{ x 1 0 x x 1 0 x + 2 0

Texto completo

(1)
(2)
(3)

3.1. Planteamiento del problema

Figura3.1: Modelizaión delproblema

Tendremosunmodeloquenosdieómoseexpresaunavariablemedianteotra,esdeir,

tendremos unafunión:

x

=

f

(y)

,

y

=

g(x)

,

x

=

h(t)

,

t

=

s(x)

f, g, h, s

: indian quérelaión existe entre elpar de variables.

Eneltemaanterior(suesiones),yaestudiamosómoseomportabauna variable

a

en fun-iónde otra

n

; porejemplo:

an

=

n

+1

n

, n

1

Estaexpresión tambiénpodemos esribirla así:

a(n) =

n

+1

n

, n

= 1,

2,

3, . . .

(

n

esuna variable natural)

La diferenia es que ahora nos interesan las relaiones del tipo

y

=

f

(x)

donde

x

R

. El problema que nos planteamos es el mismo que para las suesiones: desarrollar un

instru-mental matemátio on el que seamos apaes de analizar las propiedades de una funión

ualquiera

y

=

f(x)

.

3.2. Propiedades a estudiar de las funiones

Las propiedades que estudiamos para las suesiones también son interesantes ahora.

Básiamente eran:

(4)

Aotaión

Para una suesión

a

n

ypara unafunión

y

=

f

(x)

. (ver la gura 3.3)

Figura 3.3:Aotaión

Comportamiento uando lavariable independiente tiendea

Para una suesión

a

n

ypara unafunión

y

=

f

(x)

. (ver la gura 3.4)

Figura3.4: Estudio de laasíntota

Peroresultaque ahorahaypropiedades nuevasquetambiénnosinteresan,por ejemplo:

Zona dondeestá denidaada variable

Para las suesiones

xn

, la variable

n

siempre reorre

N

. En ambio, para

y

=

f

(x)

la variable

x

no siempre puede ser ualquier valor de

R

:

f

(x) =

1

x

,

h(x) =

1

(

x

1)(

x

+2)

,

g(x) =

p

(x

1)(x

+ 2)

tiene omo dominio:

f

(x)

:

x

R

|

x

6

= 0

h(x)

:

x

R

|

x

6

= 1,

2

g(x)

:

(x

1)(x+2)

0

x

1

0

x

+ 2

0

x

1

0

x

+ 2

0

(

x

1

x

≥ −

2

x

[1,

)

(

x

1

x

≤ −

2

x

(

−∞

,

2]

(5)

Luego eldominio es:

(

−∞

,

2]

[1,

)

Deniión 3.1 El dominio de

y

=

f

(x)

es el subonjunto de

R

donde la variable

x

dela funióntoma valores.

Deniión 3.2 El rango de

y

=

f

(x)

es el subonjunto de

R

donde se enuentran esos valores de

y

.

Por ejemplo:

y

=

x

2

D

= (

−∞

,

)

R

= [0,

)

Figura3.5: Dominio yrango

D

= (

1,

3]

R

= (1,

9]

(6)

0

Figura3.7: Estudio dellímite

ladereha (

x > x

0

) lavariable

y

sehae arbitrariamente grande.

A medida que que la

x

se aproxima a

x

0

por la dereha (

x > x

0

) la variable

y

se

Figura 3.8:Salto

aera a

c

. Si

x

seaera a

x

0

por laizquierda (

x < x

0

),

y

seaera a

d

.

Enelejemplodelagura3.9,uandolavariable

x

pasapor

x

0

,seprodueunambio

Figura3.9: Cambio detendenia

en elmodo enque lavariable

y

varía (de parabólio a lineal). Otrosparámetros denidos por unafunión

y

=

f

(x)

:

Áreade una regiónplana: (ver lagura 3.10(a))

Longitud deuna urva.Centrode gravedad: (ver lagura 3.10 (b))

Volumen derevoluión. Áreade revoluión: (ver la gura 3.10())

(7)

Figura 3.10: (a): Área; (b): Longitud de una urva; (): Volumen de revoluión; (d): Valor

medio de

y

3.3. El onepto de funión: diferentes representaiones

Figura 3.11:Representaión de funiones

Ejeriio 3.1 Resolvamos el ejeriio 1 dela relaión de problemas:

a) Analítia (ver la gura 3.12):

A(α) =

H

2

sen

α

cos

α

2

=

H

2

4

sen 2α

(8)

Figura 3.12:Ejeriio 1-a

α

h

0,

π

2

i

, A

0,

H

2

4

Gráa (ver la gura 3.13):

Figura 3.13:Ejeriio 1-a

Tabla:

α

A

0

0

π/8

0.

18

H

2

π/4

0.

25

H

2

3π/8

0.

18

H

2

π/2

0

Conjuntode

R

2

:

n

α,

H

4

2

sen 2α

|

α

0,

π

2

o

b) Analítia (ver la gura 3.14):

H(L) =

p

L

2

+ 4

L

[0,

), H

[2,

)

(9)

Figura3.14: Ejerio1-b Figura3.15: Ejeriio1-b Tabla:

L

H

0

2

0.

3

2.

02

0.

7

2.

12

6

6.

32

15

15.

13

30

30.

07

Curioso,amedidaque

L

ree,

H

seaera a

L

.¾Eslógio?.Viendolagráa,

H

=

L

es asíntota,la gráa nos india que

H > L

siempre.

Conjuntode

R

2

:

{

(L,

L

2

+ 4

|

L

[0,

)

}

) Analítia (ver la gura 3.16):

L(H) =

p

H

2

25

H

[5,

), L

[0,

)

(10)

Figura3.16: Ejeriio 1-Figura3.17: Ejeriio 1-Tabla:

H

L

5

0

7.

3

5.

32

12.

1

11.

02

36.

8

36.

46

150

149.

9

Conjuntode

R

2

:

{

(H,

H

2

25)

|

H

5

}

Tambiénobservamos que uando

H

tiendea

,

L(H)

tiendea

H

peroahora

L(H)

<

H

(

L

=

H

es asíntota). d) Datos disponibles: - lineal:

F

=

mC

+

n

- tabla

C

F

0

32

100

210

Luego:

32 =

n

210 = 100m

+ 32

m

= 1.

8

(11)

Dedonde,

F

= 1.

8

C

+ 32

C

(

273,

), F

(

459.

