9. Mecanica de Fluidos

9. MECÁNICA DE

9. MECÁNICA DE

FLUIDOS

FLUIDOS

9.1 INTRODUCCIÓN

9.1 INTRODUCCIÓN

Los fluidos son

Los fluidos son sustansustancias que cias que admiten esfuerzadmiten esfuerzos simples pero os simples pero se deforman bajose deforman bajo la aplicación de esfuerzos cortantes; a diferencia de los sólidos rígidos que no la aplicación de esfuerzos cortantes; a diferencia de los sólidos rígidos que no cambian d

cambian de forma. e forma. En la presenEn la presente lección estute lección estudiaremodiaremos la mecánica de flus la mecánica de fluidosidos hacien

haciendo uso do uso básicabásicamente de la mente de la primera y tercera leyes de primera y tercera leyes de NewtoNewton, así como n, así como deldel teorema del trabajo y la energía. En la estática de fluidos presentamos los teorema del trabajo y la energía. En la estática de fluidos presentamos los conceptos claves de densidad, peso específico, presión y los principios de Pascal conceptos claves de densidad, peso específico, presión y los principios de Pascal y Arquímedes. En gran parte de nuestro estudio nos referiremos a los líquidos, y Arquímedes. En gran parte de nuestro estudio nos referiremos a los líquidos,  pero las definiciones, principios y leyes se aplican en general a todos los fluidos.  pero las definiciones, principios y leyes se aplican en general a todos los fluidos.

En dinámica de

En dinámica de fluidos estudiaremos básicamente fluidos estudiaremos básicamente el movimiento de el movimiento de los líquidos.los líquidos. En general, el estudio del movimiento de los líquidos es muy complejo. Sin En general, el estudio del movimiento de los líquidos es muy complejo. Sin embargo, en un modelo teórico en el cual consideramos el movimiento de un embargo, en un modelo teórico en el cual consideramos el movimiento de un fluido idea

fluido ideal, éste estudio el, éste estudio es s simple y es el que aquí presimple y es el que aquí presentamosentamos. A pesar de ser s. A pesar de ser  un modelo válido para fluidos ideales, en las aplicaciones prácticas existen un modelo válido para fluidos ideales, en las aplicaciones prácticas existen diversas situaciones físicas en las cuales éste modelo se cumple con mucha diversas situaciones físicas en las cuales éste modelo se cumple con mucha aproximación.

aproximación.

9.2 DENSIDAD, DENSIDAD RELATIVA Y PESO ESPECÍFICO

9.2 DENSIDAD, DENSIDAD RELATIVA Y PESO ESPECÍFICO

DENSIDAD

DENSIDAD

La densidad es una propiedad de la materia que nos indica tanto lo “ligero” o La densidad es una propiedad de la materia que nos indica tanto lo “ligero” o “pesado” que es un cuerpo, como el grado de compactibilidad del mismo. Así, la “pesado” que es un cuerpo, como el grado de compactibilidad del mismo. Así, la densidad de un cuerpo depende tanto de la masa de los átomos que lo conforman densidad de un cuerpo depende tanto de la masa de los átomos que lo conforman

como de la separación entre ellos. Operacionalmente se expresa coma la razón como de la separación entre ellos. Operacionalmente se expresa coma la razón entre la masa del cuerpo y el volumen que ocupa.

entre la masa del cuerpo y el volumen que ocupa. V V m m == ρρ (9.1)(9.1)

En general, la densidad de los fluidos varía con la presión y la temperatura. Sin En general, la densidad de los fluidos varía con la presión y la temperatura. Sin embargo, en los líquidos la densidad varía muy poco para un amplio rango de embargo, en los líquidos la densidad varía muy poco para un amplio rango de valores de presión y temperatura, por lo cual se puede considerar constante, es valores de presión y temperatura, por lo cual se puede considerar constante, es decir, los líquidos son prácticamente incompresibles. Por ejemplo, el agua varía decir, los líquidos son prácticamente incompresibles. Por ejemplo, el agua varía escasamente su volumen cuando la presión varía de 0 a 10 atmósferas.

escasamente su volumen cuando la presión varía de 0 a 10 atmósferas.

La densidad se expresa en unidades de masa por unidad de volumen. En el

La densidad se expresa en unidades de masa por unidad de volumen. En el SISI, en, en Kg/m

Kg/m33_{. Por ejemplo la densidad del agua es,. Por ejemplo la densidad del agua es,}

_ρρ

agua

agua = 1000 Kg/m= 1000 Kg/m33..

