Implementaci´
on de controladores por
Modos Deslizantes a un Robot 2-GDL
M. Ruiz∗ L. Fridman∗
∗Facultad de Ingenier´ıa, C.U. UNAM, Coyoac´an 04510 M´exico D.F.
(e-mail: marco 3 antonio@hotmail.com, lfridman@unam.mx).
Resumen: En este trabajo se presentan resultados experimentales de diferentes algoritmos por modos deslizantes aplicados a un robot paralelo de dos grados de libertad (2-GDL). El objetivo de control es el seguimiento de una trayectoria deseada. Los algoritmos se aplican en
conjunto con un control nominal (PD aumentado) implementado de f´abrica en el robot. Se
aplicaron al robot de 2-GDL los algoritmos estandares por modos deslizantes y dos algoritmos recientemente desarrollados. Las ganancias necesarias para un mejor funcionamiento de los
algoritmos propuestos, fueron ajustadas tomando como punto de partida las condiciones te´oricas.
Keywords: robot, control robusto, modos deslizantes.
1. INTRODUCCI ´ON
El control de sistemas inciertos hoy en d´ıa es una necesidad
pr´actica. Para resolver el problema, una de las t´ecnicas
m´as prometedoras es el control por modos deslizantes, el
Cuadro 1 presenta la comparaci´on de propiedades de
algo-ritmos principales de control por modos deslizantes (MD). Por un lado tenemos los algoritmos de orden 1, sin embargo
el problema principal en implementaci´on sobre actuadores
es el fen´omeno de chattering. Para dicho problema se puede
utilizar el algoritmo Super-Twisting, el cu´al nos da una
se˜nal de control continua, sin embargo las propiedades de
convergencia en tiempo finito se pierden para un sistema de segundo orden. Existen algoritmos de orden 2 como el
Twisting, el cual da convergencia te´orica en tiempo finito
a los estados pero el problema de chattering regresa. Para
un sistema mec´anico que es de orden dos, se ha propuesto
utilizar algoritmos por MD de alto orden a˜nadiendo un
integrador para suavizar la se˜nal (en el caso de un sistema
mec´anico lo m´as adecuado ser´ıa utilizar uno de orden 3),
pero es necesario el conocimiento de ¨x para implementarlo,
en ´este caso la motivaci´on de utilizar los modos deslizantes
pierde sentido, ya que con esa informaci´on el problema
puede ser resuelto sin la necesidad de MD.
Existen diversos ejemplos de aplicaciones con robots
para-lelos, tales como: asistencia m´edica, montaje, ensamblado
de maquinaria y circuiteria, maniobras en construcciones, etc. En este trabajo se trabaja con un robot manipulador
del tipo RRR, (R para uniones rotatorias, P para prism´
ati-cas). Es un robot paralelo sobreactuado (n´umero de
entra-das mayor al n´umero de grados de libertad), considerando
a las dos posiciones cartesianas del efector final como grados de libertad. Manipuladores paralelos han atraido la
atenci´on de investigadores en las ´ultmas dos d´ecadas. En el
trabajo (Kick and Schumacher, 1998) se presentan
anal´ıti-camente los beneficios de utilizar este tipo de configuraci´on
paralela (RRR), y una t´ecnica de control basada en el uso
de Jacobianos que reduce efectos producidos por fuerzas
internas, aunque no se utiliza una herramienta formal de
an´alisis (funci´on de Lyapunov), que garantice y provea
informaci´on acerca del tipo de estabilidad del punto de
operaci´on. En los trabajos de (Shang and Cong, 2010b),
(Shang et al., 2009), (Shang and Cong, 2010a) se utilizan
t´ecnicas de control adaptable para el modelo no lineal,
ofrecen pruebas de convergencia para esta aplicaci´on y
asegurando estabilidad exponencial. En todos los casos, el
problema a resolver es la implementaci´on de un algoritmo
que provea una m´axima eficiencia, en t´erminos del error
de posici´on durante el seguimiento. Adem´as el algoritmo
debe ser robusto ante cierto tipo de perturbaciones, como
din´amicas no modeladas o inciertidumbre param´etrica en
el modelo matem´atico. Y como se mencion´o, el problema
de robustez y precisi´on, se puede abordar desde el punto
de vista de control por modos deslizantes (Utkin et al., 2009), (Shtessel et al., 2013).
