Relatividad General en Sistemas Planetarios

Relatividad General en Sistemas

Planetarios

Patricio Zain

Diciembre 2014

Índice general

1. Gravitación Newtoniana 3

1.1. Ley de Gravitación Universal . . . 3

1.2. Problema de Dos Cuerpos . . . 3

1.3. Problema de N cuerpos . . . 6

2. Gravitación Post-Newtoniana 9 2.1. Deducción de la Ecuación de Movimiento . . . 9

2.2. Interpretación de la ecuación de movimiento . . . 16

3. Efectos en Sistemas Planetarios 19 3.1. Sistema Solar . . . 19

3.1.1. Descripción general . . . 19

3.1.2. Precesión del perihelio . . . 20

3.2. Experimentación numérica . . . 23

3.2.1. Sistema Solar Interior . . . 24

3.2.2. Sistema Solar Exterior . . . 26

3.2.3. Asteroides . . . 28

3.3. Sistemas Extrasolares . . . 30

3.3.1. Descripción general . . . 30

3.3.2. Perturbaciones seculares . . . 32

Introducción

La teoria de la Relatividad General es usada en muchas áreas de la astrofísica, pero sin embargo todavía no se la ha estudiado con profundidad en el área de las Ciencias Planetarias. Desde su postulación en 1916 ya se sabía que la Relatividad General tenía una influencia importante sobre el Sistema Solar. Particularmente la precesión del Perihelio de Mercurio es de mucha relevancia histórica, ya que fue uno de los tests de la teoria de Relatividad General propuestos por Albert Einstein.

El objetivo de este trabajo es presentar el efecto de la Relatividad General en la dinámica de los cuerpos que forman parte de los sistemas planetarios, tanto en el Sistema Solar como en Sistemas Extrasolares. Existe una población creciente de cuerpos menores en el Sistema Solar, y planetas extrasolares muy masivos con órbitas muy cercanas a la estrella central, donde la relatividad general tiene un efecto importante. Por lo tanto estos efectos relativistas son un tema de estudio actual muy importante dentro de las Ciencias Planetarias y la Mecánica Celeste, pues ayudan a elaborar y refinar los modelos teóricos de formación y evolución de sistemas planetarios.

En el primer capítulo se hará un repaso de nociones básicas de Gravitación Newto-niana y Mecánica Celeste.

En el segundo capítulo se desarrollará la Gravitación Post-Newtoniana, para deducir la ecuación de movimiento relativista.

En el tercer capítulo se presentan los resultados de los efectos relativistas en los distintos cuerpos que conforman los sistemas planetarios, tanto en el Sistema Solar como en Sistemas Extrasolares, comprobados mediante observaciones y simulaciones numéricas.

1 Gravitación Newtoniana

Ahora daremos un muy breve repaso de la Gravitación Newtoniana y nociones bá-sicas de la Mecánica Celeste.

1.1.

Ley de Gravitación Universal

Clásicamente, la fuerza de atracción gravitatoria entre dos cuerpos de masas m1 y

m2, ubicados en las posiciones ~r1 y ~r2 respectivamente, está dada por:

~ Fg = −G m1m2 | ~r1− ~r2 |2 ˇ r12 (1.1)

Donde ˇr12 es la dirección que las une.

Definimos el campo gravitatorio generado por una masa m como ~g = F~g

m y un

potencial gravitatorio φ , definido por la ecuación de Poisson. ∇2_{φ = 4πGρ}

Siendo ρ la densidad de masa. Y además se cumple que ~F = − ~∇φ

1.2.

Problema de Dos Cuerpos

Leyes de Kepler

A principios del siglo XV, Johannes Kepler enunció sus tres leyes de movimiento planetario, que describen matemáticamente el movimiento de los planetas en sus órbitas.

Capítulo 1 Gravitación Newtoniana

1. Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas. El Sol se encuentra en uno de los focos de la elipse.

2. El radio vector que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

Esto es consecuencia de la conservación del momento angular.

3. La razón entre el periodo de revolución al cuadrado y el radio orbital al cubo se mantiene constante.

Si T es el período orbital, a es el semieje mayor de la órbita, y M es la masa del Sol, se cumple que

T2 = 4π

2

GMa

3

El problema de dos cuerpos consiste en estudiar el movimiento de dos cuerpos que interactuan por acción de la gravedad.

Suponemos que los cuerpos son esféricamente simétricos y que no hay fuerzas exter-nas actuando sobre los cuerpos.

1.2 Problema de Dos Cuerpos

Entonces las ecuaciones de movimiento para cada cuerpo son:

m1r~¨1 = −Gm1_r2m2rˆ

m2r~¨2 = Gm1_rm2 2rˆ

Definiendo ~r= ~r1− ~r2 como el vector de posición relativa entre los cuerpos y restando

ambas ecuaciones, obtengo la ecuación de movimiento:

¨

~

r = −µ

r2rˆ (1.2)

Con µ = G(m1+ m2)

Las trayectorias definidas por dicha ecuación son llamadas órbitas. Están definidas por seis parámetros orbitales, que pueden ser computadas de la posición y velocidad. Semieje mayor a: define el tamaño de la órbita.

Excentricidad e : define la forma de la órbita. Para órbitas cerradas 0 ≤ e < 1, que son las que estudiaremos. Son órbitas circulares o elípticas.

Anomalía verdadera ν : Es el ángulo entre la posición del cuerpo orbitante y la posición del perihelio (punto más cercano al Sol).

Inclinación i : Es el ángulo entre el plano de la orbita y el plano fundamental de nuestro sistema de referencia.

Longitud del nodo ascendente Ω: Es el ángulo entre el eje del sistema de referencia hasta el nodo ascendente del plano de la orbita.

Capítulo 1 Gravitación Newtoniana

Todos estos elementos orbitales pueden ser calculados conociendo la posición ~r(t) y

la velocidad ˙~r(t).

1.3.

Problema de N cuerpos

El problema de N cuerpos provee una descripción más realista de lo que es el movi-miento de los cuerpos en un sistema planetario, por que en el Sistema Solar no hay dos cuerpos, si no muchos planetas.

No tiene solución analítica y debe ser resuelto numéricamente.

