7° CUATRIMESTRE
FACILITADOR:ROMAN HUMBERTO GARMA MANZANILLA MATRICULA:
DL13GAMR0125 ALUMNO:
FRANCISCO DOMÍNGUEZ CORELLA MATRICULA:
AL11503414 UNIDAD 1.
PROGRAMACIÓN LINEAL
EVIDENCIA DE APRENDIZAJE U1.
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
PACHUCA DE SOTO, HGO A 24 DE SEPTIEMBRE DE 2014
INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES DIOP
Introducción:
Como actividad final de la unidad, aplicarás lo aprendido en dos ejercicios que deberán ser resueltos por los Métodos llamados de la M y de las Dos fases.
Recuerda que para resolverlos debidamente es necesario estudiar todo el material propuesto en la Unidad y realizar las actividades anteriores.
Propósito:
Al lograr terminar ésta actividad satisfactoriamente, comprobarás que cada concepto y cada procedimiento descrito aquí fueron asimilado debidamente, por lo tanto, estarás listo para entrar a la siguiente unidad.
Instrucciones:
I) Resuelve los siguientes ejercicios
Ejercicio 1
Considera el siguiente problema.
Maximizar Z = 2X1 + 5X2 + 3X3
Sujeto a: X1 - 2X2 + X3 ≥ 20 2X1 + 4X2 + X3 = 50 y
X1, X2, X3 ≥ 0
1.- Utiliza el método de la gran M y construye la primera tabla simplex completa para el método simplex e identifica la solución BF inicial (artificial) correspondiente. También identifica la variable básica entrante inicial y la variable básica que sale.
2.- Aplica el método simplex paso a paso para resolver el problema.
3.-Utiliza el método de las dos fases para construir la primera tabla simplex completa para la fase 1 e identifica la solución BF inicial (artificial) correspondiente. También identifica la variable básica entrante inicial y la variable básica que sale.
4.- Aplica la fase 1 paso a paso.
5.- Construye la primera tabla simplex completa de la fase 2.
6.- Aplica la fase 2 paso a paso para resolver el problema.
7.- Compara la secuencia de soluciones BF que obtuvo en el paso 2 con los pasos 4 y 6. Contesta la pregunta. ¿Cuáles de estas soluciones son factibles sólo para el problema artificial obtenido al introducir las variables artificiales y cuáles son factibles para el problema real?
8.-Utiliza un paquete de software basado en el método simplex para comparar sus resultados con los hechos a mano. En el contenido de la unidad 1 y en la bibliografía encontrarás sugerencias de sitios en Internet para usar dicho software.
Ejercicio 2
Considera el siguiente problema.
Minimizar Z = 3X1 + 2X2 + 4X3
Sujeto a: 2X1 + X2 + 3X3 = 60 3X1 + 3X2 + 5X3 ≥ 120 y
X1, X2, X3 ≥ 0
1.- Utiliza el método de la gran M para aplicar el método simplex paso a paso a fin de resolver el problema.
2.- Emplea el método de las dos fases para aplicar el método simplex paso a paso y resolver el problema.
3.- Compara la serie de soluciones BF de los pasos 1 y 2. Contesta la pregunta. ¿Cuáles de esta soluciones son factibles sólo para el problema artificial que se obtuvo al introducir las variables artificiales y cuáles son factibles para el problema real?
4.- Utiliza un paquete de software basado en el método simplex para comparar sus resultados con los hechos a mano. En el contenido de la unidad 1 y en la bibliografía encontrarás sugerencias de sitios en Internet para usar dicho software.
II) Guarda los 2 ejercicios en un archivo de Microsoft Word con el nombre DIOP_U1_EA_XXYZ.Doc. Sustituye las XX por las dos primeras letras del primer nombre, la Y por la inicial del apellido paterno y la Z por la inicial del apellido materno.
III) Envía el archivo a tu Facilitador mediante la sección de Tareas para recibir retroalimentación.
IV) Revisa la escala de evaluación de la Evidencia de aprendizaje que encontrarás en el archivo Instrumentos de evaluación.
Considera el siguiente problema.
Considera el siguiente problema.
Maximizar Z = 2X1 + 5X2 + 3X3
Sujeto a: X1 - 2X2 + X3 ≥ 20 2X1 + 4X2 + X3 = 50 y
X1, X2, X3 ≥ 0
1.- Utiliza el método de la gran M y construye la primera tabla simplex completa para el método
Convertir a modo estándar
Maximizar Z = 2X1 + 5X2 +3X3 + S1 + MA1 + MA2
Sujeto a X1 – 2X2 + X3 – S1 + A1 = 20 2X1 + 4X2 + X3 + A2 = 50 Y X1, X2, X3 ≥ 0 Tabla Simplex x1 x2 x3 s1 a1 a2 RHS max Z 2 5 3 0 M M R1 1 -2 1 -1 1 0 20 R2 2 4 1 0 0 1 50
2.- Aplica el método simplex paso a paso para resolver el problema.
