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aumenta, d dt Figura 2 disminuye, d dt aumenta, d dt (b)

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(1)

Campos variantes en el tiempo. Ecuaciones de Maxwell

Enero, 2017 Ley de Faraday

Oersted demostró en 1820 que una corriente eléctrica afecta a la aguja de una brújula. Esto significa que la corriente eléctrica produce campo magnético el cual se suma al campo magnético terrestre y por ello la brújula se ve afectada.

Con base a lo anterior se podría deducir que un campo magnético debería producir corriente eléctrica. Ésto lo demostró Faraday en Inglaterra (y Joseph Henry en USA). En ese entonces no existía el concepto de campo. Faraday introdujo el concepto en forma de líneas de campo. En términos de campo se puede decir que un campo eléctrico produce campo magnético y que a su vez un campo magnético produce un campo eléctrico.

En términos de campo, ahora se puede decir que un campo magnético que varía en el tiempo produce una fuerza electromotriz (fem) capaz de producir una corriente eléctrica en un circuito cerrado. Una fem no es otra cosa que un voltaje procedente de conductores que se mueven dentro de un campo magnético o de campos magnéticos variables en el tiempo.

La trayectoria cerrada, que puede incluir conductores y elementos como resistores, capacitores, etc., o solamente una línea imaginaria en el espacio. El flujo  es el flujo magnético que cruza a través de cualquier superficie cuyo perímetro es una trayectoria cerrada y d/dt es la razón de cambio de dicho flujo respecto al tiempo.

Experimentalmente se encontró que

Figura 2 (a) (b) i  aumenta,        0 dt d E R i Figura 1 i  aumenta,        0 dt d  disminuye,        0 dt d (a) (b)  disminuye,        0 dt d i E R

(2)

dt d

E

Al usar unidades del SI con Φ en weber (1Wb = 1 T·m2

= V·s) y t en segundos la proporcionalidad se convierte en igualdad

voltios

dt d

E

Se acostumbra expresar la ley de Faraday como

voltios

dt d

femE  (1)

Ley de Lenz. El signo menos en la ecuación (1) indica que la fem tiene una dirección tal que produce una corriente cuyo flujo (inducido) sumado al flujo original, reduciría la magnitud de la fem. Ésta se conoce como Ley de Lenz. Es decir, el voltaje inducido actúa para producir flujo opuesto al cambio del flujo original, como se muestra en la figura 4.

La ecuación (1) y la situación de la figura 4 se pueden sintetizar en la figura 5.

Cuando  0 dt d , dt d dt d  . Cuando 0 dt d , dt d dt di Figura 4 i  aumenta,        0 dt d dt d  E (a) (b) ind dt ind d  E  disminuye,        0 dt d R R Figura 3  disminuye,        0 dt d (a) i dt d  E (b) i  aumenta,        0 dt d dt d  E R R

(3)

Si la trayectoria no se cierra (pero es casi cerrada) no se producirá la corriente pero siempre se producirá la fem. La polaridad de la fem se determina en este caso mediante la polaridad de una fuente que produciría una corriente en el sentido determinado por la ley de Lenz.

Figura 5  aumenta,        0 dt d

(De Figura 4a)

i dt d  (a) i  aumenta,        0 dt d dt d dt dR R Igual a (De Figura 4b) i dt d  (b) i  disminuye,        0 dt d dt d dt dR R Igual a  disminuye,        0 dt d Figura 6 E  aumenta        0 dt d i E i R R disminuye        0 dt d dt d   E R

(4)

En la práctica es recomendable determinar la magnitud de la fem mediante la variación del flujo con el tiempo y la polaridad con ayuda de la Ley de Lenz.

voltios

dt d femE  

Si la espira o circuito está constituido por N espiras o vueltas y todas ellas están tan cerca unas de otras de manera que se pueden considerar coincidentes en el espacio,

dt d N

femE  voltios (2)

Un valor d/dt 0 puede ser el resultado de cualquiera de las siguientes condiciones: .1. Una densidad de flujo que cambia en el tiempo a través de un área con frontera fija. .2. El movimiento relativo con densidad de flujo estable y una trayectoria cerrada. .3. Una combinación de las dos causas anteriores.

