a = mq m (a)+r m (a) y 0 r m (a) < b

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(1)

Divisibilidad

[1] M´

ultiplos y divisores

Divisores.

Definici´on. Un n´umero entero m es divisorde un n´umero entero a si hay un n´umero entero q tal que

a=mq. Se indica esta relaci´on escribiendom|a, y su negaci´on se denotam |a.

Notas y ejemplos.

8|24, 6|24, 7|7, 1|7.

8 |12, 12 |8, −6 |15, 7 |1, 18 |6.

Seg´un la definici´on, sim es un divisor dea, entonces hay un enteroq tal quea=mq;n´otese queqes tambi´en un divisor dea.

Para cualquier entero ase cumplen las igualdades a=a.1 = (−a)(1) = 1.a= (1)(−a), por tanto

a,−a,1,−1 son divisores de a y, en particular, el conjunto de los divisores de un entero cualquiera es no vac´ıo.

Si m es un divisor de ay a= 0, digamos a=mq, entonces |a| =|mq| =|m| |q|;de donde |m| ≤ |a|,

y− |a| ≤m≤ |a|. Por tanto se tiene que todo divisor de un enteroa (a= 0) est´a comprendido entre − |a|y|a|;en particular: el conjunto de los divisores de un enteroano nulo es finito.

Para cualquier enterom se tiene 0 =m0;por tantom|0.En particular 0|0. Si aes un entero,a= 0, entoncesa= 0q para todo enteroq;por tanto 0 |a, sia= 0.

El conjunto de los divisores de 12 es{1,−1,2,−2,3,−3,4,−4,6,−6,12,−12}.

El conjunto de los divisores de 7 es{1,−1,7,−7}.

El conjunto de los divisores de 1 es{1,−1}.[ Se tiene 1×1 = (1)×(1) = 1; y siuyv son enteros tales que uv = 1, entonces|u| |v| =|uv|= 1, de donde |u|= 1 = |v|, por tanto debe ser u=v = 1 ´o

u=v=1 ]

Un test efectivo de divisibilidad.

¿C´omo decidir si un enterom= 0 es divisor o no de un entero a? Recu´erdese la propiedad de la divisi´on: Dadosa, m∈Z, m= 0, existen enterosqm(a) yrm(a) ´unicos que cumplan

a=mqm(a) +rm(a) y 0≤rm(a)<|b| Esta propiedad proporciona un criterio eficiente de divisiblidad:

(2)

Proposici´on. Para que un enteromsea divisor de un enteroaes necesario y suficiente que se cumpla una de las dos condiciones siguientes:

(a) m= 0ya= 0, ´o (b) m= 0yrm(a) = 0. Demostraci´on. Es inmediata.

Ejemplos.

¿Es 17 un divisor de 2096? Realizando la divisi´on de 2096 entre 17 se obtiene 2096 = 17×123 + 5;

con lo quer17(2096) = 5= 0 y, por tanto, 17 |2096. 17|9809, porquer17(9809) = 0.

Enteros asociados.

La relaci´on de divisibilidad en el conjunto de los enteros cumple las siguientes propiedades: – Es reflexiva (para todo enteroase tienea|a).

– Es transitiva (sia|byb|c, entoncesa|c). – Noes antisim´etrica (7| −7,−7|7 y 7=−7).

Por tanto la relaci´on de divisibilidad no es de orden el el conjuntoZde los enteros. Definici´on. Dos enterosaybsonasociadossia|byb|a; en este caso se ponea∼b. Lema. La relaci´on“es asociado de”()es de equivalencia en el conjunto Zde los enteros. Demostraci´on. Es sencilla y se deja como ejercicio.

Veamos c´omo son las clases de equivalencia de enteros m´odulo la relaci´on de equivalencia. Se cumple 00;si a∼0, entonces a= 0, por tanto 0 es el ´unico asociado de 0. Si a∼b, ya= 0 ´o b= 0, entonces

b=aqya=bq, por tanto a= 0 y b= 0 ya=aqq, con lo que (por la propiedad de simplificaci´on en Z) 1 =qq;debe serq=q= 1 ´oq=q=1, de aqu´ı se obtienea=b´oa=−b. Rec´ıprocamente, sia=b o si

a=−b, entonces (obviamente)a∼b. Por tanto, para cualquier entero a, la clase deam´oduloes [a]={a,−a}

N´otese que “el paso” del conjuntoZal correspondiente conjunto cocienteZ/∼ f : Z Z/∼

a [a]={a,−a}

consiste en identificar cualquier enteroacon su opuesto−a. Convendremos en escoger como representante de cualquier clase de equivalencia [a] al entero no negativo |a| de ese conjunto. Dado que, para enteros cualesquieraayb,a∼bsi, y s´olo si,|a|=|b|, la aplicaci´onf induce una biyecci´on

f : Z/∼ → N [a] → |a|

La relaci´on de divisibilidad en el conjunto de los enteros no negativos (esto es, en el conjunto de los n´umeros naturales) es de orden;n´otese que esta relaci´on de orden no es lineal (hay elementos que no son comparables, p. e. 8 |12 y 12 |8).