La interacción gravitatoria total sobre una cuerpo es producto de las contribuciones del resto de los cuerpos que intervienen. Entonces la ecuación de movimiento es de la forma: ¨ ~ ri = − N X k=1,k6=i µi( ~rk− ~ri) | ~rk− ~ri |3 (1.3)

Como la principal interacción gravitatoria es producida por el Sol, el problema de N cuerpos puede descomponerse en dos partes: un término correspondiente al problema de 2 cuerpos más una perturbación producida por el resto de los planetas.

1.3 Problema de N cuerpos ¨ ~ ri = − µ~ri r3 i + ~∇R (1.4)

Siendo R la función perturbadora.

Las perturbaciones deforman la órbita respecto de la trayectoria obtenida en un sistema de dos cuerpos. Es decir, si mi órbita es una elipse, si la perturbo ya no será una elipse. Sin embargo, para cada instante de tiempo t puedo calcular los elementos orbitales a partir de la posición y velocidad en ese instante de tiempo. Tendré una órbita elíptica diferente para cada instante de tiempo. Es lo que se conoce como órbita osculante.

De esta forma, puedo conocer como varían los distíntos parámetros orbitales con el tiempo.

2 Gravitación Post-Newtoniana

2.1.

Deducción de la Ecuación de Movimiento

Las ecuaciones de campo de Einstein son no lineales, y por eso por lo general no pueden ser resueltas con exactitud. Imponiendo condiciones de simetria, isotropia espacial e independencia del tiempo, se encuentra la métrica de Schwarzschild. Pero no podemos hacer un uso completo pues el Sistema Solar no es estático ni isotrópico. Los efectos Newtonianos de los campos gravitatorios de los planetas son un órden de magnitud mayor que las primeras correcciones debidas a la Relatividad General. No necesitamos soluciones más exactas, si no desarrollar un método de aproximación que no dependa de ninguna propiedad asumida de simetría del sistema.

Hay distintas formas de llegar al resultado. En este trabajo seguiremos el desarrollo de Weinberg que, además de proveernos una ecuación, nos proveerá información adicional sobre la naturaleza física del efecto relativista.

Nos interesa encontrar las correcciones a las ecuaciones de movimiento Newtonianas de un sistema de partículas puntuales (es decir, suponemos que son de simetría esférica), derivándolas de la Relatividad General.

Consideremos un sistema de partículas que, como el sol y los planetas, estan ligados debido a su atracción gravitatoria mutua. Sean M , r, v valores tipicos de sus ma-sas, separaciones y velocidades. Un resultado de la mecánica newtoniana es que las velocidades típicas de las partículas del sistema solar son v2 _∼ GM

r << c

2 _.

La aproximación Post-Newtoniana consiste en un método para obtener los movi-mientos del sistema a un órden de magnitud mayor del parámetro v2 _{al dado por la}

la mecánica Newtoniana. Resulta en una expansión en potencias de v_c, o tomando

c = 1, tomamos v2 _{como parámetro de expansión.}

Las partículas siguen trayectorias geodésicas, es decir, trayectorias que minimizan las distancias dadas por la métrica.

Las ecuaciones de movimiento de las particulas están dadas por la ecuación geodé-sica: d2_xµ dτ2 + Γ µ νλ dxν dτ dxλ dτ = 0 (2.1)

Capítulo 2 Gravitación Post-Newtoniana d2_xi dt2 = d dt dxi dτ dτ dt ! = d dτ   dxi dτ dt dτ !−1  dt dτ ! −1 = dt dτ !,2 d2_xi dτ2 − dt dτ !−3 d2_t dτ2 dxi dτ

Reemplazando la ecuación geodésica llegamos a

d2xi dt = −Γ i νλ dxν dt dxλ dt + Γ 0 νλ dxν dt dxλ dt dxi dt

Desarrollando las sumatorias y teniendo en cuenta que dx_dt0 = 1

d2xi dt2 = −Γ i 00− 2Γ i 0j dxj dt − Γ i jk dxj dt dxk dt + " Γ0₀₀+ 2Γ0_0jdx j dt + Γ 0 jk dxj dt dxk dt # dxi dt (2.2)

Nuestro objetivo será desarrollar esta aceleración a orden v4

r. Necesitamos que las

componentes de la conexión afines tengan los siguientes órdenes:

Componente Orden requerido

Γi 00 v4 r Γi_0j v_r3 Γi jk v 2 r Γ0 00 v3 r Γ0 0j v2 r Γ0 jk vr

Esperamos encontrar un sistema de coordenadas cuyo tensor métrico sea casi equi-valente al tensor de Minkowski ηµν, siendo las correcciones expandibles en potencias

de M G_r ∼ v2_{. En particular, esperamos:} g00 = −1 + (2) g00+ g (4) 00 + ... gij = δij + g (2) ij + g (4) ij + ... gi0 = g (3) i0 + g (5) i0 + ...

Donde g(N )µν denota el término de gµν de orden vN.

Las potencias impares de v ocurren en gi0 por que debe cambiar de signo ante la

transformación t → −t.

Estas expansiones van a llevarnos a una solución consistente de las ecuaciones de Einstein.

La métrica inversa está definida de la forma:

giµ_g 0µ = gi0g00+ gijgj0= 0 g0µ_g 0µ = g00g00+ g0igoi = 1 giµ_g jµ = gi0gj0+ gikgjk = δij 10

2.1 Deducción de la Ecuación de Movimiento Esperamos: g00 _{= −1 +} (2) g00₊ (4) g00_{+ ...} gij _{= δ} ij + (2) gij ₊ (4) gij _{+ ...} gi0 ₌ (3) gi0₊ (5) gi0_+...

Por lo tanto, encontramos

(2) g00 = −g(2)00, (2) gij = −g(2)ij, (3) gi0 = −g(3)i0

La conexión afin la obtenemos de la fórmula:

Γµ_νλ = 1 2g µρ ( ∂gρν ∂xλ + ∂gρλ ∂xν − ∂gνλ ∂xρ ) (2.3)

Para calcular dicha conexión debemos tener en cuenta que las escalas de distancia y tiempo en nuestro sistema están dadas por r y r_v. Entonces las derivadas espaciales y temporales deben ser del orden _∂x∂i ∼

1 r , ∂ ∂t ∼ v r.

