la dinámia disipativa:regla prohibido adelantar deMiddletonysus onseuenias . . . 48
3.2. Caraterizaión delrégimendeslizante:funión hull dinámia . 51 3.3. La transiión dedesanlaje . . . 59
3.3.1. Desanlaje delsistemade unapartíula . . . 60
3.3.2. Estruturas onmensuradas . . . 63
3.3.3. Estruturas inonmensuradas . . . 65
3.3.4. Disonmensuraiones . . . 71
fuer-4.1. Pulsos . . . 81
4.2. Fases onmens. bajo fuerza sinusoidal. Transiión de desinro-nizaión. . . 85
4.3. Estruturasinonmensuradasimpulsadasporfuerzas sinusoida-les.Transiión de Aubry dinámia . . . 95
4.4. Disonmensuraiones, sinronizaión ymetaestabilidaddinámia 103 Bibliografía I 113 II La esalera de uniones Josephson 117 Resumen de la segunda parte 119 5. Introduión 121 5.1. El efetoJosephson . . . 121
5.2. Redesde uniones Josephson . . . 124
5.2.1. Estadosfundamentalesytransiionesdefaseenredesde uniones Josephson . . . 128
5.2.2. Redes de uniones Josephson sometidas a orrientes ex-ternas . . . 131
5.3. Red unidimensional deuniones Josephson enparalelo . . . 135
6. Propiedades deequilibriode laesalera deunionesJosephson137 6.1. El modelo . . . 137
6.2. Estados fundamentales . . . 139
6.3. Metaestabilidad . . . 148
7. Efetosdeapantallamientodeampo enlaesaleradeuniones Josephson 155 7.1. El modeloylos métodos empleados . . . 155
7.2. Estados fundamentales . . . 159
7.3. Metaestabilidad . . . 167
7.4. Apéndie:matrizde induiones . . . 170
8. Algunos aspetos dinámios en la esalera de uniones Joseph-son 173 8.1. Dinámia de relajaiónalequilibrio . . . 173
8.2. Dinámia en preseniade orrientes externas . . . 179
8.2.1. Euaionesdel movimiento . . . 179
8.2.2. Algunosresultados dedinámiapeuliares delaesalera de unionesJosephson bajointensidades ontinuas . . . . 182
Un onjunto importante de los sistemas que son estudiados por la Físia
delaMateriaCondensada,estánaraterizados por laompeteniaentre
dife-rentesesalasdelongitudydetiempo.Deentrelosresultados deestas
ompe-tenias, podemos itar algunos fenómenostan interesantes omo la existenia
de fasesmoduladasen sólidos olos fenómenosdinámios de sinronizaiónde
freuenias;todoselloshan sidoenlosúltimos años,ysonhoy,objetodel
tra-bajo teório y experimental de una parte de los físios de la Termodinámia,
laMateria Condensada ylaMeánia Estadístia.
El objetivo de este trabajo de Tesis Dotoral ha sido realizar un estudio
de diferentes estruturas espaiotemporales en sistemas marosópios. Estas
estruturas son fruto de los fenómenos de ompetenia entre esalas, que
re-sultan en una diversidad de transiiones de fase, fenómenos rítios y
om-portamientosomplejos,algunos delosuales sonestudiados enestamemoria
(latransiión Conmensurada-Inonmensurada, latransiión dedesanlaje,las
transiiones de Aubry estátia y dinámia, la transiión de desinronizaión,
transiiones deestabilidadde fasesmoduladas,o fenómenosderelajaión
len-ta).ParallevaraaboesteestudiohemosesogidolaadenaFrenkel-Kontorova
y una esalera de uniones Josephson. A lo largo de esta memoria nos
mante-nemos dentrode los límitesde validez deltratamiento lásio del problemay,
porlotanto,másalládelaseuaionesdelaMeániaCuántiaquedesriben
el omportamiento de lamateria yla energía a las esalas máspequeñas. Así
mismo, al onsiderar estos sistemas omo marosópios los hemos estudiado
en el límite termodinámio de los mismos. Por último, ambos sistemas son
disretos. Tener en uenta esta disretitud es lave para entender un número
de resultados quenoapareen en lasaproximaiones ontinuasa lossistemas.
Una segunda, y no por ello menos importante, araterístia de la Físia
de laqueestamos hablando eslano linealidad presenteen ladesripión
ma-temátia detodosestosfenómenos.Podríamos armarque, históriamente,la
másrepresentativas,han permaneido,yesto siguesiendo asíhoyendíapara
muhos, ajenas alinterés de los físios y, sobre todo, fuera delalane de sus
métodos.Sialgotienenenomúnestasdisiplinas,eslaomplejidadylano
li-nealidad.Lasituaiónqueaabamosdedesribirestáambiandorápidamente
yde heho, omplejidad yno linealidad forman parte de un onjunto de
on-eptos que son básiospara entender parte de la Físia de este nalde siglo.
De este modo, el reiente interés de la Físia en problemas no lineales y los
logrosdelosmétodosdeanálisisqueempleadebenserlosmejoresavalespara
lairrupiónde nuevasténias e ideasen los ampositadosanteriormente.
Los sistemasestudiados alo largode esta memoria tienen la semillade la
ompetiiónentreesalasylanolinealidad;sólodesdelaomprensión deestos
fenómenosa losniveles másbásios sepueden intentarlogrosmayores.
El modelo Frenkel-Kontorova ha sido estudiado durante muho tiempo
omo un modelo paradigmátio para la araterizaión de fases moduladas.
Podemos separar dos aspetos fundamentales de nuestra aportaión al
estu-dio de este sistema. Primero el estudio de la dinámia disipativa del mismo,
espeialmente bajo laaión de fuerzas alternas. Estas introduen una esala
temporalnuevaenelsistema,esalaqueentraenompeteniaonlafreuenia
típia del movimiento del mismo. Diha ompetenia resulta en el fenómeno
desinronizaión.Segundo,hemosrealizadounavisiónintegradora delas
pro-piedades de equilibrioy laspropiedadesdinámias delsistema.Por esto,toda
laprimera partede esta memoria debe servista omoun esfuerzode revisión
e integraión de las prinipalespropiedades de equilibrio y dinámias no
disi-pativasdel modelo Frenkel-Kontorova, dentro del maro de dos desripiones
opuestasyomplementarias: laanalítia frentea lafratal.
Lasegundapartedeestamemoriaestudiaunsistemaexperimentalonreto
delamateriaondensada:unaredde unionesJosephson,on unadistribuión
geométriapeuliar, lade unaesalera. Lasredes deuniones Josephson están
entreaquellossistemas físios donde todoelonjunto deoneptosde los que
estamos hablando pueden ser omprobados teória y experimentalmente del
mejor modo. Por ello, la literatura sobre el estudio de múltiples fenómenos
estátiosydinámiosnolinealesenredesdeunionesJosephsonesamplísimay
siguereiendohoyen día.DeentrelasdiferentesredesdeunionesJosephson,
la esalera es un sistemapartiularmente interesante. Contiene los
ingredien-tes más representativos de la físia de las redes de uniones Josephson y, por
su aráter asi unidimensional, es suseptible de un estudio más riguroso.
Nosotros hemos realizadoun estudiode laspropiedades estátias delared en
dosaproximaiones distintas físiamenterelevantes, asíomo de aquellas
Por último, no puedo dejar de enumerar un onjunto de ténias uya
expliaión no he desarrollado explíitamente en la memoria, pero que han
sido fundamentales en distintos momentos del trabajo: son los métodos de
integraión numéria de sistemas deterministas y estoástios de euaiones
difereniales; lautilizaióndel métodode potenialesefetivos paraelálulo
de diagramas de fases de estadosfundamentales; el álulo de exponentes de
Lyapunov, seiones de Poinaré y espetros de potenias; la búsqueda de
soluionesde equilibrio delsistemay elanálisisde estabilidad de las mismas;
yelanálisisde Floquetde laestabilidad desoluionesdinámias periódias.