(3)

8 6 10 12 2 3 5 4 9 30 24 60 (2) (3) (5) (6) (10) (4) (8) (12) (30) (24) (60) (9)

ultiplos e ideales

Definici´on. Un enteroa esm´ultiplode un enterom simes un divisor de a. Se denota(m) al conjunto de los m´ultiplos dem: (m) ={a|a=mz, z∈Z}={mz|z∈Z}. Ejemplos. (7) = (7) ={. . . ,−7n, . . . ,−21,−14,−7,0,7,14,21, . . . ,7n, . . .}, (n∈N) (12) = (−12) ={. . . ,−12t, . . . ,−36,−24,−12,0,12,24,36, . . . ,12t, . . .}, (t∈N) (0) ={0}. (1) =Z= (−1).

Proposici´on. Seanaymenteros, las relaciones siguientes son equivalentes: (1.) aes m´ultiplo dem,

(2.) m|a, (3.) a∈(m), (4.) (a)(m).

Demostraci´on. Es elemental y se deja como ejercicio. Proposici´on. Seanaybn´umeros enteros.

(a) = (b)si, y solamente si,a∼b; es decir, si, y s´olo si,a=b´oa=−b. Sia >0, entoncesaes el menor entero positivo en(a).

Demostraci´on. Es elemental y se deja como ejercicio.

En la figura adjunta se pretende ilustrar la equivalencia de la relaci´onm|aentre enteros del conjunto {2,3,4,5,6,8,9,10,12,24,30,60}

y la relaci´on (a)(m) entre los respectivos conjuntos de m´ultiplos:

En el diagrama de la izquierda un segmento ascendente desde a hasta b significa a|b, mientras que en el diagrama de la derecha un segmento ascendente desde (b) hasta (a) significa (b)(a).

(4)

El conjunto (m) de los m´ultiplos de un entero cualquiera m verifica tres propiedades formales, espe-cialmente importantes, relacionadas con las operaciones de adici´on y multiplicaci´on y que se exponen en la siguiente

Proposici´on. Para cualquier enteromse cumplen: (1.) 0(m). (2.) Sia, b∈(m), entonces a+b∈(m). (3.) Siz∈Zya∈(m), entonces az∈(m). Demostraci´on. (1.) 0 =m0. (2.) Sia=mza yb=mzb conza, zb∈Z, entonces a+b=mza+mzb=m(za+zb)(m). (3.) Sia=mza, entonces az=m(zaz)(m).

Dicho en otra forma:

(1.) El elemento neutro 0 es m´ultiplo de cualquier enterom. (2.) La suma de dos m´ultiplos de un enteromes un m´ultiplo de m. (3.) Todo m´ultiplo de un m´ultiplo de un enteromes un m´ultiplo de m.

Como consecuencias se tienen: – (m)=

, porque 0(m).

– Si a (m), entonces −a= 1a (m);es decir, el opuesto de un m´ultiplo de m es tambi´en un m´ultiplo dem.

– Sia, b∈(m), entoncesa−b=a+ (−b)(m);es decir, dos m´ultiplos demdifieren en un m´ultiplo dem.

Definici´on. Unideal del anilloZde los enteros es un subconjuntoI deZtal que: (1.) 0∈I.

(2.) Sia, b∈I, entonces a+b∈I.

(3.) Siz∈Zya∈I, entonces az∈I.

Ejemplo. Para cada enterom, el conjunto (m) de los m´ultiplos demes un ideal deZ.

Una propiedad crucial del anillo de los enteros es que si un subconjunto I de Z es un ideal de Z, entonces I debe ser de la forma (d) para alg´un entero d;esto es, existe (al menos) un entero d tal que

I={dz|z∈Z}= (d). Ejemplo. El subconjunto

S(8,12) ={8x+ 12y|x, y∈Z}

deZes un ideal deZ, en efecto: – 0 = 8×0 + 12×0∈S(8,12)

– Sia, bson elementos deS(8,12), digamosa= 8xa+ 12ya yb= 8xb+ 12yb, entonces

a+b= 8(xa+xb) + 12(ya+yb)∈S(8,12) – Siz es un entero ya= 8xa+ 12ya es un elemento deS(8,12), entonces

az= 8(xaz) + 12(yaz)∈S(8,12)

En el cuadro adjunto se escriben algunos elementos del conjuntoS(8,12) correspondientes a valores dexen el rango3≤x≤3 y a valores dey en el rango2≤y≤2:

(5)

y \ x . . . −3 −2 −1 0 1 2 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . −2 . . . −48 −40 −32 −24 −16 −8 0 . . . −1 . . . −36 −28 −20 −12 −4 4 12 . . . 0 . . . −24 −16 −8 0 8 16 24 . . . 1 . . . −12 −4 4 12 20 28 36 . . . 2 . . . 0 8 16 24 32 40 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .

