TEMA 9. LÍMITES DE FUNCIONES

(1)

TEMA 9. LÍMITES DE FUNCIONES

Concepto intuitivo de límitede una función en un punto.

lim f(x)

c

x se lee límite cuando x tiende a “c” de f(x). lim f(x)

c

x significa que cuando x toma valores cada vez más próximos a c

entonces los valores de la función f(x) se van aproximando al valor de L.

lim f(x)

c

x es el límite cuando x tiende a “c” por la derecha, es decir, se le dan a x

valores muy próximos a c, pero mayores que c

lim f(x)

c

x es el límite cuando x tiende a “c” por la izquierda, es decir, es dar a x

valores muy próximos a c, pero menores que c.

1. Para la función cuya gráfica es la siguiente, calcula:

 

   f x x 3 lim _

 

  f x x 3 lim

 

   f x xlim2 xlim2 f

 

x 

 

   f x x lim

 

   f x xlim

(2)

a) El límite de una función en un punto, si existe, es único.

b) Para que exista el límite de una función en un punto han de existir los límites laterales y ser iguales.

c)

 

x c c x  lim d)

 

k k c x  lim

3. a) Para las funciones cuyas gráficas están en el ejercicio nº 5 de la página 295 de tu libro de texto calcula los límites cuando x tiende a 0+, 0-,1+, 1-,2+ y 2-.

b) Calcula los límites cuando x tiende a -2+ y -2- para las funciones cuyas gráficas están en el ejercicio nº 8 de la página 296 de tu libro de texto.

c) Haz el ejercicio nº 9 de la página 296 de tu libro de texto.

Operaciones con límites 1.







  ( ) ( ) lim f x g x c x limxc f(x)+ limxcg(x) 6.       ₍ ₎ ) ( lim x g x f c x = ) ( lim f x c x ) ( limg x c x 2.







  ( ) lim f x c

x - limxc



f(x)



7. limxc



k·f(x)



 k·limxc



f(x)



3.







  ( ) ( ) lim f x g x c x limxc f(x)- limxcg(x) 8.





n c x f(x) lim  = limxc f(x) 4.





  ( )· ( ) lim f x g x c x limxc f(x)· limxcg(x) 9.





n c x f(x) lim  = limxc f(x) 5. _       ₍ ₎ 1 lim x f c x = _lim _f₍_x₎ c x 10.



( )



) ( lim g x c x f x = limxc f(x) c x lim

De todo lo anterior se deduce que si f(x) es una función polinómica, f(x) = P(x), entonces:

 

( ) limP x P c

c x 

4. Calcula los siguientes límites:



2 3 5



lim 2 2    x x x        _x x 3 2 lim 0



e x



x x 3 lim 1 2   



2



3 2 limx x

x  limx



2cosx3



xlim33



3x3



         ₄ 3 lim 1 _x x x



x



x xlim0,2581 4 ₂ 2 2 lim 3 2    _x x x

(3)

Límites en el infinito

· significa que cuando x toma valores "muy grandes" entonces f(x) se

aproxima al valor de L.

· Si f(x) es una función polinómica,

entonces:   xlim( = __ xlim( = 5. Calcula: lim



3 3 2 2 3 5



  x x x x lim



3 2 3 5



2 3_ _ _   x x x x



2 3 5



lim 2     x x x lim



2 3 5



2 _ _   x x x



3



2 3 lim x x x          x x x ₃ lim 2 Indeterminaciones

Si aplicando las propiedades de los límites obtenemos alguna de las expresiones

se dice que tenemos una indeterminación, es decir, no podemos obtener directamente el valor del límite. Para hallarlo tenemos que transformar la expresión de la función en otra equivalente más sencilla y calcular su límite.

