Segundo parcial. 14/11/2011
1. Considere la siguiente versión del juego del ultimátum. Hay 3 monedas. J1 puede ofrecer quedarse con 1 o con 2. J2 acepta o rechaza. Si rechaza, los dos jugadores obtienen 0. Suponga que los jugadores sólo se preocupan por la cantidad de monedas que obtienen y prefieren tener más monedas.
1.1. (1 punto) ¿Es este un juego de información perfecta o imperfecta? Fundamente su respuesta.
1.2. (2 puntos) Identifique todos los subjuegos. Explique.
1.3. (3 puntos) Para cada equilibrio de Nash del juego, diga si es o no perfecto por subjuegos. Fundamente su respuesta.
2. Considere un duopolio de Cournot repetido dos veces (se juega dos veces). El juego de etapa puede ser representado por el siguiente árbol:
Los beneficios totales son la suma simple de los beneficios en cada etapa (no hay descuento).
2.1. (2 puntos) Identifique todos los subjuegos. Fundamente su respuesta.
2.2. (2 puntos) Diga si el siguiente perfil de estrategias constituye un equilibrio perfecto por subjuegos:
a) En la primera etapa, produzca 1 4⁄ .
b) En la segunda etapa, produzca 1 4⁄ si las dos empresas produjeron 1 4⁄ en la etapa previa (es decir si cada empresa produjo 1 4⁄ en la primera etapa) y 1 3⁄ en el caso contrario (es decir si ocurrió cualquier otra cosa en la primera etapa).
Fundamente su respuesta. Empresa 1 Empresa 2 1 2⁄ 1 3⁄ 1 4⁄ 1 2 1 3 1 4 0 0 83 56 125 63 56 83 111 111 139 104 63 125 104 139 125 125
3. Considere el siguiente juego de señalización.
3.1. (1 punto) Determine los valores de y . En otras palabras, determine (i) la probabilidad que el jugador 2 asigna a que el jugador 1 sea de tipo 1 después de haber visto que el jugador 1 jugó L y (ii) la probabilidad que el jugador 2 asigna a que el jugador 1 sea de tipo 1 después de haber visto que el jugador 1 jugó R. Explique. 3.2. (1 punto) ¿Hay equilibrios agrupadores en este juego? Si los hay, identifíquelos, si no los hay, diga por qué no.
3.3. (1 punto) ¿Hay equilibrios separadores en este juego? Si los hay, identifíquelos, si no los hay, diga por qué no.
R 1 L u d u d −100,0 2,1 0,0 −100,3 1 J2 L R u d u d 0,1 −100,0 −100,2 2,4 N 0,5 0,5 J2 1 − 1 −
Pauta de respuesta
1.1. Es un juego de información perfecta ya que los dos jugadores conocen todas las jugadas previas del juego. Más formalmente, todos los conjuntos de información son “singletons”, es decir que están integrados por un único nodo.
1.2. Para identificar los subjuegos es útil presentar el árbol del juego:
Identificamos dos subjuegos que empiezan en los dos nodos en que le toca jugar a J2. (a) En los dos nodos en que le toca jugar a J2 el conjunto de información inicial contiene un único nodo. (b) Los dos subjuegos contienen a todos los nodos que le siguen (en este caso, sólo le siguen nodos terminales). (c) No se intersecta ningún otro conjunto de información.
1.3. Ya mostramos en clase que este juego tiene la siguiente representación en forma normal y los siguientes tres equilibrios de Nash:
Jugador 2
, , , ,
Jugador 1 1 1,2 1,2 0,0 0,0
2 2,1 0,0 2,1 0,0
(i) Equilibrio de Nash 1, , : no es perfecto por subjuegos porque no es un equilibrio de Nash en el subjuego “derecho” (el que sigue a la jugada 2 de J1). (ii) Equilibrio de Nash 2, , : no es perfecto por subjuegos porque no es un equilibrio de Nash en el subjuego “izquierdo” (el que sigue a la jugada 1 de J1). Los dos equilibrios de Nash anteriores incluyen amenazas “vacías”: J2 está “amenazando” con rechazar ofertas que, llegado el momento, jamás rechazaría. (iii) Equilibrio de Nash 2, , : es perfecto por subjuegos. Es un equilibrio de Nash en los dos subjuegos que empiezan cuando le toca jugar a J2.