4,

)

273

eslatemperatura del

0

absoluto,losgases ouparíanunvolumen

0

,noalanzable físiamente. En

1995

, dos ientíos amerianos llegaron a enfriar un gas a

10

9

grados Kelvin(el

0

absoluto son

0

grados). Gráa (ver la gura 3.18)

Figura3.18: Ejeriio1-d Conjuntode

R

2

:

{

(C,

1.

8C

+ 32)

|

C

(

273,

)

}

e)

y

= m´

ax

{

x,

1

x

}

Tabla:

x

y

0

ax

{

0,

1

}

= 1

0.

2

ax

{

0.

2,

0.

8

}

= 0.

8

0.

4

ax

{

0.

4,

0.

6

}

= 0.

6

0.

5

ax

{

0.

5,

0.

5

}

= 0.

5

0.

7

ax

{

0.

7,

0.

3

}

= 0.

7

Analítia (ver la gura 3.19):

y

=

x

si

x

1

x

1

x

si

x <

1

x

x

si

x

1/2

1

x

si

x <

1/2

Gráa (ver la gura 3.20):

Conjuntode

R

2

:

{

(x, y)

|

y

=

x

x

1/2, y

= 1

x

x <

1/2

}

f) Analítia (ver la gura 3.21):

A(α) =

α

R

2

(12)

Figura3.19: Ejeriio1-e

Figura3.20: Ejeriio1-e

A

[0, πR

2

], L

[0,

2πR]

Figura3.21: Ejeriio 1-f Tabla:

α

A

L

0

0

0

π/2

πR

2

/4

πR/2

π

πR

2

/2

πR

πR

2

2πR

Gráa (ver la gura 3.22):

Disusión:

A(α)

> L(α)

α

R

2

(13)

Figura3.22: Ejeriio 1-f

A(α) =

L(α)

R

= 2,

ó

α

= 0

R

A(α)

< L(α)

R <

2

¾Cuál es la distaniaentre

A(α)

y

L(α)

? (ver la gura 3.23)

D(R) =

|

A(R)

L(R)

|

=

α

R

2

2

αR

=

αR

R

2

1

=

αR

R

2

1

si

R >

2

0

si

R

= 2

αR

1

R

2

si

R <

2

α

(0,

2π], D(R)

(0,

)

Figura3.23: Ejeriio 1-f 3.4. Funión inversa

Dada una funión

y

=

f

(x)

, a vees interesa obtener

x

=

h(y)

; en este aso

x

pasa a variabledependiente e

y

a variable independiente.

Ejemplo 3.1 En el lanzamiento deuna pelota haia arriba

h(t) =

g

t

2

2

+

v

0

t

t

h

0,

2

v0

g

i

,

h

[0, H]

,

H

=

v

2

0

2

g

(ver la gura 3.24)

Ahora, puede interesarnos obtener, para ada

h

, el instante

t

en el que se alanza la altura

h

(14)

Figura 3.24: Lanzamiento de lapelota

t

=

v

0

±

p

v

2

0

2gh

g

=

(

t

1

t

2

En este aso,

t

sólo es únio si

h

es la altura máxima

H

, y eneste aso

t

=

v

0

/g

. Pero en general, existen dos valores posiblesde

t

(ver la gura 3.25).

Figura3.25: Dominiode

t

yrangode

h

El enuniado general de estasituaión es:

y

=

f

(x), x

D, y

R

x

D

!

y

R

|

f(x) =

y

luego

f

(x)

esfunión, pero:

y

R

| ∃

x

1

, x

2

D

,

x

1

6

=

x

2

|

f

(x

1

) =

f(x

2

) =

y

por loque no existe funión inversa (paraser funión, a ada valor de la variable

indepen-diente debe orresponderun únio valor de la variable dependiente).

Una analogía:

Varios aminos para elegir. Cada uno de ellos lleva deforma únia a un destino. Pero sila

bolaestá enundestino(valorde lavariableindependiente)noséualfuéelamino elegido

para llegar(valor de lavariable dependiente).

Suelto labolaen 1,2,3ó 4 (ver lagura 3.26):

Cadaeleióndepuntoiniial1,2,3,4nosllevadeformaúniaaAoB.Esunafunión:

- Dominio:

1,

2,

3,

4

- Rango:

A, B

Perosisóloonozoelvalorenelrango,nosiemprepuedodeirualfuéelpuntode partida

(ver lagura 3.27):

Este problema (estudiar la proedenia de las bolas,sabiendo que que se enuentra en

(15)

proba-Figura3.26: Caminos de labola

Figura3.27: Caminodeterminado e indeterminado

bilidad). Enlateoría queestamosestudiando(Cálulo innitesimal)seestudiansituaiones

en las que a ada valor de una variable independiente

x

le orresponde un únio valor de una variable dependiente

y

. En elasode quea ada

y

leorresponda un únio

x

, diremos queexiste funióninversa, ysedenota

f

1

(y)

(ver lagura 3.28).

Figura3.28: Funión biyetiva

Ejeriio 3.2 ¾Existirán ondiiones suientes para garantizar la existenia de funión

inversa? (ver la gura 3.29)

Disusión: Dadaunafuniónreiente/dereiente atramos(porejemplolade lapelota

lanzada haiaarriba), ¾ómoonstruir una funiónquesí admita inversa?

Soluión: restringireldominio de

x

(ver lagura 3.30). - Dominio

D

= [a, b]

(16)

Figura 3.29: Creimiento ydereimiento

Figura3.30: Funión original

Ejeriio 3.3 Construir diversas funiones a partir de la anterior, tal que exista inversa

(ver la gura 3.31).

Figura 3.31: Funiones extraídasquetienen inversa

Inversasde algunasfuniones elementales:

1.

y

= e

x

x

= ln

y

,

x

(

−∞

,

+

)

y

(0,

)

(ver lagura 3.32)

2.

y

= sen

x

no existe inversa en D

=

R

, pero sí tomando,por ejemplo,

x

[

π/2, π/2]

(ver la gura 3.33)

y

[

π/2, π/2]

!

x

[

1,

1]

talque

sen

x

=

y

x

= arc sen

y

3.

y

= cos

x,

6 ∃

inversaen

D

=

R

, perosí en

[0, π]

(17)

Figura3.32:

y

= e

x

←→

y

= ln(x)

Figura3.33:

y

= sen

x

←→

y

= arc sen

x

Figura 3.34:

y

= cos

x

←→

y

= arc cos

x

4.

y

= tg

x,

6 ∃

inversaen

D

=

R

, perosí en

(

π

2

,

π

2

)

(18)

Figura3.35:

y

= tg

x

←→

y

= arc tg

x

3.5. Composiión de funiones

Ejemplo 3.2 Supongamos que dejamos aer unapiedra enmediodeunestanqueenalma.