Usando los valores de la métrica estimados, encontramos que las componentes se expanden de la forma: Γµ_νλ = (2) Γµ_νλ+ (4) Γµ_νλ+ ... Para Γi 00, Γijk, Γ00i Γµ_νλ = (3) Γµ_νλ+ (5) Γµ_νλ+ ... Para Γi_0j, Γ0 00, Γ0ij Siendo (N ) Γµ_νλ el término de orden v_rN. Explícitamente, las componentes son:

(2) Γi₀₀ = −1₂ (2) ∂g00 ∂xi (4) Γi₀₀ = −1₂ (4) ∂g00 ∂xi + (3) ∂gi0 ∂t + 1 2 (2) gij (2) ∂g00 ∂xj (3) Γi 0j = 1 2 " (3) ∂gi0 ∂xj + (2) ∂gij ∂t − (3) ∂gj0 ∂xi # (2) Γi jk = 12   (2) ∂gij ∂xk + (2) ∂gik ∂xj − (2) ∂gjk ∂xi   (3) Γ0₀₀ = −1₂ (2) ∂g00 ∂t (2) Γ0 0i = −12 (2) ∂g00 ∂xi (1) Γ0 ij = 0

Capítulo 2 Gravitación Post-Newtoniana

Debemos conocer las componentes gij a órden v2, gi0 de órden v3 y g00 de órden v4.

Luego procedemos a calcular el tensor de Ricci

Rµκ ≡ Rλµλκ = ∂Γλ µλ ∂xκ − ∂Γλ µκ ∂xλ + Γ η µλΓ λ κη− Γ η µκΓ λ ηλ (2.4)

Reemplazando los símbolos de Christoffel, hallamos que las componentes del tensor se expanden de la forma: R00 = (2) R00+ (4) R00+ ... Ri0 = (3) Ri0+ (5) Ri0+ ... Rij = (2) Rij + (4) Rij + ... Donde (N )

Rµν denota el término de orden v

N

r2. Entonces podemos calcular las

compo-nentes: (2) R00 = − ∂ (2) Γi₀₀ ∂xi = 1 2∇ 2_g(2) 00 (4) R00 = ∂ (3) Γi 0i ∂t − ∂ (4) Γi₀₀ ∂xi + (2) Γ0_0i (2) Γi₀₀− (2) Γi₀₀ (2) Γj_ij = 1₂∂2 (2) gii ∂t2 − ∂2_g(3) i0 ∂xi_∂t+ 1 2∇ 2_g(4) 00−1₂ (2) gij ∂ 2_g(2) 00 ∂xi_∂xj− 1 2 ∂g(2)ij ∂xj ! ∂g(2)00 ∂xi ! + 1 4 ∂g(2)00 ∂xi ! ∂g(2)00 ∂xi ! + 1₄ ∂ (2) g00 ∂xi ! ∂g(2)jj ∂xi ! (3) Ri0 = ∂ (2) Γj_ij ∂t − ∂ (3) Γj_0i ∂xj = 1 2 ∂2_g(2) jj ∂xi_∂t− 1 2 ∂2_g(3) j0 ∂xi_∂xj − 1 2 ∂2_g(2) ij ∂xj_∂t+ 1 2∇ 2_g(3) i0 (2) Rij = ∂ (2) Γ0 i0 ∂xj + ∂ (2) Γk_ik ∂xj − ∂ (2) Γk ij ∂xk = − 1 2 ∂2 2_g 00 ∂xi_∂xj + 1 2 ∂2_g(2) kk ∂xi_∂xj − 1 2 ∂2_g(2) ik ∂xk_∂xj − 1 2 ∂2_g(2) kj ∂xk_∂xi + 1 2∇ 2_g(2) ij

Una simplificación muy grande puede hacerse eligiendo un sistema de coordenadas adecuado. Elegimos los xµ_{tal que satisfagan la condición de coordenadas armónicas.}

gµνΓλ_µν = 0 (2.5) Calculemoslo para λ = i. gµνΓi_µν = g00Γi₀₀ + g01Γi₀₁+ g02Γi₀₂ + g03Γi₀₃+ g10Γi₁₀ + g11Γi₁₁+ g12Γi₁₂+ g13Γi₁₃ + g20_Γi 20+ g21Γi21+ g22Γi22+ g23Γi23+ g30Γi30+ g31Γi31+ g32Γi32+ g03Γ03i +g30Γi30+ g31Γi31+ g32_Γi 32+ g33Γi33

Esto se simplifica pues goi _{= 0, y además Γ}µ

i0= 0. Entonces: gµν_Γk µν = g00Γk00+ gijΓkij = (−1 + (2) g00₊ (4) g00_{+ ...)} (2) (Γk 00+ (4) Γk 00+ ...) + (δij + (2) gij ₊ (4) gij ₊ ...) (2) (Γk ij + (4) Γk ij + ...). 12

2.1 Deducción de la Ecuación de Movimiento

Reemplazo los valores correspondientes de los símbolos de Christoffel y solo me quedo con los términos independientes.

g00_Γk 00= 1 2 ∂g(2)00 ∂xi + 1 2 ∂g(4)00 ∂xi − ∂g(3)i0 ∂t − 1 2 (2) gij∂ (3) g00 ∂xj gij_Γk ij = −12 ∂g(2)ij ∂xj + ∂g(2)ij ∂xj − ∂g(2)jj ∂xi

Ahora solo me quedo con las derivadas de las métricas de segundo orden. Entonces gµν_Γi

µν = 0 da como resultado la ecuación

1 2 ∂g(2)00 ∂xi + ∂g(3)ij ∂xj − 1 2 (2) gjj ∂xi = 0

Similarmente, con λ = 0 podemos obtener la ecuación

1 2 ∂g(2)00 ∂t − ∂g(3)i0 ∂xi + 1 2 ∂(2)gii ∂t = 0

Derivando estas ecuaciones, podemos obtener:

1 2 ∂2(2)_g ii ∂t2 − ∂2_g(3) i0 ∂xi_∂t + 1 2 ∂2_g(2) 00 ∂t2 = 0 ∂2(2)_g ii ∂t∂xj − ∂2_g(3) i0 ∂xi_∂xj − ∂2_g(2) ij ∂xi_∂t = 0 ∂2_g(2) ij ∂xk_∂xj − ∂2_g(2) kj ∂xj_∂xi − ∂2_g(2) jj ∂xi_∂xk + ∂2_g(2) 00 ∂xi_∂xk = 0

Esto nos simplifica enormemente el cálculo de las componentes del tensor de Ricci, que adoptan la forma:

(2) R00= 1₂∇2 (2) g00 (4) R00= 1₂∇2 (4) g00−1₂∂ 2_g(2) 00 ∂t2 − 1 2 (2) gij ∂ 2_g(2) 00 ∂xi_∂xj + 1 2(∇ 2_g(2) 00)2 (3) Ri0= 1₂∇2 (3) gi0 (2) Rij = 1₂∇2 (2) gij

Felizmente, ya podemos usar las ecuaciones de campo de Einstein.