La contribuci´on de ´este trabajo son los resultados
experi-mentales en este equipo de prueba, corroborando como se conservan las propiedades de los controladores propuestos,
a´un bajo condiciones de prueba reales (ruido en sensores,
respuesta de actuadores, tiempo de muestreo).
La estructura del art´ıculo es la siguiente: En la secci´on 2 se
describe el modelo matem´atico del robot y estabilidad del
punto de operaci´on, con el controlador nominal. En la
sec-ci´on 3 se mencionan los algoritmos estandares propuestos,
las condiciones para ajustar las ganancias y los resultados
de simulaci´on. En la secci´on 4 est´an los resultados
expe-rimentales, se mencionan detalles t´ecnicos del equipo de
pruebas. La secci´on 5 contiene las conclusiones.
2. MODELO DEL ROBOT PARALELO
Se presenta el modelo del robot paralelo, y las condiciones
de estabilidad para el punto de operaci´on en lazo cerrado
Algoritmo Convergencia Control Informaci´on Primer orden Exponencial Discontinuo x, ˙x, |δ(t)| ≤ D S´uper Twisting Exponencial Continuo x, ˙x, |d
dtδ(t)| ≤ ∆ Twisting Tiempo Finito Discontinuo x, ˙x, |δ(t)| ≤ D Tercer Orden Tiempo Finito Continuo x, ˙x,¨x, |δ(t)| ≤ D
Cuadro 1. Controladores estandar:
propie-dades te´oricas de los controladores est´andar
por modos deslizantes aplicados a un sistema incierto de segundo orden.
Figura 1. Esquema cinem´atico del robot paralelo
f
M (z)¨p + eC(z, ˙z) ˙p = WTτ − WTf ( ˙z) (1)
donde:
p = (px, py) coordenadas cartesianas del efector final.
z = (θa1, θa2, θa3, θb1, θb2, θb3) vector de las posiciones
angulares.
τ = (τa1, τa2, τa3, 0, 0, 0)T es el vector torque en las
uniones (en las uniones pasivas no hay actuador).
f = (fa1, fa2, fa3, 0, 0, 0)T es el vector de fricciones
(se consideran despreciables en las uniones pasivas). f
M = WTM W matriz de inercia en el espacio de
tareas. e
C = WT(M ˙W + CW ) es la matriz de fuerzas
centr´ıfugas y de Coriolis en espacio de tareas. Con propiedades:
f
M es una matr´ız sim´etrica positiva definida.
dMe
dt − 2 eC es una matr´ız antisim´etrica.
Las matrices M6×6, C6×6, el Jacobiano W6×2y su derivada
˙
W6×2 dependen de las posiciones angulares y sus
velocida-des. Los coeficientes que los acompa˜nan, para este mismo
equipo experimental, se puede verificar en el trabajo de (Shang and Cong, 2010b). En la Figura 1 se puede ver
un diagrama de los par´ametros geom´etricos, 6 posiciones
angulares de los eslabones. Las dos posiciones cartesianas
corresponden al efector final, que es la uni´on de los tres
brazos.
2.1 Modelo en espacio de estados
Si consideramos como perturbaci´on a los t´erminos de
fricci´on, el modelo lagrangiano puede presentarse como
f
M (z)¨p + eC(z, ˙z) ˙p = WTτ y con un simple cambio de
variables, el modelo del robot en el espacio de tareas toma la forma (2), y el vector de mediciones compuesto por las posiciones de las uniones activas (3).
˙
x = A(z, ˙z)x + B(z)(u + ¯δ( ˙z, t)) (2)
y = (θa1, θa2, θa3)T (3)
donde:
x = (x1, x2, x3, x4)T es el vector de estados, con x1,
x2las posiciones cartesianas (px, py) del efector final,
y x3, x4 son sus respectivas velocidades.
u = (u1, u2, u3) El vector de entradas de control
(torque en cada union activa). ¯
δ( ˙z) = fai = fcisign( ˙θai) + fviθ˙ai denota las
fric-ciones en uniones activas. La fricci´on viscosa fviθ˙ai
es Lipschitz conociendo alguna constante tal que ¯
∆ > |d
dtfviθ˙ai|. Adem´as ¯δ es acotada, esto es: ¯D >
|¯δ( ˙θai, t)|.