Estelibro eselresultadodeltrabajodeinvestigaiónquehellevadoaabo
en elDepartamento de Físiade laMateria Condensada delaUniversidadde
Zaragozaonunonjuntodeexelentesientíosymejorespersonasalasque
quieroexpresar mi agradeimiento.
La primera parte de esta memoria reoge los avanes más reientes de la
teoría de la dinámia disipativa de las fases moduladas en el modelo
Frenkel-Kontorova. A nuestro juiio, las onlusiones más importantes
integradoras de laspropiedades de equilibrio ydinámias delmodelo F
renkel-Kontorova estándar sonlas siguientes:
•
Lasmodulaiones onmensuradasposeenunalongitud deoherenianita, queestá diretamenterelaionada on elaráterdisreto delgrupode
simetría de sus propiedades de invariania. Las impliaiones físias de este
heho sonlaapaidad de admitir defetos(defetibilidad) yla abundania
deestadosmetaestablesde energíasarbitrariamentepróximas
(metaestabili-dad).
•
Lasmodulaionesinonmensuradaseradellímiteintegrable(K
=
0
) son invariantes bajo transformaiones de un grupo de simetría ontinuo y tienenunalongituddeohereniainnita. Por lotanto,nosondefetiblesyelpaisajedeenergíasdelespaiodeonguraionesnopresentametaestabilidad.
Sin embargo, la situaión en las eranías del límite anti-integrable (
1
/K
→
0
) es similar a la de las estruturas onmensuradas. El ambio entre ambos regímenes no es suave, sino rítio y está desrito por una transiión deAubry. Aun lado de latransiión de Aubry ladesripión de lamodulaión
inonmensurada esanalítia,mientras quealotro ladoesno analítia,fratal
deheho.Deestemodo,eltérminofratalidadomoopuestoaanalitiidad
es el reomendado. Ambas desripiones, laontinua (integrable) yla fratal
(anti-integrable) tienen su propiodominio de validezysonomplementarias.
•
El juego entre ladesripión ontinua y lafratal seextiende a la diná-mia disipativa de lasestruturas moduladas.Las estruturasonmensuradasylasinonmensuradas noanalítias, bajounampode fuerzasonstante
evo-luionan haia el dominio de validez de la desripión ontinua. El grado de
defetibilidad y metaestabilidad deree progresivamente onforme el ampo
externoseinrementa, hastaqueourrelatransiión de desanlaje.Desde
ese momento es adeuada una desripión ontinua, en laque desapareen la
defetibilidad ylametaestabilidad.
•
Por enimadelatransiión de desanlaje hayunúnioatratordela di-námia disipativa,desritoporuna funiónanalítia unidimensional.Latran-siión de desanlaje es un fenómeno rítio uyo análisis es reduible a una
tran-FiguraC.1:ImagenquerepresentalatransiióndeAubryomoelpunto nalde
unalíneadetransiionesdedesanlajedelasestruturasinonmensuradas.
nal de la línea de transiiones de desanlaje de las estruturas
inonmensu-radas (gura C.1), esta es una perspetiva interesante nueva, no totalmente
desarrollada.
•
La inlusión deun ampo de fuerzas periódioen ladinámiadisipativa de las fases moduladas introdue la ruptura de la invariania ontinua bajotraslaióntemporal,queesentonesreemplazadaporunainvarianiadisreta.
Entones, en ladesripiónde ladinámia delsistemaapareen losoneptos
de movimiento resonante y sinronizaión. En un movimiento resonante
la freuenia asoiada on el desplazamiento de la estrutura modulada está
sinronizada a múltiplos raionales de la freuenia de forzado. Las
estrutu-ras onmensuradas espaialmente moduladas, en elrégimen resonanteposeen
el aráter de atratores estables de la dinámia ya que ualquier pequeña
utuaión espaio-temporal relajaexponenialmente. El aráterdisretodel
grupodesimetríadelonjunto delosestadosestaionariosdaabidaala
exis-tenia de metaestabilidady defetibilidad. La variaióndel valor medio de la
fuerza ambia la veloidad del movimiento y se produe una transiión de
desinronizaiónavaloresno resonantesdelaveloidadoanuevas
resonan-ias. Estamultipliidad de fases resonantes estables de la dinámiapuede ser
FiguraC.2:ImagenquerepresentalatransiióndeAubrydinámiaomoelpunto
naldelíneasdetransiionesdedesinronizaiónenestruturasinonmensuradas.
•
Latransiióndedesinronizaión estáaraterizadaomounatransiión de periodiidad temporal a uasiperiodiidad. Fenomenológiamente, puededesribirse por medio de la generaión de estruturas oherentes, loalizadas
y regularmente distribuidas en el tiempo, que llamamos instantones, y que
produen un inremento de la veloidad de las partíulas. Cada instantón es
portadordeunaargatopológia,uyoorigeneselaráterdisretodelgrupo
de transformaionesde simetríadelestado estaionario resonante.
•
Las estruturas inonmensuradas, era del límiteontinuo (integrable) semuevensinsinronizaión alosvaloresresonantesdelaveloidad,yaqueelatrator mantiene una simetría ontinua. En este régimen analítio, los
esta-dosestaionarios sonindefetibles y no hay lugar parala metaestabilidad. El
atrator de la dinámia está desrito por una funión hull bidimensional
analítia. Eltránsito desdeeste omportamiento analítioalnoanalítio que
arateriza el régimen anti-integrable está marado por una transiión de
Aubry dinámia, por enima de la ual enontramos sinronizaión,
defe-tibilidad ymetaestabilidad. La transiión de Aubry dinámia puede ser vista
omo el punto nal de líneas de transiiones de desinronizaión de las fases
inonmensuradas (guraC.2).
•
Se ha estudiado la posibilidad de la supervivenia de estruturas me-taestables omo estados estaionarios de la dinámia disipativa del modelosupervivenia,dada launiidad delestado estaionarional. Por el ontrario,
uandoelsistemaestáimpulsadoporunampodefuerzasexternasperiódias,
lasinronizaióndelmovimiento onlafreueniade lafuerzaposibilita, bajo
Introduión
1.1. Estruturas espaialmente moduladas
Estruturas espaialmente moduladas han sido observadas
experimental-mente en muhos sistemas físios [1, 2, 3℄. En todos ellos el vetor de onda
que arateriza la modulaión ambia on parámetros externos tales omo la
temperatura, la presión o el ampo magnétio. En oasiones este ambio es
ontinuo, pero a menudo antes de ambiar a otro valor el vetor permanee
onstante, e igual a unnúmero raional, a lolargo de un intervalo de valores
del parámetro externo. A las modulaiones on vetor de onda raional las
llamamosonmensuradasyaaquellasonvetordeonda irraional,
inon-mensuradas.
Elorigenfísiodeesteomportamientotanpeuliareslaompetiiónentre
las distintasinteraiones quedan uenta de laenergía libredel sistema. Uno
de los modelos mejor entendidos entre aquellos que presentan este tipo de
omportamiento es el modelo ANNNI [1, 2℄ (axial next-nearest neighbour
Ising).Suestudiohasidofundamentalparaentenderelomportamiento delas
estruturas espaialmente moduladas. Es unmodeloIsing ferromagnétioon
interaiónantiferromagnétiaasegundosveinossituadosenunadeterminada
direión
z
. La ompetiión entre la interaión a primeros veinos (J
1
>
0
) y la interaión a segundos (J
2
<
0
), que depende de la temperatura, puede estudiarsea travésdel siguientehamiltoniano:H
=
−
1
2
J
0
X
ijj
′
S
i,j
S
i,j
′
−
J
1
X
ij
S
i,j
S
i
+1
,j
−
J
2
X
ij
S
i,j
S
i
+2
,j
,
(1.1)donde
i
señala planos perpendiulares alejez
mientras quej
yj
′
sonespines
veinos próximos.A temperatura ero, sólo son estadosde equilibrio dos
Figura 1.1: Diagrama de fases de ampo medio del modelo ANNNI mostrando las prinipalesfasesonmensuradas[1℄.