Suma de límites Producto de límites: Cociente de límites:

 ( ) lim f x

c

x limxcg(x) limxcf(x)g(x) limxcf(x) xlimcg(x) limxcf(x)·g(x) limxcf(x) limxcg(x) _

     ₍₎ ) ( lim x g x f c x L M L+M L M L·M L M L/M L a>0 L 0 L a>0 L 0 a<0 L a<0 0 Ind. 0 0 Ind. Ind. 0 Ind.

(4)

CÁLCULO DE INDETERMINACIONES

.

Indeterminación

1er CASO: _       ₍ ₎ ) ( lim x Q x P c x

► Se descomponen en factores P(x) y Q(x) (dividiendo por Ruffini entre x-c), se simplifica la fracción y se calcula el límite de la fracción simplificada.

Ej. _           ₉ 3 2 lim ₂ 2 3 _x x x x =      0 0 = ) 3 )( 3 ( ) 1 )( 3 ( lim 3       _x _x x x x = ₃ 2 6 4 3 1 lim 3         _x x x 2º CASO: _       ₍ ₎ ) ( lim x g x f c x donde f(x) ab o g(x) ab

► Se multiplica y divide la fracción por el conjugado del factor donde aparece la raíz (si hay raíces en numerador y denominador se hace con los dos conjugados), se

multiplican las sumas por diferencias (haciendo diferencia de cuadrados), se simplifica la expresión resultante y por último se sustituye “x” por “c”.

Ej.                   ₀ 0 1 1 lim 1 _x x x



















    ₁ ₁ 1 1 lim 1 _x _x x x x













   ₁ ₁ 1 lim 1 _x _x x x





₂ 1 1 1 lim 1    _x x

Indeterminación

1er CASO: _        ₍ ₎ ) ( lim x Q x P x

► Nos quedamos con el término de mayor grado tanto en P(x) como en Q(x), se simplifica la fracción resultante y se calcula el límite.

Ej.               ₂ ₁ 1 3 lim ₂ 2 x x x x  2  2 2 lim x x x ₂ 1 2 1 lim    x Ej.               ₂ ₁ 1 3 2 lim ₂ 3 x x x x  2  3 2 2 lim x x x limx(x) Ej.               ₃ ₁ 1 3 lim ₄ 2 x x x x  4  2 3 lim x x x 0 1 3 1 lim ₂      _x x

(5)

2º CASO: _        ₍ ₎ ) ( lim x Q x P x donde Q(x) ab

► Se dividen numerador y denominador por la mayor potencia de x que tengamos en la fracción (dividiendo término a término), y se calcula el límite.

Ej.              x x x x xlim 2      x x x x x x x x 2 lim      x x x x x x x x 2 2 lim      1 1 1 1 lim x x 2 1 1 0 1 1 1 1 1 1 _       

Indeterminación

1er CASO: _        ₍ ₎ ) ( ) ( ) ( lim x S x R x Q x P c x ó         ₍ ₎ ) ( ) ( ) ( lim x S x R x Q x P x

► Se hace la resta de las dos fracciones algebraicas, se simplifica y se calcula el límite. Ej. 







          ₁ 2 1 2 lim 2 1 _x x x x                ₀ 0 1 2 2 lim 2 1 _x x x          ₍ ₁₎₍ ₁₎ ) 1 ( 2 lim 1 _x _x x x 1 2 2 1 2 lim 1         _x x 2º CASO: lim



P(x) Q(x)



x  o xlim



P(x) Q(x)



► Se multiplica y divide por el conjugado, se hacen las sumas por diferencias, se simplifica y finalmente se calcula el límite.