Rµν = −8πG(Tµν−

1 2gµνT

λ

λ) (2.6)

Como era de esperarse, el tensor de energía impulso se expande de una forma muy similar T00 = (0) T00+ (2) T00+ ... Ti0 ₌ (1) Ti0₊ (3) Ti0_{+ ...}

Capítulo 2 Gravitación Post-Newtoniana Tij ₌ (0) Tij ₊ (2) Tij _{+ ...} Donde (N )

Tµν _{indica el termino en T}µν _{de orden (}M r3)vN.

En particular

(0)

T00 _{indica la densidad de la masa en reposo, mientras que} (2)

T00 _{es la}

parte no relativista de la densidad de energía. Necesitamos Sµν = Tµν− 1₂gµνTλλ

Como GM_r es de órden v2 _{, esto se expande de la forma}

S00= (0) S00+ (2) S00+ ... Si0= (1) Si0+ (3) Si0+ ... Sij = (0) Sij + (2) Sij + ... Donde (N )

Sµν indica el termino en Sµν de orden M_r3v

N_. Entonces: (0) S00= 1₂ (0) T00 (2) Si0= 1₂[ (2) T00_{− 2g}(2) 00 (0) T00₊ (2) Tii_] (1) Si0= − (1) T0i (0) Sij = 1₂δij (0) T00

Las ecuaciones de campo resultan ser ∇2_g(2) 00 = −8πG (0) T00 ∇2_g(4) 00 = ∂ 2_g(2) 00 ∂t2 + (2) gij ∂ 2_g(2) 00 ∂xi_∂xj − ( ∂g200 ∂xi )( ∂g200 ∂xi) − 8πG[ (2) T00− 2g(2)00 (0) T00+ (2) Tii] ∇2_g(3) i0 = 16πG (1) Ti0 ∇2_g(2) ij = −8πδij (0) T00 De la primera obtenemos (2) g00= −2φ

siendo φ el potencial Newtoniano, definido por la ecuación de Poisson

∇2_{φ = 4πG} (0)

T00= 4πGρ (2.7)

2.1 Deducción de la Ecuación de Movimiento

Es decir, ¡recuperamos la Gravitación Newtoniana! La solución para el potencial es

φ(x, t) = −G ˆ d3x0 (0) T00(x0, t) | x − x0 _| (2.8)

Similarmente, para la última ecuación obtenemos g(2)ij = −2δijφ.

De ∇2g(3)i0= 16πG

(1)

Ti0 obtenemos un nuevo potencial vector g(3)i0 ≡ ζi y su solución es

ζi = −4G ˆ d3x0 (1) Ti0_(x0_{, t)} | x − x | (2.9)

Queda la ecuación más problemática, la tercera. Puede ser simplificada usando la identidad ∂φ ∂xi ∂φ ∂xi ≡ 1 2∇ 2 φ2− φ∇φ El resultado es (4) g00= −2φ2− 2ψ

Donde ψ es un segundo potencial

∇2ψ = ∂ 2_φ ∂t2 + 4πG[ (2) T00+ (2) Tii] (2.10) y su solución es: ψ = − ˆ d3_x0 | x − x |   1 4π ∂2_φ(x0_{, t)} ∂t2 + G (2) T00(x0, t) + G (2) Tii(x0, t)   (2.11)

La condición sobre las coordenadas dada por 1₂∂

(2) g00 ∂t − ∂g(3)i0 ∂xi + 1 2 ∂(2)gii ∂t = 0 impone sobre

los potenciales φ y ζ la relación

4∂φ

Capítulo 2 Gravitación Post-Newtoniana

Podemos entonces calcular los valores de las componentes de nuestra conexión afín.

(2) Γi 00= ∂φ ∂xi (4) Γi 00= ∂x∂i(2φ 2_{+ ψ) +} ∂ζi ∂t (3) Γi_0j = 1₂(∂ζi ∂xj − ∂ζj ∂xi) − δij∂φ_∂t (2) Γi jk = −δij_∂x∂φk − δik ∂φ ∂xj + δjk ∂φ ∂t (3) Γ0 00= ∂φ ∂t (2) Γ0 0i= ∂φ ∂xi

Volviendo a la ecuación (2.2), reemplazando los valores uno finalmente y felizmente obtiene el resultado deseado:

d~v dt = −∇(φ + 2φ + ψ) − ∂ζ ∂t + ~v × (∇ × ζ) + 3~v ∂φ ∂t + 4~v(~v · ∇)φ − v 2_{∇φ (2.13)} donde vi ≡ dxi dt .

2.2.

Interpretación de la ecuación de movimiento

Dada esta ecuación de movimiento, ya es posible entender el significado físico de los tres potenciales φ, ψ, ~ζ.

Ya vimos que φ es el potencial gravitatorio de la teoría de Newton. Además, con esto se recupera el límite cuando v  c.

φ(x, t) = −G ˆ d3x0 (0) T00_(x0_{, t)} | x − x0 _|

El potencial vector ~ζ es similar al potencial vector ~A del electromagnetismo.

ζi = −4G ˆ d3x0 (1) Ti0_(x0_{, t)} | x − x0 _|

Recordemos que en el electromagnetismo ~A =´ _4πµ J~

|~r−~r0_|d

3_~r0

Así como el campo magnético puede considerarse un efecto relativista del campo eléctrico, el potencial ~ζ puede verse como una corrección relativista al campo clásico.

