E
CUACIONES DIFERENCIALES
ENRIQUE
RAFAEL
ESPINOSA
SANCHEZ
AVISO LEGAL
Derechos Reservados 2012, por RED TERCER MILENIO S.C.
Viveros de Asís 96, Col. Viveros de la Loma, Tlalnepantla, C.P. 54080, Estado de México.
Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, sin la autorización por escrito del titular de los derechos.
Datos para catalogación bibliográfica
Enrique Rafael Espinosa Sánchez
Ecuaciones diferenciales
ISBN 978-607-733-115-5
Primera edición: 2012
DIRECTORIO
Bárbara Jean Mair Rowberry Directora General
Rafael Campos Hernández Director Académico Corporativo
Jesús Andrés Carranza Castellanos Director Corporativo de Administración Héctor Raúl Gutiérrez Zamora Ferreira Director Corporativo de Finanzas Ximena Montes Edgar
INDICE
Introducción Mapa conceptual
UNIDAD 1. Ecuaciones diferenciales
OBJETIVO 9
TEMARIO 9
MAPA CONCEPTUAL 10
INTRODUCCIÓN 11
1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL 12
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 14
1.2 ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 14
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 16
1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL 15
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 19
AUTOEVALUACION 20
RESPUESTAS AUTOEVALUACION 22
UNIDAD 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
OBJETIVO 27
MAPA CONCEPTUAL 28
INTRODUCCION 29
2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES 30
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 32
2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES HOMOGÉNEOS 33
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 35
2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS 35
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 38
2.4 USO DEL FACTOR INTEGRANTE 38
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 42
2.5 ECUACIÓN DE BERNOULLI 42
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 43
2.6 APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN 43
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 46
AUTOEVALUACION 47
RESPUESTAS AUTOEVALUACION 48
UNIDAD 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
OBJETIVO 54
MAPA CONCEPTUAL 55
INTRODUCCION 56
3.1 ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS 57
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 58
3.2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL A PARTIR DE UNA
SOLUCIÓN CONOCIDA 58 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 60 3.3 EL WRONSKIANO 60 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 61 3.4 VARIACIÓN DE PARÁMETROS 61 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 62
3.5 ECUACIÓN DE CAUCHY EULER 63
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 64
3.6 SERIES DE POTENCIA 65
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 67
AUTOEVALUACION 68
RESPUESTAS AUTOEVALUACION 69
UNIDAD 4. TRANSFORMADAS DE LAPLACE
OBJETIVO 72
TEMARIO 72
INTRODUCCION 74 4.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 75
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 76
4.2 TRANSFORMADA DIRECTA E INVERSA DE LAPLACE 77
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 80
4.3 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON LAS
TRANSFORMADAS DE LAPLACE 80 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 82 AUTOEVALUACION 83 RESPUESTAS AUTOEVALUACION 84 Bibliografía 86 Glosario 87
INTRODUCCION
La presente, es una guía teórico-didáctica de la materia de Ecuaciones Diferenciales que pretende orientar al estudiante en bases y conceptos generales.
Sin embargo, el estudiante habrá de realizar diversas investigaciones bibliográficas, ejercicios y prácticas extra clase para poder complementar el aprendizaje de la materia.
El estudio de las Ecuaciones Diferenciales se enfoca en modelar situaciones de la vida cotidiana de forma matemática.
Previo a este curso de Ecuaciones Diferenciales el estudiante tendrá que dominar las áreas del cálculo diferencial e integral, mismas que le facilitaran el desarrollo de la aplicación de los métodos de solución de las ecuaciones.
El presente libro didáctico está compuesto de cuatro unidades que abarcan los conceptos necesarios para que el estudiante maneje las Ecuaciones Diferenciales y dar un sentido conceptual que sea aplicable a su carrera profesional.
El curso parte desde cero en el estudio de las ecuaciones diferenciales, en la primera unidad se aborda la definición de ecuación diferencial para no crear ambigüedades en la construcción del conocimiento del estudiante, se retoma los momentos históricos del desarrollo de las ecuaciones diferenciales desde Arquímedes hasta Newton.
Las siguientes dos unidades de forma general realizan un estudio de las ecuaciones diferenciales desde la solución de ecuaciones de primer orden hasta la solución de ecuaciones de orden superior, tomando en cuenta diversos métodos de solución.
La cuarta unidad trata de las Transformadas de Laplace, requiere que los conocimientos adquiridos en las tres unidades anteriores hayan logrado construir un cimiento cognitivo que brinde las herramientas indispensables para estudiar y comprender este tema, por complicado que parezca nos llevara a la esencia de la representación de una función en su forma algebraica.
Los temas curriculares de esta materia pretenden que al finalizar el curso el estudiante sepa aplicar los conocimientos adquiridos a la carrera profesional que estudia.
UNIDAD 1
ECUACIONES DIFERENCIALES
OBJETIVO
Explicar la definición, el origen y solución de las ecuaciones diferenciales
TEMARIO
1.1DEFINICIÓNDEECUACIÓNDIFERENCIAL
1.2ORIGENDELASECUACIONESDIFERENCIALES 1.3SOLUCIÓNDEUNAECUACIÓNDIFERENCIAL
INTRODUCCIÓN
En esta unidad se describe la definición de una ecuación diferencial, su origen y la solución, para comprender los problemas matemáticos en los cuales se ven implicadas las ecuaciones diferenciales.
Las ecuaciones diferenciales tienen una relación con fenómenos físicos, químicos, eléctricos, etcétera, los cuales han requerido una explicación de forma matemática.
El alumno aprenderá que las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad, conceptos esenciales que le ayudarán a plantear problemas con diferente grado de dificultad.
1.1DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL
Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida de una o más variables.