De la observaci´on de la tabla parece desprenderse que S(8,12) = (4);esta afirmaci´on, que es cierta, ser´a comprobada m´as adelante una vez que se estudie el algoritmo extendido de Euclides. De momento se probar´a la siguiente Proposici´on:

Proposici´on. Sea I un ideal del anillo Z de los enteros. Hay un ´unico entero m 0 tal que I = (m). Adem´as, siI={0}, entonces mes el menor entero positivo enI.

Demostraci´on. Si I ={0}, tomar m = 0. Suponer I ={0}, de modo que hay enteros no nulos aen I; sia∈I, entonces−a∈I, luego hay enteros positivos en I. Seamel menor entero positivo enI. Veamos que I = (m), para ello se probar´an las dos inclusiones: (m) ⊆I y I (m). La primera, (m) ⊆I, es consecuencia inmediata de que m pertenezca a I y de la condici´on (3.) de la definici´on de ideal. Para demostrar la segunda, I (m), hay que comprobar que todo elemento a I es m´ultiplo de m: por la propiedad de la divisi´on existen enterosqm(a) yrm(a) tales quea=mqm(a) +rm(a) y 0≤rm(a)< m.Se cumple rm(a) =a−mqm(a)∈I [porque a, mqm(a)∈I];por elecci´onm es el menor entero positivo enI; en conclusi´on debe ser rm(a) = 0, de dondea∈I.

Ejemplo. Seanm1, m2, . . . , ms n´umeros enteros. El conjunto

S(m1, m2, . . . , ms) =

m1x1+m2x2+. . .+msxx|x1, x2, . . . , xs∈Z

es un ideal deZ[compru´ebese esta afirmaci´on como ejercicio], luego hay un (´unico) enterom≥0 tal que

S(m1, m2, . . . , ms) = (m).

[2] M´

aximo com´

un divisor

El conjunto de los divisores de 12 es:

D12={−12,−6,−4,−3,−2,−1,1,2,3,4,6,12}; el conjunto de los divisores de 30 es

D30={−30,−15,−10,−6,−5,−3,−2,−1,1,2,3,5,6,10,15,30};

el conjunto de los divisores comunes de 12 y 30 (la intersecci´on de los dos conjuntos anteriores) es:

D12∩D30={−6,−3,−2,−1,1,2,3,6}.

N´otese que D12∩D30 = D6, el conjunto de los divisores de 6;y que 6 cumple las siguientes propiedades (respecto de 12 y 30):

(1.) 6|12 y 6|30;(esto es,6 es un divisor com´un de 12 y 30)

(2.) para cualquier enteroc que cumplac|12 yc|30, se tienec|6;(esto es,cualquier divisor com´un de 12 y 30 es un divisor de 6)

(6)

El n´umero6 tambi´en cumple estas propiedades.

Definici´on. Unm´aximo com´un divisorde dos enterosaybno ambos nulos es un enterodque cumpla: (1.) d|a y d|b, y

(2.) sices un entero tal quec|a y c|b, entocesc|d. Ejemplos.

– El entero 6 es un m´aximo com´un divisor de 12 y 30. Tambi´en−6 es un m´aximo com´un divisor de 12 y 30.

– Los enteros 1 y−1 son m´aximos comunes divisores de 25 y 18.

Se estudiar´an los siguientes t´opicos relativos al m´aximo com´un divisor de dos enteros: Unicidad, exis-tencia, propiedades y c´alculo efectivo.

Proposici´on (Unicidad). Si d y d son ambos m´aximos comunes divisores de dos enteros a yb, entonces

d∼d.

Demostraci´on. Por ser dun m´aximo com´un divisor de a y b, y d un divisor com´un aa y a b, se tiene

d|d;por simetr´ıad|d.

Por tanto, sidydson m´aximos comunes divisores deayb, se tendr´ad=dod=−d. Reciprocamente, sides un m´aximo com´un divisor deayb, entonces −dtambi´en lo es. Se conviene en poner mcd(a, b) para denotar el m´aximo com´un divisor positivo de dos enterosayb. Tambi´en por convenio se pone mcd(0,0) = 0.

Ejemplos.

mcd(12,30) = 6. mcd(30,12) = 6. mcd(25,18) = 1. mcd(−25,−18) = 1.

Teorema. (Existencia del m´aximo com´un divisor) Para dos enteros cualesquieraaybse tienen; (1.) existe el m´aximo com´un divisord= mcd(a, b)deayb, y

(2.) existen enterossyt tales qued=as+bt.

