SITUACIONES DONDE SE USA FUNCIÓN LINEAL I
Función Oferta y Función Demanda de un Mercado.
Ejercicios propuestos:
1) Considere la relación 8p +20Q – 25000 = 0, donde p es el precio de un producto. a) Da la función explícita Q = f(p). ¿Es la recta oferta o demanda?. ¿Por qué?. Debemos obtener Q haciendo pasaje de términos:
20Q = -8p + 25000 Q = (-8p + 25000) / 20
Q = -8/20 p + 25000/20 = -2/5 p + 1250
La recta obtenida corresponde a demanda ya que su pendiente es negativa.
La curva de demanda es una función decreciente: si suben los precios la gente querrá comprar
menos y si bajan querrá comprar más (parece que es una postura comprensible). Entonces, la pendiente de la función lineal demanda será negativa.
b) Interpreta la pendiente La pendiente de la recta es p Q k ∆ ∆ = − = 5 2
. Esto significa que cada vez que el precio baje 5 pesos, el mercado demandará 2 unidades más.
c) Grafica dicha recta
Ver problema 2, donde se grafican ambas funciones. d) Interpreta la ordenada al origen en la grafica. El valor de la ordenada al origen es $ 1250. Significa
2) Considere la relación – 20p + 8Q + 2000 = 0 para el mismo producto. a) Da la función Q = f(p). ¿Es ofertas o demanda? ¿Por qué?
Debemos obtener Q haciendo pasaje de términos: 8Q = 20p - 2000 Q = (20p - 2000) / 8 Q = 20/8 p + 2000/8 = 5/2 p - 250 b) Interpreta la pendiente. La pendiente de la recta es p Q k ∆ ∆ = = 2 5
. Esto significa que cada vez que el precio aumento 2 pesos, el mercado ofrecerá 5 unidades más.
Realizamos una tabla de valores para poder graficar:
250
2
5
−
=
p
Q
o1250
5
2
+
−
=
p
Q
oP (precio) Q (Cantidad) P (precio) Q (Cantidad)
3125 0 100 0
0 1250 600 1250
Gráficos de Oferta y Demanda
0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 2750 3000 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 Cantidad (Q) P re ci o ($ ) Demanda Oferta
d) Expresa e interpreta la ordenada al origen y la abscisa al origen en el grafico.
Para el caso de la función Demanda, la ordenada al origen ( Precio: $3125) corresponde al precio en el cual no hay demanda. Para el valor de q=1250 unidades, corresponde a la capacidad máxima de consumo de el producto o servicio.
En la función oferta, el valor de precio para q=0, donde Precio: $ 100, corresponde al valor mínimo que está dispuesto a ofrecer sus productos el proveedor.
Para obtener el punto de equilibrio, debemos igualar ambas ecuaciones.
1250
5
2
250
2
5
+
−
=
−
p
p
250
1250
5
2
2
5
+
=
+
p
p
1500
5
2
2
5
=
+
p
1500
10
29
=
p
517
,
24
10
29
1500
=
=
p
Ahora reemplazando el valor de p=$517,24, obtenemos el valor de Q.
Elegimos:
250
2
5
−
=
p
Q
o (puede ser cualquiera de las dos ecuaciones).10
,
1043
250
24
,
517
.
2
5
=
−
=
oQ
Punto de equilibrio: ($517,24 ; 1043,10 unidades).
3) Dos puntos (p , Q) sobre la función lineal de demanda son, ($25 ; 50000) y, ($35;42500) para un determinado producto WXT.
a) Determine la función de demanda Q = f(p). Las variables serán:
Q cantidad p precio→ ; → Precio P Cantidad Q 25 50000 35 42500
Para hallar la ecuación oferta primero buscamos la pendiente:
Pendiente 750 10 7500 25 35 50000 42500 − = − = − − = ∆ ∆ = p Q k
Ahora buscamos la ordenada:
b b b b b p Q=−750 + ⇒50000=−750·25+ ⇒50000=18750+ ⇒50000+18750= ∴68750=
La función oferta será:
Q
o=
−
750
p
+
68750
b) ¿Qué precio dará por resultado una demanda de 60000 unidades? Reemplazando y haciendo pasaje de términos:
68750
750
60000
=
−
p
+
p
750
68750
60000
−
=
−
p
750
8750
=
−
−
$
11
,
67
750
8750
=
=
p
c) Interprete la pendiente de la función. La pendiente de la recta es p Q k ∆ ∆ = − = 1 750
. Esto significa que cada vez que el precio baje 1 pesos, el mercado demandará 750 unidades más.
d) Trace la grafica de la función. (ver ejercicio 4).
e) Interpreta la ordenada al origen y la abscisa al origen del grafico.
Para el caso de la función Demanda, la ordenada al origen (Precio: $68750) corresponde a la capacidad máxima de consumo de el producto o servicio.
Para Q=0, el precio es de $ 91,67 representa el precio para el cual la demanda es cero.
4) Dos puntos ( p ; Q) sobre la función lineal de oferta son; ($5,5;45000) y ($7,5;75000), para el producto WXT.
a) Determine la función de oferta Q = f(p). Determine la función de oferta Q = f(p).