Seformanondasirulares onéntrias.Si elradiodeuna ondaes

r

¾uánto vale suárea?

A(r) =

πr

2

Ahora bien, el valor del radio

r

varía on el tiempo, es deir aparee otra funión (ver la gura 3.36)

r

=

r(t)

Figura3.36: Ondas

¾Cómo podemos esribir el valor del área

A

en funión de

t

?. Supongamos que

r(t) =

0.

6t

, entones

A(r) =

πr

2

r(t) = 0.

6t

A(t) =

π(0.

6t)

2

= 0.

36πt

2

(ver la gura 3.37)

Por tanto, lafunión

A(t)

estádenida en dospasos:

Primeramente tomo un valor de la variable independiente

t

. Se obtiene un valor de la variabledependiente

r

:

r(t) = 0.

6t

.Luego,tomoesevalorde

r

omovariableindependiente,

(19)

Figura3.37: Composiión

Figura3.38: Dos pasos

yaluloelvalor delavariabledependiente

A(r) =

πr

2

(ver lagura 3.38).

Esta deniión de funión

A

en dospasos sellamaomposiión .

r(t) = 0.

6t

y

A(r) =

πr

2

A(r(t)) =

π(0.

6t)

2

Ejemplo 3.3 Giro de la rueda deun automóvil(ver la gura 3.39).

x

=

αR, α

0,

2

,

siendo:

x

0,

3πR

2

Supongamos que el motor proporiona una revoluión por segundo:

α(t) = 2πt

,

t

segun-dos.

Luego

x(t) =

α(t)R

= 2πtR

metros (ver la gura 3.40)

x(α(t)) =

x(t) :

omposiión (ver la gura 3.41)

(20)

Figura3.39: Rueda

Figura3.40: Funión

Figura3.41: Composiión

El motor podría proporionar diferentes veloidades de giro:

α(t) = 2πt

2

,

α(t) = 2π

·

e

t

por ejemplo.

Ejeriio 3.4 Representar enestos asos

x(t)

,determinando el dominio dela variable

t

. Ejemplo 3.4 A vees una omposiión de funiones puede simpliar la expresión de una

funión.

y

=

x

+

3

x

, siendo

x

[1.

3,

2.

6]

eldominio de la funión.

y(1.

3) = 2.

23

e

y(2.

6) = 2.

99

Rango=

[2.

23,

2.

99]

Si tomamos

x

=

z

6

(ver la gura 3.43),

z

3

=

±

x

1

/

2

(21)

Figura3.42: Composiión Figura3.43: Ejemplo 3.4

y(z) =

z

3

+

z

2

=

z

2

(z

+ 1)

6

1.

3 = 1.

04

y

6

2.

6 = 1.

17

z

[1.

04,

1.

17]

Ejeriio 3.5 Haer elejeriio pero tomando

x

1

/

2

=

z

3

. Obtener

y(z)

y

x(z)

3.6. Comportamiento de una funión

y

(

x

)

en las proximidades

de

x

=

a

(límites)

Enelasodelassuesiones,notienesentidoelestudiodelomportamientode

a

n

uando

n

seenuentra próximoa

n

0

:

para

n

N

no existenvaloresnaturales en

(n

1, n)

ni en

(n, n

+ 1)

.

En ambio, silavariableesreal,siempre existenvaloresen

R

arbitrariamente próximos a

x

=

a

.

(22)

Figura3.44:

N

esunonjunto disreto

Figura3.45: Entornodel punto

a

Ejemplo 3.5

y

=

x

2

+ 1

,

D

=

R

,

R

= [1,

)

(ver la gura 3.46) Veamos omo se omporta

y

uando

x

toma valores próximos a

x

= 2

.

Figura3.46:

y

=

x

2

+ 1

x

y

±

1.

9

4.

61

±

1.

99

4.

9601

±

1.

999

4.

9960

A medida que

x

seaeraa

2

,

y

seaera a

5

; peroojo,estees elomportamiento de

y

segúnla

x

seaeraa

2

on esemododeterminadoque hemosestableido.¾Cómo podemos demostrar que independientemente de la forma en que

x

se aerque a

2

, la

y

siempre se aera a

5

?

Idea: modo arbitrario de aeramiento a

2

suesión onvergente a

x

= 2

Por ejemplo,

x

n

= 2 +

1

n

y(x

n

) = 2 +

n

1

2

+ 1 = 5 +

n

4

+

n

1

2

luego,

l´ım

n

→∞

5 +

4

n

+

1

n

2

= 5

Pero lohemos omprobado en UNasopartiular

x

n

= 2 +

1

n

(23)

Sea

{

x

n

}

tal que

l´ım

n

→∞

x

n

= 2

¾Seumplirá laigualdad

l´ım

n

→∞

y(x

n

) = 5?

y(xn) = (xn)

2

+ 1

l´ım

n

→∞

(xn)

2

+ 1

=

l´ım

n

→∞

xn

n

l´ım

→∞

xn

+ l´ım

n

→∞

1

(

)

= 2

·

2 + 1 = 5

(

)

El límite de la suma ydel produto de un número nito de suesiones onvergentes es, respetivamente, la suma y el produto de los límites. El límite de una suesión onstante

eslapropia onstante.

Ejemplo 3.6

y

=

x

2

1

x

1

, D

=

R

− {

1

}

Tomemos la suesión

{

x

n

}

que tiende a

1

. ¾Cuál es el

l´ım

n

→∞

y(x

n

)

?

l´ım

n

→∞

y(xn)

(

)

= l´ım

n

→∞

x

2

n

1

x

n

1

= l´ım

n

→∞

(x

n

+ 1)(x

n

1)

x

n

1

= l´ım

n

→∞

xn

+ 1 = 2

(

)

Ojo,la suesión

{

x

n

}

NO puedealanzar el valor

1

.