En cálculo se aprende que la derivada dy /dx (se lee derivada de y con respecto a x ) de la función y (x) es otra función de x , por ejemplo:
2
x
e
y
la derivada de esta función es
2
2
xe
xdx
dy
en ecuaciones diferenciales, al remplazar
2
x
e
por y se obtiene la ecuación diferencial xy dx dy 2 La integración y la derivación están estrechamente ligadas, la integración de una función se puede calcular una vez que se conoce su antiderivada, las ecuaciones diferenciales toman un sentido de matemáticas más puras, ya que ahora dada la función
xy dx dy
2
hay que encontrar su derivada, cuestionando si hay algún método para obtener la función desconocida y(x).
Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad.
Clasificación según su tipo: si la función desconocida depende sólo de una variable, es decir, que las derivadas sean derivadas ordinarias, la ecuación se llama ecuación diferencial ordinaria. Por ejemplo:
y x dx dy 2 o y´2xy 2 6 0 2 y dx dy dx y d
Normalmente escribimos y f(x) y llamamos a x la variable independiente, y a y la variable dependientes de x . Para sintetizar la denotación de y en x en una función y f(x), simplemente podemos escribir
) (x
y y sus derivadas sucesivas por y'(x), y''(x),...,yn(x) , o también únicamente n
y y
y', '',..., .
En otro caso, si la función desconocida depende de más de una variable, es decir, que las derivadas sean derivadas parciales, la ecuación se llama ecuación diferencial parcial. Por ejemplo:
V y V x V 2 2 2 2 2
V es la función desconocida de las dos variables independientes x y y es una ecuación diferencial parcial. Se escribe V F(x,y) para hacer más claro que x y y son las variables independientes y V es la variable dependiente, de manera más sencilla para marcar que se trata de una ecuación diferencial parcial, denotamos el valor de V en x y y por V(x,y).
Clasificación según su orden: el orden de una educación diferencial ya sea ordinaria o parcial, es el orden de la derivada más alta que aparece en la ecuación. Por ejemplo:
y x y´2
El orden de esta ecuación diferencial es de primer orden ya que sólo tiene una derivada de y con respecto a x.
0 6 2 2 y dx dy dx y d
El orden de esta ecuación diferencial es de segundo orden, de y con respecto a x . V y V x V 2 2 2 2 2
Esta ecuación diferencial es parcial, note que ambas derivadas son de segundo orden, por tanto, la ecuación diferencial es una ecuación diferencial de segundo orden.
Clasificación según su linealidad: una ecuación diferencial es lineal cuando puede ser escrita de la forma
) ( ) ( ' ) ( .. ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 0 x y a x y a x y a x y F x a n n n n
donde F(x) y los coeficientes ) ( , ),.., ( ), ( , x a1 x a x
a son funciones dadas de x y a, x( ) no es idéntica a cero. Por ejemplo:
0 4
)
(yx dx xdy y´´2y´y0
Cuando una ecuación diferencial no puede ser escrita de la forma anterior, se dice que es una ecuación no-lineal. Por ejemplo:
x e y y y ) ´ 2 1 ( 4 2 0 4 2 2 y dx y d sen dx y d
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Indicar si las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales o no lineales
1. 2 1 2 ´ y x yy 2. (1-x)y´´-4xy´+5y=cosx 3. x2 dy(yxyxex)dx0 4. 2 2 2 r k dt r d 5. (1y2)dxxdy0
1.2ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
La Mecánica es la más antigua de las ciencias físicas, los escritos más vetustos a cerca de esta materia se deben a Arquímedes (287-212 a.C.), referentes al
principio de la palanca y del empuje. Galileo estudió problemas dinámicos sobre la caída de los cuerpos. Copérnico formuló el sistema heliocéntrico para dar paso a la Mecánica celeste.
La integración antecedió a la diferenciación por dos mil años, Arquímedes representó procesos de sumas integrales, pero hasta el siglo XVII Fermat pudo encontrar las tangentes y puntos críticos por métodos equivalentes a la evaluación de cocientes incrementales. Fermat descubrió la inversa de estos procesos y dio la explicación de la antiderivación en la determinación límite de sumas.
El calculus apareció impreso, por primera vez, en una memoria de seis páginas de Leibniz, que contenía una definición de la diferencial con simples reglas para su cálculo en sumas, productos, cocientes, potencias y raíces.
El problema de la integración de las ecuaciones diferenciales se presentaba como del problema inverso del análisis infinitesimal.
Leibniz fue el primero en usar el término aequatio differentialis en 1676 para denotar una relación entre las diferenciales dx y dy y dos variables x y
y. Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias surgen prácticamente con la aparición del Calculus, en una polémica entre Newton y Leibniz, cuando Newton publica que “dada una ecuación con cantidades fluentes, determinar las fluxiones y viceversa”. Newton dio la primera clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden.
Tanto Newton como Leibniz estudiaron problemas con una visión geométrica-euclidiana, debido a la época el concepto de función era muy vago y estaba ligada únicamente a la curva geométrica. Pero ambos sentaron las bases del cálculo moderno.
En el siglo XVII James y JohanBernoulli introducen los términos de integrar una educación diferencial y el proceso de separación de variables de una ecuación diferencial.
Euler se encargó de establecer la primera teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias, la expresión dy /dx significa para Euler un cociente entre diferenciales y no lo que actualmente expresa.
Liapunov y Poincaré aportaron métodos y conceptos fundamentales de las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.
Galileo fue el pionero en estudiar el comportamiento del movimiento del péndulo.
Todos aquellos matemáticos que tratado de modelar problemas de físicos, químicos, electrónicos, etc., han contribuido al desarrollo histórico de las ecuaciones diferenciales, a pesar de que en la recopilación de los estudios y tratados para conocer el origen de las ecuaciones diferenciales se discrimina las aportaciones de algunos matemáticos.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental sobre el origen de las Ecuaciones Diferenciales con la bibliografía señalada, para que el alumno tenga mayores referencias de las aportaciones de algunos matemáticos que se pudieron haber omitido en este trabajo.