La matriz A y B se definen como:
A = 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 A1[1, 1] A1[1, 2] 0 0 A1[2, 1] A1[2, 2] (4) donde A1= −( ˜M )−1C, y˜ B = 0 0 0 0 0 0 B1[1, 1] B1[1, 2] B1[1, 3] B1[2, 1] B1[2, 2] B1[1, 3] (5) donde B1= −( ˜M )−1ST.
Observaci´on: el vector de grado relativo es (2, 2, 2).
2.2 Estabilidad del punto de operaci´on con PD
El robot ya tiene implementada una ley de control PD. Se
define el error de posici´on (6), y aplicando la ley de control
(7),
e = p(t) − pd(t) (6)
u0= −Kpe − Kd˙e (7)
Proposici´on 2.1. Richard et al. (1994) Si ˙pd ≡ 0 y
Kv, Kv > 0, la ley de control 7 aplicada al sistema (1)
hace al punto de equilibrio p = pdglobal y asint´oticamente
estable.
La proposici´on 2.1 se puede aplicar al sistema nominal, es
decir, cuando ¯δ( ˙z, t) = 0.
Estabilidad asint´otica se puede probar en ausencia del
t´ermino de fricci´on y otras din´amicas no modeladas. Por
tanto est´a sujeta a la ausencia de fricci´on (o t´erminos
adicionales) no considerados bajo ese an´alisis, adem´as de
otras din´amicas no modeladas o incertidumbres.
Conside-remos la siguiente funci´on candidata de Lyapunov (8),
V = 1 2p˙ TM (z) ˙p + 1 2p TK pp (8) donde: 1 2p˙
TM (z) ˙p Energ´ıa cin´etica del robot.
1 2p
Tk
pp Realimentaci´on proporcional.
el resultado principal es que analizando la derivada tem-poral, esta resulta en
˙
Al sustituir la ley nominal u0 = −kpe − kd˙e, se podr´ıa
asegurar estabilidad asint´otica, s´olo si ¯δ( ˙z) = 0, a˜nadiendo
a este an´alisis el princpio de invarianza de Lasalle. Sin
embargo, en aplicaci´on real ´estas perturbaciones no son
cero (la fricci´on por ejemplo, no se puede ignorar), con
lo cual podemos decir que existe estabilidad pr´actica y la
convergencia de los errores queda en una regi´on acotada.
2.3 Tarea y estrategia de control
La tarea de control, tanto en simulaciones num´ericas como
en implementaci´on, es el seguimiento de una trayectoria
deseada. En las gr´aficas presentadas se muestra el caso
de una trayectoria recta a velocidad constante, v´ease la
Figura 2. 0.2 0.25 0.3 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Eje x [m] Eje y [m] Pxy final (0.316,0.150) Vxy = 0.05 velocidad constante Pxy inicial (0.216,0.250)
Figura 2. Trayectoria generada a seguir. El expe-rimento es hacer seguimiento a lo largo de alguna trayectoria generada a cierta velocidad deseada.
El sistema experimental nos permite adicionar un t´ermino
de correcci´on al algoritmo nominal (PD),
u(t) = u0(t) + u1(t), (9)
donde u0(t) ∈ R3 es el control nominal PD del robot
paralelo, y u1(t) ∈ R3 puede ser cualquier control, en ´este
trabajo consideramos alg´un control por modos deslizantes.
N´otese que u0 es una se˜nal de control dif´ıcil de medir en
experimento real, ya que tiene que pasar por etapas de
procesamiento y amplificaci´on de se˜nales. En este trabajo
consideramos a upd como desconocido pero acotado, i.e.
upd < |umax| y tambi´en que su derivada es acotada
˙
upd< | ˙umax|.