DENSIDAD RELATIVA

DENSIDAD RELATIVA

Podemos determinar la relación entre las densidades de dos materiales distintos, Podemos determinar la relación entre las densidades de dos materiales distintos,  pero,

 pero, en en las las aplicaciones aplicaciones prácticas prácticas es es útil útil la la relación relación entre entre la la densidad densidad de de unun material y la densidad del agua, la cual se conoce como la densidad relativa del material y la densidad del agua, la cual se conoce como la densidad relativa del material. material. agua agua R  R  ρ ρ ρ ρ = = ρ ρ (9.2)(9.2)

Por ejemplo, la densidad del mercurio es 13 600 kg/m

Por ejemplo, la densidad del mercurio es 13 600 kg/m33_{, y su densidad relativa:, y su densidad relativa:}

66 ,, 13 13 agua agua Hg Hg R  R _HgHg == ρρ ρρ == ρρ

 Note qué, la densidad relativa es adimensional (sin unidades).  Note qué, la densidad relativa es adimensional (sin unidades).

PESO ESPECÍFICO

PESO ESPECÍFICO

Es la razón entre el peso del cuerpo y su volumen. Expresado matemáticamente: Es la razón entre el peso del cuerpo y su volumen. Expresado matemáticamente:

V V W W == γ  γ  (9.3)(9.3)

Se expresa en unidades de peso por unidad de volumen; en el

Si en la ec. (9.3) usamos: W = m g, teniendo presente que

ρ

= m/V, obtenemos una relación equivalente:

γ 

=

ρ

g (9.4)

9.3 PRESIÓN

Se define como el módulo de la fuerza normal o perpendicular que actúa sobre una determinada superficie. Expresada matemáticamente:

A F

 p =  N , (9.5)

 Note qué, de acuerdo con ésta definición la presión es una magnitud escalar y se expresa en unidades de fuerza por unidad de área. En el S.I. la unidad de presión es el Pascal (Pa). 1 Pa = 1N/m2_.

Consideremos como ejemplo una fuerza de 100 N aplicada oblicuamente sobre la superficie del cubo de lado, L = 10 cm = 10-1 _{m, ver fig. 9.1.}

En estas condiciones la presión que ejerce la fuerza F sobre la superficie superior  del cubo es:

KPa 8 Pa 8000 10 ) 5 / 4 ( 100 L Sen53 F  p = ₂ ° = ₋₂ = =

La presión es una magnitud física que se encuentra en el estudio de sólidos, líquidos y gases.

Fig.9.1 Componentes normal y tangencial de una fuerza oblicua actuando sobre una superficie.

53° 53°

L

F_N F_T F A F

9.4 PRESIONES HIDROSTÁTICA Y ATMOSFÉRICA PRESIÓN HIDROSTÁTICA

Los líquidos en equilibrio ejercen fuerzas perpendiculares sobre los cuerpos que se encuentran parcial o totalmente sumergidos, ver fig.9.2. Estas fuerzas son de naturaleza electromagnética y se deben a la interacción de las moléculas del líquido que se encuentran en “contacto” con las moléculas del cuerpo sumergido.

Siendo éstas fuerzas perpendiculares a las superficies de los cuerpos sumergidos, se les puede asociar una presión, ver fig.9.3. Haciendo uso de las condiciones de equilibrio se puede demostrar que estas presiones (presiones hidrostáticas) dependen de la naturaleza del líquido y de la profundidad.

Fig. 9.2 Fuerzas de presión hidrostática sobre cuerpos sumergidos dentro de un líquido

Fig.9.3 Presión hidrostática dentro de un líquido en equilibrio

h

p

_hidros =γ h h_A = h_B ∆y

 p

hidros A =

 p

hidrosB

 p

_hidrosC=

 p

_{hidrosB +γ∆}y h C

 phidros =

γ 

h =

ρ

g h (9.6)

Donde,

γ 

, es el peso específico del líquido,

h, es la distancia vertical medida desde la superficie libre del líquido hasta donde se desea determinar la presión hidrostática y se le denomina profundidad y,

ρ

, es la densidad del líquido.

La ecuación (9.6) nos indica que dentro de un mismo líquido en equilibrio la  presión hidrostática aumenta con la profundidad pero es igual en todos los  planos horizontales que se encuentran a igual profundidad.