Ejerce una fuerza dependiente de la velocidad, normal al vector distancia y a la

2.2 Interpretación de la ecuación de movimiento

velocidad relativa entre dos objetos masivos. A este potencial se lo conoce en la literatura como el potencial gravitomagnético.

El campo escalar ψ contiene correcciones a φ por varios efectos relativistas.

ψ = − ˆ d3_x0 | x − x0 _|   1 4π ∂2_φ(x0_{, t)} ∂t2 + G (2) T00(x0, t) + G (2) Tii(x0, t)  

Puede demostrarse que la derivada temporal en la integral se relaciona con el retardo de la señal gravitatoria, que viaja a la velocidad de la luz, y se mueve siguiendo una geodésica. Los otros dos términos son correciones debido a la equivalencia entre masa y energia, lo que implica que las energías cinética y potencial de las partículas modifican el campo clásico.

Esta ecuación de movimiento contiene la clásica ecuación de Newton en su primer término, y sus correcciones correspondientes. Esta ecuación, rica en significado físico, es completamente inutil para realizar simulaciones numéricas, las cuales necesitare-mos para calcular cual es el efecto sobre los sistemas planetarios.

Puede demostrarse, usando métodos análogos a métodos del electromagnetismo, buscando definir los tres potenciales φ, ζ, ψen funcion de las posiciones y velocidades y haciendo muchas cuentas, que la ecuación de movimiento resulta de la gigantesca no tan amigable forma:

¨ ~ ri = X j6=i µj(~rj − ~ri) r3 ij [1−4 c2 X k6=i µk rik −1 c2 X k6=j µk rjk +v 2 i c2+2 v_j2 c2− 4 c2v~i· ~vj− 3 2c2 (~ri− ~rj) · ~vj rij !2 + + 1 2c2(~rj− ~ri) · ¨r~j] + 1 c2 X j6=i µj r3 ij [(~ri− ~rj) · (4~vi− 3 ~vj)] (~vi− ~vj) + 7 2c2 X j6=i µjr~¨j rij (2.14)

Esta ecuación se la conoce como la Ecuación de Einstein-Infeld-Hoffman. Aquí ya comenzamos a usar la notación de la mecanica celeste, xµ_≡~r.

Y además µi ya no tiene nada que ver con la notación de la Relatividad, si no que

µi = Gmi .

vi es la velocidad baricentral de mi, y los puntos representan la derivada usual

res-pecto a un tiempo inercial. Por lo tanto ¨~ri es la aceleración de mi. Velocidad y

aceleración las entendemos en sentido de coordenadas, no se corresponden exacta-mente como la velocidad y aceleración medidas por cualquier observador físico. La sumatoria es sobre todos los cuerpos masivos del Sistema Solar, y su origen es su baricentro. Por ende, solo es útil cuando consideramos la contribución relativista de todo objeto del sistema.

Si queremos estudiar el caso simplificado del efecto de un solo objeto de masa M (tipicamente el Sol), la ecuación nos queda de un único término:

Capítulo 2 Gravitación Post-Newtoniana 4¨~r = GM r3_c2 4GM r − v 2 ~r + 4(~v · ~r)~v  (2.15) 18

3 Efectos en Sistemas Planetarios

3.1.

Sistema Solar

3.1.1.

Descripción general

El Sistema Solar está formado por el Sol y todos los objetos que orbitan alrededor de el.

Un planeta es, según la definición adoptada por la Unión Astronómica Internacional el 24 de agosto de 2006, un cuerpo celeste que:

1. Orbita alrededor de una estrella o remanente de ella.

2. Tiene suficiente masa para que su gravedad supere las fuerzas del cuerpo rígido, de manera que asuma una forma en equilibrio hidrostático (prácticamente esférica).

3. Ha limpiado la vecindad de su órbita de planetesimales, o lo que es lo mismo tiene dominancia orbital.

El 99 % de la masa está contenida en el Sol y la masa restante se concentra princi-palmente en ocho planetas:

Capítulo 3 Efectos en Sistemas Planetarios

Los planetas terrestres: Mercurio, Venus, Tierra y Marte. Están compuestos principalmente por roca y metal. Estos cuatro planetas forman el Sistema Solar Interior.

Los planetas gigantes gaseosos: Son mucho más masivos que los terrestres. Los dos más grandes y masivos, Júpiter y Saturno, están compuestos prin-cipalmente de helio e hidrógeno; Urano y Neptuno son menos masivos y son los “gigantes de hielo”. Están formados mayoritariamente por agua congelada, amoniaco y metano. Estos cuatro planetas forman el Sistema Solar Exterior.

Además el Sistema Solar está poblado de cuerpos menores, como asteroides y come-tas:

El Cinturón de asteroides, ubicado entre Marte y Júpiter, está constituido principalmente por pequeños cuerpos de roca y metal, en este se encuentra el planeta enano Ceres.

Más allá de la órbita de Neptuno se encuentra el Cinturón de Kuiper, una región formada principalmente por pequeños cuerpos de hielo. Allí es donde orbita el planeta enano, y recientemente bajado de su categoria de planeta Plutón.

Nos preguntaremos: ¿cómo afecta la Relatividad General a estos cuerpos?

3.1.2.

Precesión del perihelio

El estudio de la precesión del perihelio de Mercurio es de relevancia histórica, ya que fue uno de los tests de la Teoría de la Relatividad General propuestos por Albert Einstein en 1916.

En el Problema de 2 cuerpos de la gravitación Newtoniana, las trayectorias son elipses cerradas, en las que el periastro se mantiene fijo con el tiempo. Sin embargo, en el Siglo XIX se observó que el perihelio de Mercurio no se mantiene fijo, si no que avanza. Es el efecto conocido como precesión del perihelio.

3.1 Sistema Solar

Las perturbaciones producidas por los demás planetas tienen un efecto importante en la dinámica de los cuerpos, pero en el caso de Mercurio, hasta la Relatividad no se había podido explicar el motivo de dicho adelantamiento. Se han intentado otras explicaciones, como la presencia de nuevos planetas no descubiertos hasta la presencia de materia oscura en el sistema solar, pero felizmente todas fracasaron. Para calcularla, seguimos el desarrollo de Carroll.

De la métrica de Schwarzschild ds2 = −  1 − 2GM r  dt2+  1 − 2GM r −1 dr2+ r2dΩ2 (3.1)

Se puede llegar a una ecuación de movimiento radial.