Las variables serán:
Q cantidad p precio→ ; → Precio P Cantidad Q 5,5 45000 7,5 75000
Para hallar la ecuación oferta primero buscamos la pendiente:
Pendiente 15000 2 30000 5 , 5 5 , 7 45000 75000 = = − − = ∆ ∆ = p Q k
Ahora buscamos la ordenada:
b b b b b p Q = − ∴ = − ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = 37500 112500 50000 112500 75000 5 , 7 · 15000 5000 7 15000
La función oferta será:
37500
15000
−
=
p
Q
ob) ¿Qué precio hará que los proveedores ofrezcan 135000 unidades a la venta? Reemplazando: 5 , 11 $ 15000 172500 15000 37500 135000 37500 15000 135000 = = = + ⇒ − = p p p
La pendiente de la recta es p Q k ∆ ∆ = = 1 15000
. Esto significa que cada vez que el precio aumente 1 peso, el mercado ofrecerá 15000 unidades más.
d) Trace la función en el mismo sistema que en 3) Realizamos una tabla de valores para poder graficar:
37500
15000
−
=
p
Q
oQ
d=
−
750
p
+
68750
P (precio) Q (Cantidad) P (precio) Q (Cantidad)
2 0 91,67 0
11,5 135000 0 68750
Funciones Oferta y Demanda
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000 Cantidad P re ci o Oferta Demanda
e) Interprete la intersección con el eje p.
La intersección con el eje P para la función demanda, significa el precio máximo en el cual no hay demanda. Para este caso: $ 91,67.
El en caso de la función oferta, el valor mínimo para el cual el proveedor está dispuesto a ofrecer productos al mercado.
f) Encuentre el punto de equilibrio.
Para obtener el punto de equilibrio, debemos igualar ambas ecuaciones.
68750
750
37500
15000
p
−
=
−
p
+
37500
68750
750
15000
p
+
p
=
+
(
15000
+
750
)
p
=
106250
(
15750
)
p
=
106250
6
,
75
15750
106250
=
=
p
Ahora reemplazando el valor de p=$6,75, obtenemos el valor de Q.
Elegimos:
Q
o=
15000
p
−
37500
(puede ser cualquiera de las dos ecuaciones).63690
37500
75
,
6
.
15000
−
=
=
oQ
Punto de equilibrio: ($6,75 ; 63690 unidades).
5)
a) Una fábrica de zapatos observa que cuando el precio de cada par es de $50 se venden 30 pares por día. Si el precio aumenta en $10, sólo se venden 15 pares. Obtener la forma explícita de la ecuación de la demanda.
Determinamos la función de demanda Q = f(p). Las variables serán:
Q cantidad p precio→ ; → Precio P Cantidad Q 50 30 60 15
Para hallar la ecuación demanda primero buscamos la pendiente:
Pendiente 1,5 10 15 50 60 30 15 − = = − − = ∆ ∆ = p Q k
Ahora buscamos la ordenada:
b b b b b p Q = ∴ = + ⇒ + − = ⇒ + − = ⇒ + − = 105 90 15 90 15 60 · 5 , 1 15 5 , 1
La función demanda será:
Q
o=
−
1
,
5
p
+
105
b) En la misma fábrica de zapatos, cuando el precio es de $50, hay disponibles 50 pares. Cuando el precio es de $75, hay disponibles 100. Obtener la ecuación de la oferta
Las variables serán: Q cantidad p precio→ ; → Precio P Cantidad Q 50 50 75 100
Para hallar la ecuación oferta primero buscamos la pendiente:
Pendiente 2 25 50 50 75 50 100 = = − − = ∆ ∆ = p Q k
Ahora buscamos la ordenada:
b b b b b p Q = − ∴ = − ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = 50 150 100 150 100 75 · 2 100 2
La función oferta será:
Q
o=
2
p
−
50
c) Determina el punto de equilibrio del mercado.
Para obtener el punto de equilibrio, debemos igualar ambas ecuaciones.
105
5
,
1
50
2
p
−
=
−
p
+
50
105
5
,
1
2
p
+
p
=
+
(
2
+
1
,
5
)
p
=
155
(
3
,
5
)
p
=
155
44
,
29
5
,
3
155
=
=
p
Ahora reemplazando el valor de p=$44,29, obtenemos el valor de Q. Elegimos:
Q
o=
2
p
−
50
(puede ser cualquiera de las dos ecuaciones).57
,
38
50
29
,
44
.
2
−
=
=
oQ
Punto de equilibrio: ($44,29 ; 38,57 unidades).
Oferta y demanda
0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Cantidad (Q) P re ci o (P ) Oferta Demanda6) Una empresa produce un producto en un mercado de competencia perfecta siendo las funciones:
800 2 + −
= p
qd y qo =4 −p 100 (p: precio unitario, q: cantidad )
a) ¿A qué precio puede vender el producto? ¿Qué cantidad de productos puede colocar en el mercado?
Debemos obtener el punto de equilibrio, igualando ambas ecuaciones.
800
2
100
4
p
−
=
−
p
+
100
800
2
4
p
+
p
=
+
900
6
p
=
150
6
900
=
=
p
Ahora reemplazando el valor de p=$150, obtenemos el valor de Q.
Elegimos:
Q
o=
4
p
−
100
(puede ser cualquiera de las dos ecuaciones).500
100
150
.
4
−
=
=
oQ
Punto de equilibrio: ($150 ; 500 unidades). b) Grafica las funciones.
Oferta y Demanda 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Cantidad (Q) P re ci o (P ) Oferta Demanda
c) Si el precio es $200, ¿hay escasez o exceso? Reemplazamos en ambas funciones:
400 800 400 800 200 . 2 800 2 + =− + =− + = − = p qd 700 100 200 . 4 100 4 − = − = = p qo
En este caso
q 〉
oq
d , por lo tanto hay exceso.d) Suponiendo que se impone un precio mínimo de $100, ¿qué cantidad de unidades en defecto tendremos?. Justifica tu respuesta.
Reemplazamos en ambas funciones:
600 800 200 800 100 . 2 800 2 + =− + =− + = − = p qd 300 100 100 . 4 100 4 − = − = = p qo
En este caso
q 〉
dq
o , por lo tanto hay defecto.Cuando el precio está por encima del punto de equilibrio, estamos en una situación de exceso y cuando está por debajo, en una situación de defecto.