En un líquido en equilibrio, la diferencia de presiones entre dos puntos separados  por una distancia vertical

∆

y, ver fig.9.3, es:

∆

 p =

γ ∆

h =

ρ

g

∆

h (9.7)

Si hacemos uso de un sistema de referencia y el cálculo diferencial e integral, luego de aplicar la primera condición de equilibrio a un elemento diferencial de volumen del líquido encontramos que:

dp = -

γ 

dy = -

ρ

g dy (9.8)

Ésta relación se conoce como ecuación fundamental de la hidrostática y se puede aplicar en general a los fluidos en equilibrio.

PRESIÓN ATMOSFÉRICA

Las masas de aire que se extienden desde la superficie terrestre hasta el límite de la atmósfera ejercen fuerzas de presión sobre los cuerpos que se encuentran

dentro de la atmósfera; ésta presión se conoce como presión atmosférica, que representaremos por po.

La presión atmosférica se puede medir haciendo uso de un dispositivo llamado  barómetro, inventado por Evangelista Torricelli (1608-1674), ver fig.9.4.

El dispositivo consiste de un tubo de vidrio abierto por un extremo lleno con mercurio el cual se invierte cuidadosamente dentro de una cubeta. Luego que el sistema alcanza el equilibrio se observa qué, al nivel del mar y a 0°C, la columna de mercurio se estabiliza en H = 76 cm. Si aplicamos la ecuación (9.7) entre los  puntos A y B, obtenemos:

∆

 pAB =

γ 

Hg H =

ρ

Hg g H

Note qué:

 pB = 0; esto se debe a qué, cuando el tubo se invierte, en ese punto prácticamente

se ha hecho el vacío (p = 0) y

 pA = po, es la presión atmosférica, pues en planos horizontales la presión es la

misma.

∆

 pAB = pA – pB = po=

ρ

Hg g H, H Mercurio Escala Vacío  p o A B H

Reemplazando datos: po = 1,01 x105 Pa. A este valor de presión se le conoce

como una atmósfera de presión.

9.5 PRESIÓN ABSOLUTA Y PRESIÓN MANOMÉTRICA

En algunas aplicaciones prácticas se simplifican los cálculos evaluando las  presiones respecto a la presión atmosférica, luego, definimos:

PRESIÓN ABSOLUTA como la presión total, medida a partir de la presión cero o vacío, ver fig.9.5.

PRESIÓN MANOMÉTRICA, es la presión medida respecto a la presión atmosférica, es decir, la diferencia entre la presión absoluta o total y la presión atmosférica:

 pman = pabs - patm (9.9)

 Note qué, la presión absoluta siempre es positiva en tanto que, la presión manométrica puede ser positiva o negativa, dependiendo de sí es mayor o menor  que la presión atmosférica, respectivamente.

En el caso particular de la presión dentro de los líquidos en equilibrio que  presentan superficie libre, la presión absoluta y la presión manométrica en un  punto a una profundidad, h, respectivamente son:

 pabs = po +

γ 

h, presión manométrica negativa  presión absoluta  presión manométrica  positiva

Fig. 9.5 Sistemas de referencia para la medición de presión: absoluta y manométrica.

 p

_o

 p

vacío presión atmosférica

 pman =

γ 

h

9.6 PRINCIPIO DE PASCAL Y PRENSA HIDRÁULICA

En 1653, el filósofo y científico francés Blaise Pascal (1623-1662) experimentalmente demostró que: “Los incrementos de presión aplicados a un líquido se transmiten sin pérdidas y en todas direcciones en el interior del  líquido y hacia las paredes del recipiente que lo contiene”, ver fig. 9.6.

En la fig.9.6, la presión en los puntos a, b y c, después de aplicar el incremento de  presión,

∆

 p, será: p´a = p´ b = pa +

∆

 p y p´c = pc +

∆

 p

Una de las aplicaciones más conocidas del principio de Pascal lo constituye la  prensa hidráulica, ver fig.9.7. Una pequeña fuerza F1 se aplica en el émbolo de

menor sección transversal. Éste incremento de presión se trasmite a través del líquido hasta el émbolo de mayor sección, es decir,

2 2 1 1 A F A F  p = = ∆ _(9.10)

Como resultado, la fuerza F2 es mucho mayor que la fuerza F1 ( se puede usar 

 para elevar un vehículo con un peso W = F2) siendo el factor multiplicador 

A2/A1 , esto es:

Fig. 9.6. Los incrementos de presión se transmiten hacia todos los puntos del líquido y las paredes del recipiente.

 b a c F ∆ p = F/A  b a c A

1 1 2 2 F A A F _            =

9.7 PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES Y EMPUJE HIDROSTÁTICO

En el siglo III A.C. (287-212 A.C.), el sabio griego Arquímedes (filósofo, físico y matemático) enuncio:

“La fuerza resultante debido a las fuerzas de presión hidrostática, denominada empuje hidrostático, que ejercen los líquidos sobre los cuerpos sumergidos tiene la dirección vertical y orientada hacia arriba y su módulo es igual al peso del líquido desalojado” . Expresado matemáticamente:

desalojado líquido líquido desalojado líquido V W E = = γ  _(9.11)

El empuje hidrostático, E, es la fuerza responsable de que algunos cuerpos  puedan flotar y también se le conoce como fuerza de flotación. Así, si el empuje es mayor que el peso del cuerpo sumergido (E

>

Wcuerpo), éste asciende; en caso

contrario (E

<

Wcuerpo), el cuerpo desciende. Sin embargo si los módulos del

empuje y el peso del cuerpo son iguales (E = Wcuerpo), el cuerpo flotará y en

equilibrio. Éstos resultados se pueden generalizar para los cuerpos sumergidos en un fluido, ver fig. 9.8.

Fig.9.7. Prensa Hidráulica

A₂ F 1 A₁ F₂ F₂

En el caso particular que el cuerpo flota en equilibrio con parte de su volumen sumergido en un líquido, Vs, ver fig. 9.9, se cumple:

c W E = cuerpo cuerpo desalojado líquidoV =γ  V γ  líquido cuerpo líquido cuerpo cuerpo desalojado V V ρ ρ = γ  γ  = _(9.12)

Como el volumen sumergido es igual al volumen desalojado, la fracción del volumen total del cuerpo que se ha sumergido, Vdesalojado/Vcuerpo, Vsumergido/Vcuerpo,

depende de su densidad relativa.

Fig.9.8 Empuje hidrostático sobre cuerpos sumergidos en un fluido E E = W_C W C Liquido E W C Liquido E < W_C E W_C E > W_C aire Línea de flotación

Fig. 9.9 Empuje hidrostático sobre un cuerpo parcialmente sumergido en un líquido Liquido E W C v_s

 Note también que, el punto de aplicación del empuje se encuentra en la misma vertical pero no coincide con el centro de gravedad del cuerpo (punto de aplicación del peso).

9.8 PESO APARENTE Y DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LA DENSIDAD DE LOS CUERPOS

Una de las aplicaciones del principio de Arquímedes consiste en determinar la densidad de los cuerpos, a partir de la densidad de un líquido de densidad conocida. Así por ejemplo, se puede determinar la densidad de una muestra de un material sólido desconocido, pesando la muestra en aire y luego en agua, ver  fig.9.10, o determinar la densidad de un insecto, pesando el insecto primero en aire y luego en alcohol.

Como la densidad del aire es aproximadamente mil veces menor que la del agua, se puede despreciar el empuje debido al aire, de modo que al pesar en aire, haciendo uso de un dinamómetro (una balanza de resorte), registramos  prácticamente el peso real del cuerpo, Wc. Sin embargo, al pesar el cuerpo,

cuando éste se encuentra sumergido completamente en el líquido (agua), la lectura en el dinamómetro es:

Fig.9.10 Una muestra sólida es pesada primero en aire y luego en agua.

W c F = W c F F’ = W_aparente= W_c - E E F’ W c

Waparente = Wc – E,

Waparente, se conoce como el “peso aparente” del cuerpo.

Considerando que el volumen sumergido es igual al volumen total del cuerpo, entonces:

E =

γ 

LíquidoV y Wc =

γ 

cuerpoV

Usando éstas expresiones en la ecuación del peso aparente, obtenemos: líquido aparente c c cuerpo _{W W} W γ                − γ  (9.13)

A partir de la cual se puede obtener la densidad del cuerpo. líquido aparente c c cuerpo _{W W} W ρ               − ρ _(9.14) 9.9 FLUIDO IDEAL

Un fluido se puede considerar ideal si presenta las siguientes características:

FLUIDO INCOMPRESIBLE

La densidad del fluido es constante en el tiempo. Los líquidos presentan ésta característica.

FLUJO UNIFORME, ESTABLE O LAMINAR 

La velocidad de las partículas y la presión del fluido, presenta el mismo valor al  pasar por un punto determinado de la conducción (tubería, canal, ducto, etc.). Esto sucede para valores de velocidad relativamente bajos, dependiendo de la naturaleza del fluido, y en este caso las trayectorias que describen las partículas en su movimiento o líneas de corriente, no se cruzan entre sí, ver fig.9.11.