J1 J2 J2 1 2 A R A R 1 2 0 0 2 1 0 0 J 1 J 2
2.1. En cada nodo en que le toca jugar a la empresa 1 por segunda vez empieza un subjuego. Los juegos de la segunda etapa son subjuegos del juego repetido: (a) Empiezan en un “singleton”. (b) Incluyen todos los nodos que los suceden. (c) No intersectan con conjuntos de información de otros subjuegos. Hay nueve subjuegos, que siguen a las nueve historias posibles del juego en la primera etapa: 1) 1 2⁄ , 1 2⁄ ; 2) 1 2⁄ , 1 3⁄ ; 3) 1 2⁄ , 1 4⁄ ; 4) 1 3⁄ , 1 2⁄ ; 5) 1 3⁄ , 1 3⁄ ; 6) 1 3⁄ , 1 4⁄ ; 7) 1 4⁄ , 1 2⁄ ; 8) 1 4⁄ , 1 3⁄ ; 9) 1 4⁄ , 1 4⁄ .
2.2. El perfil de estrategias propuesto no es un equilibrio de Nash en el segundo juego de etapa y, por lo tanto, no es un equilibrio de Nash del subjuego que empieza después de que ambos jugadores jugaron 1 4⁄ . Por lo tanto, este perfil de estrategias no es un equilibrio perfecto por subjuegos.
Notas sobre respuestas al ejercicio 2 en el parcial:
(A) Algunos estudiantes quisieron identificar un equilibrio perfecto por subjuegos en el duopolio de Cournot repetido. En realidad, lo que se pedía era pronunciarse sobre si un perfil de estrategias particular que se dio en la letra del ejercicio podía constituir un equilibrio perfecto por subjuegos en este juego. El argumento que presento en el párrafo anterior muestra que el perfil de estrategias propuesto no constituye un equilibrio perfecto por subjuegos. Eso es todo lo que se pidió.
Para responder a la pregunta que algunos se plantearon, es decir para identificar un equilibrio perfecto por subjuegos en este ejercicio, se puede hacer lo siguiente:
(i) Resolver el segundo juego de etapa y mostrar que tiene un único equilibrio de Nash en el que ambas empresas eligen 1 3⁄ :
Empresa 2 1 2⁄ 1 3⁄ 1 4⁄ Empresa 1 1 2⁄ 0, 0 83,56 125,63 1 3⁄ 56,83 111,111 139,104 1 4⁄ 63,125 104,139 125,125
(ii) Contabilizar los pagos de la segunda etapa y sumárselos a los pagos de la primera, obteniéndose la siguiente matriz que resume los pagos totales del juego en dos etapas, como función de las jugadas realizadas en la primera etapa:
Empresa 2 1 2⁄ 1 3⁄ 1 4⁄ Empresa 1 1 2⁄ 0+111, 0+111 83+111,56+111 125+111,63+111 1 3⁄ 56+111,83+111 111+111,111+111 139+111,104+111 1 4⁄ 63+111,125+111 104+111,139+111 125+111,125+111 Notar que se suma 111 a todas las celdas y para los dos jugadores, porque ya sabemos que 111 es lo que obtendrán ambos jugadores en la segunda etapa, con independencia de lo que hagan en la primera.
(iii) Identificar el equilibrio de Nash del juego completo. Se trata simplemente de verificar en la segunda matriz un par de estrategias que constituyan mejores respuestas. La celda destacada en rojo es el resultado que surge de aplicar el razonamiento usual (no lo repito aquí por conocido).