1.3SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Una solución de una ecuación diferencial es cualquier función que satisface la ecuación, esto es, la reduce a una identidad.
Cuando una función , definida en algún intervalo I , se sustituye en una ecuación diferencial y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que es una solución de la ecuación en el intervalo. Una solución de una ecuación diferencial ordinaria como la ecuación
0 ) ´,..., , , (x y y y(n) F
es una función con al menos n derivadas y
0 )) ( ),..., ´( ), ( , (x x x ( ) x F n para todo x en I.
Se dice que y(x)satisface la ecuación diferencial. El intervalo
I puede ser intervalo abierto, (a, b), cerrado, [a,b], infinito (a,), etcétera. Ejemplo 1. Sea la función x
xe
y una solución de la ecuación lineal 0 ' 2 '' yy y en el intervalo (,). Solución: sustituyendo x x e xe y´ y x x e xe y´´ 2 obtenemos 0 ) ( 2 ) 2 ( ´ 2 ´´ yy xex ex xex ex xex y Ejemplo 2. La ecuación 0 15 2 2 2 x dt dx dt x d
Sean las funciones t
e
x 5 y t
e
x 3 soluciones de la ecuación ya que al sustituir dan por resultado:
0 15 ) 5 ( 2 25e5t e5t e5t 0 15 ) 3 ( 2 9e3t e3t e3t
Ejemplo 3. La función definida por:
y sen e V 3x 2 es una solución de la ecuación
V y V x V 2 2 2 2 2
debido a que sustituyendo encontramos la identidad:
y sen e y sen e y sen e x 2 2( 4 x 2 ) x 2 9 3 3 3
La solución de ecuaciones diferenciales se divide en soluciones explícitas e implícitas. Las soluciones explícitas son aquellas en la variable dependiente se expresa tan solo en términos de la variable independiente y constantes. Las soluciones implícitas son aquellas en las que la ecuación
diferencial depende de dos variables y al menos una función satisface la educación dentro de un intervalo.
Solución implícita: Sea la ecuación diferencial
y x dx dy
su solución implícita es la función
0 4 2 2 y x
dentro del intervalo 2x2, derivado la función obtenemos 0 2 2 dx dy y x despejando dx dy
se obtiene la ecuación diferencial.
El nombre de solución general de ecuaciones diferenciales se aplica únicamente para ecuaciones diferenciales lineales ya que existen ecuaciones no lineales que son difíciles de resolver bajo los parámetros en los que se encuentra la familia de soluciones que contienen todas las soluciones posibles de la ecuación.
Un sistema de ecuaciones diferenciales es el conjunto de dos o más ecuaciones donde aparecen las derivadas de dos o más funciones desconocidas de una variable independiente.
El problema de valor inicial es aquel que busca determinar una solución a una ecuación diferencial que está sujeta a condiciones de la función desconocida y sus derivadas específicas en un valor de la variable independiente, estas condiciones se conocen como condiciones iniciales.
El problema de valor de frontera busca determinar la solución de la ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida especificadas en dos o más valores de la variable independiente. A estas condiciones se les denomina condiciones de frontera.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Verificar si la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. 1.2y´y0; yex2 2. x x x e e y e y dx dy 3 3 2 10 ; 2 3. 2 12 ; 0 2 x y xydx dy x 4. ´1 y1; y xlnx,x0 x y 5. x x e c e c y y y y 2 4 3 1 ; 0 12 ´ ´´
AUTOEVALUACIÓN
Indique si la ecuación es lineal o no lineal, así como el orden de cada ecuación. 1. x2 dy(yxyxex)dx0 2. 2 2 2 r k dt r d 3. (1x)y´´4xy´5ycosx 4. yy'2y1x2 5. 2 2 2 1 dx y d dx dy
Comprobar si la función inicial dada es una solución de la ecuación diferencial.
6. x x xe e y y dx dy dx y d 2 2 2 2 ; 0 4 4 7. y´´ y; ycoshxsenhx
8. 2 2 0; 1 2 1, 0 2 x x c c y dx dy dx y d x 9. 2 1 2 ln ; 0 ´) ( ´´ y y x c c y 10. y´´25y0; yc1cos5x
RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓN
Indique si la ecuación es lineal o no lineal, así como el orden de cada ecuación. 1. x2 dy(yxyxex)dx0 Respuesta: 0 ) ( 2 dx xe xy y dy x x x xe y x dx dy x 2 (1 )
la ecuación es una ecuación diferencial lineal ordinaria de primer orden.
2. 2 2 2 r k dt r d Respuesta: 0 2 2 2 2 2 2 r k dt r d r k dt r d
la ecuación es una ecuación diferencial no lineal ordinaria de segundo orden.
3. (1x)y´´4xy´5ycosx Respuesta: x y xy y x) ´´ 4 ´ 5 cos 1 (
la ecuación es una ecuación diferencial lineal ordinaria de segundo orden.
4. 2 1 2 ' y x yy Respuesta: 2 1 2 ' y x yy
la ecuación es una ecuación diferencial no lineal ordinaria de primer orden.
5. 2 2 2 1 dx y d dx dy
Respuesta: 2 2 2 1 dx y d dx dy 0 1 2 2 2 dx dy dx y d
la ecuación es una ecuación diferencial no lineal ordinaria de segundo orden.
Comprobar si la función inicial dada es una solución de la ecuación diferencial.