Fig. 9.11 Flujo uniforme y no uniforme

v_{salida v’}

FLUJO NO VISCOSO

En el movimiento de un fluido real, existe una fuerza de fricción interna asociada al desplazamiento relativo entre capas adyacentes. Esto se conoce como viscosidad. Si el flujo es a través de una conducción, la fricción del fluido con las  paredes del conducto dan como resultado que las capas de fluido próximas a las  paredes tengan una menor velocidad, ver fig. 9.12. Si el fluido es no viscoso, la velocidad de sus partículas es la misma sobre toda la sección transversal de la conducción.

FLUJO IRROTACIONAL

Si las partículas del fluido en su movimiento no presentan un momento angular  resultante. Experimentalmente esto se verifica observando el movimiento de una rueda de paletas ubicada dentro del fluido. Si la rueda no rota, el flujo es irrotacional, ver fig.9.13.

Fig. 9.12 Flujo viscoso y no viscoso

Flujo Flujo

Fig. 9.13 Flujo rotacional e irrotacional Flujo

ω ≠ 0 Flujo

9.10 CAUDAL O GASTO

Se define como caudal al volumen del fluido que pasa por la sección transversal de la conducción en la unidad de tiempo. Expresado matemáticamente:

t V

G = (9.15)

Dónde, “V”, es el volumen de fluido que atraviesa la sección transversal de la conducción en el tiempo “t". El gasto se expresa en unidades de volumen por  unidad de tiempo. En el S.I., en m3_/s.

Se puede demostrar qué, para un fluido ideal, una relación equivalente para el caudal es:

A v t

V

G = = (9.16)

Donde, “A” es el área de la sección transversal y “v”, la velocidad del fluido en ese punto de la conducción.

9.11 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

Si el fluido es ideal, la ecuación de continuidad establece que, “cualquiera que sea la forma del conducto, el caudal es constante a lo largo de la conducción” ,

esto es,

G = A1 v1 = A2v2 (9.17)

Es decir,

G = A v = constante,

Una consecuencia inmediata de la ecuación de continuidad es que la velocidad del fluido es mayor en los puntos de la conducción donde la sección se reduce y es mayor en los ensanchamientos, ver fig.9.14.

9.12 LA ECUACIÓN DE BERNOULLI

Cuando un líquido que se mueve a través de una conducción de sección transversal y altitud variable, varía la presión a lo largo del mismo. En 1738, El físico suizo Daniel Bernoulli (1700-1782) dedujo una expresión que relaciona la velocidad, la presión y la altitud en cada punto de la conducción.

Ésta relación se puede obtener aplicando el teorema del trabajo y la energía, el cual relaciona el trabajo neto con la variación en la energía cinética, al movimiento de una “porción” del líquido cuando éste se encuentra en dos  posiciones diferentes de la conducción.

El teorema del trabajo y la energía establece que:

2 2 1 mv -2 2 2 mv neto W =

Apliquemos éste teorema al flujo a través de una conducción de altitud variable. Consideremos una “porción” de volumen del líquido que avanza por la conducción, como se muestra en la fig.9.15.

El resultado neto de éste movimiento es como si el elemento de volumen, de masa “m”, cambiara de la posición con altitud h1 a la posición h2, respecto al

nivel de referencia.

Fig. 9.14 Flujo ideal a través de una conducción de sección variable

A₁

v

1

Así, el trabajo neto realizado por las fuerzas externas en éste proceso es: 2 mv -2 mv W W 2 1 2 2 gravedadde fuerza  presiónfuerzasde + = 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1

mv

2

1

mv

2

1

mgh

mgh

Δx

A

 p

Δx

A

 p

−

+

−

=

−

 Notando que: A1Δx1 = A2Δx2 = V y m =

ρ

líquidoV, en la ec. anterior, simplificando

y ordenando términos con igual subíndice, obtenemos:

2 2 2 2 2 1 1 1

₂

ρv

1

ρgh

 p

ρv

2

1

ρgh

 p

+

+

=

+

+

(9.18)

Por tanto, a lo largo de la conducción:

constante

ρv

2

1

ρgh

 p

+

+

2

=

Ésta relación se conoce como la Ecuación de Bernoulli. Los dos primeros términos en ésta ecuación se denominan presión estática y el tercer término,  presión dinámica, luego, podemos afirmar que a lo largo de la conducción la

suma de las presiones estática y dinámica permanece constante. Fig. 9.15 Flujo a través de una conducción de altitud

Variable. h 1

 p

₁A₁

Δx

1

v

₁

m

g

Δx

2 mg h₂

 p

₂A₂ v₂  Nivel de referencia Flujo v 1

La ecuación de Bernoulli, aun cuando se ha obtenido para un líquido, es válida  para todo fluido que pueda ser considerado “ideal”.