κ
=
−
J
2
/J
1
<
1
/
2
,y(. . .
+ +
− −
+ +
− −
. . .
)siκ >
1
/
2
.ConformeT
aumenta eldiagrama defases seabreenuna ora partir delpunto deoexis-tenia defasesatemperaturaero,
κ
= 1
/
2
,or uyospétalosseasoianalas diferentesfases moduladas.La espetaularidad de este diagrama de fases (gura 1.1) es
araterís-tia de los muhos modelos diferentes de la Meánia Estadístia para fases
moduladas. Dada la omplejidad de inluso los más simples de estos
mode-los, una aproximaión tipo Landau al problema puede dar las araterístias
fundamentalesdelomportamiento deequilibrio.SiguiendoaGriths[4 ℄,una
forma sensatade proeder esasumirla evidenia experimental de que la
an-tidadpromedio
M
queestámodulada(lamagnetizaiónenelasodelmodelo ANNNI)esonstantealolargodelosplanosperpendiularesalamodulaión,ysuponeruna energía librefenomenológiade laforma:
F
=
X
j
[Φ
1
(
M
j
) + Φ
2
(
M
j
, M
j
+1
) + Φ
3
(
M
j
, M
j
+1
, M
j
+2
) +
...
]
,
(1.2)donde
Φ
1
,
Φ
2
,et...sonenergíaslibresfenomenológiasquedependendealgún mododeparámetrosintensivosomolatemperatura,lapresiónoalgúnampo.El promedio
M
j
en ada planopuede sertratado omo unavariablelásia y, al estar ya inluidas en este promedio las utuaiones térmias, es posibledeterminar la modulaión en el equilibrio alulando el valor mínimo de
F
sobre todaslasonguraiones posibles{
M
j
}
.En esta aproximaiónvariaional resultaonvenienteaudir a las
en (1.2)
Φ
1
(
u
) = Φ
1
(
u
+ 1)
,Φ
2
(
u
j
, u
j
+1
)
6
= 0
yΦ
j
= 0
paratodoj >
2
,se ob-tiene lalase de modelos Frenkel-Kontorova,quepueden servistosomola opión más senilla entre aquellos uyo omportamiento no es trivial. El
modelo Frenkel-Kontorova estándarorrespondea laeleión
Φ
1
(
u
) =
(2
K
π
)
2
[1
−
cos(2
πu
)]
,
Φ
2
(
u, v
) =
1
2
(
v
−
u
−
µ
)
2
.
(1.3)
Ambasontribuiones a la energía libre ompiten paradeterminar la
mo-dulaión de la estrutura
{
u
j
}
de equilibrio,la soluión de este problema v a-riaional requirióde onsiderablegenialidad [5,6 ℄.En el apítulo2 presentamos un resumen de las propiedadesmás
relevan-tes del problema del estado fundamental del modelo Frenkel-Kontorova. Los
trabajosdeGriths[4℄ySelke[2 ℄sondosexelentestrabajosderevisión
intro-dutoriosaestetema.Losletoresmásambiiosos,enontraranenlasleiones
de Aubry [5℄ una exposiión de las prinipalesideas y resultados. El resumen
de las propiedades de equilibrio del modelo Frenkel-Kontorova, que
presenta-mosen elapítulo2,estáenaminadoa proporionaralosnoespeialistas las
noiones ydeniiones básiasqueserán usadasposteriormenteen los
apítu-los 3 y 4, que abordan la dinámia disipativa del modelo Frenkel-Kontorova
estándar.
1.2. Dinámia de estruturas espaialmente
modula-das
En los últimos años ha reido el interés en el omportamiento dinámio
de lasestruturas espaialmente moduladas uando sonsometidas ala aión
de amposde fuerzas [7℄. Una muestra senilla de este tipo de situaión esel
análisisde PrigodinySamukhin [8℄ delared deAbrikosov devórties en una
pelíulasuperondutoradetipoIIorrugada periódiamenteysometidaaun
ampo magnétio perpendiular. Eneste sistemael periodode la orrugaión
ompite on ladistania natural entre vórties a ese valor del ampo
magné-tio,lo quese tradue en distribuionesmoduladas de los vórties.Al apliar
orrientes externasenladireiónperpendiularalaorrugaión, lafuerzade
Lorentz tiendea desplazarlared deAbrikosovalolargo de ladireiónde la
orrugaión, lo que plantea el problema de la dinámia de la red de vórties
sobreunpotenialsubstratoperiódio.Unanálisissimilarhasidoapliadopor
Burkoval asode superondutores laminares de tipo II[9℄. Enambas
Siemprequepuedaargumentarselairrelevaniadelaineriaenelsistema,
ellímitedisipativodeladinámiaesunaaproximaiónadeuadaalproblema.
Talaproximaiónestájustiadaen muhassituaionesfísias,omoel
trans-porteensistemasonunaondadedensidaddeargaenpreseniadeunampo
elétrio,oladinámiademuhasredesdeunionesJosephson.El restodeeste
apítulo de introduión lo dediaremos a las ondas de densidad de arga ya
que el interés en este fenómeno ha sido el prinipal impulso a los estudios de
ladinámia delmodeloFrenkel-Kontorova, elobjetode estaprimera parte de
la memoria. En la segunda parte de la misma estudiamos algunos aspetos
estátiosydinámios de redes deuniones Josephson.
1.2.1. Ondas de densidad de arga
Enlosúltimos25años,laFísiadelaMateriaCondensadahaprestadogran
atenión al fenómeno delas ondasde densidad de arga en sólidos.Predihas
previamenteporlateoría, las propiedadesde transporte anómalasobservadas
en adenas lineales de iertos ompuestos inorgánios fueron la evidenia
ex-perimentaldeunnuevofenómenodetransporteoletivo,donde elmeanismo
de onduión elétria deriva de las propiedades de un estado fundamental
peuliar,llamado onda dedensidad de arga.
En este apartado no pretendemos realizar una revisión minuiosa de este
importante fenómeno. Las referenias [11, 12, 13 , 14℄ son exelentes trabajos
de reopilaión sobre el tema, a los que el letor interesado se debe dirigir.
Nuestro ánimo es desribir la fenomenología asoiada a la dinámia de las
ondasdedensidaddeargaensólidos,eintroduiralgunosdelosmodelosmás
usados para estudiarla. Algunos de estos modelos están relaionados on la
dinámia disipativa del modelo Frenkel-Kontorova, estudiadaen los apítulos
3 y4de estatesis.
Dinámia de lasondas de densidad de arga
Peierls[15℄ mostróqueunmetalunidimensional aopladoalaredatómia
subyaente esinestable a bajas temperaturas y sufreuna transiión de fase a
unestado noondutor.A ausade lasinteraioneseletrón-fonón,elestado
fundamental está araterizado por una distorsión periódia de la red
aom-pañada de la apertura de un gap en el diagrama de bandas situado al nivel
de Fermi, loque provoa un dereimiento de laenergía de los eletrones del
sistema,dereimiento queompiteon eloste enenergía elástia asoiado a
El estado fundamental también está araterizado por un modo oletivo
formado por pareseletrón-hueo on un vetor de ondas
~q
= 2
~k
F
,ypor unamodulaión de la densidad eletrónia de arga, la onda de densidad de
arga,
ρ
(
~r
) =
ρ
0
+
ρ
1
cos(2
~k
F
~r
+
ϕ
)
,
(1.4) dondeρ
0
es la densidad media de eletrones en el metal,ρ
1
la amplitud de laonda yϕ
(la fase) desribe laloalizaión de esta on respeto a lared. El periodoλ
delamodulaiónestárelaionadoonelvetordeondasdeFermi~k
F
,λ
=
k
π
F
,yenlamayoríadelosasosesinonmensuradoon laredsubyaente.