6. x x xe e y y dx dy dx y d 2 2 2 2 ; 0 4 4
Respuesta: Tomando la función que evaluará a la ecuación diferencial para realizar la primera y segunda derivada dicha función teniendo que
x x
xe e
y 2 2
calculando la primera derivada
x x x xe e e dx dy 2 2 2 2 2 es igual a x x xe e dx dy 2 2 2 3
calculando la segunda derivada
x x x xe e e dx dy 2 2 2 4 2 6 es igual a x x xe e dx dy 2 2 4 8
sustituyendo la función inicial, la primera y segunda derivada en la ecuación diferencial que se desea comprobar, se obtiene
0 ) ( 4 ) 2 3 ( 4 4 8e2x xe2x e2x xe2x e2x xe2x 0 4 4 8 12 4 8 2 2 2 2 2 2 x x x x x x xe e xe e xe e
0 8 8 12 12 2 2 2 2 x x x x xe xe e e 7. y´´ y; ycoshxsenhx
Respuesta: La función a evaluar hay que pasarla a la forma que represente que es una ecuación diferencial, realizado el procedimiento se obtiene: 0 ´´ ´´ y y y y dónde 0 ´´y y
es ahora nuestra ecuación diferencial inicial y
senhx x
ycosh
la función que evalúa la ecuación diferencial inicial, al realizar la primera y segunda derivada se obtiene
senhx x y´cosh senhx x y´´cosh
sustituyendo la función que evalúa la ecuación diferencial y la segunda derivada en la ecuación diferencial inicial se concluye que
0 ) (cosh
coshxsenhx xsenhx
8. 2 2 0; 1 2 1, 0 2 x x c c y dx dy dx y d x
Respuesta: siendo la ecuación diferencial 0 2 2 2 dx dy dx y d x
que se desea comprobar con la función 1 2 1 c c x y
se requiere la primera y segunda derivada de dicha función, primera derivada igual a 2 2 c x dx dy
segunda derivada 3 2 2 2 2 c x dx y d
sustituyendo ambas derivas en la ecuación diferencial se tiene: 0 ) ( 2 ) 2 ( 2 2 3 2 x c x c x por lo tanto 0 2 2 2 2 2 2 x c x c 9. 2 1 2 ln ; 0 ´) ( ´´ y y x c c y
Respuesta: siendo la ecuación diferencial 0 ´) ( ´´ y 2 y
que se desea comprobar con la función
2 1 lnx c c y
se requiere la primera y segunda derivada de dicha función, primera derivada igual a 1 1 ´ c x y segunda derivada 2 1) ( 1 ´´ c x y
sustituyendo ambas derivadas de la función que evalúa en la ecuación diferencial, se obtiene: 0 1 ) ( 1 2 1 2 1 c x c x concluyendo 0 ) ( 1 ) ( 1 2 1 2 1 c x c x
10. y´´25y0; yc1cos5x
Respuesta: siendo la ecuación diferencial 0 25 ´´ y y
que se desea comprobar con la función
x c
y 1cos5 se requiere la segunda derivada de dicha función
x sen c y´5 1 5
como primera derivada y como segunda derivada
x c
y´´25 1cos5
sustituyendo ambas derivadas de la función que evalúa en la ecuación diferencial, se obtiene: 0 5 cos 25 5 cos 25 1 1 c x c x
UNIDAD 2
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
OBJETIVO
Resolver ecuaciones diferenciales de primer orden mediante diversos métodos.
TEMARIO
2.1ECUACIONESDIFERENCIALESDEVARIABLESSEPARABLES
2.2ECUACIONESDIFERENCIALESCONCOEFICIENTESHOMOGÉNEOS 2.3ECUACIONESDIFERENCIALESEXACTAS
2.4USODELFACTORINTEGRANTE 2.5ECUACIÓNDEBERNOULLI
2.6 APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
INTRODUCCIÓN
En esta unidad se abordan las ecuaciones diferenciales de primer orden, pasando por los conceptos básicos de éstas para llegar a la aplicación de las ecuaciones diferenciales en problemas reales.
La solución general de una ecuación diferencial de variables separables debe tener la forma de una función igualada a cero, concepto que el alumno debe aprender, ya que existen diversos casos en las ecuaciones diferenciales que no se pueden resolver directamente por no ser de variables separables y para resolver; el alumno tendrá que aprender métodos para separar las variables de la ecuación.
2.1ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES
El matemático y físico Leonhard Paul Euler1 en el siglo XVIII se encargo de sistematizar estudios anteriores de ecuaciones diferenciales, dando origen a la primera teoría de ecuaciones ordinarias donde aparecen las ecuaciones de primer orden, y respectiva clasificación de ecuaciones de variables separables, homogéneas, lineales y exactas, así como también las de orden superior.
Las ecuaciones diferenciales las encontramos por todas partes, en fenómenos naturales, químicos, físicos y electrónicos la mayoría de estos fenómenos necesitan de un modelo matemático para comprender su comportamiento, expresados en una ecuación diferencial; la informática no queda exenta de tratar de modelar procesos computacionales como la transmisión de datos a través de un cable de red o la impresión de documentos, todo ello con el fin de mejorar los componentes del hardware actual.
La ecuación diferencial de primer orden ) , (x y F dx dy considere a dx dy
como cociente de diferenciales, puede expresarse también como 0 ) , ( ) , (x y dxN x y dy M
para dar paso a la siguiente expresión
dy y x N dx y x M( , ) ( , ) Ejemplo: x y y x dx dy 5 2 3
puede ser escrita como
0 ) 2 5 ( ) 3 (x y dx x y dy donde y x N y x M 3 , 5 2 1 http://www.eulersociety.org/
La solución general de una ecuación diferencial de variables separables se puede representar de la forma siguiente:
0 ) ( ) (x dxg y dy f
donde un término de la ecuación involucra sólo a la variable x y el otro a la variable y, la solución de la ecuación puede ser por integración, dando la solución general c dy y g dx x f ( ) ( )
donde c es el equivalente a la constante de integración. Para regresar a la ecuación inicial se aplica la diferencial en ambos lados de la ecuación y así eliminar a la constante c, siendo de la siguiente manera:
c dy y g d dx x f d ( ) ( ) igual a 0 ) ( ) (x dxg y dy f
El método de variables separables consiste en separar en dos términos la ecuación diferencial para poder encontrar la solución que satisfaga dicha ecuación.