El trabajo realizado por las fuerzas de presión, es decir, el trabajo realizado por el medio circundante para mover el líquido, es:

V

Δp

Δx

A

 p

Δx

A

 p

W

_{1 1 1 2 2 2}  presiónfuerzasde

=

−

=

_(9.19)

Luego, la rapidez con la cual se realiza éste trabajo o potencia, será: G  p t V  p P=∆ =∆ (9.20)

9.13 ALGUNAS APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI TOREMA DE TORRICELLI

Consideremos un depósito abierto que contiene un líquido, el cual sale a través de un orificio practicado en él a una cierta profundidad, ver fig.9.16. Si se desea obtener la velocidad de salida del líquido, podemos considerar el caso como el flujo de un líquido a través de una conducción en la cual la sección transversal se reduce considerablemente.

 Note qué, el área de la sección transversal del orificio es mucho menor que la del depósito (A1

<<

A2), luego, la aplicación de la ecuación de continuidad nos reporta

v_salida

 p_o

h_{2  Nivel de}

referencia

1

Fig. 9.16 Fuga del líquido de un depósito a través de un orificio 2

que v2

<<

v1

≈

0. Luego, al aplicar la ec. de Bernoulli en los puntos 1 y 2, con un

nivel de referencia pasando por el punto 1 (h1 = 0), obtenemos:

2 líquido o 2 1 líquido o ₂  p gh v  p + ρ = +ρ De donde: 2 1

2g

h

v

=

O simplemente,

2gh

v

_salida

=

, (9.21)

Donde, h, es la profundidad a la cual se ha practicado el orificio. Éste resultado se conoce como el Teorema de Torricelli.

MEDIDOR DE VENTURI O VENTURÍMETRO

Es un dispositivo que sirve para medir la velocidad del flujo de un fluido de densidad conocida. Básicamente consiste de un tubo en forma de “U” que generalmente contiene mercurio; una rama se fija al punto donde se desea conocer la velocidad y la otra rama, a un punto cercano donde previamente se ha  practicado un estrechamiento, de modo que el área de las secciones transversales

también es conocida, ver fig.9.17.

Flujo de gas

Fig. 9.17 Medidor de Venturi

h

_o Diferencia de alturas en la ramas del mercurio

1

En el caso particular de que el fluido es un gas, después que el mercurio alcanza el equilibrio se registra la diferencia de niveles en las dos ramas

∆

y = ho. Éste

desnivel se debe a la diferencia de presiones entre los puntos 1 y 2; el flujo es de izquierda a derecha, debido a que p1

>

 p2.

Si hacemos coincidir el nivel de referencia con el eje de la conducción (h1 = 0 y

h2 = 0) y aplicamos la ec. de Bernoulli en los puntos 1 y 2, obtenemos:

2 2 gas 2 2 1 gas 1

v

2

1

 p

v

2

1

 p

₊

_ρ

₌

₊

_ρ

De donde:

(A)

)

v

v

(

2

1

 p

 p

₁

−

₂

=

ρ

_gas 2₂

−

₁2

Ésta diferencia de presiones se puede hallar observando que el mercurio se encuentra en equilibrio, luego, aplicando la ec. fundamental de la hidrostática, obtenemos:

 p1- p2 =

ρ

mercurio g ho (B)

Igualando (A) y (B), se tiene:

(C)

h

g

)

v

v

(

2

1

o mercurio 2 1 2 2 gas

−

=

ρ

ρ

Además, haciendo uso de la ec. de continuidad, A1v1 =A2v2, tenemos:

2 1 2 2 2 1 2 2 v A A v _             =

Usando éste resultado en la ec. (C) y resolviendo para v1, obtenemos:

















−

 

 

 

 



 

 

=

1

A

A

ρ

h

g

ρ

2

v

2 2 1 gas o mercurio 1 (9.22)

9.14 PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Una botella tiene una masa de 35 gramos cuando está vacía y de 125 gramos cuando está llena con agua. Cuando se llena con otro líquido, su masa es de 98 gramos. ¿Cuál es la densidad relativa del líquido?

2. El tubo doblado en “U mostrado contiene agua y mercurio. Se desea saber  la presión hidrostática en el punto “A”. (ρHg = 13600 Kg/m3)

3. El diagrama muestra los niveles de los líquidos equilibrados. Halle la presión del nitrógeno si la presión del aire en el manómetro registra 10 kPa. La densidad del aceite empleado es 0,6 g/cm3_.