Más adelante veremos que muhas de las propiedades dinámias del sistema
pueden serdesritas entérminos de lafasede laonda.
Las primeras evidenias experimentales de este fenómeno se enontraron
algunos años después del trabajo de Peierls. Muhos materiales on una
es-trutura de bandas muy anisótropa a bajas temperaturas desarrollan una
onda de densidad de arga. Algunos ejemplos son los ondutores orgánios
TTF-TCNQ, algunos ompuestos semiorgánios (KCP), ompuestos
inorgá-nios on una estrutura laminar (que poseen una onda de densidad de
ar-ga bidimensional) yompuestos inorgánios de adenalineal (
N bSe
3
,T aSe
3
,K
0
,
3
M oO
3
,et...),los másestudiados. Estosmateriales sufren unatransiión de segundo orden de metal a aislante, que está asoiada on la apariión dedistorsiones periódias de la red, las uales son en general inonmensuradas
on laredsubyaente.
A temperaturas inferiores a la transiión de Peierls estos materiales
de-berían ser semiondutores y sus propiedades elétrias estar asoiadas a las
exitaiones atravésdelgapenlaestruturadebandas. Sinembargo,en1954
Fröhlih [16℄apuntó quedebidoalaposibleinvariania traslaionalde los
sis-temas inonmensurados, el estado de la onda de densidad de arga es apaz
de portar una orriente ontinua sin resistenia.El estudiode la dinámiade
los modosoletivosmuestra que en elsistemaexiste unmodo ero
traslaio-nal. Este modo está asoiado on la fasede la onda ylleva una orriente que
resulta delmovimiento traslaional delondensado de eletrones mientras los
iones osilanentornosusposiionesdeequilibrio.Porotroladolarelaiónde
dispersiónparalaamplituddelmodopresentaungap,porloquelamayoríade
lasdesripionesdeladinámiadelmodooletivoestánhehasentérminosde
lafasedelondensado tansólo, omoourre enelasode unsuperondutor.
En la ausenia de amortiguamiento, el ondensado es un ondutor perfeto
y las densidades de orriente
j
CDW
y de portadoresn
c
son funiones de las variaiones dela fase:j
CDW
=
−
e
π
dϕ
dt
;
n
c
=
e
π
dϕ
dx
.
(1.5)Un onepto entralparaomprender ladinámiade laondaen este
mar-o teório eseldel anlaje por impurezas. Todoslos fenómenosde transporte
dependen ruialmente de las interaiones entre el modo oletivo y las
im-purezas ydefetosde lared.Tales interaiones destruyen lainvariania
tras-laional de la onda inonmensurada y onduen a un anlaje de la fase a la
red. Por esto, a valores muy pequeños del ampo los experimentos sobre las
propiedadesondutorasdeunaondadedensidaddearga,norevelanseñales
de movimiento oletivo y tan sólo se enuentra una ontribuión óhmia a
la ondutividad (denida omo el oiente
j/E
, dondej
es la densidad deorriente total y
E
elampo elétrio).Una aproximaiónteóriamuydiferente alas ondasdedensidad dearga,
en la que las impurezas no juegan un papel signiativo, ha sido avanzada
reientemente por Aubry y sus olaboradores [17 ℄. Estos autores, usando las
ideas del límite anti-integrable en hamiltonianos eletrón-fonón llegan a una
araterizaión rigurosa (para valores altos del aoplamiento eletrón-fonón)
de la onda omo una red de bipolarones, uyo anlaje es onseuenia de la
transiióndeAubryenelmodelo.Estaprometedoraperspetivaaúnestá
sien-dodesarrolladay,enpartiular,ladinámiadeondasbipolaróniaspermanee
sinser estudiada.
Lasprimerasobservaionesdedinámiadeondasdedensidaddearga
fue-ron hehasenlos añossetenta [18 , 19 ℄, uando seestudiaronompuestos muy
anisótropos omo
K
0
,
3
M o
0
3
,N bSe
3
yT aS
3
. En estos trabajos se enontróunaondutividad ontinuano linealon unlaro ampo umbral. Por enima
de este ampo umbral la onda de densidad de arga desliza en el ristal y,
además deuna ontribuiónóhmia (debida alos eletrones noondensados),
seenuentra una ontribuión no lineala laondutividad. Esta ontribuión
esmayor quela primerayestá asoiadaa loseletrones ondensados. Los
de-talles sobre la ondutividad no lineal ambian fuertemente omo funión de
latemperatura,lasinhomogeneidades, elnúmeroyextensióndelosentros de
impureza, eltamaño yalidad delamuestra,et...En muhosasos el
desan-lajede laondade densidad deargaesbastanteabruptoyestáaompañado
por un salto y efetos de histéresis, uyo origen es usualmenteatribuido a la
existenia defuertesentros de anlajeen lamuestra [20 ℄.
Uno de loshallazgosmás espetaularesen esteampo fueladeteión de
Fleming y Grimes en 1979 [21 ℄ de osilaiones en las orrientes dentro de la
región no lineal de laondutividad. La freueniafundamental de tales
osi-laionesesproporionalalaorrientellevadaporelmovimientooletivoylas
orrientes pueden ser resueltas en dos omponentes: osilaiones oherentes,
ión,origenyaraterizaióndeambasomponenteshasidoobjetodeespeial
atenión en losestudios de ladinámiade ondasde densidad de arga.
Moneau etal. en 1980 [22 ℄ enontraron fenómenosde interferenia
uan-do a la muestra se leaplia un ampo alterno on una omponente ontinua.
La urva intensidad-ampo muestra peldaños en losquelaorrientemediade
la onda permanee onstante frente a variaiones de la omponente ontinua
delampo.Estefenómenoes elresultado de lasinronizaiónde lafreuenia
interna de la onda
ω
n
, asoiada a las osilaiones de la orriente, on la fre-ueniaω
delampoexterno.Seenuentranpeldañosarmónios(ω
n
/ω
entero) ysubharmónios(ω
n
/ω
fraional).Modelos de la dinámia de las ondas de densidad de arga
Han sidopropuestosmuhosmodelosparaexpliar losdistintosresultados
experimentalessobre eldesanlaje yla dinámia deuna onda de densidad de
arga. Sinembargo, el interés en todosellos trasiende sus apliaiones a los
fenómenos de transporte en ondas de densidad de arga, al onstituirse en
sistemaprototipo paraelestudiode laspropiedades dinámias desistemasde
muhosgrados efetivosde libertad.
Podemosdistinguirentredosaproximaionesdistintas,quedierenanivel
mirosópio:losmodelos lásiosylosmodelos detúnel.Losprimeros tratan
la onda omo un medio elástio moviéndose sobre un potenial de anlaje
debido a las impurezas. Los modelos de túnel tratan al ondutor omo un
sistemauántiomarosópio. La mayoríade losmodelos asumenquelafase
delparámetrodeordeneslaúniavariabledinámiarelevanteyqueelanlaje
surge delaoplamiento diretoentrelas inhomogeneidades ylafase.