Este ejemplonosmuestra queNO todasuesión puede utilizarse.No bastaon que

l´ım

n

→∞

x

n

=

a

también

x

n

debe estar en el dominiode la funión, para quetenga sentido

y(x

n

)

. En elejemplo,

a /

D

por loqueno existe

f

(a)

. Por otraparte:

y

=

x

2

1

x

1

=

(x

+ 1)(x

1)

x

1

=

x

+ 1

¾Quédiferenia hay entre

y

=

x

2

1

x

1

e

y

=

x

+ 1

?(ver lagura 3.47) Sólo podemos simpliarsi

x

6

= 1

:

y

=

x

2

1

x

1

,

D

=

R

− {

1

}

y

=

x

+ 1

(24)

Figura3.47:

y

=

x

+ 1

e

y

=

x

2

1

x

1

Deniión 3.3 Independientemente del modoen que la variable

x

se aproxima al punto

a

(evidentemente,estando dentrodeldominio),lavariable

y

SIEMPREseaproximaal mismo valor, al que llamaremoslímite.

De manera formal:

x

n

|

l´ım

n

→∞

x

n

=

a

x

n

D,

n

l´ım

→∞

y(x

n

) =

l

Resumimos este onepto denotando:

l´ım

x

a

f

(x) =

l

Disusión:¾Cómopodemosdemostrarque,paraiertafunión

y(x)

,noexiste

l´ım

x

a

f

(x)

?

6 ∃

l´ım

n

→→∞

y(x

n

)

⇔ ∃

x

n

, z

n

(x

n

, z

n

D)

|

n

l´ım

→∞

x

n

= l´ım

n

→∞

z

n

=

a

n

l´ım

→∞

y(x

n

)

6

= l´ım

n

→∞

y(z

n

)

Ejemplo 3.7

y(x) =

x

2

+ 1

x <

0

2

x

x >

0

D

=

R

− {

0

}

¾

l´ım

x

0

y(x)

? Por ejemplo,

xn

=

1

n

,

zn

=

n

+1

n

2

+1

l´ım

n

→∞

x

n

= l´ım

n

→∞

z

n

= 0

x

n

6

= 0

6

=

z

n

x

n

, z

n

D

l´ım

n

→∞

y(xn) = l´ım

n

→∞

2

1

n

= 2

l´ım

n

→∞

y(z

n

) = l´ım

n

→∞

2

n

+ 1

n

2

+ 1

= 2

(25)

3.7. CÁLCULODEL LÍMITE DE

R(H)

67 ÉstoNO demuestra ni queexiste límite ni queno existe.

Si tomamos lasuesión:

w

n

=

1

n

<

0

l´ım

n

→∞

y(w

n

) = l´ım

n

→∞

n

1

2

+ 1

!

= l´ım

n

→∞

1

n

2

+ 1

= 1

Así pues, el valor al quetiende

y

depende delamino que usemospara aerarnosa

x

= 0

(ver lagura 3.48)luego NOexiste

l´ımx

0

y

.

Figura3.48: Límite dependiente delamino

Si

x

n

n

→∞

0

,

x

n

>

0

l´ım

n

→∞

y(x

n

) = 2

denotamos,

l´ım

x

0

+

y(xn) = 2

Si

x

n

n

→∞

0

,

x

n

<

0

l´ım

n

→∞

y(x

n

) = 1

denotamos

l´ım

x

0

y(x

n

) = 1

Ejeriio 3.6 Denir formalmente:

l´ım

x

a

+

y,

x

l´ım

a

y

3.7. Cálulo del límite de

R

(

h

)

El heho de que unavariable

y

admita

(l´ım

x

x0

y)

nos proporiona muha informaión aera delomportamiento de

y

en las proximidades de

x

0

. Enseguida loveremos. Pero en este apartadovamos aver ómo unsimple álulode

l´ım

h

0

R(h) =

T

resulta que es la BASE DE TODA la Teoría de Cálulo Innitesimal que sigue. Toda la

teoría sesustentaen elálulodelvalor haiaelqueseaeraiertamagnitud

R

uandola variableindependiente

h

seaproximaa

0

.

La ténia onsiste enlosiguiente:

1. Identiamoslamagnitud

T

quequeremosalular(áreadeunaregiónplana,longitud de unaurva,pendiente deuna reta tangente a unaurva,unvolumen, ...)

(26)

Figura3.49: Magnitudes

2. Construimos unafunión

R(h)

demodoque, uanto máspequeñosea

h

,máspróximo está

R(h)

de

T

.

3.

R(h)

noestarádenidaen

h

= 0

(esdeir

6 ∃

R(0)

)PERO

R(h)

seaeraa

T

amedida que

h

seaera a

0

,es deir:

T

= l´ım

h

0

R(h)

Figura 3.50: Límitepor aproximaión

Veremosmás adelante ómoapliar estaténia en los diferentes asos.Ahora sólo

adelan-taremos unpequeñoesquema de algunos:

3.7.1. Cálulo de la pendiente en un punto

1. Valorque queremosalular:

m

: pendiente delareta tangente aunaurva enunpunto

x

=

a

(ver lagura 3.51). 2. Es fáil alularlapendiente de lareta seante:

f

(

a

+

h

)

f

(

a

)

h

(ver lagura 3.52)

Por tanto,

R(h) =

f

(

a

+

h

)

f

(

a

)

h

nos da una aproximaión a

m

. Cuanto más pequeña sea

h

, mejor eslaaproximaión;

R

no estádenida en

h

= 0

:

R(0) =

f

(a)

f

(a)

0

=

0

0

¾?

(27)

3.7. CÁLCULODEL LÍMITE DE

R(H)

69

Figura3.51: Tangente enun punto

Figura3.52: Pendiente delaseante

Pero quizási exista (ver lagura 3.53):

l´ım

h

0

R(h) =

valor haiaelque tiendenlas pendientes delas seantes

yen eseaso, elvalor busado:

Figura3.53: Límite de laseante

m

= l´ım

h

0

R(h) = l´ım

h

0

f(a

+

h)

f

(a)

h

f(a

+

h)

f

(a)

h

m

pero

l´ım

h

0

f

(a

+

h)

f

(a)

h

=

m

3.7.2. Cálulo del área de un reinto plano

1. Valor que queremos alular

=

A

=

área limitada por la urva

y

=

f

(x)

, el eje

OX

siendo

x

[a, b]

(ver lagura 3.54).