Hg N Aire Agua Aceite 2 40cm 30cm 50cm 35cm

4. En el tubo mostrado determinar la presión del gas si la columna de agua se encuentra en equilibrio (

ρ

Aceite= 800 K/m3; Patm= 105 Pa)

5. ¿Qué presión manométrica en el depósito de gas A hará que la glicerina suba hasta el nivel B?. El nivel B coincide con la base del balón esférico A?. Considere g = 10 m/s2 _{y las densidades del aceite, la glicerina y el aire son}

380 Kg/m3_{, 1250 Kg/m}3 _{y 1,3 Kg/m}3_{, respectivamente.}

6. Una esfera hueca flota en un líquido de densidad 700 Kg/m3_{, con la mitad de}

su volumen sumergido. Si el diámetro exterior de la esfera es el doble de su diámetro interior, calcular la densidad relativa de la esfera.

7. Un cubo de 2m de arista cuyo peso es de 30 KN, flota tal como se muestra en la figura. La esfera tiene la mitad de su volumen en el agua y su peso es de 90 KN. Hallar el volumen de la esfera.

8. Un cilindro macizo de aluminio de densidad relativa 2,7 pesa 36 N en el aire y 23 N en un líquido de densidad desconocida. Determinar la densidad del líquido.

F

9. Un trozo de aleación oro-aluminio pesa 45 N. Si la aleación se suspende de una balanza de resorte y se sumerge en agua, la lectura es de 34 N. ¿Qué  peso de oro, aproximadamente, hay en la aleación?

ρ

RAu = 19,3;

ρ

RAl = 2,7.

10. Las áreas de las secciones transversales de los émbolos de la prensa hidráulica que se muestra son 200 cm2 _{y 600 cm}2_{. Hallar la deformación del}

resorte (K = 900 N/m), cuando en el émbolo de menor sección se aplique una fuerza de 300 N.

11. Las áreas de las secciones transversales de los émbolos de la prensa hidráulica que se muestra son 200 cm2 _{y 500 cm}2_{. Hallar la fuerza F que se}

debe aplicar en el extremo de la palanca para que la deformación del resorte (K = 500 N/m) sea de 50 cm.

12. Una barra uniforme de 20 N de peso y 3 metros de longitud, cuya densidad relativa es 0,5, puede girar alrededor de un eje horizontal que pasa por uno de sus extremos situado debajo del agua, ver figura. ¿Qué peso w1, en N,

debe colocarse en el otro extremo de la barra, para que queden sumergidos 2.5 m de ésta?

F

10 cm 20 cm

13. Se muestra un bloque cúbico de sección recta “A” flotando en un líquido de  peso específico “

γ 

L “, halle el trabajo para hundir lentamente el cubo a ras

del nivel libre del líquido.

h

14. Una esfera de 2 g/cm3 _{es lanzada horizontalmente con velocidad de 3 m/s}

sobre la superficie de un estanque con agua de profundidad de 10m. Determinar la velocidad con la cual la esfera toca el fondo.

15. En la gráfica se muestra una esfera de masa 1 kg y 0,8 g/cm3 _{de densidad,}

sumergida en agua y sujeta a un resorte de k = 250N/cm. Hallar el alargamiento de dicho resorte.

16. Si la esfera de 1 kg y de volumen 400 cm3 _{se encuentra totalmente}

sumergida en agua y sujeta a un resorte, determine entonces la elongación de éste si su constante es k = 1 N/cm.

17. Un tubo en “U” cilíndrico de 4 cm2_{y 20 cm}2_{de sección transversal como se}

muestra en la figura, contiene mercurio a un mismo nivel. Por el tubo de mayor sección se vierte lentamente 816 gramos de agua. Determinar la diferencia de niveles de las columnas de mercurio. (

ρ

Hg = 13,6 g/cm3).

18. Dos esferas de igual volumen tienen pesos de 20 N y 80 N y se encuentran en estado de flotación unidos mediante un resorte (K=10N/cm). Hallar la deformacion del resorte.

19. Tres troncos idénticos reposan ajustadamente en un canal, los troncos están distribuidos de modo que no llegan al fondo y uno de ellos se halla mojado hasta la mitad. Si el canal almacena agua, halle la densidad de los troncos. Desprecie las fricciones.