1 2 dr dλ !2 + 1 2 −  GM r + L2 2r2 − GM L2 r3 (3.2)

Siendo L el momento angular de la particula , y  = 1₂E , E la energía de la partícula, λ un parámetro.

Multiplicamos la ecuación por dω_dλ−2 = _Lr42

Lo que resulta dr dω !−2 + 1 L2r 4₋ 2GM L2 r 3_{+ r}2 _{− 2GM r =} 2 L2r 4 _(3.3) Definimos la variable x = L2 GM r.

Capítulo 3 Efectos en Sistemas Planetarios

La ecuación se convierte en:

dx dω !2 + L 2 G2_M2 − 2x + x 2₋ 2G 2_M2 L2 x 3 ₌ 2L 2 G2_M2 (3.4)

Luego diferenciamos respecto a ω:

d2x

dω2 − 1 + x =

3G2M2 L2 x

2

Expandimos x en una solución Newtoniana más una desviación pequeña x = x0+ x1

Lo que resulta en las dos ecuaciones:

d2_x 0

dω2 − 1 + x0 = 0 , cuya solución es x0 = 1 + e cos ω, resultado Newtoniano que

describe una elipse perfecta, siendo e su excentricidad, a su semieje mayor y b su semieje menor. La segunda ecuación es d2_x 1 dω2 + x1 = 3G 2_M2 L2 x2₀

Si insertamos el resultado de la primera, obtenemos.

d2x1 dω + x1 = 3G2M2 L2 (1 − e cos ω) 2 = 3G 2_M2 L2  1 + 1 2e 2_{+ 2e cos ω +} 1 2e 2_{cos 2ω} (3.5) Para resolver, notamos que

d2

dφ2 (ω sin ω) + ω sin ω = 2 cos ω y

d2

dω2(cos 2ω) + cos 2ω = −3 cos 2ω

Comparando, podemos ver que una solución es:

x1 = 3G2_M2 L2  1 + 1 2e 2 + eω sin ω − 1 6e 2 cos 2ω  (3.6)

El primer término es un desplazamiento constante, mientras que el tercero oscila alrededor de 0. Por lo tanto, el único efecto importante está contenido en el segundo término.

Entonces x = 1 + e cos ω +3G_L2M2 2ω sin ω

Definiendo α = 3G_L2M2 2, esto lo podemos escribir de la forma x = 1 + e cos [(1 − α)ω]

Esto es la ecuación de una elipse con un período angular distinto de 2π. En particular, durante cada órbita del planeta, el perihelio avanza un ángulo:

3.2 Experimentación numérica

4ω = 2πα = 6πG

2_M2

L2 (3.7)

.

Una elipse satisface r = _{1+e cos ω}(1−e2)a, y para una órbita newtoniana, L2 _{≈ GM (1 − e}2_)a

.

Entonces obtenemos, finalmente:

4ω = 6πGM

c2_{(1 − e}2_)a (3.8)

Para la órbita de Mercurio, esto nos da un valor de 4ω = 43,0”/siglo.

De aquí se desprende que un cambio en la longitud del perihelio introduce un cambio en la excentricidad de la órbita.

3.2.

Experimentación numérica

En esta sección, a partir de las ecuaciones planteadas en el capítulo anterior, hablare-mos de los efectos de la Relatividad General en los Sistemas Planetarios. Seguirehablare-mos el trabajo realizado por Gallardo Tabaré y Benitez del año 2008, y comentaremos algunos resultados generales de otros trabajos.

Para poder estudiar como repercuten los efectos relativistas en la evolución dinámica de los cuerpos de sistemas planetarios, debemos recurrir a simulaciones numéricas. Vimos que nuestro Sistema Planetario esta principalmente compuesto por un con-junto interno de planetas terrestres de baja masa, y un concon-junto externo de planetas gigantes muy masivos. Como evolucionan en escalas de tiempos diferentes, son es-tudiados por separado.

El modelo usado para el sistema incluye al Sol y los ocho planetas y el objetivo es estudiar la relevancia de las correcciones relativistas, para tener una idea de si son o no son importantes en la evolución de la dinámica orbital de los cuerpos.

Para cada Planeta del Sistema Solar, se realizan tres simulaciones, con tres modelos diferentes:

C: Referida a la gravitación Newtoniana, clásica. Se integra la ecuación de

movi-miento del problema de los N cuerpos.

RS: Modelo relativista, pero considerando únicamente la contribución del Sol.

Capítulo 3 Efectos en Sistemas Planetarios

Se calcula la evolución de los parámetros orbitales e, i, ω en un determinado período de tiempo. Recordamos que, para cada instante de tiempo, estos se obtienen de conocer ~r(t) y ˙~r(t).

3.2.1.

Sistema Solar Interior

El Sistema Solar interior esta formado por cuatro planetas rocosos de baja masa. Son Mercurio, Venus, Tierra y Marte. Son fuertemente perturbados por los planetas gigantes.

Nos interesa averiguar si los efectos relativistas generados por los planetas son re-levantes, o si por el contrario los efectos del Sol son suficientes para explicar la dinámica del sistema solar interior. Se han realizado tres diferentes corridas, corres-pondientes a los tres modelos C, Rall, RS y se muestran los resultados a continuación.

El periodo de integración es de 2 millones de años.

La linea completa representa los resultados predichos por la Gravitación Newtonia-na, y la línea punteada representa los efectos relativistas. Graficamos los cambios en excentricidad e inclinación de las órbitas en función del tiempo.

Mercurio

Vemos que para Mercurio las diferencias entre el modelo clásico y relativista son muy evidentes.

En el caso de Venus y la Tierra, las integraciones relativistas muestran también algunas variaciones en la evolución de la excentricidad e inclinación respecto al modelo clásico, pero en mucho menor medida.

3.2 Experimentación numérica

Venus

Tierra

Marte

Para Marte, los efectos son de mucha menor importancia, y comienzan a ser apre-ciables al final de la integración.

Capítulo 3 Efectos en Sistemas Planetarios

Los resultados entre los modelos RS y Rall son indistinguibles, por lo que concluimos

que la contribución del Sol es la principal causa de los efectos relativistas sobre los planetas interiores.

