Coeficiente global de transferencia de calor

Coeficiente global de transferencia de calor, U

Existen ciertos tipos de problemas, principalmente relacionados con intercambiadores de calor, donde es conveniente simplificar el cálculo del calor, esto se realiza incorporando el concepto de coeficiente global de transferencia de calor, U , el cual se relaciona con el calor mediante la siguiente ecuación:

total T U q= A ∆

donde:

U: Coeficiente global de transferencia de calor, U = [ W /m2 K ]

Con relación a la analogía eléctrica podríamos señalar que el coeficiente Global de transferencia de calor se obtiene al reducir todo el circuito eléctrico análogo, a una sola resistencia total, la cual se relaciona con, U, a través de:

A U Rtotal 1 = A U R_total = 1 1

T

T

Figura 1.24 Coeficiente Global de transferencia de calor

A continuación ilustraremos el cálculo del coeficiente global de transferencia de calor, para el Ejemplo 1.5

1 U 2 , s T _T∞

Figura 1.25 Cálculo del coeficiente global de transferencia de calor para el Ejemplo 1.5 ) ( "= U T_,2 −T_∞ q s ∞ − = T T q U s 2, "

Para un día de calma

K m W T T U s calma 2 2 , calma / 18,18 15) -( 36 27 . 927 q" = − = − = ∞ Para un día con viento

K

m

W

T

T

U

_32,91

_/

15)

-(

36

48

.

1678

q"

=

−

=

−

=

Aunque se había despreciado hasta ahora, es importante reconocer que en sistemas compuestos con distintos materiales la caída de la temperatura en la interfaz puede ser apreciable.

A

T

T

B

A

x

ka

L /

Figura 1.26 Resistencia térmica de contacto

En la figura 1.27 se observa una ampliación de la interfaz

B A

Aire

Aire

Aire

Figura 1.27 Resistencia de contacto entre dos paredes

A A K L c t R", B B K L

La resistencia térmica de contacto,

R

"

experimentalmente. c t

R

"

A continuación se presenta una tabla donde se muestra valores característicos de la resistencia térmica de contacto.

Tabla 1.2 Resistencia térmica de contacto para (a) Superficies metálicas bajo condiciones de vacío y (b) Interfaz de Aluminio ( rugosidad; 10

nm),

10

N/m

Resistencia térmica de contacto, R"t_,cx 104 [m2.K/W]

(a ) In te rfa z a l v a c ío (b )F lu id o In te rfa c ia l P r e s ió n d e c o n ta c to 1 0 0 2 / m kN 1 0 .0 0 0 2 / m kN A ir e 2 ,7 5 A c e r o in o x id a b le 6 - 2 5 0 ,7 - 4 ,0 H e lio 1 ,0 5 C o b r e 1 - 1 0 0 ,1 – 0 ,5 H id r o g e n o 0 ,7 2 0 M a g n e s io 1 ,5 - 3 ,5 0 ,2 - 0 ,4 A c e ite S ilic o n a 0 ,5 2 5 A lu m in io 1 ,5 - 5 ,0 0 ,2 - 0 ,4 G lic e r in a 0 ,2 6 5

CONDUCCIÓN

Ecuación General de Conducción

Considera el cuerpo sólido mostrado en la figura 2.1

y

z

x

T

Figura 2.1 Ecuación de conducción

Con miras a simplificar la demostración de la ecuación de conducción realizaremos el análisis, para el caso de dos dimensiones tal como se muestra en la figura 2.2 " q 2 y y+∆ " q 2 x x+∆ 2 y y− ∆ " q 2 x x−∆ " q

y

q

En balance de calor se han colocado los calores asociados a cada cara del volumen de control, así como el calor q"G, Calor generado por unidad de volumen

] m W /

[ 3

Este calor generado incorpora la posibilidad de que el cuerpo genera calor internamente, como puede ocurrir en una reacción química, en un elemento radioactivo, o bien en un conductor eléctrico.