Sea la ecuación diferencial de variables separables 0 ) 1 ( x dyydx tenemos ydx dy x ) 1 ( ) 1 ( x dx y dy integrando
) 1 ( x dx y dy 1 1 ln lny x c 1 1 ln x c e y 1 1 ln x c1 ec e y 1 1 xec y ) 1 ( 1 x e y c 1 ), 1 ( 1 1 , 1 1 x x x x x x
si la constante c se puede escribir como ec1tenemos que
) 1 ( x c y La solución general de y x dx dy 2 1 2
pasando la ecuación a función
0 ) 2 ( ) 1 (x2 dx y dy
donde se requiere integrar ambas partes
c dy y dx x
( 2 1) ( 2) obtenemos c y y x x 2 2 3 2 3ahora bien, requerimos determinar una solución particular cuando y=4 y x=-3, sustituyendo en la solución general obtenemos que
12 ) 4 ( 2 2 4 ) 3 ( 3 33 2
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Resuelva la ecuación diferencial por variables separables. 1. sen x dx dy 5 2. 2 ) 1 ( x dx dy
3. dxe3xdy0 4. dxx2dy0 5. x dx dy ex 2 6. x y dx dy 1 7. x y x dx dy 1 2 2
2.2ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES HOMOGÉNEOS
Existen ecuaciones diferenciales cuyas variables no son separables, para poder resolver esas ecuaciones tienen que trasformarse en una con variables separables. Una ecuación que casi siempre puede transformarse a variables separables es x y f dx dy
llamada ecuación diferencial homogénea por la forma en que se escribe y aquellas que se puedan escribir de igual manera se les denominará así. Para cambiar tal ecuación a una ecuación separable, usamos las transformación de
v x y o también vx y
lo que se realiza es un cambio de la variable dependiente de y por v conservando la variable independiente x, teniendo entonces
dx dv x v dx dy
para que x y f dx dy se transforme en ) (v f dx dv x v
de tal manera que
v v f dv x dx ) (
obtenemos la ecuación donde las variables se encuentran separadas. Ejemplo: Sea la ecuación
y x y x dx dy
el lado derecho es una función
x y
, por tanto es una ecuación homogénea, haciendo yvx, se tiene v v dx dv x v 1 1 v v v dx dv x 1 2 2 1 2 2 1 ) 1 ( v v dv v x dx
aplicando las reglas de lo logaritmos
1 2 ) 2 1 ln( 2 1 lnx vv c o 2 2 2 )] 2 1 ( ln[x vv c
de tal manera que
c v v x2(12 2) reemplazando v por x y se obtiene c y xy x2 2 2
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental respecto al tema de ecuaciones diferenciales con coeficientes homogéneos con la bibliografía señalada para tener mayores bases de conocimiento y solucionar problemas en que las ecuaciones diferenciales no sean separables las variables.
2.3ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es aquella denominada ecuación diferencial ordinaria de primer orden la cual contiene dos funciones denominadas y las cuales trabajan respecto a dos variable y , que al aplicar las derivadas parciales de las funciones y son iguales, se puede seguir aplicando la segunda, tercer y derivada, las funciones mantendrán el concepto de linealidad, es decir, sin cambios. En informática la aplicación de las ecuaciones diferenciales exactas tiene gran importancia, por ejemplo, suponga que se desea saber la fuerza de propagación y distorsión de una señal inalámbrica en la transmisión de datos con una microonda del rango de los 2Ghz a los 40Ghz, al representarlo como una ecuación diferencial la transmisión y distorsión es igual dentro de este rango.
Una ecuación diferencial
) , ( ) , (x y N x y M
es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial de alguna función
) , (x y f
Una ecuación diferencial de primer orden de la forma 0 ) , ( ) , (x y dxN x y dy M
es una ecuación diferencial exacta, si
dy y x N dx y x M( , ) ( , ) es una diferencial exacta.
Si son continuas ) , (x y M y ) , (x y N ,
con derivadas parciales continúas en una región rectangular R, definida por los intervalos b x a , d y c
para las variables y y x , la condición única y necesaria para que
dy y x N dx y x M( , ) ( , ) sea una diferencial exacta es que
x N y M . Ejemplo 1: La ecuación 0 2 3 3 2 dy y x dx y x
es exacta, por que
dy y x dx y x y x d 3 3 2 3 3 2 3 1
aplicando la regla de que el lado izquierdo tiene que ser una diferencia exacta
dy y x N dx y x M( , ) ( , ) tenemos que 3 2 ) , (x y x y M y 2 3 ) , (x y x y N
aplicando la diferencial se tiene que
2 2 3x y dy M que es igual a 2 2 3x y dx N
Ejemplo 2: La ecuación 0 ) 1 ( 2xydx x2 dy
se resuelve igualando primero
xy y x M( , )2 y 1 ) , (x y x2 N
realizando las diferenciales respecto a yy x tenemos
x y M 2 y x x N 2 por lo tanto x N y M
con esto se comprueba que la ecuación es exacta y por el criterio para determinar si la ecuación diferencial es exacta entonces existe una función
) , (x y f tal que xy x f 2 y 1 2 x y f
al integrar la primer ecuación de las dos anteriores se obtiene que ) ( ) , (x y x2y g y f
determinando la derivada parcial con respecto a y ) ´( 2 y g x y f
igualando con N(x,y) se tiene
1 ) ´( 2 2 x y g x
1 ) ´(y x2 x2 g 1 ) ´(y g y y y g( ) la solución es entonces c y x f( , )
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Determinar si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas. 1. (2x1)dx(3y7)dy0
2. (2x y)dx(x6y)dy0 3. (5x4y)dx(4x8y3)dy 0
4. (seny ysenx)dx(cosxxcosyy)dy0 5. (2y2x3)dx(2yx2 4)dy0
2.4USO DEL FACTOR INTEGRANTE
El factor integrante es aquel que al multiplicar las derivadas parciales de una ecuación diferencial no exacta la convierten en una ecuación diferencial exacta, para que con esto esa ecuación diferencial no exacta se pueda resolver por el método de ecuaciones diferenciales exactas.