El modelofenomenológiomássenillodeladinámiadeunaondade
den-sidaddeargaeselmodelo deunapartíula[23,24℄.Enestemodelolafase
de laonda estratada omo una variable lásia bajo laaión de tres fuerzas
diferentes: a) el ampo externo. b) Fuertes amortiguamientos, que produen
untérminoinerial despreiable.)Elefetodeanlajedeunpotenialdebido
alasimpurezas,queesperiódioyporsenillezseasumesinusoidal.Siguiendo
esta desripión
I
CDW
∝
dϕ
dt
=
E
−
k
sin
ϕ,
(1.6)donde
E
es elampo externo,k
esla intensidaddel potenialde anlaje yel tiempo hasido debidamente esalado.A pesardesusenillez, estemodelodeunúniogradodelibertadesapaz
La existeniade una ondutividadno linealon unampoumbral.
Lapresenia deosilaiones deorriente enrespuestaa unampo
onti-nuo, on unafreuenia queesproporionala laorrientemedia.
Sinronizaióndefaseenlosarmónios,enrespuestaaamposelétrios
alternos.
Junto on estoslogros, elmodelo deuna partíula presenta deienias
uali-tativasen otros aspetos importantes; así,la omprensión de la transiión de
desanlaje olaexpliaiónde laexistenia depeldañossubharmónios
requie-renelestudiode modelos más sostiados.
El modelo de túnel desarrollado por Bardeen [25 , 26 ℄ está basado en la
asunióndequelosresponsablesdeltransportedelondensadosonproesosde
túneltipoZener. El modelohapodidoexpliarmuhosresultados
experimen-tales. Siguiendo esta desripión, ytras algunas suposiiones simpliadoras,
ladinámiadeunaondade densidaddeargaestádesritaporlaeuaión de
movimiento de una partíula sobreamortiguada en un potenial substrato no
sinusoidal
V
(
θ
)
:V
(
θ
)
∝
−
cos
θ
si−
π/
2
< θ
≤
π/
2
(mod2
π
)cos
θ
siπ/
2
< θ
≤
3
π/
2
(mod2
π
).
(1.7)Estemodelodeunaúniaoordenadaparalaondadedensidaddearga
mues-traunbuen auerdoualitativoyuantitativo onlasprinipales
araterísti-asde transportebajo amposontinuos y/oalternos[27 ℄.
El primer modelo mirosópio realista fue propuesto por Fukuyama y
Lee [28 ℄. Estos autores desarrollaron, dentro del maro de una desripión
Ginzburg-Landau, el hamiltoniano de una onda elástia inonmensurada de
densidad dearga(1.4), onuna faselentamente variable
ϕ
(
~r
)
que interaio-na onlas impurezas loalizadas en posiionesaleatoriasR
~
j
delsubstrato.H
=
Z
d~r
K
2
(
∇
ϕ
(
~r
))
2
−
X
j
V
j
δ
(
~r
−
R
~
j
)
ρ
1
cos(2
~k
F
~r
+
ϕ
(
~r
))
.
(1.8)El primer término da la energía elástia asoiada on las distorsiones de la
fase, elsegundo desribelainteraión delaonda dedensidad deargaon el
potenialdeanlaje,
V
(
~r
−
R
~
j
) =
V
j
δ
(
~r
−
R
~
j
)
,debidoaunaimpurezasituada en~
R
j
.los modosoletivos. Losmodelos tambiénasumen queel aoplamiento de la
fase al ampo elétrio es lineal; entones, la euaión dinámia para ésta se
deduede
dϕ
(
~r
)
dt
= Γ
−
δϕ
δH
(
~r
)
+
neE
2
k
F
.
(1.9)Las euaiones (1.8) y (1.9) denen un problema no lineal muy omplejo
y para elual no haysoluión analítia. Su estudio ha sido realizado usando
distintasaproximaiones(teoríasdeperturbaiones[29℄ydeampomedio[30℄)
y simulaiones numérias, que se realizan disretizando la euaión ontinua.
Fisher[31 ℄introdujo lasiguienteversiónestándardedisretizaióndelmodelo
ontinuo lásio:
H
=
1
2
X
[
ij
]
J
ij
(
ϕ
i
−
ϕ
j
)
2
−
X
j
h
j
cos(
ϕ
j
−
β
j
)
,
(1.10)dϕ
j
dt
=
−
δH
δϕ
j
+
F.
(1.11)Aquí
ϕ
j
=
ϕ
(
R
~
j
)
eselvalor delafaseen elsitiode laimpurezaR
~
j
,que trata jar,onfuerzah
j
,lafasealvalorβ
j
.La elastiidadestárepresentada por las interaionesJ
ij
entre fasesen lossitios deimpurezaR
~
i
,R
~
j
.Observamos que el asode sólo un entro de impurezas reprodue elmodelo de una partíula.Losparámetrosquedesribenlasimpurezas,
h
j
yβ
j
,sonvariablesdistribuidas aleatoriamente.Generalmente, se ree que el desorden ongelado (quenhed disorder) es
una araterístia esenial en ladesripión Fukuyama-Lee dela dinámiade
laondadedensidaddearga.Ciertamente,tieneimportantesonseueniasen
algunos aspetos relaionados on la existenia y naturaleza de muhos
esta-dosmetaestables o los efetosde histéresis por debajodel ampo umbral. Sin
embargo, muhasdelaspropiedades delmodelosoniertamentereproduidas
si seasume
h
j
= constante
, yβ
j
=
j
α
2
π
,dondeα
es algún número real. Bajo estasasuniones elmodeloFukuyama-Leeseidentia on elmodelo Frenkel-Kontorovaestándar,desribiendoelparámetro
α
elespaiadopromedio.Aeste respeto, los trabajos pionerosde Sneddon [32, 33 ℄ ontribuyerona fortaleerel modelo Fukuyam-Lee disreto omo el maro teório en el ual los
resul-tados experimentales de la dinámia de ondas de densidad de arga podían
sersatisfatoriamenteentendidos. Deeste modo,elmodeloFrenkel-Kontorova
omenzó a interesara losexpertosen ondasde densidad dearga [34℄.
La araterizaión de la onda de densidad de arga en las eranías del
era del umbral ydesarrolló una teoría de ampo medio,que es válida en el
límite de interaiones de alane innito entre las fases. Los resultados de
Fisher proporionan ierta intuiión sobre la transiión de desanlaje en el
aso de interaiones de orto alane, y son los preedentes diretos de una
serie de trabajos sobre el desanlaje de las estruturas inonmensuradas del
modeloFrenkel-Kontorova [35℄yeldesanlajedelaondadedensidaddearga
on desorden ongelado [36, 37℄.
La mayoría de la atividad teória en la dinámia de la onda a ampos
superiores al umbral está entrada en las simulaiones numérias del modelo
Fukuyama-Leeondesorden.Cuandolaondadedensidaddeargaes
impulsa-daporvoltajesonomponentealternaseobtienensinronizaionesarmónias
y subharmónias de la orriente on la freuenia externa [38 ℄. El trabajo de
revisión de Littlewood [39℄ estudia en profundidad el fenómeno de la
sinro-nizaión en ondas de densidad de arga. También, se han estudiado diversos
autómataselulares [40 ,41℄,quesondiseñadosparaimitarelomportamiento
dinámio delmodeloFukuyama-Lee disretobajo fuerzas periódias.
Más reientemente Middleton [42, 43, 44℄ ha probado algunos resultados
rigurosos,queproporionanunabasermeparaunaomprensiónteória
satis-fatoria de ladinámia disipativa de medioselástios disretos enpoteniales
deanlaje.Enlasseiones3.1y3.2onsideraremosestosresultados
uidado-samente.