3. CONTROL POR MODOS DESLIZANTES 3.1 Sistema de segundo orden
Utilizando la cinem´atica inversa proporcionada por el
ma-nual del equipo, es posible obtener mediante
transforma-ciones los valores de las uniones activas (θa1, θa2, θa3), a
partir de la trayectoria deseada (px, py). Para ajustar las
ganancias de acuerdo a la metodolog´ıa del control por
modos deslizantes, se consider´a un doble integrador, con
las perturbaciones acopladas a la se˜nal de control.
Renom-brando la posici´on y la velocidad x1 y x2
respectivamen-te. Consideraremos un enfoque SISO para cada actuador
θa = (θa1, θa2, θa3)T, redefinimos θa = x1, ˙θa= x2: ˙ x1= x2 (10) ˙ x2= u1+ u0+ ¯δ( ˙z, t) | {z } δ (11)
Con la consideracion siguiente (para los algoritmos
Super-Twisting, 3-STA y CID): δ( ˙z, t) es Lipschitz conociendo
alguna constante tal que ∆ > ¯∆ + ˙umax > |dtdδ|. En el
caso del algoritmo de primer orden y Twisting, se hace
la consideraci´on: δ(z, ˙z, t) est´a acotada, esto es D > ¯D +
umax > δ. Observe que para el caso de Super-Twisting,
3-STA y CID estamos considerando ausencia de friccion seca.
3.2 Ajuste de ganancias
Para ajustar las ganancias de los algoritmos propuestos, se
debe tener conocimiento de las fronteras de la perturbaci´on
o su derivada dependiento del algoritmo. Para ello se
utiliza el modelo del robot con los par´ametros nominales
del equipo de prueba GPM2002, los resultados se pueden ver en el Cuadro 2, D es la frontera considerada para la
perturbaci´on, y ∆ es la frontera de la derivada,
conside-rando una perturbaci´on Lipschitz (fricci´on viscosa). Dichos
valores se tomaron como referencia y se hizo un reajuste
(para mejorar el desempe˜no) mediante simulaciones.
D1 D2 D3 ∆1 ∆2 ∆3 0.65 0.6 0.4 0.2 0.15 0.1
Cuadro 2. Cotas consideradas.
3.3 Algoritmo convencional de primer orden Considerando:
u1= −Dsign(s), (12)
donde s = ˙e + e, D > |δ(z, ˙z)|, el algoritmo dado
por la expresi´on (12), provee de convergencia en tiempo
finito de las variables de deslizamiento pero convergencia exponencial de los estados.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 Tiempo [s] Superficie deslizante 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.2 0.25 0.3 0.35 Tiempo [s] Distancia [m] Posiciones 1.14 1.15 1.16 1.17 −4 −2 0 2 4 6 x 10−4Zoom 2 0.02 0.04 0.06 0.08 −0.04 −0.02 0 0.02 Zoom 1 0.050.10.15 0.215 0.22 0.225 Zoom px 0 0.005 0.01 0.2495 0.25 Zoom py 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 Tiempo Velocidad [m/s] Velocidades 0 0.1 0.20.3 −0.042 −0.04 −0.038 −0.036 −0.034 Zoom vy 0 0.1 0.032 0.034 0.036 Zoom v x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 Tiempo Control [Nm] Señal de control 2.252.32.352.4 −2 −1 Zoom 2 0 0.1 0.2 −3 −2 −1 0 Zoom 1 s 1 s 2 p xd(t) px (t) pyd (t) p y(t)
Figura 3. Modos deslizantes convencionales, simulaci´on.