20. Cuatro Boy Scouts tratan de construir una balsa y recorrer un rio. La masa de ellos con sus equipos es de 400 Kg. Hay árboles con diámetro promedio de 20 cm y densidad relativa 0,8. Determinar el área mínima de la balsa de troncos que les permitirá flotar sin mojarse.

21. Un globo inflado con Helio se ata a una cuerda muy larga que descansa sobre el piso. El volumen del globo es 0,25 m3 _{y la cuerda tiene una densidad}

lineal de masa de 0,2 kg/m. Cuando se suelta el globo, a que altura  permanecerá en equilibrio? Considere ρHe = 0,18 Kg/m3 y ρaire = 1,3 Kg/m3. 22. Por una manguera contra incendios de 6,35 cm de diámetro fluye agua a

razón de 3π Litros/s. La manguera termina en una boquilla de 2 cm de diámetro interior. ¿A qué velocidad sale el agua de la boquilla?

23. Un tubo horizontal de 10 cm de diámetro tiene una reducción uniforme que lo conecta con un tubo de 5,0 cm de diámetro. Si la presión del agua en el tubo más grueso es 8,0 x 104 _{Pa, y la presión en el tubo más delgado es 5,0 x}

104 _{Pa. Determínese el caudal del flujo de agua que pasa a través del tubo de}

área mayor.

24. Por un orificio, en el fondo de un depósito abierto y lleno de agua hasta una altura de 4 m, se escapa un caudal de 50 L/min. Calcular el nuevo caudal si sobre la superficie libre se aplica una sobrepresión de 50 KPa.

25. En el tubo de la figura pasa aire con una rapidez de 36 litros por segundo. Si las secciones transversales de la parte ancha y estrecha son 2 cm2 _{y 0,5 cm}2_,

respectivamente. ¿Cuál es la diferencia de niveles que tendrá el agua en el manómetro insertado?

26. Un barquillo de helado, en forma de un cono circular, tiene 27 cm2 _{de sección}

en su parte ancha. En el fondo del barquillo se practica un orificio de 1 mm 2_,

 por el cual el helado fundido (

ρ

=1,2 g/cm3_{) empieza a salir. Si inicialmente}

en el barquillo lleno al ras hay 108 gramos de helado, determinar el caudal de salida del helado por el orificio, inmediatamente después de practicar el orificio. Desprecie la viscosidad.

27. Por un tubo horizontal que presenta una reducción en su sección, fluye agua. Se conectan dos tubitos a los orificios, ver fig. Si la diferencia de niveles del agua en los tubitos es 10 cm y la velocidad en la sección ancha es

√

2 m/s, determinar la velocidad en el estrechamiento.

28. El dispositivo de la fig. se utiliza para medir la velocidad de un líquido de densidad relativa

ρ

= 1,6 y el fluido en el manómetro es mercurio. Si la diferencia de niveles en el manómetro es

∆

h = 12 cm, determinar la velocidad del líquido.

29. El dispositivo de la fig. se utiliza para medir la velocidad del fluido en un gasoducto. La densidad del gas es 1,36 kg/m3 _{y el fluido en el manómetro es}

mercurio. Si la diferencia de niveles en el manómetro es

∆

h = 2 cm, determinar la velocidad del gas.

30. Por una tubería horizontal fluye agua a una rapidez de 4 m/s. En un cierto  punto se conecta un manómetro de mercurio, ver fig. Si la diferencia de

niveles del mercurio es h2 = 10 cm, considerando h1 = 20 cm, determinar la

 presión manométrica estática en cualquier otro punto de la tubería. ∆h ∆h 2 1 h 2 h₁

31. En la figura, se muestra un sifón con el cual se extrae agua de un depósito. Determinar la máxima altura del sifón “y” por encima del nivel de la superficie libre del agua en el depósito. Se sabe que para que haya flujo continuo la presión no debe descender por debajo de la presión de vapor (pv

= 0,02 atm a temperatura ambiente).

32. Mediante una fuerza constante F aplicada a un émbolo se expulsa completamente un litro de agua contenida en un cilindro que tiene un orificio de salida, ver fig., en un tiempo de 100 segundos. Si el orificio de salida tiene una sección transversal de 1 cm2_{, determinar el trabajo realizado.}

33. Cada ala de un avión tiene un área de 20 m2_{. Si la velocidad del aire es de 60}

m/s en la superficie inferior del ala y de 70 m/s en la parte superior del ala, hallar el peso del avión (Suponga que el avión vuela horizontalmente a una altura donde la densidad del aire es 1 kg/m3_{. También suponga que toda la}

sustentación la proporcionan las alas.

F  V

y