Ej. _   _







   x x x 2 lim 2        _ _       _ _       _ _   x x x x x x x 2 2 2 lim 2 2 2 0 2 2 2 lim 2 _ _     x x x

(6)

Indeterminación

► Se calculan teniendo en cuenta la definición del número “e”:

) ( ) ( 1 1 lim x f x _f _x e _         

►Si el límite es de la forma

) ( ) ( ) ( lim x h x _g _x x f       

 , para transformarlo en el anterior seguimos

los siguientes pasos: 1. ) ( 1 1 ) ( ) ( ) ( 1 1 ) ( ) ( ) ( 1 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( x F x g x f x g x g x g x f x g x f x g x f _ _          2. _        ) ( ) ( 1 1 x h x F ) ( · ) ( 1 )· ( ) ( 1 1 x h x F x F x F _      3. _          ) ( ) ( 1 1 lim x h x _F _x       _   ) ( · ) ( 1 )· ( ) ( 1 1 lim x h x F x F x _F _x                    ) ( ) ( lim ) ( ) ( 1 1 lim x F x h x x F x _F _x ) ( ) ( limFx x h x e  Ej. 1. 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 x x x x x x x x x _ _  _ _ _   _ _ _ _ 2.                   x x x x x 3 3 2 1 1 2 x x x x 3 · 2 · 2 2 1 1          3. x x _x x 2 3 lim          =             x x x x x 3 · 2 · 2 2 1 1 lim                           x x x x x x 6 lim 2 2 1 1 lim lim 6 6 e e x h x 

(7)

6. Calcula los siguientes límites: (diferentes tipos de indeterminaciones) a) _          ₉ 3 4 lim ₂ 2 3 _x x x x i) 2 1 3 1 2 lim    _       x x _x x b) _          ₁ 3 4 lim 2 1 _x x x x j) _          ₂ ₁ 1 3 4 lim ₂ 2 x x x x c) _        _x x x x 2 0 lim k) _           ₁ 1 3 lim ₅ 2 x x x x d) _          ₄ 4 lim ₂ 3 4 2 _x x x x x l) _          ₁ 1 3 lim ₂ 25 x x x x e) x x x 2 4 lim 0    m) _         ₄ 2 2 2 lim 2 2 _x x x x f) 3 2 1 lim 3     _x x x n)            ₁ 2 1 2 lim 2 2 x x x x x x g) x x x 3 3 lim 0    ñ)      _ _   x x x x 2 lim h) 4 16 3 9 lim 0      _x x x o)      _ _ _   1 1 lim x2 x2 x i) x x _x 2 3 1 lim          p)           ₁ 1 3 lim ₂ 2 x x x x j) 3 1 2 1 2 lim ₂ 2 x x _x x          

(8)

a)





7 3 4 lim   x x s) ₂₇ 3 4 lim 3 2 3     _x x x x b) lim



3 4 4



  x x x t) _x x x ₂ 1 ) 1 ( lim 3 0    c) x x x    ₄ 8 lim 2 2 u) 1 3 2 2 2 1 6 lim     _        x x x _x x x d) 1 1 2 lim 2 3 2 3 4 1         _x _x _x x x x x x v) 3 2 2 1 4 lim     _       x x x _x x e) 4 4 2 lim 2 2 2     _x _x x x x w)            ₁ 11 1 5 lim 2 1 _x x x x x f) 3 3 lim 3    _x x x x) 1 3 2 2 2 1 6 3 lim     _        x x x _x x x g) x x x      ₁ ₂ 3 2 lim 1 y) 1 3 2 3 2 7 lim     _     x x x h)             ₁ 3 1 3 lim 2 1 _x x x x z)      _ _   x x xlim 4 2 2 2 i) 2 8 8 3 2 lim 3 3      _x x x x A)





1 3 3 2 3 lim      x x x x j) 22 3 33 2 3 lim 3 3      _x x x x B) 1 2 2 lim    x x x k)



x x



x     1 lim C) 2 1 02 lim x x l) 1 1 2 lim 2 3 2 3 4          _x _x _x x x x x x D) 2 1 02 lim x x   m) x x x₁ 2 lim E)       _ _   x x x 1 lim 2 n)