Conclusión: un par de estrategias en que las empresas juegan 1 3⁄ en ambas etapas
constituye un equilibrio perfecto por subjuegos. Notar lo que quiero decir al afirmar que “las empresas juegan 1 3⁄ en ambas etapas”: (i) juegan 1 3⁄ en la primera etapa y (ii) juegan 1 3⁄ en la segunda etapa, no importa cómo se haya jugado la primera etapa, es decir que juegan 1 3⁄ en los nueve subjuegos de la segunda etapa.
(B) Algunos estudiantes no fueron suficientemente cuidadosos al describir una
estrategia: siempre deben decir qué hace el jugador en todos y cada uno de los nodos en que le toca jugar. Si la estrategia en cuestión es simple, pueden describirla en forma sintética, como hago yo más arriba, diciendo por ejemplo “juega 1 3⁄ en ambas etapas” o “pase lo que pase juega 1 3⁄ ”. Esto es suficientemente claro y no hay necesidad de decir: “(1) juega 1 3⁄ en la primera etapa; (2) juega 1 3⁄ en la segunda etapa si en la primera etapa se jugó 1 2⁄ , 1 2⁄ ; (3) juega 1 3⁄ en la segunda etapa si en la primera etapa se jugó 1 2⁄ , 1 3⁄ ; (4) juega 1 3⁄ en la segunda etapa si en la primera etapa se jugó 1 2⁄ , 1 4⁄ ; …; (10) juega 1 3⁄ en la segunda etapa si en la primera etapa se jugó 1 4⁄ , 1 4⁄ ”. Pero en todo caso, para que la estrategia esté bien definida, deberá quedar claro cuál es la regla de acción en todos los nodos en que al jugador le toca jugar. Esto es así porque, por ejemplo, no puedo decir si “jugar 1 3⁄ en la primera etapa y 1 3⁄ en la segunda etapa después de que en la primera se jugó 1 3⁄ , 1 3⁄ ” es una mejor respuesta a alguna estrategia del otro jugador. Esto no llega a ser una estrategia: sólo dice qué hacer en la segunda etapa cuando se llega al nodo que sigue a 1 3⁄ , 1 3⁄ , pero no dice qué hacer si se llega a cualquier otro nodo de la segunda etapa. No puedo
entonces evaluar esta regla de acción incompleta porque no se está diciendo qué otras acciones se habrían elegido en la segunda etapa en caso de haberse jugado de otra manera la primera etapa.
3.1. = 0 y = 1. Fundamentación: (i) 1 obtiene -100 si juega L y al menos 0 si
juega R. Por lo tanto, 1 juega R. (ii) 1 obtiene al menos 0 si juega L y -100 si
juega R. Por lo tanto, 1 juega L. J2 sabe esto y, por lo tanto, si observa que J1 jugó L, deduce que es de tipo 2, es decir que = 0. Por lo mismo, si observa que J1 jugó R, deduce que es de tipo 1, es decir que = 1.
3.2. No hay equilibrios agrupadores. Por lo que vimos en el punto anterior, 1 juega R y 1 juega L, es decir que se separan.
3.3. En principio, hay dos equilibrios separadores posibles en los que: (i) 1 juega L y 1 juega R y (ii) 1 juega R y 1 juega L. Por lo visto en 3.1, (i) no es parte de un
equilibrio: 1 nunca jugaría L y 1 nunca jugaría R. Verifico entonces si hay un equilibrio separador en el que 1 juega R y 1 juega L. En un equilibrio como este, se cumplirá que = 0 y = 1. J2 juega u, con independencia de lo que haya jugado J1. En efecto, si J1 jugó L, J2 concluye que está jugando con 1 , es decir que está en
el nodo inferior izquierdo. Sabe entonces que, si responde jugando u obtiene 4 y si responde jugando d obtiene 1. Por lo tanto, su respuesta óptima es u. A su vez, si J1 jugó R, J2 concluye que está jugando con 1 , es decir que está en el nodo superior
derecho. Sabe entonces que, si responde jugando u obtiene 1 y si responde jugando d obtiene 0.
Conclusión: identificamos un equilibrio bayesiano perfecto separador en el que: (a) 1
juega R y 1 juega L. (b) = 0 y = 1. (c) J2 juega u siempre, es decir con