(28)

Figura3.54: Área

2. Construimos lafuniónde aproximaión

R(h)

:

Dividimos

[a, b]

en

4

intervalos iguales (ver lagura 3.55):

h

=

b

a

4

Figura 3.55:Aproximaión alárea

R(h) =

hf

(a)+hf

(a+h)+hf

(a+2h)+hf

(a+3h) =

h(f

(a)+f

(a+h)+f

(a+2h)+f

(a+3h))

Si tomo másintervalos:

h

=

b

a

n

R(h) =

h(f

(a) +

f

(a

+

h) +

. . .

+

f

(a

+ (n

1)h))

R(h)

noestádenidaen

h

= 0

(

6 ∃

h(0)

, porque

h

= 0

b

=

a

).Perosi

f

(x)

reúnelas ondiiones suientes, uanto más próximo esté

h

de

0

, mejor será la aproximaión

A

R(h)

, estoes:

A

= l´ım

h

0

R(h)

3.7.3. Cálulo de la longitud de una urva

1.

L

=

longitud delarode urva

y

=

f

(x)

en

x

[a, b]

(ver lagura 3.56).

2. Dividolaurvaen trozos;lalongitud de ada trozolaaproximomediante lalongitud

delsegmento seante alaurva(ver lasguras 3.57y3.58).

Dedonde:

R(h) =

n

X

k

=1

p

h

2

+ [f

(a

+

kh)

f

(a

+ (k

1)h)]

2

n

=

b

a

h

(29)

3.7. CÁLCULODEL LÍMITE DE

R(H)

71

Figura3.56: Longitud deuna urva

Figura3.57: Aproximaiónde lalongitud

Figura3.58: Elemento diferenialde longitud

3.

R(h)

no está denido en

h

= 0

, pero si se dan las ondiiones suientes, a medida que

h

0

laaproximaión

R(h)

L

esmejor. Finalmente:

L

= l´ım

h

0

R(h)

Estos ejemplos de apliaión nos sugierenalgunos problemas.

T

=valor exato;

R(h)

= aproximaiónde

T

:

Hemoshablado de que si

f

(x)

reune las ondiiones suientes,

l´ım

h

0

R(h) =

T

. ¾Cuálessonesas ondiiones?

La expresión de

R(h)

esompliada en muhosasos. * 3.7.1: Si

f

(x) =

x

+ 1

x

cos

x

R(h) =

a

+

h

+1

(

a

+

h

) cos(

a

+

h

)

a

+1

a

cos

a

h

h

l´ım

0

R(h) = ??

* 3.7.2 y3.7.3:

Observa queelnúmero desumandos tiendea

uando

h

0

:

h

=

b

a

n

(30)

debereunir

f

(x)

para que

l´ım

h

0

R(h) =

T

.

Por ejemplo, en elaso3.7.2 (Área), podemosasegurar que

l´ım

h

0

R(h) =

A

si

f

(x)

umple losiguiente: -

f

(x)

estádenida en

[a, b]

. -

f

(x)

esontinua en

[a, b]

.

Enuantoa lagran omplejidaddelálulodiretode

l´ım

h

0

R(h)

, tambiéntenemos elorrespondienteteoremaqueproporionaunatajodemodoquenohayaqueseguir

todoeseompliadoproesodeobteniónde

R(h)

yelálulodiretode

l´ım

h

0

R(h)

. Raravez tendremosquealular

R(h)

y

l´ım

h

0

R(h)

,todoslosparámetros importan-tes (pendiente, longitud, área, momento de ineria, ...) pueden obtenerse empleando

elatajo orrespondiente.

Paraelproblema3.7.1,elatajoeslafuniónderivada

f

(x)

.Paralosproblemas3.7.2

y 3.7.3 el atajo es la integraión. Iremos estudiando los proedimientos de álulo

Figura 3.59:Esquema

diretomásimportantes.Veamos ahoraunejemploquenosindialaomplejidadque

puede tenerel obtener

R(h)

yalular

l´ım

h

0

R(h) =

T

: Ejemplo:Área deun triángulo (ver lagura 3.60)

h

=

b

0

n

=

b

(31)

3.8. CARACTERIZACIÓN

ǫ

δ

DE LAEXISTENCIA DE LÍMITE 73

Figura3.60: Áreadeltriángulo

R(h) =

h(y(0) +

y(h) +

y(2h) +

· · ·

+

y((n

1)h)) =

=

h

a

+

a

1

h

b

+

a

1

2h

b

+

· · ·

+

a

1

(n

1)h

b

=

=

ah

1 +

1

h

b

+

1

2h

b

+

· · ·

+

1

(n

1)h

b

=

=

ah

n

h

b

(1 + 2 +

· · ·

+ (n

1))

=

ah

n

h

b

n(n

1)

2

=

=

ah

b

h

h

b

b

h

h

b

1

2

!

=

ab

2

+

a

2

h

A

= l´ım

h

0

ab

2

+

a

2

h

=

ab

2

(ver la gura 3.61)

Figura3.61: Límite delárea aproximada

Nota:

1 + 2 + 3 +

· · ·

+ (n

1) =

n

(

n

2

1)

¾por qué?,

1

+

2

+

3

+

· · ·

+ (n

1)

(n

1) + (n

2) + (n

3) +

· · ·

+ 1

n

+

n

+

n

+

· · ·

+

n

1 + 2 + 3 +

· · ·

+ (n

1) =

n(n

1)

2

3.8. Caraterizaión

ǫ

δ

de la existenia de límite

Ejemplo 3.1 Supongamos que tenemosuna máquinaalimentadaporuna tensión

V

, a tra-vés de la ual irula ierta intensidad

I

. Regulando el valor de

V

tendremos diferentes valores de

I

, es deir

I

=

I

(V

)

.

(32)

Figura3.62: Gráo I-V

Nuestro problema es que una utuaión de

V

onlleva una utuaión de

I

, y eso es perjudiial para nuestro equipo.Por ejemplo, supongamos que

I

(350) = 12

A

esla intensi-dad ideal. Pero, en realidad

I

(12

ǫ,

12 +

ǫ)

donde

ǫ >

0

esun valor que depende de

δ

. Supongamosquenuestramáquinasólopuedefunionarbiensi

I

seenuentraenelintervalo:

12

±

10 % = (12

1.