3.4 Super-Twisting
El control Super-Twisting nos da una se˜nal continua,
utilizando la superficie de deslizamiento. El algoritmo provee de convergencia en tiempo finito a las superficies y convergencia exponencial a los estados,
u1= −k1|s| 1 2sign(s) + w ˙ w = k3sign(s) (13)
Una posible elecci´on de las constants es ∆ > |dtdδ(t)| y
k1= 1,5
√
∆, k3 = 1,1∆ (Levant, 1993). En (Moreno and
Osorio, 2008) se presenta una funci´on de Lyapunov para
0 0.5 1 1.5 2 2.5 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 Tiempo [s] Superficie s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −3 −2 −1 0 1 2 Tiempo [s] [Nm] Señal de control 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −3 −2 −1 0 1 2 3 4x 10 −4 Tiempo [s] Distancia [m] Error de Posiciones 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 Tiempo [s] Velocidades 0 0.1 −0.037 −0.036 −0.035 −0.034 −0.033 Zoom 1 0 0.05 0.1 0.15 0.035 0.036 0.037 0.038 0.039 Zoom 2 0 0.05 −5 0 5 10 15 x 10−4Zoom1 2.7855 2.786 2.7865 −2 −1 0 1 x 10−5Zoom 2 v px vpy vdpx v dpy epx e py 2.4652.472.4752.482.485 −2.54 −2.53 −2.52 −2.51 Zoom 2 0 0.020.040.06 −1 0 1 Zoom 1
Figura 4. Super-Twisting, simulaci´on.
3.5 Twisting
El control Twisting es un algoritmo por modos deslizantes de segundo orden (Emelyanov, 1986), este a diferencia de los dos antes mencionados, puede ser aplicado directamen-te sin necesidad de una superficie de deslizamiento, aunque
el chattering en la se˜nal de control aparece de nuevo
u1= −αsign(e) − βsgn( ˙e), (14)
donde: D > |δ(z, ˙z)| y α − D > β > D (Emelyanov,
1986), (Levant, 1993). Este algoritmo provee convergencia en tiempo finito a los estados. En el trabajo (Fridman and
Moreno, 2010) se presenta el an´alisis para convergencia,
para sistemas mec´anicos de segundo orden utilizando una
funci´on de Lyapunov. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −1 −0.5 0 0.5 1 Tiempo [s] [Nm] Señal de control 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −0.05 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Tiempo [s] Velocidad [m/s]
Velocidades cartesianas del efector final
0 0.5 1 1.5 2 2.5 −5 0 5x 10 −4 Tiempo [s] Distancia [m]
Errores de posiciónes cartesianas en el efector final
epx epy 0.2 0.4 0.6 0.8 −1 0 1 x 10−4 Zoom 1 0.2 0.4 0.6 0.8 0.03 0.04 0.05 Zoom 1 1.461.481.51.521.54 −0.037 −0.036 −0.035 −0.034 Zoom 2 vpx vpy v dpx vdpy 2.415 2.42 2.425 2.43 2.435 −2 0 2 4 x 10−6 Zoom 2 0 0.2 0.4 0.6 −0.20 0.2 Zoom 1 1.4 1.6 1.8 −0.20.20 Zoom 2
Figura 5. Twisting - simulaci´on.
3.6 Control Integral Discontinuo (CID) El algoritmo dado por:
u1= −k1|e| 1 3sign(e) − k2| ˙e| 1 2sign( ˙e) + L (15) ˙ L = −k3sign(e) (16)
k1, k2, k3 son ganancias que, dise˜nadas apropiadamente,
convergen en tiempo finito los estados de posici´on y
ve-locidad. El algoritmo CID cuenta con una funci´on de
Lyapunov, que para asegurar su convergencia se tienen que cumplir condiciones de positividad definida y negati-vidad definida para su derivada. En (Zamora, 2013) sse presentan las condiciones que deben cumplir las ganancias para asegurar la convergencia del algoritmo sobre la base
de la positividad de una funci´on de Lyapunov, y la
nega-tividad de su derivada . A continuaci´on resumimos dichas
condiciones: para positividad definida la expresi´on (17) es
