Ondas acústicas en dominios no acotados

3.1. Introducción

Las ondas acústicas que se propagan libremente por un dominio no acotado deben cumplir la ecuación de ondas homogénea para el potencial acústico:

2 2 2 2 0 1 0 c t ψ ψ ∂ ∇ − = ∂ [3.1]

Se analizará a continuación las dos soluciones más simples de propagación de ondas acústicas, tanto armónica como no armónica, sin atender a las causas que las generan.

3.2. Ondas acústicas planas

Una onda acústica que se propaga a lo largo de una dirección espacial n _{constante se} denomina onda plana. El frente de ondas característico de las ondas planas son planos paralelos de normal n_{, tal y como se muestra en la Figura 3.2.1.}

La solución general en un dominio no acotado, representado a partir de coordenadas cartesianas, de la ecuación de ondas para el potencial acústico [3.1] es la conocida solución de D’Alembert (Ref. [2]):

( )

(

)

(

)

f t c f t c

Capítulo 3. Ondas acústicas en dominios no acotados

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Figura 3.2.1 Frente de ondas de una onda plana

Si consideramos una onda plana de naturaleza armónica propagándose en el sentido positivo de la dirección n _{(onda progresiva), es decir:}

( ) ( 0) ( ) 0 0 i t c _{ik i t} eω e eω ψ=ψ − ⋅n r =ψ − n r⋅ [3.3]

su espectro monocromático se escribirá 1:

( ) 0 ik e ω ψ⌢ = ψ − n r⋅ [3.4]

y su amplitud será constante a lo largo de la dirección de propagación:

0

ψ =ψ [3.5]

Si por el contrario consideramos una onda plana de naturaleza no armónica como un pulso acústico gaussiano plano modulado, propagándose en el sentido positivo de la dirección n_{, es decir:} ( ) ( ) ( ( ) ) _{( )} ( ( ) ) 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 t t c i t c _ik t t c _{i t} e µ eω e e µ eω ψ=ψ − − − ⋅n r − ⋅n r =ψ − n r⋅ − − − ⋅n r [3.6] 1

A partir de este resultado se pueden definir los siguientes parámetros: k_x =kn_x; k_y =kn_y; k_z =kn_z. En consecuencia, se establece que: k2 =

(

)

Figura 3.2.2. Onda plana armónica con k =20π y n=ez

su espectro se escribirá haciendo uso de la transformada de Fourier 2:

( ) ( ) 0 ik e ψ⌢ =ψ∆ ω − n r⋅ [3.7] donde se ha definido ( ) ( ) ( ) 2 0 4 0 0 0 0 i t e ω ω µe ω ω ω π µ − − − −

∆ = . Por último, su amplitud será:

( ) ( )2 0 0 0 0 t t c e µ ψ =ψ − − − ⋅n r [3.8]

A la vista de estos resultados, se concluye que un pulso acústico gaussiano plano modulado se puede interpretar como una superposición infinita de ondas planas armónicas cuya amplitud sigue una ley gaussiana modulada con la frecuencia. Por otro lado, su amplitud seguirá un comportamiento similar al de la onda armónica asociada pero amoldado a su propia naturaleza no armónica.

2

Capítulo 3. Ondas acústicas en dominios no acotados

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Figura 3.2.3. Pulso gaussiano plano modulado con k0 =20π y n=ez

3.3. Ondas acústicas esféricas

Las ondas acústicas esféricas se propagan a lo largo de la dirección radial a partir de una posición r' _{en el espacio. El frente de ondas característico de las ondas esféricas son} esferas concéntricas y centradas en el punto r'_{, tal y como se observa en la Figura}

3.3.1.

La solución general en un dominio no acotado, representado a partir de coordenadas esféricas, de la ecuación de ondas para el potencial acústico [3.1] teniendo en cuenta la exclusiva dependencia radial, se escribe según la solución de D’Alembert aplicada a la propagación esférica (Ref. [2]):

(

)

Figura 3.3.1. Frente de ondas de una onda esférica

Si consideramos una onda esférica de naturaleza armónica propagándose según la dirección n_{, es decir:} ( 0) 0 0 i t c _ik i t e e e ω ω ψ ψ ψ − − _{− −} = = − − r r' _{r r'} r r' r r' [3.10]

su espectro monocromático se escribirá:

0 ik e ω ψ ψ − − = − r r' r r' ⌢ [3.11]

y su amplitud sufrirá un decaimiento a lo largo de la dirección de propagación:

0

1

ψ =ψ

−

r r' [3.12]

Por el contrario, si consideramos una onda esférica de naturaleza no armónica como un pulso acústico gaussiano esférico modulado, propagándose en el sentido positivo de la dirección n_{, es decir:} ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 ₀ 0 0 t t c i t c _ik t t c _{i t} e e e e e µ ω µ _ω ψ ψ ψ − − − − − − _{− −} − − − − = = − − r r' r r' _{r r'} r r' r r' r r' [3.13]

Capítulo 3. Ondas acústicas en dominios no acotados

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Figura 3.3.2. Onda esférica armónica con _{k =}20_π y r'₌0

su espectro se escribirá haciendo uso de la transformada de Fourier:

( ) 0 ik e ψ ψ ω − − = ∆ − r r' r r' ⌢ [3.14] y su amplitud será: ( )2 0 0 0 0 1 t t c e µ ψ =ψ − − − − − r r' r r' [3.15]

A la vista de estos resultados, se concluye igualmente que un pulso gaussiano esférico modulado se puede interpretar como una superposición infinita de ondas esféricas armónicas cuya amplitud sigue una ley gaussiana modulada con la frecuencia. Por otro lado, su amplitud seguirá un comportamiento similar al de la onda armónica asociada pero amoldado a su propia naturaleza no armónica.