Condición 1.Densidad de flujo que cambia en el tiempo a través de un área con frontera fija.

                   Sup Sup Línea S d t B S d B dt d dt d L d E E (3) En donde

    Línea L d E Integral de línea de  E alrededor de la espira, y    

  Sup S d t B Integral de superficie de t B  

sobre el área de la espira

       Sup S d t B E (4)

La ecuación (4) se conoce como, “ecuación de inducción de acción transformadora”.

Su nombre proviene de que ésta es la ecuación que sirve para explicar el funcionamiento de los transformadores.

(5)

Condición 2. El movimiento relativo con densidad de flujo estable y una trayectoria cerrada. Cuando un conductor se mueve a través de un campo magnético se genera un campo

     v B Em

a lo largo del conductor. Si el conductor forma un circuito, la fem inducida producirá corriente eléctrica.

Ahora vamos a estudiar, el movimiento de la varilla conductora de longitud L, masa m, que se mueve sin fricción sobre dos rieles paralelos.

BLx BS S B      

BLv dt dx BL BLx dt d dt d femE      v2 i2 i1 v1

Núcleo magnético Flujo magnético:mcos(t)

N1 N2 1 2 1 2 N N v v  Entrada sinusoidal Salida sinusoidal Figura 7 x m E y R vS x L z

B Barra conductora deslizante

Figura 8

(6)

                

E dL

v B dL fem Línea Línea E (5)

La ecuación (5) se conoce como “ecuación de inducción por movimiento” o “ecuación de inducción por acción generadora”. Este nombre proviene del hecho de que es la que se utiliza en la construcción de los generadores eléctricos. Para conductor recto en campo uniforme

                        

v B dL v B L fem Línea E (6)

El generador de corriente alterna es un dispositivo que convierte la energía mecánica en energía eléctrica. El generador más simple consta de una espira rectangular que gira en un campo magnético uniforme. O más práctico una espira fija en el estator y un campo magnético rotatorio.

Figura 10 i x v i x v Figura 9 R

Circuito cerrado Circuito abierto

E E E 2  v 1  v   B v2   B v1 1  L 2  L

(7)

Cuando la espira gira, el flujo del campo magnético a través de la espira cambia con el tiempo. Se produce una fem. Los extremos de la espira se conectan a dos anillos que giran con la espira, tal como se ve en la figura (10). Las conexiones al circuito externo se hacen mediante escobillas estacionarias en contacto con los anillos.

2 2 1 1                         v B L v B L fem  2 2 1 b v v v      a L L L      2 1 L t B b L B v                    sin 2 1 1 B t L b L B v                    sin 2 2 2 t abB t Ba b

fem  sin()  sin 2 2        

Otra forma: En figura 10

t Bab S

B  cos

   Luego por (1): abB t

dt d

femE   sin

El movimiento relativo de rotación entre las espiras y el campo es producido por el movimiento de una turbina accionada por una corriente de agua en una central hidroeléctrica, o por un chorro de vapor en una central térmica o central geotérmica. En el primer caso, una parte de la energía potencial del agua embalsada se transforma en energía eléctrica; en el segundo caso, una parte de la energía química se transforma en energía eléctrica al quemar carbón u otro combustible fósil o de la energía de una reacción nuclear para producir el vapor de agua y en el tercer caso es la energía endógena del subsuelo la que se aprovecha.

Condición 3. Combinación de los dos casos anteriores.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 1.2  0.9  0.6  0.3  0.3 0.6 0.9 1.2 fem t( ) t T Figura 11

(8)

                  

dS

v B dL t B Línea Sup E (7)

Otras consecuencias de la Ley de Faraday

.1. Conductor en reposo con corriente en un campo magnético .2. Conductor en movimiento en un campo magnético

Caso 1: Fuerza sobre una carga en movimiento

    dqv B F d

                  B dLi B i dL B dt dq L d B dt L d dq F d F

    i dL B F (8) Acción motora dq F d dq v Figura 12  vF d i

(a) Caso 1 (b) Caso 2

(9)

Figura 13 (a) fuerzas y torque (b) rotor

La ecuación (8) se utiliza para explicar el funcionamiento de los motores. Los conductores se distribuyen alrededor de un cilindro llamado rotor, el cual tiene embobinados (devanados). Las fuerzas combinadas producen torque.