2,

12 + 1.

2) = (10.

8,

13.

2) (ǫ

= 1.

2)

Entones, ¾quéosilaiónde

V

podemosadmitir de modo que

I

esté en

(10.

8,

13.

2)

? Es deir, da una osilaión

ǫ

alrededor de

I

= 12

¾podemos enontrar una osilaión

δ

alrededor de

V

= 350

tal que si

V

(350

δ,

350 +

δ)

entones

I

(12

ǫ,

12 +

ǫ)

?. Para un

ǫ >

0

dado,¾existiráel

δ

?, ¾siempre?,¾uándo podemos estar seguros?

En lagráadelejemplo(ver lagura 3.63),paree quesíes posible:

Figura3.63: Tolerania 10%

Si lamáquinaadmiteunaosilaiónen

I

de

ǫ

= 1.

2 (I

(12

1.

2,

12 + 1.

2))

, entones puedo determinar gráamente, midiendo on preisión, un valor

δ

tal que si

V

(350

δ,

350 +

δ)

entones

I

(12

1.

2,

12 + 1.

2)

. Nos vale ese

δ

ó CUALQUIERA MENOR, evidentemente.

¾Yqué ourre silatolerania esmenor, por ejemplodel5%? (ver lagura 3.64)

(33)

3.8. CARACTERIZACIÓN

ǫ

δ

DE LAEXISTENCIA DE LÍMITE 75

Figura3.64: Tolerania 5%

El valor anterior de

δ

posiblemente esdemasiado grande, pero existeun nuevo

δ

quesí

nosvale:

v

(350

δ,

350 +

δ)

|

I /

(11.

4,

12.

6)

peroenuentroun nuevo

δ

apropiado:

δ

>

0

|

v

(350

δ

,

350 +

δ

)

I

(11.

4,

12.

6)

Podemos pensar en otras situaiones prátias on el mismo problema (ver la gura

3.65):

-

T

=temperatura enuna aldera, regulable. -

P

=presión, funiónde

T

,

P

=

P

(T

)

. - Presiónde trabajo =

40

kg/cm

2

, T

= 150

C

.

Figura3.65: Gráa P-T

Si

P

puede variardentrodeunintervalo

(40

ǫ,

40+

ǫ)

,¾podemosenontrarunintervalo de

T

(150

δ,

150 +

δ)

tal que

T

(150

δ,

150 +

δ)

P

(40

ǫ,

40 +

ǫ)?

Ejeriio 3.7 Enontrar otras situaionessimilaresen lasque se déeste mismoproblema.

Ejeriio 3.8 Analizarestaotrasituaión(verlagura 3.66),esdeir,dado

ǫ >

0

estudiar sies posible enontrar el

δ

:

l´ım

(34)

Figura3.66: Límite lateralesdistintos

En este aso no existe esa orrespondenia entre

ǫ

y

δ

: Somos apaes de enontrar un valor pequeño de

ǫ >

0

tal que todo intervalo

(a

δ, a

+

δ)

tiene puntos

x

uya imagen:

f

(x)

/

(l

1

ǫ, l

1

+

ǫ)

ó

f

(x)

/

(l

2

ǫ, l

2

+

ǫ)

. Demanera formal:

ǫ >

0

| ∀

δ >

0

x

(a

δ, a

+

δ)

|

f(x)

/

(l

1

ǫ, l

1

+

ǫ)

ó

f

(x)

/

(l

2

ǫ, l

2

+

ǫ)

Unaonjetura:pareequeexiste unarelaiónentrelaexisteniade límiteylaexistenia de

δ >

0

para ada

ǫ >

0

.

Teorema 3.1 Ambas propiedades son exatamente lo mismo.Es deir:

ǫ >

0

δ >

0

|

x

(a

δ, a

+

δ), x

6

=

a

f

(x)

(l

ǫ, l

+

ǫ)

es equivalente a:

l´ım

x

a

f

(x) =

l

No hayningunadiferenia entreambaspropiedades. Si existeesaorrespondenia

ǫ

δ

, entonesestamossegurosdeque

f

(x)

admiteellímite.Yvieversa,siexistelímite,sepuede asegurarqueexiste laorrespondenia

ǫ

δ

.

Volviendo a los dos ejemplos anteriores, vemos que (ver la gura 3.67) en los dos está

garantizadoquepara un

ǫ >

0

ualquiera

δ >

0

|

x

(a

δ, a

+

δ)

f

(x)

(l

ǫ, l

+

ǫ)

.

(35)

3.8. CARACTERIZACIÓN

ǫ

δ

DE LAEXISTENCIA DE LÍMITE 77 Demostraión del teorema 3.1

Hayque entender que:

1. La demostraión debe haerse para una funión ualquiera. Si tomamos asos

par-tiulares omo

y

=

x

2

o

y

= e

x

, no estaremos demostrando nada, sólo estaremos

ilustrandoon ejemplos.

2. Como setrata deuna equivalenia,hay quedemostrar dosimpliaiones::

l´ım

x

a

f

(x) =

l

equivalenia

ondiión

ǫ

δ

Signia quedebo demostrar:

) l´ım

x

a

f

(x) =

l

ondiión

ǫ

δ

)

ondiión

ǫ

δ

l´ım

x

a

f

(x) =

l

Demostraión de

por reduión alabsurdo: Supongamosque

l´ım

x

a

f

(x) =

l

peroque noseumple laondiión

ǫ

δ

:

ǫ >

0

| ∀

δ >

0,

x

(a

δ, a

+

δ)

|

f

(x)

/

(l

ǫ, l

+

ǫ)

La estrategiaonsiste enfabriar unasuesión

x

n

talque:

l´ım

n

→∞

x

n

=

a

pero

l´ım

n

→∞

f(x

n

)

6

=

l

loualesun absurdo yaque existelímite.

Tomo

δ

= 1

⇒ ∃

x

1

(a

δ, a

+

δ)

|

f

(x

1

)

/

(l

ǫ, l

+

ǫ)

Tomo

δ

= 1/2

⇒ ∃

x

2

(a

δ, a

+

δ)

|

f

(x

2

)

/

(l

ǫ, l

+

ǫ)

En general:

δ

=

1

n

⇒ ∃

x

n

(a

1

n

, a

+

1

n

)

|

f

(x

n

)

/

(l

ǫ, l

+

ǫ)

Por tanto:

l´ım

n

→∞

x

n

=

a

Figura3.68: La suesión

{

x

n

}

tiene límite

(36)

Figura3.69: Suesión

{

f

(x

n

)

}

por tanto

l´ım

n

→∞

xn

6

=

l.