3.2.2.

Sistema Solar Exterior

El Sistema Solar exterior está formado principalmente por cuatro planetas muy masi-vos, llamados gigantes gaseosos. Son Jupiter, Saturno, Urano y Neptuno. Mostramos que en el sistema solar interior, los efectos generados por el Sol son relevantes pero los efectos generados por los planetas son despreciables. ¿Puede decirse lo mismo para el Sistema Solar Exterior?

Se integran numéricamente las ecuaciones de movimiento para los tres modelos en un período de 401 millones de años y graficamos la evolución de las excentricida-des e inclinaciones en función del tiempo. En particular, nos interesa comparar los resultados entre Rall y RS.

3.2 Experimentación numérica

Vemos que en general hay una pequeña variación en la excentricidad y una muy pequeña variación en la inclinación, pero el comportamiento global no se modifica sustancialmente.

En el caso de Júpiter y Saturno, en la evolución de la excentricidad hay un claro apartamiento entre los tres modelos Rall, RS y C . En la evolución de la inclinación

vemos que los modelos C y RS coinciden, y se apartan de Rall. Entonces, los efectos

relativistas mutuos entre Jupiter y Saturno parecen ser más importantes que los efectos relativistas del Sol en Júpiter y Saturno,

En el caso de Urano, en la evolución de la excentricidad hay un claro apartamiento entre el modelo clásico C y ambos modelos relativistas, que no se distinguen entre si.

Capítulo 3 Efectos en Sistemas Planetarios

En el caso de Neptuno, no se puede distinguir entre los tres modelos. No se aprecian diferencias en la inclinación.

En resumen, los efectos en la inclinación son de magnitud mucho menor que los efectos en la excentricidad, y Rall solo se manifiesta en los planetas más masivos.

3.2.3.

Asteroides

El asteroide más estudiado por sus efectos relativistas es Icarus. Su órbita es muy excéntrica y debido a sus acercamientos periódicos (una vez cada 19 años) a la Tierra, es altamente adecuado para testear los efectos predichos por la Relatividad General.

Este asteroide es uno de los pocos cuerpos que sobrepasa el interior de la órbita de Mercurio, acercándose al Sol dos veces más que este y cinco veces más que la Tierra. La excentricidad de su órbita lo lleva luego más allá de la órbita de Marte.

Fue llamado Icarus por su descubridor, Baade, en alegoría al personaje de la mito-logía griega que, volando por los cielos, se acercó demasiado al Sol y quemó sus alas y luego cayó al mar.

Se calcula que la precesión de su perihelio debido a la Relatividad General es 4ω ≈ 0,1006”/yr.

Suponemos que las órbitas de los cuerpos con bajo semieje mayor a y baja distancia perihélica q serán los más afectados por los efectos relativistas. Si excluimos órbitas que crucen órbitas planetarias, podemos ignorar los efectos caóticos generados por ellos.

La simulación consiste en integrar por 105_{años el sistema compuesto por el Sol,}

cuatro planetas gigantes y una población de partículas de prueba con rangos de 0,05 < q < 0,5 AU y 0,2 < a < 2 AU con los modelos RS y C . Se excluyen en

principio los planetas terrestres para evitar la dinámica caótica tipica de cuerpos que sufren encuentros cercanos con ellos.

(Nota: 1 AU = 1, 5x108_{km. Es la distancia media entre la Tierra y el Sol).}

3.2 Experimentación numérica

Se considera la evolución en el tiempo de los parámetros a, e, i, ω y se compu-tan las diferencias entre los modelos RS y C. Esta diferencia entre ambas corridas

nos da una idea de cuanta diferencia hace la relatividad general en la dinámica de estos cuerpos. En el gráfico siguiente se muestran las diferencias máximas en los parámetros orbitales:

Si hubieramos considerado el modelo Rall, que incluye las contribuciones del sistema

planetario completo, las diferencias se incrementarían.

En la región de 0.4 UA, la dinámica de los asteroides es fuertemente afectada por el Mecanismo de Kozai. Es la perturbación de la órbita de un cuerpo debido a la presencia de otro cuerpo que orbita más alejado. Produce una oscilación del argu-mento del perihelio, lo que produce un cambio en la excentricidad y la inclinación, manteniendo fija la componente z del momento angular Lz =

q

(1 − e2_{) cos i. Por lo}

tanto, la variación de ω debido a la Relatividad General modifica el Mecanismo de Kozai. Podemos verlo en el siguiente grafico:

Capítulo 3 Efectos en Sistemas Planetarios

Estos efectos pueden ser incrementados por las perturbaciones generadas por los planetas terrestres, y si alguna órbita sufre un encuentro cercano, se superponen los efectos de la dinámica caótica de los cuerpos.

Se han integrado asteroides con dinámica caótica usando los modelos C y RS. Estos

asteroides cruzan las órbitas de los planetas, por lo que la dinámica caótica produce apartamientos aún más notorios entre las trayectorias clásicas y relativistas.

Un caso extremo de estos es el asteroide 2000LK. Vemos que, considerando los efectos de la Relatividad, la excentricidad de la órbita aumenta tanto que termina colisionando con el Sol.

3.3.

Sistemas Extrasolares

3.3.1.

Descripción general

Se le llama sistemas planetarios extrasolares a los sistemas formados por planetas (exoplanetas) que orbitan una estrella diferente al Sol. Se han convertido en uno de los principales objetos de estudio de la Astronomía en la actualidad. Desde ha-ce tiempo que se suponía su existencia pero las limitaciones tecnológicas hicieron imposible su descubrimiento hasta 1992, fecha en que el primer exoplaneta fue des-cubierto. Actualmente se han descubierto alrededor de 1100 sistemas planetarios y más de 1800 exoplanetas.

La importancia del estudio de estos sistemas planetarios radica en que son cruciales para poder formular una teoría de formación y evolución de sistemas planetarios. Hay estrellas que se están formando en este momento, y hay estrellas que estan ya avanzadas en su evolución. A diferencia del Sistema Solar, que observamos los planetas tales como son ahora, estudiar exoplanetas es el estudio de planetas en distintas etapas de su evolución. Hasta 1992, el único sistema planetario conocido era el Sistema Solar, pero ahora al conocerse tantos, y de tan variadas configuraciones, es que podemos hacer una estadística realmente representativa para elaborar modelos cada vez más refinados que expliquen lo que pasa.