Caso 2: Fuerza sobre una carga en movimiento

    dqv B F d       v B Em dq F d

Campo eléctrico cinético. Debido a este campo las cargas negativas se desplazan hacia abajo dejando el extremo superior positivo (Figura 12, literal (b)) y como resultado se tiene un voltaje inducido

                

E dL

v B dL fem Línea Línea m E (9) Acción generadora

Tanto la acción motora como la acción generadora se pueden deducir con ayuda de la fuerza sobre cargas en movimiento. Esto quiere decir que dicha fuerza es un caso particular de la Ley de Faraday.

Forma diferencial de la Ley de Faraday

Densidad de flujo magnético: 

        t r B B , Flujo magnético:

     Sup S d B

                   Sup Sup Linea S d t B S d B dt d dt d L d E E Forma integral:

          Sup línea S d t B L d E (10)

Recordemos el Teorema de Stokes

              Lin Sup S d A L d A (11)

Aplicando el Teorema de Stokes en la ecuación (10)

                     Sup Línea Sup S d t B S d E L d E 0             

    Sup Sup S d t B S d E

(10)

0               

   Sup S d t B E (12)

Para que la ecuación (12) sea cierta para cualquier superficie de integración la cantidad entre paréntesis debe ser cero, o sea

0         t B E o bien t B E         (13)

La ecuación (13) es la forma diferencial o puntual de la Ley de Faraday

Corriente de desplazamiento En magnetostática      H J (14)

Aplicando la identidad del cálculo vectorial: El divergente del rotacional es cero.

               H 0 J (15)

Pero se sabe que el divergente de la densidad de corriente, en general no es cero. Por la ecuación de continuidad se tiene que

0         t Jv (16)

El divergente de la densidad de corriente es el negativo de rapidez de cambio de la densidad volumétrica de carga. La contradicción entre (15) y (16) se hace más evidente en el caso del interior un capacitor, y en el espacio libre. Si aplicamos (14) en la región entre las placas de un capacitor.  J J J J J J J J

D: Densidad de flujo eléctrico Trayectoria de Ampere Figura 15  JH Figura 14

(11)

En la trayectoria de Ampere indicada  

H ? No hay carga en movimiento o sea 0

J , lo que implica que, si (14) es correcta, 0

H . Pero “algo” fluye de una placa a la otra para que después reaparezca la corriente en el otro terminal del capacitor. No hay que perder de vista que (14) es válida en condiciones de corriente estática (cd) y ahora se está tratando los campos variantes en el tiempo.

Es posible que a la ecuación (14) le haga falta algo para incluir el caso de variación en el tiempo.

Jes la densidad de corriente de conducción. Si se asume que H J Jd

       y luego aplicamos el divergente. d v d d J t J J J J H                                        0  t J v d        (17) Pero     D v

D= densidad de flujo eléctrico

                               t D D t t J v d  O sea t D Jd     

Densidad de corriente de desplazamiento (18)

Entonces la Ley de Ampere ampliada, también conocida como ley de Ampere-Maxwell, queda

t D J H          (19)

La (19) aplicada al interior de las placas de un capacitor y también en el espacio libre, en donde

0

J , se cumple la ley de Ampere en la forma

t D H        (20)

Esta última ecuación es una de las que se aplican en el caso del funcionamiento de las antenas. La corriente de conducción es:

 

E

J  y la corriente por convección es:

 

v

Jv . En ambos casos se trata de movimiento de cargas eléctricas, no así la corriente de desplazamiento.

Ecuaciones de Maxwell en forma diferencial

Ley de Faraday t B E         (21)

(12)

Ley de Ampere t D J H          (22) Ley de Gauss Dv  (23)

Ley de Gauss del magnetismo  0

B (24)

Las ecuaciones (21) a (24) constituyen las muy conocidas Ecuaciones de Maxwell. Y junto a las ecuaciones auxiliares, conocidas como ecuaciones constitutivas, forman el conjunto de leyes que se aplican en la mayoría de los casos en que se involucra el electromagnetismo. Estas son: Para materiales lineales, isótropos y homogéneos, caracterizados por ,  y .