Si la ecuación
0
Ndy Mdx
X N y M
entonces no es una ecuación exacta, para poder hacerla exacta se requiere multiplicarla por un factor integrante apropiado , de tal manera que la ecuación que se obtenga sea de la forma
0
Ndy Mdx
será exacta, debido a que
) ( ) ( N x M y
Hay diferentes métodos para obtener factores integrantes pero el más común es el de separación de variables.
Ejemplo. Sea y x Y xy x dx dy 2 2 3 , si y(1)3. Solución: 0 ) ( ) 3 ( xxy2 dx yx2y dy
se obtiene M y N quedando de la siguiente manera 2 3x xy M y y x y N 2
aplicando la diferencial obtenemos que
xy y M 2 y xy x N 2
la ecuación no es exacta. Tanto M y N pueden ser factorizadas como producto de una fundón con respecto a y y x , esto es
0 ) 1 ( ) 3 ( y2 dx y x2 dy x un factor integrante es ) 1 )( 3 ( 1 2 2 x y
que al multiplicarlo por lo que se obtuvo por factorizar a M y N resulta la función
0 3 1 2 y2 dy y dx x x
que es separable y exacta. Integrando dicha función obtenida tenemos
c y x ln(3 ) 2 1 ) 1 ln( 2 1 2 2 ó (1x2) A(3 y2) puesto que y3cuando x1, encontramos
6 1
A .
Por lo tanto, la solución es
) 3 ( 6 1 ) 1 ( x2 y2 o 3 6 2 2 x y
El método de inspección considera que MdxNdy 0 no es separable o exacta y es necesario multiplicar la ecuación por el factor integrante para volver la ecuación exacta, que dando de la forma:
) ( ) ( N x M y
Considerando dos casos en particular, cuando es una función sólo de x que dando la ecuación como
) ( 1 x f x N y M N entonces f xdx e ( )
es un factor integrante y cuando es una función sólo de y tomando la función como ) ( 1 y g y M x N M entonces g ydy e ( ) es un factor integrante.
Ejemplo: resolver 0 ) 3 3 ( x y dy ydx
primero hay que comprobar si es una ecuación diferencial exacta obteniendoM
y N de lo que resulta que
y M y y x N 33 aplicando la diferencial 1 y M y 3 x N la ecuación no es exacta. Ahora y x 3 3 3 1
no es una función sólo de x. Pero
Y Y 2 1 3
es una función sólo de y. por lo tanto
2 ln ln 2 ) 2 ( 2 y e e e ydy y y
es un factor integrante. Así, multiplicando la ecuación dada por 2
y
la solución que se obtiene es
c y y xy 4 4 3 3
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental para reforzar la aplicación del factor integrante en ecuaciones diferenciales con la bibliografía señalada, como resultado de esa investigación, el alumno tendrá que entregar un diagrama de flujo donde represente el algoritmo para poder resolver ecuaciones diferenciales no exactas a través del uso del factor integrante.
2.5ECUACIÓN DE BERNOULLI
La ecuación de Bernoulli representa el principio de la conservación de la energía mecánica, el nombre de tal ecuación es en honor a Daniel Bernoulli, quien plasmó sus estudios en el libro Hidrodynamica, donde trata de la mecánica de fluidos; así, la ecuación de Bernoulli es aquella en la cual la ecuación diferencial en que n es cualquier número real. Cuando n0 y n1 la ecuación n y x f y x P dx dy ) ( ) (
es lineal. Cuando n0y n1, la sustitución n y 1
reduce cualquier ecuación de la forma de la ecuación de Bernoulli a una ecuación lineal.
Ejemplo: Resolver 2 2 y x y dx dy x .
Solución: Ordenar la ecuación a la forma de Bernoulli quedando: 2 1 xy y x dx dy
dividiéndola entre x. A continuación sustituimos, con n2, 1 u y y dx du u dx dy 2 en la ecuación a resolver sustituyendo tenemos
x u x dx du 1
el factor integrante para esta ecuación en el intervalo (0,), es 1 ln ln 1 x e e e x x x dx integrando 1 ] [x1u dx d donde se obtiene c x u x1 despejando u cx x u 2 como 1 u
y , sustituyendo u , la solución de la ecuación es
cx x y 21
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental sobre la ecuación de Bernoulli y cómo se aplica en fenómenos como la sustentación de un avión, la determinación de la altura en la instalación de una bomba de agua, la extracción del calor por el disipador del procesador interno de una computadora.
2.6APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
El problema de valor inicial con la ecuación diferencial kx dt dx
, x(t0)x0 en donde k es una constante de proporcionalidad, se emplea en modelos de distintos fenómenos como físicos, químicos, electrónicos, etcétera donde interviene el crecimiento o decrecimiento.
Ejemplo 1: Un cultivo tiene una cantidad inicial N de bacterias. Cuando 0
1
t , la cantidad medida de bacterias es 0 2 3
N . Si la razón de reproducción es
proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcular el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de bacterias.
Solución: Utilizando la ecuación diferencial del valor inicial, sustituyendo las variables iniciales del problema se obtiene
kN dt dN
sujeta de acuerdo a x(t0) x0 será igual a N(0) N0. Donde la condición queda 0 2 3 ) 1 ( N N
para hallar la constante de proporcionalidad k . Al escribir la ecuación
kN dt dN
de manera lineal para que sea separable obtenemos 0
kN dt dN
que al aplicar el método de inspección se observa que el factor integrante es
kt
e , se debe multiplicar la ecuación por este factor, quedando de la forma
e N
0dt d kt
al integrar, se llega a la solución general
c N ekt
despejando N por los requerimientos que se plantearon al inicio del problema, la ecuación se puede escribir como
kt ce t N( )
Cuando t 0, N0 ce0 c, por consiguiente kt
e N t N( ) 0
El caso cuando t 1, k e N N0 0 2 3 , o bien 2 3 k e para obtener 4055 . 0 2 3 ln k , Así t e N t N( ) 0 0.4055.