Ya hemos señalado quela desripiónFukuyama-Lee de ladinámiade la
onda dedensidad dearga esesenialmente ladinámiadisipativa delmodelo
Frenkel-Kontorovaonelingredienteañadidodelaaleatoriedadenelpotenial
substrato.Aunqueesteingredienteesimportante,losavanesenlateoríadela
dinámiadelaadenaFrenkel-Kontorovahanontribuidodemodosigniativo
a la teoría de la físia de los sistemas on una onda de densidad de arga.
Reíproamente,elinterésenladinámiadeondasdedensidaddeargahasido
siempre el prinipal impulso para los estudios dinámios del modelo F
renkel-Kontorova.
Sinembargo,existenefetosenontradosenondasdedensidaddeargaque
no puedenser entendidosen elmarode estosmodeloslásios. Muestrasque
han sido deliberadamente desordenadas presentan un tipo de fenomenología,
onoida omo swithing,que generalmente se asoiaon lasutuaiones de
laamplitud.Algunos modelos,queonsideranlosgrados delibertaddelafase
ydelaamplitud hanonseguidoreproduirestosefetos[45,46℄. Estos
Propiedades de equilibrio del
modelo Frenkel-Kontorova
2.1. Deniiones y propiedades básias
Una imagen usual delmodelo Frenkel-Kontorova, queproporiona una
in-tuiiónmeánia útil sobre el mismo,eslade una adena linealde partíulas
sometidasalaaióndeunpotenialperiódioyonetadasentresípor
mue-lles (ver gura 2.1). Sea
u
j
la posiión de la partíulaj
,la energía potenial total delsistemaesH
=
X
j
[
V
(
u
j
) +
W
(
u
j
+1
−
u
j
)]
,
(2.1)donde
V
(
u
)
eselpotenialperiódio(V
(
u
+ 1) =
V
(
u
)
)yW
(∆
u
)
elpotenial del muelle, que depende de la distania entre partíulas veinas. El modeloFrenkel-Kontorova estándarestádenidoporlassiguientesfunionespara
los poteniales:
V
(
u
) =
(2
K
π
)
2
[1
−
cos(2
πu
)]
,
W
(
y
) =
1
2
(
y
−
µ
)
2
.
(2.2)
Aquí las unidades de longitud y energía son el periodo del potenial
V
y la onstante elástia del muelle. Esta eleión redue el número de parámetrosrelevantes en el modelo a dos: la intensidad
K
del potenial periódio y la longitud natural del muelle,µ
. El potenial de interaión entre las partíu-las favoree una separaión homogénea entre las mismas. Por el ontrario, eltan-Figura2.1: Laguramuestrauna imagensenilladel modeloFrenkel-Kontorova es-tándar:unonjunto deátomosenuna dimensiónonetadospormuellesysituados enunpotenialsubstratoperiódio.
interaionesprodue lafrustraióndelsistema tambiénsehablade
ompe-tiiónentre esalasdelongitudqueeslaaraterístiaesenialdelmodeloy
setradue enuna fasinanteomplejidad deestruturas espaialmente
modu-ladas.
Aunque existe algúninterés en sistemas nitos [47 ℄, lo normales estudiar
las propiedades del modelo en el límite termodinámio, en el ual el número
de partíulas tiende a
∞
.Denimos una onguraión{
u
j
}
delmodelo por lasuesiónde innitosnúmerosrealesquedanlasposiionesde laspartíulas.Una onguraión de equilibrio es aquella para la que la fuerza total
sobreadauna delaspartíulasesnula.Entalaso,esaonguraión
{
u
j
}
es soluióndel siguiente onjunto de euaiones,∂H
∂u
j
=
V
′
(
u
j
) +
∂
[
W
(
u
j
+1
−
u
j
) +
W
(
u
j
−
u
j
−
1
)]
∂u
j
= 0
(
−∞
< j <
∞
)
.
(2.3)Introduimoslatensión
p
j
delmuelle situadoalaizquierda delapartíulaj
,p
j
=
∂W
(
u
j
−
u
j
−
1
)
∂u
j
.
(2.4)Las euaiones de equilibrio de fuerzas (2.3) quedan entones esritas de la
siguiente manera
p
j
+1
=
p
j
+
V
′
(
u
j
);
(2.5)yen elasode queexista una soluiónúniade
u
j
+1
enla euaiónp
j
+1
=
∂W
(
u
j
+1
−
u
j
)
∂u
j
+1
;
(2.6)seumple quelas euaiones (2.5) y(2.6) denen sinambigüedad una
aplia-iónbidimensional
T
delplanoreal en símismo:Si las funiones
V
yW
tienen derivada ontinua yW
es una funión es-tritamente onvexa, entones laapliaiónT
está bien denida, es ontinua, preserva elárea, tiene inversaT
−
1
ontinua,ysatisfae laondiiónde twist:
∂u
j
+1
∂p
j
u
j
>
0
.
(2.8)Lasapliaiones quepreservaneláreayumplen laondiióndetwist han
sido estudiadas en profundidad [48℄ por ser ejemplos de sistemas dinámios
hamiltonianos que presentan un amplio onjunto de dinámias posibles (del
movimiento regular al aótio), y surgen en una gran variedad de ontextos
físios distintos, desde la físia de aeleradores a la de uidos o la de
proe-sos químios. La teoría de estasapliaiones está biendesarrollada, yaque la
ondiióndetwistpermitelapruebadeimportantesresultadosdeamplia
reper-usión.Elasomejorestudiadoeseldelaapliaiónestándar,queorresponde
alproblema delequilibrio enel modeloFrenkel-Kontorova estándar (2.2):
p
j
+1
=
p
j
+
2
K
π
sin(2
πu
j
)
.
u
j
+1
=
u
j
+
p
j
+
2
K
π
sin(2
πu
j
)
.
(2.9)
Podemos ver que el parámetro
µ
no aparee en (2.9), por lo que, en el modelo de Frenkel-Kontorova estándar, la propiedad deser una onguraiónde equilibrio esindependiente deeste parámetro.
Muhas situaiones en la Físia de la Materia Condensada requieren
mo-delos del tipo (2.1) que no satisfaen todas las ondiiones neesarias para
asegurar la existenia de la apliaión
T
. En partiular, muhos sistemas no umplen laondiiónde laonvexidad delpotenialW
.Estoesespeialmente freuente en sistemas en los que apareen espines. Aunque Sasaki y Griths[49℄ han probado la equivalenia de iertos modelos onvexos y no onvexos,
tal equivalenia no es de aráter general. A partir de ahora asumiremos que
en lossistemas queestudiamoslaapliaión
T
estábiendenida.Partiendodeualquier puntoarbitrario (
u
0
, p
0
)delplanoreal,las iteraio-nes deT
y su inversaT
−
1
produen una órbita de la apliaión. Cualquier
órbita orresponde a una onguraión de equilibrio del modelo (2.1) y,
re-íproamente, ualquier onguraión de equilibrio del modelotiene asoiada
una órbita de laapliaión (2.7).Las onguraiones de equilibrio pueden ser
físiamente estables o inestables. La estabilidad físia de una onguraión
{
u
j
}
implia que ningún desplazamiento pequeño de las partíulas disminuye la energía del sistema, y se determina desarrollando la energía de lasegundoorden enlas desviaiones :
H
(
{
u
j
+
δ
j
}
) =
H
(
{
u
j
}
) +
X
n
∂H
(
{
u
j
}
)
∂u
n
δ
n
+
1
2
X
n
X
m
∂
2
H
(
{
u
j
}
)
∂u
n
∂u
m
δ
n
δ
m
.