Demostraci´on. PongamosS(a, b) = {ax+by |x, y∈Z}. Dado que el conjunto S(a, b) es un ideal deZ, existe un enterod∈S(a, b), d≥0, y tal queS(a, b) = (d);y existen enterossd, td tales qued=asd+btd. Veamos qued= mcd(a, b):

– Comoa, b∈S(a, b) = (d), se tienea, b∈(d);esto es,d|ayd|b

– Sic|ayc|b , entoncesc|(asd+btd);esto es,c|d

Ni el teorema ni su demostraci´on proporcionan un m´etodo efectivo que permita calcular mcd(a, b) para dos enterosay b. En las secciones siguientes se estudian, primero, un algoritmo (el algoritmo de Euclides) para el c´alculo del m´aximo com´un divisor de dos enteros y, despu´es, una modificaci´on de dicho algoritmo (el algoritmo extendido de Euclides) que permite calcular el m´aximo com´un divisordde dos enterosay bas´ı como enterossyttales qued=sa+tb.

Notas y ejemplos

El teorema asegura la existencia del m´aximo com´un divisordde dos enterosayb, as´ı como la existencia de enterossyttales que

d=as+bt

pero debe notarse que nisni t son ´unicos: pongamosa= 4 y b= 6, entonces d= mcd(4,6) = 2 y se tienen las identidades

2 = 4×(1) + 6×1 2 = 4×(−4) + 6×3 2 = 4×2 + 6×(−1)

. . . . . . . . . . . . . . .

(7)

Habitualmente se conoce con el nombreidentidad de Bezoutcualquier expresi´on del m´aximo com´un divisordde dos enterosaybcomo “combinaci´on lineal” de ´estos (sobreZ):

d=as+btcon s, t∈Z. Debe notarse que de una identidad tal como

h=as+bt

dondea, b, h, s, tson enteros no se concluye que hsea (necesariamente) el m´aximo com´un divisor dea

yb, por ejemplo

18 = 4×(−3) + 6×5

Lo que si se puede asegurar, en estas condiciones, es que mcd(a, b)|h(¿demostraci´on?).

Consecuencias de la identidad de Bezout

Seadel m´aximo com´un divisor de dos enterosa= 0 yb= 0, pongamos

d=as+bt ()

para adecuados enteross, t. Dado qued|ayd|b, existen enterosa yb tales que

a=ad y b=bd

substituyendo en (∗)

d=ads+bdt=d(as+bt) Dado qued= 0, se puede cancelar el factordy se obtiene

1 =as+bt

De donde se deduce que mcd(a, b) = 1.

Definici´on. Dos enterosa= 0yb= 0sonprimos entre s´ıoprimos relativos simcd(a, b) = 1. De las consideraciones previas a la definici´on se concluye

Proposici´on. Seadel m´aximo com´un divisor de dos enteros a= 0y b= 0. Pongamos a=adyb=bd. Los enterosa yb son primos entre s´ı.

Proposici´on. Seana= 0yb= 0dos enteros. Las condiciones siguientes son equivalentes (i) aybson primos entre s´ı

(ii) Existen enterossyttales queas+bt= 1

Proposici´on. Si un entero divide a un producto de otros dos y es primo relativo con uno de ellos, entonces divide al otro.

Demostraci´on. Suponer que un entero mdivide a un producto abde dos enterosa yb, y quem yason primos entre s´ı, probaremos quem|b. Existen enterosz,syttales queab=mzy 1 =ms+at;multiplicando los dos miembros de la ´ultima igualdad porb, se obtiene

(8)

Proposici´on. Seanaybenteros primos entre s´ı, y seam un entero tal quea|myb|m. Entoncesab|m. Demostraci´on. Existen enteros u y v tales que au+bv = 1, multiplicando ambos miembros por m se obtiene amu+bmv =m. Por otra parte, dado que a|m, se cumple ab|bm;y dado que b|m, se cumple

ab|am. En consecuencia ab|(amu+bmv) =m.

Notas, ejemplos y contraejemplos

Los siguientes pares de enteros son primos entre s´ı:

3 y 7, 12 y 25, 33 y 32, -35 y 18, 12 y 1 Los siguientes pares de enteros no son primos entre s´ı:

35 y 49, 4 y 2, -81 y 39, -12 y -8, 2925 y 2002 El entero 6 divide al producto 8×9, pero 6 |8 y 6 |9

Se tiene: 2|12 y 4|12, pero 2×4 = 8 |12.