condici´on necesaria y suficiente para que V (x) > 0 cuando
γ13> 0 para todo γ1, γ2> 0. V (x) = ξTΓξ + γ13x1x3 ξT =bx1e2 x2 bx3e2 Γ = γ1 0 0 0 γ2 − 1 2γ23 0 −1 2γ23 γ3 0 < 3 3γ 2γ134 43γ3 1 < γ2γ3− γ232 (17)
Mientras que para negatividad definida, las condiciones se resumen en estas desigualdades:
∆ > k3 (18) 0 < φ(α) < υ(α) (19) 0 < α < 2γ2 γ23 − 1 γ23k2 s 32|γ2k1−23γ1|3 27γ13(k3− ∆) (20)
Para m´as detalles acerca la funci´on ψ(α, λ) y υ(α) de
la desig¨ualdad (19) v´ease (Zamora, 2013). Se puede
es-calar un conjunto conocido de par´ametros respecto a
una ∆ conocida a partir de un caso nominal ∆ = 0,
(k1, k2, k3) −→ (l1k1, l 3 4 1k2, l 3 2 1k3), (γ1, γ2, γ3, γ13, γ23) −→ (l−11 γ1, l−21 γ2, l−51 γ3, l−21 γ13, l− 7 2γ23). 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 Tiempo [s] [Nm] Señal de control 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4x 10 −4 Tiempo [s] Distancia [m]
Error de posiciones cartesianas efector final
0 0.5 1 1.5 2 2.5 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 Tiempo [s] Velocidad [m/s]
Velocidades efector final
0.1 0.2 0.3 0.032 0.034 0.036 0.038 0.04 Zoom1 2.782.7812.782 −0.0354 −0.0354 −0.0353 −0.0353 Zoom 2 2.7742.7762.778 0.0353 0.0353 0.0354 Zoom 3 vpx vpy vdpx vdpy 0 0.1 0.2 −5 0 5x 10 −4 Zoom 1 2.76 2.772.78 2.79 −2 0 2 x 10−9 Zoom 2 0 0.05 0.1 0.15 −2 0 2 Zoom 1 2.69 2.7 2.71 2.72 2.73 −0.06 −0.04 Zoom 2 epx epy
Figura 6. CID, simulaci´on.
3.7 Super-Twisting de tercer orden (3-STA)
Nombraremos a este algoritmo por sus siglas abreviadas
en ingl´es: Third Order Super Twisting Algorithm, 3-STA
(Kamal et al., 2014), donde se puede encontrar su funci´on
de Lyapunov, la cual contiene m´as par´ametros que la del
CID, y a partir de dicha funci´on se resumen las condiciones
de estabilidad, para que sea positiva definida y su derivada negativa definida. Es un algoritmo con propiedades muy parecidas al CID, las propiedades ya mencionadas en
principio se conservan, si se dise˜nan apropiadamente las
ganancias k1, k2, k3 u1= −k1|φ| 1 2sign(φ) + L (21) ˙ L = −k3sign(φ) (22) φ = ˙e + k2|e| 2 3sign(e) (23)
| ˙δ| ≤ ∆ 6= 0
y con un escalamiento l2> 0
(k1, k2, k3) −→ (l32k1, l22k2, l62k3)
Adem´as del juego de desigualdades,
p1+ p2k22> k2p12
p12= 2p2k2
p12> 2p13k3
2p2> 2p23k3
k3> 0,
se deben cumplir las desig¨ualdades: α1, α2, ϑ(α1), ϑ(α2),
esto es: q1k21p12− k1p12− s 22q3 4 32(p 23− q6) > α1> 0 ϑ ≥ β(λ, α1) 2k21p2p23− α2 k3 1p23p12 > ν(α1) > 0 y 2k21p2p23> α2> 0 ϑ(α2) ≥ max{β(λ1, α2), β(λ2, α2)} 1 (k1p12)2 (p23− |q6| − 22|q 4|3 33(q 1k1−kα1 1p12) 2) > ϑ(α2) > 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 Tiempo [s] [Nm] Señal de control 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4x 10 −4 Tiempo [s] Distancia [m]
Error de posiciones cartesianas efector final
0 0.5 1 1.5 2 2.5 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 Tiempo [s] Velocidad [m/s]
Velocidades efector final
0.1 0.2 0.3 0.032 0.034 0.036 0.038 0.04 Zoom1 2.782.7812.782 −0.0354 −0.0354 −0.0353 −0.0353 Zoom 2 2.7742.7762.778 0.0353 0.0353 0.0354 Zoom 3 vpx vpy vdpx vdpy 0 0.1 0.2 −5 0 5x 10 −4 Zoom 1 2.762.77 2.782.79 −2 0 2 x 10−9 Zoom 2 0 0.05 0.1 0.15 −2 0 2 Zoom 1 2.69 2.7 2.71 2.72 2.73 −0.06 −0.04 Zoom 2 epx epy
Figura 7. 3-STA, simulaci´on.