(2.10)El segundo término dela dereha se anula, por ser
{
u
j
}
una onguraión de equilibrio.Deestemodo,laonguraión{
u
j
}
esestablesilaformauadrátia denida por lamatriz (deorden innito)M
(
{
u
j
}
) =
{
M
n,m
}
:M
n,m
=
∂
2
H
(
{
u
j
}
)
∂u
n
∂u
m
,
(2.11)espositiva o ero. Losvalorespropios de esta matrizsonlos uadrados de las
freueniasdelasosilaionesdepequeñaamplitudentornoalaonguraión
de equilibrio
{
u
j
}
(asumiendo que las partíulas son de masa uno). Como onseuenia,laestabilidadfísiadelaestruturaesequivalentealaondiiónde que las freuenias de estos fonones sean reales. Es importante indiar el
heho deque enelmodeloFrenkel-Kontorova estándar laestabilidadfísia de
lasonguraiones deequilibrio no dependen delparámetro
µ
.ComofueseñaladoporAubry[5,50℄yCoppersmithyFisher[34℄,lanoión
de estabilidad físia de una onguraión diere de la noión de estabilidad
dinámia de la órbita asoiada a la apliaión
T
. Que la forma uadrátiaM
(
{
u
j
}
)
seaestritamente positivaimplia unexponentedeLyapunov positi-vo para la órbita orrespondiente, y por lo tanto inestabilidad dinámia. Poresto,entretodaslasonguraionesdeequilibrioestables,sóloaquellasonun
modo fonón de freuenia ero podrían orresponder a una órbita estable de
laapliaión.
Esneesarioteneriertouidadoalhablardeenergíadeunaonguraión,
yaque(2.1)ontiene unasumainnita.Sinembargo,nohayningúnproblema
en usar(2.1) paradenirdiferenias deenergía entreonguraiones que sólo
dieren en un número nito de las
u
j
. Aubry [5 ℄ dene una onguraióndemínima energía
{
u
j
}
omoaquellaparalaualualquier desplazamiento arbitrario{
δ
j
}
de un segmento nito de la onguraión produe siempre un ambiode energíano negativo.Estadeniióninluye lapropiedadde quelasonguraiones de mínimaenergía sonestadosdeequilibrio estable.
La energía media por partíula
ǫ
de una onguraión{
u
j
}
estáde-nidapor elsiguientelímite:
ǫ
=
l´ım
(
N
−
M
)
→∞
1
N
−
M
N
−
1
X
j
=
M
[
V
(
u
j
) +
W
(
u
j
+1
−
u
j
)]
(2.12)siempre que este exista para ualquier par
M < N
. Es fáil ver que esto no ourreparatodaslas onguraiones imaginables{
u
j
}
.Sinembargo, las on-guraiones de mínima energía tienen una energía media por partíulaǫ
bienFigura 2.2: Ejemplo de una transformaión
σ
r,m
(onr
= 1
ym
=
−
1
) sobre un estado{
u
j
}
deespaiadopromedioω
= 2
/
3
.{
u
′
j
}
=
{
u
j
+1
−
1
}
.denida. Para evitar posible equívoos, es importante señalar que la energía
porpartíula de unaonguraión demínima energía noesneesariamenteel
mínimo valorposiblede
ǫ
.El espaiado promedio
ω
deuna onguraión,freuentemente llamadowinding number es
ω
=
h
u
j
+1
−
u
j
i
=
l´ım
(
N
−
M
)
→∞
u
N
−
u
M
N
−
M
.
(2.13)Aquí también se aplia la advertenia heha al denir (2.12). Aubry [6℄ ha
probadoqueparalos modelosonvexos ada onguraiónde mínimaenergía
tiene un espaiado promedio bien denido y, a la inversa, para ada número
real
ω
existe al menos una onguraión de mínima energía on espaiadopromedio
ω
. Pueden existir onguraiones de mínima energía diferentes on idéntioespaiadopromedio.Enesteasoéstastambiéntienenunmismovalorde energía por partíula. Diho de otro modo, la energía por partíula de las
onguraionesdemínimaenergía
ǫ
(
ω
)
esunafuniónbiendenidayontinua del espaiado promedio. Esta funión también depende de los valores de losparámetros delmodelo.
Cuandolospoteniales
V
yW
en(2.1)nodependendelíndiedepartíulaj
,sediequeelmodeloeshomogéneo.Entones,unambiodeetiqueta delas partíulas no ambia las propiedadesfísias de laonguraión. Deigualma-nera,laperiodiidadde
V
yelhehodequeW
dependa tansólodedistanias relativas tiene omo onseuenia la invariania del modelo bajo traslaionesenteras.Por esto,si
{
u
j
}
esunaonguraión de mínimaenergía, latransfor-maión
σ
r,m
denidaporσ
r,m
{
u
j
}
=
{
u
j
+
r
+
m
}
=
{
u
′
j
}
(2.14) (r
ym
números enteros arbitrarios) da lugar a otra onguraión de mínima energía (ver gura2.2).Dadas dos onguraiones
{
u
j
}
y{
v
j
}
deimos que una es menor que laotra,{
u
j
}
<
{
v
j
}
, uando paratodoj
,u
j
< v
j
.Una onguraión{
u
j
}
esrotaionalmenteordenada[51℄siparaualquiertransformaióndesimetría
σ
r,m
,laonguraióntransformada{
u
′
j
}
=
σ
r,m
{
u
j
}
esmenorque{
u
j
}
,mayor queella,oambasoiniden.Siω
eselespaiadopromediodeunaonguraión rotaionalmente ordenada{
u
j
}
,entones seumple que:σ
r,m
{
u
j
}
<
{
u
j
}
sirω
+
m <
0
.
σ
r,m
{
u
j
}
>
{
u
j
}
sirω
+
m >
0
.
(2.15)
Haemosnotar queenuna onguraiónarbitraria demínima energía on
es-paiado promedio
ω
, la ondiiónrω
+
m
= 0
no orresponde, en general,a
σ
r,m
{
u
j
}
=
{
u
j
}
. Las onguraiones de mínima energía son siempre ro-taionalmente ordenadas. Estapropiedad tiene importantes onseuenias; enpartiular a partir de (2.15) podemos ver que una onguraión
rotaional-mente ordenada
{
u
j
}
, para ualquier par de enterosj, r
, umple la siguiente desigualdad:|
u
j
+
r
−
u
j
−
rω
|
<
1
,
(2.16)laual ja unaota restritivaa las utuaiones en longitudde una porión
nitade laonguraión.
Una onguraión
{
u
j
}
es periódia si existe una transformaiónσ
r,m
bajo laualesinvariante; así que,para todoj
,u
j
+
r
+
m
=
u
j
.
(2.17)Elespaiadopromediodeunaonguraiónperiódiaeselnúmeroraional
ω
=
−
m
r
.Una onguraión
{
u
j
}
se llamareurrente si existen suesionesde trans-formaionesσ
r,m
,onr
→ ±∞
,talesqueσ
r,m
{
u
j
} → {
u
j
}
en elsentido apro-piado(topologíadébil).Laideaesqueualquiersegmentodeunaonguraiónreurrente reapareeonpreisión arbitraria enotrolugardelaonguraión.
Obviamente, una onguraiónperiódiaesreurrente.