Puesto que 2925×461 + 1694×(796) = 1 (compru´ebese), se concluye que (1) mcd(2925,1694) = 1,

(2) mcd(2925,−796) = 1,

(3) mcd(461,1694) = 1 y (4) mcd(461,−796) = 1

alculo del m´

aximo com´

un divisor

Recordemos la propiedad de la divisi´on enZ:

Dados dos enterosaybcon b= 0, existen enterosqb(a)yrb(a)(´unicos) tales que

a=bqb(a) +rb(a), 0≤rb(a)<|b| y hay un algoritmo que calculaqb(a)yrb(a).

El algoritmo que se expondr´a para el c´alculo del m´aximo com´un divisor de dos enteros se basa en la siguiente

Proposici´on. Seanaybenteros. Se tiene (1.) mcd(a,0) =|a|, y

(2.) mcd(a, b) = mcd(b, rb(a)), sib= 0.

Demostraci´on. La primera afirmaci´on se obtiene directamente de la definici´on de m´aximo com´un divisor y del convenio relativo al signo. Para probar la segunda afirmaci´on pongamosa=bqb(a) +rb(a). Sic|ayc|b, entoncesc|b yc|rb(a) =a−bqb(a);reciprocamente, si c|b yc|rb(a), entoncesc|a=bqb(a) +rb(a) yc|b. Por tanto el conjunto de los divisores comunes deaybcoincide con el conjunto de los divisores comunes de

byrb(a).

El inter´es de esta proposici´on radica en el hecho de que permite calcular efectiva y eficientemente el m´aximo com´un divisor de dos enteros cualesquiera. Antes de justificar esta afirmaci´on veamos algunos ejemplos sencillos. Ejemplos. mcd(747,0) = 747 mcd(0,−16) = mcd(16,0) = 16 mcd(12,8) = mcd(8,4) = mcd(4,0) = 4 mcd(9,15) = mcd(15,9) = mcd(9,6) = mcd(6,3) = mcd(3,0) = 3

(9)

mcd(121393,17711) = mcd(17711,15127) = mcd(15127,2584) =

= mcd(2584,2207) = mcd(2207,377) = mcd(377,322) = mcd(322,55) = = mcd(55,47) = mcd(47,8) = mcd(8,7) = mcd(7,1) = mcd(1,0) = 1

Algoritmomcd (El algoritmo de Euclides sobreZ)

Entrada: a, b∈Z, dos enteros.

Salida: mcd(a, b),el m´aximo com´un divisor (no negativo) deayb.

mcd(a, b)

1 (r, r)(a, b) 2 mientrasr = 0

3 hacer (r, r)(r,resto(r, r))

4 devolver|r|

Ejemplo. Se muestra una forma de disponer los c´alculos para el c´omputo, con l´apiz y papel, del m´aximo com´un divisor de los n´umeros 1127 y 354 seg´un el algoritmomcd:

q r r 1127 354 3 354 65 5 65 29 2 29 7 4 7 1 7 1 0 En consecuencia mcd(1127,354) = 1.

Ejercicio. Calcular mediante el algoritmo mcdel m´aximo com´un divisor de 3757 y 5083 .

Notas de programaci´

on

Un programa en Maple que implementa el algoritmo de Euclides sobreZ

mcd := proc(a::integer, b::integer) local r, rp ; r, rp := a, b; while rp <> 0 do r, rp := rp, irem(r, rp) od; abs(r) end;

La primitivaigcd(integergreatestcommondivisor) de Maple hace, esencialmente, lo mismo.

El Algoritmo extendido de Euclides

El m´aximo com´un divisordde dos enterosaybse puede expresar en la formad=as+btpara adecuados enterossyt. Nos ocupamos del desarrollo de un algoritmo eficiente que permita computar, simultaneamente,

(10)

Sean puesaybn´umeros enteros;analicemos detalladamente el algoritmo de Euclides para el c´alculo de mcd(a, b). Pongamosr0=ayr1=b. Sib= 0, entonces el m´aximo com´un divisor deaybes|a|. Sib= 0, los pasos dados para el c´alculo de mcd(a, b) se pueden explicitar, simb´olicamente, en la forma:

r0 = r1q1+r2, 0≤r2<|r1| (r2 es no negativo) r1 = r2q2+r3, 0≤r3< r2 . . . . . . . . . . . . ri = ri+1qi+1+ri+2, 0≤ri+2< ri+1 ri+1 = ri+2qi+2+ri+3, 0≤ri+3< ri+2 . . . . . . . . . . . . rn−2 = rn−1qn−1+rn, 0≤rn< rn−1 rn−1 = rnqn+ 0,

de donde se concluye que el m´aximo com´un divisorddeaybesrn.