Para establecer el momento en que se triplica la cantidad de bacterias, hay que despejar t de t
o
o N e
N 0.4055
3 ; por consiguiente 0.4055t ln3, así
h t 2.71 4055 . 0 3 ln
Ejemplo 2: Un acumulador de 12 volts se conecta a un circuito en serie LR, con una inductancia de henry
2 1
y una resistencia de 10 ohms. Determine la corriente i, si la corriente inicial es cero. Usando la ecuación diferencial que describe la corriente ) (t E Ri dt di L se tiene que 12 10 2 1 i dt di
sujeta a i(0)0. Debemos multiplicar la ecuación diferencia por 2, para que el factor integrante sea t
e20 , que sustituyéndolo en la ecuación quedaría como
t t e i e dt d 20 20 24 al integrar cada lado y despejar ise obtiene
t ce i 20 5 6 si i(0)0, entonces c 5 6 0 , o bien 5 6 c , la respuesta es t e t i 20 5 6 5 6 ) ( a partir de la ecuación
yc yp ce e e f x dx y P(x)dx P(x)dx P(x)dx ( ) se puede formular una solución general det L R t L R e c dt t E e L t L R e t i( ) ( / )
( / ) ( ) ( / )Cuando E(t)E0es una constante, la ecuación anterior queda como
t L R ce R E t i( ) 0 ( / )
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental sobre planteamientos de problemas cotidianos, los cuales requieran su representación en modelos de ecuaciones diferenciales de primer orden. Los problemas cotidianos pueden ir desde los relacionados con la salud, por ejemplo, la forma en que se propago el virus de la influenza H1N1 en nuestro país; también, el alumno puede considerar problemas ecológicos como el derrame de petróleo en el Golfo de México del año 2010, problemas en los cuales ya se tienen cifras oficiales pero no un modelo matemático que ayude a determinar tales cifras.
AUTOEVALUACIÓN
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por variables separables.
1. x dx dy ex 2 2. x y dx dy 1 3. x y x dx dy 1 2 2 4. x y x y e e dx dy y e 2
Determine si las siguientes ecuaciones son exactas 5. (2x1)dx(3y7)dy0 6. (2x y)dx(x6y)dy 0 7. 2 1 cos3 2 4 3 3 3 0 x ysen x x y dx dy x x y
RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓN
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por variables separables.
1. x
dx dy ex 2
Respuesta: Es necesario separar las variables, tomando la ecuación inicial x dx dy ex 2 despejando dx xe dy x 2
ahora hay que aplicar la integral en ambos miembros de la ecuación
dx xe dy
x
2 integrando se obtiene c xe xe y x x 2 2 2. x y dx dy 1 Respuesta: Al separar las variables, tomando la ecuación inicial
x y dx dy 1 se obtiene dx x dy y 1 1 1
aplicando la integral en ambos miembros
dy xdx y 1 1 1 integrando c x y 1 ln ln ln es igual a cx y 1 ln ln obteniendo cx y1 por lo tanto 1 cx y 3. x y x dx dy 1 2 2
Respuesta: Se requiere despejar la ecuación diferencial para que tenga la forma en la cual permite separar las variables, se obtiene:
x y x dx dy 1 2 2 dy y dx x x 2 2 1 dx x x dy y 2 2 1
aplicando la integral en ambos miembros de la función
dx x x dy y 2 2 1
y2dy (x 2 x 1)dx integrando la ecuación 1 1 3 ln 3 1 c x x y por lo tanto 1 1 3 ln 3 3x x c y 4. x y x y e e dx dy y e 2 Respuesta: De la ecuación y x y x e e dx dy y e 2 realizando los despejes
) 1 ( 2 x y x e e dx dy y e
dx e e
dy
yey x(1 2x) separando las variables
dx e e dy
yey ( x 3x) aplicando la integral en ambos miembros
dx e e dy yey
( x 3x)
integrando c e e e yey y x 3x 3 1 por lo tanto c e e ye ey y x x 3 3 1Determine si las siguientes ecuaciones son exactas
5. (2x1)dx(3y7)dy0
Respuesta: Sea la ecuación inicial
0 ) 7 3 ( ) 1 2 ( x dx y dy que se compone de 1 2 ) , (x y x M y 7 3 ) , (x y y N con 0 ) 1 2 ( y x y M y 0 ) 7 3 ( x y x N
esto es igual a tener
x N y M
debido a esto, la ecuación inicial es exacta. Por lo que existe una función ) , (x y f para la que 1 2 x x f y 7 3 y y f
con esto se puede Integrar la primera educación respecto a x, se obtiene ) ( ) , (x y x2 x g y f entonces ) ´(y g y f al igualar con 7 3 ) , (x y y N se obtiene 7 3 ) ´(y y g donde y y y g 7 2 3 ) ( 2 que al sustituir en ) ( ) , (x y x2 x g y f se tiene y y x x y x f 7 2 3 ) , ( 2 2
por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial inicial es:
c y y x x 7 2 3 2 2 6. (2x y)dx(x6y)dy 0
0 ) 6 ( ) 2 ( xy dx x y dy se tiene y x y x M( , )2 y ) 6 ( ) , (x y x y N quedando como y x y x N( , ) 6 con 1 ) 2 ( y y x y M y 1 ) 6 ( x y x x N
esto es igual a tener
x N y M
con esto se concluye que la ecuación no es exacta.