4. RESULTADOS EXPERIMENTALES
El equipo de experimentaci´on se muestra en la Figura 8, de
la empresa Googol Tech. Ltd. Tres servomotores magneto
sincronos en las uniones activas, con encoders ´opticos para
la medici´on de la posici´on angular. Los algoritmos por
modos deslizantes son procesados en Windows C++. El control nominal es calculado por el filtro de la tarjeta GT-400-SV con un tiempo de muestreo de 200(µs). En las
gr´aficas de las se˜nales de salida, se aprecian las lecturas
del error de posici´on, ´unicamente para los controladores
libres de chattering, esto es: Super-Twisting (Figuras 10 y 11), CID (Figuras 12 y 13) y 3-STA (Figuras 14 y 15). En
las se˜nales de control s´olo se muestran las correspondientes
a los modos deslizantes. Se puede apreciar en las se˜nales de
control, como las trayectorias convergen en tiempo f´ınito para los algoritmos CID y 3-STA. Se puede observar que
las se˜nales de control empiezan a conmutar, ´esto cuando
los errores convergen a cero; sin embargo la conmutaci´on
de las se˜nales es m´as acentuada en el 3-STA ya que
no contamos con un sensor o medici´on confiable de la
Figura 8. Equipo de experimentaci´on en laboratorio, robot
paralelo 2-DOF.
velocidad, y para el 3-STA dicha medici´on est´a incluida en
la discontinuidad. En contraste, el Super-Twisting, debido
a del comportamiento asint´otico (v´ease Figura 11) en el
cu´al nunca se alcanza el modo deslizante. En la Figura
9 se pueden ver las l´ıneas que dibuja el efector final, implementando un controlador discontinuo (Twisting) y otro continuo (3-STA).
Figura 9. L´ıneas trazadas por el efector final del robot
sobre hoja de papel milim´etrico.
400 600 800 1000 1200 1400 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Muestras
Error de posición en actuadores [°]
e θ1(t) eθ2(t) e θ3(t) 1040105010601070108010901100 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 Zoom
Figura 10. Errores de posici´on en actuadores: PD +
Super-Twisting. 400 600 800 1000 1200 1400 −0.02 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 Muestras Señal de control u [Nm] 1200 1300 1400 1500 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 Zoom 1 1080 1100 1120 1140 1160 1180 1200 −0.015 −0.014 −0.013 −0.012 −0.011 Zoom 2
Figura 11. Se˜nal de control: Super-Twisting.
5. CONCLUSIONES
Se probaron diferentes algoritmos en una planta real;
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Muestras
Error de posición en actuadores [°]
eθ 1 (t) eθ 2 (t) eθ 3 (t) 750 800 850 900 950 1000 1050 1100 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 Zoom v=0
Figura 12. Errores de posici´on en actuadores: PD + CID.
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 −0.03 −0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 Samples Señales de control u [Nm] 450 500 550 600 650 700 750 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 Zoom u1 u2 u3
Figura 13. Se˜nal de control: CID.
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Samples
Error de posición en actuadores [°]
eθ 1 (t) eθ 2 (t) eθ 3 (t) 620 640 660 680 700 720 740 760 780 800 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 Zoom eθ 1 (t) eθ 2 (t) eθ 3 (t) v=0 (before tracking)
Figura 14. Errores de posici´on en actuadores: PD + 3-STA.
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 −0.03 −0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 Samples Señales de control u [Nm] u 1 u 2 u 3 400 420 440 460 480 −0.0245 −0.024 −0.0235 −0.023 −0.0225 −0.022 Zoom
Figura 15. Se˜nal de control: 3-STA.
extendi´o y modific´o el Cuadro de controladores estandares,
con los dos nuevos algoritmos probados (Cuadro 4) y
adem´as al ser un caso pr´actico la precisi´on queda en
fun-ci´on de µ (Cuadro 3). Conforme los algoritmos aumentan
de orden, tambi´en su complejidad para ser sintonizados.