Proposici´on. En la situaci´on anterior se cumple: Para todoi, (0≤i≤n), existen enterosui, vitales que

ri=aui+bvi

Demostraci´on. Se expone una prueba constructiva;esto es, no s´olo se prueba la existencia de losui, vi, sino que se proporciona un m´etodo para calcularlos. Se tienen:

r0 = a=1 +0 r1 = b=0 +1 Por tanto pueden tomarse

u0= 1, v0= 0 u1= 0, v1= 1

Suponer (hip´otesis inductiva) que est´an calculados enteros ui, vi, ui+1, vi+1 tales que ri = aui+bvi y

ri+1 = aui+1+bvi+1 entonces

ri+2=ri−ri+1qi+1=aui+bvi−(aui+1+bvi+1)qi+1= =a(ui−ui+1qi+1) +b(vi−vi+1qi+1).

Por tanto pueden tomarse

ui+2=ui−ui+1qi+1, vi+2=vi−vi+1qi+1

Como caso particular se obtiene la versi´on constructiva del teorema de existencia del m´aximo com´un divisor:

Teorema. Seadel m´aximo com´un divisor de dos enterosayb. Existen enterosuyv tales que

d=au+bv

De las consideraciones anteriores se obtiene un m´etodo para el c´alculo simult´aneo de d,uy v a partir deayb. Veamos un par de ejemplos.

(11)

Ejemplo. Calcular (a mano, con l´apiz y papel) el m´aximo com´un divisordde 256 y 117, y enteros uyv tales qued= 256u+ 117v. i qi ri ri+1 ui ui+1 vi vi+1 0 – 256 117 1 0 0 1 1 2 117 22 0 1 1 -2 2 5 22 7 1 -5 -2 11 3 3 7 1 -5 16 11 -35 4 7 1 0 16 -117 -35 256 En consecuencia, mcd(256,117) = 1 = 256×16 + 117×(−35) .

Ejemplo. Calcular (a mano, con l´apiz y papel) el m´aximo com´un divisor dde 8320 y -6591, y enterosuy

v tales qued= 8320u+ (−6591)v. i qi ri ri+1 ui ui+1 vi vi+1 0 8320 -6591 1 0 0 1 1 -1 -6591 1729 0 1 1 1 2 -4 1729 325 1 4 1 5 3 5 325 104 4 -19 5 -24 4 3 104 13 -19 61 -24 77 5 8 13 0 61 -507 77 -640 En consecuencia, mcd(8320,−6591) = 13 = 8320×61 + (6591)×77 .

Se tiene as´ı el Algoritmo Extendido de Euclides:

Algoritmomcdex(El Algoritmo Extendido de Euclides sobreZ)

Entrada: a, b∈Z, dos enteros.

Salida: (d, u, v)Z3 tal qued= mcd(a, b) yu,v cumplend=au+bv.

mcdex(a, b) 1 (r, r)(a, b) 2 (u, u)(1,0) 3 (v, v)(0,1) 4 mientrasr = 0 5 hacer q←coct(r, r) 6 (r, r)(r, r−rq) 7 (u, u)(u, u−uq) 8 (v, v)(v, v−vq) 9 devolversign(r)×(r, u, v)

Notas de programaci´

on

(12)

mcdex := proc(a::integer, b::integer) local r, rp, u, up, v, vp, q; r, rp := a, b; u, up := 1, 0; v, vp := 0, 1; while rp <> 0 do q := iquo(r, rp); r, rp := rp, r − rp*q; u, up := up, u − up*q; v, vp := vp, v − vp*q; od; signum(r)*[r, u, v] end;

La primitiva igcdex (integer greatest common divisor extended) de Maple hace, esencialmente, lo mismo.

[3] M´ınimo com´

un m´

ultiplo

El concepto de m´ınimo com´un m´ultiplo es dual del concepto de m´aximo com´un divisor.

Definici´on. Unm´ınimo com´un m´ultiplode dos enterosa= 0yb= 0es un entero mque cumpla: (1.) a|myb|m, y

(2.) sices un entero tal quea|cyb|c, entonces m|c. Ejemplos.

– El entero 24 es un m´ınimo com´un m´ultiplo de 12 y 8. Tambi´en -24 es un m´ınimo com´un m´ultiplo de 12 y 8.

– El entero 6 es un m´ınimo com´un m´ultiplo de 2 y -3. El entero -6 tambi´en es un m´ınimo com´un m´ultiplo de 2 y -3.

Proposici´on(Unicidad). Simymson m´ınimos comunes m´ultiplos de dos enterosa= 0yb= 0, entonces

m∼m.

Demostraci´on. Es trivial y se deja como ejercicio simple.

Veamos que existe el m´ınimo com´un m´ultiplo de dos enterosayb cualesquiera. Para ello usaremos la siguiente

Proposici´on. La intersecci´onI1∩I2 de dos idealesI1 eI2deZes un ideal deZ. Demostraci´on. Es trivial y se deja como ejercicio simple.