       E E P D  0 0( )        H H M B        E v J  v Ecuaciones de Maxwell en forma integral

Ley de Faraday

        Sup lin S d B dt d L d E (25) Ley de Ampere

                   Sup Lin S d t D J L d H (26) Ley de Gauss

 

  Vol v Sup dv S d D  (27)

Ley de Gauss del magnetismo

 0

  Sup S d B (28)

Los potenciales retardados

Los potenciales variantes en el tiempo, conocidos usualmente como potenciales retardados tienen aplicación en problemas de radiación. Debe recordarse que el potencial eléctrico escalar V puede expresarse como en términos de la distribución de carga estática.

Vol v R dv V   4 Estática (29) Con (29) EV  (30)

Y el potencial magnético vectorial puede encontrarse en términos de una densidad de corriente constante (dc)

(13)

   Vol R dv J A   4 (dc) (31) De (31)      A B (32) Como DEv             D

V

v  Resulta  v V  2 (33) Similar     2AJ (34)

Se desea ahora definir expresiones matemáticas de potenciales adecuados para campos variantes en el tiempo. La dificultad de usar (33) y (34) para este caso reside en que se involucra la distancia del punto fuente y el punto del campo y si hay un cambio en v y/o

J los valores de V

y

A en el punto del campo cambiarán de acuerdo a los cambios de los primeros pero con cierto retardo debido a que la información de los cambios en las fuentes lleva una velocidad finita.

En la figura 16, la velocidad

vcon que se transmite la información de los cambios en las fuentes es la velocidad de la luz en el medio, o sea



1

v . Para el caso del vacío (o aire) 299792458 1 0 0      c v m/s  3108 m/s.

Si aceptamos la (32) como válida ya que cumple con el requisito de que la divergencia del rotacional debe ser cero, entonces será necesario redefinir o encontrar sustituta para la (30) ya que ésta se cumple cuando 0

E , y esto último no se cumple cuando los campos varían en el tiempo. Por un proceso parecido al que se usó cuando se encontró la corriente de desplazamiento, supongamos ahora que

vv dvA dJ Rdv dV vR Figura 16

(14)

     V N E Aplicando rotacional t B N V E                   t B N E              0 t B N                                      t A A t N t A N       t A V E        (35)

Para que un campo vectorial quede completamente definido se debe establecer su rotacional y su divergente. Definiendo la divergencia de

A como t V A         (36)

La forma en que se define la (36) permite obtener, empleando las otras ecuaciones de Maxwell

t D J H          v D    2 2 2 t A J A            (37) 2 2 2 t V V v          (38)

Estas dos últimas ecuaciones están relacionadas con la ecuación de onda, que es la que viaja con velocidad



1

(15)

Para tomar en cuenta el retardo en el tiempo se establece el tiempo retardado

v R t

t  de modo que si la densidad de carga varía, por ejemplo, como v  v(r,t)ercost

El punto del campo se “da cuenta” de los cambios en la densidad de carga en un instante posterior. Entonces desde el punto de vista del punto del campo, la distribución de carga sería

 

 

              v R t e t e t r r r v v     ( , ) cos cos

Así para representar una función en términos del tiempo retardado se indica por medio de los corchetes. Las expresiones para los potenciales retardados quedan.

 

Vol v R dv V   4 (39)

       Vol R dv J A   4 (40)

Campos armónicos respecto al tiempo

Un campo armónico en el tiempo es el que varía en forma sinusoidal en el tiempo.

Sea A(r,t)

  

A una función vectorial cualquiera que depende de la posición

r y del tiempo. Y ) (    A r S

A una función vectorial que depende de la posición (no del tiempo). Cuando las variables de posición y tiempo son separables de la forma.

j t

s e    A A Re (41) En la expresión anterior, AS y t j

e  (e: base de los logaritmos naturales o neperianos) son números complejos, su producto también es complejo y la expresión “Re( )” significa parte real de la cantidad entre paréntesis.