2 1 lim 2 2     _x x x F)      _ _ _   2 4 3 1 lim x2 x2 x ñ)



x x



xlim 5 G) xlim



2x4 2x4



o) _             ₁ 3 2 1 lim 2 2 x x x x x H)      _ _   x x x xlim 16 4 4 2 p) x x _x        3 1 lim I) 33 1 6 2 lim     _       x x _x x q) x x _x x 2 1 6 lim           J) _          ₁ 3 · 1 lim 2 2 _x x x x x x r) 1 1 2 2 lim 4 2      x x x x K) 3 3 3 lim    _     _ x x x x

(9)

L) 49 3 2 lim 2 7     _x x x S) ₁₈ ₃ ₃ 1 2 2 lim ₃ ₂ 2 3 2 1       x x x x x x M) x x x      ₁ ₅ 5 3 lim 4 T) ₂ ₄ ₈ 2 lim ₃ ₂ 2 2        _x _x _x x x x N) x x x x     1 1 lim 0 U) lim0₁ _x₁ x x Ñ) 2 2 3 3 8 1 lim x x _x x            V) ₃ 2 1 lim 3     _x x x O) x x x ₃ 1 3 lim 2 _   W) _           ₁ 1 1 1 lim 2 1 _x x x x x P) x x x x x x      2 2 lim X) 1 3 2 3 2 2 1 3 2 lim    _        x x x _x _x x x Q) 1 1 1 1 lim 1        _x _x x x x Y) 2 2 2 1 6 lim    _        x x _x x x R) x x _x x 1 1 2 1 lim    _       Z)





1 3 2 22 3 1 lim      x x x x

Haz los ejercicios nos 12, 13, 19 y 21 de la página 296 de tu libro de texto.

8. Calcula los límites de las siguientes funciones definidas a trozos:

a) lim ( ) 2 f x x donde b) lim ( ) 3 f x x donde c) lim ( ) 0 f x x donde d) lim ( ) 1 f x x donde

(10)

CONTINUIDAD

Se dice que una función, f, es continua en el punto x = a cuando se cumple que: 1) Existe 2) Existe lim f(x) a x 3) lim f(x) f(a) a x 

Hay que recordar que para que exista el límite de una función en un punto han de existir los límites laterales y ser iguales.

En el caso en que una función no sea continua en un punto se dice que es discontinua en dicho punto.

TIPOS DE DISCONTINUIDADES Evitable

Una función presenta una discontinuidad evitable en el punto x = a cuando existiendo )

( lim f x

a

x , no existe f(a) ó limxa f(x) f(a).

Inevitable

Se produce cuando los límites laterales no coinciden, es decir, lim f(x) lim f(x)

a x a

x   

 .

A la diferencia lim f(x) lim f(x)

a x a

x 

 se le llama salto de la función.

Si el salto es un número real se dice que hay una discontinuidad de salto finito. Si el salto es infinito se dice que hay una discontinuidad de salto infinito o asintótica.

Esencial

(11)

Propiedades de las funciones continuas

Si f y g son dos funciones continuas en x = a y k es un número real, entonces también son continuas las funciones

9. Estudia la continuidad de las funciones de los ejercicios nos 1 y 5 de la página 295 de tu libro de texto.

10. Estudia la continuidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican:

a) en x = 3 b) en x = -2 c) en x = 2 d) en x = 0 e) en x = 6 f) en x = 0 g) en x = 1 y en x = 2 h) en x = -1 y en x = 2

11. Haz los ejercicios nos 6 y 7 de la página 295 de tu libro de texto.

12. a) Dada la función

. Halla el valor de "a" para que sea continua en x = 1.

b) Determina un valor de la constante k para sea continua en x = 0 la función

(12)

c) Halla "a" y "b" para que

sea continua.

13. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

14. ¿Qué tipo de discontinuidad tiene la función en x = 2? 15. Haz los ejercicios nos 38, 39 y 40 de la página 298 de tu libro de texto.

(13)

16. Más límites a) b) c) 4 d) e) -1 f) g) 4 h) 0 i) j) 2 k) l) m) 1 n) o) e p) -1 q) 1 r) -1 s) 1 t)

17. Halla el valor de k para que las siguientes funciones sean continuas:

a) b)