3.3 Sistemas Extrasolares

Una forma de categorizar a los sistemas extrasolares es con sus parámetros orbitales. Nos centraremos en el semieje mayor de la órbita. A diferencia de nuestro Sistema Solar, que esta formado por un conjunto interior de planetas rocosos y poco masivos, y un conjunto exterior de planetas gigantes muy masivos; en otros sistemas encon-tramos todo lo contrario. Se han detectado gran cantidad de planetas muy masivos y muy cerca de la estrella central.

Podemos ver eso utilizando el graficador de la enciclopedia de exoplanetas http:/exoplanet.eu Veamos primero un histograma de cuantos planetas descubiertos hay en función de

la distancia a la estrella central.

Es decir, la gran mayoria de los exoplanetas descubiertos están muy cerca de la estrella central. Veamos qué masa tienen esos cuerpos.

Capítulo 3 Efectos en Sistemas Planetarios

Tenemos graficada la masa de los planetas descubiertos en unidades de masa de Jupiter (Mjup∼ 2,1027kg) en función de la distancia a la estrella. Hay una población

muy grande de planetas entre 0.01 UA y 0.1 UA. Para compararlo con nuestro Sistema Solar, Mercurio está ubicado a 0.4 UA. Además, la masa de esos planetas alcanza las 30 Mjup. Es por eso que este tipo de planetas son denominados “Jupiter

Calientes” (Hot Jupiters).

Vale la aclaración que esa población tan grande no es de ninguna manera una regla general, si no más bien un efecto de selección debido a las técnicas de detección de exoplanetas. Los planetas más masivos son los más fáciles de encontrar.

Al haber planetas tan masivos tan cerca de la estrella central, claramente la Rela-tividad General tiene un efecto muy importante en ese tipo de sistemas. Entender ese efecto es fundamental para poder modelar adecuadamente como se formaron esos sistemas planetarios, como llegaron a ubicarse tan cerca de la estrella, y como evolucionarán en el futuro.

3.3.2.

Perturbaciones seculares

Como ejemplo concreto, presentamos ahora algunos resultados de un estudio de los autores Adams y Laughlin del 2010. Muestra como la relatividad general, comple-mentada con las perturbaciones seculares, afecta a esos Hot Jupiters.

Las perturbaciones son producidas sobre un planeta debido a la presencia de los otros y son responsables de variaciones en el tiempo en los parámetros orbitales de los planetas a medida que evolucionan, en particular de la excentricidad.

Los autores consideran el sistema γ Andromedae: está formado por un Hot Jupiter con un período de 4 dias, y un planeta gigante de M ∼ Mjup a 1 UA.

Los resultados muestran que en esas condiciones, los efectos relativistas se vuelven comparables a los efectos de las perturbaciones. Encuentran que la escala de tiempo característico τGR ∼ 3011 años, que representa el tiempo requerido para que el

periastro del Hot Jupiter precese 1 radian por efectos de la relatividad general, y es también comparable al tiempo caracteristico producido por las interacciones seculares. Esto indica que la relatividad juega un rol importante en la dinámica de este tipo de sistemas.

Los siguientes gráficos muestran la interacción secular de dos sistemas, γ Andro-medae y HD 160691 (que no mencionaremos por la agregada complejidad de los procesos que intervienen). Se muestra el valor medio de la excentricidad del planeta estudiado en función del seno de su inclinación:

3.3 Sistemas Extrasolares

La inclusión de la relatividad produce un amortiguamiento de la excitación de la excentricidad por las perturbaciones seculares. Vemos que para valores altos de sin i,

< e >≈ 0,016, lo que coincide con el valor observado eobs ∼ 0,01. La relatividad

puede hacer que el planeta interior precese en su órbita lo suficientemente rápido como para compensar las perturbaciones del planeta externo. Lo que significa que los valores medios de la excentricidad son menores de lo que serían en el espacio plano. Este efecto, por lo tanto, es un test de la Relatividad General.

Conclusiones

Los efectos relativistas generados por el Sol son relevantes para el argumento del perihelio, y son seculares. Los efectos de corto período son despreciables. En nuestro sistema planetario, los efectos relativistas generados por el Sol son apreciables en el Sistema Solar interior. Los efectos generados por los plane-tas son muy pequeños y son únicamente detectables en los planeplane-tas gigantes, especialmente Jupiter y Saturno, a escalas de tiempo muy altas.

El apartamiento entre las trayectorias clásicas y relativistas se amplifica en el Sistema Solar interior. El Mecanismo de Kozai es sustancialmente modifi-cado, provocando diferencias enormes en la evolución de la eccentricidad y la inclinación.

Para asteroides de baja distancia perihelica y semieje mayor, las contribuciones relativistas del Sol son suficientes para modelar su dinámica. Cuerpos meno-res con encuentros cercanos con planetas son muy afectados por los efectos relativistas pues se superponen con la dinámica caótica que los caracteriza. En los planetas extrasolares los efectos relativistas son muy importantes, sobre todo cuando los planetas están muy próximos a la estrella central.

Parece ser entonces que es tiempo de reemplazar en las investigaciones modernas las ecuaciones de movimiento Newtonianas por aquellas derivadas de la Teoría de la Relatividad General. Las correcciones relativistas no son inevitables para todos los estudios dinámicos, pero son necesarias para un modelado dinámico preciso de la evolución de los cuerpos en el Sistema Solar interior y en sistemas extrasolares donde el planeta esta muy cerca de la estrella.

Bibliografía

[1] Adams, F.C., Laughlin, G.: Effects of secular interactions in extrasolar planetary systems. Astrophysics Journal (2006)

[2] Benitez, F., Gallardo, T.: The relativistic factor in the orbital dynamics of point masses. Springer (2008)

[3] Carroll, S.: Spacetime and Geometry: An introduction to General Relativity. Addison Wesley (2004)

[4] Shapiro, I.; Smith, W; Ash, M.: General Relativity and the Orbit of Icarus [5] The Exoplanet Encyclopaedia. http://exoplanet.eu

[6] Weinberg, S.: Gravitation and cosmology. Wiley (1972) [7] Wikipedia