Seanaybenteros. La intersecci´on (a)(b) de los ideales (a) y (b) es un ideal deZ, por tanto existe un enterom≥0 tal que (a)(b) = (m). Veamos quemes un m´ınimo com´un m´ultiplo deayb:

como (m)(a), se tienea|m; como (m)(b), se tieneb|m;

sic es un entero tal quea|c yb|c, entonces (c)(a) y (c)(b);por tanto (c)(a)(b) = (m);de donde se concluye quem|c.

(13)

Proposici´on. Seanayb n´umeros enteros. Existe un m´ınimo com´un m´ultiplo deayb. Un enteromes un m´ınimo com´un m´ultiplo deaybsi, y s´olo si,(m) = (a)(b).

[4] N´

umeros Primos

Para todo enteroa= 0 se tienen las relaciones

1|a, −1|a, a|a y −a|a;

porque a = 1a = a1 y a = (1)(−a) = (−a)(1). Los divisores 1,−1, a,−a de un entero no nulo a se denominan divisoresimpropios, los dem´as (si los hay) se denominan divisorespropios.

Definici´on. Un entero mayor que1esprimo si sus ´unicos divisores son impropios. Un entero mayor que 1escompuestosi no es primo.

N´otese que los conceptos de entero primo y de entero compuesto s´olo se definen para enteros>1. Un entero p >1 es primo si y s´olo si sus ´unicos divisores positivos son 1 y p. Un enteroa >1 es compuesto si y s´olo si posee divisores positivos distintos de 1 y de a;esto es, si y s´olo si existen enteros b, c >1 tales quea=bc. Se pueden interpretar los primos como los elementos minimales en el conjunto ordenado (por la relaci´on|) de los enteros mayores que 1.

Ejemplos.

Los enteros 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,1997,1999 son primos.

Los enteros 4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,221,3992003 son compuestos. Los enteros 1, -1, -3, -6, -12 no son ni primos ni compuestos.

Proposici´on. Todo enteron >1posee, al menos, un divisor primo.

Demostraci´on. Suponer que hay alg´un entero mayor que 1 que no posea divisores primos. Seamel menor enterom >1 que no posee divisores primos (aqu´ı se usa la buena ordenaci´on de los enteros positivos). Como

mes un divisor demymno posee divisores primos, se sigue quemno es primo. Por tanto hay enterosay

btales que

m=ab, 1< a < m, 1< b < m

Dado quea < m, se sigue queatiene, al menos, un divisor primo (que puede ser el propioa);y todo divisor deaes divisor dem, con lo que mposee divisores primos. Esta contradicci´on proviene de suponer que hay alg´un entero mayor que 1 que no posea divisores primos. En consecuencia se cumple el enunciado de la proposici´on.

Proposici´on. El conjunto de los n´umeros primos es infinito.

Demostraci´on. Se deja como ejercicio. [ Una forma de proceder: Suponer que el conjuntoP de los primos es finito, digamos P = {p1, p2, . . . , ps}. Considerar el entero z = p1p2. . . ps+ 1. Probar que z posee un divisor primo que no est´a enP. ]

Definici´on. Unafactorizaci´onde un entero es una expresi´on del entero dado como producto de factores. Ejemplo. Las expresiones 2×6, 3×4, 2×2×3, 2×3×2, 6×2×1, y 12 son distintas factorizaciones del entero 12.

(14)

Teorema. (Existencia de una factorizaci´on en primos)Todo enteron≥2se puede factorizar en primos. Demostraci´on. Por inducci´on sobren. El entero 2 es primo, luego 2 es una factorizaci´on de 2 en primos. Suponer el teorema probado para todo entero m, 2 m n. Si n+ 1 es primo, ya est´a. Si n+ 1 es compuesto, entonces tiene una factorizaci´on de la forman+ 1 =ab;donde 2≤b < n+ 1 y 2≤b < n+ 1. Por inducci´on,a yb se expresan como producto de primos, digamosa=p1. . . pr yb=q1. . . qs;por tanto

ab=p1. . . pr.q1. . . qs.

Antes de estudiar la unicidad de la factorizaci´on en primos, veamos un lema que tiene inter´es indepen-diente (este resultado ya fue probado previamente y con mayor generalidad ¿d´onde?):

Lema. Si p es un primo yp|ab, entonces p|a ´o p|b. (Si un primo divide a un producto de dos factores, entonces divide al menos a uno de ellos).

Demostraci´on. Suponer quep|abyp |a. Comop |aypes primo, el ´unico divisor positivo com´un deay

pes 1;esto es, mcd(a, p) = 1. Luego existen enterossyt tales que 1 =sa+tp;entoncesb=sab+tpb;por hip´otesisp|ab, en consecuenciap|b.

Corolario. Seapun primo. Sip|a1a2. . . an, entoncesp|ai para alg´uni,1≤i≤n.