7. 2 1 cos3 2 4 3 3 3 0 x ysen x x y dx dy x x y
Respuesta: De la ecuación diferencial inicial
0 3 3 4 3 cos 1 2 2 3 x ysen x x y dx dy x x y
al despejar el segundo termino para reorganizarlo se tiene 0 3 cos 1 2 3 3 4 3 2 dy x x y dx x ysen x x y
para esta ecuación se tiene
x ysen x x y y x M( , ) 4 3 3 3 2 y x x y y x N( , )2 1cos3
con x sen x y x ysen x x y y M 3 3 1 3 3 4 2 3 2 y x sen x x x x y x N 3 3 1 3 cos 1 2 2
esto es igual a tener
x N y M
UNIDAD 3
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
OBJETIVO
Resolver ecuaciones diferenciales de orden superior mediante de diversos métodos.
TEMARIO
3.1ECUACIONESHOMOGÉNEASYNOHOMOGÉNEAS
3.2 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL A PARTIR DE UNA SOLUCIÓNCONOCIDA
3.3ELWRONSKIANO
3.4VARIACIÓNDEPARÁMETROS 3.5ECUACIÓNDECAUCHYEULER 3.6SERIESDEPOTENCIA
INTRODUCCIÓN
En esta unidad el alumno conocerá ecuaciones diferenciales denominadas de orden superior, distinguiendo de las ecuaciones homogéneas y no homogéneas para aplicarlas en problemas de modelamiento.
Las ecuaciones homogéneas son aquellas ecuaciones que se categorizan de forma lineal y las no homogéneas aquellas que no cumplen ese requisito de ser lineal en un intervalo determinado, ambos planteamientos llevan a que en esta unidad se demuestren diversos métodos para poder llegar a una solución de esas ecuaciones diferenciales, mismos que los alumnos tendrán que aprender.
3.1ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS
Una ecuación lineal de orden n de la forma
0 ) ( ) ( ... ) ( ) ( 1 1 0 1 1 a x y dx dy x a dx y d x a dx y d x a n n n n n n
Se llama homogénea, mientras que una ecuación
) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( 1 1 0 1 1 a x y g x dx dy x a dx y d x a dx y d x a n n n n n n
donde g(x) no es idénticamente cero, se llama no homogénea.
Toda función yplibre de parámetros arbitrarios que satisface la ecuación ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( 1 1 0 1 1 a x y g x dx dy x a dx y d x a dx y d x a n n n n n n
se llama solución particular de la ecuación no homogénea. Por ejemplo:
0 5 3
2y y y
es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal y homogénea, mientras que x e y y y x3 6 10
es una ecuación diferencial de tercer orden lineal y no homogénea. Sean
k y y y1, 2,...,
soluciones de la ecuación diferencial homogénea de orden n , ecuación 0 ) ( ) ( ... ) ( ) ( 1 1 0 1 1 a x y dx dy x a dx y d x a dx y d x a n n n n n n
donde x esta en un intervalo I. La combinación lineal ) ( ... ) ( ) ( 2 2 1 1y x c y x c y x c Y k k en donde las i c , i1,2,...,k
son constantes arbitrarias, también es una solución cuando x está en el intervalo.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Determinar si la función dada es homogénea o no homogénea.
1. x3 2xyy4/x 2. xy(4x3y) 3. 4 4 2 y x y x 4. y x x 2 cos 5. y x x sen
3.2SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL A PARTIR DE UNA SOLUCIÓN CONOCIDA
Sea el caso k 2, donde L sea el operador diferencial, y1(x) y y2(x) soluciones de la ecuación homogénea L(y)0, definiendo
) ( ) ( 2 2 1 1y x c y x c y
aplicando la linealidad de L, resulta
) ( ) ( )} ( ) ( { ) (y Lc1y1 x c2y2 x c1L y1 c2L y2 L ) ( ) ( ) (y c1L y1 c2L y2 L 0 0 ) (y c1 c2 L 0 ) (y L Las funciones 2 1 x
y y y2 x2lnxson soluciones de la ecuación lineal homogénea
0 4 2 3 y y x y x
para x en el intervalo (0,), la combinación lineal es
x x c x c y 2 2ln 2 1
es una solución de la ecuación en el intervalo.
Sea L el operador diferencial, Y(x) y
y
p(x
)
soluciones particulares de la ecuación no homogénea L(y)g(x). Definiendo u(x)Y(x)yp(x), por la linealidad de L se debe cumplir0 ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )} ( ) ( { ) (u LY x y x L L x L y x g x g x L p p
se demuestra que u(x)es una solución de la ecuación homogénea L(y)0 Utilizando la sustitución para la función
x yp 2 1 12 11
es una solución particular de la ecuación no homogénea
x y dx dy dx y d dx y d 3 6 11 6 2 2 3 3
Para llegar a la solución general de la ecuación anterior, hay que resolver la ecuación homogénea asociada
0 6 11 6 2 2 3 3 y dx dy dx y d dx y d
la cual tiene como solución
x x x c ce c e c e y 3 3 2 2 1
en el intervalo (,); por lo tanto la solución general de la ecuación inicial en el intervalo es p c y y y x e c e c e c y x x x 12 11 12 11 3 3 2 2 1
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Realizar una investigación documental en la que, como ejemplos, tengan soluciones de ecuaciones diferenciales a partir de una solución conocida para que el alumno reafirme los conocimientos obtenidos en clases.
3.3EL WRONSKIANO
El wronskiano en matemáticas denomina así a una función en honor a el matemático y filósofo Józef Maria Hoene-Wronski, aplicable al estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Wronski en 1812 dice que cada ecuación tiene una solución algebraica.
Suponga que cada una de las funciones ) ( ),..., ( ), ( 2 1 x f x f x f n posee 1 n derivadas al menos. El determinante ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 2 1 2 1 2 1 ... '' ' ... ) ,..., , ( n n n n n n n f f f f f f f f f f f f W
en donde las primas representan las derivadas, es el wronskiano de las funciones.
Sean n soluciones y1,y2,...,ynde la ecuación
0 ) ( ) ( ... ) ( ) ( 1 1 0 1 1 a x y dx dy x a dx y d x a dx y d x a n n n n n n
lineal, homogénea y de orden n , en un intervalo I , si y solo si 0
,..., ,
(y1 y2 yn W