Recordando la Identidad de Euler: ej cos jsen y j  1, (j)2 = 1 Se dice que la función ASes la forma fasor del vector A. Por ejemplo el vector

 

x t Fm t x ay

F ,  cos(  )ˆ



F (42)

(16)

y

x t j me a F ˆ Re ( )  F (43)

Debido a la Identidad de Euler: ej(tx) cos(tx) jsen(tx)

y

m y

m y x t j me a F t x jsen t x a F t x a F ˆ Re (cos( ) ( ))ˆ cos( )ˆ Re (  )            F Volviendo a (43)

j t

S t j y x j m y x t j me a F e a e e F            F F Re ( )ˆ Re ˆ Re (44) En la expresión anterior:

m

y y x j m S F e aˆ Fx aˆ    F (45)

La expresión (45) es la forma fasor de la expresión (42). Nótese que en la forma fasor no aparece el tiempo en forma explícita.

Como puede verse en (45)

m

y

m m

y y x j m S F e aˆ Fx aˆ F cos( x) jF sen( x) aˆ    F

La forma fasor de F es un número complejo (además de expresión vectorial)

Por otro lado, la derivada parcial de una cantidad vectorial A respecto al tiempo, (expresión frecuente en las ecuaciones de Maxwell) queda

Si

S ej t

   A A Re

                    t e e t e t t t j S t j S t j S    A A A A Re Re

Note que como la forma fasor AS no depende del tiempo, 0   t S A . La derivada parcial de ejtse convierte en la derivada ordinaria de ejt, la cual es: ej t j ej t

dt d  , así

j t

S t j Se j e t t   A A A Re Re      

Así la forma fasor de

t  A es jAS Es decir AAS (46) t  A jAS (47)

(17)

De igual manera

Adt   j S A (48)

Como puede verse las derivadas e integrales en el tiempo en las ecuaciones de Maxwell se convierten en multiplicaciones y divisiones por j respectivamente.

Ecuaciones de Maxwell para campos armónicos (forma puntual o diferencial)

Ley de Faraday Es j Bs        (49) Ley de Ampere-Maxwell Hs Js j Ds         (50) Ley de Gauss Ds vs  (51)

Ley de Gauss del magnetismo  0

s

B (52)

Debido a lo anterior se hará un breve recordatorio del álgebra de complejos El número complejo z puede expresarse como

x

jy

re

r

z

j Forma exponencial

(18)

Forma rectangular: zxjy

Forma polar: zrcos  jrsen r

Forma exponencial: zrej Rectangular  Polar: Magnitud: zrx2y2 Argumento:         x y 1 tan 

Polar Rectangular: Parte real, xrcos, Parte imaginaria, yrsen

1 1 1 1 1 1 1

x

jy

r

e

r

z

j 2 2 2 2 2 2 2

x

jy

r

e

r

z

j Adición

z

1

z

2

x

1

jy

1

x

2

jy

2

(

x

1

x

2

)

j

(

y

1

y

2

)

Sustracción

z

1

z

2

(

x

1

jy

1

)

(

x

2

jy

2

)

(

x

1

x

2

)

j

(

y

1

y

2

)

Producto 1 2 1 2 ) ( 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1   

r

r

e

r

r

e

r

e

r

z

z

j j j División 1 2 2 1 ) ( 2 1 2 1 2 1 2 2

/

2 1

   

r

r

e

r

r

e

r

e

r

z

z

j j j Raíz Cuadrada:

 

 

2 2 / /2 1 2 1    r e r re z z   jj  ó zr//2 Raiz n-ésima z n

 

rej n n rej k n n r n k n / 2 / / / ) 2 ( / 1 / 1           k = 0, 1, 2 . . . n1, (argumento en radianes) n k n r z n n / 360 / / / 1    k = 0, 1, 2 . . . n1, (argumento en grados) ) , ( ); , (x y r  r Re Im x y Figura 17

(19)

Potencia: zn

 

rejnrnejn rn/n

Conjugado complejo

z

x

jy

z

x

jy

re

j

r

/

Parte Real: Re(z)xrcos

Parte Imaginaria: Im(z)yrsen

Producto por su conjugado

2 2

0

/

)

)(

(

x

jy

x

jy

re

re

r

z

z

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j j

Forma alternativa de las expresiones del producto y del cociente en términos de componentes rectangulares Producto 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1

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Cociente 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1

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Referencias

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