Teorema. (Unicidad de la factorizaci´on en primos)Todo entero n 2 se expresa de modo esencialmente ´

unico como producto de primos. Precisamente, si

n=p1. . . ps=q1. . . qt, (conp1, . . . , ps, q1, . . . , qt primos), entoncess=t y existe una reordenaci´on de losq1, . . . , qt tal quep1=q1, . . . , ps=qs.

Demostraci´on. Por inducci´on sobren. Paran= 2 la afirmaci´on es trivialmente cierta (porque 2 es primo). Suponer el teorema probado para cualquierm, 2≤m≤n. Sin+ 1 es primo, ya est´a. Sin+ 1 es compuesto, se puede expresar en producto de primos, digamos de dos formas:

n+ 1 =p1p2. . . ps=q1q2. . . qt, (s, t≥2).

Comop1|n+ 1, se tienep1|q1q2. . . qt, luegop1|qj para alg´unj, 1≤j ≤t. Reordenando losqj, podemos suponer que p1|q1 . Como q1 es primo, s´olo posee un divisor > 1;luego p1 =q1. Dividiendo n+ 1 por p1(=q1) queda

n+ 1

p1

=p2. . . ps=q2. . . qt. Ahora 2 np+1

1 ≤n. Por hip´otesis inductiva obtenemos s−1 = t−1 (por tantos =t) y, mediante una

reordenaci´on deq2, . . . , qs , tenemosp2=q2, . . . , ps=qs.

Corolario. Todo entero n 2 posee una ´unica “descomposici´on en primos elevados a exponentes” de la forma n=pe1 1 p e2 2 . . . p es s ,(ei≥1), donde lospi son los distintos divisores primos den.

BIBLIOGRAFIA

Childs, L.,A Concrete Introduction to Higher Algebra. Springer (1.979). P´aginas 19 a 36. Lipson, J. D.,Elements of Algebra and Algebraic Computing. P´aginas 46 a 50, y 203 a 206.

(15)

Rosen, K. H., Elementary Number Theory and its Applications. P´aginas 70 a 104, incluyendo algunos ejercicios.

EJERCICIOS.

1. Probar que sia, bycson enteros tales quea|byb|c, entonces a|c.

2. Mostrar que sia, bycson enteros tales quec|ayc|b, entonces c|(ma+nb) para todom, n∈Z. 3. Siayb son enteros no nulos tales quea|byb|a, ¿qu´e puedes concluir con respecto aayb? 4. ¿Existen enterosa, byctales quea|bc, peroa |bya |c?

5. Probar que sia, bycson enteros,c= 0, se tienea|b si y s´olo si ac|bc. 6. Probar que siaybson enteros positivos ya|b, entonces a≤b.

7. Demostrar que siayb son enteros ya|b, entoncesan|bn, para todo entero positivon. 8. Probar que 3|(n3−n) para todo enteron.

9. Probar que el producto de tres enteros consecutivos cualesquiera es m´ultiplo de 6. 10. Probar que 5|(n5n) para todo enteron.

11. Seanaybenteros positivos;pongamos

a=pe1 1 pe22. . . penn y b=p f1 1 p f2 2 . . . pfnn; (ei, fi 0); dondep1, p2, . . . , pn son los distintos divisores primos dea´ob. Sean

d=pd1 1 p d2 2 . . . p dn n y m=pm11p m2 2 . . . p mn n

condi= min(ei, fi) y mi= m´ax(ei, fi), 1≤i≤n. Probar qued= mcd(a, b) ym=mcm(a, b).

12. Probar que2 es irracional.

13. (Generalizaci´on del ejercicio anterior) Searuna ra´ız (esto es, un cero) de un polinomio m´onico

xn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0 con coeficientes enteros ya0= 0. Probar queres entero o irracional.

14. Para cada entero positivonseafn el correspondiente t´ermino de la sucesi´on de Fibonacci. (i) Probar quefn+1fn−1−fn2= (1)n;

(ii) Como consecuencia de (i) calcular mcd(fn, fn+1).

15. SeaE(a, b) el n´umero de divisiones necesarias para calcular el m´aximo com´un divisor de los enterosay

b(a > b) utilizando el algoritmo de Euclides.

(i) CalcularE(21,13), n´otese que 13 y 21 son t´erminos consecutivos de la sucesi´on de Fibonacci. (ii) Calcular E(fn+1, fn);

(16)

16. Seana, byc enteros,a= 0 ´ o b= 0;pongamosd= mcd(a, b). Probar: (i) mcd(a/d, b/d) = 1;

(ii) mcd(a, b) = mcd(a+bc, b). 17. Seanun entero positivo.

(i) ¿C´omo podr´ıas definir el m´aximo com´un divisor , mcd(a1, a2, . . . , an−1, an), denenteros no todos nulos:

a1, a2, . . . , an−1, an?. (ii) Demuestra que

mcd(a1, a2, . . . , an−1, an) = mcd(a1, a2, . . . ,mcd(an−1, an)).

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