Recordando la Primera ley de la termodinámica, para un sistema cerrado, la cual establece: dt dU dt dW q_neto − =

y que en ausencia de trabajo e incorporando la convención de signo para la evaluación del calor neto (calor que entra es positivo, calor que sale es negativo), podemos simplificar a:

dt dU q

q

q_entra − _sale + _gen =

y evaluando cada término, tenemos:

dt dU z y x q z x q q z y q q _{y G} y y y x x x x ) " " ( ) " " ( "' 2 2 2 2 = ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ − + ∆ ∆ − ₊∆ ₋∆ ₊∆ ∆ −

recordando que el cambio de energía interna para un sólido se determina mediante: dt dT zC y x dt dU v ∆ ∆ ∆ =ρ ,

donde Cv, es el calor especifico a volumen constante.

Realizando expansiones en serie de Taylor y reteniendo solamente los términos de primer orden, se tiene para los flujos de calor en las diversas caras.

2 " " " 2 x x q q q _{x x} x x ∆ ∂ ∂ − = ∆ − 2 " " " 2 x x q q q x x x x ∆ ∂ ∂ + = ∆ +

2 " " " 2 y y q q q _{y y} y y ∆ ∂ ∂ − = ∆ − 2 " " " 2 y y q q q _{y y} y y ∆ ∂ ∂ + = ∆ +

sustituyendo las ecuaciones anteriores en el balance de calor, se tiene:

t T zC y x z y x G q z x y y q z y x x q v y x ∂ ∂ ∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆ ∂ ∂ − + ∆ ∆ ∆ ∂ ∂ − " ) ( " ) " ρ (

Empleando la Ley de Fourier para la determinación de los calores, tenemos:

x T k q _x ∂ ∂ − = " y T k q _y ∂ ∂ − = "

y sustituyendo finalmente en la Ecuación, y simplificando por ∆x∆y∆z, se llega a la Ecuación General de Conducción para el caso de dos dimensiones, 2-D

t T C q y T k y x T k x G v ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ '' ' ) ( ) ( ρ

Interpretación física de cada término de la ecuación de conducción

t T C q y T k y x T k x G v ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ '' ' ) ( ) ( ρ

Para la situación en tres dimensiones, 3 –D, podemos escribir la Ecuación de conducción de calor: t T C z T k z y T k y x T k x v ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ '' q' ) ( ) ( ) ( _G ρ ó en notación simbólica: t T C q T k _{G v} ∂ ∂ = + ∇ ∇ .( ) ' '' ρ

Si la conductividad térmica es constante, entonces la ecuación se simplifica a:

t T C q T k _{G v} ∂ ∂ = + ∇2 ' '' ρ

A continuación se presenta la Ecuación de Conducción para sistema de coordenadas cilíndricas y esféricas.

Coordenadas cilíndricas t T C q z T k z T k r r T kr r r G v ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ) ( ) ( 1 ) ( 1 "" 2 φ φ ρ φ x y z r ) , , , (r z t T φ

Figura 2.3 Sistema de coordenadas cilíndricas

Coordenadas esféricas T C q T Sen k T k T kr _G ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 v " ' 2 _ρ θ θ θ θ φ φ θ

φ x y z ) , , , , (r z t T φ θ θ

r

Figura 2.4 Sistema de coordenadas esféricas Condiciones de bordes y condiciones iniciales

Par poder ser realizada la integración de la ecuación general de conducción, en términos matemáticos es menester incluir las condiciones iniciales y de borde . En general, por ser la ecuación general de conducción de primer orden en tiempo se requiere del establecimiento de una úica condición icicaial.

La condición inicial se refiere a la distribución de temperatura que existe en el instante de tiempo inicial.

Condición Inicial: T(x, y, z, t=0)= Ti(x,y,z)

Para el caso de las condiciones de borde; se observa que en las variables espaciales (x,y,z), la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación general de conducción es dos; por tanto se requiere el establecimiento de dos condiciones de borde por cada variable espacial. A continuación incluimos un conjunto de condiciones de borde que aparecen con frecuencia en la formulación de problemas de conducción.

1. Temperatura especificada constante (condicción de Dirichlet)

2. Flujo de calor especificado constante (condición de Neuman)

x

''

s

q

3. Ambiente convectivo (Robin)

x

h

∞

T

∞

T

ε

x