Absurdo

Demostraión de

por reduión alabsurdo: Supongamosque:

ǫ >

0,

δ >

0

|

x

(a

δ, a

+

δ)

x

6

=

a, f

(x)

(l

ǫ, l

+

ǫ)

peroque

l´ım

x

a

f

(x)

6

=

l

.Esta ondiiónimplia que:

∃{

x

n

} |

l´ım

n

→∞

x

n

=

a

pero

l´ım

n

→∞

f

(x

n

)

6

=

l

(3.1) Si

l´ım

n

→∞

f

(x

n

)

6

=

l

signia que:

ǫ >

0

| ∀

k

N

n > k

|

f

(xn)

/

(l

ǫ, l

+

ǫ)

Por la ondiión

ǫ

δ

, para ESE

ǫ >

0

:

δ >

0

| ∀

x

(a

δ, a

+

δ), x

6

=

a, f(x)

(l

ǫ, l

+

ǫ)

(3.2) Como

l´ım

n

→∞

x

n

=

a

, para ESE

δ

n

0

N

| ∀

n

n

0

, x

n

(a

δ, a

+

δ)

(3.2)

f

(x

n

)

(l

ǫ, l

+

ǫ)

loualontradie laondiión(3.1).Absurdo

3.9. Uniidad del límite

Ejeriio 3.9 Demostrar que el límite de una funión en un punto, si existe, es únio

(emplear un proedimiento similar al que empleamos para demostrar la uniidad del límite

de suesiones).

3.10. Propiedades del límite

Ejeriio 3.10 Enuniarlaspropiedadesdeexisteniadellímitedeunasuma/produto/oiente

(37)

3.11. Límite innito

Si una funión admite límite en

x

=

a

, eso nos india un omportamiento aotado, es deir,puedoenontrar unpequeñointervalo

(a

δ, a

+

δ)

detalmodoque

f

(x)

siempreae dentrode otrointervalo

(l

ǫ, l

+

ǫ)

.

Yahemosvistoalgunassituaionesenlasqueaotar

f

(x)

eraimportante porquesi

f

(x)

tomaba valores demasiadograndes,resultaba un perjuiio.

Aunqueno existael límite en

x

=

a

, avees lafunión

f

(x)

está aotada. Por ejemplo(ver lagura 3.70):

l´ım

x

a

x

y

6

= l´ım

x

a

y

⇒6 ∃

l´ım

x

a

y

Pero:

δ >

0

| ∀

x

(a

δ, a

+

δ)

f

(x)

[m, M

]

f

(x)

aotadaen

(a

δ, a

+

δ)

Figura3.70: Funión aotada

Sinembargo,sinoexiste

l´ımx

a

y

,nosiemprepodemosaotar

y

.Observemoselsiguiente ejemplo(ver lagura 3.71):

Figura3.71: Funión noaotada por laizquierda

En este aso,

l´ım

x

a

+

y

=

l

.

Podemos enontrarunintervalo

(a, a

+

δ)

donde

y

estáaotado aDERECHA.Sin embargo elomportamientode

y

porlaizquierdade

a

esmuydiferente.Elvalorde

y

superaualquier teho

M

que pongamos, bastaaerarse suientemente alpunto

x

=

a

por laizquierda.

(38)

M

R

δ >

0

| ∀

x

(a, a

+

δ)

f

(x)

> M

Abreviadamente:

l´ım

x

a

+

f

(x) =

Del mismomodo sepueden denir losotros asos.Por ejemplo:

l´ım

x

a

y

=

−∞

:

M

R

δ >

0

|

x

(a

δ, a)

f

(x)

< M

Por muybajoque oloqueelsuelo

M

, elvalorde

y

quedaaún másbajo que

M

, sinmás

Figura3.72: Asíntotavertial

queaerarnos lobastante alpunto

x

=

a

por laizquierda (ver lagura 3.72). En ambosasos, diremosque

y

presenta una asíntota vertial

x

=

a

.

Por ejemplo,

y

=

1

1

x

en

a

= 1

l´ım

x

1

+

y

=

−∞

(

para

1

x <

0)

l´ım

x

1

y

= +

(

para

1

x >

0)

Además,

l´ım

x

→±∞

y

= 0

asíntota horizontal

y

= 0

(ver lagura 3.73). ¾Cuánto debemos aerarnos alpunto

x

= 1

para que

y > M

= 1000

?

1

1

x

>

1000

1

x <

1

1000

= 10

3

x >

1

10

3

Entones:

x

(1

10

3

,

1)

y >

1000 =

M

(39)

¾Cuánto debemos aerarnospor ladereha de

a

= 1

para que

y < M

, siendo

M

<

0

una otaja ualquiera?

1

1

x

< M

1

x >

1

M

x <

1

1

M

Por ejemplo:

M

=

5000

x

1,

1 +

1

5000

= (1,

1 + 2

·

10

4

)

y <

5000 =

M

3.12. Continuidad

3.12.1. Conepto de funión ontinua

En Cálulo, eltérmino ontinuo tiene un signiado idéntio aldel lenguaje otidiano.

Deir que una magnitud

y

varía de forma ontinua respeto a otra magnitud

x

en ierto punto

x

=

a

, esdeir que:

La gráa de

y(x)

no tiene hueos ni saltos ni interrupiones en las eranías de

x

=

a

.

Muhos proesos naturales están gobernados por funiones ontinuas. Por ejemplo la

funiónde lagura 3.74

Puede representar:

x

=

tiempo

y

=

veloidad deun sólidoalque seaplia unafuerza.

Observando la gráa, en el instante

x

0

hemos dejado de apliar la fuerza y por eso su veloidad va disminuyendo (supongamos que existe rozamiento). Sin embargo la

variaiónde

y

esontinua, lagráa notiene saltos.

x

=

tiempo

(40)

x_0

x

x

f(x_0)

Figura 3.74:¾Veloidad?, ¾presión?,¾túque opinas?

y

=

presiónen elinteriorde una aldera

Observando la gráa, en el instante

x

0

hemos abierto una válvula y la presión

y

disminuye, pero tambiénde forma ontinua.