Siguiendo aAubry,un estado fundamental sedene omo una
ongu-raión reurrente de mínima energía. Para ada número real
ω
hay almenos un estado fundamental on espaiado promedioω
y la energía por partíula de este está dada por lafuniónǫ
(
ω
)
denida anteriormente. Freuentemente sehabla delestado fundamental orrespondiente a unosvalores determinadosde los parámetros del modelo (e.g.:
K
yµ
en el modelo estándar). Esto debeentenderseomo laonguraiónestado fundamental queumple
ε
= m´ın
ω
ǫ
(
ω
)
,
(2.18)
paraesosvaloresdelos parámetros.El mínimo
ε
,quedepende de los paráme-tros delmodelo, dene laenergía del estado fundamental yel valor deω
Figura 2.3: Diagrama de fases de los estados fundamentales del modelo Frenkel-Kontorova estándar [4℄. Cada punto
(
K, µ
)
del diagrama está araterizado por el valordelespaiadopromedioω
delestadofundamental.Losnúmerosdelagura in-dianvaloresdeω
.Sólohemosdibujadoalgunasfasesonmensuradassenillas,entre dosualquieradeellasexisteninnitasfasesonmensuradaseinonmensuradas.paraelualsedaesemínimoeselespaiadopromediodelestadofundamental,
que también depende de los parámetros del modelo. La determinaión de la
onguraión estado fundamental a un valor determinado de los parámetros
delmodeloesunproblemaompliado.Elmétodomáseienteparahaerlaes
elmétodode los poteniales efetivos(tambiénllamadominimization
ei-genvalue method),desarrolladopor Griths[52,53 ℄. Estemétodo estábasado
enlaomputaióndeiertasfuniones,lospotenialesefetivos,queontienen
toda la informaión relevante aera de la relajaión de utuaiones loales
de la onguraión estado fundamental. Además del estado fundamental, el
método proporiona las disonmensuraiones elementales (denidas más
ade-lante)ysusenergíasdereaiónydeanlaje,asíomoinformaiónimportante
sobrelastransiionesentrediferentesestadosfundamentales.Laposibilidadde
apliarelmétododelospotenialesefetivosnoserestringeaningúntipo
par-tiulardeinteraiones,porestosehaonvertido enelmétodomásusualpara
alularlosdiagramasdefasedeestadosfundamentalesdelosmodeloslásios
de sistemas on estruturas espaialmente moduladas [54 ℄. Una presentaión
exelente deeste métodoseenuentra en [4 ℄.
La gura 2.3muestra el onoidodiagrama de fasesde los estados
fun-damentales delmodelo Frenkel-Kontorova estándar.Este está onstituido por
a-gura, por laridad, sólo mostramos algunas de las regiones (también
llama-das lenguas de Arnold) del diagrama. Entre ualquiera dos de ellas hay un
número innito de otras fases onmensuradas e inonmensuradas. La gura
2.4muestra elespaiado promedio
ω
delestado fundamental omofunión deµ
uandoK
= 1
. Esta funión es ontinua y posee peldaños paraada valor raionaldeω
,queorresponden alas lenguasde lagura2.3. Estafuniónes llamada Esalera delDiablo,aunque ya laonoíanlos matemátios bajo elnombre de funión de Cantor. Se die que una Esalera del Diablo es
om-pleta uando la suma de las anhuras de los peldaños es la medida total; en
asode queno seaasí laEsaleradel Diabloesinompleta.
Figura2.4:
ω
omofunióndeµ
aK
= 1
[4℄.Esta funión,onoidaomo Esalera delDiablo,esontinuaytieneunesalónaadavalorraionaldeω
.transiiónConmensurada-Inonmensurada 25
2.2. Estados fundamentales onmensurados,
dison-mensuraioneselementalesytransiión
Conmen-surada - Inonmensurada
Los estados fundamentales para los uales el espaiado promedio es un
número raional se llaman onmensurados. Satisfaen la propiedad de que
si
p
yq
son números primos entre sí y tales queω
=
p
q
, entones ualquier estado onmensurado on el mismo espaiado promedio es invariante bajo latransformaión
σ
q,
−
p
:u
j
+
q
−
p
=
u
j
(2.19)paratodo
j
.Enotraspalabras,ualquierestadofundamentalonmensuradoes periódioon periodoelmínimoompatible on elvalordeω
.Lasestruturason el mismo valor de
ω
pero periodiidad mayor no umplen la propiedadde ordenrotaional quetoda onguraiónde mínima energía debe satisfaer
(paraun ejemplo,verlagura2.5); por esto,graiasa (2.19),on onoerlas
posiiones
{
u
j
}
(j
= 1
, . . . q
) deq
partíulas onseutivasde unestadofunda-mentalonmensurado(laelda unidad)seonoelaonguraiónompleta.
Figura2.5:Laonguraión
{
u
j
}
esunestadofundamentalonmensuradodeω
= 2
/
3
. Laexisteniadeunaeldaunidadseapreialaramente.Estaestruturaesinvariante bajo la transformaiónσ
3
,
−
2
:{
u
′
j
}
=
σ
3
,
−
2
{
u
j
}
=
{
u
j
}
.{
v
j
}
esuna onguraión deω
= 2
/
3
on unaelda unidad mayor.Se ve laramenteque{
v
j
}
no satisfaela propiedaddeordenrotaional:{
v
′
j
}
=
σ
3
,
−
2{
v
j
}
onv
3
< v
′
3
perov
4
> v
′
4
.La eldaunidadde unestadofundamentalonmensuradopuede ser
deter-minadaa travésdelaminimizaiónglobal delaenergíadelamisma,queesla
siguiente funión de
q
variables:φ
(
{
u
j
}
q
j
=1
) =
q
X
j
=1
[
V
(
u
j
) +
W
(
u
j
+1
−
u
j
)]
(2.20)donde
u
q
+1
=
u
1
+
p
.En elaso delmodelo Frenkel-Kontorova estándar (onK
6
= 0
)estemínimoesúnio,salvotraslaiones;pero,engeneral,puedenexistir dosomásmínimosglobalesnoequivalentes[55 ℄.Enalgunosasosexepiona-leselonjuntodemínimosglobalesde(2.20)esunontinuo.Unejemplotrivial
de tal situaión es el aso
K
= 0
del modelo estándar donde el fenómeno es elresultadode lainvarianiatraslaional ontinua delaenergía.Sinembargo,ChouyGriths[52℄hanmostradoejemplosnotrivialesenunmodeloenelque
elpotenial
V
(
u
)
esparabólioatrozos,on signosalternosparalaurvatura. Por onsiguiente, elonjuntoG
ω
de estadosfundamentalesonmensuradoson espaiado promedio
ω
puede ser tanto disreto omo ontinuo. En todoaso,siempreestábienordenado;estoes,paradosonguraiones
{
u
j
}
,{
v
j
} ∈
G
ω
,setiene que{
u
j
}
<
{
v
j
}
o{
v
j
}
<
{
u
j
}
.También,G
ω
esinvariante bajoel grupo detransformaiones desimetríaσ
r,m
.Vamosaonsiderarprimeramenteelasoexepionalde
G
ω
ontinuo.Sean{
u
j
}
y{
v
j
}
dos estados fundamentales arbitrarios deG
ω
y asumamos que{
u
j
}
<
{
v
j
}
(la propiedad de orden), entones siempre existe otro estado fundamental{
w
j
}
entreambos,{
u
j
}
<
{
w
j
}
<
{
v
j
}
.Conseuenia deesto es quenoesneesarioaportarenergíaalsistemaparadesplazarlo:laonguraiónde estado fundamental es deslizante. En este aso, la matriz de estabilidad
lineal
M
(
{
u
j
}
)
denidaen (2.11) tiene unvalorpropio nulo.En general,
G
ω
(ω
raional) es unonjunto disreto, por ello tiene sentido hablar de estados fundamentales ontiguos; esto es, on ningún otro estadofundamentalentreellos.Comoonseuenia,paraonseguirundesplazamiento
deunestadofundamentalesneesariosuperarunabarreradeenergía:la
on-guraióndeestadofundamentalestáanlada.Esaenergíaextramínima
E
P N
que debe ser proporionada al estado fundamental para desplazarlo hasta elestadofundamentalontiguoeslabarrera deenergíadePeierls-Nabarro.
En general debería distinguirse entre barreras de energía a izquierdas ya
de-rehas, peroenelmodeloestándar ambasoiniden.
Una magnitud que está fuertemente relaionada on la barrera de energía
de Peierls-Nabarro es la fuerza de desanlaje,