Dicha complejidad aunque beneficia la correcci´on de error
tambi´en implica costos computacionales, afectando los
tiempos de ejecuci´on. Para los nuevos algoritmos, 3-STA
pide m´as condiciones que CID por tener m´as par´ametros
en su funci´on de Lyapunov.
Algoritmo RSME
q PN
i ||eθi||2[rad] Tiempo de ejecuci´on [s]
Nominal PD 0.111 4.61
Primer Orden 0.0413 4.631
Super-Twisting 0.0391 4.649
CID / 3-STA 0.0321/0.0360 4.7321/4.8360
Cuadro 3. RSME (root-square mean
error) y Tiempos de ejecuci´on del
expe-rimento.
Algoritmo Precisi´on Chattering/ Informaci´on/ Control Perturbaci´on M.D. Convencionales µ X/Discontinuo x, ˙x/|δ(t)| ≤ D
S´uper Twisting µ Continuo x, ˙x/|d dtδ(t)| ≤ ∆
Twisting µ2 X/Discontinuo x, ˙x/|δ(t)| ≤ D
Tercer Orden µ3 Continuo x, ˙x,x¨/|δ(t)| ≤ D
CID/3-STA µ3 Continuo x, ˙x/ |d dtδ(t)| ≤ ∆
Cuadro 4. Propiedades de los controlado-res implementados.
6. AGRADECIMIENTOS
Los autores agradecen al soporte financiero de CONACyT (Consejo Nacional de Ciencia y Tecnolog´ıa), 132125, CVU
491178. Progama de apoyo a proyectos de investigaci´on e
inovaci´on tecnol´ogica (PAPIIT) UNAM, 113613. Fondo de
Colaboraci´oon del II-FI UNAM, IISGBAS-109-2013.
REFERENCIAS
Emelyanov, SV Korovin, S.y.L.L. (1986). Second order sliding modes in controlling uncertain systems. Soviet Journal of Compute and System Science,.
Fridman, R.S.L. and Moreno, J. (2010). Finite-time
convergence analysis for twisting controller via a strict lyapunov function. International Workshop on Variable Structure Systems Mexico City.
Kamal, S., Chalanga, A., Moreno, J.A., Fridman, L., and Bandyophandhyay, B. (2014). Higher order super-twisting algorithm. IEEE Conference Publications.
Kick, S. and Schumacher, W. (1998). A parallel x-y
manipulator with actuation redundancy for high-speed
and active-stiffness applications. IEEE Proceedings
International conference on Robotics & Automation. Levant, A. (1993). Sliding order and sliding accuracy in
sliding mode control. International Journal of Control, 58, 1247–1263.
Moreno, J.A. and Osorio, M. (2008). A lyapunov approach to second-order sliding mode controllers and observers. Proceedings of the 47th IEEE Conference on Decision and Control Cancun, Mexico.
Richard, M.M., Zexiang, L., Zexiang, L., and Shankar,
S. (1994). A mathematical introduction to robotic
manipulation. CRC Press.
Shang, W. and Cong, S. (2010a). Adaptive compensation of dynamics and friction for a planar parallel mani-pulator with redundant actuation. Proceedings of the 2010 IEEE International Conference on Robotics and Biomimetics.
Shang, W. and Cong, S. (2010b). Nonlinear adaptive task space control for a 2-dof redundantly actuated parallel manipulator. Springer.
Shang, W., Cong, S.C.S., Zhang, Y., and Liang, Y. (2009). Active joint synchronization control for a 2-dof redun-dantly actuated parallel manipulator. IEEE Transac-tions on Control Systems Technology, 17 No. 2.
Shtessel, Y., Fridman, C.E.L., and Levant, A. (2013). Sliding Mode Control and Observation. Springer. Utkin, V., Guldner, J., and Shi, J. (2009). Sliding Mode
control in Electro-Mechanical Systems. CRC Press.
Zamora, C´esar y Moreno, J. (2013). Control integral
dis-continuo para sistemas mec´anicos. In Congreso Nacional