Sinembargo,tambiénhaysituaionesenlasquelavariable

y

sufreunsalto óruptura uando lavariable

x

pasapor unpunto

x

=

a

.

Como suedeen dosurvastípias(diente desierrayuadrada) (ver lagura 3.75)que

pueden sertensión (en mV)queapliamos a uniruito en ada instante

t

.

1

2

t (m s)

1

2

t (m s)

Figura3.75: Diente de sierrayonda uadrada

O en este otro de la gura 3.76: lo que suedía en el oste de una llamada telefónia:

(41)

minuto, eloste

y

de lallamadase inrementa de formalineal on

x

. Existeun salto desde

x

= 1

hasta

x

= 1

+

.

1

2

x(min)

y(e)

0

0,5

1

3

Figura3.76: Funión on salto

Casos de disontinuidad

Haytres irunstanias en lasque unavariable

y

no esontinua en unpunto

x

=

c

: No existe

f

(c)

. La variable

f(x)

no está denida uando

x

=

c

, aunque sí existe

l´ım

x

c

f(x) =

l

(ver lagura 3.77).

c

l

Figura3.77: No existe

f

(c)

Existe

f(c)

perono existe

l´ım

x

c

f

(x)

(ver lagura 3.78).

Existe

f(c)

. Existe

l´ımx

c

f

(x) =

l

pero

l

6

=

f

(c)

(ver la gura 3.79). Así pues,

(42)

c

Figura3.78: No existe límite

c

y(c)

l

Figura3.79: El límite no oinideon

f

(c)

Deniión 3.4 Una funión

f

(x)

es ontinua en el punto

x

=

c

si se umplen las ondi-iones siguientes:

1. Existe

f

(c)

,

2. Existe

l´ım

x

c

f

(x) =

l

, 3.

l´ımx

c

f(x) =

l

=

f

(c)

.

Ejemplo 3.8 Seala funión

f(x) =

x

2

1

x

1

denidaen

D

=

R

−{

1

}

.Esontinuaen

D

.(Ver la gura 3.80).

f

(x) =

(x

1)(x

+ 1)

(43)

seumple paratodo

x

D

.

f

(1)

noestádenido,pero

l´ım

x

1

f

(x) = 2

.Podríamosevitar esta disontinuidad, (ver la gura 3.81) redeniendo la funión

y

delsiguiente modo:

f

(x) =

x

+ 1

si

x

6

= 1

2

si

x

= 1

1

2

Figura3.80: Disontinuidad evitable

1

2

Figura3.81: Disontinuidad evitada

¾Por quérees queuna disontinuidadasí suele llamarsedetipo evitable?.

Ejemplo 3.9 Estudiar la ontinuidad dela funión

f

(x)

en elpunto

x

= 2

.

f

(x) =

x

2

1

si

x <

2

ax

+

b

si

x

2

(44)

2

3

Figura3.82:

2a

+

b

6

= 3

l´ım

x

2

+

f

(x) = 2a

+

b;

l´ım

x

2

f

(x) = 3;

f

(2) = 3

(ver lagura 3.82). La funión esontinua enelpunto

x

= 2

⇐⇒

2a

+

b

= 3

.

No existen valores únios de

a

y

b

; ualquier par de valores que umplan

2a

+

b

= 3

haen ontinua a

y(x)

.

Esta familia defunionesontinuas puede expresarseasí (ver lagura 3.83):

f

(x) =

x

2

1

si

x <

2

ax

+ 3

2a

si

x

2

a

R

3

2

Figura3.83:

2a

+

b

= 3

(45)

3.12.2. Deniión de ontinuidad

Todo loquehemos estudiadopara límitesesválidopara laontinuidad. La ontinuidad

sólo impone una exigenia adiional:

l´ım

x

c

f

(x) =

f(c)

Deeste modo,mediante suesiones esribiremosasí laondiióndeontinuidad:

Deniión 3.5

f

(x)

es ontinua en elpunto

x

=

c

(ver la gura 3.84)si:

∀{

x

n

} |

x

n

D

y

l´ım

n

→∞

x

n

=

c

=

x

n

l´ım

→∞

f

(x

n

) =

f

(c)

c

xn

f(c)

f(xn)

Figura3.84: Si

{

xn

} →

c

⇒ {

f

(xn)

} →

f

(c)

ymediante laondiión

ǫ

δ

:

Deniión 3.6

f

(x)

es ontinua en

x

=

c

(ver la gura 3.85)si:

ǫ >

0

δ >

0

|

x

(c

δ, c

+

δ) =

f(x)

(f

(c)

ǫ, f

(c) +

ǫ)

3.12.3. Continuidad en intervalos errados

Supongamos que

f

(x)

esunafunióndenidaen eldominio

D

= [a, b]

. Si

c

esunpunto interiora

D

,esdeir,si

c

(a, b)

(verlagura3.86),entones

f

(x)

estádenidaaladereha ya laizquierda de

c

, ypor tanto tiene sentidohablar de límite en

x

=

c

:

Ahora bien, ¾y si

c

=

a

ó

c

=

b

?. No tiene sentido hablar de

l´ım

x

a

f

(x)

ni de

l´ım

x

b

+

f

(x)

(ver lagura 3.87).

Entones,¾uándo diremos que

f

(x)

esontinuaen

[a, b]

?

Deniión 3.7

f

(x)

es ontinua en

[a, b]

silo es en

(a, b)

y además se umple que

l´ım

x

a

+

f

(x) =

f(a)

y

l´ım

x

(46)

c-

c-

f(c)-f(c)+

f(c)

c

Figura 3.85:Dado

ǫ >

0

, enontramos

δ >

0

a

c

b

Figura3.86: Punto

c

interior a[a,b℄

a

b

f(a)

f(b)

f(b+) no existe

f(a-) no existe

Figura3.87: Intervaloerrado

Pero,¾por quéhabríadeinteresarnosestudiarlaontinuidadenundominiodelaforma

D

= [a, b]

?. Hay otros tipos de dominio omo

D

= (a, b)

;

D

= (a,

)

;

D

= (a, b]

. ¾Por quéundominio delaforma

[a, b]

resultatan interesante?.Puesporque uandouna funión ontinua se asoia a un intervalo errado y aotado

[a, b]

, ½½ apareen nuevas propiedades

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