Primera iteración - Ci 2 5 3 0 -M -M Cb Base X1 X2 X3 S1 A1 A2 Bi Theta -M A1 1 -2 1 -1 1 0 20 20 Sale -M A2 2 4 1 0 0 1 50 25 - Zj-Cj -2 -5 -3 0 0 0 0 - Gran M -3 -2 -2 1 0 0 -70 Entra Entra la variable X1 Sale la variable: A1
Ejercicio 1:
Pivote 1
Como el pivote es 1 no es necesario dividir X1
Segunda iteración - Ci 2 5 3 0 -M -M Cb Base X1 X2 X3 S1 A1 A2 Bi Theta 2 X1 1 -2 1 -1 1 0 20 NaN -M A2 0 8 -1 2 -2 1 10 1.25 Sale - Zj-Cj 0 -9 -1 -2 2 0 40 - Gran M 0 -8 1 -2 3 0 -10 Entra Entra la variable X2 Sale la variable: A2 Pivote 8
Se divide A2 entre 8 para convertir pivote en 1
0 / 8 8 / 8 -1 / 8 2 / 8 -2 / 8 1 / 8 10 / 8 0 1 -0.12 -0.25 0.13 1.25 Tercera iteración - Ci 2 5 3 0 -M -M Cb Base X1 X2 X3 S1 A1 A2 Bi Theta 2 X1 1 0 0.75 -0.5 0.5 0.25 22.5 30 sale 5 X2 0 1 -0.12 0.25 -0.25 0.13 1.25 NaN - Zj-Cj 0 0 -2.12 0.25 -0.25 1.13 51.25 - Gran M 0 0 0 0 1 1 0 entra Entra la variable X3 Sale la variable: X1 Pivote 0.75
Se divide X2 entre 0.75 para convertir el pivote en 1
1 / 0.75 0 / 0.75 0.75 / 0.75 -0.5 / 0.75 0.5 / 0.75 0.25 / 0.75 22.5 / 0.75 1.33 0 1 -0.67 0.67 0.33 30
Cuarta Iteración
Cb Base X1 X2 X3 S1 A1 A2 Bi Theta 3 X3 1.33 0 1 -0.67 0.67 0.33 30 NaN 5 X2 0.17 1 0 0.17 -0.17 0.17 5 30 sale - Zj-Cj 2.83 0 0 -1.17 1.17 1.83 115 - Gran M 0 0 0 0 1 1 0 entra Entra la variable S1 Sale la variable: X2 Pivote 0.17
Se divide X2 entre 0.17 para convertir pivote a 1
0.17 / 0.17 1 / 0.17 0 / 0.17 0.17 / 0.17 -0.17 /0.17 0.17 / 0.17 5 / 0.17 1 5.88 0 1 -1 1 29.41 Quinta iteración - Ci 2 5 3 0 -M -M Cb Base X1 X2 X3 S1 A1 A2 Bi Theta 3 X3 2 4 1 0 0 1 50 NaN 0 S1 1 5.88 0 1 -1 1 29.41 30 - Zj-Cj 4 7 0 0 0 3 150 - Gran M 0 0 0 0 1 1 0 La solución 0ptima es Z = 150, X1=0, X2=0 y X3=50 X1 y X2 dan 0 por no estar en la base
3.-Utiliza el método de las dos fases para construir la primera tabla simplex completa para la fase Maximizar Z = 2X1 + 5X2 + 3X3 Sujeto a: X1 - 2X2 + X3 ≥ 20 2X1 + 4X2 + X3 = 50 y X1, X2, X3 ≥ 0 Reformulando el problema Maximizar Z = 2X1 + 5X2 + 3X3 Sujeto a: X1 - 2X2 + X3 – h1 = 20 2X1 + 4X2 + X3 + a2 = 50
Construyendo el problema P’
Maximizar Z = 2X1 + 5X2 + 3X3 – Ma1 – Ma2
X1 - 2X2 + X3 + h1 = 20
2X1 + 4X2 + X3 + a2 + W2 = 50
Primera tabla simplex de la fase 1
Variable
Basica Ecuación W0 X1 X2 X3 A1 W1 W2 Solución
W0 0 1 1 5 3 0 -1 -1 0
A1 1 0 1 -2 1 -1 1 0 20
2 0 2 4 1 0 0 1 50
Se obtiene la tabla siguiente que corresponde a la solución inicial básica no óptima de la fase 1 Tabla 1 0 0 0 0 -1 -1 Base Cb W0 X1 X2 X3 A1 W1 W2 W1 -1 20 1 -2 1 -1 0 1 W2 -1 0 2 4 1 0 1 0 Z -20 -3 -2 -2 1 0 0
La variable que sale de la base es W1 y la que entra es X1.
Tabla 2 0 0 0 0 -1 -1
Base Cb W0 X1 X2 X3 A1 W1 W2
W2 -1 20 0 -4 0.5 -1 -0.5 1
X1 0 0 1 2 0.5 0 0.5 0
Z -20 0 4 -0.5 1 1.5 0
La variable que sale de la base es X1 y la que entra es X3.